Al7ma02tepa0213 Sequence 06

1Squence 6 MA02

Squence 6

Ensemble des nombres complexes

Cette squence est une brve introduction un nouvel ensemble de nombres, ensemble qui contient lensemble R des nombres rels et dans lequel les carrs peuvent tre ngatifs.

Sommaire

Prrequis Dfinition Forme algbrique Forme trigonomtrique Synthse

Cned - Acadmie en ligne

3Squence 6 MA02

quation du second degr dans Les nombres a, b et c sont des nombres rels avec a 0 et x est un nombre rel.

Tout trinme du second degr ax bx c2 + + avec a 0 peut scrire sous la forme

ax bx c a xba a

22

22 4+ + = +

o = b ac2 4 .

Rsolution dans R de lquation ax bx c2 0+ + = > 0 = 0 < 0

Deux solutions:

xb

a2et1 =

x

ba2 2

=

+

Une solution :

=b

a2

Pas de solution

Gomtrie Longueur de la diagonale dun carr, de lhypotnuse dun rectangle isocle.

A a

aa 2

B

C

Le plan est muni dun repre orthonorm O ; u v

, .( )t Lquation ax by c+ + = 0 avec a b; ;( ) ( )0 0 est une quation de droite. t La distance des points M0 x y0 0;( ) et M x y;( ) est gale

M M0 = ( ) + ( )x x y y0 2 0 2 .t Lquation x x y y R( ) + ( ) =0 2 0 2 2 est une quation du cercle de centre

x y0 0;( ) et de rayon R.

A

Thorme

Thorme

B

1 Prrequis


4 Squence 6 MA02

Montrer que lensemble E ayant pour quation x y x y2 2 4 2 0+ + = est un cercle dont on donnera le centre et le rayon.

On transforme lquation donne pour faire apparatre x x( )0 2 et y y( )0 2. On a les quivalences:

x y x y x x y y2 2 2 24 2 0 4 2 0+ + = ( )+ +( ) = +( )+ + +( ) =x x y y2 24 4 2 1 5 0 + +( ) (x y2 12 )) .2 5=

La dernire quation permet de reconnatre que lensemble E est le cercle de centre 2 1; ( ) et de rayon 5. Formules de trigonomtrie

Dans le plan muni dun repre orthonorm direct (O ; OI OJ),

, on considre un cercle C

orient de centre O et de rayon 1. Soit x un rel et M le point qui lui est associ.

On appelle cosinus de x et sinus de x les coor-donnes de M dans le repre (O ; OI OJ).

,

On a ainsi: M (cos x; sin x).

M

O

J

Icos x

sin x

x

+

Dfinition

Rel x 0

6

4

3U

cos x 1 32

22

12

0

sin x 012

22

32

1

Proprit

Pour tout rel x et tout entier relatif k, on a:

t 1 1cosx et 1 1sinx ;

t cos sin2 2 1x x+ = ;

tcos cos

sin sin

( )

( )

x k xx k x

+ =

+ =

2

2

.

Exemple A

Solution

savoir


5Squence 6 MA02

Proprits

cosinus et sinus des rels associs un rel x

cos( ) cos

sin( ) sin

=

=

x xx x

cos( ) cos

sin( ) sin

+ =

+ =

x xx x

cos( ) cos

sin( ) sin

=

=

x xx x

cos sin

sin cos

2

2

=

=

x x

x x

cos sin

sin cos

2

2

+ =

+ =

x x

x x

Proprits

Formules daddition

Pour tous rels a et b, on a:

cos cos cos sin sin ,

cos cos cos si

a b a b a b

a b a b

+( ) = ( ) = + nn sin ,

sin sin cos cos sin

sin sin

a b

a b a b a b

a b

+( ) = +( ) =

,

aa b a bcos cos sin .

cos cos sin2 2 2a a a= cos cos2 2 12a a=

cos sin2 1 2 2a a= sin sin cos2 2a a a=

Fonction exponentielleC

Thorme

Relation fonctionnelle caractristique

La fonction exponentielle est la seule fonction f non nulle et drivable sur R telle que =f ( )0 1 et, pour tous rels a et b, f a b f a f b( ) ( ) ( ).+ =


6 Squence 6 MA02

2 Dfinition Forme algbriqueObjectifs du chapitreLexistence dun ensemble de nombres dans lequel des carrs peuvent tre nga-tifs est nonce dans un thorme, admis en terminale.

On exprimente alors les calculs possibles.

On en donne une premire interprtation gomtrique.

On rsout toutes les quations du second degr.

Par ncessit, la notion de nombre sest enrichie au cours des sicles.

On connat ensemble des entiers naturels {0 ; 1 ; 2 ; }N = . Lensemble Zdes entiers relatifs contient N ainsi que les opposs des entiers

naturels: { ; 3 ; 2 ; 1; 0 ;1; 2 ; } Z = Les nombres fractionnaires, ncessaires pour les partages, sont de la forme

ab

avec a et b entiers ; ils constituent lensemble des nombres rationnels.

En prenant b = 1, on voit que Z est un sous-ensemble de . Lensemble R des rels est constitu de lensemble des nombres ration-

nels et aussi de lensemble des nombres irrationnels (quon ne peut pas crire sous la forme a

b avec a et b entiers) ; nous en connaissons des exemples :

, ,2 3

Pour rsoudre des quations (du troisime degr en particulier), les mathma-ticiens du XVIe sicle commencrent entrevoir lexistence dautres nombres quils appellent nombres imaginaires. Cest le cas en particulier de Jrme Car-dan, mathmaticien italien, qui obtenait des rsultats intressants en prenant la racine carre dun nombre ngatif.

Au milieu du XVIIIe sicle, le mathmaticien suisse Leonhard Euler dsigne par i le nombre imaginaire 1 ; ainsi i2 = 1 et tous les imaginaires invents seront de la fonne a + ib avec a et b rels.

Tous ces nombres constituent lensemble des nombres complexes, exemple que lon va noter . Ces ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres. Ils ont des pro-prits diffrentes, en particulier dans la rsolution des quations.

Lquation 7 4+ =x na pas de solution dans N, mais sa solution (3) est dans Z. Lquation 3 2x = na pas de solution dans Z , mais sa solution 2

3 est dans .

A

Remarque


7Squence 6 MA02

Lquation x 2 2= na pas de solution dans , ses solutions ( )2 et 2 sont irrationnelles.

Lquation x 2 1= na pas de solution dans R, mais aura 2 solutions i et (i) dans le nouvel ensemble que lon va tudier maintenant.

23

(i)

(3)

( 2) 2

i

b_

a^

`

Pour dbuter

La rsolution des quations du second degr tait connue des Babyloniens vers 1700 ans avant J.-C.

Ltude de la rsolution des quations du troisime degr aboutit en 1545 avec la publication, dans lArs Magna de Jrme Cardan, de la formule dcouverte par Scipione dal Ferro.

Une quation de la forme x px q3 = + a pour solution le nombre x donn par

xq q p q q p

= +

+

227 4

108 227 4

108

2 33

2 33 .

Dans cette formule, le symbole 3 dsigne la racine cubique dun nombre : atant un nombre rel, a3 dsigne le seul nombre rel dont le cube est gal a. Lexistence et lunicit du nombre a3 sont prouves laide du thorme des valeurs intermdiaires. Sur une calculatrice, la racine cubique du nombre a

sobtient en levant a la puissance 13

.

Dmontrer que toute quation de la forme x px q3 = + possde au moins une solution dans .

En utilisant la formule publie par Cardan, trouver une valeur de x solution de lquation x x3 2 4= + .

Mais si on essaie de faire de mme avec lquation x x3 15 4= + , on ne peut pas conclure car 27 42 3q p est strictement ngatif et on ne peut pas en prendre la racine carre. Mais on sait quil y a au moins une solution daprs .

B Activit 1


8 Squence 6 MA02

Des algbristes italiens du XVIe sicle, Bombelli en particulier, eurent laudace de continuer quand mme les calculs en utilisant un nombre dont le carr est gal 1. Ce nombre sera plus tard not i par L. Euler en 1777.

En utilisant lgalit i2 1= , montrer que, dans le cas de lquation x x3 15 4= + , on a

q q p2

27 4108

2 112 3

+

= + i et q q p2

12

27 4108

2 112 3

= i.

En utilisant lidentit remarquable ( ) ,x y x x y xy y+ = + + +3 3 2 2 33 3 vrifier que ( )2 2 113+ = +i i et ( )2 2 113 = i i.

En dduire une solution x0 de lquation x x3 15 4= + .

