Table des matires1 GENERALITES 31.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Notions de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Connecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Quanticateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Arithmtique des nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.2 Divisibilit et pgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 NOMBRES COMPLEXES 152.0.1 Rappel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.0.2 Proprits deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.0.3 Interprtation gomtrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.0.4 Module dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.0.5 Argument dun nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . 172.0.6 Racines n-imes dun nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . 182.0.7 Racines n-imes de lunit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 POLYNMES ET FRACTIONS RATIONNELLES 203.1 Polynmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.2 Oprations et structures algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.3 Conjugu dun polynme deC[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.4 Valuation dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.5 Familles chelonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.6 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.7 Drivation et formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.8 Racines dun polynme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24TABLE DES MATIRES 23.1.9 Ordre de multiplicit des zros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.10 Factorisation et dcomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.11 Relation entre les coecients et les racines dun polynme scind . . 273.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.1 Ensemble des fractions rationnelles une indtermine sur le corpsK 283.2.2 Oprations et structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.3 Ple et zro dune fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.4 Partie entire dune fraction rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.5 Dcomposition en lments simples dansC[X] . . . . . . . . . . . . . 303.2.6 Exemples de dcompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.7 Dcomposition en lments simples dansR(X) . . . . . . . . . . . . . 323.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Chapitre 1GENERALITES1.1 Rappels1.1.1 Notions de logiqueDnition 1.1.1. Onappellepropositionunnoncquiestvraidanscertainesconditions,fauxdansdautres, mais dont on peut toujours dire sil est vrai ou sil est faux.La proprit essentielle dune proposition P est donc dtre dote de lune des valeursdevritVrai (V ou 1) ou Faux (F ou 0).Exemple: "n est un nombre entier et n est multiple de 2" est une proposition vraiepour les nombres pairs mais fausse pour les nombres impairs.2. Nous appellerons assertion une proposition qui est toujours vraie ou qui est toujoursfausse.Par exemple, "10 est un nombre premier" est une assertion fausse.3. Onappelleaxiome, dans lathoriemathmatique, toutepropositionlaquelleonattribue, par convention, la valeur vraie.4. On appelle thorme, toute proposition dont on dmontre quelle a la valeur vraie.5. Un corollaire est une proposition qui se dduit immdiatement dune proposition djdmontre.6. Unlemmeestunepropositiondduitedunoudeplusieurspostulatsetdontlad-monstration prpare celle dun thorme.7. Un postulat est un principe premier, indmontrable ou non dmontr.8. Un principe est une proposition admise comme base dun raisonnement.1.1 Rappels 41.1.2 ConnecteursA partir des propositionsPetQ, on peut former dautres propositions laide des liaisonset, ou, non, ... appeles connecteurs logiques. Les connecteurs sont des fonctions uneou deux variables, qui oprent sur lensemble des propositions.Les principaux connecteurs sont :Langation: siPest une proposition, on noteP, et on lit nonP, la ngation deP. Par dnition, non P est vraie si P est fausse, fausse siPest vraie.Laconjonctionetladisjonction: la conjonction et est le connecteur logique not, qui associe tout couple (P, Q) de propositions, la proposition (Pet Q), vraie si etseulement siPetQ sont vraies simultanment.De mme P Q, quon lit Pou Q , est vraie si lune au moins des propositions P, Qest vraie, fausse si Pet Q le sont. Le signe sappelle le connecteur de disjonction ;il se lit ou .Limplication : limplication est le connecteur (ou oprateur) logique qui, tout couple(P, Q) de propositions, associe la proposition (P=Q) (lue Pimplique Q ou siPalorsQ ) fausse lorsquePvraie etQ fausse, vraie dans les autres cas.Lquivalence: si PetQ sont des propositions, on noteP Q, et on lit Pestquivalente Q , la proposition :(P=Q) (Q =P).La valeur de vrit des oprateurs dePet/ouQ en fonction de celle dePet/ouQ estdonne par le tableau appel table de vrit.Complter la table de vrit suivante :P Q P Q P Q P=Q P Q P1 11 00 10 01.1.3 QuanticateursLa plupart des expressions mathmatiques comportent une ou plusieurs variables ; unepropositioncontenantunetelleexpressionnapasdevaleurdevritdtermine. Aunevaleur des variables quelle contient correspond une valeur de vrit. Cest pourquoi une telleproposition sappelle forme propositionnelle.SoitP(x) une forme propositionnelle contenant un objetx appel variable assujetti ap-partenir un ensembleE appel rfrentiel.On convient dcrire :(x E) P(x) pour exprimer que lorsquex appartient au rfrentielE, la propositionPest toujours vraie. On lit> ou> .Le quanticateur ou symbole sappelle le quanticateur universel.Pour exprimer lassertion>, onconvientdcrire(x E) P(x)cequi selit.1.1 Rappels 5Le symbole sappelle le quanticateur existentiel.Enn lexpression ! x / P(x) signie >.Exemples :(x rel) (x + 1)2= x2+ 2x + 1;(x rel/ x2+ 3x 1 = 0).1.1.4 EnsemblesUn ensemble est une collection dobjets ; ces objets sappellent les lments ou les pointsde lensemble.Nous dsignerons en gnral les ensembles par des lettres majuscules :A, B, E . . .Les lments dun ensemble seront dsigns en gnral par des lettres miniscules : a, b, x, y . . .Sia est un lment dun ensembleE, on crita E et on lit> ou>.Nous admettons lexistence dun ensemble not , appel ensemblevide, qui ne contientaucun lment. Un ensemble rduit un seul lment a est not a. Plus gnralement, unensemble qui ne contient que les lmentsx1, x2, . . . , xn est not_x1, x2, . . . , xn_.Exemples:N =_0, 1, . . ._ est lensemble des entiers naturels ;Z =_. . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . ._ est lensemble des entiers relatifs ;Q =_p/q, p Z etq N_ est lensemble des nombres rationnels ;R est lensemble des nombres rels ;R est lensemble des nombres rels non nuls ;R+ est lensemble des nombres rels positifs ou nuls ;R+ est lensemble des nombres rels strictement positifs ;C est lensemble des nombres complexes ;C est lensemble des nombres complexes non nuls.Dnition 1.2.On dit que lensembleEest inclus ou estcontenu dans lensembleFsi toutlmentdeEestllmentdeF. Onditaussi queEestunepartieousous-ensemble deF. On critE FouF E.Par dnition,(E F) (x, x E=x F).Il est immdiat que :E E quel que soitE,(E FetF X) =(E X).On dit que lensembleEestgallensembleF, et on noteE=F, si on aE FetF E.Nous admettons que pour tout ensembleE, il existe un nouvel ensemble appel ensembledesparties deE, not T(E), et dont les lments sont tous les sousensembles deE, ycompris lensemble vide etE luimme. Ainsi,A T(E) A E.1.2 Lois de composition 61.1.5 ApplicationsDnition 1.3. Soient E et F deux ensembles. Une application f de E vers F est une relationentre E et F telle que : x E, !y F/y= f(x).Exemples:1. Si F= R, on dit que f est une fonction relle. Si E R, on dit que f est une fonctiondune variable relle, par exemplex sin x est une fonction relle dune variablerelle.2. On appelle application identique dun ensemble E, et on note IdE ou1E, lapplica-tion qui toutx E fait correspondre x lui-mme. On a donc par dnition :IdE(x) = x, x E.3. Soit E un ensemble. On appelle fonction caractristique de E, la fonction E ou1E valeurs relles dnie par :1E(x) =_1, six E ;0, six , E.Dnition 1.4.Une application est injective si et seulement si deux lments distincts ont des imagesdistinctes. En pratique, on montre que :f(x1) = f(x2) x1= x2.Une application est surjective si et seulement si tout lment de lensemble darrivepossde un antcdant, cest dire : y F, x E / f(x) = y.Une application est bijective si et seulement si elle est la fois injective et surjective.1.2 Lois de composition1.2.1 DnitionsDnition1.5. SoitEunensemble.Onappelleloi decompositioninterne(l.c.i)surE, toute application deE Edans E.Exemples:Dans N, on dnit laddition et la multiplication de deux entiers naturels. Dans R on peutaussi dnir la soustraction qui est bien une l.c.i.dans N, on peut dnir, partir de laddition et de la multiplication usuelles dautres l.c.i.Ainsi tout couple (a, b) deN on associe a b = (a +b) +ab. Par contre, lapplicationqui (a, b) associea + b1 + abnest pas une l.c.i pourN.Dnition 1.6.Soit une l.c.i dnie sur E.1.3 Entiers naturels 71. On dit que est associative si : (a, b, c) E3a(bc) = (ab)c.2. On dit que est commutative si : (a, b) E2ab = ba.3. Onappellelmentneutrepour toutlmentedeEvriant: x Exe=ex = x.4. On appelle symtrique (pour ) dun lment x de E tout lment x

