Afef CHEBBI - Hydrologie.orghydrologie.org/THE/CHEBBI_A.pdf · Pr. Mohamed SLIMANI Rapporteur Pr....

Université Tunis El Manar

THESE DE DOCTORAT

Présentée à

L’ECOLE NATIONALE D’INGENIEURS DE TUNIS

Pour obtenir le titre de

DOCTEUR EN GENIE HYDRAULIQUE

Par :

Afef CHEBBI

OPTIMISATION D’UN RESEAU PLUVIOGRAPHIQUE. ETUDE DU CAS DU NORD DE LA TUNISIE

Soutenue le 09 Février 2013 devant le jury composé de :

Pr. Khlifa MAALEL Président du jury Pr. Mohamed SLIMANI Rapporteur Pr. Eric SERVAT Rapporteur Pr. Zoubeida BARGAOUI Directrice de thèse Pr. Maria DA CUNHA Co-encadreur Mr. Mustapha SAADAOUI Invité

Remerciements

Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) i

REMERCIEMENTS

Je tiens à exprimer en premier lieu ma gratitude à mon leader, durant toute ma carrière de recherche, mon professeur et ma directrice de thèse le Professeur Zoubeida BARGAOUI. Je la remercie pour ses conseils judicieux et ses critiques fructueuses qui m’ont permis de mener à bien ces travaux. Je ne saurais jamais assez la remercier pour sa confiance, ses encouragements, sa gentillesse et pour tout ce que j’ai appris grâce à elle. Je garderais toujours à l’esprit ses grandes qualités humaines ainsi que son soutien sans lequel je n’aurais pu mener à bien ce travail. Qu’elle trouve ici toute ma profonde reconnaissance. Cette thèse s’est initiée avec le projet de coopération Tunisie-Portugal : « Modèles de Gestion des Bassins Versants ». Dans ce cadre, j’ai fait deux séjours à l’Université de Coimbra au Portugal (Département de Génie Civil). Je tiens ainsi à exprimer toute ma reconnaissance à mon co-encadreur le Professeur Maria DA CUNHA, Professeur au Département de Génie Civil de l’Université de Coimbra au Portugal, pour son encadrement et ses conseils. Merci pour votre confiance, pour les échanges fructueux et pour votre collaboration dans la réalisation de ce travail.

J’exprime toute ma gratitude à mes rapporteurs, Monsieur Mohamed SLIMANI, Professeur à l’Institut National Agronomique de Tunisie et Monsieur Eric SERVAT, Directeur du Laboratoire HydroSciences Montpellier, pour le temps qu’ils ont consacré à l’évaluation de ce travail et pour l’intérêt qu’ils ont manifesté pour celui-ci. Leurs remarques constructives ont contribué à l’amélioration de ce manuscrit.

Je remercie chalereusement Monsieur Khlifa MAALEL, Professeur à l’Ecole Nationale d’Ingénieur de Tunis, pour m'avoir fait l'honneur de présider mon jury de thèse.

Mes remerciements s’adressent également au personnel de la DGRE qui a mis à notre disposition les données nécessaires à la réalisation de ce travail. En particulier, J’exprime ma plus vive gratitude à M. Mustapha SAADAOUI pour sa collaboration et sa disponibilité et pour m'avoir fait l'honneur d’être parmi le jury de ma thèse. Je remercie également Mme Henda BEN HASSINE pour son aide.

Un grand merci au Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement (LMHE) de l’ENIT. Ma pensée va à tous mes enseignants et aux autres fonctionnaires de ce laboratoire, particulièrement M. Mustapha Besbes, M. Mahmoud Moussa, Mme Mounira Zammouri, Mme Rachida Bouhlila, M. Mohamed Djebbi, Mme Souad Hamdi, Mme Fatma Laabidi, M. Mohamed Cherni,… La liste n’est pas exhaustive ! Merci à vous tous pour votre soutien et votre aide.

Merci à ma famille pour sa compréhension et sa présence toujours encourageante. Je pense particulièrement à mes chers parents, qui ont su éveiller en leurs enfants le goût d'apprendre et d'aller toujours plus loin.

Je ne peux qu’avoir une pensée toute particulière envers mon époux Sami pour son encouragement et son soutien, sans qui, ce travail n’aurait pu arriver à terme. Merci pour sa confiance qu’il a placé en moi. Un grand merci à mes enfants Yassine et Yasmine pour leur patience.

Remerciements

Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) ii

Merci à mes sœurs Wafa et Raja et à mes frères Atef et Mehdi qui m’ont soutenu en toutes circonstances.

Je remercie également mes amies Sondes, Wided, Nesrine et Maha pour leur soutien.

Enfin, que tous ceux qui ont participé de près ou de loin à la réalisation de ce travail, trouvent ici le témoignage de ma profonde reconnaissance.

Résumé

Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) iii

Résumé

Les données sur les intensités de pluie provenant des observations des stations pluviographiques constituent une information fondamentale pour l’estimation des débits de crue et de l’érosion. La thèse développe différentes approches d’optimisation de l’extension d’un réseau de pluviographes (augmentation du nombre de postes) en adoptant la variance moyenne de l’erreur d’estimation par krigeage comme fonction objectif. La résolution du problème d’optimisation retient l’algorithme du simulated annealing SA comme moyen. La méthodologie se base sur des scénarios d’extension hypothétiques (en augmentant fictivement la taille du nouveau réseau) et en supposant que le réseau initial est de faible densité spatiale.

L’application porte sur les bassins versants du nord de la Tunisie en se référant aux

observations d’intensités enregistrées lors des événements pluvieux extrêmes de mars 1973 et janvier 2003 et sur les résultats d’élaboration des courbes Intensité-Durée-Fréquence pour la zone d’étude publiés dans des études antérieures.

Dans la méthode de krigeage, la variance d’estimation en un point non informé dépend

de la configuration spatiale du réseau et du variogramme représentatif de la structure de variabilité spatiale des pluies. On commence par étudier la sensibilité du réseau optimal à la méthode d’évaluation du variogramme : un variogramme unique prenant en compte la position géographique du poste, la durée de référence de la pluie et l’intensité pendant la durée de référence (variogramme 3D) ou en considérant autant de variogrammes que de durées de référence et en calculant le variogramme en utilisant la position géographique et l’intensité sur la durée conditionnelle (variogramme conditionnel 2D).

On compare aussi des réseaux monocritères basés sur l’estimation avec le minimum

d’incertitude en moyenne sur le domaine d’étude de l'intensité de pluie de durée une heure ou du facteur d’érosivité des pluies. Ceci a une importance d’ordre pratique étant donné que l’estimation fiable des intensités est importante pour évaluer le risque d'inondation, et celle du facteur d'érosivité est indispensable pour évaluer le risque d'érosion.

De plus, une étude de sensibilité du réseau optimal au choix du variogramme

conditionnel sous-jacent est réalisée (pour une durée de 1 heure) en comparant les résultats pour deux variogrammes ayant des propriétés bien différentes (variogrammes sphériques de portées et paliers respectivement (60 km; 21 (mm/h)²) et (160 km; 1000 (mm/h)²). Ce sont les variogrammes conditionnels de la pluie de 1 heure pour mars 1973 et janvier 2003. Il en résulte que les réseaux optimaux obtenus par les approches 2D et 3D sont différents et que ceux obtenus pour les deux variogrammes conditionnels 2D (de mars 1973 et janvier 2003) sont également différents. La comparaison des réseaux optimaux mono-critères établis en s’appuyant successivement sur l’intensité de pluie et sur le facteur d’érosivité pour mars 1973 fait ressortir qu’ils sont assez semblables entre eux.

La thèse développe également une optimisation bi-objective en combinant les deux

objectifs (minimiser la variance moyenne d’estimation par krigeage pour l’estimation de l’intensité de 1 heure et du facteur d’érosivité, les deux sur la base de l’événement de mars 1973). Il en résulte que les réseaux optimaux diffèrent selon l’importance du poids accordé à chaque objectif partiel. Ainsi, il n’y a pas de solution unique.

Résumé

Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) iv

A défaut d’unicité, nous avons cherché à obtenir une solution robuste qui prend en compte différents niveaux de risque hydrologique à travers l’introduction de la période de retour de l’intensité de la pluie. Le choix s’est porté sur l’interprétation des courbes intensités-durées – fréquence. L’analyse de la variabilité spatiale des coefficients de la formule de Montana décrivant ces courbes a permis d’élaborer et de combiner des fonctions objectifs (toujours basées sur la minimisation de l’erreur moyenne de krigeage) faisant intervenir la période de retour. Certes, la variance moyenne spatiale de krigeage dans le cas monocritère est inférieure ou égale à celle obtenue dans le cas de l’optimisation robuste, mais l’avantage essentiel de la solution robuste réside dans le fait qu’elle est proche de l'optimum relatif à chaque période de retour et fonctionne adéquatement pour un ensemble d’événements de périodes de retour différentes. Mots-clés: Optimisation de réseau pluviographique, géostatistiques, simulated annealing, optimisation bi-objective, optimisation robuste

Abstract

Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) v

Abstract The data of rainfall intensities coming from the observations from rain gauge

monitoring networks constitute fundamental information for runoff and erosion estimation. The thesis develops various approaches of optimization of the extension of a rain gauge monitoring network (increase in the number of stations) by adopting the average variance of error of estimation by kriging as objective function. The resolution of the problem of optimization retains the simulated annealing SA as an algorithm of searching for the optimal location of new rain gauges. The methodology is based on hypothetical scenarios of extension (by fictitiously increasing the size of the new network) and by supposing that the initial network is of low space density.

The methodology is applied to the watersheds of the north of Tunisia while

referring to the observations of intensities recorded at extreme rainfall events of March 1973, January 2003 and to the results of development of the Intensity-Duration-Frequency curves for the study area published in former studies.

In the kriging method, the variance of estimation in a noninformed point depends on

the space configuration of the network and on the variogram which is assumed representative of the structure of spatial variability of the rain. We start by studying the sensitivity of the optimal network to the variogram evaluation method: a single variogram taking account of the geographical position of the station, the reference duration of the rain and the intensity over this reference duration (3D variogram) or by considering as many variograms as reference durations and by calculating the variogram by using the geographical position and the intensity over the conditional duration (conditional 2D variogram).

We compare also mono objective networks based on the estimation with an average

minimum uncertainty on the area study of the rainfall intensity over one-hour duration or of the erosivity factor. This has a practical importance since the minimization of the estimation uncertainty of the rainfall intensity is important to assess flood risk, and the estimation of the erosivity factor is essential to assess erosion risk.

Moreover, a study of the sensitivity of the optimal network to the choice of the

subjacent conditional variogram is carried out (for a duration of 1 hour) by comparing the results for two variogram having different properties (spherical variogram with range and sill respectively (60 km; 21 (mm/h)²) and (160 km; 1000 (mm/h)²). These are the conditional variograms of the rainfall intensity over a one hour duration for March 1973 and January 2003. Results suggest that the optimal networks obtained by the 2D and 3D approaches are different and that those identified for both conditional 2D variograms (March 1973 and January 2003) are also different. The comparison of the mono objective optimal networks obtained successively for the rainfall intensity and the erosivity factor mapping for March 1973 shows that the optimal solutions are quite similar.

The thesis also develops a bi-objective optimization problem by combining the two

objectives (minimizing the average kriging variance of rainfall intensity over one hour duration and erosivity factor estimation, both for March 1973). It is concluded that different optimal rain gauge locations are obtained if one aspect is emphasized more than the other (rainfall versus erosion and vice versa). Thus, there is no single solution.

Abstract

Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) vi

Thus, in the absence of solution unicity, robust optimization techniques are used to find design solutions that take account of different levels of hydrological risk through the inclusion of return period of rainfall intensity. The choice was made on the interpretation of intensity-duration-frequency curves (IDF). The analysis of the spatial variability of Montana IDF model parameters made it possible to to built and combine objective functions (always based on the minimization of the mean spatial kriging variance) considering return periods. The comparison of results highlights that the mean spatial kriging variance in the case of the mono objective criterion is lower or equal to that obtained in the case of the robust optimisation. Nevertheless, the essential advantage of the robust optimization lies in the fact that it allows to overcome the problem of using one single rainfall event and yields networks which work ‘adequately’, when considering various extreme events with different return periods. Key-words: Rain gauge network optimization, geostatistics, simulated annealing, bi-objective optimization, robust optimization

Sigles et abréviations

Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) vii

Sigles et Abréviations AJCI : Agence Japonaise de Coopération Internationale CV : Coefficient de Variation DRE : Direction des Ressources en Eaux DG-ACTA : Direction Générale de l’Aménagement et de la Conservation des Terres Agricoles DGRE : Direction Générale des Ressources en Eaux EA : Elasticité d’Acceptation ENIT : Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis ESE : Erreurs Standardisés d'Estimation ETEK : Ecarts Type des Erreurs du Krigeage FO : Fonction Objectif FRV : Facteur de Réduction de la Variance GEV : General Extreme Value SIG : Système International Géographique IDF : Intensité-Durée-Fréquence IDSF : Intensité-Durée-Surface-Fréquence INM : Institut National de la Météorologie IRD : Institut de Recherche pour le Développement KDE : Krigeage avec Dérive Externe KO : Krigeage Ordinaire LMHE : Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement OMM : Organisation Mondiale de la Météorologie PNB: Produit National Brut RMSE: Root Mean Square Error

Sigles et abréviations

Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) viii

RUSLE: Revised Universal Soil Loss Equation SA : Simulated Annealing SCS : Soil Conservation Service SI : Système International SPI: Standardized Precipitation Index USLE: Universal Sol Loss Equation VR : Variable Régionalisée WMO : World Meteorological Organization

Liste des figures

Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) ix

Liste des Figures Figure I.1. Pluviographe à siphon (Musy et Higy, 2004)........................................................... 6 Figure I.2. Pluviographe à augets basculeurs (Musy et Higy, 2004) ......................................... 7 Figure I.3. Représentation schématique des courbes IDF........................................................ 11 Figure I.4. Principales méthodes stochastiques (Hajji, 2003) .................................................. 20 Figure I.5. Les principaux modèles de variogrammes (Bardossy, 1997)................................. 34 Figure II.1. Oued Medjerdah. Crue de mars 1973 : comparaison d’hydrogrammes (Claude et al., 1977)…………………………………………………………………………………….47 Figure II.2. Zone d’étude avec les réseaux de suivi de pluie………………………………....49 Figure II.3. Bassin versant 4 avec les réseaux de 1986............................................................ 54 Figure II.4. Comparaison des courbes IDF de De Montamarin (1953), Maalel et Triki (1979), Ghorbel et al. (1986) et DGRE-ST2i (2007) pour une période de retour T=10 ans ................ 62 Figure II.5. Comparaison des courbes IDF de De Montamarin (1953), Maalel et Triki (1979), Ghorbel et al. (1986) et DGRE-ST2i (2007) pour une période de retour T=20 ans ................ 63 Figure II.6. Comparaison des courbes I=f(T) de Zitouni (1997) et DGRE-ST2i (2007) ......... 63 Figure III.1. Corrélation entre l’intensité maximale et l’altitude pour l’événement de 1973 .. 79 Figure III.2. Relation entre l’intensité (2 h) et l’altitude – Evènement de 1973 ...................... 79 Figure III.3. Relations entre l’intensité et l’altitude- Evènement de 1986 (sans la station de Grombalia) ............................................................................................................................... 79 Figure III.4. Ajustement du variogramme 2D (Evènement de 1973, durée = 30 min) (avec le nombre de couples) .................................................................................................................. 81 Figure III.5. Relations empiriques entre les paliers ajustés et les durées................................. 83 Figure III.6. Portées ajustées en fonction de la durée .............................................................. 83 Figure III.7. Comparaison des variogrammes ajustés pour une durée de 30 min (Evènement de 1973)......................................................................................................................................... 84 Figure III.8. Comparaison des variogrammes ajustés pour une durée de 2h (Evènement de 1973)......................................................................................................................................... 85 Figure III.9. Ajustement du variogramme 3D (Evènement de 1973) ...................................... 86 Figure III.10. Ajustement du variogramme 3D (Evènement de 1986) .................................... 86 Figure III.11. Résultats de la validation croisée obtenus par l’approche 2D (KDE, Evénement

de 1973).................................................................................................................................... 87 Figure III.12. Résultats de la validation croisée obtenus par l’approche 3D (KDE, Evénement de 1973).................................................................................................................................... 88 Figure III.13. Résultats de la validation croisée obtenus par l’approche 2D (KDE, Evénement de 1986).................................................................................................................................... 88 Figure III.14. Résultats de la validation croisée obtenus par l’approche 3D pour le modèle G0 (KDE, Evénement de 1986) ..................................................................................................... 88 Figure III.15. Résultats de la validation croisée obtenus par l’approche 3D pour le modèle G3 (KDE, Evénement de 1986) ..................................................................................................... 88 Figure III.16. Carte de Imax sur 30 min krigée avec l’approche 2D (KDE, Evénement de 1973)......................................................................................................................................... 89 Figure III.17. Carte de Imax sur 30 min krigée avec l’approche 3D (KDE, Evénement de 1973)......................................................................................................................................... 91 Figure III.18. Carte de Imax sur 30 min krigée en utilisant le variogramme avec les relations empiriques d’échelle (KDE, Evénement de 1973) ................................................................... 91 Figure III.19. Carte de Imax sur 30 min krigée avec l’approche 2D (KDE, Evénement de 1986)......................................................................................................................................... 92 Figure III.20. Carte de Imax sur 30 min krigée avec l’approche 3D (KDE, Evénement de 1986)......................................................................................................................................... 93

Liste des figures

Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) x

Figure III.21. Carte de la moyenne des ETEK pour les résultats du 2D (KDE, Evénement de 1973)......................................................................................................................................... 94 Figure III.22. Carte de la moyenne des ETEK pour les résultats du 3D (KDE, Evénement de 1973)......................................................................................................................................... 94 Figure III.23. Comparaison des distributions empiriques des valeurs des ETEK-2D et la moyenne des ETEK-3D (KDE, Evénement de 1973) .............................................................. 95 Figure III.24a. Résultats de la validation croisée obtenus par l’approche 2D avec le krigeage ordinaire (Evènement de 1973) ................................................................................................ 96 Figure III.24b. Résultats de la validation croisée obtenus par l’approche 3D avec le krigeage ordinaire (Evènement de 1973) ................................................................................................ 97 Figure III.25. Comparaison des valeurs des ETEK-2D moyens sur les durées (Evènement de 1973)......................................................................................................................................... 98 Figure III.26. Variogramme de l’intensité maximale sur une heure (Mars 1973) ................... 98 Figure III.27. Carte de Imax sur 1 heure obtenue par krigeage ordinaire (Evènement de 1973).................................................................................................................................................. 99 Figure III.28. Carte des σi(I2D-1h)

(1973) et leurs courbes des percentiles pour Imax (mm/h) sur 1 heure (Approche 2D- variogramme de 1973) ........................................................................ 101 Figure III.29. Carte de la moyenne des ETEK et ses courbes des percentiles par l’approche 3D (Evènement de 1973) ............................................................................................................. 101 Figure III.30. Relation de régression linéaire entre le logarithme du facteur d’érosivité observé (R) et le logarithme de l’intensité maximale observée (I) sur une durée d’une heure ........... 103 Figure III.31. Les résidus de régression versus le logarithme de l’intensité maximale observée (I) sur une durée d’une heure ................................................................................................. 103 Figure III.32. Ajustement du variogramme du logarithme du facteur d’érosivité R.............. 104 Figure III.33. Compraison des distributions du facteur d’érosivité R calculée par régression directe et R krigé .................................................................................................................... 105 Figure III.34. Carte des σi(R)

(1973) et leurs percentiles pour le facteur d’érosivité R krigé ...... 106

Figure III.35. Ajustement du variogramme Imax sur 1 heure (Janvier 2003)........................ 106 Figure III.36. Carte de Imax sur 1 heure obtenue par krigeage ordinaire (Evènement de 2003)................................................................................................................................................ 107 Figure III.37. Carte des i(I2D-1h)

(2003) et ses courbes des percentiles par l’approche 2D (Variogramme de 2003- Réseau existant de 1973) ................................................................ 108 Figure III.38. Effet de l’Elasticité d’Acceptation EA sur le pourcentage d’acceptation de solutions ................................................................................................................................. 109 Figure III.39a. Effet de n1 et Plim sur la fonction objectif ...................................................... 110 Figure III.39b. Effet de n1 sur le temps d’exécution .............................................................. 111 Figure III.40. Effet de Plim sur la distribution des solutions en utilisant le variogramme de 1973........................................................................................................................................ 112 Figure III.41. Localisation des pluviographes dans la zone d’étude et configuration des 7 stations optimales dans BV3 et BV5 ....................................................................................... 113 Figure III.42. Effet de Plim sur la distribution des solutions en utilisant le variogramme de 2003........................................................................................................................................ 115 Figure III.43. Répartition spatiale des pluviographes existants de 1973 et des stations candidates ............................................................................................................................... 119 Figure III.44. Répartition spatiale des nouveaux pluviographes choisis par optimisation en utilisant l’approche 2D (Mars 1973) (seuls BV3 et BV5 sont concernés par l’optimisation). 121 Figure III.45. Répartition spatiale des nouveaux pluviographes choisis par optimisation (Approche 3D - Mars 1973) (seuls BV3 et BV5 sont concernés par l’optimisation) ............. 122 Figure III.46. Répartition spatiale des nouveaux pluviographes choisis par optimisation (Approche I2D-1h - Janvier 2003) ......................................................................................... 125

Liste des figures

Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) xi

Figure III.47. Répartition spatiale des réseaux optimaux obtenus pour l’objectif de l’estimation de R par KDE= Imax sur une heure (Evènement de 1973) ................................ 128 Figure III.48. Répartition spatiale des réseaux optimaux obtenus pour l’objectif de l’estimation de R par KDE= Imax sur six heures (Evènement de 1973)................................ 130 Figure III.49. Comparaison des pourcentages de gain totaux de précision pour chacun des problèmes d’optimisation en monocritère.............................................................................. 132 Figure III.50. Répartition spatiale des réseaux optimaux obtenus pour le problème bi-objectif................................................................................................................................................ 134 Figure III.51. Le coefficient de codispersion ra(T)b(T)(h) pour chaque valeur de la période de retour T ................................................................................................................................... 134 Figure III.52. Variogramme du paramètre b(T=2 ans) .......................................................... 136 Figure III.53. Variogramme du paramètre b(T=5 ans) .......................................................... 137 Figure III.54. Variogramme du paramètre b(T=10 ans) ........................................................ 138 Figure III.55. Variogramme du paramètre b(T=20 ans) ........................................................ 139 Figure III.56. Variogramme du paramètre b(T=50 ans) ........................................................ 140 Figure III.57. Variogramme du paramètre b(T=100 ans) ...................................................... 141 Figure III.58. Variogramme du paramètre a(T=2 ans) .......................................................... 141 Figure III.59. Variogramme du paramètre a(T=5 ans) .......................................................... 143 Figure III.60. Variogramme du paramètre a(T=10 ans) ........................................................ 144 Figure III.61. Variogramme du paramètre a(T=20 ans) ........................................................ 145 Figure III.62. Variogramme du paramètre a(T=50 ans) ........................................................ 146 Figure III.63. Variogramme du paramètre a(T= 100 ans) ..................................................... 147 Figure III.64. Carte des i(a(2 ans))

et ses courbes des percentiles (Variogramme de a(T=2ans)- Réseau existant de 1973)........................................................................................................ 148 Figure III.65. Carte des i(a(5 ans))

et ses courbes des percentiles (Variogramme de a(T=5ans)- Réseau existant de 1973)........................................................................................................ 148 Figure III.66. Carte des i(a(50 ans))

et ses courbes des percentiles (Variogramme de a(T=50ans) - Réseau existant de 1973) ..................................................................................................... 149 Figure III.67. Carte de b(T=2ans) obtenue par krigeage ordinaire........................................ 149 Figure III.68. Carte de b(T=5ans) obtenue par krigeage ordinaire........................................ 150 Figure III.69. Carte de b(T=50 ans) obtenue par krigeage ordinaire..................................... 150 Figure III.70. Carte de a(T=2 ans) obtenue par KDE = b(T=2 ans) krigé ............................ 151 Figure III.71. Carte de a(T=5 ans) obtenue par KDE = b(T=5 ans) krigé ............................ 151 Figure III.72. Carte de a(T=50 ans) obtenue par KDE = b(T=50 ans) krigé ........................ 152 Figure III.73. Carte des altitudes............................................................................................ 152 Figure III.74. Carte de Imax (T=2ans) pour une durée de référence de 1 heure .................... 153 Figure III.75. Carte de Imax (T=5 ans) pour une durée de référence de 1 heure .................. 153 Figure III.76. Carte de Imax (T=50 ans) pour une durée de référence de 1 heure ................ 154 Figure III.77. Carte de Imax (T=2ans) pour une durée de référence de 6 heures .................. 154 Figure III.78. Carte de Imax (T=5 ans) pour une durée de référence de 6 heures.................. 155 Figure III.79. Carte de Imax (T= 50 ans) pour une durée de référence de 6 heures .............. 155 Figure III.80. Répartition spatiale des réseaux optimaux obtenus pour l’optimisation robuste (FO1)....................................................................................................................................... 158 Figure III.81. Répartition spatiale des réseaux optimaux obtenus pour l’optimisation robuste (FO2)....................................................................................................................................... 160 Figure III.82. Localisation des pluviographes existants en 1973 et 2003 dans la zone d’étude et configuration des 20 stations optimales dans BV3 et BV5 ................................................. 174

Liste des tableaux

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Liste des Tableaux

Tableau I.1. Caractéristiques de la loi GEV (Coles, 2001) ...................................................... 13 Tableau I.2. Aperçu de littérature du recuit simulé.................................................................. 21 Tableau I.3. Fonctions étudiées par Pibouleau et al. (2005) .................................................... 25 Tableau I.4. Aperçu de littérature des recommandations d’ajustement des paramètres du recuit simulé ....................................................................................................................................... 28 Tableau II.1. Liste des événements pluvieux extrêmes pour le BV3………………………….42 Tableau II.2. Liste des événements pluvieux extrêmes pour le BV4………….……………...42 Tableau II.3. Liste des événements pluvieux extrêmes pour le BV5………………………....43 Tableau II.4. Liste et coordonnées des stations pluviographiques du BV3 .............................. 43 Tableau II.5. Liste et coordonnées des stations pluviographiques du BV4 ............................ 444 Tableau II.6. Liste et coordonnées des stations pluviographiques du BV5 .............................. 44 Tableau II.7. Analyse des pluviogrammes relatifs aux événements extrêmes du BV3 ............ 46 Tableau II.8. Analyse des pluviogrammes relatifs aux événements extrêmes du BV4 ............ 46 Tableau II.9. Pluie moyenne tombée (mm/h) sur chaque bassin versant (Kallel et Colombani, 1973)......................................................................................................................................... 49 Tableau II.10. Cumul pluviométrique du 26 au 28 Mars 1973 (Kallel et Colombani, 1973).. 49 Tableau II.11. Intensités maximales (mm/h) relatives à des intervalles de temps variables, pluie du 26 au 28 Mars 1973, bassins 3 et 5 (Kallel et Colombani, 1973) .............................. 50 Tableau II.12. Intensités maximales (mm/h) relatives à des intervalles de temps variables en quelques pluviographes limitrophes aux BV3 et BV5, Mars 1973 (Kallel et Colombani, 1973).................................................................................................................................................. 50 Tableau II.13. Nombre des durées (5min) où l’intensité a dépassé 10mm/h pour bassins 3 et 5 et en quelques stations limitrophes .......................................................................................... 51 Tableau II.14. Analyse statistique de la pluie totale du 27 Mars en quelques stations (Kallel et Colombani, 1973)..................................................................................................................... 51 Tableau II.15. Analyse statistique de la pluie totale sur 3 jours en quelques stations (DGRE-ST2i, 2007)............................................................................................................................... 51 Tableau II.16. Intensités maximales (mm/h) relatives à une heure, pluie du 10 au 11 Janvier 2003, bassin 5 (données traitées sous « ARES » et « VISUAL »).......................................... 52 Tableau II.17. Intensités maximales (mm/h) relatives à une heure lors de la pluie du 10 au 11 Janvier 2003 en quelques pluviographes limitrophes aux BV3 et BV5 .................................... 52

Tableau II.18. Analyse statistique de la pluie totale du 10 et 11 Janvier 2003 (DGRE-ST2i, 2007) ........................................................................................................................................ 53 Tableau II.19. Intensités des précipitations du 30 septembre 1986 (mm/h) (BV4) (Ghorbel et

al., 1986)................................................................................................................................... 53 Tableau II.20. Cumul des pluies de l’épisode pluvieux de 29-30 Septembre 1986 et leurs périodes de retour (Ghorbel et al., 1986) ................................................................................. 54 Tableau II.21. Courbes IDF de la station Tunis Manoubia (1909-1923 et 1926-1953) (De Montmarin, 1953)..................................................................................................................... 55 Tableau II.22. Paramètres de loi intensité- durée (formule de Montana) communs aux stations Tunis Manoubia et Tunis Carthage (Maalel et Triki, 1979) .................................................... 56 Tableau II.23. Courbes IDF de la station Tunis Manoubia (Ghorbel et al., 1986) .................. 56 Tableau II.24. Paramètres de loi intensité- durée (formule de Montana) (Sâadaoui, 1986) .... 57 Tableau II.25. Résultats d’estimation des paramètres de la loi Weibull pour la station Tunis Manoubia (Sakiss et al., 1991) ................................................................................................. 57 Tableau II.26. Paramètres des courbes IDF de la station Tunis Carthage pour la période (1970-1990).............................................................................................................................. 58 Tableau II.27. Paramètres de loi intensité-durée (formule de Montana) (Zitouni, 1997) ........ 58

Liste des tableaux

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Tableau II.28. Paramètres estimés de la loi GEV pour les différentes stations (Bouanz, 2005).................................................................................................................................................. 58 Tableau II.29. Les stations étudiées par DGRE-ST2i (Bassins BV3 et BV5) .......................... 60 Tableau II.30. Les paramètres a(T) et b(T) des stations étudiées............................................. 61 Tableau III.1. Paliers et portées ajustés pour les variogrammes .............................................. 82 Tableau III.2. Surface (km²) avec intensité de pluie estimée dépassant une valeur seuil ........ 92 Tableau III.3. Comparaison des performances de la validation croisée entre le KO et le KDE.................................................................................................................................................. 97 Tableau III.4. Comparaison des statistiques de la différence relative entre KDE et KO aux noeuds du maillage................................................................................................................... 98 Tableau III.5. Résultats de la validation croisée du variogramme de Imax sur une heure (Mars 1973) ........................................................................................................................................ 98 Tableau III.6. Indices d’érosivité RUSA relatifs à l’événement de Mars 1973 bassins 3 et 5.. 102 Tableau III.7. Résultats de la validation croisée du variogramme de l’indice d’érosivité R (Mars 1973) ............................................................................................................................ 104 Tableau III.8. Résultats de la validation croisée du variogramme de Imax sur 1 heure (Janvier 2003) ...................................................................................................................................... 107 Tableau III.9. Résultats pour les paramètres du SA (7 nouvelles stations - variogramme de 1973)....................................................................................................................................... 109 Tableau III.10. Résultats pour les paramèters du SA étudiés en utilisant la structure du variogramme de 1973............................................................................................................. 113 Tableau III.11. Résultats des paramètres du SA (20 et 25 nouvelles stations - variogramme de 1973) ...................................................................................................................................... 114 Tableau III.12. Résultats pour les paramètres du SA (variogramme de 2003) ...................... 116 Tableau III.13. Résultats pour les paramètres du SA (20 et 25 nouvelles stations - variogramme de 2003) ........................................................................................................... 116 Tableau III.14. Résultats pour les paramètres du SA (variogrammes de 1973 et 2003)........ 117 Tableau III.15. Ensemble des solutions en utilisant les variogrammes de 1973 et 2003...... 117 Tableau III.16. Evolution du gain relatif avec l’augmentation de la densité du réseau dans l’objectif de cartographie de I2D-1h (Mars 1973) ................................................................. 120 Tableau III.17. Réduction de l’incertitude avec l’augmentation de la densité du réseau dans l’objectif de la cartographie fiable de I3D (Mars 1973)......................................................... 123 Tableau III.18. Comparaison des solutions entre l’approche 2D et l’approche 3D basée sur l’étude de l’intensité ............................................................................................................... 123 Tableau III.19. Evolution du gain avec l’augmentation de la densité du réseau dans l’objectif de cartographie de I2D-1h (Janvier 2003).............................................................................. 125 Tableau III.20. Comparaison des solutions entre le variogramme de 1973 et le variogramme de 2003 (Approche I2D-1h) ................................................................................................... 126 Tableau III.21. Evolution du gain avec l’augmentation de la densité du réseau dans l’objectif de cartographie de R par KDE= I2D-1h (Mars 1973) ............................................................ 128 Tableau III.22. Solutions pour les objectifs simples (dérive externe= Intensité maximale sur une heure) (Mars 1973) .......................................................................................................... 131 Tableau III.23. Evolution du gain avec l’augmentation de la densité du réseau dans l’objectif de cartographie de R par KDE= I2D-6h (Mars 1973) ............................................................ 131 Tableau III.24. Solutions pour les problèmes bi-objectifs (dérive externe= Intensité maximale sur une heure) (Evènement de 1973)...................................................................................... 134 Tableau III.25. Résultats de la validation croisée du paramètre b(T=2ans) .......................... 136 Tableau III.26. Résultats de la validation croisée du paramètre b(T=5ans) .......................... 137 Tableau III.27. Résultats de la validation croisée du paramètre b(T=10 ans) ....................... 138 Tableau III.28. Résultats de la validation croisée du paramètre b(T=20 ans) ....................... 139