Terminer la rsolution de lquation x x3 15 4= + en montrant quelle est quivalente une quation de la forme ( )( ) .x x x ax b + + =0

2 0

Cours1. Dfinition

Dans , il est impossible de trouver des nombres dont le carr est ngatif. Dans , cela devient possible On a prolong les oprations (addition et multiplication) avec leurs proprits, mais on a perdu une autre des proprits de : lordre. Dans , deux nombres quel-conques x et y peuvent toujours tre compars: on a x y ou x y> . Une des consquences de lordre dans est la rgle des signes, en particulier on sait quun carr, qui est le produit de deux nombres de mme signe, est un nombre positif.

Lordre de ne peut donc pas tre prolong dans puisque, dans , il existe des carrs ngatifs. Ainsi, le nombre i ne peut pas tre compar 0, le nombre i nest pas positif et i nest pas ngatif.

Le symbole dsigne, dans , le nombre positif dont le carr est gal au nombre positif qui est sous le radical. Comme il ny a pas dordre dans , le mot positif na pas de sens pour un nombre non rel et on ne peut pas gnraliser lutilisation de ce symbole qui reste donc rserv aux rels positifs.

C

Thorme 1

(Admis) Il existe un ensemble, lensemble des nombres complexes, not , tel que:t contient lensemble des nombres rels;t est muni dune addition, dune multiplication (et donc dune soustrac-

tion et dune division) qui possdent les mmes rgles de calcul que dans lensemble des nombres rels;

t il existe, dans , un nombre i tel que i2 1= ;t tout nombre complexe z scrit de faon unique sous la forme z a b= + i ,

o a et b sont des nombres rels.

Remarque


9Squence 6 MA02

t Lcriture a b+ i , a et b tant rels, sappelle la forme algbrique du nombre complexe z tel que z a b= + i .

t Le nombre rel a sappelle partie relle du nombre complexe z et on crit a z= Re( ).

t Le nombre rel b sappelle partie imaginaire du nombre complexe z et on crit b z= Im( ).

t Quand a est nul, le nombre complexe z scrit z b= i et on dit que z est un imaginaire pur (aprs leur invention, les nombres complexes taient appels nombres imaginaires).

Dfinitions 1

t La partie relle et la partie imaginaire dun nombre complexe z, Re( )z et Im( ),z sont des nombres rels.

t Le nombre rel 0 est un imaginaire pur (0 = 0 i)!

Proprit 1

t Nombre complexe nul: a b a b+ = = =i et0 0 0.

t galit: a b a b a a b b+ = + = = i i et (o a, b, a et b sont rels).

t Caractrisation dun nombre rel: z z = Im( ) .0t Caractrisation dun imaginaire pur: z zest imaginaire pur Re =( ) .0

Dmonstration

Ces quatre proprits sont dduites de lunicit de lcriture sous forme alg-brique z a b= + i , unicit qui est nonce dans le thorme 1.

2. Oprations

On applique les mmes rgles que dans . On a donc les mmes identits remarquables.

Voici quelques exemples de calcul.

t (2 + 3i) + (5 4i) = 2 + 5 + 3i 4i = 7 i.

t (2 + 3i)(1 i) = 2 + 3i 2i 3i2 = 2 + i + 3 = 5 + i, car i2 = 1.

t (2 + 3i)2 = 22 + 2 w 2 3i + (3i)2 = 4 + 12i + 9i2 = 4 + 12i 9 = 5 + 12i.Ici, on a utilis une identit remarquable qui se calcule comme dans ; on a aussi utilis le fait que i2 = 1.

Remarque

Exemples


10 Squence 6 MA02

t (1 + 3i)(1 3i) = 12 (3i)2 = 1 9i2 = 1 + 9 = 10.

Ici, cest lidentit remarquable (x + y)(x y) = x2 y2 qui a t utilise en prenant x = 1 et y = 3i.

On peut remarquer que le produit de ces deux nombres complexes non rels est un nombre rel.

Proprit 2

Pour tous nombres complexes z a b= + i et = + z a bi , a, b, a et b tant des nombres rels, on a:

z z a a b b+ = + + + ( ) ( )i ;

zz aa bb ab a b = + + ( ) ( )i ;

kz ka kb= + i pour tout rel k;1

2 2 2 2 2 2a ba b

a b

a

a b

b

a b+=

+=

+

+ii

i si z 0.

Dmonstration

On applique les mmes rgles de calcul que dans .Pour le produit, on a

zz a b a b

aa ba ab bb

= + +

= + + +

( )( )i i

i i i2

i car i2= + + = ( ) ( ) .aa bb ab a b 1

Pour linverse, on utilise une identit remarquable (comme on la fait avec des radicaux) en multipliant le numrateur et le dnominateur par a b i :

1 12 2 2 2z a b

a ba b a b

a b

a b

a

a b=

+=

+ =

( ) = + ii

i ii

i( )( )

bb

a b2 2+.

t Tout nombre complexe non nul admet un inverse.

t Pour tous nombres complexes z et z , on a: zz z = =0 0 ou =z 0.

Dmonstration

On a trouv un inverse pour chaque nombre complexe non nul donc si zz = 0 et z 0, en multipliant par linverse de z (cest--dire en divisant par z), on obtient =z 0. Donc si zz = 0 alors on a z = 0 ou =z 0.

On vrifie facilement la rciproque en utilisant par exemple a b= = 0.

Dterminer la forme algbrique de linverse du nombre 2 3+ i et du quotient 31 2

+

ii.

On a: 12 3

2 3

3

213

3132+

=

+=

ii

2i2 ;

Consquence

Exemple 1

Solution


11Squence 6 MA02

31 2

3 1 22

3 2 3 2 1+

=

+ +

=

+ + +ii

i i)(1 i)(1+2i)

i i2( )( ( ) ( )).

1 2

1 75

15

752 2+

=

+= +

ii

Quelques proprits du nombre i:

i = 1; i = i i = i ; i = (i ) = 1; i = i ;1i

=i

i=

i1

= i2 3 2 4 2 2 5 2 ..

Pour n , i4n = (i4)n = 1n = 1 i4n + 1 = i4n i = 1 i = i

i4n + 2 = i4n i2 = 1 (1) = 1

i4n + 3 = i4n i3 = 1 (i) = i

Mettre sous forme algbrique les nombres complexes suivants:

( ) ; ; ; ;11

7 42 31 4

11

11

39

+

+

+

+ i i

ii

ii

ii

35.

t (1 i) 1 3i 3i i 1 3i 3 i 2 2i

t 17 4i

7 4i(7 4i)(7 4i)

7 4i

7 4

765

465

i

t 2 3i1 4i

(2 3i)(1 4i)(1 4i)(1 4i)

2 3i 8i 12

1 4

1017

1117

i

t 1 i1 i

(1 i)(1 i)(1 i)(1 i)

1 2i 1

1 1(i) i

3 3 2 3

2 2

2 2

9 9

2 2

99

+ = + + + = + = +

=+

+=

+

+= +

+=

+ =

+=

+

=

+ +

+

=

+

+

= =

Penser simplifier dabord la parenthse et ne faire agir quensuite lexposant.

t 1 i1 i

(1 i)(1 i)(1 i)

1 2i 1

1 1( i) ( 1) (i) i

i (i ) i 1 i i ( i) i

35 2

2 2

3535 35 35 35

4 8 3 4 8 3 8 3 3

+

=

+

=

+

= = =

= = = = = = +

3. Reprsentation gomtrique

Les nombres complexes ont longtemps t accepts difficilement.

Peu peu, des mathmaticiens en ont donn une interprtation gomtrique: Wessel en 1797 dans un texte en danois qui fut peu diffus, Argand en 1806, Gauss en 1831. Leur existence na ensuite plus pos de difficults.

Remarque

Exemple 2

Solution

Remarque


12 Squence 6 MA02

Soit O ; u v

,( ) un repre orthonorm direct du plan. t tout nombre complexe z a b= + i (avec a et b rels), on associe le

point M de coordonnes a b;( ) dans ce repre.On dit que M est le point image de z et que OM

est le vecteur image de z.

t Inversement, au point M a b;( ) du plan, on associe le nombre complexe z a b= + i .

On dit que z est laffixe du point M et aussi du vecteur OM

.

O a

b

v

z = a + ib

M(z)

u

Notation

Le point M ayant pour affixe z peut tre not M( ).z

Dfinition 2

Pour viter toute confusion, les vecteurs du repre ne sappellent pas i

et j.