tel que : xx

=x

x = e.Un lment possdant un symtrique est dit inversible.Dnition1.7.Soit E un ensemble muni dune l.c.i , A un sous-ensemble de E. On ditque A est stable pour la loi si : (x, y) A2,xy A.Exemple:N est stable pour la multiplication dansZ.1.2.2 MorphismesDnition1.8. Soient et deux l.c.i dnies respectivement sur les ensembles E et F.Une applicationf: E Fest appele morphisme de _E, _ dans _F, _ si elle satisfaitla condition (x, y) E2, f(xy) = f(x) f(y).SiE= F, f est appele endomorphisme.Exemples:Lapplication : N N dnie par(x) = 2xest un morphisme de _N, +_ dans _N, _.En eet(x + y) = 2x+y= 2x 2y= (x)(y).La fonction logarithme nprien est un morphisme de _R

+, _ dans _R, +_ :(x, y) _R

+_2, ln(xy) = ln(x) + ln(y).Dnition1.9. Onappelleisomorphismeunmorphismebijectif.Sil existeunisomorphismef de(E, )dans(F, ), onditquelesstructures(E, )et (F, )sont isomorphes. SiE= F, f est appel automorphisme.1.3 Entiers naturelsNous admettrons quil existe un ensemble non vide et ordonn, not N, appel ensembledes entiers naturels, et vriant les axiomes suivants :(N1) Toute partie non vide deN admet un plus petit lment.1.4 Groupes 8(N2) Toute partie non vide et majore deN admet un plus grand lment.(N3) N na pas de plus grand lment. Le plus petit lment deN est not0.Consquencedeladfinition:a)Toutepartie n, mdeuxlmentsde Nadmetunpluspetitlment, donc Nesttotalement ordonn.b)Tout lmenta N

admet un prdcesseur.c)Tout lmenta N admet un successeur.Thorme 1.1.SoitP(n) une proprit dpendant de lentiern. Supposons que :1. P(0) est vraie.2. n N, la relationP(n) vraie=P(n + 1) est vraie.AlorsP(n) est vraie n N.1.4 GroupesDnition1.10. Onappellegroupe, unensembleGmuni dunel.c.i (x, y) x ypossdant les proprits suivantes :a) (G, ) est associative :x (y z) = (x y) z x, y, z G.b) (G, ) admet un lment neutree G.c)Tout lment de G admet un symtrique :x G, un lmentx