Liste des tableaux

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Tableau III.29. Résultats de la validation croisée du paramètre b(T=50 ans) ....................... 140 Tableau III.30. Résultats de la validation croisée du paramètre b(T=100 ans) ..................... 141 Tableau III.31. Résultats de la validation croisée du paramètre a(T=2 ans) ......................... 142 Tableau III.32. Résultats de la validation croisée du paramètre a(T=5 ans) ......................... 143 Tableau III.33. Résultats de la validation croisée du paramètre a(T=10 ans) ....................... 144 Tableau III.34. Résultats de la validation croisée du paramètre a(T=20 ans) ....................... 145 Tableau III.35. Résultats de la validation croisée du paramètre a(T=50 ans) ....................... 146 Tableau III.36. Résultats de la validation croisée du paramètre a(T= 100 ans) .................... 147 Tableau III.37. Valeurs de u(T) et Prob(T) ............................................................................ 156 Tableau III.38. Valeurs de FOref1(T) pour a(T) ...................................................................... 156 Tableau III.39. Solutions robustes pour la fonction objectif FO1 .......................................... 158 Tableau III.40. Valeurs de FOref2(T) ...................................................................................... 159 Tableau III.41. Solutions robustes pour la fonction objectif FO2 .......................................... 161 Tableau III.42. Comparaison des variances moyennes obtenues sur la base du réseau robuste (FO1) à celles obtenues en monocritère pour la cartographie de I2D-1h (Mars 1973).......... 161 Tableau III.43. Comparaison des variances moyennes obtenues par le réseau robuste (FO1) à celles obtenues en monocritère pour la cartographie de I2D-1h (Janvier 2003).................... 162 Tableau III.44. Comparaison des variances moyennes obtenues par le réseau robuste (FO1) à celles obtenues en monocritère pour la cartographie de R pour Mars 1973 .......................... 163 Tableau III.45. Comparaison des variances moyennes obtenues par le réseau robuste (FO2) à celles obtenues en monocritère pour la cartographie de I2D-1h (Mars 1973) ....................... 163 Tableau III.46. Comparaison des variances moyennes obtenues par le réseau robuste (FO2) à celles obtenues en monocritère pour la cartographie de I2D-1h (Janvier 2003).................... 164 Tableau III.47. Comparaison des variances moyennes obtenues par le réseau robuste (FO2) à celles obtenues en monocritère pour la cartographie de R pour Mars 1973 .......................... 164 Tableau III.48. Solutions robustes pour les fonction objectifs FO1 et FO2 (Horizon N=5 ans)................................................................................................................................................ 165 Tableau III.49. Solutions robustes pour les fonction objectifs FO1 et FO2 (Horizon N=30 ans)................................................................................................................................................ 165 Tableau III.50. Synthèse des problèmes d’optimisation étudiés............................................ 166 Tableau III.51. Synthèse des réseaux optimaux pour le scénario 1 ....................................... 168 Tableau III.52. Synthèse des réseaux optimaux pour le scénario 2 ....................................... 169 Tableau III.53. Synthèse des réseaux optimaux pour le scénario 3 ....................................... 170 Tableau III.54. Synthèse des réseaux optimaux pour le scénario 4 ....................................... 171 Tableau III.55. Valeurs de FOref2(T) ...................................................................................... 173 Tableau III.56. Liste des 20 stations optimales...................................................................... 174

Sommaire

Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) xv

Sommaire

REMERCIEMENTS.................................................................................................................I

RESUME................................................................................................................................ III

ABSTRACT ............................................................................................................................. V

SIGLES ET ABREVIATIONS ........................................................................................... VII

LISTE DES FIGURES...........................................................................................................IX

LISTE DES TABLEAUX .................................................................................................... XII

SOMMAIRE......................................................................................................................... XV

INTRODUCTION GENERALE ............................................................................................ 1

CHAPITRE I : REVUE DE LITTERATURE ...................................................................... 5

Introduction .............................................................................................................................. 5

I-1- Observation de la pluie par pluviographes..................................................................... 5 I-1-1- Appareillages pluviographiques et calcul des intensités.............................................. 6 I-1-2- Les erreurs de mesure .................................................................................................. 7 I-1-3- Modélisation des intensités de pluie ............................................................................ 8 I-1-3-1-Modèles des pluies par des processus ponctuels ....................................................... 8 I-1-3-2-Modélisation des intensités-Durées ......................................................................... 10 I-1-4- Modèle d’IDF ............................................................................................................ 10 I-1-4-1- Principe général ...................................................................................................... 10 I-1-4-2- Etablissement des courbes IDF............................................................................... 11 I-1-5- Analyse des pluies sur une surface ............................................................................ 13 I-1-5-1- Coefficients d'abattement ....................................................................................... 14 I-1-5-2- Courbes IDSF (Intensité-Durée-Surface-Fréquence) ............................................. 15

I-2- Techniques d’optimisation des réseaux de mesures géophysiques............................. 15 I-2-1- Formulation du problème d’optimisation combinatoire ............................................ 16 I-2-2- Etat de l’art sur l’optimisation des réseaux de mesures géophysiques ...................... 16 I-2-2-1- Cas particulier de l’optimisation des réseaux pluviométriques et pluviographiques.............................................................................................................................................. 17 I-2-3- Méthodes de résolution du problème d’optimisation................................................. 19

I-2-3-1- Méthodes stochastiques ...................................................................................... 19 I-2-4- Le recuit simulé.......................................................................................................... 20

I-2-4-1- Présentation ........................................................................................................ 20 I-2-4-2- Algorithme.......................................................................................................... 23 I-2-4-3- Caractéristiques et paramètres internes du Recuit simulé .................................. 23

Sommaire

Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) xvi

I-2-4-4- Avantages et inconvénients du recuit simulé ..................................................... 29 I-2-5- L’optimisation robuste ............................................................................................... 29

I-2-5-1- Motivations......................................................................................................... 29 I-2-5-2- Méthode d’optimisation robuste basée sur les scénarios.................................... 30

I-3- Outils d’interpolation spatiale ....................................................................................... 31 I-3-1- Principes de la géostatistique et théorie des variables régionalisées ......................... 31 I-3-2- Variogramme ............................................................................................................. 32

I-3-2-1- Les différents comportements d'un variogramme expérimental......................... 32 I-3-2-2- Modélisation du variogramme............................................................................ 33

I-3-2-3- Validation des variogrammes modélisés ................................................................ 34 I-3-2-4- Cas multivarié : Calcul de variogramme croisé...................................................... 35 I-3-3- Méthodes de krigeage ................................................................................................ 35

I-3-3-1- Procédure de krigeage ........................................................................................ 36 I-3-3-2- krigeage ordinaire ............................................................................................... 37 I-3-3-3- Cas multivarié..................................................................................................... 38

Conclusion............................................................................................................................... 39

CHAPITRE II : MATERIEL ET METHODE ................................................................... 40

Introduction ............................................................................................................................ 40

II-1- Elaboration de l’information pluviographique........................................................... 40 II-1-1- Zone d’étude ............................................................................................................. 40 II-1-2- Identification d’événements pluvieux extrêmes ....................................................... 41 II-1-3- Identification des réseaux pluviographiques ............................................................ 43 II-1-4- Analyse des pluviogrammes..................................................................................... 45 II-1-5- Evénements pluvieux extrêmes retenus.................................................................... 47 II-1-6- Etudes antérieures sur les courbes Intensité-Durée-Fréquence dans la région d’étude.............................................................................................................................................. 54 II-1-6-1- Etudes antérieures des intensités de la pluie sur la région d’étude ....................... 55

a- Étude de Bonenfant (1935) ...................................................................................... 55 b- Etude de De Montmarin (1953) ............................................................................... 55 c- Etude de Cormary (1964)......................................................................................... 55 d- Etude de Boussabbah (1971) ................................................................................... 55 e- Etude de Saïdi (1977)............................................................................................... 56 f- Etude de Maalel et Triki (1979) ............................................................................... 56 g- Etude de Ghorbel et al. (1986)................................................................................. 56 h- Etude de Sâadaoui (1986) ........................................................................................ 57 i- Etude de Sâadaoui (1989) ......................................................................................... 57 j- Etude de Sâadaoui (1990) ......................................................................................... 57 k- Etude de Sakiss et al. (1991).................................................................................... 57 l- Etude de AJCI (1994) ............................................................................................... 57 m- Etude de Zitouni (1997).......................................................................................... 58 n- Bouanz (2005).......................................................................................................... 58

II-1-6-2- les résultats de l’étude de DGRE-ST2i (2007)...................................................... 59 II-1-6-3- Comparaison des résultats de l’étude de DGRE-ST2i (2007) aux résultats des études antérieures des intensités de la pluie ......................................................................... 62

a- Tunis Manoubia ....................................................................................................... 62

Sommaire

Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) xvii

b- Barrage Izid.............................................................................................................. 63

II-2-Méthodologie................................................................................................................... 64 II-2-1- Choix des variables d’étude...................................................................................... 64 II-2-1-1- Choix en relation avec le débit .............................................................................. 64 II-2-1-2- Choix respectivement à l’érosion hydrique........................................................... 65 II-2-2- Modélisation des variogrammes (Approche 2D- Approche 3D).............................. 66 II-2-3- Elaboration des fonctions objectifs........................................................................... 69 II-2-3-1- Fonction objectif adimensionnelle ........................................................................ 70 II-2-3-2- Fonction objectif basée sur la minimisation de la variance spatiale moyenne de l’erreur de krigeage .............................................................................................................. 70 II-2-4- Calage des paramètres internes du SA ..................................................................... 70 II-2-5- Définition des solutions candidates .......................................................................... 72 II-2-6- Définition des problèmes d’optimisation en mono et bi-objectif ............................. 72 II-2-6-1- Effet du variogramme 2D-3D sur la fonction objectif .......................................... 72 II-2-6-2- Extension monocritère : Réseau pluviographique dans une problématique d’inondation ......................................................................................................................... 72 II-2-6-3- Extension monocritère dans une problématique d’érosion ................................... 72 II-2-6-4- Extension du réseau pluviographique avec agrégation de critères........................ 73 II-2-7- Elaboration de fonctions objectifs en optimisation robuste...................................... 73 II-2-7-1- Fonction objectif 1 (FO1) ...................................................................................... 75 II-2-7-2- Fonction objectif 2 (FO2) ...................................................................................... 75

Conclusion............................................................................................................................... 76

CHAPITRE III : RESULTATS............................................................................................ 78

Introduction ............................................................................................................................ 78

III-1- Résultats de l’analyse variographique en 2D et 3D .................................................. 78 III-1-1- Sélection de la dérive externe.................................................................................. 78 III-1-2- Elaboration des variogrammes conditionnels ......................................................... 80 III-1-3- Variogrammes et échelles des durées...................................................................... 82 III-1-4- Les résultats de la validation croisée....................................................................... 87 III-1-5- Effet sur l'écart type de l'erreur de krigeage............................................................ 93 III-1-6- Comparaison aux résultats du krigeage ordinaire ................................................... 95

III-2- Analyses structurales et cartographies des deux événements de 1973 et 2003....... 98 III-2-1- Evènement de Mars 1973........................................................................................ 99

III-2-1-a- Krigeage par l’approche 2D de l’intensité maximale sur une heure ................ 99 III-2-1-b- Krigeage par l’approche 3D de l’intensité maximale .................................... 101 III-2-1-c- Mise en relation des variables I et R .............................................................. 102 III-2-1-d- Krigeage de l’indice d’érosivité R ................................................................. 103

III-2-2- Evènement de Janvier 2003................................................................................... 106

III-3- Calage des paramètres du Simulated annealing ..................................................... 108 III-3-1- Calage des paramètres internes du SA en utilisant le variogramme de l'événement de 1973 ............................................................................................................................... 108

III-3-1-a- Cas d’extension du réseau existant par 7 nouvelles stations.......................... 108 III-3-1-b- Sensibilité des paramètres du SA à la taille du réseau optimal...................... 113

Sommaire

Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) xviii

III-3-2- Calage des paramètres internes du SA en utilisant le variogramme de l'événement de 2003 ............................................................................................................................... 114

III-3-2-a- Sensibilité des paramètres internes du SA à la taille du réseau pour l'événement de 2003 ........................................................................................................................... 115

III-3-3- Comparaison des paramètres internes optimaux du SA et des configurations des réseaux optimaux pour les deux variogrammes ................................................................. 116

III-4- Optimisation du réseau pluviographique pour l’estimation spatiale de l’intensité de pluie .................................................................................................................................. 118

III-4-1- Optimisation du réseau pluviographique sur la base de l’événement de Mars 1973............................................................................................................................................ 118

III-4-1-1- Extension du réseau pluviographique en utilisant l’approche 2D ................. 119 III-4-1-2- Extension du réseau pluviographique en utilisant l’approche 3D ................. 121 III-4-1-3- Comparaison des solutions pour les deux approches 2D et 3D ..................... 123

III-4-2- Optimisation du réseau pluviographique sur la base de l’événement de Janvier 2003............................................................................................................................................ 124 III-4-3- Comparaison des réseaux optimaux obtenus pour les variogrammes des deux événements de 1973 et 2003 .............................................................................................. 125

III-5- Optimisation du réseau pluviographique pour l’estimation spatiale de l’indice d’érosivité de la pluie ........................................................................................................... 126

III-6- Comparaison des réseaux monocritères ................................................................. 128

III-7- Combinaison des deux objectifs................................................................................ 132

III-8- Résultats de l’optimisation robuste .......................................................................... 135 III-8-1- Relation entre les paramètres a(T) et b(T)............................................................. 135 III-8-2- Analyses structurales et cartographie des paramètres d’ajustement des courbes Intensité-durée-fréquence................................................................................................... 136

III-8-2-1- Analyse structurale du paramètre b(T) .......................................................... 136 a- Variogramme de b(T=2 ans) .................................................................................. 136 b- Variogramme de b(T=5 ans) ................................................................................. 137 c- Variogramme de b(T=10 ans)................................................................................ 137 d- Variogramme de b(T=20 ans) ............................................................................... 138 e- Variogramme de b(T= 50 ans)............................................................................... 139 f- Variogramme de b(T= 100 ans) ............................................................................. 140

III-8-2-2- Analyse structurale du paramètre a(T)........................................................... 141 III-8-2-3- Cartographie des paramètres a(T) et b(T)...................................................... 149 III-8-2-4- Cartographie de Imax(T)................................................................................ 152

III-8-3- Résultats de l’optimisation robuste ....................................................................... 155 III-8-3-1- Analyse des résultats de la fonction Objectif robuste 1................................. 156 III-8-3-2- Analyse des résultats de la fonction Objectif robuste 2................................. 158 III-8-3-3- Comparaison des réseaux robustes obtenus à ceux du monocritère .............. 161

III-9- Synthèse des résultats des problèmes d’optimisation étudiés ................................ 165

III-10- Exemple étudié suite à la consultation de l’étude de l’AJCI (2009) .................... 172

Conclusions ........................................................................................................................... 175

Sommaire

Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) xix

CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES........................................................ 177

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES........................................................................... 181

Introduction générale

1


Le climat de la Tunisie est de type semi-aride avec de très grandes variations de la température et de la pluviométrie et ceci, aussi bien dans le temps que dans l’espace. Le régime pluviométrique est très variable aussi bien du point de vue de la durée que de l’intensité des pluies et il n’est pas rare d’assister à des pluies de très fortes intensités qui peuvent engendrer des crues dévastatrices du milieu naturel. Les crues les plus importantes enregistrées durant les cinquante dernières années sont celles des années 1969, 1973, 1986, 2003, 2004, 2006 et 2007. Les dernières inondations vécues, et particulièrement celles de septembre 2003 et septembre-octobre 2007 dans le Grand Tunis, ont induit de très grands dégâts matériels, sans précédent historique dans la zone de Tunis Nord, notamment les quartiers de Soukra et Raoued (BAD, 2009).

Les principaux réseaux de suivi des pluies sont en service depuis plus de 100 années ;

ils ont fait leur preuve en mettant de longues séries d’informations au profit de nombreux projets et ouvrages d’aménagement, notamment concernant l’agriculture irriguée et les grands transferts d’eau. Ces données ont permis d’assurer une base objective pour la gestion de ces ouvrages et aménagements, et par là, la gestion des ressources en eau. L’enregistrement des intensités de pluie au nord de la Tunisie a commencé en 1949 à la station Tunis Manoubia.

L’étude de la pluviographie en Tunisie a fait l’objet de travaux réalisés par les principales institutions qui s’intéressent directement ou indirectement à la connaissance des lois statistiques qui régissent la variabilité des intensités à travers les différentes régions. Les données relatives aux stations pluviographiques constituent un outil fondamental pour les statistiques climatiques, la planification et la gestion des ressources, la conception des ouvrages d’aménagement hydraulique et de protection contre les inondations, l’étude de l’érosion et différents autres aspects liés à l’hydrologie des bassins versants (Haberlandt, 2007).

D’autre part, le pluviographe muni d’une retransmission des données en temps réel, constitue un appareil indispensable pour la prévision des crues. Les utilisateurs des relevés pluviographiques sont potentiellement très diversifiés (besoins de l’agriculture pluviale et de prévision des récoltes, besoin de l’agriculture irriguée et prévision de l’irrigation, besoin en eau potable et gestion des ouvrages de retenue de surface, prévision de la recharge des nappes dans les zones d’affleurement, prévision des crues, prédiction des inondations, prévision de la qualité des eaux des cours d’eau et des plans d’eau superficiels, besoin de suivre l’évolution du climat et d’en connaître les régimes,…)

En raison de toutes ces utilisations potentielles, mesurer la pluie n’est en rien un acte sans conséquences. Mais où implanter les points d’observation, de manière à répondre au mieux aux utilisateurs de l’information pluviographique ? L’implantation d’un plus grand nombre de pluviographes permet une analyse plus fine de la situation pluviométrique (en réduisant les erreurs d’interpolation spatiale). Une densification du réseau trouve également son intérêt dans l’anticipation du risque de crue. Il est utile de rappeler qu’une crue est dépendante à la fois des caractéristiques intrinsèques de l’épisode pluvieux et des caractéristiques physiques du milieu notamment l’humidité du sol, qui sont liées aux conditions météorologiques antérieures. Toutefois, la densification des réseaux a un coût monétaire (équipement, entretien, maintenance). La nature et la densité d’un réseau


Thèse de Doctorat en Génie Hydraulique (LMHE) 2

pluviographique doivent donc tenir compte du phénomène observé, du but des observations, de la précision désirée, de la topographie, de facteurs économiques ou d'autres encore. De plus, les besoins des utilisateurs peuvent augmenter et se diversifier en fonction des changements anthropiques. C’est pourquoi, une révision du plan d’organisation du réseau pluviographique s’avère parfois nécessaire au vu des besoins nouveaux qui sont exprimés en matière d’assistance, d’analyse et de prévision.

La densité du réseau (nombre de stations par km2) et la configuration (localisation géographique des sites d’observation) sont des facteurs clés qui ont une influence sur la précision de l’estimation spatiale de la pluie et des variables environnementales liées à la pluie (en particulier l’érosion). La conception du réseau envisagé nécessite en premier lieu la définition des objectifs qui en sont attendus. En effet, les hydrologues ont, dès le départ, lié l’implantation du réseau au pourquoi des relevés. Toutefois, ces objectifs peuvent changer durant l’exploitation du réseau. Dans une pareille situation, la révision de la composition du réseau, de sa répartition et de la fréquence des mesures s’impose. Ce processus est désigné par rationalisation ou optimisation du réseau.

L’optimisation des réseaux pluviographiques peut être appréhendée comme un problème décisionnel. En effet, configurer un réseau d’observation dans l’espace revient à sélectionner des sites au sein d’un domaine dans lequel des observations sont prélevées. Le choix de ces sites ne peut être opéré fortuitement dans le cas où la variable observée se déploie dans l’espace, selon une structure de variabilité et non de façon erratique. Cela est précisément le cas des variables pluviométriques. Si les points d’observation sont trop rapprochés, il peut y avoir redondance d’information. S’ils sont trop dispersés, il peut y avoir impossibilité de transférer de manière fiable, l’information reçue d’un site observé à d’autres sites non observés. Si le phénomène observé admet une variabilité plus accentuée, le réseau d’information devra être raisonnablement plus dense. Ainsi, à l’aval de la configuration de réseau se trouvent en premier des questions d’interpolation spatiale et d’évaluation de la moyenne spatiale.

La densité spatiale des pluviographes est un problème spécifique compte tenu de la variabilité spatio-temporelle importante des événements pluvieux. En général, l’augmentation de la densité spatiale de pluviographes a pour avantage de fournir une information plus détaillée et à diminuer l’incertitude d’estimation au niveau local, c’est à dire améliorer la précision de l’estimation.

En statistique, la notion de précision est définie comme l’inverse de la variance. Augmenter la précision d’un estimateur revient à diminuer sa variance d’estimation. Justement, la méthode d’estimation par krigeage, proposée dès le début du vingtième siècle par Krige, pour le cas d’exploitation d’un gisement minier, permet de transférer l’information des points observés vers les points non observés et, ce qui est très important, d’associer une incertitude à la valeur interpolée. Cette méthode est depuis les travaux de Delhomme (1978) fortement recommandée dans l’estimation des lames d’eau tombées sur une surface donnée. Le réseau optimal est potentiellement celui qui permet d’estimer la lame d’eau avec l’incertitude la plus faible, compte tenu de la variabilité du phénomène étudié et des moyens humains et financiers alloués (si la taille du réseau est fixée).

Dans la pratique hydrologique, dans une problématique de prédiction des débits de crue, la pluie est une variable d’entrée. La mise en relation des pluies et des crues pose le problème des pluies instantanées torrentielles qui ne peut être résolu que par une bonne



connaissance des intensités et de leur récurrence. Ceci implique une bonne couverture des mesures pluviographiques. L’étude de l’intensité des pluies constitue donc un élément essentiel dans l’étude des crues et les débits qu’elles engendrent. La connaissance des intensités en fonction des durées des averses et de leurs différentes récurrences permet entre autres, d’estimer, pour différentes récurrences, les débits caractéristiques des crues qui risquent de se produire sur un bassin versant donné. De telles informations sont nécessaires pour la prévision des crues et aussi pour le dimensionnement des ouvrages hydrauliques. L’estimation des débits de pointe par des modèles empiriques fait intervenir l’intensité maximale de la pluie sur une durée de référence. La question du choix de la durée de référence est importante. L’estimation du débit de pointe est d’autant plus précise que l’estimation de l’intensité maximale de la pluie est plus précise.

Un autre impact important de la pluie est l’érosion qu’elle engendre. En effet, parmi les facteurs qui influencent l'érosion de sol, il y a le climat, la topographie, le type de sol, et l'utilisation de la terre. Les taux d'érosion dépendent des forces érosives résultant de l'impact des gouttes de pluie et de la résistance du sol au détachement et au transport. Le facteur d'érosivité des précipitations (R), qui est lié à l’intensité de la pluie, est considéré comme l'un des facteurs les plus importants dans l'évaluation du taux d'érosion en utilisant le modèle de l'USLE (Wischmeier et Smith, 1978).

Ainsi, postulons-nous qu’en améliorant la précision d’estimation de l’intensité de la pluie aux points non observés grâce à une couverture de réseau plus adéquate, on arrivera à améliorer la précision d’estimation des débits de pointe et des facteurs d'érosivité des précipitations.

La présente étude d’optimisation s’intègre dans cete hypothèse. La zone étudiée dans ce mémoire inclut les bassins versants de la Medjerdah (Bassin 5 (BV5)), l’extrême nord et l’Ichkeul (Bassin 3 (BV3)), le Méliane et le Cap Bon (Bassin 4 (BV4)) dont les réseaux pluviographiques ont été installés depuis la fin du 19ième siècle. Une optimisation visant à rendre ces réseaux pluviographiques plus performants, moins coûteux, plus faciles à gérer et offrant une information plus complète et plus fiable a été entreprise par la DGRE (DGRE, 2006) et nous y avons participé à titre contractuel. Ce travail en constitue une sorte prolongement qui adopte des méthodes d’optimisation automatique et définit un grand nombre de scénarios quant à l’amélioration de la couverture spatiale (en étudiant des extensions plus ou moins importantes allant de 25% à 160% du réseau initial).

Les réseaux pluviographiques étudiés sont initialement de faibles densités, ce qui pose des défis particuliers pour l’analyse puisqu’avec un réseau peu dense, l’estimation de la structure de variabilité de la pluie que l’on postule être le variogramme, peut être peu précise. La méthodologie porte sur l’extension d’un réseau pluviographique en utilisant le krigeage et un algorithme d'optimisation automatique de type stochastique : le simulated annealing.

Le premier chapitre du rapport est consacré à une revue bibliographique de l’observation de la pluie, des techniques d’optimisation des réseaux de mesures géophysiques et des outils géostatistiques de représentation de la variabilité spatiale de la pluie.

Le deuxième chapitre est dédié à la description de la zone étudiée et des données disponibles ainsi qu’aux approches méthodologiques adoptées dans cette recherche. Afin d’atteindre ces objectifs, nous avons été d’abord contraints à l’élaboration d’une base de données des événements pluvieux extrêmes sur la région d’étude. Ensuite, nous avons



procédé à l’analyse des pluviogrammes correspondants à ces événements. Pour la méthodologie, il s’agit d’abord de choisir les variables d’étude. Ensuite, la méthode d’élaboration et d’analyse des variogrammes (Approche 2D - Approche 3D) est présentée. Puis nous définissons des fonctions objectifs dans les cas monocritère, bi-critère et robuste. D’autre part, nous y exposons la méthode adoptée pour le calage des paramètres internes du Simulated Annealing.

Dans le dernier chapitre, nous présentons les résultats obtenus. Nous commençons par présenter les résultats de l’approche 3D pour les bassins 3 et 5 et pour le bassin 4. Ensuite, nous présentons les analyses structurales, les cartographies des deux événements de 1973 et 2003 sur les bassins 3 et 5 et les résultats du calage des paramètres du SA. Les résultats de l’optimisation du réseau pluviographique pour l’estimation spatiale de l’intensité de pluie et pour l’estimation spatiale de l’indice d’érosivité de pluie sont présentés et comparés. Ensuite, les résultats de l’agrégation de ces deux critères sont présentés. Enfin, les résultats de l’optimisation robuste et leurs comparaisons avec les résultats de l’optimisation obtenus pour les deux problèmes monocritères sont présentés.

Nous achevons ce mémoire par une conclusion générale dans laquelle nous dressons le bilan de notre contribution et nous ouvrons des perspectives sur nos travaux futurs.

Chapitre I : Revue de littérature

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Chapitre I : REVUE DE LITTERATURE

INTRODUCTION

L’optimisation d’un réseau pluviographique est un sujet qui fait appel à des

connaissances sur des thématiques diverses. Dans ce chapitre, une recherche bibliographique est dédiée à chaque thématique. En effet, l’étude bibliographique commence par les appareillages d’observation de la pluie et leurs erreurs de mesure et se poursuit par le calcul et la modélisation des intensités de pluie en particulier les modèles IDF. Puis, les techniques d’optimisation des réseaux de mesure géophysiques sont énumérées pour finalement se focaliser sur les études antérieures concernant l’optimisation des réseaux pluviographiques. Après avoir énoncé les méthodes numériques de résolution du problème d’optimisation, nous présentons le recuit simulé (simulated annealing), qui est une méthode stochastique utilisée pour la résolution des problèmes combinatoires. Ensuite, le recours aux méthodes de l’optimisation robuste pour l’étude des intensités de pluie est justifié et nous présentons également la méthode basée sur les scénarios. Enfin, une revue des outils d’interpolation spatiale est présentée en expliquant les principes de la géostatistique et la théorie des variables régionalisées. En particulier, nous nous intéressons aux variogrammes croisés qui permettent de traiter l’interaction de variables corrélées entre elles. La fin du chapitre a été consacrée à la présentation de la méthode du krigeage en s’intéressant surtout aux deux types de krigeage qui seront adoptés par la suite : ordinaire et avec dérive externe.

I-1- OBSERVATION DE LA PLUIE PAR PLUVIOGRAPHES

La pluie est une composante importante du cycle de l’eau. En effet, le cheminement hydrologique de l’eau sur le continent commence lorsqu’une précipitation touche le sol. Les précipitations varient selon différents facteurs régionaux tels que la latitude et la longitude, et locaux tels que la direction de déplacement des perturbations, le relief, la proximité de la mer etc. La variabilité interannuelle obéit également à la variabilité climatique comme le montrent les études mettant en relation les cumuls pluviométriques et les indices climatiques. (Ali et al., 2003; Ouachani et al., 2011)

Quelle que soit sa forme, liquide ou solide, la quantité d'eau précipitée durant un certain laps de temps est généralement exprimée en hauteur de précipitation ou lame d'eau précipitée par unité de surface horizontale (mm en unités SI). L’intensité (mm/h) est définie comme la hauteur d'eau précipitée par unité de temps. Selon WMO (2009), la précision de la mesure de la lame d’eau précipitée est au mieux de l'ordre de 0.1mm.

Les appareils de mesure des pluies les plus classiques sont les pluviomètres et les pluviographes, à enregistrement mécano-graphique ou digital. Il existe aussi des mesures indirectes des précipitations fondées sur les techniques de radar et télédétection. L’avantage essentiel du radar, par rapport à un réseau classique de pluviographes, réside dans sa capacité d’acquérir, depuis un seul point, de l’information sur l’état des systèmes précipitants intéressants une vaste région (Chumchean et al., 2006). L’interprétation des observations satellitaires pour l’estimation du champ pluvieux est de plus en plus courante (Van Dijk et Renzullo, 2010). Toutefois, notre travail repose seulement sur l’analyse des précipitations enregistrées par des réseaux pluviographiques au sol.



I-1-1- Appareillages pluviographiques et calcul des intensités

Le pluviographe est un instrument captant la précipitation de la même manière que le pluviomètre mais avec un dispositif permettant de connaître, outre la hauteur d'eau totale, sa répartition dans le temps, autrement dit les intensités. Les pluviographes fournissent des diagrammes de hauteurs de précipitations cumulées en fonction du temps (Girard et Chaperon, 1971)

Il existe plusieurs types de pluviographes, avec des technologies différentes (Krajewski et al., 1998). Deux types sont principalement utilisés : les pluviographes à augets basculeurs et ceux à siphons.

Les pluviographes à siphon (Figure I.1): L'accumulation de la pluie dans un réservoir cylindrique est enregistrée par l'élévation d'un flotteur. Lorsque le cylindre est plein, un siphon s'amorce et le vide rapidement. Les mouvements du flotteur sont enregistrés par un tambour rotatif à vitesse constante, entouré d'un papier, et se traduisent par un tracé qu’on appelle pluviogramme.

Figure I.1. Pluviographe à siphon (Musy et Higy, 2004)

Le pluviographe à augets basculeurs, illustré de façon schématique à la Figure I.2, mesure la pluie en orientant l’eau vers des augets qui basculent et se vident après avoir accumulé un volume prédéterminé d’eau (correspondant en général à 0.1 ou 0.5 mm de pluie selon la surface réceptrice de l’appareil et la contenance maximale des augets). Le pluviographe à augets basculeurs comprend :

- Une partie captante comprenant un cône de réception avec une crépine métallique placée en son fond pour empêcher l’intrusion d’objets (feuilles, plumes...). - Une partie réceptrice : les augets de mesures. Ils sont disposés symétriquement par rapport à un axe de rotation horizontal.

Les basculements sont comptés soit mécaniquement avec enregistrement sur papier enroulé autour d'un tambour rotatif, soit électriquement par comptage d'impulsions.



Les pluviographes à augets basculeurs sont actuellement les plus précis et les plus utilisés.

Figure I.2. Pluviographe à augets basculeurs (Musy et Higy, 2004)

Il existe d'autres modèles de pluviographes qui utilisent (Nystuen et al., 1996):

- le principe par pesée : une balance mesure l'évolution de la masse de précipitations canalisées.

- le principe optique : La variation d'amplitude et de durée d'un faisceau d'ondes permet de mesurer la vitesse de chute et le diamètre des gouttes d'eau.

Soit h(t) la hauteur cumulée de pluie en fonction du temps. On appellera It, intensité de la pluie à l'instant t, le terme :

It = dh(t)/dt (I.1)

Compte tenu du temps de basculement et du temps nécessaire au remplissage de l’auget, la fonction h(t) n’est pas connue d'une façon continue mais par une fonction qui varie par paliers selon ce que représente un basculement d’auget (par exemple 0.1 mm ou 0.5 mm) Il n'est donc pas possible d'en déterminer la dérivée et c’est l'intensité moyenne sur une durée Δt qui est définie par :

IΔt = Δh(t)/ Δt (I.2)

IΔt représente l'intensité moyenne de la pluie sur un intervalle de temps Δt. Il faut donc toujours préciser, lorsqu'on parle d'intensité, la durée sur laquelle on la donne.

I-1-2- Les erreurs de mesure

Les erreurs de mesure pour le pluviographe peuvent être systématiques ou aléatoires (Bertrand-Krajewski et al., 2000). Parmi les erreurs systématiques, on peut citer : - le déficit de captation provoqué par le pluviographe qui modifie les mouvements locaux d’air. Le déficit de captation peut atteindre 10 à 15% pour les pluies moyennes et augmente très vite avec la vitesse du vent. Les pluviographes en forme de « verre à pied » limitent le plus ce risque - les pertes par rétention des gouttes d’eau à la surface du cône ; - les pertes de rétention d’eau sur la crépine ; - l’évaporation par le vent et/ou la chaleur des gouttes retenues à la surface du cône - l’évaporation de l’eau contenue dans les augets entre deux pluies

Les erreurs aléatoires ont pour origine :



- des fuites - de mauvais réglages de l’appareil - un mauvais entretien - une dégradation du bord du cône, une mauvaise horizontalité ou une installation non conforme

Les pluviographes présentent l'inconvénient de sous-estimer systématiquement les fortes intensités (Laborde, 2009). Les erreurs d'estimation de la pluie ont une incidence sur la précision des débits. En effet, Wilson et al. (1979), qui ont utilisé un modèle pluie-débit déterministe pour représenter le bassin versant de Rio Fajardo au Nord-Est de Puerto Rico, ont montré que les erreurs sur la mesure de la pluie ne sont pas atténuées par le processus de ruissellement, bien au contraire : une erreur d'estimation de la pluie conduit à une erreur d'estimation des débits et volumes ruisselés encore plus grande.

I-1-3- Modélisation des intensités de pluie

En un lieu donné, la pluie présente un caractère intermittent (une succession d’états secs et pluvieux au cours du temps), extrêmement variable et discontinu dans le temps. Plus on observe la pluie à des pas de temps fins, plus elle est variable. Amorocho et Brandstetter (1967) et Yevjevitch (1972) ont été les premiers à analyser et à modéliser l'intermittence temporelle de la pluie.

La définition de la durée de la pluie est variable selon le pas de temps d’observation du hyétogramme et selon ce que l’on définit comme critères pour isoler un épisode pluvieux. En effet, si on observe la pluviométrie au pas de temps journalier, il est possible d’observer fréquemment des épisodes qui durent plusieurs jours (pluie journalière non nulle plusieurs jours de suite). Si on observe le même épisode au pas de temps horaire, on constate le plus souvent l’existence de différentes averses séparées par des périodes sèches.

On définit une averse comme un épisode pluvieux continu, dont la durée peut varier de quelques minutes à une centaine d’heures et intéresser une superficie allant de quelques kilomètres carrés (pluies convectives) à quelques milliers (pluies cycloniques). Dans un essai de modélisation temporelle de la série des pluies, Arnaud (1997) distingue deux populations d’averses : les averses apportant les plus grandes quantités d’eau sont appelées averses principales, les autres averses sont appelées averses ordinaires.

Une averse est caractérisée à la fois par sa hauteur et sa durée, c’est à dire par son intensité moyenne. Cette notion d'averse est très importante en milieu urbain et pour de petits bassins versants car elle est considérée déterminante pour l'estimation des débits de crue.

Il y a également une relation intensité-durée au sein d’une averse. L’intensité maximale de la pluie sur une durée d’observation décroit en fonction de celle-ci.