Le plan tant muni dun repre orthonorm direct O ; u v

, ,( ) placer les points A, B, C, D et E daffixes respectives:

zA = +2 3 i ; zB i= 3 ; zC i= 3 ; zD = 5 et zE i.= +2 2

Lire les affixes zF , zG, zH, zK , zL et zw .

O 0,5

v

u

w

H

F

G

K

L

Remarque

Exemple 3


13Squence 6 MA02

Reprsenter dans le plan:

a) lensemble 1 des points M daffixe z telles que Re( )z = 1;

b) lensemble 2 des points M daffixe z telles que Im( ) .z = 3

On place les points daprs leurs coordonnes: A ( )2 3; , B 3 1; ,( ) C 0 3; ,( ) D 5 0;( ) et E 2 2; .( )

En lisant les coordonnes, on obtient les affixes:

z 1,F = zG i,= 3 zH i= +3 , zK i= 12

32

, zL i= +12

32

et zw

= 3 2i

(On a remarqu que les points K et L sont sur le cercle trigonomtrique.)

O 0,5

v

u

w

H

B

2

E

A

DF

1

2

G

K

L

C

a) Le point M daffixe z a b= + i (avec a et b rels) est un point de 1 si et seulement si a = 1, lensemble 1 est donc la droite dquation x = 1.

b) De mme lensemble 2 des points M daffixe z telles que Im( )z = 3 est la droite dquation y = 3.

Nombres complexes Vecteurs

Somme Soit z a b= + i et = + z a bi ,

alors z z a a b b+ = + + + ( ) ( )i

Soit v a b

;( ) et ( )v a b ; , alors

v v a a b b

+ + +( ); 'Produit par un rel k

En particulier k = 1

k z k a b ka i kb( i ) ( )= + = +

= z a bi

k v ka kb. ;( )

( )v a b ;On observe une grande correspondance entre ces oprations pour les nombres complexes et pour les vecteurs.

Solution

Remarque


14 Squence 6 MA02

Pour laddition et la multiplication par un nombre rel, manipuler les deux coor-donnes dun vecteur revient manipuler un seul nombre complexe.

On obtient ainsi les proprits suivantes.

Dans le plan muni du repre orthonorm O ; u v

, ,( ) on considre le point M de coordonnes a b;( ) et le point M de coordonnes ( )a b; et on pose V au bv

= = +OM , = = + V a u b v

OM et w

= MM .

On note z z a bV

= = +M i et z z a bV = = +

M i.

Oua a

M

M

2

b

b

a + a a + a

V + V

v

w

2b + b

b + b

tI

Proprit 3

t V V+ a pour affixe z zV V+

, ou encore z z .M M+

t

V V a pour affixe z zV V ou encore z Z .M M

t =

z z zMM M M (affixe de lextrmit diminue de laffixe de lorigine).

car

V VMM MO OM OM OM . = + = =

t Pour k rel quelconque i

k V a pour affixe k z .V

t Laffixe du milieu I dun segment est la demi-somme des affixes des extr-mits.

t (z) est laffixe du symtrique de M(z) dans la symtrie centrale de centre O.

Les coordonnes du point image de z tant formes par la partie relle et la par-tie imaginaire de z, on obtient les caractrisations suivantes.

Proprit 4

t Caractrisation dun nombre rel: z z M Ox).( ) (t Caractrisation dun imaginaire pur: z zest imaginaire pur M Oy) ( ) (


15Squence 6 MA02

Laxe des abscisses est aussi appel laxe des rels et laxe des ordonnes, laxe des imaginaires purs.

Ou

v

axe des imaginaires purs

axe des rels

4. Nombre conjugu dun nombre complexe

Le conjugu dun nombre complexe z a b= + i (a et b rels) est le nombre complexe not z dfini par:

z a b= i . (z se litz barre).

Dfinition 3

On a dj utilis ce nombre dans les calculs faits pour trouver la forme algbrique dun inverse ou dun quotient.

t Si z = +2 3 i, on a z = 2 3 i ;

t si z = 4 5 i, on a z = +4 5 i ;

t si z = i, on a z = i;

t si z = 7, on a z = 7.

On observe que z et z ont la mme partie relle et que leurs parties imaginaires sont opposes.

Ou

M(z)

M(z)

v

Gomtriquement, les points images dun nombre complexe et de son conjugu sont donc symtriques par rapport laxe des abscisses.

Vocabulaire

Remarque

Exemple

Remarque


16 Squence 6 MA02

Proprit 5

Pour tous nombres complexes z et z :

a) z z= ;

b) pour tout rel , = et, pour tout imaginaire pur ib, i ib b= ;c) zz a b= +2 2, et donc zz est rel;

d) z z a z+ = =2 2Re( ), Re( )zz z

=

+

2 et z z b z = =2 2i i Im( ),

Imi

( )zz z

=

2;

e) z z z z+ = + ;

f) zz z z = ; cas particuliers: pour tout rel, z z= et donc = z z ;

g) pour tout z 0,1 1z z

= et =

zz

zz

;

h) pour tout entier n dans , z zn n( ) = ( ) .Dmonstration

Les galits de a) f) incluses se dmontrent directement partir de la dfinition 3. En particulier la relation c):

zz a b a b a b= + = =( )( ) ( )i i i2 2 a b a b = +( ) .i2 2 2 2 2

g) On peut utiliser le conjugu dun produit car zz

=1

1. Ainsi zz

= =

11 1,

do zz

=

11 et donc

1 1z z

= . En crivant que le quotient z

z est gal

au produit zz1

, on obtient = = =

zz

zz

zz

zz

1 1.

h) Montrons dabord par rcurrence que, pour tout entier naturel non nul n,

z znn( ) = ( ) .

Pour n = 1, lgalit est vraie puisquil sagit du mme nombre: z.

On suppose que la proposition est vraie pour un entier k strictement positif,

z zkk( ) = ( ) . Pour lentier suivant, on a

z z z z zk k k+( ) = ( ) = ( ) =1 z z zk k +( ) = ( ) 1en appliquant dabord la proprit f) sur le conjugu du produit de deux nombres complexes, puis en utilisant lhypothse de rcurrence. Lgalit est donc vraie au rang n k= +1. La proposition est donc hrditaire.

Initialisation:

Hrdit:


17Squence 6 MA02

Pour tout n dans , z zn n( ) = ( ) .On utilise les exposants ngatifs comme dans et, en utilisant la pro-prit sur les inverses des nombres complexes non nuls, on obtient

zz z z

zn n n nn

( ) = = ( ) = ( ) = ( )1 1 1 pour tout entier naturel n non nul.

On pose enfin z0 1= et on peut conclure: pour tout entier n dans , z znn( ) = ( ) .

On peut prfrer retenir certaines de ces proprits par des phrases:

a) le conjugu du conjugu dun nombre complexe z est gal z;

e) le conjugu dune somme est gal la somme des conjugus;

f) le conjugu dun produit est gal au produit des conjugus;

g) le conjugu dun inverse est gal linverse de son conjugu; le conjugu du quotient de deux nombres complexes est gal au quotient des conjugus.

Les galits d) de la proprit 5 donnent une nouvelle caractrisation des rels et des imaginaires purs.

Proprit 6

t Caractrisation dun nombre rel: z z z = .t Caractrisation dun imaginaire pur: z z zest imaginaire pur = .

Sans chercher la forme algbrique, donner directement les conjugus de z et de

z avec z = +( )4 5 i)(3 i et =

+z

4 5 i3 i

.

t z = + = + = + ( ) ( ) ( )4 5 4 5 4 5i)(3 i i)(3 i i)(3 i (on a utilis la proprit f)).

t =

+

=

+=

+

z4 5 4 5

34 5i

3 ii

ii

3 i (on a utilis la proprit g)).

Dterminer les nombres complexes z tels que zz z z+ ( ) = +3 13 18 i.On pose z a b= + i (a et b rels). Nous avons vu que zz a b= +2 2 et z z b = 2i .

Lquation de dpart est donc quivalente :

a b2 2 3 2 13 18+ + = +ib i.Or deux complexes sont gaux si et seulement si leurs parties relles et leurs parties imaginaires sont respectivement gales do:

a bb

a bb

ab

136 18

133

43

2 2 2 2 2+ ==

+ ==

==

do deux solutions: z = 2 + 3i ou z = 2 + 3i.

Conclusion:

Remarque

Exemple 4

Solution

Exemple 5

Solution


18 Squence 6 MA02

3. quation du second degr dans , coefficients rels

On a: = =( ) = ( )5 5 5 52 2i i i2 ;

= = = 9 9 3 3i i) i)2 2 2( ( .