de G, tel quex x

= x

x = e.Si de plus, la loi de composition est commutative, le groupe est dit commutatif ou ablien.Dans ce cas la loi de composition est souvent note additivement, llment neutre est dsignpar0 et le symtrique dun lmentx est not x.Ungroupepeuttreni ouinni. Onappelleordredungroupeni lenombredeseslments.Conventiondenotation: Lusage veut que la notation+ soit rserve aux lois commu-tatives et que dans ce cas le symtrique soit dsign par le mot oppos et not(x).Dans le cas o la loi est note , on utilise le mot inverse et on note x1(notation multipli-cative) ; leest souvent remplac parou bien omis.Exemples:(Z, +),(Q, +),(R, +),(Q, ) et(R, ) sont des groupes abliens.Dnition 1.11.Soit(G, ) un groupe et soit H une partie de G.On dit que H est un sous-groupe de(G, ) sii. H est une partie stable pour .ii. (H, ) est un groupe (en particulier H est non vide).1.5 Anneaux et corps 91.5 Anneaux et corpsDnition1.12. OnappelleanneauunensembleAmuni dedeuxloisdecompositioninterne :une addition (x,y) x+y,une multiplication (x,y) xy,satisfaisant aux axiomes suivants :(A1) Laddition est une loi de groupe ablien.(A2) La multiplication est associative et admet un lment neutre, not1Aou 1, et appellmentunit.(A3) La multiplication est distributive par rapport laddition.Si de plus la multiplication est commutative, i.e si on a xy=yx x,y A, on dit que lanneauest commutatif.Thorme 1.2. Soit A un anneau et soient a et b deux lments permutables de A cest--dire tels queab = ba. Pour tout entiern 1, on a la formule dite du binme :(a + b)n=n

k=0Cknankbk.La combinaison de p lments pris parmi n est donne par la formule suivante :Cpn=n!p!(n p)!0 p n.Remarque 1.1.C0n= Cnn= 1, n N.Cpn= 0, n < p.Proposition 1.1.On a, n et p entiers quelconques,i. Cpn=npCp1n1(n, p N