I-1-3-1-Modèles des pluies par des processus ponctuels

L’utilisation des processus ponctuels a été un terrain fructueux pour la modélisation stochastique des pluies depuis les travaux pionniers de Le Cam (1961). Il faut d’abord indiquer que ces modèles n'ont pas la prétention de renseigner sur la physique des processus réels. Waymire et Gupta (1981) ont traité, de façon détaillée, la représentation mathématique



des pluies à travers les processus ponctuels. Pour la modélisation stochastique des pluies journalières, la technique la plus utilisée est celle basée sur les chaînes de Markov (Stern et Coe, 1984). Un processus stochastique {Xt}={X0, X1 ,…} est une chaîne de Markov (ou possède une propriété markovienne) si :

iXjXPiXkXkXjXP tttt 111001 ...,,, (I.3)

La probabilité conditionnelle de l’état demain Xt+1 étant donné les états passés (0, 1,...,

t-1) et de celui d’aujourd’hui t est indépendante des états passés ; c'est-à-dire la probabilité conditionnelle de l’état de demain Xt+1 dépend uniquement de l’état d’aujourd’hui Xt. Le processus stochastique est dit avec mémoire (Chung, 1967). Ce type de modèle basé sur les chaînes de Markov donne des résultats convaincants à une échelle journalière.

D’autres modèles, initiés des travaux de Le Cam (1961), sont basés sur des processus d’agrégation, par la combinaison de deux processus aléatoires : l’occurrence et la position de cellules pluvieuses et la génération de la durée et de l’intensité de ces cellules pluvieuses (Waymire et Gupta, 1981 ; Rodriguez-Iturbe et al., 1987a).

Les processus stochastiques ponctuels s'avèrent être très utiles pour reproduire la variabilité de la pluie à plusieurs niveaux d'agrégation (horaire, journalier). Le modèle de Neyman-Scott, qui est un modèle à pulsation rectangulaire a été intensivement utilisé à cette fin (Favre et al. 2004). Ce modèle est basé sur le processus de Poisson (Cox et Isham, 1980). De nombreuses applications ont déjà illustré l'efficacité de ce modèle pour l'analyse de données collectées à un pas de temps court, c'est-à-dire horaire (Rodriguez-Iturbe et al., 1987b; Onof et a1., 2000).

Les séries de mesure de la pluie à un pas de temps inférieur à 24 heures sont bien moins renseignées que les séries journalières. Or, la connaissance des processus pluvieux à des faibles pas de temps est importante en hydrologie urbaine (en particulier pour l’estimation des crues). A des pas de temps fins, la pluviométrie est beaucoup plus variable qu’au pas de temps journalier, les modèles sont donc plus compliqués. La modélisation stochastique de chroniques de pluies à pas de temps fins a utilisé des modèles basés sur la désagrégation de la pluie journalière (Koutsoyiannis, 1994).

Les modèles multifractals constituent une autre façon d'aborder le problème de la modélisation stochastique de la pluie. L’avantage essentiel, qui est aussi une limite, des modèles fractals (scaling en anglais) vient du fait qu’ils sont indépendants de toute échelle considérée dans le système et sont caractérisés par un nombre très faible de paramètres. Ils essaient de représenter au mieux le degré d’irrégularité des phénomènes à travers un paramètre invariant d’échelle «la dimension fractale» qui est l’expression numérique du taux de variation de l’information lorsque l’on passe d’une échelle à une autre. Pour un objet fractal, on appelle dimension fractale la limite mathématique de la variation du logarithme d’une variable (longueur, surface, volume, temps, etc.) par rapport au logarithme de sa résolution (Le Méhauté, 1984). Une revue de ces modèles peut être trouvée dans Foufoula-Georgiou et Krajewski (1995). Les modèles basés sur les processus en cascades multiplicatives exploitent les propriétés d’invariance d’échelle des multifractales (Over et Gupta, 1994). Les processus de cascades multiplicatives distribuent, de manière aléatoire, une quantité mesurée sur un intervalle initial, sur un nombre fixé de subdivisions de cet intervalle. Ce processus de distribution est ensuite répété sur les subdivisions, et ainsi de suite. L’idée de ce modèle est empruntée à un modèle de turbulence de l’énergie cinétique (Schertzer et Lovejoy, 1993). En analysant la série temporelle biquotidienne de pluie de Nîmes-Courbessac



(1949-1992), Ladoy et al. (1993) ont mis en évidence un comportement multifracatal des précipitations sur un intervalle de temps compris entre 12 heures et 16 jours environ. De Montera et al. (2009) ont étudié les propriétés multifractales sur la base de données de mesure de pluie sur plusieurs mois. L’estimation des paramètres multifractals de la pluie a montré que ces derniers sont assez différents de ceux proposés dans la littérature scientifique.

Les processus de cascades multiplicatives traduisent le plus simplement possible des propriétés d'invariance temporelle de certains paramètres. En particulier, dans les modèles de cascades multifractales de générateur algébrique, c'est le coefficient de décroissance algébrique qui est un invariant d'échelle (Schertzer et Lovejoy, 2004). Pour plus de détails, le lecteur pourra consulter (Gupta et Waymire, 1993 ; Over et Gupta, 1994). Cependant, la précision avec laquelle sont restituées les périodes sèches et humides par ces modèles fractals est jugée insuffisante selon Gupta et Waymire (1993). Selon Chaouche (2001), Une modélisation complète espace-temps des processus des précipitations utilisant ces cascades multi-fractales est un domaine encore en développement du point de vue théorique. Un modèle alternatif est présenté par Veneziano et Furcolo (2002). Ce modèle, emprunté aux processus multifractals, nécessite moins de paramètres que l’approche classique, mais il reste encore à modéliser la dépendance entre les différentes durées.

I-1-3-2-Modélisation des intensités-Durées

L’approche intensité-durée est complètement différente. Elle s’intéresse aux intensités observées sur des intervalles de temps au cours desquels on aura enregistré la plus grande hauteur de pluie. On parle alors d’intensité maximale. Cette apprche est utilisée dans les courbes IDF (Intensité-Durée-Fréquence). A partir des enregistrements d’un pluviographe, deux types de représentation graphique permettent d’analyser les averses d’une station :

la courbe des hauteurs de pluie cumulées représente en ordonnée, pour chaque instant t, l’intégrale de la hauteur de pluie tombée depuis le début de l’averse

le hyétogramme est la représentation, sous la forme d’un histogramme, de l’intensité de la pluie en fonction du temps

I-1-4- Modèle d’IDF

I-1-4-1- Principe général

Par opposition à la modélisation par processus ponctuel, une approche de statistique fréquentielle consiste à extraire les intensités maximales observées sur différentes durées et à procéder à l'étude statistique des échantillons ainsi constitués. Cette étude permet d'estimer la fréquence ou probabilité au non dépassement) des observations et de construire des courbes Intensité-Durée-Fréquence (IDF) (Figure I.3) (Bertrand-Krajewski, 2007). Ces courbes représentent les modèles ajustés statistiquement entre l’intensité moyenne de la pluie I (mesurée en mm h-1), la durée ou le temps d’agrégation de cette pluie D (mesurée en minutes) pour une fréquence F (exprimée en années-1) donnée. Il est usuel d'exprimer la fréquence sous la forme de période de retour T, qui correspond à la durée moyenne séparant deux réalisations successives d'un événement. La période de retour T est généralement exprimée en années si l’intensité maximale annuelle est considérée.



T=2 ans

T=10 ans

T=50 ans

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 50 100 150 200 250

Durée (mn)

Inte

ns

ité

(m

/h)

Période de retour

Figure I.3. Représentation schématique des courbes IDF

En pratique, selon Bertrand-Krajewski et al. (2000), pour estimer avec une incertitude

acceptable un événement de période de retour T, il faut disposer d’observations sur une durée minimale d’environ 3 à 5 fois la période de retour T. Ainsi, une estimation raisonnable d’une hauteur de pluie décennale demande au minimum 30 à 50 ans de données. Willems (2000) a utilisé des propriétés d'invariance d'échelle des précipitations dans le temps et dans l'espace visant le développement des courbes IDF. Veneziano et Furcolo (2002) ont proposé d’appliquer leur modèle emprunté aux processus multifractals pour l’établissement des courbes IDF et ont montré sur le cas de la station de Florence que ce modèle est plus adéquat que le modèle fractal.

I-1-4-2- Etablissement des courbes IDF

Le principe d’établissement des courbes IDF est le suivant (pour plus de détails, voir par exemple (Stedinger et al., 1993; Chocat , 1997): - on considère un échantillon de N événements pluvieux mesurés pendant P années ; - on choisit une durée de pluie D. Pour simplifier les calculs, D doit être un multiple entier du pas de temps Δt de discrétisation de la pluie. - pour chaque événement pluvieux, en parcourant l’ensemble du hyétogramme par pas de temps Δt, on cherche la valeur de l’intensité I qui est maximale sur la période de durée D ; - on dispose alors de N valeurs d’intensité moyenne maximale ou de hauteur maximale sur la durée D ; - on range ensuite ces N valeurs dans un ordre décroissant ; - on attribue aux N valeurs décroissantes les fréquences empiriques de dépassement F. Il existe de nombreuses formules d'estimation de la distribution empirique. Elles reposent toutes sur un tri de la série par valeurs croissantes permettant d'associer à chaque valeur son rang rg. La relation de Bos-Levenbach est celle qui, d’après Roux (1996), paraît la plus satisfaisante au plus grand nombre d’auteurs parmi les nombreuses relations empiriques proposées dans la littérature. Cette relation est aussi connue sous le nom de formule de Chegodayev (Chow, 1964), donnée par :



4.0

3.0

N

rF g (I.4)

- on répète la même procédure pour d’autres durées D, par exemple 30 minutes, 1 heure, 2 heures, 6 heures, 12 heures, 24 heures, etc.

Différentes formules sont proposées pour représenter l’intensité critique d’une pluie en fonction de sa durée, pour une fréquence de dépassement donnée. Pour plus de détails, le lecteur pourra consulter (Chen, 1983 ; Koutsoyiannis et al., 1998; Willems, 2000). Parmi les relations les plus classiques reliant les grandeurs I, D et F, on peut citer (Laborde, 2009) :

- la formule de Montana :

)(*)(),( TbDTaTDI (I.5)

Cette formule n’est pas à utiliser pour D < 5 ou 6 minutes car I → ∞ lorsque D → 0.

-la formule de Talbot :

)(

)(),(

TbD

TaTDI

(I.6)

Avec : I: intensité maximale de la pluie [mm/h], D: durée de la pluie [minutes ou heures], T : période de retour) [années], a,b: constantes locales, dépendant généralement du lieu et des unités utilisées

Achite et Meddi (2005) se sont basés sur l’utilisation du modèle statistique de la distribution de Gumbel et du modèle empirique de type Montana pour l’établissement des courbes IDF en Algérie. D’autres études (Chaouche et al., 2002; Barco et Chaouche, 2006) ont remis en cause la prédominance de la loi Gumbel et certains ont préféré l’usage de la loi GEV (General Extreme Value) pour la modélisation des maxima annuels des précipitations dans différentes régions climatiques (Overeem et al., 2008)

La loi GEV est une loi à trois paramètres et la loi Gumbel (GEV1) est le cas particulier de la loi GEV pour c (paramètre de forme) égal à zéro. La fonction de répartition de la loi GEV est donnée par l’expression suivante (Jenkinson, 1955) :

c

b

axcxF

/1

1exp (I.7)

Où a est le paramètre de position, b le paramètre d'échelle et c le paramètre de forme. Trois lois peuvent être distinguées en fonction des valeurs de c. Leurs caractéristiques sont résumées dans le tableau suivant :



Tableau I.1. Caractéristiques de la loi GEV (Coles, 2001)

c Type Nom Borne inférieure Borne supérieure c > 0 III Weibull -

c = 0 I Gumbel - + c < 0 II Fréchet

+

Les courbes IDF sont aussi appliquées dans un contexte régional. Dans ce cas, les

paramètres des équations IDF ponctuelles d'une région considérée comme homogène en termes de pluviométrie sont régionalisés, donnant des courbes IDF régionales, valables pour la région en question. Hosking et al. (1985) ont adopté les méthodes d’analyse de fréquence régionale qui permettent d’estimer en des sites ayant peu ou aucune donnée, et sur la base de l’information régionale, les quantiles (XT) de période de retour T. Hosking (1990) a développé la théorie des L-moments à partir des moments de probabilité pondérés en supposant que les événements pluviométriques extrêmes sont indépendants et distribués selon la loi GEV. Baghirathan et Shaw (1978), Gert et al. (1987) et Niemczynowicz (1982) ont développé des formules IDF régionales variées. Sivapalan et Blöschl (1998) ont proposé la construction de courbes IDF basée sur la structure de corrélation spatiale de la pluie. Koutsoyiannis et al. (1998) ont proposé une nouvelle approche pour la formulation et la construction des courbes IDF. Cette approche constitue une paramétrisation facilitant la description de la variabilité géographique et la rationalisation des courbes IDF. Yu et Chen (1996, 1997) ont étudié des formules IDF régionales basées sur des analyses de régression conventionnelles pour régionaliser les paramètres de ces formules. On notera également que les courbes IDF peuvent être annuelles ou saisonnières, permettant ainsi de décrire différents types de temps (Roux, 1996 ; Willems, 2000). D'après Roux (1996), en hydrologie urbaine les courbes IDF par saison sont particulièrement utiles lors de la gestion des ouvrages.

D’autre part, des études ont été conduites pour la modélisation des courbes Intensité-Durée- Fréquence (IDF) à l’aide des propriétés multifractales d’invariance d’échelle. Bendjoudi et al. (1997) ont montré qu’il est possible de caractériser les propriétés multifractales de séries chronologiques de précipitations ponctuelles par des paramètres universels. Les propriétés multifractales d'invariance d'échelle permettent alors d'établir les équations formelles des courbes intensité-durée-fréquence, qui ne dépendent que d'un nombre réduit de paramètres. Une base rationnelle peut ainsi être donnée aux courbes intensité-durée-fréquence. Pour plus de détails, le lecteur pourra consulter (De Michele et al., 2002; Veneziano et Furcolo, 2002). Yu et al. (2004) ont proposé une approche basée sur la propriété fractale de la pluie qui est l’invariance d’échelle servant à construire des formules IDF régionales. En effet, l’hypothèse de la combinaison de l’effet d’invariance d’échelle avec la distribution de Gumbel a été utilisée pour développer ces formules IDF pour 46 pluviographes au nord de Taiwan.

I-1-5- Analyse des pluies sur une surface

La mise en place de réseaux denses de mesures pluviographiques permet de passer de l'analyse ponctuelle ou régionale à l'analyse des pluies sur des surfaces. Les méthodes les plus simples et les plus couramment utilisées sont les méthodes de calcul de moyennes ou les méthodes d'interpolation des données pluviométriques collectées localement. Ces méthodes permettent notamment le calcul des lames d'eau moyennes à l'échelle du bassin, la



cartographie des précipitations, et le calcul de hyétogrammes moyens. Des méthodes faisant appel à la notion d'abattement des pluies existent également (Ramos et al., 2005).

Caractériser la distribution statistique des lames d'eau maximales sur une surface A pour diverses durées d'intégration D est à la base des coefficients d'abattement et des courbes Intensité-Durée-Surface-Fréquence, IDSF (Chow et al., 1988).

I-1-5-1- Coefficients d'abattement

Dans de nombreuses études hydrologiques, il est nécessaire de connaître la lame d'eau précipitée sur le bassin versant. Un des moyens permettant l'estimation d'une lame d'eau à partir d'une hauteur de pluie ponctuelle tout en tenant compte de l'hétérogénéité des précipitations est l'utilisation d'un coefficient d'abattement ou de réduction. Les coefficients d'abattement (α) sont, en fait, des facteurs de correction qui réduisent les intensités ponctuelles à des lames d'eau sur une surface A. Il existe de nombreuses méthodes d'évaluation des coefficients d'abattement. Les premières études étaient basées sur l'analyse empirique d'événements orageux observés par des réseaux de mesures ponctuelles. Elles ont conduit à des abaques que l'on peut retrouver dans la littérature (Chow et al., 1988; Asquith et Famiglietti, 2000).

Le coefficient d'abattement spatial αs qui traduit la relation entre la hauteur de pluie H(t) mesurée en un point et la lame d'eau moyenne Le(t) concomitante sur une surface A entourant ce point :

tHtL se (I.8)

En faisant l’hypothèse que la pluie possède un épicentre unique où la hauteur d'eau est

maximale Hmax(t) et que la hauteur de pluie concomitante en un point situé à une distance x de l'épicentre H(x, t) décroît avec x, on peut écrire une relation du type :

tHtxH s max, (I.9)

Selon Bertrand-Krajewski (2007), les premières formules proposées pour αs étaient

assez approximatives car établies avec des données peu nombreuses. On peut citer ici les deux formules du coefficient d’abattement spatial les plus connues : - la formule de Grisollet (citée par Bertrand-Krajewski, 2007) :

e

es D

D

1460

360

(I.10)

Avec De distance à l’épicentre (m). - la formule de Fruehling (citée par Koch, 1967) :

As (I.11)

Avec A surface du bassin versant (ha) ε = 0.063 à 0.2.

Toutefois les formules établies sont délicates à transposer d'un site à un autre et à justifier. Néanmoins certains auteurs ont proposé des formules utilisables dans des modèles



globaux directement dérivées de la notion de coefficient d'abattement spatial. En effet, l'abattement spatial permet de tenir compte du fait que les intensités instantanées ne sont pas partout les mêmes sur tout le bassin versant. Le modèle utilisé repose sur la définition d'un épicentre (point où l'intensité est maximum), et sur la prise en compte d'un amortissement des intensités variant selon la distance à cet épicentre.

Desbordes (1984) en cite deux exemples : - formule de Woolhiser et Schwallen (citée par Bertrand-Krajewski, 2007) :

6.0

max

13.01 A

Hs

(I.12)

Avec Hmax la hauteur de pluie à l'épicentre (mm) A surface du bassin versant (ha) - formule d’Eagleson (1967) :

max

3106.61H

Des

(I.13)

Avec Hmax la hauteur de pluie à l'épicentre (mm) De distance à l’épicentre (m). - formule du modèle RERAM (Desbordes, 1980) :

1.071.0 es D (I.14)

Avec De distance à l’épicentre (m).

Ces relations sont empiriques et imposent naturellement des abattements de la pluie toujours identiques. Desbordes (1984) suggère de ne pas calculer d'abattement spatial jusqu'à 200 ha. Toutefois, selon Schilling (1983), il n'existe pas de données démontrant valablement que la variabilité spatiale des pluies soit plus faible sur les petits bassins versants.

I-1-5-2- Courbes IDSF (Intensité-Durée-Surface-Fréquence)

Selon Castro et al. (2004), la construction des courbes IDSF est basée sur l'analyse statistique des pluies surfaciques. Une variable supplémentaire est ainsi ajoutée aux traditionnelles courbes IDF. Les lames d'eau moyennes sur une durée D sont estimées pour diverses valeurs de surfaces A au cours des événements pluvieux et des distributions statistiques sont ajustées aux valeurs maximales. On peut ainsi associer une fréquence d'apparition à une intensité moyenne sur une surface donnée (Roux, 1996). Les courbes IDSF sont moins utilisées en hydrologie opérationnelle que les coefficients d'abattement.

I-2- TECHNIQUES D’OPTIMISATION DES RESEAUX DE MESURES

GEOPHYSIQUES

Cette partie est réservée aux références bibliographiques relatives aux méthodes d’optimisation de réseaux d’observation. Nous commençons par donner la formulation du problème d’optimisation combinatoire. Puis, un état de l’art sur l’optimisation des réseaux de mesures géophysiques et en particulier l’optimisation des réseaux pluviographiques est dressé. Ensuite, les méthodes numériques de résolution des problèmes d’optimisation, en particulier le recuit simulé qui est une méthode stochastique utilisée dans l’optimisation



combinatoire sont présentés. Enfin, l’optimisation robuste, ses motivations et la méthode basée sur les scénarios sont exposées.

I-2-1- Formulation du problème d’optimisation combinatoire

Le terme « Optimisation » est issu de la recherche opérationnelle et de l’économie (Canceill, 1970). Dans un modèle utilisé en optimisation, des critères de performances sont choisis et sont exprimées par le biais d’une fonction objectif. On recherchera alors quelles sont les valeurs des variables de décision permettant d’obtenir la meilleure performance possible relativement au critère retenu. L’optimisation permet de répondre à une question que l’on peut formuler comme : quelles décisions faut-il prendre pour maximiser (ou minimiser) tel ou tel critère de performance (Revelle et al., 1997).

L’optimisation globale est une branche des mathématiques qui étudie dans un cadre général la question de trouver parmi un grand nombre de situations, la plus satisfaisante selon des critères donnés. Il s’agit de déterminer, parmi tous les optima locaux satisfaisant les contraintes, celui qui permet d’optimiser la valeur de la fonction objectif. Selon (Canceill, 1970), si la fonction et les contraintes sont linéaires, le problème relève alors de la programmation linéaire. L’une des trois grandes idées directrices en optimisation globale est le développement des heuristiques (i.e. des règles) afin d’éviter ou de sortir des optima locaux.

L’optimisation combinatoire est une branche de l'optimisation en mathématiques appliquées et en informatique. Dans sa forme la plus générale, un problème d'optimisation combinatoire consiste à trouver la meilleure solution (ou solution optimale) dans un ensemble discret de solutions réalisables. La meilleure solution est celle qui minimise ou maximise la fonction objectif.

Selon les domaines d’application de l’optimisation des réseaux de mesure, on distingue des réseaux qui mesurent des champs qui n’évoluent pas dans le temps par exemple le coefficient de perméabilité du sol et la résistivité des sols. On a aussi les réseaux qui surveillent des champs qui varient dans l’espace et dans le temps tels que la pluie, le débit d’écoulement, la température de l’air, le niveau piézométrique, la qualité chimique des eaux souterraines, les concentrations en contaminants pour la qualité de l’eau ou de l’air, etc.

I-2-2- Etat de l’art sur l’optimisation des réseaux de mesures géophysiques

En passant la revue bibliographique des travaux réalisés pour l’optimisation des réseaux de mesure, nous pouvons distinguer les travaux qui se sont intéressés aux réseaux pluviométriques. Par exemple, Bastin et al. (1984) ont utilisé le krigeage pour l’optimisation d’un réseau de mesure de pluie dans deux bassins versants de la Belgique. Bonaccorso et al. (2002) ont comparé les valeurs des RMSE (Root Mean Square Error) des SPI (Standardized Precipitation Index) relatives à différentes configurations du réseau de mesure de pluie en vue d’en choisir un réseau optimal dans la région de Sicile en Italie.

Parmi les articles portant sur l’optimisation ou la rationalisation des réseaux piézométriques, nous trouvons Mutombo (1973) qui a utilisé l’analyse factorielle des correspondances pour rationaliser un réseau piézométrique. Cette méthode se base sur la connaissance de la structure générale du réseau par une étude de la variation du niveau d’eau dans chaque piézomètre. Rouhani (1985) a utilisé deux critères d'optimisation : Le premier concerne la quantité d'information gagnée (réduction de la variance de krigeage) et le



deuxième est proportionnel au gain économique prévu. Une alternative de l'analyse par réduction de variance, appelée Approche heuristique, a été développée par Hudak et Loaiciga (1992 et 1993). Cette approche consiste à déterminer une configuration du réseau de points de surveillance qui optimise la probabilité de détection d’un contaminant à partir d'une source de pollution.

L’optimisation des réseaux de surveillance de sédiments d'estuaire a fait aussi l’objet de plusieurs travaux. On peut citer Nunes (2003) qui a utilisé, en fonction des cas, la réduction de la variance ou la minimisation de la redondance temporelle des mesures ou les deux à la fois.

D’autres auteurs ont étudié l’optimisation des réseaux de mesures hydrologiques (Canceill, 1970 ; Husain, 1979 ; Markus et al., 2003) alors que d’autres ont travaillé sur la rationalisation des réseaux hydrométriques (Ouarda et al., 1996; Sarlak et Sorman, 2006). Husain et Ukayli (1983), Husain et al. (1986), Ukayli et al. (1983), Minciardi et al. (2002) et Bonaccorso et al. (2003) traitent de l’optimisation des réseaux météorologiques. Cunha et Sousa (2001), Biscos et al. (2002), Biscos et al. (2003) et Jayaraman et Ross (2003) ont travaillé sur l’optimisation des réseaux de distribution d’eau. D’autres ont étudié la rationalisation ou l’optimisation des réseaux de surveillance de la qualité chimique des eaux souterraines (Mogheir, 2003; Nunes et al., 2004a). Boer et al. (2002) et Bocquet (2009) ont travaillé sur l’optimisation des réseaux de surveillance de la pollution atmosphérique.

Dans ce qui suit, nous allons nous intéresser au cas particulier des références relatives à l’optimisation des réseaux pluviométriques et pluviographiques dont nous allons détailler les méthodes utilisées.

I-2-2-1- Cas particulier de l’optimisation des réseaux pluviométriques et pluviographiques

La conception des réseaux pluviométriques pour l'évaluation régionale moyenne de précipitations était le sujet des premiers travaux élaborés par Rodríguez-Iturbe et Mejía (1974). Ils ont présenté le Facteur de Réduction de la Variance (FRV) pour évaluer quantitativement les erreurs liées à l'approximation d'une évaluation régionale avec un ensemble donné de stations de mesure. FRV dépend de la densité et de la configuration du réseau, ainsi que de la corrélation spatiale des précipitations.

Lenton et Rodríguez-Iturbe (1974) a également considéré la densité et la localisation des stations. Bras et Rodríguez-Iturbe (1975) ont poursuivi les travaux précédents, en comparant les premiers résultats pour différentes variances, fonction de covariance et paramètres de la fonction de covariance. Dans le même sens, Bras et Rodríguez-Iturbe (1976) ont inclus le coût de chaque station pour aider à choisir le meilleur ensemble (nombre et position) de stations pour avoir le moindre coût et la variance moyenne minimale des précipitations. Duband (1979) a utilisé la méthode de l’analyse factorielle en composantes principales pour la rationalisation d’un réseau pluviométrique. Les trois approches suivantes ont été utilisées par Sorman et Balkan (1983) pour la rationalisation d'un réseau de 52 stations pluviométriques du bassin versant du Kizilirmak en Turquie : la méthode d'interpolation optimum dont l'avantage est la souplesse en vue de l'application aux réseaux pluviométriques ; la méthode de variance de la hauteur pluviométrique moyenne spatiale et l'analyse de variance.



Der Mégréditchian (1993) introduit la notion du nombre équivalent de stations indépendantes en vue de supprimer les postes les plus redondants ou, au contraire, ajouter une station globalement la plus intéressante pour la connaissance du champ météorologique. Morrissey et al. (1995) ont conclu que l'erreur standard de l’estimation des précipitations pour un réseau dépend de la configuration géométrique, et pas seulement de la densité des stations et de la structure spatiale du champ mesuré.

L’approche du krigeage a été utilisée par Delhomme (1978) afin de déterminer les meilleurs sites pour les nouveaux emplacements des stations de mesure de pluie. Kassim et Kottegoda (1991) ont comparé les méthodes de krigeage pour la conception d’un réseau de mseure pluviométrique. Loof et al. (1994) ont utilisé aussi le krigeage pour la conception d’un réseau de mesure de pluie pour le cas du bassin de la rivière de Karnali au Népal.

Pardo-Iguzquiza (1998) présente une méthode de conception optimale d’un réseau pluviométrique pour deux problèmes d’optimisation : la sélection optimale d’un sous ensemble de l’ensemble d’un réseau existant et l’augmentation optimale d’un réseau déjà existant. Dans les deux cas, des données synthétiques sont utilisées pour maximiser la précision de l’estimation moyenne spatiale et minimiser le coût économique de collecte des données. La méthode de minimisation de la variance de l’erreur d’estimation a été combinée avec un algorithme d’optimisation qui est le Simulated Annealing pour optimiser le réseau pluviométrique.

Un algorithme pour la conception d’un réseau pluviométrique dans le sud-ouest de l’Arabie Saoudite est présenté dans Al-Zahrani et Husain (1998). Cette méthode, basée sur les mesures de l’information de Shannon, a été utilisée pour évaluer la performance d’un réseau hydrologique existant à fournir le maximum d’informations hydrologiques.

Djedidi (1998) et Kallel et al. (2000) ont traité le problème d’optimisation d’un réseau pluviométrique en utilisant la méthode de Simulated Annealing (SA).

Un exemple d’extension du réseau est aussi développé dans Tsintikidis et al. (2002) dans l’objectif de l’estimation de la pluie horaire dans le bassin versant du Lac Folsom dans une région montagneuse de la Californie. Il y avait deux objectifs : (1) quantifier l’incertitude associée à l’estimation de la pluie à partir du réseau existant opérationnel en temps réel et (2) identifier des sites possibles pour l’implantation de nouvelles stations dans le but de réduire l’erreur d’interpolation de la pluie. Les zones de renforcement du réseau ont été identifiées en utilisant le krigeage. Leur approche consiste à développer une série de réseaux opérationnels de remplacement à partir d’un réseau dense en utilisant un nombre croissant de stations et en quantifiant la réduction de la variance d’estimation de krigeage pour chaque cas.

Une méthodologie basée sur la géostatistique et des techniques probalistiques (simulated annealing) a été combinée avec l’utilisation des systèmes d’information géographiques SIG dans Barca et al. (2008) pour l’évaluation des localisations optimales de nouvelles stations de mesure parmi un réseau pluviométrique existant. Deux méthodes ont été appliqués et testées : la minimisation de la moyenne des plus petites distances et le krigeage ordinaire où la fonction objectif liée est l’estimation de la variance.

Contrairement aux approaches par krigeage, Krstanovic et Singh (1992) ont présenté une méthodologie basée sur l’entropie qui est une mesure de l’incertitude associée avec l’occurrence des événements (Shannon et Weaver, 1949). Pour une variable hydrologique Y



(par exemple la pluie) mesurée à une station avec des événements (y1, y2, …, yn), l’entropie est définie comme :

n

iii yPyPYH

1

log (I.15)

avec P(yi) est la probabilité d’occurrence de l’événement yi.

De même, Chen et al. (2008) ont proposé une méthode combinant krigeage et entropie qui permet de déterminer le nombre optimal et la distribution spatiale des stations pluviométriques dans les bassins versants. Les stations de mesure de pluie candidates sont données la priorité en calculant l'entropie commune et l'information transmise. Les auteurs ont utilisé également la saturation d'information pluviométrique pour ajouter ou enlever des stations de mesure de pluie. La distribution spatiale optimale et le nombre minimum de stations de mesure de pluie dans le réseau ont été ainsi déterminés.

Une approche géostatistique pour l'évaluation et l'augmentation d’un réseau de mesure de pluie a été proposée dans Cheng et al. (2008). Ils se sont mis à évaluer, avec précision acceptable, un réseau basé sur le pourcentage de la surface totale avec précision acceptable. Un critère basé sur la variance du krigeage ordinaire a été proposé pour évaluer la précision de l'estimation de la pluie en utilisant la probabilité d'acceptation définie comme la probabilité que l'erreur d'estimation fait partie d'une marge désirée exprimée en termes d'écart type des précipitations. Les estimations avec une probabilité d'acceptation non inférieure à une valeur donnée sont considérées avoir des précisions acceptables. Une valeur-seuil pour le pourcentage de la surface avec précision acceptable peut être considérée comme un critère d'évaluation et d'augmentation du réseau (Cheng et al., 2008)

I-2-3- Méthodes de résolution du problème d’optimisation

La résolution d’un problème d’optimisation combinatoire consiste à explorer un espace de recherche afin d’optimiser une ou plusieurs fonctions objectifs données, appelées aussi critères d’optimisation. Selon la nature du processus de recherche mis en œuvre, on peut classer les méthodes utilisées pour l’optimisation globale essentiellement en deux catégories : les méthodes exactes (appelées encore classiques ou déterministes) pour lesquelles la convergence vers l’optimum globale est assurée au prix d’un temps de calcul important et les méthodes heuristiques et métaheuristiques caractérisées par une convergence asymptotique et rapide (Dixon et Szegö, 1978). Contrairement aux méthodes exactes, les heuristiques ne procurent pas forcément une solution optimale, mais seulement une bonne solution en fonction du temps disponible. Une heuristique peut être conçue pour résoudre un type de problème donné, ou bien comme une méthode générale applicable à divers problèmes d’optimisation. Dans le second cas, elle est désignée sous le terme de métaheuristique. Les méthodes stochastiques (Archetti et Schoen, 1984) sont aussi des méthodes approchées, mais elles ont une approche différente de celles citées précédemment. Contrairement aux autres méthodes approchées, les méthodes stochastiques admettent une dégradation de la solution, d’une façon qui suit certaines règles qui font que l’algorithme puisse sortir d’un optimum local. Notre travail se situe dans le cadre des méthodes stochastiques.

I-2-3-1- Méthodes stochastiques

Principalement issues des concepts de l’intelligence artificielle, elles sont fondées sur des règles d’évolution probabilistes, contrairement aux méthodes déterministes qui s’appuient sur les propriétés mathématiques. Le plus souvent, elles utilisent uniquement la valeur même de la fonction objectif (critère à optimiser) et non ses propriétés, comme sa différentiabilité, à



la base de la plupart des méthodes déterministes, qui permet de calculer une direction d’évolution. Elles s'appuient sur des mécanismes de transition probabilistes et aléatoires qui explorent efficacement l'espace de recherche et convergent vers l'optimum global. Leur nature aléatoire implique que plusieurs exécutions successives de ces méthodes conduisent à des résultats différents pour une même initialisation du problème d'optimisation. Cependant, elles demandent un nombre important d'évaluations de la fonction objectif en comparaison avec les méthodes déterministes exploitant la dérivée de la fonction objectif.

Selon Hajji (2003), le principal attrait de ces techniques concerne le traitement de problèmes non convexes. En effet, la contrainte de convexité n’a pas une priorité majeure telle qu’elle est vis-à-vis des méthodes déterministes numériques, de plus, les méthodes stochastiques peuvent s’extraire des minima locaux pour se diriger vers une solution globale.

Parmi les méthodes stochastiques les plus employées, nous distinguons le Recuit Simulé (Kirkpatrick et al., 1983), la Recherche Tabu (Glover, 1990) et les Méthodes Évolutionnistes. Ces dernières regroupent différents algorithmes basés sur le même principe d’exploration de l’espace de recherche en utilisant un ensemble de solutions et pas seulement une solution unique. Comme représentantes des méthodes évolutionnistes, nous avons les Algorithmes Génétiques (Michalewicz, 1994), les Stratégies d’Évolution (Rechenberg, 1994), la Programmation Évolutionniste (Fogel, 1994) et la Programmation Génétique (Koza, 1992). La Figure I.4 présente les méthodes stochastiques les plus utilisées.

Figure I.4. Principales méthodes stochastiques (Hajji, 2003)

La méthode d’optimisation que l’on a retenu dans ce travail est le recuit simulé

(simulated annealing en anglais) (Kirkpatrick et al., 1983). Il s’agit d’une méthode stochastique développée en physique statistique.