Ces exemples montrent comment, dans , lgalit fondamentale i2 = 1 qui dit que 1 est un carr dans entrane que tout nombre rel ngatif est aussi le carr dun (et mme deux) nombre complexe.

Proprit 7

Dans , tout nombre rel strictement ngatif est le carr de deux nombres imaginaires purs et conjugus: i et de i .

Dmonstration

Si 0 < alors 0 > et ( ) i ( ) i i .2 2 2( ) ( ) = = = = Dans ce qui suit, les nombres a, b et c sont des nombres rels avec a 0, zdsigne un nombre complexe.

Par des calculs analogues ceux faits dans le cours de Premire, on obtient que tout trinme du second degr az bz c2 + + , avec a 0, peut scrire sous la

forme az bz c a zba a

22

22 4+ + = +

o = b ac2 4 .

Pour rsoudre lquation az bz c2 0+ + = , on crit que la grande parenthse contient la diffrence de deux carrs. Dans le cas o le nombre rel est stricte-ment ngatif, on peut lcrire maintenant sous la forme dun carr = ( )i 2 .On peut donc complter les rsultats dj connus par:

t Si < 0, alors = ( )i 2 et on a:az bz c a z

ba a

a zb

22 2

22 4+ + =

( )

=

i

22 2

2

2 2

a a

a zba

=

i

i

2 2 2

2 2

az

ba a

a zba a

+

= +

i

i

z

ba a2 2

i

Exemple


19Squence 6 MA02

Alors: az bz c a zb

az

ba

22 2

+ + == +

i i .

On en dduit:

az bz c zb

az

ba

2 02

02

+ + = +

=

iou

i =

= +

=

0

2i

ouzb

az

bai

2.

Proprit 8

Rsolution dune quation du second degr dans , les coefficients tant rels.

Soit, dans , lquation (E) : az bz c2 0+ + = , les nombres a, b et c tant des nombres rels avec a 0.

On pose = b ac2 4 et on appelle S lensemble des solutions de (E).

t Si > 0, S ba

ba

=

+

2 2

; .

t Si = 0, S ba

=

2 .

t Si < 0, S ba

ba

=

+

i;

i 2 2

.

t Dans le cas o < 0, les deux solutions sont des nombres complexes conju-gus.

t Dans le cas o < 0, en appelant les solutions z1 et z2, on obtient az bz c a z z z z2 1 2+ + = ( ) ( ). On a vu dans le cours de Premire que si > 0 ou si = 0 on peut factoriser un polynme du second degr. On en dduit ici que, dans , un polynme du second degr se factorise toujours.

Rsoudre, dans , lquation z z2 1 0+ + = .

On a: = = = ( )1 4 1 1 3 32 2i et donc S = +

1 32

1 32

i;

i.

On a obtenu que tout polynme du second degr coefficients rels admet au moins une racine dans . On dit aussi que tout polynme du second degr coefficients rels admet deux racines dans , distinctes ou confondues (en comptant deux racines confondues dans le cas = 0).

Plus gnralement, on dmontre beaucoup plus loin dans la thorie des nombres complexes le thorme de DAlembert-Gauss : Tout polynme de degr n coefficients complexes admet n racines dans , distinctes ou confondues.

Remarque

Exemple 6

Solution

Complment


20 Squence 6 MA02

Exercices dapprentissage

Dterminer la forme algbrique des nombres complexes suivants :

a) z = (1 + i)( 1 2i)b) z = (2 3i)(3i)c) z = (2i + 1)(1 + i)2(3i 4)d) z = (5 + 4i)(3 + 7i)(2 3i)

e) z1 i2i

=

f) z3 4i7 5i

=

+

g) z(3 2i)(5 i)

5 i=

+

Rsoudre dans les quations suivantes:a) i z(3 )

1 i1 i

=

+

b) 4 8 3 02z zz+ = ; montrer que les images des quatre nombres solutions for-ment un losange.

c) zz

=

4; quel est lensemble des points images des solutions?

d) z z2i 02 = ; pour cette question, soit O, A, B, C les images dans le plan com-plexe, muni du repre orthonormal

u vO ; ,( ) , des solutions obtenues. Montrer

que le triangle ABC est quilatral.

Le plan est muni dun repre orthonorm direct O ; u v

, .( )On pose Z z z( 2)( i).= + Soit les critures algbriquesz = x + iy; x, y relsZ = X + iY; X, Y rels

a) Exprimer X et Y en fonction de x et y.Trouver alors les ensembles suivants :

E1: ensemble des points M(z) tels que Z est rel.E2: ensemble des points M(z) tels que Z est imaginaire pur.

b) Traduire laide de Z que Z est reI, puis que Z est imaginaire pur.

Retrouver alors les ensembles E1 et E2.

Rsoudre dans lquation (E): z z2 2 5 0 + = . Dans un repre orthonorm direct O ; u v

, ,( ) on appelle A et B les images

des solutions de (E), lordonne de A tant positive. Dterminer laffixe c du pointC tel que le quadrilatre OCAB soit un paralllogramme.

Rsoudre dans lquation z z4 27 12 0+ + = .

D

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5


21Squence 6 MA02

3 Forme trigonomtrique Objectifs du chapitre Dans ce chapitre, on aborde un autre point de vue sur les nombres complexes.

Linterprtation gomtrique fait maintenant intervenir les longueurs et les angles.

On montre alors une proprit fondamentale de la multiplication de deux nombres complexes dont on tudie quelques consquences.

Pour dbuter

Soit O ; u v

,( ) un repre orthonorm direct du plan. Un point M du plan est alors caractris par le couple de ses coordonnes a b;( ) telles que OM

= +au bv.

On dit que a b;( ) est le couple des coordonnes cartsiennes de M.Le fait que le repre est orthonorm direct permet de mesurer les angles orients car le repre indique le sens positif utilis pour mesurer les angles. Si le point M est diffrent de lorigine O, on peut alors reprer le point M par la longueur OM et une mesure de langle orient u

, .OM( )

En effet, un point donn M dfinit un seul couple OM, ( ), tant dfini 2 prs.

O

M

ua

b

w

v

e

+

Et, inversement, la donne dun couple r ,( ) o r est un nombre rel strictement

A

B Activit 2


22 Squence 6 MA02

positif dtermine un seul point M: M se trouve sur le cercle de centre O et de rayon r et sur la demi-droite dorigine O dirige par un vecteur w

non nul tel que

u w

,( ) mesure . Le point M est dtermin de faon unique car la demi-droite et le cercle nont quun seul point commun. Le couple r ,( ) est le couple de coordonnes polaires de M, tant dfini 2 prs.

O A

C

G

B

DF E

u

v

Donner les coordonnes polaires des points A, B, C, D, E, F et G (le point D est le milieu du segment OB[ ]).

Placer les points suivants, donns par leurs coordonnes polaires, et donner la forme algbrique de leurs affixes:

H 3 , ,( ) K 1,

34

,

L 2 , 6 .

Donner les coordonnes polaires des points suivants, don-ns par leurs affixes:

zM i= 1 , zN i= 12

32

, zP = 2.

Cours

1. Module dun nombre complexe

a) Dfinition

On appelle module dun nombre complexe = +z a bi (a et b rels) le

nombre rel positif, not z , dfini par: z a b= +2 2 .

Dfinition 4

| |

| | | |

| | ( )

2 3 2 3 13

1 1 0 1 0 1

3 3 0

2 2

2 2

2 2

= + =

= + = + =

= + =

i

i

33

1| |i =

Proprit 9

Le module dun nombre rel est gal sa valeur absolue.

C

Exemple


23Squence 6 MA02

Dmonstration

Si z a= (a rel), la dfinition du module donne a2 qui est aussi la valeur absolue de a.

Cela justifie lemploi de la mme notation.

Proprit 10

Interprtation gomtrique du module

Soit un nombre complexe z a b= + i (a et b rels) et M son image dans un

repre orthonorm direct O ; u v

, ,( ) alors z = OM.

O a

b

v

z = a + ib

z = a2 + b2

M(z)

u

Dmonstration

On sait que z a b= +2 2 et que OM = +a b2 2 .

Consquence

On a: z z= = =0 0M O .

Proprit 11

Pour tout nombre complexe z: z z z z= = = .

O

v

u a

M(z)

a 1 1

b

b

i

i

z

z

z


24 Squence 6 MA02

Dmonstration

Soit z a b= + i (a et b rels), on a

a b a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2+ = + = + = +( ) ( ) ( ) ( ) .

b) Module et produit

Proprit 12

Pour tout nombre complexe z, on a zz z= 2.