).ii. Cpn= Cnpn.iii. Cpn= Cpn1 + Cp1n1(n, p N

).iv.n

k=0Ckn= 2n.1.6 Arithmtique des nombres entiers 10Dnition1.13. Soit A un anneau. On dit quun lmentx A est nilpotent sil existeun entiern 1 tel quexn= 0.Dnition1.14. OnappelleCorpstoutanneauKnonnul danslequel toutlmentnonnul est inversible.On dit quun corps est commutatif si sa multiplication est commutative. Un corps est doncun anneau unitaire dont tous les lments dirents de 0 sont inversibles.Exemple:1. Les anneauxQ,R etC sont des corps commutatifs de caractristique 0.2. LensembleQ_2_ =_a + b2 : a, b Q_ muni de laddition et de la multiplicationordinaires est un corps commutatif.1.6 Arithmtique des nombres entiers1.6.1 Division euclidienneThorme 1.3. Sia etb sont deux entiers relatifs,b tant non nul, il existe deux entiersrelatifs uniquesq etr tels que : a = bq + r, 0 r b 1;avecq= quotient r = reste a = dividende b = diviseur.On note :a r [b] et on lit : a est congru r modulo b .On dit que a est divisible par b (ou a est un multiple de b ou a divise b) si et seulementsir = 0,b est alors le diviseur dea. on crit alorsa 0 [b].Exemple: On a15 = 2 7 + 1 ce qui est une division euclidienne.On a aussi 15 = (2) 7+(1) ce qui nest pas une division euclidienne, car le reste dunedivision euclidienne est positif, par dnition. Par contre, 15 = (3)7 + 6 est bien unedivision euclidienne.1.6.2 Divisibilit et pgcdDnition 1.15 (et Notation). Soientn, d Z, avecd ,= 0. On dit qued divisen, ou qued est un diviseur den, ou quen est un multiple ded, et on critd [ n, sil existeq Z telquen = qd. Dans le cas contraire, on critdn.Exemples:1 [ 6, 2 [ 6, 3 [ 6, 46, 56, 6 [ 6, 76, 6 [ 0.1.6 Arithmtique des nombres entiers 11Proposition 1.2.Si a et b sont deux entiers avecb ,= 0,b [ a abest un entier.Tous les entiers divisent 0 et sont divisibles par 1.Un entier n est toujours divisible par 1, -1, n, -n.Sia [ b etb [ a =a = b.Si a et b sont deux entiers tels quean[ bnpour un entiern 1 =a [ b.Dnition 1.16. Le plus grand commun diviseur dentiers non tous nuls a1, . . . , an est leplus grand des entiers k > 0 qui divisent chacun de ces entiers ; on le note pgcd(a1, . . . , an).On dit quea1, . . . , an sont premiers entre eux sipgcd(a1, . . . , an) = 1.Le plus petit commun multiple (ppcm) de deux entiers non nuls, est le plus petit entiernaturel qui est multiple simultanment des deux entiers. Soient a et b deux entiers non nuls,on a :pgcd(a, b) ppcm(a, b) = ab.Notations :pgcd(a, b) = a b etppcm(a, b) = a b.Lemme 1.1.Soientn, d Z avecd > 0 et soientq, r tels quen = qd + r et0 r < d.On apgcd(n, d) = pgcd(d, r).Algorithme dEuclide : Le pgcd de deux entiers d1, d2 tels que d1 d2> 0 peuttre calcul par lalgorithme suivant :1retape : Par division euclidienne, on obtient d1= q1d2 +d3 avec q1 N et 0 d3< d2.Sid3= 0 =d2= pgcd(d1, d2).Sid3> 0 on passe ltape suivante.2metape : Par division euclidienne, on obtient d2= q2d3 +d4 avec q2 N et 0 d4< d3.Sid4= 0 =d3= pgcd(d1, d2).Sid3> 0 on recommence . . .Le nombre des tapes est ncessairement ni card2> d3> d4> . . . 0.Sis designe le plus grand entier tel queds> 0, alorspgcd(d1, d2) = ds.Lalgorithme dEuclide fournit galement deux entiersx1, x2 tels quepgcd(d1, d2) = x1d1 +x2d2.Exemple: d1= 22 etd2= 6. On calculed1= q1d2 + d3 22 = 3 6 + 4 (q1= 3, d3= 4)d2= q2d3 + d4 6 = 1 4 + 2 (q2= 1, d4= 2)d3= q3d4 + d5 4 = 2 2 + 0 (q3= 2, d5= 0)doncpgcd(22, 6) = d4= 2, de pluspgcd(22, 6) = 1 22 + 4 6. Dox1= 1 etx2= 4.1.6 Arithmtique des nombres entiers 12Thorme 1.4 (Bzout). Deux entiers a, b non nuls sont premiers entre eux si et seule-ment sil existe des entiersx, y tels queax +by = 1.Lalgorithme dEuclide-Bzout : Soienta, b, c Z tels que(a, b) ,= (0, 0).Lalgorithme suivant sert calculer le pgcd(a, b) et la solution gnrale (x, y) Z2de lqua-tion de Bzoutax + by= c.Lalgorithme se prsente sous forme dun tableau. Dans une premire tape on remplitles deux premires lignes comme indiques dans le tableau ci-dessous. Le coecientq1 nestpas dni ; le coecientq2est le quotient de la division euclidienne dea parb. Les lignessuivantes se calculent chacune en fonction des deux prcdentes comme indique ci-dessous.k rkqkxkyk1 a 1 02 b q20 13 r3q3x3y3... . . . . . . . . . . . .i 1 ri1qi1xi1yi1i riqixiyii + 1 ri+1qi+1xi+1yi+1... . . . . . . . . . . . .N rNqNxNyNN+ 1 rN+1= 0 xN+1yN+1aveca = q2b + r3 une division euclidienne.ri1= qiri + ri+1, xi+1= xi1qixi, yi+1= yi1qiyi.La premire colonne contient donc les restes des divisions euclidiennes successives, la deuximecolonne les quotients et les deux dernires colonnes des coecientsxk, yk tels queaxk +byk= rk. Les coecients de la premire colonne forment une suite strictement dcrois-sante de nombres positifs entiers. Par dnition,Nest le plus petit entier avecrN+1= 0.Thorme1.5. OnarN= pgcd(a,b).Sipgcd(a,b)divisec,lasolutiongnraledelquationax + by= c est donne parx =cpgcd(a,b)xN+ lxN+1y=cpgcd(a,b)yN+ lyN+1ol Z.Si pgcd(a,b) ne divise pasc, lquationax + by= c nadmet pas de solution(x, y) Z2.Exemple: Nous cherchons le pgcd(198,75) et toutes les solutions de lquation1.7 Exercices 13198x + 75y= pgcd(198,75). Nous obtenons le tableauk rkqkxkyk1 198 1 02 75 2 0 13 48 1 1 -24 27 1 -1 35 21 1 2 -56 6 3 -3 87 3 2 11 -298 0 -25 66Ainsi pgcd(198,75)=3 et la solution gnrale de lquation 198x+75y= 3 est donne parx = 11 25ly = 29 + 66lol Z.Dnition 1.17.Un entier naturel p 2 est dit premier si ses seuls diviseurs dansNsont 1 etp. Lensemble des nombres premiers est parfois notP.Exemple :P =_2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . ._.1.7 ExercicesExercice 1.1.En dveloppant _1 + t_2n, tablir la relationn

k=0_Ckn_2= Cn2n.Exercice 1.2. Dans N, la loi dnie par ab = a+b+ab est-elle associative ? commutative ?Exercice1.3. Soit A un anneau ; soien x et y des lments de A. On suppose que1 xyest inversible. Montrer que1 yx est inversible.Exercice 1.4.Soient a et b deux rels et k un entier naturel. CalculerS=n

k=0cos(a + kb) etS

=n

k=0sin(a + kb).Exercice 1.5.Rsoudre dansC lquation :Z2n2Zncos(n) + 1 = 0.Exercice 1.6.Dterminer le module et largument du nombre complexe(1 +i)n+ (1 i)n.Exercice 1.7. 1. Soienta etb des entiers. Montrer que(a +2b)4a4est divisible par 8.1.7 Exercices 142. Soienta,b etd des entiers. Montrer que sid divise ab eta + b, alorsd divisea2.3. Siab divisea2+ b2, montrer quea = b.4. Montrer que, pour tout entier naturel n,n3n est divisible par 6.Exercice 1.8. Soient xet ydes entiers. Montrerque2x+3yest divisiblepar7si etseulement si 5x + 4y lest.Exercice 1.9.Trouver le reste de la division par 13 du nombre1001000.Exercice 1.10.Montrer que 2x + 3 est un multiple de 11 si, et seulement si 5x + 2 lest.Exercice 1.11.Trouver toutes les solutions en nombres entiers de lquation17x 11y= 542.Exercice1.12.Quel est le plus petit entier naturel qui, divis par 2,3,5, donne respective-ment pour reste 1,2,3.Exercice 1.13.Calculer le pgcd des nombres suivants :1. 126, 2302. 390, 720, 4503. 180, 606, 750Exercice 1.14.Dterminer les couples dentiers naturels de pgcd 18 et de somme 360.Exercice 1.15. Trouver a et b entiers naturels tels que : a + b = 2070 et ppcm(a,b) = 9180.Exercice 1.16.Par combien de zros se termine le nombre(2004!) ?Exercice 1.17.Soitp 5 un nombre premier. Calculer :p1