I-2-4- Le recuit simulé

I-2-4-1- Présentation

Le recuit simulé est une métaheuristique qui s'inspire de la thermodynamique. Dans le domaine de la métallurgie, l’état de la matière dépend de la température : la matière est en



général à l’état liquide à haute température et à l’état solide à basse température. Si on souhaite obtenir un solide, on procède à un abaissement de la température. Deux façons de diminuer la température sont possibles. La première est une baisse très brusque : il s’agit d’une structure avec un minimum local d’énergie. La deuxième est une baisse progressive de la température, laissant le temps aux atomes d’atteindre l’équilibre, on tendra alors vers une structure de plus en plus régulière avec un minimum global d’énergie, en obtenant ainsi un cristal. Si l’abaissement n’est pas assez progressif, on obtient une structure avec des défauts. Ceci peut être corrigé par un réchauffement léger de la matière de façon à permettre une mobilité aux atomes qui finissent par retrouver une configuration plus stable. Ce réchauffement est connu sous le nom de recuit.

La méthode du recuit simulé a été proposée par Kirkpatrick et al. (1983) lorsqu’ils ont montré l’analogie entre la recherche d’une solution optimale en optimisation combinatoire et la recherche de l’état d’équilibre thermique d’un solide (énergie minimale) en thermodynamique. Cette méthode est ainsi inspirée de celle de Metropolis (Metropolis et al., 1953) qui était utilisée pour modéliser l’évolution d’un solide vers son état d’équilibre thermique. Cette analogie a été récapitulée comme suit par (Sadegheih, 2006) : (i) les configurations ou les états physiques des molécules correspondent à la solution d'optimisation ; (ii) l'énergie des molécules correspond à la fonction objectif ou à la fonction coût du problème d’optimisation ; (iii) un état d'énergie minimum correspond à une solution optimale ; (iv) le taux de « refroidissement » correspond à un paramètre de commande qui affecte la probabilité d'acceptation. Schématiquement, dans des problèmes de minimisation, cet algorithme trouve un minimum global de la fonction d'énergie en combinant la descente du gradient de la fonction objectif avec un processus aléatoire. La spécificité de cette combinaison est qu'elle permet, dans certaines conditions, des changements d’états qui augmentent réellement la fonction d'énergie, permettant ainsi au recuit simulé de s’évader d’un minimum local. Bien que des changements d’un état à un autre diminuant la fonction d'énergie puissent être toujours acceptés, un mouvement qui cause des augmentations sera pris avec une probabilité de Boltzmann.

L’examen du Tableau I.2 suggère que la méthodologie du recuit simulé a connu de larges utilisations dans beaucoup de domaines.

Tableau I.2. Aperçu de littérature du recuit simulé Auteur (année de publication) Etude du recuit simulé

Eglese (1990) Décrit la méthodologie générale du SA Vernekar et al. (1990) Les premiers à utiliser le SA pour l’emplacement de ressource de

réseau informatique (formulation linéaire) Feterolf et Anandanlingham (1991) Formulation non linéaire

Lockwood et Moore (1993) Planification opérationnelle de la moisson d'arbres Marin et Salmeron (1996) Modèle de conception de réseau pour le transport de fret ferroviaire

Bolte et Thonemann (1996) Étude du choix de paramètres Bailey et al. (1997) Solutions optimales/proches des optimales pour d

problèmes d’établissement de programmes d’infirmCampbell (1997) Négociations des contrats pour les programmes des pilotes de vol Gemmill (1997) Solutions optimales et proche-optimales aux problèm

ressources avec contraintes Lai (1997) Application à la grande société chinoise d’impression

Foerster et Wascher (1998) Minimisation de l'ordre de diffusion pour des opérations industrielles de découpage

Leonardo (1998) Disposition des centres d'usinage Thompson et Dowsland (1998) Problème d’établissement du programme des examens pour des



universités Wang et Zheng (1998)

Problèmes hypothétiques de gestion d'eaux souterraine

des régions non-côtières Cunha (1999)

Problèmes hypothétiques de gestion d'eaux souterraines dans des

régions non-côtières Li et al. (1999) Estimation des paramètres pour le transport des solutés en milieux

poreux Locatelli (2000) Optimisation globale continue

Raaymakers et Hoogeveen (2000)

Etablissement des programmes des industries universelles de traitement par lots avec des restrictions de non attente

Kuo et al. (2001) Aménagement d’ouvrages d’agriculture Tiow et al. (2002) Conception inverse des cascades transsoniques de turbomachines

Hackett et al. (2003) Construction des cartes de tringlerie dans des espèces autotétraploïdes

Jayaraman et Ross (2003) Conception et gestion de réseaux de distribution Ferreira da Silva et Haie (2004) Localisations optimales des prélèvements des eaux souterraines en

aquifères côtières Martinez-Alfaro et Ruiz-Cruz (2004) Conception optimale discrète de systèmes de commande

Guo et Zheng (2005) Estimation des paramètres du transport de corps dissous en écoulement à partir des données expérimentales des traceurs

Nunes et al. (2006)

Conception optimale de réseaux de surveillance de sédiments d'estuaire

Rao et Manju (2007) Localisations optimales des prélèvements des eaux souterraines Behar et Nikolov (2007) Optimisation de systèmes de rangées dispersées

Richards et al. (2008) Optimisation des indices de concurrence Sayarshada et Ghoseiri (2009)

Problème multi-périodique de classement par taille de flotte des

voitures Vasan et Raju (2009) Opération optimale de réservoir

D'une part, la théorie mathématique derrière le recuit simulé peut être expliquée par la

théorie des chaînes de Markov (Aarts et al., 1988; Otten et Van Ginneken, 1989). En effet, les algorithmes de recuit produisent des transitions aléatoires de la configuration courante qui sont indépendantes de l'histoire passée du processus. Ce mécanisme peut être modelé par une chaîne de Markov. Si des chaînes de Markov infinies sont considérées, leur propriété ergodique implique que l'algorithme du recuit converge à la solution optimale avec une probabilité de 1 (Feller, 1950 ; Isaacson et Madsen, 1976). Après la définition d'une fonction objectif C(.), le procédé commence à partir d'une première solution S0, une nouvelle solution S' est prospectée dans le voisinage de la solution courante S en utilisant une combinaison de descente raide et de décision aléatoire. Puis, le changement de la fonction objectif ∆=C(S’) - C(S), produit selon le schéma raide de descente, est calculé. Si ∆< 0, la transition à la nouvelle solution est acceptée dans les problèmes de minimisation. Réciproquement, si ∆0, alors la transition à la nouvelle solution est acceptée avec une probabilité indiquée P basée sur le critère de Metropolis et habituellement obtenue par la fonction exp(-∆/T), où T est un paramètre de contrôle appelé la température. Un nombre aléatoire uniformément distribué dans l'intervalle (0.1) est produit par simulation de Monte Carlo puis comparé à l'ancienne probabilité P ; si ce nombre est inférieur à P, alors le changement est accepté dans les problèmes de minimisation. En permettant les mouvements ascendants (transitions qui augmentent la valeur de la fonction objectif), SA peut s'échapper d'un minimum local dans sa recherche du minimum global. Puis, le paramètre T est graduellement diminué par une fonction de refroidissement pendant que SA progresse, jusqu'à ce qu'un état d'arrêt donné soit satisfait. Cependant, avant de réduire la température, un nombre d'itérations sont exécutés pour imiter l'équilibre thermique à une température particulière. En résumé, l'algorithme de SA fonctionne de la façon suivante : i) le système est fondu à température élevée (la température initiale T0); ii) la température est diminuée graduellement jusqu'à ce que le



système gèle (parce qu'aucune meilleure solution n'est trouvée et la probabilité des étapes ascendantes est proche de zéro) ; iii) à chaque itération le procédé de Metropolis est appliqué ; iv) si l’un des critères d’arrêt est satisfait, l'algorithme est arrêté et la solution trouvée est présentée comme la meilleure.

Pour plus de détails concernant le développement théorique du recuit simulé et ses applications, le lecteur pourra consulter (Eglese, 1990 ; Richards et al., 2008; Vasan et Raju, 2009).

I-2-4-2- Algorithme

L’organigramme suivant résume l’algorithme du recuit simulé (Bertsimas et Tsitsiklis, 1993): 1. S, S*.S0 2. Choisir une temperature initiale (premier paramètre interne) T0>0 et poser TT0 3. Tant que le critère d’arrêt (deuxième paramètre interne) n’est pas satisfait faire 4. Tant que l’équilibre thermique n’est pas atteint faire : 5. Choisir aléatoirement un voisin S’de S. 6. Calculer le changement dans la fonction objectif ∆=C(S’)-C(S) 7. Si ∆≤0 alors 8. Poser S.S’ 9. Sinon 10. Si exp(-∆/T) > nombre réel aléatoire [0,1] alors 11. Poser S S’ 12. fin-Si 13 fin-Si 14. Si C(S)C(S*) alors 15. S*S 16. fin-Si 17. fin-Tant que 18. réduire T selon un schéma de décroissance de la température ; 19. fin-Tant que 20. Retourner la solution S*; Fin

I-2-4-3- Caractéristiques et paramètres internes du Recuit simulé

Selon Kim et al. (1996), Park et Kim (1998), Choi et al. (2004), Lee et Kim (2007), Paik et Soni (2007), les valeurs des paramètres internes du recuit simulé doivent être soigneusement choisies car elles peuvent avoir une influence significative sur le temps de calcul et la qualité de la solution. Les valeurs de ces paramètres internes peuvent être choisies en utilisant des plans expérimentaux d’expériences tels que les conceptions factorielles complètes (full factorial design), qui exigent un temps et des efforts énormes de calcul et des décisions humaines fréquentes pendant le processus de conception. D’autre part, quand des paramètres sont corrélés les uns avec les autres, des expériences additionnelles sont nécessaires. Des exemples de l’existence d'une corrélation entre les paramètres internes du SA peuvent être trouvés dans les études de Johnson et al. (1989) et Kim et al. (1996). En effet, selon (Kim et al., 1996), aucun effet d'interaction n’a pu être mis en évidence pour les paires de paramètres internes suivants du SA: (la température initiale et le facteur de refroidissement) et (la température initiale et le nombre de mouvements (itérations) dans chaque température).



Cependant, il y avait un effet d'interaction pour la paire de paramètres liés au refroidissement (le facteur de refroidissement et le nombre de mouvements dans chaque température).

La température initiale, la fonction de décroissance de la température, le nombre de

transitions à chaque température (longueur du pas), et la condition d’arrêt de l’algorithme constituent le schéma de refroidissement. L'efficience (coût d’obtention de l’optimum c’est à dite temps de calcul nécessaire) et l'efficacité (aptitude à trouver l’optimum) de l'algorithme du recuit simulé dépendent de ce programme de refroidissement. Pour permettre la réduction du temps de calcul et pour améliorer la qualité de la solution, les méthodes de choix (calage) des paramètres internes du SA qui ont été utilisées dans la littérature (Johnson et al., 1991; Park et Kim, 1998) traitent principalement les paramètres du programme de refroidissement. Park et Kim (1998) ont utilisé la méthode du simplex pour la programmation non-linéaire pour sélectionner l’ensemble des paramètres du recuit simulé. Cette méthode, qui a été initialement suggérée par Spendley et al. (1962), permet de trouver de bonnes valeurs des paramètres du SA en testant un petit nombre de valeurs candidates de ces paramètres et donc sans avoir recours à des efforts énormes de calcul. De même, dans Wang et Wu (1999), un procédé basé sur l’analyse de la surface de réponse (response surface methodology (RSM)), a été développé pour sélectionner l'ensemble des paramètres pour l'algorithme du recuit simulé (température initiale, nombre de transitions à chaque température, le facteur de réduction de la température) sous une contrainte sur le temps de calcul (efficience de l’algorithme). La méthode de la surface de réponse est un plan d'expérience destiné à obtenir un modèle approché de la fonction à optimiser (Khuri et Cornell, 1996). Cho et al. (2005) ont proposé une méthode de calage des paramètres internes du recuit simulé basée sur la conception robuste de Taguchi. Cette méthode distingue les paramètres de « conception » (temperature initiale, fonction de décroissance de la température, longueur du pas et condition d’arrêt de l’algorithme), des paramètres de « bruit » (taille du problème et demande totale ou encore nombre total des unités pour tous les produits du problème) et qui vise à réduire l'effet des paramètres de bruit, de sorte que la réponse soit près de la cible désirée (la solution optimale) avec une variation (une erreur) minimale. En d’autres termes, ils ont sélectionné les paramètres sous une contrainte d’efficacité. Dans Pibouleau et al. (2005), la température initiale, la longueur du pas, le facteur multiplicatif de décroissance pour la température et le critère d’arrêt sont analysés pour le cas de six fonctions dont les solutions analytiques sont connues (Tableau I.3). A cet effet, un plan factoriel complet de 24 a été mis en oeuvre pour définir les plages de variation des paramètres internes avec deux types de réponses en terme d’efficacité : le pourcentage de succès (sm1) et l’efficacité définie par le rapport sm1/sm2 où sm2 représente le nombre d’´evaluations (exprimé en milliers) de la fonction objectif. Pour chaque fonction, la procédure du recuit simulé est exécutée cinq fois à partir de solutions initiales générées aléatoirement. Les résultats obtenus ont montré que le paramètre le plus significatif est la longueur du pas, le moins significatif étant la température initiale. Le schéma de décroissance de la température et le critère d’arrêt ont une influence intermédiaire semblable. Lee et Kim (2007) ont sélectionné les valeurs des paramètres pour l'algorithme de SA de sorte que l'algorithme résultant puisse résoudre la recherche de la solution optimale en terme d’efficience (dans un délai de 1 ou 2 minutes) pour un problème d’ordonnancement de projet avec un objectif de maximisation du nombre prévu de cibles identifiées par la ressource de recherche. Selon Sayarshada et Ghoseiri (2009), l'algorithme de SA est influencé par les trois paramètres internes suivants : (1) la température initiale ; (2) le nombre de mouvements dans chaque température ; et (3) le taux de refroidissement pour diminuer la température en terme d’efficience.



Tableau I.3. Fonctions étudiées par Pibouleau et al. (2005)

Fonction Nombre de variables de décision

Solutions analytiques

Fonction dite « boîte d’œufs » :

221121 sinsin, xxxxxxf

x1[-512, 512], x2[-512, 512]

2 x1*= x2

*= 420.97

Fonction de Griewank :

2

coscos00025.0, 21

22

2121

xxxxxxf

x1[- , ], x2[- , ]

2 x1*= x2

*= 0

Fonction de De Jong : a1= [-32 -16 0 32 -32 -16 0 0 16 32

-32 -16 0 16 32 -32 16 0 16 32

-32 -16 0 16 32]

a2= [-32 -32 -32 -32 -32 -16 -16 -16

-16 -16 0 0 0 0 0 16 16 16

16 16 32 32 32 32 32]

25

16

226

11

1

i iaxiaxiSomme

Somme

xxf

5001

1002.0, 21

x1[-128, 128], x2[-128, 128]

2 x1*= x2

*= -32

Fonction de Michalevitch :

20

210sinsin(

x

xxf

x[0, ]

1

2* x

Fonction de Pibouleau :

21

22

2121 1, xxkxxxf avec k=0.001

x1[- , ], x2[- , ]

2

'1

1*1

kx

et 0*

2 x avec k

= 0.001

Fonction de Rosenbrock :

21

2

22121 1100, xxxxxf

x1[- , ], x2[- , ]

2 x1*= x2

*= 1

Les caractéristiques de chacun des paramètres internes du recuit simulé sont discutées

dans ce qui suit dans l’ordre suivant : température initiale, longueur du pas, schéma de décroissance de la température, critère d’arrêt de l’algorithme.



* Température initiale Dans l'analogie physique, la température initiale devrait être assez grande pour

réchauffer le solide jusqu'à ce que toutes les particules soient aléatoirement arrangées dans la phase liquide. Ceci signifie qu’au début, la « température » du procédé de recuit doit être assez grande afin de s'assurer que le système explore toutes les solutions possibles. Dans Kirkpatrick et al. (1983), la valeur de la « température » initiale est choisie assez grande (avec T0=10) pour que la probabilité initiale d'acceptation des transitions soit proche de 1. Cependant, une valeur initiale trop élevée peut causer un long temps de calcul (détériorer l’efficience). * Longueur du pas

Dans le processus du recuit simulé, le transfert d'une solution à l'autre avec une certaine probabilité peut être mathématiquement modélisé par une chaîne de Markov. Suivant la propriété de Markov, étant à l'état actuel, les futurs états sont indépendants des états passés (antérieurs à l’état actuel). La longueur de la chaîne de Markov est définie comme le nombre de mouvements (transitions d’états). Pour permettre à la solution de se déplacer près de sa distribution stationnaire, Aarts et Van Laarhoven (1985) pensent qu'un grand nombre d'itérations est exigé à chaque valeur de température, avant d’en opérer la réduction. Cela assure que la solution optimale globale se produira avec une probabilité égale à 1 quand la température est réduite à zéro. Le fait de dépenser un long temps dans les plus basses températures, permettra l'exploration du voisinage d'un optimum local. Selon Cunha et Sousa (2001), le nombre des mouvements ou d’itérations de l'algorithme à chaque température a une influence décisive sur la période du calcul (efficience) et sur le taux de convergence (efficacité). Le nombre optimal d'itérations est trouvé en tant qu'exponentiellement dépendant de la taille du problème (Aarts et al., 1988). Alternativement, un nombre minimum de transitions devrait être exigé à chaque niveau de température. D’autre part, Kirkpatrick et al. (1983) ont proposé que le nombre d'itérations avant de mettre fin à l’algorithme (critère d’arrêt) soit égal au nombre de variables de décision multiplié par un facteur. Huang et al. (1986) ont suggéré que le nombre d'itérations devrait être ajusté tout au long du développement du procédé de refroidissement (être dynamique). * Schéma de décroissance de la température

La « température » est réduite progressivement au cours du processus de recherche de la solution selon une fonction de décroissance appelée schéma de décroissance ou encore schéma de recuit. La chaîne de Markov mène plus facilement à un état d'équilibre si le changement de température est petit. Dans la littérature, des fonctions géométriques, inverses, ou logarithmiques ont été proposées.

Kirkpatrick et al. (1983) ont adopté une fonction de décroissance de la température de forme géométrique. En effet, à la fin de chaque étape de la température, la température est diminuée en multipliant la valeur actuelle avec un facteur de refroidissement

kk TT 1 0<<1 (I.16)

Dans le processus physique de recuit, la température est réduite assez lentement de

sorte que le système soit dans l'équilibre thermique. Le solide s'arrange ainsi dans un état cristallin régulier, qui est un état à énergie basse, correspondant par analogie au minimum global de la fonction objectif dans l'optimisation combinatoire. Si la température est réduite trop rapidement, le solide gèle avec des défauts, correspondant à un minimum local dans le cas de l’analogie numérique. Ainsi, un minimum global peut être atteint avec une probabilité élevée si la température est diminuée assez lentement (c.a.d. 1 ).



Aarts et al. (1988) ont proposé une fonction de décroissance de la température définie par la relation suivante :

*

)1ln(T1TT k

k1k

(I.17)

Où * est la différence maximale entre l'optimum global et n'importe quelle solution faisable. Pour chaque Tk, il existe une distribution équilibrée pour la chaîne de Markov construite en supposant que chaque solution faisable est un état de la chaîne. Théoriquement, le paramètre peut être assimilé au changement proportionnel maximum permis pour n'importe quelle probabilité d'état en passant de Tk à Tk+1. Pour des applications pratiques, Arts et al. (1988) ont recommandé = 0.1 et * = 3σk, où σk est l’écart type des différences entre la valeur de la fonction objectif des solutions courantes et des nouvelles solutions produites pendant la température Tk. La caractéristique de ce programme de refroidissement est que la température diminue très rapidement aux premières étapes et puis, plus la température courante devient petite, plus le refroidissement du système est lent. Cependant, selon (Nunes et al., 2006), où une fonction objectif basée sur la réduction de la variance de krigeage a été appliquée au choix des meilleures stations de surveillance des sédiments d’estuaire, par cette façon, le programme tend à converger trop lentement (faible efficience). * Critère d’arrêt de l’algorithme

Comme pour les autres paramètres internes, il existe plusieurs choix pour le critère d’arrêt. Certains auteurs terminent leurs algorithmes quand il devient peu probable que toute autre amélioration puisse être trouvée. Ces algorithmes ont un temps d'exécution non déterminé à l’avance. D'autres auteurs préfèrent fixer le nombre d'itérations à priori pour obtenir des algorithmes avec un temps d'exécution déterministe. Dolan et al. (1990) proposent de signaler la fin du processus soit lorsque la température sera inférieure à 1 ou après un nombre de décroissances (10 par exemple) de la température sans amélioration de la solution ou encore lorsque la probabilité d’acceptation devient inférieure à un certain seuil. Ce cas permet à l'algorithme de ne pas rester bloqué dans un minimum local lors du parcours de l'espace de recherche local par la fonction objectif. Il permet en effet de garder des solutions qui paraissent mauvaises mais qui peuvent se révéler utiles par la suite. Otten et Ginneken (1988) proposent de terminer l’algorithme du SA lorsque le pourcentage des solutions acceptées est inférieure à 1%.

Ainsi, il apparaît qu’il y a de nombreuses recommandations pratiques qui ont été proposées dans la littérature (Tableau I.4) pour ajuster les paramètres internes du SA de manière à assurer les meilleurs niveaux d’efficience et d’efficacité de cet algorithme.



Tableau I.4. Aperçu de littérature des recommandations d’ajustement des paramètres du recuit simulé

Auteur (année de publication) Recommandations de l’auteur concernant les paramètres du SA

Kirkpatrick et al. (1983)

- La valeur de la « température » initiale est choisie assez grande (T0=10) - Le nombre d'itérations avant de mettre fin à l’algorithme = nombre de variables de décisionmultiplié par un facteur

Huang et al. (1986)

- Le nombre d'itérations devrait être ajusté tout au long du développement du procédé derefroidissement

Aarts et al. (1988)

- Le nombre optimal d'itérations est exponentiellement dépendant de la taille du problème

*

)1ln(T1TT k

k1k

Où = 0.1 et * = 3σk - La température diminue très rapidement aux premières étapes et puis, plus la températurecourante devient petite, plus le refroidissement du système est lent

Otten et Ginneken (1988)

- L’algorithme du SA se termine lorsque le pourcentage des solutions acceptées est inférieureà 1%

Dolan et al. (1990)

- L’algorithme s’arrête lorsque T< 1 ou après un nombre de décroissances (10 par exemple) de température sans amélioration de la solution ou encore lorsque la probabilité d’acceptation devient inférieure à un certain seuil. - Ce cas permet à l'algorithme de ne pas rester bloqué dans un minimum local lors du recherche local par la fonction objectif. Il permet en effet de garder des solutions qui paraissenmauvaises mais qui peuvent se révéler utiles par la suite.

Kim et al. (1996) - Aucun effet d'interaction pour les paires suivants : (la température initiale et le facteur derefroidissement) et (la température initiale et le nombre de mouvements (itérations) danschaque température). - Un effet d'interaction pour la paire (le facteur de refroidissement et le nombre demouvements dans chaque température).

Park et Kim (1998)

- Tous les paramètres internes du SA sont sélectionnés par la méthode du simplex pour laprogrammation non-linéaire en terme d’efficacité et d’efficience.

Wang et Wu (1999)

- La température initiale, le facteur de refroidissement et le nombre de mouvements danschaque température sont choisis par l’analyse de la surface de réponse (response surfacemethodology (RSM)) avec contrainte sur le temps de calcul (efficience de l’algorithme)

Cunha et Sousa (2001)

- Le nombre des mouvements ou d’itérations de l'algorithme à chaque température a uneinfluence décisive sur la période du calcul (efficience) et sur le taux de convergence(efficacité)

Cho et al. (2005) - Tous les paramètres internes du SA sont sélectionnés par la conception robuste de Taguchi sous une contrainte d’efficacité

Pibouleau et al. (2005)

- Un plan factoriel complet de 24 a été mis en oeuvre pour définir les plages de variation des paramètres internes sous une contrainte d’efficacité - Le paramètre le plus significatif est la longueur du pas, le moins significatif étant la température initiale. Le schéma de décroissance de la température et le critère d’arrêt ont une influence intermédiaire semblable.

Lee et Kim (2007)

- L'algorithme résultant puisse résoudre la recherche de la solution optimale en termed’efficience (dans un délai de 1 ou 2 minutes) pour un problème d’ordonnancement de projetavec un objectif de maximisation du nombre prévu de cibles identifiées par la ressource derecherche

Sayarshada et Ghoseiri (2009)

- L'algorithme de SA est influencé par les trois paramètres internes (la température initiale, le nombre de mouvements dans chaque température et le facteur de refroidissement) en terme d’efficience.



I-2-4-4- Avantages et inconvénients du recuit simulé

L’algorithme du recuit simulé est très simple et très rapide à mettre en œuvre pour tous les problèmes qui relèvent des techniques d'optimisation itératives. Bohachevsky et al. (1986) ont précisé que l'avantage de la méthode du recuit simulé réside dans sa capacité à parcourir des minimaux locaux à la recherche de la solution globale et d’idendifier la localisation du minimum global.

L’algorithme de recuit simulé permet d’obtenir en un temps raisonnable des solutions réalisables pour des problèmes combinatoires difficiles (Cunha et Sousa, 1999 ; Nunes et al., 2004b). Contrairement aux méthodes classiques de la recherche opérationnelle (programmation mathématique, programmation mixte, programmation dynamique, méthodes arborescentes), les algorithmes stochastiques de type recuit Simulé n’exigent aucune connaissance des propriétés mathématiques du problème ; il est seulement nécessaire de pouvoir évaluer la qualité d’une solution. Les principaux inconvénients de recuit simulé résident dans le fait que le temps de calcul devient parfois excessif. En plus, il faut déterminer les paramètres internes de cet algorithme (la température initiale, la longueur du pas, le schéma de décroissance de la température et le critère d’arrêt de l’algorithme) à la main, en testant diverses valeurs.

I-2-5- L’optimisation robuste

I-2-5-1- Motivations

L’optimisation robuste a pour but de trouver des solutions optimales peu sensibles aux incertitudes. En effet, lorsque le système étudié est soumis à des situations de risque ou d’incertitude, la robustesse de la solution optimale identifiée à partir d’une situation unique peut être remise en question. Paraskevopoulos et al. (1991) ont développé des modèles de planification de capacité pour l'industrie de plastiques afin d'évaluer l'effet de l'incertitude dans la demande du marché sur l'expansion et l’utilisation optimales de cette capacité. Egalement, Malcolm et Zenios (1994) ont examiné des problèmes d'augmentation de la capacité de systèmes d'énergie sous une incertitude de la demande. Watkins et Mckinney (1997) ont traité deux problèmes pour montrer la convenance de l’utilisation de l’optimisation robuste dans la résolution des problèmes des ressources en eau. Le premier est un problème de transfert urbain de l'eau, considérant la disponibilité de l'eau et la demande de l'eau comme paramètres aléatoires pour la décision de l’optimisation robuste. Le second problème porte sur la gestion de la qualité des eaux souterraines, considérant l'incertitude des paramètres de l’aquifère. De même, Laguna (1998) a résolu un problème lié à l'expansion de la capacité des systèmes de télécommunications sous une incertitude de la demande. Escudero et al. (1999) et Yu et Li (2000) ont analysé des problèmes liés à la logistique avec des informations incertaines au niveau de la demande des produits, du coût des matières premières et des temps de livraison. Afonso et Cunha (2007) ont décrit un modèle robuste pour une conception des composants d'une usine de traitement des eaux usées, qui reste « proche » de l’optimum pour tous les scénarios potentiels. Ces scénarios dépendent des caractéristques des eaux usées et des comportements des processus bioligiques et chimiques. Ricciardi et al. (2007) ont traité un problème de remédiation de la qualité des eaux souterraines considérant l'incertitude des paramètres de l’aquifère. Cunha et Sousa (2010a) et Cunha et Sousa (2010b) ont présenté des modèles pour la conception robuste des réseaux de distribution d’eau qui peut faire face à l'incertitude des conditions du travail de ces réseaux. Ces conditions peuvent être perturbées par des accidents tels que des conduites ou des réservoirs cassés, un changement de la demande, etc.



Pour traiter ces situations sous risque ou incertitude, on distingue souvent (voir pour plus de détails Kouvelis et Yu, 1997 ; Ben-Tal et Nemirovski, 2002; Snyder, 2006) : – l’optimisation de la valeur « dans le pire des cas » : la solution doit minimiser le coût maximal engendré par les scénarios envisagés. On parle alors généralement de problème de “coût minmax”. – la minimisation de l’écart maximal avec la solution optimale de différents scénarios envisagés a priori. On parle alors de problèmes de “regret minmax”. Par définition, le regret est le sentiment de perte ressenti par un décideur après avoir appris qu’une autre solution (ou décision) aurait été préférable à celle sélectionnée. En effet, la solution robuste obtenue par l’application de ce critère est celle dont le plus grand écart par rapport aux valeurs optimales sur tous les scénarios est le plus faible.

Mulvey et al. (1995) ont introduit deux types de robustesse : une solution est dite solution-robuste si elle garde une valeur d’objectif assez bonne pour tout événement. D’autre part, une solution est dite modèle-robuste si elle demeure réalisable dans presque tous les scénarios. On trouve dans Nikulin (2004) une bibliographie de l’utilisation de l’optimisation robuste pour des problèmes combinatoires.

I-2-5-2- Méthode d’optimisation robuste basée sur les scénarios

Il est fréquent que les modèles d’optimisation robuste s’appuient sur un ensemble discret fini de scénarios possibles. Kouvelis et Yu (1997) sont les principaux initiateurs de cette méthode. Pour des applications industrielles, on peut se référer à Ouorou (2006).

Le modèle de Kouvelis et Yu (1997) consiste à définir un ensemble S de scénarios. A chaque scénario s Є S on associe une fonction objectif fs à minimiser. On note Xs l'ensemble des solutions admissibles pour le scénario s. L'ensemble des solutions admissibles du problème robuste est donc défini comme : X = sЄS Xs.. On note *

sx une solution optimale pour

le scénario s. Les trois critères usuels de robustesse proposés pour minimiser la fonction objectif fs() sont les suivants : - la robustesse absolue (ou le critère du coût maximal) : on optimise la valeur du « pire des cas », la solution robuste est celle qui minimise le coût maximal engendré par les scénarios envisagés. C'est le critère le moins risqué, car il permet de se prémunir contre la pire des éventualités (scénarios) (Petrou, 2008) :

)(maxmin xf sSsXx

(I.18)

- la déviation robuste (ou le critère du regret maximal) : on cherche à minimiser l'écart maximal avec la solution optimale de chacun des scénarios envisagés. Ceci n’est a priori réalisable que si ces scénarios sont en nombre fini (et restreint). (Klopfenstein, 2008) :

*maxmin sssSsXx

xfxf

(I.19)

- la robustesse relative (ou le critère du regret relatif) : on cherche à minimiser l'écart maximal relatif avec la solution optimale relative à chaque scénario pris séparément. De la même façon, ce critère minimise le regret, mais rapporté à la valeur de l'optimum trouvé pour chaque scénario (Petrou, 2008):

*

*

maxminss

sss

SsXx xf

xfxf

(I.20)



Ainsi, la méthode d’optimisation robuste a sa place dans notre méthodologie dans la mesure où on doit tenir compte de la variabilité temporelle des champs pluvieux lors de l’optimisation du réseau. L’incertitude qui devra être prise en compte est celle provenant des données qui fluctuent dans le temps et l’espace.

I-3- OUTILS D’INTERPOLATION SPATIALE

L’interpolation spatiale est considérée comme une des approches clés pour résoudre un problème d’optimisation de résau pluviographique. Dirks et al. (1998) a comparé la performance de trois méthodes d’interpolation pour l’estimation spatiale de la pluviométrie à partir d’un réseau assez dense (13 pluviomètres sur une superficie de 35 km2), à savoir : les polygones de Thiessen, l’inverse de la distance, et le krigeage. Ils ont conclu que, pour un réseau d’observation dense, ces méthodes aboutissent à des erreurs d’interpolation comparables. L’outil géostatistique est adapté pour des problèmes d’optimisation de réseau car il permet d’associer à chaque valeur interpolée de la pluie, une incertitude, qui sera à la base de l’optimisation du réseau pluviographique. Une description du principe de la géostatistique et de la théorie des variables régionalisées est présentée dans cette partie qui développe les méthodes d’analyse de la structure de variabilité des champs en univarié et en multivarié, ainsi que les méthodes d’estimation par krigeage.

I-3-1- Principes de la géostatistique et théorie des variables régionalisées

La géostatistique est le terme généralement utilisé pour l'application de la théorie des variables aléatoires à l'étude des phénomènes naturels qui se déploient dans l'espace, appelés phénomènes régionalisés. Une variable régionalisée [VR] est donc une grandeur définie sur un domaine de l'espace. Il peut s'agir de l'espace "géographique" à 1, 2 ou 3 dimensions ou du temps. Historiquement, la théorie des variables régionalisées a été proposée par Matheron (1965) dans le domaine minier. Parallèlement, dans le domaine de la météorologie et des sciences de l'atmosphère, Gandin (1965) a développé une approche comparable, connue sous le nom d'analyse objective, appliquée à des phénomènes qui se répètent dans le temps (contexte climatologique). On notera également les travaux pionniers de Delhomme (1978) qui ont initié l'utilisation des outils de la géostatistique dans le domaine des sciences de l'eau. Ces méthodes ont aussi été développées pour la prospection géologique (Journel et Huigbergts, 1978). Le but primaire de ces outils est d’estimer spatialement sans biais et avec une variance d’erreur minimale la valeur d’une variable en un point ou un volume non échantillonné. Ces méthodes supposent que toute variable dite « régionalisée » correspond à une fonction aléatoire (Matheron, 1965). Préalablement à toute estimation, elles analysent la structure de corrélation spatiale de chaque variable régionalisée à travers l’étude du variogramme.

De manière générale, la géostatistique s'intéresse principalement aux problèmes : i) d'estimation de la valeur de la variable d'intérêt en des points dépourvus de mesure et ii) d'évaluation de la valeur moyenne sur une surface du domaine d'étude à partir de mesures ponctuelles disponibles et de la connaissance de la structure spatiale du phénomène. La possibilité d'accéder à l'incertitude associée aux valeurs estimées rend les méthodes issues de la géostatistique utiles au moment de la conception d'un réseau de mesures ou, dans le but de son optimisation, pour évaluer l'apport d'un nouveau point de mesure à un réseau déjà en fonctionnement.

Les méthodes géostatistiques les plus fréquemment utilisées en hydrologie sont le krigeage et le cokrigeage. Elles proposent pour la première un estimateur linéaire correspondant à une moyenne pondérée des observations disponibles dans le voisinage du



point à estimer et pour la seconde un estimateur prenant en compte de surcroît les observations d’autres variables corrélées à la variable principale.