Dmonstration

Soit z a b= + i (a et b rels), on a montr dans la proprit 5 du chapitre 2 que

zz a b= +2 2 donc zz z= 2.

Cette galit fait un lien entre z, son conjugu et son module, elle doit tre bien connue. Elle va servir immdiatement dmontrer les galits qui suivent.

Proprit 13

Pour tous nombres complexes z et z , on a:

a) zz z z = ; z zn n= pour tout entier naturel n;

b) pour z 0, 1 1z z

= ;

c) pour z 0, =z

zzz

;

d) z z z z+ + .

Dmonstration

a) Comme les modules sont des nombres rels positifs, il suffit de prouver lgalit des carrs de ces quantits. En utilisant la proprit prcdente, on obtient:

zz zz zz zz zz zz z z z z = ( ) ( ) = = ( ) ( ) = 2 2 2.La proprit sur les puissances se dmontre par rcurrence.

b) De mme: 1 1 1 1 1 12

2z z z z z z=

= = .c) En utilisant a) et b), on a: = = =

zz

zz

zz

zz

1 1.


25Squence 6 MA02

d) Lingalit z z z z+ + est parfois appele ingalit triangulaire car on peut linterprter gomtriquement. Dans un repre orthonorm direct

O ; u v

, ,( ) soit M limage de z, M limage de z et M limage de z z+ .

O

v

u

M

M

M

z

z+zz

On sait que, dans le triangle OMM , on a OM OM MM + soit OM OM OM , + cest--dire z z z z+ + .

On peut prfrer retenir les cas a), b) et c) par des phrases:

t le module dun produit est gal au produit des modules;

t le module de linverse dun nombre complexe non nul est gal linverse de son module;

t le module dun quotient est gal au quotient des modules.

Consquence

La proprit 13 montre que les calculs de modules sont aiss lorsque appa-raissent des produits ou des quotients. Par contre, les modules de sommes ne sont pas faciles manipuler.

Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants:

1; i; 1; i; 3; 2i; 1 + i; 3 + 2i;

( )( ) ;1 3 213 2

+ ++

+i i

ii.

3 + 2i

3 2

i

1 O

i

2i

1 + i

1

Remarque

Exemple 7


26 Squence 6 MA02

t 1 =1 + 0i donc = + =| 1| 1 0 12 2

t i = 0 + 1i donc = + =| i | 0 1 12 2

t |1| = |1| = 1

t |i| = |i| = 1

t |3| = 3

t |2i| = |2| |i| = 2 1 = 2.

t + = + =| 1 i | 1 1 22 2

t = + =| 3 2i | ( 3) 2 132 2

t | ( )( ) | | | | |1 3 2 1 3 2 2 13 26+ + = + + = =i i i i

t+

+=

+

+= =

1 i3 2i

| 1 i || 3 2i |

2

13

213

c) Module et gomtrie

Proprit 14


, .( )Soit M le point daffixe z et M0 le point daffixe z0.

On a alors z z =0 M M.0

Dmonstration

En appelant x y;( ) les coordonnes de M et x y0 0;( ) celles de M0 , on obtient: z z x y x y

x x y y

= +( ) +( )= ( )+ ( )

0 0 0

0 0

i i

i

= ( ) + ( )x x y y0 2 0 2Et on reconnat lexpression de la longueur M M.0


, .( )a) Dterminer lensemble E1( ) des points M daffixe z tels que z + + =3 2 2i .b) Dterminer lensemble E2( ) des points M daffixe z tels que z z = i 1.a) Soit A le point daffixe ( 3 2i) donc de coordonnes ( )3 2; . M E i)

AM=21( ) =

z ( 3 2 2

M est sur le cercle de centre A et de ray oon 2.

Lensemble E1( ) est donc le cercle de centre A et de rayon 2.

Solution

Exemple 8

Solution


27Squence 6 MA02

Autre mthodeCette question peut aussi tre tudie par une mthode analytique, cest--dire avec les coordonnes.

On pose z x y= + i (x et y rels).

M E i i

i1( ) + + + =

+ + + =

x y

x y

3 2 2

3 2 2( ) ( )

i + + + =

+

( ) ( )

(

x y

x

3 2 22 2

33 2 42 2) ( ) .+ + =y

La dernire quation permet de reconnatre que lensemble E1( ) est le cercle de centre A et de rayon 2.

b) Soit A(i) et B(1).

M E i

AM BM2( ) =

=

z z 1

MM est sur la mdiatrice du segment [AB]

O

iA

B

1

Lensemble E2( ) est donc la mdiatrice de [AB].Autre mthode

On pose z x y= + i (x et y rels).

M E i i i

i2( ) + = +

+ =

x y x y

x y x

1

1 1( ) ( ))

( ) ( )

+

+ = +

i

i i

y

x y x y1 12 2

2 + = +

=

x y x yy x

( ) ( )

.

1 12 2 2

Lensemble E2( ) est donc la droite dquation y x= , on retrouve ainsi la mdia-trice de [AB].


28 Squence 6 MA02

2. Argument dun nombre complexe non nul

Dans tout ce qui suit, le plan est muni dun repre orthonorm direct O ; u v

, .( ) On peut donc mesurer les angles orients de vecteurs.

Soit z un nombre complexe non nul et M son image. On appelle argument de z, et on note arg ,z nimporte quelle mesure, exprime en radians, de langle u

,OM( ) : arg , .z u k= ( )+ OM 2

Si V

est le vecteur image de z, on a aussi arg , .z u k= ( )+ V 2

O

arg z

M

u

Vv

Dfinition 5

Le nombre 0 na pas dargument.

O

M (1 + i)

+N (1 + i) J (i)

l (1)

4

Q (1 i)L ( i)

K ( 1)

p (1i)

u

v/

= = = = u u uarg1 ( , ) 0; arg( 1) ( , OK)

= =

u vargi ( , )

2 ;

= =

uarg( i) ( , OL)

32

ou2

+ = =

uarg(1 i) ( , OM)

4;

= =

uarg(1 i) ( , OQ)

74

ou4

+ = =

uarg( 1 i) ( , ON)

34

= =

uarg( 1 i) ( , OP)

54

ou34

Remarque

Exemples


29Squence 6 MA02

Plusieurs arguments pour un nombre complexe non nul

On vient de le remarquer sur les quelques exemples prcdents, un

mme nombre complexe admet plusieurs arguments arg(1 i)74

= ou

arg(1 i)4

; = plus gnralement karg(1 i)74

2 = + o k est dans ;

puisque k est quelconque dans lensemble des entiers relatifs, le nombre complexe 1 i admet une infinit darguments.

On peut crire arg(1 i)74

(modulo 2) = ou arg(1 i)4

(modulo 2) =

mais plus souvent on choisit lun des arguments et on ncrit plus modulo 2.

Plus gnralement, tout nombre complexe z non nul a une infinit dargu-ments ; si est lun dentre eux, tout autre argument de z scrit + 2k o k est dans ; on note arg z=0 (modulo 2) ou arg z=0[2] ou arg z=0 (2) ou encore plus simplement arg z=0.

Ces trois notations signifient quun argument de z est , mesure au tour prs sur le cercle trigonomtrique.

Proprit 15

t Caractrisation dun nombre rel:z z z k k0 ou arg 0 , = = +

t Caractrisation dun imaginaire pur: z z z k kest imaginaire pur 0 ou arg

2

, . = = + On rappelle que 0 na pas dargument et que 0 est considr comme un ima-ginaire pur car 0 0= i.

relsstictementngatifs

relsstictementpositifs

O

/


30 Squence 6 MA02

Proprit 16

Argument du conjugu et de loppos dun nombre complexe non nul

t arg arg ,z z k k( ) = + 2 ;t arg( ) arg , = + + z z k k 2 .

a

b

bM(z)

P(z) N(z)

/

e

e

La figure permet de mmoriser facilement ces rsultats.

3. Forme trigonomtrique dun nombre complexe non nul

Proprit 17

Soit z un nombre complexe non nul dargument , on a alors:

z z= +(cos sin ). i

Dmonstration

Le nombre complexe zzz0

= est de module 1 car zzz

zz0

1= = = .

O

M

M0

cose

sine

u

v

e


31Squence 6 MA02

Soit M limage de z et M0 limage de z0. On a OM0 = =z0 1 donc le point M0 est situ sur le cercle trigonomtrique. Comme z est positif, les vecteurs OM

,

le vecteur image de z, et OM0

, le vecteur image de zzz0

= , sont colinaires et

de mme sens et on a ( ) ( ) = = u u, OM , OM .0 On en dduit que le point M0 a pour coordonne cos ; sin ( ) et pour affixe z0 = +cos sin . i Et ainsi: z z z z= = +0 (cos sin ). i

Lorsquun nombre complexe non nul z est crit sous la forme z z= +(cos sin ), i on dit que le nombre z est crit sous forme trigo-nomtrique.