k=1_k3p_.Exercice 1.18.Combien 15 ! admet-il de diviseurs ?Chapitre 2NOMBRES COMPLEXES2.0.1 RappelThorme 2.1.Il existe un ensembleC muni de deux lois de composition interne+ ettelque :i. (C, +, ) est un corps commutatif.ii. (C, +, ) contient un sous-corps isomorphe (R, +, ), auquel(R, +, ) est canoniquementidenti.La dernire proprit du thorme 1.2. implique que :(z C) (! R) (! R)/ z= + i.Cette criture dun lment z deC est connue sous le nom de forme algbrique de z.Le rel sappelle la partie relle _noteRe(z)_ et le rel la partie imaginaire(noteIm(z)) du complexe z.2.0.2 Proprits deCDnition 2.1.On appelle conjugaison lapplication h deC dansC dnie parz= + i h(z) = i.h(z) est not parzet appel conjugu de z.Ainsi :1 + i = 1 i,i = 1,3 = 3 . . .Proposition 2.1.Soitz C. On a :i. Re(z) =12(z + z) et(z R z= z).ii. Im(z) =12i(z z) et(z iR z= z).162.0.3 Interprtation gomtriqueSoit E un espace vectoriel euclidien de dimension 2 muni dune base orthonorme(u, v).On considre un espace ane euclidien Ede direction E et un repre (O, u, v). On considreles applications :f: C E qui z= a + bi associef(z) = au + bv et : C Equi z= a + bi associe le point M de coordonne(a, b) dans le repre(O, u, v).Les applicationsfet sont bijectives.Dnition 2.2. Soit z C. On appelle image de z le point M= (z) Eet vecteur-imagede z le vecteurW= f(z) E. Inversementz= 1(M) = f1(W) est appel axe de Met axe de W.2.0.4 Module dun nombre complexeDnition 2.3.Soitz C.On appelle module de z le nombre rel positif ou nul [z[ =z.z.Soitz= a + ib. On azz= a2+ b2; z C, Re(z) [z[ et Im(z) [z[.Thorme 2.2.Lapplication de(C, .) dans(R+, .) qui z associe [z[ est un morphisme.Proposition 2.2.i. (z C) ([z[ = 0 z= 0).ii. (z, z

C2) ([z + z

[ [z[ +[z

[).Proposition2.3. Lapplicationmoduleestunmorphismesurjectifdugroupe(C

, .)danslegroupe(R

+, .). Sonnoyauest constitudesnombrescomplexes a + bi_(a, b) R2_/a2+ b2= 1.Proposition 2.4. Tout nombre complexe non nul admet deux racines carres. Celles-ci sontopposes.Thorme2.3. Soienta,betctroiscomplexesaveca ,=0.Lquationaz2+ bz + c=0admet donc deux racines dansC.172.0.5 Argument dun nombre complexe non nulThorme 2.4.SoitE2 un espace vectoriel euclidien de dimension 2.i. Une base orthonorme deE2 tant xe, les groupes suivants sont isomorphes :Le groupe des rotations deE2 pour la loi .Le groupe(A, +) des angles de vecteurs unitaires.Le groupeB des matrices__a bb a__ telles quea2+ b2= 1 pour la multiplication.ii. Silespacevectoriel euclidienestorient,lamatricedunerotationdanstoutebaseor-thonorme directe est invariante :__a bb a__.Si est langle de la rotation on posecos() = a etsin() = b.iii. Il existe un morphisme bijectif de(R/2Z) dans(A, +) ; limage rciproque dun anglepar ce morphisme est sa mesure : cest une classe modulo2, llment de la classeappartenant [0, 2[ est la dterminationprincipale de la mesure de langle.Proposition 2.5.Soit(U , .) le groupe des nombres complexes de module 1.Lapplication : (U , .) (B, .) qui touta + ib Uassocie la matrice__a bb a__ estun isomorphisme.Dnition 2.4. Soient z Uet lisomorphisme dni dans la proposition 1.6. On appelleArgument de z langle de la rotation associ (z) et argument de z la mesure de cet angle.On note respectivementArg(z) etarg(z).Soit maintenant z un nombre complexe non nul quelconque. Le nombre complexez/[z[ estde module 1, ce qui permet detendre les rsultats prcdents.Dnition 2.5.Soitz C

. On appelle Argument de z lArgument dez/[z[. On dnit demmearg(z).Proposition 2.6.Soientzetz

deux complexes non nuls. On aArg(zz

) Arg(z) + Arg(z

) et doncarg(zz

) arg(z) + arg(z

) [2].18Soitz C

,z= a + bi. Posonsr = [z[ et = arg(z). On a alors, par dnition de :aa2+ b2= cos() etba2+ b2= sin(),doncz= r_cos() + i sin()_, que lon notez= rei. Ainsi :rei= r