Cependant, leur utilisation est quelque peu problématique. Le premier problème relève des hypothèses de stationnarité de la structure de corrélation spatiale. Le second problème relève de l’estimation du variogramme théorique de la variable régionalisée. Cela passe par le calcul d’un variogramme expérimental et l’ajustement d’un modèle de variogramme à ce dernier. Webster et Oliver (1992) ont montré que la structure de corrélation spatiale ainsi déterminée peut s’éloigner assez fortement de la structure réelle lorsque le nombre de données disponibles pour son calcul est faible et/ou mal réparti dans l’espace. Rivoirard (1984) a étudié l’effet d’écran où des informations proches « masquent » des informations lointaines qui reçoivent alors des poids (positifs ou négatifs) voisins de zéro : l’estimation ignore alors quasiment les valeurs des échantillons correspondantes. Avec des poids négatifs (de l’odre de quelques % au moins), on assiste à un phénomène d’attraction-répulsion : répulsion à l’égard des échantillons à poids négatifs, compensée par une attraction vis-à-vis de ceux dont les poids sont positifs.

I-3-2- Variogramme

Le variogramme est une fonction de structure utilisée pour modéliser la variabilité d'un phénomène. Il mesure la variabilité des écarts entre couples de variables d'une fonction aléatoire et s'exprime en fonction du vecteur de distance h entre les points. Le variogramme de Fonction Aléatoire Intrinsèque Z s'écrit :

2))((2

1)( xZhxZEh (I.21)

Cette fonction peut être estimée à partir des couples de points d'une réalisation. Pour

des couples distants de h, nous pouvons faire l'estimation de la fonction de structure, ce qui nous permet de construire le variogramme expérimental γ(h) basé sur la formulation suivante :

)(

1

2)()()(*2

1)(

hN

iii xZhxZ

hNh (I.22)

N(h) est le nombre de couples qui appartiennent à une classe d’amplitude h, xi et xi+h sont deux points séparés par une distance h, Z(xi) et Z(xi+h) représentent les valeurs de la variable Z mesurée aux endroits correcpondants.

Dans la pratique, on dispose d'un réseau de mesure fini, ce qui limitera le nombre de couples pour une distance h précise. Pour éviter cela, on construit autour d'une distance h une classe h+Δh qui permet d'avoir un nombre minimal de couples. Il y a aussi le variogramme robuste qui tient compte du nombre de couples pour établir un point du variogramme

I-3-2-1- Les différents comportements d'un variogramme expérimental

Dans un variogramme expérimental, on distingue deux comportements, le premier est à l'origine et le deuxième à l'infini.

A l'origine, nous pouvons observer un comportement continu de type parabolique ou linéaire, ou un autre discontinu avec un effet de pépite ou pépite pure. La pépite est due à des



erreurs de mesure ou bien à un phénomène microrégional à une échelle très inférieure au pas d'espace étudié. Un effet de pépite pur montre que la variable n'a pas de structure spatiale.

Le comportement à l'infini est défini par un variogramme borné ou non borné. Le variogramme borné devient constant au-delà d'une distance de décorrélation (corrélation nulle) appelée portée, cette constante correspond à la variance de la variable Z appelée palier. On peut trouver aussi une chute brusque de la variance dans les dernières classes, due au nombre insuffisant de couples, ou bien à la mauvaise répartition des points dans l'espace, ce qu'on appelle "l’effet de trou". Dans le cas d'un variogramme non borné, la variable n'est pas stationnaire d'ordre 2, et la moyenne varie dans le champ de mesure. Cela est appelé une dérive.

I-3-2-2- Modélisation du variogramme

A partir d'un variogramme empirique, on essaie de caler une fonction qui sera le modèle ajusté. Ce modèle sera utilisé dans l'interpolation. Lin et Chen (2004) ont montré que le calcul du variogramme expérimental a une grande influence sur la précision de l’estimation. Selon Schäfer-Neth et al. (2005), le krigeage exige un ajustement précis des paramètres des variogrammes. Gringarten et Deutsch (2001) ont fourni pour la modélisation géologique, un cadre pour l'interprétation et l'ajustement des variogrammes expérimentaux, dans le cas de données dispersées avec une variabilité verticale. On dispose de nombreux modèles pratiques à l'ajustement. Parmi ces modèles on peut citer les exemples suivants (Figure I.5) : - modèle sphérique : le comportement à l'origine est linéaire, et le palier est atteint à une distance a. - modèle exponentiel : on a un comportement linéaire à l'origine, et le palier n'est atteint qu'asymptotiquement à une distance 3a (pour laquelle γ(h)=0.95C) - modèle gaussien : le comportement à l'origine est parabolique ; pour h=√3a on a γ(h)=0.95C - modèle puissance : ce modèle est sans palier, par exemple pour λ=1 on a un modèle linéaire.



Figure I.5. Les principaux modèles de variogrammes (Bardossy, 1997)

I-3-2-3- Validation des variogrammes modélisés

Une pratique courante pour valider le modèle de variogramme consiste à effectuer une validation croisée (Lin et Chen, 2004 ; Cohen, 2005). Le principe est d'éliminer à tour de rôle chaque observation et de l'estimer à l'aide de ses voisins. En chaque point, on obtient donc



une valeur vraie et une valeur estimée que l'on peut comparer pour déterminer si le modèle fournit des estimations se comportant comme prévu.

Plus précisément, soit Z*(x0) l'estimation obtenue par krigeage au point "x0" (en

enlevant la valeur observée Z(x0)) ainsi que la variance de krigeage σ2(x0), on peut définir un résidu e(x0)= Z(x0)- Z*(x0)

et un résidu normalisé n(x0)= e(x0)/ σ(x0) (Glatzer et Muller, 2004)

Un modèle de variogramme est validé selon les valeurs des résidus normalisés. En

effet, un modèle de variogramme adéquat devrait fournir des valeurs des résidus normalisés comprises entre -2 et 2. Une fois, le modèle du variogramme est choisi, le krigeage est appliqué à toute la zone d’étude pour estimer les valeurs de la variable étudiée aux points non observés en utilisant les données des voisins observés.

I-3-2-4- Cas multivarié : Calcul de variogramme croisé

Un des avantages des méthodes géostatistiques est de pouvoir inclure dans le modèle d’interpolation des variables auxiliaires qui apportent de l’information sur la variable cible. Pour décrire la structure de dépendance entre la variable cible et les covariables, on utilise le variogramme croisé.

Soit Zp la variable principale et Zq la variable secondaire, alors le variogramme croisé γpq est donné par la relation suivante :

)(

1

)()()(*2

1)(

hN

iiqiqipippq xZhxZxZhxZ

hNh (I.23)

N(h) est le nombre de couples qui appartiennent à une classe d’amplitude h, xi et xi+h sont deux points séparés par une distance h. Il convient de souligner qu’on prend le cas particulier où les variables Zp et Zq sont connues aux mêmes points expérimentaux. Dans la mesure où on s’intéresse à la corrélation entre la variation de Zp et la variation de Zq, un outil plus parlant que le variogramme croisé est le graphe du coefficient de codispersion rpq(h). Le coefficient de codispersion rpq(h), introduit par Matheron (1965), est déduit du variogramme croisé et des variogrammes directs par la relation suivante :

hhhhr qqpppqpq (I.24)

γpp et γqq sont les variogrammes directs respectivement de Zp et Zq.

Si le graphe rpq(h) en fonction de h est constant, quel que soit le couple (p, q) considéré, tous les variogrammes sont proportionnels à un même modèle de base, et on trouve dans le cas d’une corrélation intrinsèque. C’est le seul cas où les coefficients de corrélation résument les variogrammes croisés sans perte d’information. (Chilès et al., 1991).

L’analyse du variogramme croisé se fait de la même façon que celle du variogramme

univarié, c'est-à-dire que l’on relève ses propriétés (effet de pépite, palier, portée, amplitude) et on y ajuste une fonction.

I-3-3- Méthodes de krigeage

Dans cette section, nous détaillons les calculs mathématiques de la méthode de krigeage. Dans le premier paragraphe, nous commençons par décrire la procédure à suivre



pour réaliser une estimation par krigeage. Dans le second paragraphe nous présentons la méthode de krigeage ordinaire et la méthode de krigeage avec dérive externe.

I-3-3-1- Procédure de krigeage

Le krigeage est une méthode d'interpolation spatiale qui prend en compte la variation

spatiale des données. C’est une méthode de modélisation issue de la géostatitique, introduite par l’ingenieur minier sud-africain Daniel Gerhardus Krige dans les années 1950 et formalisée ensuite par Matheron (1962) à l’Ecole des Mines de Paris.

Pour la formulation de la méthode de krigeage, nous suivons les démarches proposées par Chauvet (1999). Ces démarches consistent à écrire les contraintes de krigeage suivantes :

a- Contrainte de linéarité L'idée de base du krigeage est d'estimer la valeur de la variable régionalisée en un point xi par une combinaison linéaire des observations voisines :

nbN

iii xZxZ

10

* )()( (I.25)

Z*(x0), qui est une variable aléatoire, est une estimation de Z au point x0, λi est le poids affecté à la valeur de Z au point xi, et Nnb est le nombre total des points de mesure de la variable Z. Ces poids λi, qui constituent les inconnues du problème, dépendent de la localisation de données et de leur structure de dépendance spatiale.

b- Contrainte de non-biais L’estimateur du krigeage est un estimateur sans biais. C'est-à-dire :

000* xZxZE (I.26)

c- Contrainte d'autorisation Il faut garantir l’existence des moments d’ordres 1 et 2 pour l’erreur d’estimation

00* xZxZ

d- Contrainte d'optimalité Les poids λi sont déterminés de façon à minimiser 00

* xZxZVar sous les contraintes

précédentes.

Il existe trois types de Krigeage univarié (i.e. à une seule variable) : le Krigeage simple, le Krigeage ordinaire et le Krigeage universel. La différence entre ces types d'estimation réside dans la connaissance de la statistique de la variable à interpoler : (1) Krigeage simple : variable stationnaire de moyenne connue ; (2) Krigeage ordinaire : variable stationnaire de moyenne inconnue ; (3) Krigeage universel : variable non-stationnaire (qui contient une tendance).

Dans la mesure où l’on dispose d’informations sur les pluies dans l’espace pour une durée de référence donnée (résolution), il est possible de considérer les champs des précipitations comme des réalisations de fonctions aléatoires. Grâce à l’interpolation spatiale par le krigeage, la cartographie des paramètres pluviométriques permet d’apporter une meilleure connaissance de la distribution des pluies à différentes résolutions temporelles.



Das la suite, nous nous restreindrons au Krigeage ordinaire, aussi appelé Krigeage ponctuel par certains auteurs car il est le plus fréquemment utilisé.

I-3-3-2- krigeage ordinaire

Dans cette méthode la moyenne est supposée inconnue mais invariante sur le voisinage utilisé dans l’estimation (Matheron, 1970). Le modèle de base de cette méthode s'énonce comme suit :

)()( xxZ (I.27)

est considérée comme constante inconnue () est une fonction aléatoire stationnaire intrinsèque d’espérance nulle et de structure de dépendance connue, c’est à dire :

(I.29) 2hxVar

(I.28) 0

hx

xhxE

Pour calculer l’estimateur en un point x0, la résolution des équations du krigeage ordinaire se fonde sur les étapes suivantes :

Ecriture de la contrainte de linéarité qui s'exprime donc sous la forme :

nbN

iii xZxZ

10

* )()( (I.30)

Ecriture de la contrainte de non biais qui donne :

nbN

ii

1

1 (I.31)

La contrainte d’optimalité, qui permet de chercher les poids λi qui minimisent la variance de l’erreur d’estimation, donne :

01

' xxxx jij

N

ij

nb

j=1,…, Nnb (I.32)

Donc les poids λi sont les solutions du système suivant :

(I.33b) 1

(I.33a) N1,...,j )(

)(

nbN

1i

1

nb0

'

i

N

i

j

ijj

nb

xx

xx

Où ’ est un coefficient de Lagrange qui permet de prendre en compte les contraintes sur les poids. La variance de krigeage pour le krigeage ordinaire est obtenue par :



nbN

iii xxx

100

2 '0 (I.34)

I-3-3-3- Cas multivarié

Le krigeage ordinaire est une méthode que l’on applique à une seule variable régionalisée. Or, en pratique, il est possible d’avoir d’autres données venant d’autres variables aléatoires régionalisées qui peuvent améliorer l’estimation que nous voulons faire en un site donné. La prise en compte d’un ou plusieurs co-facteurs ou variables auxiliaires fait appel à la technique du krigeage multivariable (Wackernagel, 2003). On dispose de deux techniques pour intégrer des variables auxiliaires dans la méthode d’interpolation : la technique de cokrigeage (Hevesi et al., 1992a; 1992b) et la technique de krigeage avec dérive externe (Hudson et Wackernagel, 1994; Wackernagel, 2003). Ces deux techniques reposent sur des hypothèses différentes.

Dans le cas du cokrigeage, il est nécessaire d’élaborer un modèle structural ou variographique multivariable décrivant à la fois la corrélation spatiale de chacune des variables considérées séparément (variable d’intérêt et variable auxiliaire) et leur corrélation conjointe. Cela suppose l’existence d’un lien direct et linéaire de type positif entre les deux variables. La mise en oeuvre du cokrigeage implique ainsi de modéliser les variogrammes simples et croisés des variables d’intérêt et auxiliaire afin de les entrer dans le système de cokrigeage. (Arnaud et Emery, 2000)

Dans le cas du krigeage avec dérive externe, on se place dans l’hypothèse où la variable d’intérêt présente une structure d’ensemble modelée par une autre variable. En d’autres termes, on considère que l’on dispose d’une fonction de forme, c’est-à-dire d’une variable régionalisée distincte de la variable d’intérêt, capable de décrire les grandes lignes structurales de la variable à estimer (Goovaerts, 1997).

Ahmed et De Marsily (1987) ont proposé d’adopter une variable qui est plus informée pour aider à interpoler une variable régionalisée lorsque les données relatives à cette dernière ne sont pas denses. Cette variable auxiliaire Y(x) est appelée une dérive externe. Par hypothèse, la variable additionnelle Y(x) est supposée être linéairement liée à Z(x). Grimes et al. (1999) ont adopté le krigeage avec dérive externe en utilisant les données satellitaires et celles des stations au sol pour améliorer l’estimation régionale des précipitations et leur distribution spatiale. Goovaerts (2000) a utilisé le krigeage avec dérive externe pour incorporer l’altitude à l’interpolation spatiale de la pluie. Il a conclu que cette méthode aboutit à des résultats mieux que le cokrigeage ordinaire qui est plus complexe. En effet, dans le cas d’un réseau de faible densité, le krigeage avec dérive externe semble être plus approprié que le krigeage ordinaire. Le krigeage avec dérive externe représente l’estimation de krigeage, Z*(x), comme la somme d’une composante de tendance m(x)=E[Z(x)] et un résidu R(x) (Bardossy et Lehmann, 1998):

)()()(* xRxmxZ (I.35) La composante de tendance est par la suite remplacée par :

)()()()( 10 xYaaxmxYxZE (I.36)

Où a0 et a1 sont des constantes inconnues. L’estimateur linéaire doit être non biaisé quelque soient les valeurs de a0 et a1.



En adoptant la même démarche que précédemment pour la résolution des contraintes de krigeage pour calculer l’estimateur en un point x0 par krigeage avec dérive externe, les poids λi sont les solutions du système suivant :

(I.37c) )()(

(I.37b) 1

(I.37a) N1,...,j )()(

)(

10

N

1ii

1

nb02

1

nb

nb

nb

N

iii

N

i

jj

ijj

xYxY

xxxY

xx

Où 1, 2 sont les coefficients de Lagrange relatifs aux contraintes sur les poids. Donc, Y doit être connu aux localisations xi aussi bien qu’à la localisation cible x0. La variance de krigeage avec dérive externe est obtenue par :

)()()0( 02101

02 xYxxx i

N

ii

nb

(I.38)

CONCLUSION

Nous avons développé dans ce chapitre les connaissances mobilisées pour répondre à la problématique de la recherche. Une revue bibliographique sur l’observation de la pluie par les pluviographes a été dressée et a porté en particulier sur les appareillages pluviographiques et les modèles IDF. Nous avons également passé en revue les techniques d’optimisation des réseaux de mesure géophysiques et pluviographiques en particulier. Il s’avère que les méthodes géostatistiques sont très utilisées pour l’optimisation des réseaux pluviographiques, ce qui a permis d’axer la revue sur les méthodes d’interpolation géostatistique. Nous avons également porté une attention particulière aux méthodes de calage des paramètres internes du SA et aux approches d’optimisation robuste recommandées dans le cas où les données sur le problème d’optimisation sont entachées d’incertitude.

Chapitre II : Matériel et méthode

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Chapitre II : MATERIEL ET METHODE

INTRODUCTION

Dans ce chapitre nous commencerons par présenter la localisation de la zone d’étude. Ensuite nous verrons l’identification des événements pluvieux extrêmes que cette zone a connus et les réseaux pluviographiques qui ont permis leur suivi. Par la suite, nous effectuerons une analyse des pluviogrammes à travers les archives de la DGRE afin d’identifier ceux relatifs aux crues citées auparavant. Ensuite, nous mettrons l’accent sur les événements pluvieux extrêmes retenus qui sont documentées dans la littérature. Nous terminerons la présentation des données par l’étude des courbes Intensité-Durée-Fréquence dans la région d’étude où nous présenterons un aperçu sur les études antérieures et les résultats de l’étude de DGRE-ST2i (2007).

Au terme de la présentation des données disponibles pour réaliser notre étude, nous avons choisi de travailler en liaison avec les deux problématiques d’inondation et d’érosion évoquées dans les trois références principales (Kallel et Colombani, 1973 ; Ghorbel et al., 1986 et Sâadaoui et Ben Mansour, 2003). Nous avons alors développé une méthodologie qui tient compte aussi bien des objectifs de la thèse (optimisation de réseaux pluviographiques) que de l’information pluviographique disponible (intensités maximales sur certaines durées de référence et réseau peu dense). Nous commençons par la sélection des variables d’étude c'est-à-dire les intensités de pluie. Quelle durée de référence choisir ? Faut-il se maintenir à une seule durée de référence ou analyser un les durées séparément (c'est-à-dire étudier les distributions marginales) ou les étudier conditionnellement à la durée ? D’après la revue bibliographique, l’analyse géostatistique a émergé comme une méthode appropriée à l’étude de l’optimisation des réseaux pluviographiques dans la mesure où elle permet l’investigation de réseaux fictifs. Dans cette perspective nous distinguerons deux approches : 2D et 3D. Les fonctions objectifs seront ensuite détaillées. D’après la revue de bibliographie, le recuit simulé se présente comme un bon algorithme d’optimisation, très efficace pour la détermination rapide de bonnes solutions à un problème possédant beaucoup d’inconnues. Une méthodologie de calage des paramètres du recuit simulé est d’abord proposée. Ensuite nous choisissons quelques problèmes typiques d’optimisation en commençant par étudier l’effet de l’approche 2D ou 3D sur les résultats de l’optimisation puis en étudiant l’effet du choix de fonctions objectifs monocritères. Comme le problème d'optimisation de l'extension du réseau pluviographique est par nature un problème multi-objectif, nous adressons ensuite l'agrégation d’objectifs. Nous proposons à la fin une méthode d’optimisation robuste en vue d’obtenir des solutions optimales valables pour des événements pluvieux de différentes récurrences.

II-1- ELABORATION DE L’INFORMATION PLUVIOGRAPHIQUE

II-1-1- Zone d’étude

La zone d’étude est limitée au sud par la Dorsale, au nord et à l’est par la Méditerranée et à l’ouest par le territoire algérien. Il s’agit des bassins versants de la Medjerdah (Bassin 5 (BV5)), des bassins côtiers de l’extrême nord de la Tunisie et des bassins de l’Ichkeul (Bassin 3 (BV3)), du bassin du Méliane et des bassins côtiers du Cap Bon (Bassin 4 (BV4)). Cette zone est ainsi décomposée en trois parties, conformément au découpage proposé par la DGRE : bassins de la Medjerdah (Bassin 5 (BV5)) et bassins de l’extrême nord et de l’Ichkeul (Bassin 3 (BV3)) qui couvrent ensemble une superficie de 21000 km2 et bassins du Méliane et


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du Cap Bon (Bassin 4 (BV4)) couvrant une superficie de 7000 km2. Les eaux de surface de la Tunisie sont principalement mobilisées dans ces trois grands bassins du Nord qui abritent la plupart des barrages.

Dans cette région, les réseaux de suivi des eaux de surface (pluviométrie, hydrométrie) sont en service depuis plus d’un siècle. A titre d’exemple, l’enregistrement des intensités de pluie dans la région d’étude a commencé en 1949 à la station Tunis Manoubia.

II-1-2- Identification d’événements pluvieux extrêmes

La zone d’étude a connu, depuis des années, des événements pluvieux extrêmes caractérisés par de très fortes intensités et des dommages très importants. L’étude pluviométrique et les dégâts occasionnés de ces événements ont fait l’objet de plusieurs travaux.

Par exemple, De Montmarin (1951) a étudié les pluies exceptionnellement fortes de 1905 à 1949. Il a analysé leurs intensités maximales et les maxima journaliers observés.

Kassab (1979) a analysé les précipitations exceptionnelles de septembre 1969 en se basant sur les pluies mensuelles et leurs écarts par rapport aux moyennes mensuelles. D’après la carte des isohyètes tracée dans le cadre de cette étude, les quantités de pluie qui se sont abattues sur la région du Grand Tunis, le 21 et 22 octobre 1969 ont atteint un cumul de 150 mm. Cet événement a gravement affecté la Tunisie en général. En effet, comme le rappelle Frigui (2002), les apports totaux ont été estimés à 3 milliards de m3. Des dégâts énormes ont été enregistrés (500 morts, 7000 logements détruits et des dégâts évalues a 12% du Produit National Brut (PNB)). Kassab (1979) a étudié aussi l’événement de Mars 1973. Pour le bassin de la Medjerdah, la crue du 24 au 28 Mars 1973 a provoqué des inondations catastrophiques dans la moyenne et la basse vallée de la Medjerdah. Les apports en Méditerranée ont été estimés à 1 milliard de m3, ce qui constitue l’équivalent de l’apport annuel de ce principal cours d’eau de la Tunisie, la Medjerdah. Selon Kallel et Colombani (1973), les coefficients de ruissellement s'étalent de 0.60 à l'amont du bassin versant (Medjerdah à Jendouba 2410 km2) à 0.35 pour l'ensemble du bassin versant (Medjerdah à la Slouguia 20 990 km2). Selon Frigui (2002), la période de retour de cette crue est supérieure à la centennale.

Egalement, Ghorbel et al. (1986) ont étudié les crues exceptionnelles du 29-30 septembre 1986 qui ont concerné une partie du Grand Tunis et du Cap Bon. Les quantités de pluies qui se sont abattues représentent, par exemple, 104.5 mm en 24 h à Tunis Manoubia et 240.6 mm en 2 jours à Grombalia. Pour les dégâts causés par cet événement, on a noté à Tunis 7 logements écroulés, 174 logements endommagés et 7 familles sans abri ; à Ben Arous, 4 personnes ont trouvé la mort, 7 logements se sont écroulés, 4 logements ont été endommagés et 105 familles se sont trouvées sans abri ; à l’Ariana on a noté: 7 logements écroulés, 25 logements endommagés et 3 familles qui se sont trouvées sans abri. Ghorbel et al. (1986) ont estimé, qu’au niveau de la station de Tunis Manoubia, la période de retour des 104,5 mm enregistrées en 24h est cinquantenale. En ce qui concerne l’intensité de 145 mm/h en 5 mn observée dans la même station, ils ont estimé une période de retour centennale.

Une autre crue extrême, s’est produite durant la période Janvier et Février 2003 dans le bassin de la Medjerdah. Bouzaiane et Frigui (2003) ont trouvé qu’en plus des stocks réalisés dans les barrages, 1 milliard de m3 d’eau s’est écoulé vers la Méditerranée.



Bouanz (2005) a analysé l’événement de septembre 2003 en se basant sur les hyétogrammes de la station du Tunis Carthage. Durant cet événement, le Grand-Tunis a vécu des inondations sans précédent historique dans la région d’après les dégâts matériels et humains causés. En effet, l’agglomération a été paralysée pendant plus de deux jours. Certaines zones sensibles étaient isolées et la circulation était bloquée pour plusieurs jours.

Plus récemment en octobre 2007, et plus particulièrement le 13 octobre, une crue causant des dégâts matériels et humains s’est produite sur des petits bassins versants au niveau de la région de Sabbelet Ben Ammar dans le Nord de Tunis. Frigui et Ben Mansour (2007) ont réalisé une étude hydrologique et pluviométrique de cet événement pluvieux. Ils ont comparé les pluies observées par rapport à la moyenne du mois d’octobre en estimant qu’elles représentent 160% pour la région de leur étude. Ils ont conclu que les périodes de retour des maximums journaliers annuels sont estimées à 52 ans pour la station de Tunis Manoubia (135,5 mm) et à 15 ans pour Tunis Carthage (93 mm).

Les Tableaux II.1, II.2 et II.3 donnent la date des principaux événements extrêmes relatifs à chacun des bassins versants étudiés.

Tableau II.1. Liste des événements pluvieux extrêmes pour le BV3

Année Dates Sources

1958 14 Janvier – 27 Octobre

Kallel et Zouaoui (1981)

1961 20 et 21

Septembre Kallel et Zouaoui (1981)

1964 8 Février Kallel et Zouaoui (1981)

1973 27 Mars Kassab (1979); Kallel et Colombani (1973)

1982 27 et 28 Octobre Frigui (2002)

1986 27 Décembre Frigui (2002)

1995 17 Décembre Frigui (2002)

2000 29 Septembre Frigui (2008)

2003 11 et 12 DécembreDGRE (2004); Sâadaoui et Boughrara

(2004)

2007 13 Octobre Frigui et Ben Mansour (2007)



1961 15 Janvier Kallel et Zouaoui (1981)

1973 26, 27 et 28 Octobre

– 6 Décembre Kassab (1979)



1986 30 Septembre Ghorbel et al. (1986)

1995 10, 11 et 12 Octobre Frigui (2002)

1996 27 Février Frigui (2002)

1999 29 Novembre Frigui (2002)

2000 7 et 8 Juin Frigui (2008)

2003 Septembre DGRE (2003); Sâadaoui et Boughrara (2004)



1905 1 Décembre De Montmarin (1951)

1910 29 Décembre De Montmarin (1951) 1911 19 Janvier De Montmarin (1951)

1922 8 Janvier De Montmarin (1951)

1949 16 Décembre De Montmarin (1951)

1969 Septembre Kallel et Zouaoui (1981)

1973 Mars Kassab (1979); Kallel et Colombani

(1973)

2003 Janvier-FévrierBouzaiane et Frigui (2003); Sâadaoui et

Ben Mansour (2003)

2003 Septembre Bouanz (2005); Sâadaoui et Boughrara (2004)

II-1-3- Identification des réseaux pluviographiques

Pour le suivi de la pluviométrie enregistrée lors des événements extrêmes reportés dans les tableaux précédents, nous avons commencé par recueillir les informations portant sur les coordonnées et les altitudes des stations. Trois sources ont été consultées. Il s’agit du fichier Identité des stations, fourni par la DGRE, qui répertorie les postes pluviographiques, du fichier stationpluvioxy des pluviomètres et des fichiers de la DG-ACTA relatifs au réseau HYDROMED (Albergel et al., 2004). Les listes des stations pluviographiques par bassin versant sont données dans le Tableau II.4 pour le BV3, Tableau II.5 pour le BV4 et Tableau II.6 pour le BV5.

Tableau II.4. Liste et coordonnées des stations pluviographiques du BV3

Code DGRE Identification Latitude (dg) Longitude (dg) Altitude (m) Propriétaire39020 (a) Ain Karma 37.0003 9.3617 39 DGRE

34890 (a) Barbara 36.6755 8.5490 80 DGRE

30846 (a) Beni Daoud 37.0467 9.7316 75 DGRE 39395 (b) Barrage Ghezala 37.0822 9.575 22 DGRE



30782 (a) Bazina 36.9702 9.3028 90 DGRE

39100 (a) Bou Frinina 37.1701 9.3648 9 DGRE 39330 (a) Douimis 37.2024 9.6245 115 DGRE

39200 (a) El Guetma 37.0859 9.1852 70 DGRE

32920 (a) Goussat El Bey 36.9135 9.7258 130 DGRE

39255 (b) Mellita Hammam Bourguiba 36.7731 8.5769 130 DGRE 39135 (b) Joumine Antra 36.927 9.3887 109 DGRE

39500 (b) Ouled Mfedda 36.6633 8.4999 420 DGRE 35290 (a) Ras El Ain 37.0701 9.6767 135 DGRE 39410 (b) Sejnane déversoir 37.197 9.4976 42 DGRE 39450 (b) Sidi Hassoun 37.1718 9.7577 8 DGRE 39475 (a) Tebaba 36.9061 9.1466 80 DGRE 39505 (b) Tine cassis 37.0467 9.7307 80 DGRE 37724 (a) Tinja 37.1718 9.7579 8 DGRE 39600 (b) Zouara 37.0206 8.9567 15 DGRE

Tableau II.5. Liste et coordonnées des stations pluviographiques du BV4 Code DGRE Identification Latitude (dg) Longitude (dg) Altitude (m) Propriétaire

40154 (a) Ain Djaja Pont du Fahs 36.3722 9.8509 193 DGRE 49515 (b) Tunis Manoubia 36.7844 10.1731 66 DGRE 49055 (a) Barrage Masri 36.5333 10.4939 170 DGRE

49050 (a) Bezirk Barrage 36.7191 10.6289 60 DGRE

49209 (a) Grombalia DRE 36.6030 10.5002 50 DGRE 49512 (a) Tezoghrane 36.8937 10.8809 110 DGRE

49080 (a) Bir Mcherga Barrage 36.5094 10.0241 140 DGRE 49560 (a) Zriba Ain Sfaya 36.3465 10.2550 110 DGRE 44542 (a) Mornag Sidi Zeyed 36.6314 10.2824 55 DGRE

49070 (b) Bou Arada 36.3460 9.6119 268 DGRE

49115 (b) Dar Joundi 36.774 10.6712 115 DGRE

49130 (b) Oued El Mgaiez 36.9454 10.8899 28 DGRE

49220 (b) Halg Enneb 36.2533 10.1109 215 DGRE

49260 (b) Barrage Chiba 36.7024 10.7751 75 DGRE

49270 (b) Oued EL Khairat 36.1525 10.2216 100 DGRE

49325 (b) Oued El Abid 36.8334 10.6906 140 DGRE

49346 (b) Oued El Hamma Aval 36.6669 10.2752 34 DGRE

49356 (b) Rmel Sidi Abdallah 36.3220 10.3751 40 DGRE

49380 (b) Robaa Ouled Yahia 36.0904 9.5714 585 DGRE

49435 (b) Sidi Bou Ali (Cap Bon) 36.7713 10.9524 110 DGRE

47816 (a) Tuburbo Majus 36.3861 9.8792 178 DGRE

49052 (b) Barrage Lebna 36.7371 10.9268 8 DGRE

46232 (a) Sidi Boubaker Barrage

Kebir SM 36.2502 9.7982

340 DGRE

48882 (c) Sbaihia 36.2943 10.1231 300 DG-ACTA

49883 (c) Zecktoune 36.153 10.0937 195 DG-ACTA

Tableau II.6. Liste et coordonnées des stations pluviographiques du BV5

Code DGRE Identification Latitude (dg) Longitude (dg) Altitude (m) Propriétaire59010 (b) Ain Beya Fernana 36.6588 8.6372 330 DGRE 59012 (a) Bou Salem 36.6084 8.9657 138 DGRE 55503 (a) Sakiet Sidi Youssef 36.094 9.572 590 DGRE



(-) Saadine 1 36.233 8.354 803 DGRE (-) Saadine 2 36.072 9.023 501 DGRE

59020 (b) Ain Taga Kef Chegaga 35.5149 8.6462 1100 DGRE 59026 (b) Ain Zarga 35.8002 8.7929 980 DGRE 59030 (b) Bazina 36.7920 9.4292 230 DGRE 59050 (a) Mkhachbia Aval 36.7290 9.4076 136 DGRE 59110 (b) Mellegue K13 36.1175 8.5004 327 DGRE 59160 (b) Borj Diouana 35.9559 8.3982 460 DGRE 59170 (b) El Felta Ecole Primaire 35.9064 8.2988 460 DGRE 59206 (b) Ghardimaou 36.4505 8.4328 195 DGRE 59210 (b) Haidra Poste Douanes 35.5667 8.4666 850 DGRE 59220 (b) Laouj Siliana 36.4761 9.4643 210 DGRE 59250 (b) Le Kef DGRE 36.1665 8.7042 560 DGRE 59300 (b) Sarrath Pont Route 35.8101 8.5692 573 DGRE 59465 (b) Sraya Ecole 36.4752 8.2502 570 DGRE 59470 (b) Slouguia 36.5895 9.5201 65 DGRE 59510 (b) Zaouem Bousalem 36.5850 8.9252 132 DGRE 59540 (b) Zouarine Gare 36.0243 8.9045 571 DGRE 59230 (b) Izid Barrage 35.9235 8.8109 652 DGRE 51672 (a) Cité du Mellegue SM 36.324 8.7092 256 DGRE 54102 (b) Makthar P.F 35.8532 9.2042 900 DGRE 54292 (b) Mejez El Bab 36.6507 9.6047 142 DGRE 56988 (b) SK El Arba (Jendouba) SE 36.5027 8.7857 143 DGRE 50881 (c) Hadada 35.5025 9.0742 900 DG-ACTA 50881 (c) Janet 35.5216 9.1135 820 DG-ACTA 50881 (c) El Hnach 36.041 9.2655 447 DG-ACTA 50882 (c) Echar 35.3311 8.4045 970 DG-ACTA 50886 (c) Baouejer 35.3452 8.5011 987 DG-ACTA 50886 (c) M'rira 35.3634 8.2837 770 DG-ACTA 50883 (c) El Amadi 36.1032 8.4703 565 DG-ACTA

(a) Informations d’après le fichier stationpluvioxy des pluviomètres

(b) Informations d’après le fichier appareillage des pluviographes, listing DGRE

(c) Informations d’après les fichiers de la DG-ACTA, réseau HYDROMED

(-) Pas d’information

II-1-4- Analyse des pluviogrammes

Dans le cadre du projet «Modernisation et maintenance du réseau pluviométrique et pluviographique du Nord de la Tunisie» qui a été financé par la DGRE (2006), nous avons eu la possibilité d’examiner les archives de la DGRE pour les pluviogrammes afin d’identifier ceux relatifs aux crues reportées dans les Tableaux II.1, II.2 et II.3.

Nous avons constaté qu’il n’y avait pas de pluviogrammes pour certaines crues. Parfois, le pluviogramme n’était pas clair ou était déchiré ou il y avait une discordance entre la pluie journalière totale telle qu’issue de la lecture du pluviogramme et celle donnée par le pluviomètre totalisateur et reportée par l’opérateur. Dans certains cas, la plage d’enregistrement n’était pas respectée (le graphique dépasse l’intervalle réservé à l’enregistrement) et dans d’autres cas, l’heure a été manuellement corrigée à la main par l’observateur.