Dfinition 6

On a: i 1 cos2

isin2

.= +

Proprit 18

Soit z un nombre complexe non nul tel que z r (cos isin ),= + r tant un nombre rel strictement positif et un nombre rel quelconque. On a alors: z r= et z karg( ) 2 .= +

Dmonstration

Si z r (cos isin ),= + alors z r r r r(cos isin ) cos isin 1= + = + = = car r est positif et cos isin+ est de module 1.

On a alors z r z(cos isin ) (cos isin ).= + = + En nommant un argu ment de z, on obtient z z z(cos isin ) (cos isin )= + = + donc

cos isin cos isin .+ = + On obtient donc cos cos

sin sin

= =

ce qui prouve que z karg( ) 2 .= + On peut ainsi reconnatre directement la forme trigonomtrique de certains nombres complexes.

t

5 cos7

isin7

+

est la forme trigonomtrique du nombre complexe de

module5 et dargument 7

.

t z 3 cos 11isin

11=

+

: ce nombre z nest pas crit sous forme trigonom-

trique car 3 est ngatif. On transforme lcriture:

Exemple

Commentaire


32 Squence 6 MA02

3 cos11

isin11

3 cos11

isin11

3 cos11

isin11

.

+

=

= +

+ +

Le nombre z a donc pour module 3 et pour argument 11

.+

Lcriture dun nombre complexe non nul sous forme trigonomtrique est donc unique ( 2 prs pour largument), on en dduitla propritsuivante.

Proprit 19

galit de deux nombres crits sous forme trigonomtrique

Deux nombres complexes non nuls sont gaux si et seulement si ils ont mme module et mme argument ( 2 prs).

crire un nombre complexe non nul sous forme trigonomtrique correspond go-mtriquement reprer un point par des coordonnes polaires (activit 2), le plan tant muni dun repre orthonorm direct.

De lunicit de lcriture algbrique et des dfinitions du module, dun argument et de la forme trigonomtrique dun nombre complexe non nul, on obtient deux systmes qui indiquent comment passer de la forme algbrique la forme trigo-nomtrique et inversement.

O a

b

v

a = r cos e

e

b = r sin e

M(z)

u

+

r

Dans la pratique, on procde comme dans lexemple suivant.

Remarque

Consquence

Proprit 20

Les nombres a, b, r et tant des nombres rels, r tant strictement positif, on a:

a b r

r a bar

br

a rb r

i (cos isin )cos et sin

cos

sin.

2 2

+ = + = +

= =

= =


33Squence 6 MA02

crire sous forme trigonomtrique le nombre complexe z = 2 2i.

Pour mettre ce nombre complexe non nul sous sa forme trigonomtrique, on commence par calculer le module de z et mettre ce module en facteur :

on a : z| | 2 ( 2) 8 2 22 2= + = =

do =

=

= +

z 2 2

2

2 2

2

2 2I 2 2

1

2

1

2I 2 2

22

22

I

On cherche maintenant tel que cos = 22

et sin . = 22

On sait que:

=cos 4

22

et

= sin 4

22

.

Do = zarg4

(modulo 2 ) ou plus simplement

= zarg4

.

Conclusion: la forme trigonomtrique de = z 2 2i est

=

+

z 2 2 cos 4 isin 4

4. Produit et quotient de nombres complexes donns sous forme trigonomtrique

t Produit

Considrons deux nombres complexes non nuls z1 et z2 sous leur forme trigo-nomtrique z z i z z1 1 1 1 2 2 2 2= + = +| | (cos sin ), | | (cos sin ) i ; tudions le produit z z .1 2z z z z1 2 1 2 1 1 2 2= + +| || | (cos sin )(cos sin ) i i

z z z z1 2 1 2 1 2 1 2 1= + +| || | (cos cos sin cos cos sin i i 22 2 1 2+ i sin sin ) z z z z1 2 1 2 1 2 1 2 1= +| || | ((cos cos sin sin ) co i(sin ss cos sin )) 2 1 2+

car = i 1.2

Daprs les formules de trigonomtrie on sait que:

cos cos sin sin cos( ) 1 2 1 2 1 2 = +

et sin cos cos sin sin( ) 1 2 1 2 1 2+ = +

do z z z z1 2 1 2 1 2 1 2= + + +| || | (cos( ) sin( )). i

Le nombre z z| || |1 2 est un rel strictement positif puisque produit de deux rels strictement positifs.

On reconnat donc lcriture trigonomtrique du produit z z1 2 ; on en dduit:

=

= +

z z z z

z z z z

| | | || |

arg arg arg

(on savait dj que le module dun produit est le produit des modules)

(argument dun produit = somme des arguments)1 2 1 2

1 2 1 2

Exemple 9

Solution


34 Squence 6 MA02

t tudions la forme trigonomtrique de linverse 1z

(z non nul).

z z z

z

z

1 1cos isin

1 cos isin

cos isin cos isin

1cos isin

1cos isin .( )

( )( )

( )( )( )

( ) ( )

=

+ =

+

=

= +

On reconnat lcriture trigonomtrique de linverse 1z

; on en dduit:1 1z z

= et z

zarg1

arg( ),

= un argument de linverse de z est gal loppos

dun argument de z.

t On peut alors obtenir le rsultat pour le quotient zz

1

2 de deux nombres com-

plexes non nuls:zz

zz

1

2

1

2= et

zz

z zarg arg( ) arg( ),12

1 2

= un argument dun quotient est gal

la diffrence dun argument du numrateur et dun argument du dnominateur.

On peut alors noncer lensemble de ces rsultats, la proprit sur les puissances se dmontrant par rcurrence en utilisant la proprit du produit.

Proprit 21

La forme trigonomtrique: les produits, puissances et quotients

Soit trois nombres complexes non nuls z, z1 et z2, et soit n un entier naturel.

t Produit: z z z z1 2 1 2= et z z z zarg arg( ) arg( ).1 2 1 2( ) = +t Inverse: 1 1

z z= et arg

1z

= arg( ).z

t Quotient: zz

zz

1

2

1

2= et

zz

z zarg arg( ) arg( ).12

1 2

=

t Puissance: z zn n= et z n zarg arg( ).n( ) =Il est donc important de penser utiliser la forme trigonomtrique dans les calculs faisant intervenir des produits, des puissances ou des quotients.

Donner la forme trigonomtrique puis la forme algbrique de z161= +( )i et de

z2

32

12

12

32

=

+

+

i

i.

Pour z1, on cherche dabord la forme trigonomtrique 1+ i qui est ensuite lev la puissance 6.

Exemple 10

Solution


35Squence 6 MA02

En procdant comme dans lexemple 9 (on peut aussi saider de la reprsentation graphique), on trouve

1 24 4

+ = + i icos sin ,

do:

z16 61 2 6

46

4= + = ( ) + ( ) cos sini i , soit

z161 8

32

32

= + = +

( ) cos sini i

ce qui est la forme trigonom-

trique de z1.

On en dduit la forme algbrique: z161 8= + = ( )i i.

Pour z2, on cherche la forme trigonomtrique du numrateur et du dnomi-nateur. Grce aux valeurs remarquables des sinus et cosinus, on reconnat des nombres de module 1 et on obtient:

z2

32

12

12

32

6 6

3 36

=

+

+

=

+

+=

i

i

i

i

cos sin

cos sincos

3 6 3 + isin .

La forme trigonomtrique de z2 est donc z2 6 6=

+ cos sin

i et on en

dduit sa forme algbrique: = z3

212

i.2

Avec un peu dhabitude et de familiarit avec ces quantits, on reconnat rapide-ment les valeurs remarquables et les calculs deviennent assez aiss.

3. criture exponentielle

Pour terminer ce chapitre, on donne une nouvelle criture dun nombre complexe non nul.

Par elle-mme, cette criture rsume les proprits prcdentes des arguments et facilite la mmorisation des proprits de la forme trigonomtrique des nombres complexes.