ei

_r = r

et

[2]_.Dnition2.6. Lcrituredunombrecomplexez ,=0souslaformereior R

+et R/2Z sappelle lcrituretrigonomtrique de z.Proposition 2.7.Soientreietr

ei

deux nombres complexes. On a les relations :i. _rei__r

ei

_= rr

ei(+

);ii. r

,= 0 =reir

ei

=rr

ei(

).Proposition 2.8 (Formule de Moivre). Pour tout nombre complexe z non nul, si z= reion a pour toutn N,zn= rnein.En particulier sir = 1,_ei_n= ein, ce qui scrit sous forme algbrique :_cos() + i sin()_n= cos(n) + i sin(n).2.0.6 Racines n-imes dun nombre complexe non nulSoitz0un complexe non nul de la formeei. Nous allons chercher rsoudre dansClquation :zn= z0. Posonsz= rei, lquation tudie scrit alors_rei_n= ei.Proposition 2.9.Un nombre complexe non nul admet n racines n-imes.2.0.7 Racines n-imes de lunitUne application particulirement importante de la proposition 1.10. concerne le casz0= 1.Proposition 2.10.Il existe n racines n-imes complexes de 1.Ces n racines n-imes de lunit sontzk= ei2kn; k = 0, . . . , n 1.19Dnition 2.7.On noteUn lensemble des n racines n-imes distinctes de lunit :Un=_z C [ zn= 1_=_ei2kn_; k = 0, . . . , n 1.Proposition 2.11. (Un, .) est un groupe.Proposition 2.12. Soit zk, k = 0, 1, . . . , n1, les n racines n-imes de lunit. Leur sommeest nulle :n1

k=0zk= 0.Proposition2.13. Lensembledesracinesn-imesdunnombrecomplexeest obtenuenmultipliant lune quelconque dentre elles par les n racines n-ime de lunit.Chapitre 3POLYNMES ET FRACTIONSRATIONNELLES3.1 Polynmes3.1.1 DnitionsSoitK, un corps commutatif gal R ouC.On appelle polynme une indtermine X et coecients dans K toute expression dela forme :P= a0 +a1X + +anXn=n

k=0akXk, oa0, a1, . . . , an sont des lmentsdeK appels coecients de P.Deux polynmes sont gaux lorsque leurs coecients respectifs sont gaux.Si tous les coecients de P sont nuls, on dit que P est le polynme nul et on le noteP=0.On noteK[X] lensemble des polynmes une indtermine X et coecients dansK.Soit P un polynme non nul deK[X].Le plus grand entier k tel queak ,= 0 est appel degr de P; on le notedeg(P).Si deg(P) =n; anXnestappelmonme(outerme)deplushautdegrdeP(outerme dominant de P).an est le coecient dominant de P.Sian= 1, P est dit unitaire ou normalis.Lensemble des polynmes de degr n est notKn[X].Par convention,deg(0) = et n N, < n.3.1.2 Oprations et structures algbriquesOn dnit surK[X] des oprations en sinspirant de celles connues sur les fonctions polyno-miales.Soient P et Q deux polynmes deK[X]. On pose :P=p

k=0akXket Q =q

k=0bkXk.3.1 Polynmes 21Alors on a :P+ Q =max(p,q)

k=0(ak + bk)Xk. K,P=p

k=0(ak)Xk.P Q =p+q

k=0CkXkavec Ck=k

j=0ajbkj=k

j=0akjbjouCk=

i+j=kajbj.On notera() la multiplication par un scalaire et() le produit interne de deux polynmesdeK[X].Proposition3.1. (K[X], +, , ) est une algbre commutative surK dont lunit est lepolynme 1, autrement dit on a :1. (K[X], +, ) est un anneau (unitaire).2. (K[X], +, ) est un espace vectoriel surK.3. P, Q K[X], K, (P Q) = (P) Q = P (Q).Proprits du degr :Soit P, Q dansK[X] etn N, alors :1. deg(P+ Q) max_deg(P), deg(Q)_;2. sideg(P) ,= deg(Q) alorsdeg(P+ Q) = max_deg(P), deg(Q)_;3. deg(P Q) = deg(P) + deg(Q) ;4. deg(Pn) = ndeg(P) ;5. deg(P) = P= 0 ;6. deg(1) = 0 etdeg(Xn) = n.Proposition 3.2.Lanneau(K[X], +, ) est intgre cest--dire :P, Qdans K, (P Q = 0) (P= 0ouQ = 0).Thorme 3.1.1. La famille(Xn)nN est une base deK[X], appele base canonique deK[X].2. LalgbreK[X] est de dimension innie.3. (Kn[X], +, ) est un s.e.v de(K[X], +, ).4. (Xk)k[|0,n|]= (1, X, X2, . . . , Xn) est une base deKn[X].5. dimK(Kn[X]) = n + 1.6. dimR(Cn[X])=2n + 2= dimension deCn[X] en tant quespace vectoriel surle corpsR.Proposition 3.3.SoitP K[X]. Alors P est inversible ssiP K.(Remarquer au passage queK K[X]).3.1 Polynmes 223.1.3 Conjugu dun polynme deC[X]Etant donn un lmentP=n

k=0akXkdeC[X], on appelle conjugu de P, le polynme deC[X] notPdni par : P=n

k=0akXk. Il est clair que tout polynme P deC[X] peut scrire de manire unique sous la forme :P= A + iB avecA etB dansR[X]. On a alors :P= A iB.3.1.4 Valuation dun polynmeSoitP=a0 + a1X+ . . . + anXnun lment deK[X], non nul. On appelle valuation deP et on noteV al(P), le plus petit entier naturel k tel queak ,=0. Donc si n=deg(P) etm = V al(P), on am n etP(x) =n