Le Tableau II.7 reporte les résultats du dépouillement de pluviogrammes relatifs à des événements extrêmes du BV3. Ce tableau souligne l’absence de la plupart des pluviogrammes relatifs aux événements sélectionnés dans le paragraphe précédent. Le nombre maximum d’enregistrements complets est de 5 pluviogrammes seulement parmi les 19 stations du BV3.

Tableau II.7. Analyse des pluviogrammes relatifs aux événements extrêmes du BV3

Evénement pluvieux extrême Pluviographe

27/03/1973 27 et 28/10/1982 27/12/1986 17/12/1995 Bou Frinina Néant Néant X Néant

Sidi Hassoum X Néant Néant Néant El Guetma Néant Néant Néant Néant

Barrage Ghezala Néant Néant Néant Néant Beni Daoud Néant Néant Néant Néant Tine Cassis X Néant Néant Néant

Gousset El Bey Néant Néant Néant Néant Douimis Néant Néant Néant X

Tinja Néant Néant Néant X Ouled Mfedda Néant Néant X Néant

Tebaba Néant Néant Néant Néant Joumine Antra X X X Néant

Sejnane déversoir X Néant Néant Néant Mellita Hammam

Bourguiba Néant Néant Néant X Bazina Néant Néant Néant Néant

Ras El Ain Néant Néant Néant Néant Zouara Néant Néant Néant Néant Barbara Néant Néant Néant Néant

Ain Karma X Néant Néant Néant

Le Tableau II.8 reporte les résultats du dépouillement de certains pluviogrammes relatifs à quelques stations pluviographiques du BV4. Ce tableau souligne aussi l’absence de la plupart des pluviogrammes relatifs aux événements sélectionnés auparavant.

Tableau II.8. Analyse des pluviogrammes relatifs aux événements extrêmes du BV4

Evénement pluvieux extrême Pluviographe

Octobre 1995 Février 1996 Novembre 1999 Tezoghrane X X X Grombalia Néant X X

Chiba X X X Barrage Masri Néant Néant Néant Oued El Abid Néant Néant Néant Barrage Lebna X X X

Rmel X X X Bir Mcherga Néant Néant Néant



Pour le bassin versant de la Medjerdah, l’analyse des pluviogrammes relatifs aux événements extrêmes identifiés dans le Tableau II.3 souligne encore une fois l’absence de la plupart des pluviogrammes recherchés.

Ainsi, il apparaît non envisageable de reconstituer les événements pluvieux cités dans les Tableaux II.1, II.2 et II.3. L’absence de la plupart des pluviogrammes nous a conduit à limiter l’étude aux crues exceptionnelles les mieux documentées dans les publications de la DGRE (rapports hydrologiques, rapports, monographies). Nous avons ainsi consulté un grand nombre de documents et finalement trois événements hydrologiques ont été retenus.

II-1-5- Evénements pluvieux extrêmes retenus

Pour les bassins 3 et 5, l’événement du 26-27 et 28 Mars 1973 est bien documenté dans l’étude de (Kallel et Colombani, 1973). Les hyétogrammes relatifs à l’événement en quelques stations de la zone d’étude y sont en effet reportés.

Selon cette étude, les précipitations ayant provoqué cette crue ont été quasi continues du 26 au 28 Mars. La pluie moyenne (du 24 au 31 mars 1973) pour différents bassins versants contrôlés par des stations hydrométriques varie de 115 à 290 mm (voir Tableau II.9). Le Tableau II.10 reporte le cumul pluviométrique pour quelques stations pluviométriques sur les 3 jours du 26, 27 et 28 Mars 1973. Ces stations présentent les cumuls les plus importants. Toutefois, malgré l’importance de ces totaux sur 3 jours, les intensités maximales horaires n’ont pas été très fortes, ne dépassant pas 10 mm/h sauf en altitude avec par exemple 13.4 mm/h à la station de Makthar qui se trouve à une altitude de 900 m. Selon Kallel et Colombani (1973), la crue s'est développée assez lentement sur le cours moyen de l'oued Medjerdah et présente une forme d'hydrogramme simple à maximum unique (Figure II.1).

Figure II.1. Oued Medjerdah. Crue de mars 1973 : comparaison d’hydrogrammes (Claude et al., 1977)

La station hydrométrique de La Slouguia contrôle un bassin versant de 20 990 km2 sur les 23500 km2 de toute la Medjerdah ; elle est située à l'entrée de la basse vallée et en amont des principales zones d'inondation. Le débit maximum atteint à cette station a été de 3500 m3/s. Selon les auteurs, ce débit est supérieur au débit centennal. Le volume d'eau écoulé à La



Slouguia en 6 jours de crue est de 940 106 m3 ce qui est voisin de l'apport moyen annuel de l'Oued Medjerdah, et correspondrait toujours selon Kallel et Colombani (1973) à une période de retour de 200 ans environ.

Le Tableau II.11 reprend les résultats du dépouillement présentés dans Kallel et Colombani (1973). Il s’agit des intensités maximales enregistrées sur des durées fixées entre 10 à 120 minutes pour 7 stations (Kallel et Colombani, 1973). Les données sont disponibles pour 6 stations du bassin BV5 et pour une seule station du bassin BV3. En raison de la faible densité du réseau, les deux bassins BV3 et BV5 seront traités comme un seul ensemble. Selon l’Organisation Mondiale de la Météorologie (WMO, 1994), ces 7 pluviographes, qui correspondent à une densité de 1.02 stations par 3000 km2, sont considérés insuffisants pour décrire la variabilité de la pluie sur cette zone d’étude.

L’événement de Mars 1973 s’est étendu aux deux bassins versants voisins : le Méliane et le Cap Bon (BV4) et le Centre de la Tunisie (noté BV6 dans la classification de la DGRE) (Elsholz et al. 1973). Quelques stations des bassins voisins du Cap-Bon et du Méliane (BV4) et du Centre de la Tunisie (BV6) ont été considérées comme stations limitrophes pour l’évaluation de la variabilité spatiale et pour le krigeage : Il s’agit au nord en BV3 de la station Tinja, à l’Est en BV4 des stations Tunis Manoubia, Sidi Boubaker et Tuburbo Majus et au sud en BV6 des stations Haffouz et Kairouan. Le Tableau II.12 reporte les intensités maximales dépouillées par Kallel et Colombani (1973) sur des durées fixées pour ces stations limitrophes. L’examen des Tableaux II.11 et II.12 permet de constater qu’il n’y a pas eu de fortes intensités instantanées sur les faibles pas de temps (inférieurs à 2 heures). En effet, d’après le réseau d’observation, ces intensités n’ont pas dépassé localement 18 mm/h sur 2 heures sauf au Mellègue avec 62.5 mm/h. Ces fortes intensités pourraient expliquer les lâchures opérées à partir du barrage Mellègue (voir Figure II.1 de l’hydrogramme reproduit par Claude et al., 1977) et qui ont sans doute contribué à augmenter l’impact hydrologique des précipitations.

La Figure II.2 reporte la localisation des postes pluviographiques fonctionnels en Mars 1973 dans la zone d’étude.



Figure II.2. Zone d’étude avec les réseaux de suivi de pluie

Tableau II.9. Pluie moyenne tombée (mm/h) sur chaque bassin versant (Kallel et Colombani, 1973)

Bassin versant Superficie

(km2) Pluie moyenne de la période du 24 au 31 mars 1973 (mm)

Medjerdah à Ghardimaou 1480 176 Medjerdah à Jendouba 2410 179 Medjerdah à Bousalem 16230 123

Medjerdah à La Slouguia 20990 128 Medjerdah à Medjez 21000 127

Medjerdah à Djedeida 22100 126 Rarai à Rarai Plaine 370 290 Siliana à Dj. Laoudj 2110 135 Tessa à Sidi Medien 1950 115

Tableau II.10. Cumul pluviométrique du 26 au 28 Mars 1973 (Kallel et Colombani, 1973)

Code

Station pluviométrique

Cumul pluviométrique

sur 72 heures (mm)

Bassin

51432 Bou Salem 106.1 BV5 54294 Mjez El Bab 107 BV5

%[%[

%[%[

%[

%[

%[

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%[%[

$T $T

$T

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$T

$T

$T

$T

$T

$T

$T

$T

c

c

c

c

cc

c

c

c

c

BV 6

BV 5

BV 4

BV 3BOU SALEM DRE

MEJEZ EL BAB PF

GARDIMAOU DRE

SK EL ARBA(JENDOUBA)SE

CITE DU MELLEGUE SM

MAKTHAR P.F

AIN DJAJA PONT DU FAHS

TINJA HER

TUNIS MANOUBIA

SIDI BOUBAKER BGE KEBIR SM

TUBURBO MAJUS

KAIROUAN SMHAFFOUZ DRE

N

W

S0 100000 200000 Kilomètres

%[ Réseau pluviographiquexistant de 1973

$T Stations pluviométriq

c Pluviographes ︵2003

The Mediterranean Sea

Libya

Algeria



52864 Ghardimaou 73 BV5 51672 Cité du Mellegue SM 103.7 BV5 54102 Makthar P.F 133.9 BV5 37724 Tinja 128.5 BV3 47836 Tunis Manoubia 103.8 BV4 50823 Béja 131.3 BV5 52665 El Feidja 282.6 BV5 57678 Thala 88.3 BV5 53166 Henchir El Bey Sidi

Naceur 118.4 BV5

58272 Zouarine Gare 106.7 BV5 54990 Mellègue K13 90.2 BV5 47836 Tunis Manoubia 103.8 BV4 57690 Thibar 110.6 BV5

Tableau II.11. Intensités maximales (mm/h) relatives à des intervalles de temps variables, pluie du 26 au 28 Mars 1973, bassins 3 et 5 (Kallel et Colombani, 1973)

Identification Imax

(10 min) Imax (15

min) Imax

(30min) Imax

(1 heure) Imax

(2 heures) Bou Salem 10 8.7 7.5 6.8 5.7

Mejez El Bab 9 8 6.3 6.5 4.5 Ghardimaou DRE 7.5 7 6.3 5.5 4.5

Jendouba SE 8.5 7.7 7 7.3 5.8 Cité du Mellegue SM 12.5 10.7 9.7 7.4 62.5

Makthar P.F 21.5 20 18.5 13.4 8.7 Tinja 27 21.3 17.5 16.2 14.3

Tableau II.12. Intensités maximales (mm/h) relatives à des intervalles de temps variables en quelques pluviographes limitrophes aux BV3 et BV5, Mars 1973 (Kallel et

Colombani, 1973)

Identification Imax (10 min) Imax (15 min) Imax (30 min) Imax (1 heure) Ain Djaja Pont du Fahs 32.5 30.3 23.5 15.7

Tunis Manoubia 11 10 8.3 6.3 Sidi Boubaker Barrage

Kebir SM 20 18 16 11.6

Tuborbo Majus - - 22 18 Kairouan 11 9.7 8 7.3 Haffouz 25.5 23 18 12.7

L’importance des débits maximaux de crue découle aussi de la longue durée de l’événement qui s’est étalé sur 3 jours. Il en résulte que sur une surface d’étendue dépassant 150 km2, le total pluvieux a été supérieur à 100mm. Le nombre d’intervalles de 5min pendant lesquels l’intensité a dépassé 10mm/h pour les 13 stations pluviographiques est donné dans le Tableau II.13. Les pluies intenses du bassin 5 étaient du côté du barrage Mellègue et de Makthar (Fig. II.2). Les pluies intenses du bassin 4 étaient dans la région du Fahs. Kallel et Colombani (1973) ont fait l’analyse statistique des pluies relatives à cet événement pour quelques stations. Le Tableau II.14 récapitule les périodes de retour de la pluie journalière en prenant le 27 Mars comme base de calcul (jour du maximum) et les lois statistiques adoptées



pour ces stations. Le Tableau II.15 reporte les périodes de retour des cumuls pluviométriques sur les 3 jours estimées par le bureau d’ingénieur conseil ST2i (DGRE-ST2i, 2007) pour quelques stations.

Tableau II.13. Nombre des durées (5min) où l’intensité a dépassé 10mm/h pour bassins 3 et 5 et en quelques stations limitrophes

Identification Nombre de durées (5min) où l’intensité a dépassé 10 mm/h

Bassin

Bou Salem 1 BV5 Mjez El Bab PF 1 BV5 Gardimaou DRE 0 BV5

SK El Arba (Jendouba) SE 1 BV5 Cité du Mellegue SM 12 BV5

Makthar P.F 19 BV5 Tinja 30 BV3

Ain Djaja Pont du Fahs 32 Limite Est de la zone d’étude (BV4) Tunis Manoubia 1 Limite Est de la zone d’étude (BV4)

Sidi Boubaker Barrage Kebir SM

18 Limite Est de la zone d’étude (BV4)

Tuburbo Majus - Limite Est de la zone d’étude (BV4) Kairouan 1 Limite sud de la zone d’étude (BV6) Haffouz 18 Limite sud de la zone d’étude (BV6)

Tableau II.14. Analyse statistique de la pluie totale du 27 Mars en quelques stations (Kallel et Colombani, 1973)

Code

station

pluviométrique Loi adoptée

Valeur observée de

la pluie journalière le 27 Mars

(mm)

Période de retour pour le 27 mars

Bassin

50823 Béja Goodrich 60.5 5 ans BV5 52665 El Feidja Pearson III 145.0 20 ans BV5 53166 Henchir El Bey

Sidi Naceur Goodrich 98.5

100 ans BV5

54102 Makthar P.F Goodrich 93.5 10 ans BV5 57678 Thala Goodrich 82.0 15 ans BV5 57690 Thibar Goodrich 64.5 10 ans BV5

Tableau II.15. Analyse statistique de la pluie totale sur 3 jours en quelques stations (DGRE-ST2i, 2007)

Code

station pluviométrique

Valeur observée de la pluie cumulée (mm)

Période de retour

Bassin

52864 Ghardimaou 73 10 ans BV5 58272 Zouarine gare 106.7 10 ans BV5 54990 Mellègue K13 90.2 5 ans BV5 47836 Tunis manoubia 103.8 5 ans BV4



Le deuxième événement étudié est l’épisode du 10 au 11 Janvier 2003 au cours duquel on a enregistré sur les deux jours 119 mm à la station pluviométrique de Touiref CTV, 108 mm à la station de Bouhertma Barrage et 90 mm à Bousalem (bassin 5). Cet événement a provoqué d’importantes inondations des riverains de la Medjerdah documentées dans Sâadaoui et Ben Mansour (2003). Pour cet événement, la DG-ACTA a mis à notre disposition des dépouillements de pluviographes du réseau HYDROMED (Albergel et al., 2004). Le Tableau II.16 reporte les intensités maximales sur une durée de 1 heure pour 5 stations du bassin BV5 (voir Figure II.2). En raison de la faible densité du réseau, les deux bassins BV3 et BV5 seront de nouveau traités comme un seul ensemble pour l’étude de cet événement. De nouveau, quelques stations des bassins voisins du Cap-Bon et du Méliane (BV4) et du Centre de la Tunisie (BV6) ont été retenues comme stations limitrophes pour l’évaluation de la variabilité spatiale et pour le krigeage. Le Tableau II.17 reporte les intensités maximales dépouillées sur une durée de 1 heure pour ces stations limitrophes (voir Figure II.2). Ce dépouillement a été assurée à l’aide des programmes « ARES » et « VISUAL » mis à disposition par la DGRE. D’après l’étude confiée au bureau d’ingénieur conseil ST2i (DGRE-ST2i, 2007), la période de retour des 77.4 mm/h observée à Mellegue K13 sur 60 minutes est estimée à 50 ans (c’est la plus forte enregistrée sur le réseau).

Tableau II.16. Intensités maximales (mm/h) relatives à une heure, pluie du 10 au 11

Janvier 2003, bassin 5 (données traitées sous « ARES » et « VISUAL ») Code Identification Imax (1 heure) (mm/h) 50883 El Amadi 9.4 50881 Janet 8.3 50886 M'rira 9.5 59110 Mellegue K13 77.4 59470 Slouguia 25.8

Tableau II.17. Intensités maximales (mm/h) relatives à une heure lors de la pluie du 10 au 11 Janvier 2003 en quelques pluviographes limitrophes aux BV3 et BV5

Code Identification Imax (1 heure) (mm/h) 62886 El Aroug 10.4 60881 Dékikira 18 61881 Fidh Ali 23.7 60881 El Gouazine 8.6 49883 Zecktoune 12.4

De nouveau, les intensités en 1 heure n’étaient pas excessives mais la longueur de l’épisode a engendré des crues. C’est le total en deux jours qui a une période de retour estimée selon les résultats de DGRE-ST2i entre 5 ans et 100 ans qui semble avoir provoqué les crues. Le Tableau II.18 reporte les périodes de retour des cumuls pluviométriques sur les 2 jours estimées par le bureau d’ingénieur conseil ST2i (DGRE-ST2i, 2007) pour quelques stations (voir Figure II.2).



Tableau II.18. Analyse statistique de la pluie totale du 10 et 11 Janvier 2003 (DGRE-ST2i, 2007)

Code

station pluviométrique

Valeur observée de la pluie cumulée

(mm)

Période de retour

Bassin

52864 Ghardimaou 66.5 20 ans BV5 58272 Zouarine gare 95 10 ans BV5 54990 Mellègue K13 62.8 5 ans BV5 55080 Oued Tine 90 20 ans BV3 56765 Siliana Laouej 135.9 > 100 ans BV5 56832 Slouguia 76.5 10 ans BV5

Pour le bassin versant BV4, on a choisi de travailler sur l’événement du 29 au 30 septembre 1986 qui est bien documenté dans l’étude de Ghorbel et al. (1986).

Le Tableau II.19 résume les résultats du dépouillement des intensités maximales relatives à des intervalles de temps variables (entre 15 minutes et 180 minutes) pour 8 stations du bassin versant BV4 qui couvre une superficie de 7000 km2. Ces 8 pluviographes (voir Figure II.3) correspondent à une densité de 3.4 stations par 3000 km2. Selon l’Organisation Mondiale de la Météorologie (WMO, 1994), cette densité est considérée insuffisante pour décrire la variabilité de la pluie sur cette zone d’étude. L’examen de ce tableau permet de constater la violence qui a caractérisé cet épisode pluvieux. En effet, l’intensité en 15 minutes a atteint 107.6mm/h et 96mm/h respectivement à Grombalia et à Tunis Manoubia.

Tableau II.19. Intensités des précipitations du 30 septembre 1986 (mm/h) (BV4) (Ghorbel et al., 1986)

Nom Imax (15 min) Imax (30 min) Imax (1 heure) Imax (2 heures) Imax (3 heures) Tunis Manoubia 96 67.5 48 30.5 27 Barrage Masri 96 96 86.8 65 49.2 Bezirk Barrage 65.6 60 54.4 40.8 33.5 Grombalia DRE 107.6 93.4 83.5 60.3 50.8

Tezoghrane 52 37.6 30.2 26.8 21 Bir Mcherga Barrage 87 73 57 37 25

Zriba Ain Sfaya 80 62 51 36 30 Mornag Sidi Zeyed 60 48 43.5 41 39.5



$T

$T

$T

$T$T

$T

#Y

#Y

#Y

#Y

#Y

#Y

#Y

#Y

BV 4

Tezoghrane

Barrage Masri

Grombalia DRE

Tunis ManoubiaBezirk Barrage

Zriba Ain Sfaya

Bir Mcherga Barr

Mornag Sidi Zeye

N

EW

S

0 60000 120000 Kilomètres

$T Stations pluviométriques ︵1986 ︶

#Y Pluviographes de 1986

Figure II.3. Bassin versant 4 avec les réseaux de 1986

Le Tableau II.20 reporte les résultats de l’analyse statistique des pluies relatives à cet événement pour quelques stations (voir Figure II.3) effectuée par Ghorbel et al. (1986).

Tableau II.20. Cumul des pluies de l’épisode pluvieux de 29-30 Septembre 1986 et leurs périodes de retour (Ghorbel et al., 1986)

Code

Station pluviométrique

Pluie (mm) Période de retour (ans)

47836 Tunis Manoubia 104.5 (en 24h) 50 48076 Zaghouan 70 (en 2 jours) 2 44628 Nabeul 103.1 (en 2 jours) 20 à 30 42949 Grombalia 240.6 (en 2 jours) >>100 41253 Béni Khaled 230.0 (en 2 jours) >>100 40766 Barrage El Masri 232.0 (en 2 jours) >>100

D’après l’étude confiée au bureau d’ingénieur conseil ST2i (DGRE-ST2i, 2007), la période de retour des 48 mm/h observée à Tunis Manoubia sur 60 minutes est estimée à 100 ans.

II-1-6- Etudes antérieures sur les courbes Intensité-Durée-Fréquence dans la région d’étude

Nous commençons par un inventaire des études des intensités de pluie réalisées pour

la région étudiée à partir de la bibliographie existante. Nous reprenons ensuite les résultats



d’une étude récente réalisée pour le compte de la DGRE par le bureau d’ingénieur conseil ST2i (DGRE-ST2i, 2007).

II-1-6-1- Etudes antérieures des intensités de la pluie sur la région d’étude

a- Étude de Bonenfant (1935)

La première analyse connue des averses en Tunisie a été faite par Bonenfant en 1935 sur la station de Tunis Manoubia. Cette analyse porte sur la période allant de 1901 à 1934 et a permis l’élaboration de distributions fréquentielles empiriques.

b- Etude de De Montmarin (1953)

De Montmarin a travaillé sur les données des pluviographes de Tunis. Ces pluviographes étaient hebdomadaires, du type à siphon, et ne permettaient pas d’apprécier les intensités sur des durées de référence inférieures à 20 minutes. Après une étude statistique des pluies supérieures à 20 mm, les intensités proposées pour des récurrences de 2, 5, 10 et 20 ans par De Montmarin étaient de la forme :

)( tbaI (II.1)

Le Tableau II.21 résume les courbes IDF obtenues par De Montmarin (1953) pour la station de Tunis Manoubia. Les intensités sont exprimées en mm/h.

Tableau II.21. Courbes IDF de la station Tunis Manoubia (1909-1923 et 1926-1953) (De Montmarin, 1953)

Période de retour T (ans) Durée de

référence 1 2 5 10 20 42

20min 28 32 47 51 84 120

30min 22 29 35 42 66 100

1h 13 18 22 27 41 66

2h 7.6 10 13 17 21 37

4h 4.4 5.7 7.8 10 17 20

6h 3.4 4.6 6.4 8.1 11 15

c- Etude de Cormary (1964)

Cormary (1964) a établi des courbes intensité-durée-fréquence pour 46 stations de la Tunisie. Il propose le modèle suivant de changement d’échelle en partant des résultats obtenus pour une période de retour T à l’échelle journalière I(24h, T) et pour la période de retour T=2 ans (médiane) I(24h, 2ans) où t durée de la pluie de référence:

I (t, T) = I (24h, T)* I(t, 2ans) /I(24h, 2ans) (II.2)

d- Etude de Boussabbah (1971)

Boussabah (1971) a développé les résultats de De Montmarin en utilisant vingt années couvrant la période 1950 – 1970. Dans cette étude l’auteur a mis en évidence une différence entre les résultats obtenus : pour une même période de retour et une même durée de référence, les vingt dernières années donnaient des intensités de 80% à 100% plus fortes que la première. Il a présenté trois facteurs qui étaient à l’origine de cette différence :



- le changement de pluviographes (hebdomadaire à siphon avant 1950, journalier à augets basculeurs après 1950) - le changement du mode de dépouillement (à l’aide d’une grille transparente avant 1950, découpage systématique toutes les 5 minutes après 1950) - le changement de période d’observation.

e- Etude de Saïdi (1977)

Saїdi (1977) a étudié la station de Tunis Carthage sur la période 1950-1970. Il a estimé l’intensité maximale centennale de durée 15 mn, une heure, deux heures et cinq heures centennale respectivement à 21 mm/h, 30 mm/h, 17.5 mm/h et 8 mm/h.

f- Etude de Maalel et Triki (1979)

Une étude statistique des averses en Tunisie a été réalisée par Maalel et Triki (1979) qui ont établi les courbes Intensité-Durée pour des intervalles de 5 à 120 mn. Leur ajustement statistique ont conduit à l’estimation des coefficients a(T) et b(T) de la formule I= at-b pour l’ensemble des stations étudiées (I en mm/h et t en minutes). Pour le Grand Tunis, ils ont travaillé sur la station de Tunis Manoubia et Tunis Carthage. Les données pluviométriques concernaient la période 1950-1978.

En étudiant la sensibilité des paramètres des courbes IDF des deux stations aux

variations de l’intervalle de référence et la durée d’observation, ils ont remarqué que les deux stations avaient les mêmes courbes IDF. Les paramètres de Montana estimés, communs aux deux stations de Tunis Manoubia et Tunis Carthage, sont donnés dans le Tableau II.22. Les intensités sont exprimées en mm/h et les durées en minutes.

Tableau II.22. Paramètres de loi intensité- durée (formule de Montana) communs aux stations Tunis Manoubia et Tunis Carthage (Maalel et Triki, 1979)

Période de retour (ans) a b 1 198 0.710 2 300 0.720 5 438 0.710

10 546 0.700 20 648 0.680 50 720 0.640

g- Etude de Ghorbel et al. (1986)

Ghorbel et al. (1986) ont étudié les précipitations et les crues exceptionnelles de septembre 1986. Ils ont utilisé les courbes IDF de la station de Tunis Manoubia résumées dans le Tableau II.23. Les intensités sont exprimées en mm/h.

Tableau II.23. Courbes IDF de la station Tunis Manoubia (Ghorbel et al., 1986) Durée de référence (minutes) Période de

retour (ans) 5 10 20 30 60 120 2 78 61 43 21 14 9

10 113 85 63 38 24 15 20 124 93 70 45 28 18 50 137 104 80 55 35 21 100 145 110 86 64 40 23



h- Etude de Sâadaoui (1986)

Sur une période d’observation allant de 1969 à 1983 soit 15 ans au total avec des lacunes, Sâadaoui (1986) a élaboré pour la station de Zouarine Gare (BV5) des courbes IDF tracées en coordonnées logarithmiques pour les périodes de retour : 2, 5, 10, 2, 50 ans correspondantes à des durées de 5 à 180 min avec extrapolation pour 5 heures. Les paramètres de Montana estimés, pour la station de Zouarine Gare, sont donnés dans le Tableau II.24. Les intensités sont exprimées en mm/h et les durées en minutes. Tableau II.24. Paramètres de loi intensité- durée (formule de Montana) (Sâadaoui, 1986)

Période de retour (ans) a b 2 218 0.65 5 340 0.66

10 412 0.66 20 476 0.66 50 550 0.65

i- Etude de Sâadaoui (1989)

Sâadaoui (1989) a élaboré pour les stations Oued Ghezala (BV3) et Siliana Laoudj (BV5) des courbes IDF tracées en coordonnées logarithmiques pour les périodes de retour : 2, 5, 10, 20, 50 et 100 ans correspondants à des durées de 5 à 180 min.

j- Etude de Sâadaoui (1990)

Sâadaoui (1990) a élaboré pour les stations Ghardimaou et Slouguia (BV5) des courbes IDF tracées en coordonnées logarithmiques pour les périodes de retour : 2, 5, 10, 2, 50 ans correspondantes à des durées de 5 à 180 min avec extrapolation pour 5 heures.

k- Etude de Sakiss et al. (1991)

Sakiss et al. (1991) ont étudié la pluviométrie de la Tunisie. Dans cette étude, ils ont déterminé la répartition de la pluviométrie sur tout le territoire Tunisien et ont essayé de faire l’ajustement des pluies maximales annuelles en 24 heures avec la loi Weibull. Dans cette étude, ils ont essayé d’ajuster la loi Weibull (qui appartient à la famille GEV) aux données de Tunis Manoubia pour la période allant de 1908 à 1985. L’estimation des paramètres de la loi Weibull a été effectuée par le biais de la méthode du maximum de vraisemblance. Le Tableau II.25 présente les valeurs de ces paramètres estimées pour la station de Tunis Manoubia.

Tableau II.25. Résultats d’estimation des paramètres de la loi Weibull pour la station Tunis Manoubia (Sakiss et al., 1991)

Paramètre de forme (c) Paramètre d’échelle (b) Paramètre de position (a)

0.185 14.34 37.41

l- Etude de AJCI (1994)

L’étude de protection contre les inondations élaborée par l’Agence Japonaise de Coopération Internationale (AJCI) dans les années 1994-1995, a utilisé les courbes IDF établies par l’INM pour calculer la pluie du projet. Les courbes de la station Tunis Carthage ont été établies pour la période 1970-1990.

Les paramètres de Montana de ces courbes sont résumés dans le Tableau II.26. Les intensités sont exprimées en mm/h et les durées en minutes.



Tableau II.26. Paramètres des courbes IDF de la station Tunis Carthage pour la période (1970-1990)

Période de retour (ans) a b 2 503 0.81 5 647.6 0.80

10 816 0.81 20 991 0.82 50 1251 0.82

100 1386 0.82

m- Etude de Zitouni (1997)

Zitouni (1997) a élaboré pour la station du barrage Izid (BV5) des courbes IDF tracées en coordonnées logarithmiques pour les périodes de retour : 2, 5, 10, 2, 50 ans correspondantes à des durées de 5 à 180 min avec extrapolation jusqu’à 500 minutes. Les paramètres de Montana estimés, pour la station du barrage Izid, sont donnés dans le Tableau II.27. Les intensités sont exprimées en mm/h et les durées en minutes.

Tableau II.27. Paramètres de loi intensité-durée (formule de Montana) (Zitouni, 1997) Période de retour (ans) a b

2 408 0.87 5 531 0.86

10 662 0.86 20 698 0.83 50 1056 0.86

n- Bouanz (2005)

Bouanz (2005) a fait l’actualisation de l’estimation de la récurrence des pluies extrêmes journalières sur le Grand Tunis. Cette actualisation a été basée sur le choix d’une loi statistique des valeurs extrêmes et son ajustement aux données pour pouvoir déterminer les différents quantiles pour plusieurs périodes de retour en plusieurs sites. Bouanz (2005) a estimé les périodes de retour des maximums journaliers annuels en utilisant la loi GEV ajustée par la méthode de maximum de vraisemblance. Le Tableau II.28 résume l’estimation des paramètres de la loi GEV pour les stations étudiées par Bouanz (2005).

Tableau II.28. Paramètres estimés de la loi GEV pour les différentes stations (Bouanz, 2005)

Station Période d’observation

Nombre d’années

paramètre de forme (c)

paramètre d’échelle (b)

paramètre de position (a)

Ariana centre d’étude (BV4) 1984-2002 16 0.024 22.26 44.78 Borj Chakir (BV4) 1908-2002 93 0.116 15.7 35.42

Bourabiaa (Ben Arous) (BV4) 1995-2002 13 0.218 11.58 34.24 Domaine Déchaumune (BV4) 1964-2001 40 -0.038 26.73 49.32

Morneg Sidi Zayed (BV4) 1972-2002 28 0.086 21.7 46.54 Potin Bergerie (BV4) 1957-2002 43 0.036 20.92 47.89 Tunis Carthage (BV4) 1950-2003 54 0.25 15.98 39.75 Tunis Manoubia (BV4) 1874-2003 116 0.151 14.86 37.68

Mnihla Saint Jacques (BV4) 1984-2002 19 0.058 15.92 39.83 Aroussia Barrage (BV5) 1960-2002 39 0.238 15.49 31.21

Chaouat (BV5) 1987-2002 16 0.208 7.36 29.92 Cherfech (BV5) 1969-2002 16 -0.058 14.13 42.39



II-1-6-2- les résultats de l’étude de DGRE-ST2i (2007)

Cette étude a dépouillé les enregistrements de 47 pluviographes disponibles dans les archives de la DGRE (DGRE-ST2i, 2007) dans le cadre de son projet d’optimisation des réseaux de suivi des ressources en eau. Ce réseau de 47 pluviographes couvre les grandes unités hydrologiques de la Tunisie (dépassent le cadre de notre zone d’étude).

L’analyse statistique des données de chaque station pluviographique a passé par les étapes suivantes :

Analyse de la qualité des données enregistrées ;

Choix de la méthode d’échantillonnage ;

Etude statistique des intensités maximales de différentes durées ;

Élaboration des courbes IDF à partir de l’ajustement statistique de lois

Pour les stations ayant de courtes périodes d’observations (3 à 10 ans) sans lacune, la variable adoptée était la hauteur pluviométrique maximale observée pour différents temps de référence (5, 10, 15, 30, 45, …., 180 mn), supérieures à des seuils (généralement un seuil par temps de référence) définis par des essais successifs. Pour les stations caractérisées par de grandes lacunes surtout durant les mois pluvieux et ayant des séries d’années d’observation supérieures à 10 ans, l’échantillon était constitué des hauteurs pluviométriques maximales observées pour différents temps de référence (5,10, 15, 30, 45, …, 180 mn), supérieurs à des seuils (généralement un seuil par temps de référence) ont été considérées. Pour les stations caractérisées par des enregistrements sans lacune surtout durant les mois pluvieux et observées sur de longues périodes, les N plus fortes valeurs observées en N années ont été également considérées dans l’analyse statistique.

L’étude statistique des pluies instantanées a été réalisée en utilisant le logiciel Hydraccess de l’IRD (Hydraccess, 2000). L’ajustement de séries d’intensités maximales annuelles pour des durées de référence de 5, 10, 15, 20, 30, 45, 60, 120 et 180 min en utilisant 9 lois de probabilité: Gauss, Gumbel, Galton, Pearson III, Pearson V, Goodrich, Fréchet, WRC-USA et Fuites.

L’étude a estimé les intensités maximales de récurrence de 2, 5, 10, 20, 50 et 100 ans. Le calcul des courbes IDF a supposé deux modèles. Le modèle de Montana : I(t) = a(T) * t-b(T) (II.3)

et le modèle I(t,T) = a(T) * t -b * Tc (II.4)

L’étude de DGRE-ST2i (2007) comprend 14 stations appartenant aux bassins versants de la Medjerdah et de l’extrême nord et l’Ichkeul (Tableau II.29) appartenant à notre domaine d’étude. Parmi les autres 33 stations étudiées par DGRE-ST2i, nous comptons 19 pluviographes appartenant au bassin 4 mais leurs données ne sont pas considérées ici puisque l’optimisation du réseau pluviographique concernera seulement l’ensemble des bassins BV3 et BV5.



Tableau II.29. Les stations étudiées par DGRE-ST2i (Bassins BV3 et BV5) Nom de la

station Bassin Nombre d’années

d’observation Début

d’enregistrement Type de mécano

Système Rotation du

tambour

Ghardimaou BV5 26 ans

29/12/1973

Précis mécanique

Auget basculant

Journalier

Zouarine gare

BV5 33 ans

30/09/1968

Précis mécanique

Auget basculant

Journalier

Aïn Taga

BV5 32 années dont 20 avec des

observations complètes

09/05/1964

SIAP puis Précis

mécanique à partir de

1985

Augets basculeurs

Hebdomadaire de 1964 à

1976 puis journalier

Aïn Beya Fernana

BV5 17 années : le pluviographe n’a fonctionné que

trois mois au cours de l’année 1989

01/01/1983

Précis mécanique

Auget basculant

Journalier

Haïdra Poste Douanes

BV5 17 ans : Le pluviographe n’a pas fonctionné au

cours de l’année1995

05/03/1984

Précis mécanique

Auget basculant

Journalier

Izid Barrage

BV5 10 années : le pluviographe n’a pratiquement pas

fonctionné pendant plusieurs années.