Nous avons rappel, dans les prrequis, la relation fonctionnelle caractris-tique de la fonction exponentielle: la fonction exponentielle est la seule fonc-tion non nulle et drivable sur telle que =f ( )0 1 et, pour tous rel a et b, f a b f a f b( ) ( ) ( ).+ =

On remarque que les fonctions f x f xk kkx: ( ) = e sont aussi non nulles et dri-

vables sur telle que f kk =( )0 et, pour tous rel a et b, f a b f a f bk k k( ) ( ) ( ).+ =

On considre la fonction g, dfinie sur , valeurs dans , telle que g g: cos sin ( ). + =i Daprs les calculs faits prcdemment, on a:

g gg

( ) ( ) (cos isin )(cos isin )

cos( ) isin( ) ( ).1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

= + + = + + + = +


36 Squence 6 MA02

Admettons que lon puisse driver cette fonction dfinie sur , valeurs dans , comme les fonctions dfinies sur , valeurs dans . On obtient

= +g ( ) sin cos i et donc =g ( )0 i.Par analogie avec les fonctions fk on note donc la fonction g de la mme faon:

g( ) = ei soit cos sin . + =i ei

La notation ei dsigne le nombre complexe de module 1 et dargument :cos sin . + =i ei

Dfinition 7

On peut utiliser cette notation exponentielle pour crire les nombres complexes non nuls sous forme trigonomtrique: z z= ei.

On a:

e ii2

= ;

e ii

3 12

32

= + ; 1 2 4+ =i ei

puisque 1 24 4

+ = + i icos sin .

ei = 1

Dans cette galit, on trouve:

t 1: un entier ngatif;

t e: nombre rel qui est utilis pour noter la fonction exponentielle, essentiel pour cette fonction et pour la fonction logarithme nprien;

t i: nombre mystrieux, imaginaire au XVIe sicle, et dont linvention audacieuse ( )i2 = 1 ouvre tout un monde aux mathmatiques;

t : longueur dun cercle de rayon 1 dont on trouve une valeur approche, 25681

, dans un papyrus gyptien dat denviron 1800 avant J.-C., dont la

recherche des dcimales est devenu un test pour les ordinateurs les plus puis-sants et les programmeurs les plus comptents et que vous rencontrerez dans le cours de statistiques!

La proprit 20 scrit alors:

Proprit 22

Soit trois nombres complexes non nuls z z= ei , z z1 1 1= ei et

z z2 2 2= ei , et n un entier naturel.

t Produit: z z z1 2 1 1 2=+z e2

i( ) ; t Puissance: z zn n n= e i ;

ff

Consquence

Exemples

savoir

Consquence


37Squence 6 MA02

Proprit 22 (suite)

t Inverse: 1 1z z

=e i ; t Quotient:

zz

zz

1

2

1

21 2=ei( ).

ff

Cest videmment trs agrable pour mmoriser et utiliser tous ces rsultats.

Reprenons par exemple les calculs de lexemple 10.

On a 1 i 2ei4+ =

do z (1 i ) 2 e 8e 8 i.16 6 i 4

6 i32= + = = =

Et z

32

12

i

12

i3

2

e

e

e e cos6

isin6

.2

i6

i3

i6 3

i6

=

+

+

= = = =

+

Proprit 23

Notation exponentielle et conjugu

e ei i ( ) =

Dmonstration

e cos i cos i cos( ii ( ) = +( ) = = + =sin sin ) sin( ) ee i .6. Les nombres complexes et les formules

de trigonomtrie

Ce sont les formules de trigonomtrie dmontres en Premire qui ont men la relation

(cos sin )(cos sin ) cos( ) sin( 1 1 2 2 1 2 1+ + = + +i i i ++ 2 ) et aux proprits des arguments dans les produits et les quotients, proprits qui sont rsumes par la notation exponentielle.

En retour, les nombres complexes permettent de retenir les formules daddition et de soustraction, ainsi que les formules de duplication. De nouvelles formules peuvent aussi tre dmontres.

Il suffit pour cela davoir mmoris lgalit cos sin + =i ei et dutiliser les proprits connues des oprations et des exposants.

t Par lgalit e e ei i i( 1 2 1 2= + ) , on retrouve

(cos sin )(cos sin ) cos( ) sin( 1 1 2 2 1 2 1+ + = + +i i i ++ 2 ) soit (cos cos sin sin ) (cos sin sin cos 1 2 1 2 1 2 1 2 + +i )) cos( ) sin( ).= + + + 1 2 1 2i

Exemple


38 Squence 6 MA02

Et en utilisant lgalit des parties relles et des parties imaginaires, on retrouve:

cos cos sin sin cos( ) 1 2 1 2 1 2 = +(cos sin sin cos sin( ). 1 2 1 2 1 2+ = +

t Calculons (cos isin )2+ par deux mthodes.

t En utilisant lidentit remarquable :+ = + +

= +

(cos isin ) (cos ) 2i(sin )(cos ) i (sin )

(cos ) (sin ) 2i(sin )(cos )

2 2 2 2

2 2

t En utilisant la notation exponentielle des nombres complexes:

+ = = = + e e(cos isin ) ( ) (cos2 ) i(sin2 )2 i 2 i2

En identifiant les parties relles et les parties imaginaires on arrive :

cos2 (cos ) (sin )sin2 2(sin )(cos )

.2 2 =

=

On retrouve Ies formules de duplication vues en classe de Premire.

Dautres formules seront dmontres en exercice.

Exercices dapprentissage

Dans tous ces exercices, on utilisera les facilits fournies par la notation expo-nentielle.


, .( )crire sous forme trigonomtrique les nombres complexessuivants et placer leurs images dans le plan muni dun repre orthonorm direct.

a) z1 1= i b) z2 1 3= + i c) z3 7= d) z4 5= i.

Donner la forme trigonomtrique des nombres complexes suivants:

a) z1 1= ( i)5 (on donnera ensuite la forme algbrique de z1)

b) z2 1 3 3 3= +( ) +( )i i c) z3 = 1i d) z4 2 2= + i3 i e) z5 22 2= ( )+( )i

3 i

3

.

En calculant le produit 32

12

22

22

+

i i sous forme algbrique et sous

forme trigonomtrique, dterminer le cosinus et le sinus de 12

.

D

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8


39Squence 6 MA02

En calculant (cos sin ) + i 3 de deux faons diffrentes, exprimer cos3 et sin3 en fonction de cos et de sin .

Dans le plan muni dun repre orthonorm direct O ; u v

, ,( ) on considre trois points distincts A, B et C, daffixes zA , zB et zC.

Donner une interprtation gomtrique de z zz zC A

B A

.

Quel est le vecteur image du nombre complexe z zB A ? Donner la signifi-cation gomtrique de arg .z zB A( ) En dduire la signification gomtrique de arg .

z zz zC A

B A

Application

Dterminer la forme algbrique puis la forme trigonomtrique de z zz zC A

B A

avec zA i,= 2 zB i= +1 5 et zC i.= +3 3 En dduire la nature du triangle

ABC.

Exercice 9

Exercice 10


40 Squence 6 MA02

4 SynthseSynthse de la squence

1. Dfinition

t Lcriture a b+ i , a et b tant rels, sappelle la forme algbrique du nombre complexe z tel que z a b= + i .

t a z= Re( ) et b z= Im( ).

t z b= i est un imaginaire pur (le rel 0 est aussi considr comme un imaginaire pur).

Dfinitions

Proprit

t Nombre complexe nul: a b a b+ = = =i et0 0 0.

t galit: a b a b a a b b+ = + = = i i et (o a, b, a et b sont rels).

A

Thorme 1

(Admis)

Il existe un ensemble, lensemble des nombres complexes, not , tel que:t contient lensemble des nombres rels;t est muni dune addition, dune multiplication (et donc dune soustrac-

tion et dune division) qui possdent les mmes rgles de calcul que dans lensemble des nombres rels;

t il existe, dans , un nombre i tel que i2 1= ;t tout nombre complexe z scrit de faon unique sous la forme z a b= + i ,

o a et b sont des nombres rels.


41Squence 6 MA02

2. Oprations

Proprit 2

Pour tous nombres complexes z a b= + i et = + z a bi , a, b, a et b tant des nombres rels, on a:

t z z a a b b+ = + + + ( ) ( )i

t zz aa bb ab a b = + + ( ) ( )i

t kz ka kb= + i pour tout rel k

t 12 2 2 2 2 2za b

a b

a

a b

b

a b=

+=

+

+

ii si z 0.

3. Reprsentation gomtrique


, .( )

O a

b

v

M(z)

z = a + ib

u

4. Conjugaison

Le conjugu dun nombre complexe z a b= + i (a et b rels) est le nombre complexe not z dfini par: z a b= i .