k=makXk= amXm+ . . . + anXn; avecam ,=etan ,= 0.3.1.5 Familles chelonnesLemme 3.1 (gnral).Toute famille de polynmes non nuls deK[X] et de degrs(resp. valuations) deux deux distincts (resp. distinctes) est libre dansK[X].Il sut de justier le rsultat pour des familles nies (cest le classique de la dmonstrationpar labsurde).Thorme3.2(etdnition).Soitn N et soit Bd= (P0, . . . , Pn) une familledepolynmestellequepourtout k 0, . . . , nonait deg(Pk)=k.Onditalorsque Bd est une famille chelonne (ou gradue) en degrs.Alors : Bd est une base deKn[X].Preuve:Ilsutdemontrerque Bdestlibreetpourcelailsutdeconsulterlelemmegnral ci-dessus. Mais une autre dmonstration, par rcurrence, peut tre donne.Exemple: Soit a K. La famille on(a) = (1, X a, (X a)2, . . . , (X a)n) est une famillechelonne en degr : cest une base deKn[X].Proposition3.4.Soitn N, et soit Bv=(P0, . . . , Pn) une famille de polynmesde Kn[X] chelonne (ou gradue) en valuation cest--dire telle que pour tout k dans0, . . . , n, on ait :V al(Pk) = k. Alors Bvest une base deKn[X].Exemple: La famille Tn= ((1 X)n, X(1 X)n1, . . . , Xn) est une famille dlments deKn[X] chelonne en valuations. Ainsi, Tn est une base deKn[X].3.1 Polynmes 233.1.6 Division euclidienneThorme 3.3. A et B tant dans K[X] avec B,=0, il existe un couple unique (Q,R)de polynmes deK[X] tel que :___A = BQ + R,R = 0 oudeg(R) < deg(B).Q est le quotient et R est le reste de la division euclidienne de A par B.Dispositionpratique:Soit diviser le polynmeA = X3+ 2X2X + 1 par le polynmeB= X2X + 1.On trouve ainsi :Q = X + 3 etR = X 2 avecA = BQ + R.Dnition 3.1.1. Soit A et B deux polynmes deK[X]. On dit que A est divisible par B (dansK[X])sil existeQ K[X] tel queA=BQ.OnditaussiqueBdiviseA(dansK[X]).2. UnpolynmePde K[X] est dit irrductibledans K[X] lorsqueles seulspolynmes de K[X] qui divisent P (dans K[X]) sont les polynmes constantset lesP( K).Proposition3.5. Le reste de la division euclidienne dun polynme P parX aestP(a).Exemple: A = X3+ 2X2X + 1,a = 1 =A(1) = 3.Le reste de la division euclidienne deA parX + 1 est3.3.1.7 Drivation et formule de Taylor1. Dnition(a) SoitP=n

k=0akXkun lment deK[X].On appelle polynme drive de P, le polynmeP

tel que :P

=n

k=1kakXk1sideg(P) 1 etP

= 0 siP= 0 oudeg(P) = 0.(b) Les polynmes drivs successifs de P sont dnis par rcurrence :pourk 2,P(k)= (P(k1))

et par convention,P(0)= P.Par exemple :P(3)= (P

)

etP

= (P

)

= P(2).2. Formules de drivations successivesSoit P un polynme de degr n.3.1 Polynmes 24(a) Sij n, alorsP(j)=n

k=jakk(k 1)(k j + 1)Xkjsoit encoreP(j)=n

k=jakk!(k j)!Xkj.(b) Sij> n,P(j)= 0.Exemple: CalculerP(4)1etP(3)2avecP1= X5+ 2XetP2= X62X2+ X + 1.Thorme 3.4 (Formule de Taylor pour les polynmes). SoitP un polynme de degr infrieur ou gal n. K, P=n

j=01j!(X )jP(j)().Exemple: Ecrire la formule de Taylor deX5en1.3.1.8 Racines dun polynmeDnition 3.2.SoitP K[X] et K. On dit que est racine (ou zro) de P lorsqueP() =0. Lensembledeszros (dans K) dupolynmePseranot ZK(P) ouZ(P)lorsquaucune confusion nest craindre.Proposition 3.6.SoitP C[X] etz C. Alors1. P(z) = P(z).2. z ZC(P) z ZC(P).3. En particulier siP R[X] :z ZC(P) z ZC(P).La preuve ne se refre quaux dnitions.Proposition 3.7.SoitP K[X] et K. est racine de P ssi P est divisible parX .Preuve:P= (X )Q + R donc racine deP P() = 0 (Proposition 2.5.) P= (X )Q Pest divisible parX .Proposition3.8.SiP Kn[X] et si P sannule pour au moins n+1 valeurs distinctesdeK alors P est le polynme nul.3.1 Polynmes 253.1.9 Ordre de multiplicit des zrosDnition3.3. SoientP K[X], non constant eta Z(P). On appelle multiplicit(ou ordre de multiplicit) de a vis vis de P, le plus grand entier 1 tel que (Xa)divise P; on dit aussi que a est une racine dordre de P.On note parfois = mp(a) ou simplementm(a). Lorsque = 1 (resp. 2, 3) on dit que aest racine simple (resp. double, triple) de P.Autresformulations: SoitP K[X],a K et N, alors :a racine dordre deP _(X a), divise P;(X a)+1, ne divise pas P.Q K[X], P(X) = Q(X)(X a), Q(a) ,= 0.Remarquesetexemple: Si = mp(a) alors0 deg(P).SoitP= (X 1)2(X 2). Alors2 est racine simple et1 est racine double deP.Thorme 3.5.Soit P K[X], non nul, a K et N