28/07/1973

Précis mécanique

Auget basculant

Journalier

Joumine Antra

BV3 28 années dont 25 avec des

observations complètes

21/08/1963

Précis mécanique

Augets basculeurs

Journalier

Mellègue K13

BV5 17 années : le pluviographe n’a pas fonctionné

pendant plusieurs mois au cours de 6 années : 76-77-82-

95-96 et 97

15/12/1976

Précis mécanique

Augets basculeurs

Journalier

Oued Tine cassis

BV3 20 années dont 13 années complètes

12/07/1968

Précis mécanique

Augets basculeurs

Journalier

Sarrat Pont Route

BV5 18 années hydrologiques : le pluviographe n’a pratiquement pas

fonctionné en 1996

21/10/1982

Précis mécanique

Augets basculeurs

Journalier

Sejnène

BV3 15 années dont 11 années complètes

19/09/1962

Précis mécanique

Siphon puis

augets basculeurs

depuis 1987

Journalier



Siliana Laouej

BV5 14 années 05/02/1974

Précis mécanique

Augets basculeurs

Journalier

Slouguia

BV5 15 années : le pluviographe n’a fonctionné que

quelques mois au cours des années

1980, 1993 et 1994

03/01/1976

Précis mécanique

Augets basculeurs

Journalier

Sraya Ecole

BV5 26 ans : Le pluviographe a

fonctionné durant 24 années

16/10/1975 Précis mécanique

Augets basculeurs

Journalier

Le modèle de Montana a été retenu par DGRE-ST2i (2007). Les valeurs des

paramètres a(T) et b(T) pour I en mm/h et t en minutes pour différentes périodes de retour sont présentées dans le Tableau II.30.

Tableau II.30. Les paramètres a(T) et b(T) des stations étudiées 2 ans 5 ans

10 ans 20 ans 50 ans 100 ans

Nom de la station

a(T) b(T) a(T) b(T) a(T) b(T) a(T) b(T) a(T) b(T) a(T) b(T)

Ghardimaou 231.6 0.685 289.9 0.69 324.4 0.688 356.9 0.686 401.3 0.685 435.7 0.685

Zouarine gare 240 0.66 303 0.64 352 0.63 404 0.63 479 0.62 542.0 0.62

Aïn Taga 437.1 0.538 541.8 0.53 614 0.524 680 0.517 759.9 0.507 812.4 0.498 Aïn Beya Fernana

368.5 0.682 528.6 0.694 629.6 0.683 715 0.665 804 0.635 856.4 0.61

Haïdra Poste

Douanes 321.4 0.745 406 0.741 456.9 0.734 503.4 0.726 556.9 0.713 594.4 0.704

Izid Barrage 157.7 0.652 307.7 0.73 465.9 0.776 651.5 0.81 920.4 0.84 1142.3 0.857 Joumine

Antra 179 0.549 220 0.511 249.5 0.49 277.7 0.473 313.8 0.455 341.8 0.445

Mellègue K13

410.4 0.722 553 0.68 668.7 0.654 793.3 0.635 965.1 0.616 1103.9 0.606

Oued Tine cassis 144.5 0.626 206.3 0.637 241.9 0.624 286.8 0.618 345.9 0.605 392.4 0.594

Sarrat Pont Route 431.5 0.758 688.3 0.789 848.3 0.796 992.5 0.798

1171.5

0.797 1317.5 0.798

Sejnène 304.8 0.669 349.2 0.663 385.4 0.66 429.2 0.661 499.2 0.666 559.9 0.671

Siliana Laouej 254.2 0.635 342.6 0.675 406 0.692 461.1 0.698 512.4 0.689 530.8 0.67

Slouguia 275.1 0.695 343.8 0.69 387.7 0.682 427.6 0.673 479.7 0.663 519.8 0.657

Sraya Ecole 162.1 0.592 200.1 0.592 237.2 0.596 284.7 0.604 367.1 0.619 448.1 0,633



II-1-6-3- Comparaison des résultats de l’étude de DGRE-ST2i (2007) aux résultats des études antérieures des intensités de la pluie

Nous avons choisi de faire cette comparaison pour une station du bassin 4 (Tunis Manoubia) et une station du bassin 5 (barrage Izid).

a- Tunis Manoubia

Pour comparer les études de De Montamarin (1953), Maalel et Triki (1979) et Ghorbel et al. (1986) avec celle élaborée par DGRE-ST2i (2007), nous avons porté, pour T=10 ans et T=20 ans, les courbes I=f(t) de la station de Tunis Manoubia sur le même graphique. (Figures II.4 et II.5)

En analysant les Figures II.4 et II.5 nous remarquons que la méthode de DGRE-ST2i conduit à des estimations des intensités de pluie médianes entre les estimations issues des autres études.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 20 40 60 80 100 120 140

Durée (mn)

Inte

nsi

té (

mm

/h)

De Montmarin (1953)

Maalel et Triki (1979)

Ghorbel et al. (1986)

ST2i (2007)

Figure II.4. Comparaison des courbes IDF de De Montamarin (1953), Maalel et Triki

(1979), Ghorbel et al. (1986) et DGRE-ST2i (2007) pour une période de retour T=10 ans



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 20 40 60 80 100 120 140

Durée (mn)

Inte

ns

ité

(m

m/h

)

De Montmarin (1953)

Maalel et Triki (1979)

Ghorbel et al. (1986)

ST2i (2007)

Figure II.5. Comparaison des courbes IDF de De Montamarin (1953), Maalel et Triki

(1979), Ghorbel et al. (1986) et DGRE-ST2i (2007) pour une période de retour T=20 ans

b- Barrage Izid

Nous avons aussi comparé l’étude de Zitouni (1997) avec celle élaborée par DGRE-ST2i (2007) en portant, pour différentes durées (t=20, 30, 60 et 120 minutes), I=f(T) pour la station du barrage Izid sur le même graphique.

En analysant la Figure II.6, nous remarquons que les intensités fournies par l’étude de DGRE-ST2i (2007) sont assez proches de celles de Zitouni (1997). En effet, l’écart maximal entre ces intensités est de 26% pour les faibles durées (20 minutes).

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 10 20 30 40 50 60

Période de retour (ans)

Inte

nsit

é (

mm

/h)

Zitouni (20min)

ST2i (20min)

Zitouni (30min)

ST2i (30min)

Zitouni (60min)

ST2i (60min)

Zitouni (120min)

ST2i (120min)

Figure II.6. Comparaison des courbes I=f(T) de Zitouni (1997) et DGRE-ST2i (2007)



II-2-METHODOLOGIE

II-2-1- Choix des variables d’étude

La connaissance du régime des pluies est indispensable au développement d'un pays puisque tout projet d'infrastructure, d'urbanisation, ou de développement agricole, est soumis aux exigences climatiques. Les stations pluviographiques fournissent des observations à partir desquelles les caractéristiques hydrologiques des cours d’eau, la formation et l’amplitude des crues sont interprétées. En matière d’hydrologie urbaine, l’intensité des averses et leur fréquence conditionnent le dimensionnement et la gestion des réseaux d’assainissement. Les données pluviographiques sont utilisées pour l’étude de l’impact de l’urbanisation et des changements dans l’aménagement du territoire sur les écoulements des rivières. D’autre part, le réseau pluviographique permet d’alimenter en données les études relatives au dimensionnement des infrastructures hydrauliques (ouvrages d’art routiers, ouvrages de protection contre les inondations). De plus le réseau pluviographique permet le suivi des situations exceptionnellement pluvieuses pour la gestion du trafic routier, l’annonce des crues et l’alerte contre les inondations. Plus généralement, l’étude des averses est du domaine d’investigation des hydrologues, des climatologues, des géomorphologues, des ingénieurs en génie civil et urbain, etc... Le réseau pluviographique permet également de définir et de délimiter les zones à risque d’érosion hydrique. En pratique, les services hydrologiques sont appelés à la révision du plan d’organisation du réseau pluviographique chaque fois que des besoins nouveaux sont exprimés pour la protection des populations et des infrastructures. Nous considérons dans la suite les variables étudiées en liaison avec les problématiques d’inondation et d’érosion.

II-2-1-1- Choix en relation avec le débit

L’estimation des débits de pointe par des modèles empiriques fait intervenir l’intensité maximale de la pluie sur une durée de référence. Parmi ces modèles, on peut citer la méthode rationnelle (Anctil et al., 2005) où le débit de pointe Qp (en unité de de longueur au cube par unité de temps) est directement lié à l’intensité de la précipitation et à l’aire du bassin A:

Qp=Cr.hi.A (II.5) Où A en unité de longueur au carré, hi l’intensité de la précipitation (en unité de longueur par unité de temps), Cr coefficient de ruissellement (sans unité). La méthode de l’hydrogramme unitaire constitue aussi un autre moyen d’estimation du débit de pointe. C’est un hydrogramme de ruissellement direct établi à la suite d’une précipitation unitaire nette ayant une hauteur spécifique, uniformément répartie dans l’espace et d’intensité constante pour l’ensemble d’une période donnée (Ramirez, 2000). La durée de la pluie unitaire est obtenue à partir des caractéristiques du bassin. La hauteur spécifique est prise égale à 1 mm (ou 1 inch pour les anglo-saxons).

L’approche du SCS (Soil Conservation Service) permet l’estimation de la durée de pluie unitaire (Soil Conservation Service, 1986):

ctD *133,0 (II.6)

Où tc est le temps de concentration du bassin versant. Les valeurs du temps de concentration peuvent être estimées par les formules de Ventura (Eq.II.7), de Passini (Eq.II.8) et de Johnstone (Eq.II.9) (Dooge, 1973) :

5,0)( )/(*1272,0 SAt Vc (II.7)

Avec A l’aire du basin en Km2 ; S la pente en m/km et tc en minutes. 5,03/13/1)( *108,0 SLAt P

c (II.8)



A l’aire du basin en Km2 ; L longueur du cours d’eau principal en Km; S la pente en m/km et tc en heures.

5,0)( )/(*5 SLt Jc (II.9)

L longueur du cours d’eau principal en miles; S la pente en feet/miles et tc en heures.

Nous nous proposons de limiter notre étude aux débits correspondant aux bassins de faible superficie. Nous prenons 50 km² comme limite pour la superficie. Afin d’estimer le temps de concentration de tels bassins, nous considérons la relation empirique de Hack pour estimer la longueur de cours d’eau nécessaire au calcul du temps de concentration. La relation empirique de Hack relie la superficie d’un bassin versant A et la longueur de son cours d’eau principal L (Eagleson, 1980) :

L=A (II.10) Avec par exemple : α=1.4 et θ=0.57 (L en miles et A en miles2)

De même pour estimer la pente on adopte la pente globale Ig, qui est le rapport de la dénivelée spécifique Ds à A0.5, est supposée être représentative de la pente du bassin

(5.0A

DI s

g ; Ds en mètre, A en km2 et Ig en m/km). La dénivelée spécifique est un indice de

relief estimé à partir de la topographie du bassin. Supposons que nous nous intéresserons aux reliefs modérés correspondant à la classe de dénivelées 50 m < Ds ≤100 m. Par exemple, pour A=30 km2 et Ds=75m, la durée de référence D, obtenue en utilisant les formules de Ventura, Passini et Johnstone est respectivement 1.5 heures ; 0.8 heures et 1.2 heures. Aussi, dans la suite et sans perte de généralité, une durée de référence de 1 heure pour la pluie sera adoptée puisqu’elle convient pour le calcul des crues des bassins de surface inférieure à 50 km² et de relief modérée. Ainsi compte tenu de ces hypothèses, la premlière variable d’étude retenue est l’intensité maximale de pluie sur une durée de référence égale à une heure. Il y a évidemment d’autres choix possibles. Par exemple, Syed et al. (2003) suggèrent pour les petits bassins urbains, que l’étendue spatiale du cœur de l’événement pluvieux, c'est-à-dire la superficie des précipitations dont l’intensité sur 10 minutes dépasse 25 mm/h, est un bon indicateur du volume d'écoulement et du débit de pointe, ce qui permet l’estimation de l’érosion aussi. Une étude sur les surfaces occupées par une intensité de 10 minutes dépassant 25 mm/h aurait été envisageable dans le cadre de notre étude. Mais nous ne l’avons pas réalisée ; Une autre durée de référence telle que 72 heures ou 48 heures aurait été convevable également au vu de l’analyse des crues respectivement de mars 1973 et janvier 2003. Cependant, les totaux sur 72 heures et 48 heures font intervenir plutôt le réseau pluviométrique alors que notre étude visait le réseau pluviographique (c'est-à-dire des durées plus petites que 24 heures).

II-2-1-2- Choix respectivement à l’érosion hydrique

L’estimation de l’érosion des sols en utilisant le modèle USLE (Universal Soil Loss Equation) (Wischmeier et Smith, 1978) combine les principaux facteurs de l’érosion c'est-à-dire la pluie, la nature du sol, la pente, la végétation et les pratiques culturales pour estimer l’érosion hydrique. L’indice d’agressivité R est lié à la pluie et est considéré comme l’un des facteurs les plus importants de l’équation. Nous utiliserons le modèle révisé RUSLE (Revised Universal Soil Loss Equation) (Renard et al., 1997) qui s’écrit:

PCKRSLAs (II.11)

Avec As = perte en terre estimée (t.ha-1 an−1). R =indice d’agressivité des pluies ou facteur d’érosivité (MJ mm ha−1 h−1 an−1) K = facteur d’érodibilité du sol (t h MJ−1 mm−1)



L= facteur de longueur de pente S= facteur de l’inclinaison de pente C = facteur du couvert végétal P = facteur de pratique culturale

Selon l’équation universelle de perte de sol révisée (RUSLE), si tous les facteurs de

l’érosion sont maintenus constants à l’exception de la pluie, l’érosion spécifique As qui représente le poids de terre sèche par unité de surface est proportionnelle au facteur d’érosivité R relié aux seules caractéristiques de la pluie dans le modèle (Eq.II.11). Par définition, pour un événement pluvieux donné, le facteur d’érosivité est proportionnel à l'énergie cinétique libérée par les gouttes au contact du sol (Masson, 1972). A son tour, l’énergie des gouttes est liée à l’intensité de la pluie. Une régression semi-logarithmique est généralement admise (Equation II.12) entre l’énergie des gouttes et l’intensité de pluie. L’indice d’agressivité des pluies est calculé comme le produit de l'énergie cinétique par l'intensité maximale en 30 min. Un temps de référence de six heures a été retenu. En effet, l’intervalle de temps comportant l’intensité la plus forte en 6 heures a été identifié pour calculer l’indice d’agressivité des pluies. Après avoir fractionné la pluie en hauteurs de même intensité, l’énergie de la pluie pour chaque pas de temps a été calculée puis sommée sur les 6 heures les plus intenses de l’averse. A partir du dépouillement du pluviogramme, pour chaque intensité Ii constante sur un intervalle de durée t et correspondant à une hauteur de pluie hi (où Ii=hi/t), on calcule l'énergie cinétique unitaire ei, correspondant à un mm de pluie, par la relation empirique suivante (Hamed et al., 2002):

ei =8.73 log10Ii.+11.9 (II.12) L'énergie cinétique est égale à :

Ei=ei*hi (II.13) L'énergie cinétique globale de toute l'averse est égale à la somme des énergies

cinétiques de chaque intervalle de temps :

i

n

i iheE

1

(II.14)

Le facteur R, indice d'érosivité de l'averse se calcule à son tour par le produit (RUSA : dans le système d’unité américain) :

RUSA=F.E.I30max (II.15) E est exprimée en MJ m-2, I30max est l'intensité maximale en 30 min pour une averse, exprimée en mm h-1, F est une constante qui dépend du système d’unité : Pour avoir R dans le système d’unité Américain, F=1/1189502

Ainsi, notre deuxième variable d’étude est le facteur R qui combine l’utilisation de l’information pluviographique sur 6 heures et l’intensité maximale sur 30 minutes. Une optimisation de réseau développée sur la base de l’utilisation du facteur R a fait l’objet d’un article publié dans Journal of Hydrologic Engineering (Chebbi et al., 2011).

II-2-2- Modélisation des variogrammes (Approche 2D- Approche 3D)

La méthode la plus classique dans le krigeage des données environnementales est d’opérer avec des distances spatiales en employant des coordonnées spatiales (Xp, Yp) des localisations des données. Cependant, dans beaucoup de cas, les variables montrent également une variabilité verticale. C'est le cas en géologie ou géophysique concernant la variabilité dans la formation géologique. Dans une telle situation, des approches qui considèrent directement la dimension verticale de la variabilité ou indirectement une direction de l'anisotropie sont souvent adoptées. C'est également la position pour des précipitations à court terme (égale ou plus faible que l’échelle d’une journée) puisque l'intensité est liée à la durée



de pluie. Lorsque la variabilité spatiale de l'intensité maximale est analysée conditionnellement aux durées des précipitations en adoptant les coordonnées spatiales (Xp, Yp) des localisations des postes observés, un inconvénient majeur est que plusieurs variogrammes caractérisent un événement individuel des précipitations. En plus, en utilisant les variogrammes résultants dans l’intégration de l'information spatiale, on peut perdre la structure temporelle interne de l'événement pluvieux c.a.d. la relation Intensité - Durée. En intégrant l'intensité instantanée des précipitations afin d'obtenir la hauteur cumulative de la pluie, Rodriguez-Iturbe et al. (1998) a constaté que le champ cumulé des précipitations produit une relation d’échelle entre la variance spatiale et le temps. Ainsi, on s'attend intuitivement à ce qu'au moins les paliers (échelle de variabilité du champ) des variogrammes directs conditionnels soient reliés à l’échelle de la durée.

Nous proposons d’établir les variogrammes expérimentaux et de conduire l’analyse géostatistique en considérant successivement l’approche classique 2D (à deux dimensions d’espace) puis une approche 3D (à trois dimensions : deux d’espace et une de temps). Dans l’approche 2D, la variable d’intérêt est l’intensité de la pluie pour une durée de référence préfixée. Ceci est réalisé en répétant l’opération pour plusieurs valeurs de durées. Les coordonnées spatiales (Xp, Yp) servent à calculer la distance interpostes. Dans l’approche 3D, la variable d’intérêt est l’intensité de la pluie à laquelle est attachée sa durée de référence. La « localisation » est alors composée par la localisation géographique et la durée.

L’idée est de développer, l’approche 3D lorsque le réseau pluviographique est de faible densité spatiale comme alternative à l’approche classique 2D. Ces développements ont fait l’objet d’un article publié dans Journal of hydrology (Kebaili Bargaoui et Chebbi, 2009).

Dans l’approche 3D, un vecteur 3D (localisation - durée de précipitations - intensité de précipitations) est associé à chaque endroit de surveillance plutôt qu’un vecteur à deux coordonnées, basé seulement sur la localisation et l'intensité pour une durée fixée. Des intervalles de temps s’étendant de 5 minutes à 2 h sont considérés. L'avantage de l'approche à trois dimensions réside dans le fait qu'elle résulte en un variogramme normalisé qui caractérise à lui seul l’événement pluvieux. Au contraire, pour l’approche 2D, les variogrammes sont conditionnels à la durée de référence et plusieurs variogrammes sont nécessaires pour caractériser un événement pluvieux donné.

Dans la pratique hydrologique, l’utilisation des hyétogrammes mène habituellement à la dérivation de l'intensité maximale Imaxij observée pendant un intervalle de temps j pour la localisation i. Comme noté précedemment, plusieurs formules empiriques estiment les débits des crues aussi bien que la quantité du sol érodé en utilisant l'intensité maximale de la pluie d'un événement pour une durée déterminée. Localement, une forme paramétrique appropriée de la structure de corrélation temps-intervalle est :

ijjiijiI max (II.16)

i et i sont des paramètres locaux, trouvés par la relation locale Intensité-Durée; j est la durée de calcul de Imaxij; ij est l'erreur du modèle. Considérons m le nombre de stations (i=1, m) et ni le nombre de durées étudiées (j=1,ni). En raison de la variabilité spatiale des précipitations, on peut considérer que Imaxij sont distribués spatialement avec une moyenne :

ijiji )( (II.17)



Supposons que leur structure de covariance peut être décrite par un variogramme dépendant de la durée : covj (Imaxij, Imaxij). Dans l’approche 2D, les coordonnées spatiales sont prises en compte. Des évaluations des variogrammes directs sont effectuées, pour les durées j. Par conséquent, des variogrammes expérimentaux correspondant à plusieurs durées sont à adapter avec des variogrammes modèles. Ces ajustements sont procédés indépendamment et permettent de développer une analyse de l'effet de la durée de référence sur les paramètres des variogrammes (effet d’échelle).

Dans l’approche 3D, un mélange des données Intensité-Durée est actionné : un vecteur à trois dimensions combinant la position géographique de localisation (Xp, Yp) et la durée () est adopté pour dériver dans R3 un variogramme unique représentant l'événement pluvieux. Ainsi, si dans le krigeage 2D, un champ scalaire unidimensionnel de l’intensité de la pluie est considéré : intensité sujet à la durée, dans le krigeage 3D, un champ de vecteurs de l’'intensité-durée est considéré.

Une approche paramétrique est considérée pour dériver le modèle du variogramme. Sans perte de généralité, des développements ultérieurs sont donnés pour le cas du modèle sphérique (Eq.II.18).

35.05.1)()( ahahh (II.18)

Le palier () représente la variance la plus élevée atteinte à une distance a(). La portée a() se rapporte à la distance au-delà de laquelle les données ne sont pas corrélées.

Au début, les variogrammes expérimentaux(h) sont dérivés (Eq.II.19), conditionnellement à la durée :

'' ,,2

1pppp yxIyxIVarh (II.19)

où h est la distance euclidienne dans l'espace géographique (Xp, Yp) et (xp, yp); (xp', yp’) sont les coordonnées pour deux localisations données de pluviographes P et P' distants de h. I(xp,yp|) est l'intensité maximale pour la durée au point P(xp,yp). La variance est estimée par la valeur moyenne des carrés des incréments entre les données observées dans les localisations avec une distance appartenant à un intervalle donné

L’effet d’échelle des variogrammes consiste à relier leurs paramètres à la durée en développant des modèles statistiques de régression :

eee BA 11 ln (II.20)

eee BAa 22 ln (II.21)

où A1e < 0, A2e > 0 et B1e, B2e sont les coefficients de régression qui dépendent de l'événement.

La combinaison de (II.20) et (II.21) avec (II.18) permet d’inclure la durée de la pluie comme une variable dans l’établissement du variogramme :

3222211 ln5.0ln5.1ln, eeeeeee BAhBAhBAh (II.22)



L'équation combinée (II.22) suggère que, en présence de l’effet d’échelle, le variogramme s’exprime en fonction de et h. Nous proposons ainsi d'établir un nouveau variogramme expérimental en adoptant un vecteur associant les deux coordonnées (Xp,Yp) de la localisation aussi bien que la durée pour dériver une nouvelle mesure de distance dans R3.

Cette mesure de distance dans R3 aide à construire ce que nous appelons un variogramme sphérique à 3D 0(h0) :

30000000 5.05.1 ahahh (II.23)

h0 est la distance euclidienne dans l'espace tridimensionnel (Xp,Yp,)

22220 ,,, jiypjpixpjpijiji yyxxMMh (II.24)

où Pi est un site i de l'observation avec des coordonnées (Xpi, Ypi) et i est la durée à laquelle l'intensité Imax est observée au site i. x , y et sont les écarts type relatifs à Xp, Yp et estimés à partir des données des localisations. En fait, puisque les coordonnées Xp et Yp et les durées ont des variances très distinctes, des poids sont fortement recommandés. Uniquement le variogramme standardisé 0 caractérise l'événement pluvieux. Si i= j, on retrouve les résultats du 2D.

Dans l’équation (II.23), 0 et a0 caractérisent l'événement individuel car ils sont maintenant exempts de la durée. Syed et al. (2003) ont noté qu'un variogramme mensuel moyen produit une interpolation inférieure par rapport aux résultats issus des variogrammes dérivés de différents événements.

Cette méthodologie sera appliquée à l’étude de l’événement extrême de Mars 1973 pour l’ensemble des bassins BV3 et BV5 et à l’événement de septembre 1986 pour le bassin BV4.

II-2-3- Elaboration des fonctions objectifs

Etant donné les arguments précédents, nous proposons de définir des fonctions objectifs en considérant des variogrammes 2D et 3D, et en adoptant l'intensité de pluie de durée une heure ainsi que l’indice d’agressivité des pluies comme variables d’étude. Ainsi, les trois variables étudiées sont Z=I2D-1h, qui est l’intensité maximale sur une durée d'une heure krigée en se basant sur le variogramme 2D, Z=I3D, qui est l’intensité krigée sur la base du variogramme 3D et Z=R, qui est le facteur d’agressivité des pluies.

Pour l’interpolation par krigeage, le krigeage ordinaire et le krigeage avec dérive externe seront utilisés en fonction des situations. La différence de base entre ces deux méthodes réside dans l’hypothèse d’espérance constante sur laquelle repose le krigeage ordinaire, qui n’est plus vérifiée en krigeage avec dérive externe où l’espérance est une fonction de variables régionalisées auxiliaires connues exhaustivement (Wackernagel, 2003).

Pour le champ d’intensité de pluie, l’altitude pourrait être choisie comme dérive externe en relation avec l’existence généralement admise d’un gradient altimétrique pour la pluviométrie. Nous connaissons l’altitude aux nœuds d’un maillage régulier de 1Km de côté couvrant la zone d’étude. Cependant, la relation entre la topographie et la pluie n'est pas si évidente pour l'intensité des pluies de courte durée. Dans une étude de fortes précipitations dans le bassin méditerranéen de la côte sud de la France, Berne et al. (2004) ont admis que



pour de faibles durées de référence (1 à 6 minutes), l'influence de l'altitude est négligeable sur la structure spatiale du champ de la pluie.

Pour l’interpolation du champ d’indice d’agressivité des pluies, on adopte un krigeage avec dérive externe où l’intensité maximale sur une heure krigée joue le rôle de dérive externe. La fonction objectif sera une fonction des écarts type des erreurs du krigeage aux nœuds d’une grille régulière de 1 km de résolution.

Comme problème d’optimisation, nous considérons l’existence d’un réseau initial dont la taille sera augmentée. Pour choisir l’emplacement des nouveaux sites, nous procédons à travers une méthode d’optimisation. La procédure d’extension du réseau pluviographique requière la définition préalable de la taille du nouveau réseau et de l’emplacement des stations candidates parmi lesquels les nouvelles localisations seront sélectionnées.

II-2-3-1- Fonction objectif adimensionnelle

En considérant les variances de krigeage σ²i (ou écarts type des erreurs du krigeage ETEK) des nœuds i du maillage de la zone étudiée, il est proposé ici d'étudier une quantité adimensionnelle qui est le rapport CVi des ETEK au noeud i à la valeur krigée Z*i. Dirks et al. (1998) ont également employé ce critère pour comparer les performances de diverses méthodes d'interpolation de champs de précipitations :

*iii ZCV (II.25)

Ce critère est utilisé pour comparer les variogrammes conditionnels à un variogramme

obtenu en considérant un vecteur 3D (localisation - durée de précipitations - intensité de précipitations) qui suppose que l’intensité de pluie est un champ à deux dimensions multi-canal.

II-2-3-2- Fonction objectif basée sur la minimisation de la variance spatiale moyenne de l’erreur de krigeage

Dans ce cas, la fonction objectif consiste à minimiser la variance spatiale moyenne de l'erreur de krigeage de la variable d’étude, La valeur moyenne est calculée en affectant le même poids à chaque noeud de calcul (point de grille):

nMinn

iZiZ

1

22)( (II.26)

où n est le nombre des noeuds du maillage.

II-2-4- Calage des paramètres internes du SA

Nous avons choisi d’utiliser le recuit simulé comme algorithme d’optimisation puisque cette méthode est très efficace pour la détermination rapide de bonnes solutions à un problème posé. L'efficacité de la méthode de recherche de la solution optimale basée sur le recuit simulé (SA) dépend principalement de la façon dont on détermine préalablement les paramètres du SA. En effet, Borges et al. (1999) ont précisé que le problème avec SA est que sa vitesse d’exécution et sa performance dépendent considérablement des paramètres qui guident le processus de recherche. Beaucoup de méthodes ont été suggérées dans le but de maximiser la performance du SA en termes d’optimalité de la solution ou de la vitesse de convergence (Dougherty et Marryott, 1991 ; Cunha ,1999 et Rao et al., 2004). Par exemple, une conception factorielle et une méthode du simplex ont été utilisées pour choisir des valeurs des paramètres (Huang et al., 1986; Lundy et Mees, 1986; Arts et Van Laarhoven, 1985; Johnson et al., 1989;



Saab et Rao, 1991; Parc et Kim, 1998; Ali et al., 2002). Dans cette thèse, nous avons opté pour une méthode de calage des paramètres du SA basée sur des simulations de Monte Carlo et qui tient compte des effets des interactions entre les paramètres. En outre, chaque simulation de Monte Carlo est répétée plusieurs fois en changeant la valeur du générateur pseudo-aléatoire afin d’étudier la sensibilité à l’échantillonnage.

Il est proposé d’effectuer un grand nombre de simulations numériques dans lesquelles on change les valeurs des paramètres du recuit simulé. Quatre paramètres du recuit simulé sont considérés : EA qui est lié au paramètre T0, le facteur n1 qui est lié au nombre minimum d'itérations de l'algorithme Lmin, le facteur de refroidissement et le pourcentage limite des transitions acceptées Plim.

* Température initiale Nous adoptons le schéma qui fait intervenir un paramètre appelé l'élasticité

d’acceptation (EA) (Cunha et Sousa, 1999). Ce paramètre représente la probabilité d'accepter une transition de la configuration initiale à une configuration candidate qui coûte plus que la configuration initiale. Dans cette perspective, la « température » initiale T0 n'est pas considérée directement mais elle est exprimée en fonction du paramètre EA :

)ln(

1.0 00 EA

FOT (II.27)

Où FO0 est le coût de la configuration initiale. Selon l’Equation (II.27), la température initiale est choisie de telle sorte qu’on a une probabilité EA d'accepter les solutions qui sont 10% plus mauvaises que la solution initiale (Cunha et Sousa, 1999).

* Longueur du pas

Nous rapportons le nombre minimum d'itérations de l'algorithme (Lmin) qui sera exécuté avant de diminuer la température, même s'il n'y a aucune amélioration de l'optimum ou du coût moyen des configurations courantes. Dans cette implémentation, quand le nombre minimum d'itérations de l'algorithme est atteint, les évaluations à la température considérée procéderont jusqu'à ce que l'optimum ne s'améliore plus. Dans notre cas, nous nous proposons de suivre (Kirkpatrick et al., 1983) en prenant la valeur de ce paramètre égale au nombre de variables de décision multiplié par un facteur n1:

1DVmin nnL (II.28)

Où nDV est le nombre des variables de décision.

* Schéma de décroissance de la température Un schéma de décroissance géométrique de la température de Kirkpatrick et al. (1983), est adopté (Eq.I.16).

* Critère d’arrêt de l’algorithme Il est proposé d’arrêter l'algorithme quand le pourcentage des transitions acceptées est

inférieur à une limite prédéterminée (Plim).

Le calibrage du SA est basé sur l’examen successivement de l'impact du choix de chacun de ces paramètres sur le temps d’exécution (efficience) et sur les sorties du SA (efficacité). D’autre part, nous proposons d’examiner la sensibilité des paramètres optimaux



du SA à la taille du réseau et à la structure spatiale de la pluie définie par le variogramme en répétant l’opération de calage des paramètres internes pour différents problèmes.

II-2-5- Définition des solutions candidates

Le problème d'extension du réseau pluviographique nécessite de définir des sites où de nouvelles stations pourraient être installées ; c’est ce qu’on appelle les solutions candidates. Le but est de choisir les meilleurs endroits des nouvelles stations en se basant sur un groupe de Nc stations candidates uniformément réparties sur la zone d'étude.

Moss et Tasker (1991) ont suggéré que le nombre des stations candidates devrait être au moins égal à trois fois le nombre des stations optimales. Nous retiendrons cette recommandation. D’autre part, les stations candidates seront régulièrement réparties sur la région étudiée. Les solutions candidates seront produites aléatoirement en remplaçant une station aléatoirement choisie dans la solution courante avec une station aléatoirement choisie parmi les stations candidates non incluse dans la solution courante.

II-2-6- Définition des problèmes d’optimisation en mono et bi-objectif

Un code de calcul est développé en utilisant DIGITAL Visual Fortran (DIGITAL, 1997). Il met en application l'algorithme du recuit simulé (Cunha, 1999). Les codes du module de krigeage ordinaire et avec dérive externe ont été élaborés à l’ENIT sur la base du travail de Chehata (1983). Le module de krigeage est appelé à chaque fois qu’il est nécessaire d'évaluer la fonction objectif. Toutes les simulations sont faites sur un PC avec Geniun Intel (R) CPU 1.60 Ghz et un RAM de 1.00 GB.

II-2-6-1- Effet du variogramme 2D-3D sur la fonction objectif

En adoptant le réseau existant nous analysons les variances de krigeage σ²ki (ou écarts type des erreurs du krigeage ETEK) aux noeuds i du maillage. Nous proposons de comparer des cartes ainsi que la distribution cumulative des ETEK résultants des cas 2D et 3D. L’objectif étant de réduire au minimum les écarts type des erreurs du krigeage (ETEK) aux noeuds du maillage, celui des cas 2D ou 3D qui conduirait aux valeurs les plus faibles du champ d’écart-type est à identifier.

Une autre manière de maximisation de cette précision d'interpolation est d'adopter une fonction objectif basée sur les valeurs du CVi (Equation II.25). Les cartes des ETEK ainsi que les distributions cumulatives empiriques des valeurs des CVi aux points du maillage sont donc comparés pour les cas 2D et 3D.

II-2-6-2- Extension monocritère : Réseau pluviographique dans une problématique d’inondation

En ce qui concerne les conséquences d'écoulement, la variable Z est prise comme l’intensité des précipitations I sur une heure. Le krigeage ordinaire de l'intensité maximale sur une durée d'une heure est appliqué, permettant l'élaboration du champ de i(I).