Dfinition

Remarque

Ou

M(z)

M(z)

v


42 Squence 6 MA02

Proprit

Pour tous nombres complexes z et z :

a) z z= ;

b) pour tout rel , = et, pour tout imaginaire pur ib, i ib b= ;c) zz a b= +2 2, et donc zz est rel;

d) z z a z+ = =2 2Re( ), Re( )zz z

=

+

2 et z z b z = =2 2i i Im( ),

Imi

( )zz z

=

2;

e) z z z z+ = + ;

f) zz z z = ; cas particuliers: pour tout rel, z z= et donc = z z ;

g) pour tout z 0,1 1z z

= et =

zz

zz

;

h) pour tout entier n dans , z zn n( ) = ( ) .

5. quation du second degr dans

Proprit

Soit, dans , lquation (E) az bz c2 0+ + = , les nombres a, b et c tant des nombres rels avec a 0.

On pose = b ac2 4 et on appelle S lensemble des solutions de (E).

t Si > 0, Sb

ab

a=

+

2 2

; .

t Si = 0, S ba

=

2 .

t Si < 0, S ba

ba

=

+

i;

i 2 2

.


43Squence 6 MA02

6. Module dun nombre complexe

On appelle module dun nombre complexe z a b= + i (a et b rels) le nombre

rel positif, not z , dfini par: z a b= +2 2 .

Dfinition

Proprit

Le module dun nombre rel est gal sa valeur absolue.

Proprit

Interprtation gomtrique du module

Soit un nombre complexe z a b= + i (a et b rels) et M son image dans un repre orthonorm direct O ; u v

, ,( ) alors z = OM.

Proprit

Pour tout nombre complexe z: z z z z= = = .

O

v

u a

M(z)

a 1 1

b

b

i

i

z

z

z

Proprit

Pour tout nombre complexe z, on a zz z= 2.


44 Squence 6 MA02

Proprit

Pour tous nombres complexes z et z , on a:

a) zz z z = ; z zn n= pour tout entier naturel n;

b) pour z 0, 1 1z z

= ;

c) pour z 0, zz

zz

' '= ;

d) z z z z+ + .

On peut prfrer retenir les cas a), b) et c) par des phrases:

t Le module dun produit est gal au produit des modules.

t Le module de linverse dun nombre complexe non nul est gal linverse de son module.

t Le module dun quotient est gal au quotient des modules.

Proprit

Soit M le point daffixe z et M0 le point daffixe z0.

On a alors z z =0 M M.0

4. Argument dun nombre complexe non nul


, .( )

Soit z un nombre complexe non nul et M son image. On appelle argument de z, et on note arg ,z nimporte quelle mesure, exprime en radians, de

langle u , OM . ( )

Dfinition

Remarque


45Squence 6 MA02

O

v

u

M

e

+

Le nombre 0 na pas dargument.

3. Forme trigonomtrique dun nombre complexe non nul

Lorsquun nombre complexe non nul z est crit sous la forme z z= +(cos sin ) i , on dit que le nombre z est crit sous forme trigonom-trique.

Dfinition

Proprit

galit de deux nombres crits sous forme trigonomtrique

Deux nombres complexes non nuls sont gaux si et seulement si ils ont mme module et mme argument ( 2 prs).

Passage de la forme algbrique la forme trigonomtrique et inversement.

z a b r r r= + = + = +i i i(cos sin ) cos sin :

et

Remarque

Consquence

O a

b

v

a = r cos e

e

b = r sin e

M(z)

u

+

rr a b

ar

br

= +

= =

2 2

cos sin eta rb r

=

=

cos

sin.


46 Squence 6 MA02

Proprit

La forme trigonomtrique et les produits, puissances et quotients

Soit trois nombres complexes non nuls z, z1 et z2, et soit n un entier naturel.

t Produit: z z z z1 2 1 2= et z z z zarg arg( ) arg( ).1 2 1 2( ) = +t Inverse: 1 1

z z= et arg

1z

= arg( ).z

t Quotient: zz

zz

1

2

1

2= et

zz

z zarg arg( ) arg( ).12

1 2

=

t Puissance: z zn n= et ( ) =z n zarg arg( ).n

9. La notation exponentielle

La notation ei dsigne le nombre complexe de module 1 et dargument :cos sin . + =i ei

Dfinition

= e 1i

Proprit

La forme exponentielle et les produits, puissances et quotients

Soit trois nombres complexes non nuls z z= ei , z z1 1 1= ei et

z z2 2 2= ei , et n un entier naturel.

t Produit: z z z1 2 1 1 2=+z e2

i( ) t Puissance: z zn n n= e i

t Inverse: 1 1z z

=e i t Quotient:

zz

zz

1

2

1

21 2=ei( ).

savoir


47Squence 6 MA02

Proprit

Notation exponentielle et conjugu: e ei i ( ) = .La notation exponentielle et les formules de trigonomtrie: la notation exponen-tielle permet de retenir les formules daddition et de soustraction, ainsi que les formules de duplication, elle permet aussi den dmontrer de nouvelles

10. Plusieurs points de vue

Dans ce nouvel ensemble de nombres, plusieurs points de vue sont utiliss, de nouveaux outils sont introduits. Vous devez vous familiariser avec chacun deux.

Les diffrentes caractrisations des nombres rels et des imaginaires purs en donnent des exemples: forme algbrique, interprtation gomtrique, conjugai-son, forme trigonomtrique.

Proprit

Caractrisation dun nombre rel:

t z zIm( ) 0 =t z z yM( ) (O ) .t z z z = .t z z z k k0 ou arg 0 , . = = +

Proprit

Caractrisation dun imaginaire pur:

t z zest imaginaire pur Re =( ) .0

t z z yest imaginaire pur M( ) (O ) .

t z z zest imaginaire pur = .

t z z z k kest imaginaire pur 0 ou arg2

, . = =

+


48 Squence 6 MA02

Exercices de synthse

On considre, dans , lquation (E): 2 1 4 1 2 2 03 2z z z+ + =( ( .i) i) i Dterminer un nombre imaginaire pur z0 solution de lquation (E).

Dterminer trois nombres rels a, b et c tels que

2 1 4 1 2 23 2 02z z z z z az bz c+ + = + +( )( ( ( ) .i) i) i

Rsoudre lquation (E).

Soit Z un nombre complexe de module 1, montrer en utilisant lcriture expo-

nentielle que ZZ

+1

est un nombre rel.

Soit z et z deux nombres complexes non nuls et de mme module, montrer

que z z

zz+ ( )

2 est un nombre rel.

Montrer que, pour tous nombres complexes z et z, on a

z z z z z z+ + = +( )' ' ' .2 2 2 22 Le plan est muni dun repre orthonorm direct O ; u v

, ,( ) interprter gom-triquement lgalit prcdente.

Cet exercice est un QCM.

Pour chaque question, une seule des trois rponses proposes est exacte.

Il nest pas ncessaire de faire beaucoup de calculs!


, .( ) Une solution de lquation 3 2 5 2z z+ = + i est:

a) 3 b) i c) 1 2+ i.

Soit z un nombre complexe, z + i est gal :

a) z +1 b) z 1 c) iz +1.

Soit z un nombre complexe non nul dargument . Un argument de +1 3iz

est:

a) +

3

b) 23 + c) 2

3 .

B

Exercice I

Exercice II

Exercice III

Exercice IV

Remarque


49Squence 6 MA02

Soit n un entier naturel. Le complexe 3 +( )i n est un imaginaire pur si et seulement si:

a) n = 3 b) n k= +6 3 avec k entier relatif c) n k= 6 avec k entier relatif.

Soit A et B deux points daffixes respectives i et 1. Lensemble des points M daffixe z vrifiant z z = +i 1 est:

a) une droite b) un cercle c) un point.

Soit le point daffixe 1+ i. Lensemble des points daffixe z vrifiant ( ( ))( (z z + =1 1 5i i)) est:

a) une droite b) un cercle c) un point.

Lensemble des solutions dans de lquation zz

z

=

21

est:

a) 1{ }i b) lensemble vide c) 1 +{ }i ;1 i .

Trois mthodes

Soit z un nombre complexe diffrent de i et soit M son image dans le plan muni dun repre orthonorm direct O ; u v

, .( ) On appelle A le point daffixe i. On

pose Zzz

=

+

2i. On appelle (E) lensemble des points M du plan tels que Z soit

imaginaire pur.

Dterminer lensemble (E) en utilisant la forme algbrique de z et de Z.

Dterminer lensemble (E) en utilisant linterprtation gomtrique de la forme trigonomtrique de Z (on utilisera les rsultats de lexercice 10).

Dterminer lensemble (E) en utilisant lquivalence Z Zest imaginaire pur Z Z= puis en utilisant la forme algbrique de z.

Exercice V


Al7ma02tepa0213 Sequence 06

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