, alors :aracine d

ordre de P ___P(a) = P

(a) = . . . = P(1)(a) = 0;P()(a) ,= 0.On utilise la formule de Taylor pour dmontrer ce thorme.Proposition3.9. SoitP R[X] etz C.Alorszet zontlemmeordre de multiplicit vis vis de P.3.1.10 Factorisation et dcompositionProposition 3.10. Si un polynme P K[X], est irrductible dans K[X]avecdeg(P) > 1, alors P nadmet aucun zro dansK.Eneet, si tel ntaitpaslecas, admettantunzroa, Pseraitdivisiblepar X a ; orX a ,= Pcardeg(P) ,= 1.La rciproque de cette proposition est fausse, comme le prouve le polynmeP= (X2+ 1)3qui nest pas irrductible dansR[X].Proposition3.11. SoitP K[X] etp N

, a1, . . . , apdeux deux distincts dansK;r1, . . . , rp N

. On suppose que pour toutk _1, 2, . . . , p_,(X ak)rkdivise P. Alors :p

k=1(X ak)rk= (X a1)r1 . . .(X ap)rpdiviseP.Cette proposition se dmontre par rcurrence partir du lemme suivant :Lemme3.2. SoientAetBdans K[X] et b K. OnsupposequeA(b) ,=0. Alorslenombre b a le mme ordre de multiplicit vis vis des polynmesBetAB.3.1 Polynmes 26Corollaire3.1.SoitP K[X] de degr 1, et admettant p racinesa1, . . . , apdansK(p 1) et soient r1, . . . , rp leur ordre de multiplicit respectif. Alors r1+. . . +rp deg(P).Dnition 3.4. SoitP K[X], non nul, on dit que P est scind surK(ouKscind)si la somme des ordres de multiplicit de ses zros dansK est gal son degr.Un polynme constant (non nul) est scind par vacuit de son ensemble de zros. On peutalors noncer :Proposition3.12. Soit P K[X],nonconstant.AlorsPestscindsur Kssiilexiste :a K

;p N

;a1, . . . , ap K;r1, . . . , rp N

tels que :P= ap

k=1(X ak)rk.Thorme3.6(dAlembert). Soit PC[X] tel que deg(P) 1.Alors P admet au moins un zro.Thorme 3.7 (dAlembert Gauss).1. Tout polynme non nul deC[X] est scind.2. Les polynmes irrductibles deC[X] sont les polynmes du1erdegr.Exemple:P(X) = Xn1(n N

).ZC(P) = |n= w0, w1, . . . , wn1 avec, pour tout k dans 1, . . . , n 1,wk= e2ik/n.OrP

= nXn1et k 1, . . . , n 1,P

(wk) ,= 0. Doncwk est racine simple de P.Ainsi P tant unitaire, on a :P=n1

k=0(X wk).Proposition 3.13.Les seuls polynmes irrductibles dansR[X] sont :Les polynmes constants ou de degr 1.Les polynmes de degr 2 sans racine relle.Proposition 3.14.(dcomposition de dAlembert Gauss dansR[X])Soit P un polynme de degr n deR[X], soit an son coecient dominant et 1, . . . , p sesracines relles. P peut alors se factoriser sous la forme :P = anp

k=1(X k)rk

q

j=1(X2+ jX + j)sj.avecp

k=1rk + 2q

j=1sj= deg(P) = n; (2j 4j< 0).3.1 Polynmes 27Remarque 3.1. Unefaondedterminer ladcompositiondePdans R[X] consisteeectuer la dcomposition de P dansC[X] et regrouper les racines conjugues deux deux.Proposition3.15. Toutpolynmecoecientsrelsdedegrimpairadmetaumoinsune racine relle.Quelques exemples de dcomposition ou de factorisation :1. X31 = (X 1)(X2+ X + 1) = (X 1)(X j)(X j) :j= e2i/3.2. X3+ 1 = (X + 1)(X2X + 1) = (X + 1)(X ei/3)(X ei/3).3. X41 = (X 1)(X + 1)(X2+ 1) = (X 1)(X + 1)(X i)(X + i).4. P= X4+ 1 peut tre factoris dansR[X] de deux manires :(a) ZC(P) = Z0, Z1, Z0, Z1 avecZk= exp_i4+ ki2_.AinsiP(X) = (X Z0)(X Z0)(X Z1)(X Z1)P(X) =_X22X cos_4_+ 1__X22X cos_34_+ 1_P(X) = (X22X2 + 1)(X2+ 2X2 + 1).(b) (Ferrari)P= X4+ 1 = (X2+ 1)22X2et on trouve !Dnition3.5. OnditquedeuxpolynmesnonnulsAetBdeK[X] sontpremiersentre eux dansK[X] sils nadmettent aucun diviseur commun autre que les lments deK

: autrement dit siD K[X] divise A et divise B, alorsdeg(D) = 0.Exemples:1. X(X + 1)2et(X 1)(X2+ 1) sont premiers entre eux.2. X(X + 1)2et(X + 1)(X2+ 1) ne sont pas premiers entre eux.3.1.11 RelationentrelescoecientsetlesracinesdunpolynmescindProposition 3.16.1. Soient a, b, c dansC, aveca ,= 0. Soientz1 etz2 les racines du polynme :aX2+ bX + c. Alors on a :z1 + z2= baetz1z2=ca.2. Soient a, b, c, d dansC, aveca ,=0. Soientz1, z2etz3les racines du polynme :aX3+ bX2+ cX + d.Alors on a :___z1 + z2 + z3= ba;z1z2 + z1z3 + z2z3=ca;z1z2z3= da.3.2 Fractions rationnelles 28Le rsultat bien connu de cette proposition 2.16. peut tre gnralis et pour cela nous allonsintroduire quelques notations : (z1, . . . , zn) Kn, posons :k=

1i1