II-2-6-3- Extension monocritère dans une problématique d’érosion

On pose (R(xi), i=1,….,n) l'ensemble de valeurs du facteur d'érosivité observées aux points xi pour les n stations disponibles. Les équations (II.12) à (II.15) suggèrent l’identification d’une relation statistique entre R et I. Une imperfection importante de ce type



de régression est que l'érosivité à un noeud particulier du maillage, (XM, YM) est dérivée seulement à partir de l'intensité de pluie à la même localisation, indépendamment de la valeur d'érosivité aux stations environnantes (Xi, Yi). Ceci revient à supposer que les valeurs des facteurs d'érosivité sont indépendantes l'une de autre. Par conséquent, il est proposé d'exécuter une analyse géostatistique de R pour tenir compte de son organisation spatiale. On suppose qu'il est possible de représenter la structure spatiale de R par une fonction de variogramme. Selon Goovaerts (1999), puisque le facteur d'érosivité de la pluie est typiquement connu seulement à un nombre limité de stations, il est important pour profiter de n'importe quelle autre source d'information pour prévoir cette variable aux sites non contrôlés. C'est pourquoi, nous proposons d'adopter une dérive externe pour interpoler R. Puisque l'intensité maximale sur une durée d'une heure est disponible observée à toutes les stations, et calculée à toutes les localisations (X0, Y0) par krigeage, elle peut être adoptée comme dérive externe. Une étude de l’effet du choix de la dérive externe sur les résultats d’optimisation est effectuée en adoptant une autre dérive externe pour l’interpolation de R qui est l'intensité maximale sur une durée de six heures.

II-2-6-4- Extension du réseau pluviographique avec agrégation de critères

Comme cela a été mentionné dans l’étude bibliographique, le problème d'optimisation de l'extension du réseau pluviographique est par nature un problème multi-objectif. L'agrégation des deux précédents objectifs est donc développée ici dans un modèle bi-objectif d'optimisation en adoptant des poids. Le fait d’affecter des poids permet de considérer l'évaluation de l’intensité de pluie sur une heure différemment de l'objectif d'évaluation du facteur d'érosivité. En considérant les divers types de fonctions objectives présentées dans Marler et Arora (2004), nous proposons la combinaison suivante :

Min

*)(

*)(.

*)(

*)(.

2)(

2)(

2)(

22)(

2)(

2)(

1R

RR

I

II wwFO

(II.29)

où w1 et w2 sont les facteurs poids. Ces poids sont choisis tels que w1+w2=1. Dans l’Equation (II.29),

*)(et *)( 2

)(2

)( RI sont les valeurs prédéterminées les plus souhaitables des fonctions

objectives respectives (également appelées les points idéaux). Selon Marler et Arora (2004), une méthode commune pour déterminer les valeurs de *)(et *)( 2

)(2

)( RI est de considérer les

valeurs optimales des fonctions objectives monocritères obtenues en minimisant 2

)(2

)( et RI respectivement. Cette approche, qui fournit une fonction objectif

adimensionnelle, est aussi adoptée par Iskander (2008).

II-2-7- Elaboration de fonctions objectifs en optimisation robuste

La recherche de solutions “robustes” a été mentionnée dans la revue de littérature comme une méthode adéquate pour prendre en compte l’aléa hydrologique. Considérons le problème où la variable intensité de pluie est la variable d’étude. Pour ce faire, on aurait besoin des données des intensités maximales de pluies enregistrées lors de plusieurs événements et non pas deux ou trois événements seulement. Le problème étant qu’on ne dispose pas de ce type d’information pour la région d’étude, nous avons utilisé les résultats de l’étude DGRE-ST2i (2007) qui publie les paramètres d’ajustement des courbes Intensité-durée-fréquence (IDF) pour le modèle du type Montana (fonction puissance) en de nombreuses stations de la zone d’étude:

I(t,T)=a(T)*t-b(T) (II.30)



Ainsi, il est proposé d’utiliser les coefficients a et b et leur relation avec la période de retour (aléa hydrologique) pour mener l’étude d’optimisation robuste. Il est d’abord nécessaire de décrire la structure de dépendance entre les paramètres a(T) et b(T) à travers leur variogramme croisé γa(T)b(T) :

)(

1)()( )()(

)(*2

1)(

hN

iiiiiTbTa xbhxbxahxa

hNh (II.31)

Cette analyse est permise par le fait que les deux paramètres a(T) et b(T) sont connus

aux mêmes points expérimentaux. Pour ce genre d’analyse, on adopte le variogramme croisé )()()( hTbTa et le graphe du coefficient de codispersion ra(T)b(T)(h) :

hhhhr TbTbTaTaTbTaTbTa )()()()()()()()( (II.32)

Où γa(T)a(T) et γb(T)b(T) sont les variogrammes directs respectivement de a(T) et b(T).

En montrant que le graphe ra(T)b(T)(h) en fonction de h est constant, on peut conclure que les paramètres a(T) et b(T) sont liés.

Après avoir vérifié si a(T) et b(T) sont statistiquement liés, on procèdera pour l’optimisation du réseau dans le but de minimiser l’erreur moyenne de krigeage de a(T). Ainsi il y aura une variable Z par période de retour T : Z= a(T). Six périodes de retour (T= 2, 5, 10, 20, 50, 100 ans) seront considérées. Elles couvrent une large panoplie de situations.

Le krigeage avec dérive externe de a(T=Ti) sera utilisé en prenant comme dérive externe b(T=Ti). Comme cela nécessite d’avoir la carte de b(T=Ti), celle-ci sera obtenue par krigeage ordinaire.

Les variogrammes de b(T=Ti) et leurs validations croisées sont établis pour les différentes périodes de retour par krigeage ordinaire. Après, les variogrammes de a(T=Ti) sont établis.

D’autre part, les méthodes de l’optimisation robuste imposent d’adopter un horizon de travail. Pour un horizon défini, la probabilité de dépassement de l’événement de période de retour Ti dans l’horizon est :

Nii pTu )1(1)( (II.33)

Où pi=1/Ti et N : nombre d’années de l’horizon.

La probabilité de dépassement doit être mise à l’échelle en divisant u(T=Ti) par la somme des u(Ti) des différentes périodes de retour ce qui permet d’associer «une probabilité»:

i

iii TuTTuTTob )()()(Pr

Nous nous intéresserons à deux horizons différents dont l’un est du long terme (N= 30

ans) et l’autre du court terme (N= 5 ans).



Comme mentionné dans la revue de littérature, plusieurs formulations de la robustesse sont possibles. Nous avons retenu celle qui consiste à prendre en compte la fonction objectif de référence trouvée pour chaque période retour séparément. Deux fonctions objectifs ont alors été étudiées :

II-2-7-1- Fonction objectif 1 (FO1)

Il s’agit de minimiser la somme des déviations quadratiques entre la valeur de la fonction objectif (ici la variance moyenne sur les nœuds de l’erreur de krigeage du paramètre a(T=Ti)) pour la solution qui sera retenue et la solution optimale de référence trouvée pour chaque période de retour seule, multiplié (pondéré) par la probabilité correspondante. Cette fonction objectif indique que la solution optimale sera une solution robuste parce qu'elle sera proche de l'optimum relatif à chaque période de retour. Cela se traduit par la minimisation de la fonction objectif (FO1) définie comme suit : (II.34)

Où i

iTTob 1)(Pr (II.35)

FO(T=Ti) est la variance moyenne de l’erreur de krigeage sur les nœuds en utilisant le variogramme correspondant à T ans :

)T FO(T 1

2)(i n

n

iTTai i

(II.36)

FOref1(T =Ti) est la fonction objectif de référence trouvée pour chaque période retour seule (la variance moyenne spatiale de l'erreur d'interpolation par krigeage de a(T=Ti) avec dérive externe= b(T=Ti)) indépendamment des deux autres périodes de retour.

II-2-7-2- Fonction objectif 2 (FO2)

Au lieu d’utiliser directement la variance des erreurs de a(T=Ti), on utilise une variance normalisée. Il s’agit de minimiser la somme des déviations quadratiques entre la valeur de la fonction objectif (ici la variance normalisée obtenue en utilisant la différence interquartile du champ des variances d’erreur de a(T=Ti)) pour la solution qui sera retenue et la solution optimale de référence trouvée pour chaque période de retour seule, multipliée (pondérée) par la probabilité correspondante. Littéralement, cela conduit à minimiser la fonction objectif (FO2) définie comme suit : (II.37)

Où i

iTTob 1)(Pr (II.38)

La normalisation s’obtient comme indiqué en Eq. II.39 en utilisant la différence interquartile du champ des variances d’erreur de a(T =Ti) :

2%25

2%75

1

2iT TFO

iii TTaTTa

n

iTTai n

(II.39)

i

iii2

ref11 ))T(TFO-)T(FO(T*)TProb(TFO

i

iii2

ref22 ))T(TFO-)T(FO(T*)TProb(TFO



2

%75 iTTa est le percentile 75% de la variance des erreurs de krigeage de a(T=Ti)

2

%25 iTTa est le percentile 25% de la variance des erreurs de krigeage de a(T=Ti)

FOref2(T=Ti) est la fonction objectif de référence trouvée pour chaque période retour seule indépendamment des deux autres périodes de retour.

CONCLUSION

Les bassins versants de la Medjerdah (BV5), l’extrême nord et l’Ichkeul (BV3), le Méliane et le Cap Bon (BV4) constituent la zone d’étude de ce travail.

Etant donné la structure des données disponibles sur les intensités de pluie, pour les

bassins BV3 et BV5, on a choisi de travailler sur des événements bien documentés pour les intensités de pluie enregistrées : ceux du 26-27 et 28 Mars 1973 et du 10 au 11 Janvier 2003. Ce sont les deux plus grandes crues de la période 1973-2003. Le nombre de stations, pour lesquelles nous disposons des données relatives aux intensités de pluie, pour Mars 1973, est de 7. Pour Janvier 2003, ce nombre est de 5 seulement. En raison de la faible densité du réseau, les deux bassins 3 et 5 seront alors traités comme un seul ensemble. Pour l’événement de Mars 1973, les intensités maximales sur des durées fixées entre 10 à 120 minutes sont étudiées. Pour Janvier 2003, les intensités maximales sur une heure sont étudiées.

Pour le bassin versant BV4, l’événement le mieux documenté est celui du 29 et 30

septembre 1986. Le nombre de stations pour lesquelles nous disposons des données relatives aux intensités de pluie est de 8. Les intensités maximales sur des durées entre 15 minutes et 180 minutes sont étudiées

D’autre part, nous disposons des courbes IDF publiés par DGRE (DGRE-ST2i, 2007) en 11 stations du bassin BV5 et en 3 stations du bassin BV3. D’après la comparaison aux autres estimations IDF, les valeurs de DGRE-ST2i (2007) se situent au milieu de la gamme des résultats et sont cohérentes avec les estimations précédentes.

La méthodologie d’optimisation du réseau pluviographique a pris en compte la structure des données disponibles : un réseau pluviographique de faible densité, quelques événements documentés à travers leur analyse Intensité-Durée et une étude des relations IDF sont disponibles et l’objectif est donc l’étude des impacts hydrologiques en termes de crues et érosion.

Pour prendre en compte ces particularités, nous avons proposé d’adopter une approche géostatistique pour exprimer la fonction objectif.

D’autre part, nous proposons une méthodologie de calage des paramètres internes du SA qui a été adopté comme algorithme d’optimisation.

Comme l’extension du réseau pluviographique est par nature un problème multi-objectif, la méthodologie propose d’abord une optimisation monocritère puis une optimisation multi-objective basée sur l'agrégation des critères singuliers. Un premier critère est la minimisation de l’écart-type moyen de krigeage des intensités sur une durée de 1 heure, problème pouvant être relatif à l’estimation des crues sur des bassins de faible taille (50 km²). Un second critère est celui de minimiser l’erreur moyenne de krigeage du coefficient d’agressivité des pluies en relation avec l’estimation de l’apport solide d’une crue. La



combinaison de critères repose sur l’adoption de poids et sur la normalisation des fonctions mono-objectifs.

D’autre part, pour prendre en compte l’aléa pluviométrique, une méthodologie d’optimisation robuste est proposée pour compléter l’étude bi-objectif. Elle repose sur les résultats de l’étude des courbes IDF effectuée par DGRE-ST2i (2007) et adopte les coefficients du modèle de Montana comme support pour l’optimisation.

Chapitre III : Résultats

78

Chapitre III : RESULTATS

INTRODUCTION

Cette partie est consacrée à la présentation et à la discussion des résultats obtenus. Nous commençons par évaluer le choix de l’altitude considérée comme dérive externe pour l’interpolation de l’intensité de pluie sur une heure. Ensuite, nous interprétons les variogrammes conditionnels et 3D pour les deux événements de 1973 et 1986. Nous présentons les résultats de l’effet de l’utilisation des approches 2D et 3D sur les cartes des écarts type des erreurs du krigeage (ETEK). Etant donné que la dérive externe (l'altitude) est faiblement corrélée avec l'intensité de la pluie, l'utilisation de l'interpolation par krigeage avec dérive externe (KDE) peut être ouverte à la discussion. En conséquence, nous adoptons le krigeage ordinaire (KO) pour effectuer l'interpolation ainsi que le calcul des erreurs de krigeage. Une comparaison entre le krigeage ordinaire et le krigeage avec dérive externe à travers les moyennes sur toutes les durées des ETEK-KO et ETEK-KDE aux noeuds du maillage est effectuée.

La troisième partie des résultats est consacrée au calage des paramètres du SA et leur sensibilité à la taille du réseau optimal en utilisant les structures des variogrammes de 1973 et 2003. La quatrième partie est conscarée à la présentation des résultats de l’optimisation du réseau pluviographique pour l’estimation spatiale de l’intensité de pluie en utilisant les deux approches 2D et 3D sur la base de l’événement de Mars 1973. Les résultats obtenus sont comparés entre eux et sont aussi comparés aux résultats obtenus en se référant à l’événement de 2003. La cinquième partie est dédiée aux résultats de l’optimisation du réseau pluviographique pour l’estimation spatiale de l’indice d’érosivité de pluie. Ensuite, une comparaison des résultats monocritères est adressée pour conclure à la combinaison des deux objectifs. La dernière partie est réservée à la présentation des résultats de l’optimisation robuste et leurs comparaisons aux résultats obtenus en monocritère pour les deux objectifs d'interpolation de l’intensité de pluie maximale sur une heure en 2D et du facteur d'érosivité.

Ces travaux ont fait l’objet de deux articles dont le premier a été publié dans Journal of hydrology (Kebaili Bargaoui et Chebbi, 2009) et le deuxième a été publié dans Journal of Hydrologic Engineering (Chebbi et al., 2011).

III-1- RESULTATS DE L’ANALYSE VARIOGRAPHIQUE EN 2D ET 3D

III-1-1- Sélection de la dérive externe

Nous commençons par sonder la relation entre l'altitude et les intensités maximales pour les événements de 1973 et 1986. La Figure III.1 reporte le nuage de points obtenu pour celui de 1973. La station de Tinja paraît être singulière dans le fait qu'elle a enregistré des intensités maximales associées à une faible élévation. C'est la station la plus proche de la mer Méditerranée, ainsi que les stations de Tunis Manoubia et Pont du Fahs. Pour ces stations, la forte intensité peut être également expliquée par le voisinage de la mer, qui favorise la recharge de l'humidité des masses d'air de pluie. La Figure III.2 montre une fonction de tendance non linéaire établie pour une durée de référence de 2 heures, en éliminant la station de Tinja. Le coefficient de corrélation est alors égal à 0.29. Goovaerts (2000) a reporté des valeurs de 0.33 à 0.83 pour les précipitations mensuelles au sud du Portugal. La Figure III.3 présente les données relatives à l'événement de 1986 pour trois durées de référence. La station


79

de Grombalia a enregistré les intensités les plus élevées alors qu’elle a la plus faible altitude, ce qui signifie que l'altitude n'est pas la seule variable explicative. Si cette station n'est pas incluse dans les calculs, les coefficients de corrélation obtenus sont plus élevés et varient de 0.20 à 0.39, en adoptant une augmentation linéaire de l'intensité de la pluie avec l'altitude. Nous admettons quand même que l’altitude peut être introduite comme dérive externe. Cependant, vu la faiblesse des coefficients de corrélation, l'interpolation par krigeage ordinaire, qui suppose l’espérance constante, sera également effectuée à titre comparatif et la sensibilité des résultats à la méthode du krigeage sera examinée.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Altitude (m)

Inte

nsi

té (

mm

/h)

Imax(10)

Imax(15)

Imax(30)

Imax(1heure)

Imax(2heure)

Station de Tinja

Station du Pont du Fahs

Station deTunis Manoubia

Figure III.1. Corrélation entre l’intensité maximale et l’altitude pour l’événement de 1973



0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

16,0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Altitude (m)

Inte

nsi

té m

axi

ma

le s

ur

2 h

eur

es (

mm

/h)

Imax (2 heures)

Courbe de tendance (sans Tinja)

coefficient de corrélation: 0,29 (sans Tinja)

station de Tinja

Figure III.2. Relation entre l’intensité (2 h) et l’altitude – Evènement de 1973

y = 0,1822x + 58,15

R2 = 0,2031

y = 0,2689x + 36,126

R2 = 0,3971

y = 0,246x + 28,003

R2 = 0,3854

0

20

40

60

80

100

120

0 50 100 150 200

Altitude (m)

Intensité m

axim

ale (mm/h)

Imax(15 min)

Imax(30 min)

Imax(60 min)

Figure III.3. Relations entre l’intensité et l’altitude- Evènement de 1986 (sans la station de Grombalia)

III-1-2- Elaboration des variogrammes conditionnels

Pour estimer les variogrammes expérimentaux, les intervalles ( km, 20 km, 30 km,…) sont considérés. De plus, six durées de référence des précipitations sont arbitrairement choisies pour l'événement de 1973 qui couvrent un large éventail de durées allant de 5 minutes à deux heures ( = 5, 10, 15, 30, 60, 120 minutes). Pour l'événement de 1986, les données ne sont pas disponibles pour la durée de 5 minutes. Ainsi, seulement cinq durées ( =



10, 15, 30, 60, 120 minutes) sont examinées dans la suite. Dans la suite, l’anisotropie des variogrammes est ignorée étant donné que nous ne disposons pas d’assez d’observations. Par exemple, le variogramme expérimental relatif à la durée = 30 minutes pour l'événement de 1973 est présenté dans la Figure III.4. On peut constater que ce variogramme empirique est très dispersé : une des raisons réside dans le fait que, pour presque toutes les valeurs de , le nombre de couples disponibles dans l'estimation est faible (le nombre maximal de couples est 10), en raison de la densité spatiale faible du réseau pluviographique existant. Ceci représente des difficultés réelles pour ajuster le variogramme théorique. Pour surmonter cette difficulté, une importance particulière est donnée aux points correspondant aux très courtes distances et à ceux qui ont le plus grand nombre de paires observées.

L’ajustement du modèle du variogramme est effectué en faisant appel à quatre modèles de base classiques : le modèle sphérique, le modèle gaussien, le modèle exponentiel et le modèle d'effet pépite, ainsi que deux modèles combinés (deux sphériques et un sphérique combiné à un exponentiel). Les paramètres sont estimés par calage manuel. Une valeur initiale pour le palier est prise égale à la valeur de la variance de l'échantillon. Les résultats de la validation croisée permettent de rectifier les paramètres par essais et erreurs afin d'obtenir les meilleurs résultats. A l’issue de cet examen, le modèle sphérique a été vérifié comme le modèle le plus adéquat pour les deux événements 1973 et 2003 en 2D. La Figure III.4 présente par exemple le modèle ajusté pour la durée = 30 minutes pour l'événement de 1973. On peut constater que ce variogramme a été construit avec des classes à effectifs très faibles (même avec une classe à effectif=1), mais il faut insister sur le fait que ceci est dû essentiellement à la densité spatiale faible du réseau pluviographique existant.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000

distance dans l'espace (X,Y) (m)

Var

ian

ce (

mm

/h)2

Variogramme expérimental

Modèle sphérique (60, 70000)

1

11

3

2

4

17

3

1

10

7

5

Figure III.4. Ajustement du variogramme 2D (Evènement de 1973, durée = 30 min) (avec le nombre de couples)

Les paliers et portées ajustés sont reportés dans le Tableau III.1 pour les diverses

durées . Dans le cas de l'événement de 1973, pour la durée de 5 minutes, la portée ajustée est de 40 km. La portée est de 50 km pour 15 minutes pour 1973 et de 40 km pour la même durée



pour l’événement de 1986. Des portées plus petites sont obtenues par Berne et al. (2004) qui ont étudié trois événements pluvieux extrêmes sur la base d’un réseau pluviométrique très dense (1 pluviomètre par 12 km2) sur une superficie de 25km * 25km et également sur des observations radar. Ils ont trouvé des valeurs de portées inférieures à 15 km pour une durée de référence égale à 12 minutes.

Tableau III.1. Paliers et portées ajustés pour les variogrammes

Echelle du temps (min)

Palier () (mm/h²) -1973-

Portée a() (km)

-1973-

Palier ()(mm/h²) -1986-

Portée a() (km)

-1986- 5 90 40 10 85 55 15 70 50 400 40 30 60 70 500 45 60 25 50 350 45 120 11 130 330 40 180 210 50 1440 5 50

A partir du Tableau III.1, on remarque que les valeurs des paliers évoluent en fonction

de la durée de référence. Il est également clair qu'il n'y a aucune portée commune pour les durées diverses ce qui reflète une anisotropie. Avec l’augmentation de la durée de référence, une diminution des paliers ainsi qu’une augmentation des portées sont à mentionner.

III-1-3- Variogrammes et échelles des durées

Comme on peut le remarquer sur la Figure III.5, la représentation du palier ( ) en fonction de la durée de référence donne lieu à une relation semi-logarithmique décroissante pour les deux événements étudiés, valable pour des durées inférieures ou égales à 24 heures. Afin de maintenir la signification physique du palier comme une variance (valeur positive), il ne devrait pas être extrapolé pour des durées supérieures.



y = -26,737x + 141,07

R2 = 0,9534

y = -100,84x + 760,61

R2 = 0,8762

0

100

200

300

400

500

600

700

0 1 2 3 4 5 6 7 8

LN(Durée (min))

Pal

ier

(mm

/h)2

palier (Evènement de 1973)

palier (Evènement de 1986)

Figure III.5. Relations empiriques entre les paliers ajustés et les durées

De plus, une relation semi-logarithmique croissante permet de décrire la relation de la portée en fonction de la durée de référence (Fig. III.6). Des relations empiriques de lois puissances sont rapportées par Berne et al. (2004) avec a()=4.50.5 avec en minutes et a en km ajustées pour la région de Marseille. Ces auteurs se sont aussi référés aux travaux de Lebel et al. (1987) avec a()= 250.3 en heures et a en km) ajusté pour le sud de la France (région de Cévennes). Cependant, ces relations empiriques sous-estiment les divers paliers obtenus pour les deux événements étudiés 1973 et 1986.

y = 21,254Ln(x) - 1,1281

R2 = 0,5769

y = 1,9417Ln(x) + 36,114

R2 = 0,4825

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 10 100 1000 10000

Durée (minutes)

Po

rtée

(K

m)

portée (Evènement de 1973)

portée (Evènement de 1986)

Figure III.6. Portées ajustées en fonction de la durée

Comme on peut le remarquer sur la Figure III.5, la relation intensité-durée est plus

irrégulière lors de l'événement de 1986. En effet, la pente de la relation semi-logarithmique



est plus raide pour l'événement de 1986 que pour l'événement de 1973. La Figure III.6 souligne que l'événement de 1973 est au contraire, plus étendu dans l'espace que l'événement de 1986, puisque sa portée atteint plus de 100 km pour une durée de 2 heures.

Skøien et Blöschl (2006) ont indiqué que les grands supports provoquent généralement une surestimation de la portée. Ainsi, la différence des valeurs des portées peut aussi s'expliquer par la différence de la taille du domaine (21 000 km2 pour l’événement de 1973 contre 7000 km2 pour l’événement de 1986) ainsi que par la différence de la densité des réseaux (0.61 station par 1000 km2 pour l’événement de 1973 contre 1.15 stations par 1000 km2 pour l’événement de 1986).

Il est également clair à partir de la Figure III.5 que le palier diminue lorsque la durée de référence augmente pour les deux événements. Il est également perceptible sur la Figure III.6 que la portée augmente lorsque la durée de référence augmente. Par conséquent, la variabilité de l'intensité augmente pour les petits pas de temps tandis que l'extension spatiale de l'événement est plus petite. C'est pourquoi, dans la pratique, les radars seraient plus appropriés que les pluviographes pour permettre la surveillance de la variabilité spatiale des crues d’origine convective. En dépit du faible accord entre les valeurs calculées et celles ajustées pour les pas de temps de 1 heure et 2 heures pour l'événement de 1973 (Fig. III.6), les coefficients de corrélation entre variogramme théorique et expérimental restent acceptables pour les quatre courbes. Ainsi, ces graphiques soutiennent l'idée que le palier et la portée des modèles des variogrammes conditionnels dépendent de l’échelle exprimée par la durée des précipitations.

Ensuite, des modèles sphériques sont calculés en utilisant les équations empiriques (II.20) et (II.21) pour l'événement de 1973 avec : A1=-26.737 ; B1= 141.07 ; A2= 21.254 ; B2 =-1.1281. Des exemples d’ajustements sont donnés dans la Figure III.7 pour = 30 minutes (courte durée) et dans la Figure III.8 pour = 2 heures (durée modérée) pour l'événement de 1973. Le palier du modèle obtenu à l'aide des relations empiriques d'échelle est plus grand que le palier du modèle du variogramme ajusté pour une durée de 2 heures et il est plus faible pour une durée de 30 minutes. C'est la situation inverse pour les paramètres de la portée.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 160000 180000

Distance (m)

Vari

ance (m

m/h

)2

Variogrammreexpérimental

Variogramme directionnel

Variogramme par larelation empirique

1

1

3

7

74

21

3

7

Figure III.7. Comparaison des variogrammes ajustés pour une durée de 30 min

(Evènement de 1973)



0

5

10

15

20

25

30

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 160000 180000 200000

Distance (m)

Var

ian

ce (

mm

/h)2


Variogramme directionnel

Variogramme par la relation empirique

1

3

2

4

3

7

5

14

7

7

4

5

4

52

2

1

Figure III.8. Comparaison des variogrammes ajustés pour une durée de 2h (Evènement de 1973)

D'autre part, les variogrammes 0(h0) standardisés expérimentaux 3D sont calculés et reportés dans les Figures III.9 et III.10. Le nombre de couples disponibles pour un intervalle donné est amélioré en comparaison avec les variogrammes 2D. En effet, comme le montre la Figure III.9, le nombre de couples varie de 39 à 323 pour le variogramme 3D de 1973. De plus, les variogrammes 3D sont moins dispersés. Dans la Figure III.9 qui présente les résultats de l'événement de 1973, le variogramme sphérique ajusté présente une portée a0 = 2 et un palier 0 = 65 (mm/h)². On peut noter d’après le Tableau III.1, que ce palier-3D représente une valeur médiane des paliers conditionnels. La Figure III.10 présente les résultats de l'événement de 1986. Dans ce cas, un modèle avec une valeur du palier égale à 340 (mm/h)², qui est la valeur médiane des modèles conditionnels, pourrait sous-estimer la variabilité de la pluie. Plusieurs autres modèles candidats G (Palier, Portée) sont tracés. G0 et G1 sont des modèles sphériques sans effet pépite avec G0 (800, 2.5); G1 (450, 2.5). Le modèle G0 donne plus de confiance aux points situés à des distances plus petites alors que le modèle G1 est établi en prenant en compte le point avec le plus grand nombre de couples (ici 104). Alors que le modèle G1 présente une valeur du palier qui n'est pas loin de la valeur médiane des modèles conditionnels (340 (mm/h)²), le modèle G0 présente une valeur du palier beaucoup plus grande. Il est à noter que les données liées aux durées très courtes (moins de 15 minutes) ne sont pas disponibles pour les calculs alors qu'elles devraient théoriquement conduire à des paliers de plus de 400 (mm/h)². Le modèle G2 est une combinaison de deux modèles sphériques et d’un effet pépitique. Le modèle G3 est une combinaison d'un modèle sphérique et d’un effet pépitique. Les modèles G2 et G3 reflètent une sorte de compromis en tenant compte des points avec un grand nombre de couples.

Par souci de simplicité et avant d'aller plus loin, les modèles sphériques sont adoptées. Si les résultats de la validation croisée ne sont pas convaincants, alors les autres modèles pourraient être prospectés.



Comme on peut le remarquer à partir du Tableau III.1, le palier diminue avec l'augmentation de la durée. Par conséquent, l'approche 3D, qui représente une intégration du 2D, résulte en des paliers qui sont petits (et par conséquent on devrait s'attendre à des ETEK plus faibles) pour les petites durées et le contraire pour les durées élevés.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5Distance dans l'espace (X,Y,D)

Va

ria

nc

e (

mm

/h)2

Variogramme expérimental avec nombre de couples

Modèle sphérique (65,2)

39

65

75

89

160

186

220

261

254

228

232

323

220

155

140

74

Figure III.9. Ajustement du variogramme 3D (Evènement de 1973)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 1 2 3 4 5 6

distance

vari

anc

e (

mm

/h)²

Var. Exp.

G0

G1

G2

G3

8

15

10

36

35

71

66104

60

61

82

84

50

22 14

12

30

10

Figure III.10. Ajustement du variogramme 3D (Evènement de 1986)



III-1-4- Les résultats de la validation croisée

Un voisinage unique est considéré pour le krigeage, ce qui signifie que Nnb dans l’équation (I.25) est considéré comme le nombre total de voisins. Les résultats de la validation croisée pour les 2D et 3D sont d'abord interprétés en termes des Erreurs Standardisés d'Estimation (ESE). Il est généralement reconnu que si la valeur absolue de l'erreur normalisée est supérieure à 2, des valeurs aberrantes doivent être suspectées. En fait, cela n’a pas été le cas dans cette étude. En comparant les résultats 2D et 3D, on remarque que les valeurs des ESE sont clairement plus petites pour l'approche 3D. On peut aussi remarquer que les erreurs standardisées sont globalement plus élevées lorsque la durée de référence est agrandie. Ces remarques sont valables pour toutes les durées.

D'autre part, les valeurs estimées par validation croisée sont reportées en comparaison avec les valeurs observées dans la Figure III.11 (2D) et Figure III.12 (3D) pour l'événement de 1973 afin d'évaluer l'importance des déviations. On remarque que pour la méthode 3D, les valeurs estimées sont beaucoup plus proches des valeurs observées. Par exemple, la prédiction des stations Ain Djaja Pont du Fahs ; Tinja et Tunis Manoubia dans l’approche classique 2D (Fig. III.11) s’est beaucoup améliorée par la méthode 3D (Fig. III.12). Lorsque toutes les durées sont prises ensemble, le coefficient de corrélation entre les valeurs observées et les valeurs estimées passe de 0.5 pour le cas classique 2D à 0.95 pour le cas 3D. Des résultats similaires sont obtenus pour l'événement de 1986, en utilisant le modèle G0 (Fig. III.13 et III.14). Le coefficient de corrélation entre les intensités observées et les intensités estimées est alors égal à 0.64 pour l’approche classique 2D et augmente jusqu’à 0.92 pour le 3D. La Fig. III.15 présente des résultats de la validation du modèle G3 en 3D. Le coefficient de corrélation est presque similaire à celui qui résulte de G0, mais légèrement plus petit. Ainsi, le modèle G0 est conservé pour le krigeage 3D de l'événement de 1986.

D’un autre côté, il est intéressant de remarquer que les résultats de la validation croisée en utilisant le variogramme obtenu par l'application de l'équation (II.22) pour l'événement de 1986, sont semblables à ceux obtenus par l'approche 2D (Fig. III.15). Effectivement, le coefficient de corrélation est égal à 0.64 qui est du même ordre de grandeur que celui obtenu dans l’approche 2D. Ainsi, la méthode 3D apporte effectivement une très nette amélioration relativement aux approches 2D.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Inte

nsité

est

imée

(mm

/h)

Intensité observée (mm/h)

Estim_ 5 min

Estim_10min

Estim_15 min

Estim_30 min

Estim_1h

Estim_2h

Y=XAin Djaja Pont du Fahs

Tinja

Tunis Manoubia

coefficient de corrélation r=0.5

Ecart type de l'erreur = 6.8 mm/h

Figure III.11. Résultats de la validation croisée obtenus par l’approche 2D (KDE,

Evénement de 1973)



0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Inte

nsité

est

imé

e (m

m/h

)


Estim_5 min

Estim_10 min

Estim_15 min

Estim_30 min

Estim_1h

Estim_2h

Y=X

Ain Djaja Pont du Fahs

Tinja

Tunis Manoubia


Ecart type de l'erreur = 2.3

Figure III.12. Résultats de la validation croisée obtenus par l’approche 3D (KDE,

Evénement de 1973)

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100 120


Inte

nsi

té e

stim

ée(m

m/h

)

Estim-15min

Estim_30 min (mm/h)

Estim_1 h (mm/h)

Estim_2 h (mm/h)

Estim_3 h (mm/h)

Y=X

coefficient de corrélation = 0.64


Figure III.13. Résultats de la validation croisée obtenus par l’approche 2D (KDE, Evénement de 1986)



0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100 120


Inte

nsité

est

imée

(m

m/h

)

Estim-15min

Estim-30min

Estim- 1h

Estim- 2 h

Estim- 3 h

Y=X

coefficient de corrélation = 0.92


Figure III.14. Résultats de la validation croisée obtenus par l’approche 3D pour le modèle G0 (KDE, Evénement de 1986)

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100 120

Inte

nsi

té e

stim

ée

(m

m/h

)


Estim-15 min

Estim-30 min

Estim-1 h

Estim-2 h

Estim-3 h

Y=X

coefficient de corrélation r=0.91Ecart type de l'erreur = 10.3 mm/h

Figure III.15. Résultats de la validation croisée obtenus par l’approche 3D pour le modèle G3 (KDE, Evénement de 1986)

Ainsi, les prédictions pour les courtes durées sont généralement améliorées avec le

variogramme 3D ce qui pourrait constituer un nouvel avantage dans le fait d'adopter l'approche multi-canal pour les réseaux de densité spatiale faible.



Il est également très utile d’exploiter ces résultats en termes cartographiques utilisables dans les études de protection contre les inondations. Les cartes d’estimation par krigaege obtenues par les méthodes 2D et 3D sont présentées pour la durée 30 minutes dans les Fig. III.16 et III.17 pour l'événement de 1973. La comparaison de l'intensité spatiale montre que la zone couverte par les fortes intensités (>15 mm/h) est surestimée dans la carte 2D (4291 km2) relativement à la carte 3D (3660 km2). La Figure III.18 présente aussi la répartition spatiale de l’intensité de la pluie résultant de l'application de l’approche 2D en tenant compte des relations d’échelle. Comme révélé par les résultats de la validation croisée, cette carte est très semblable à celle issue de l'approche 2D. Le Tableau III.2 résume des calculs des surfaces avec des précipitations estimées excédant une intensité donnée. Nous avons considéré des seuils plus bas lorsque la durée de référence augmente. Nous avons également pris soin de considérer des seuils plus élevés pour l’événement de 1986 en raison de ses plus fortes intensités observées. D’un autre côté, nous présentons les cartes relatives à la durée 30 minutes pour l’événement de 1986, issues des interpolations 2D et 3D (Fig. III.19 et III.20). La méthode d'interpolation (2D ou 3D) ne semble pas vraiment avoir un impact sur ces cartes dans le cas de l’événement de 1986. Cependant, comme on peut le remarquer d’après le Tableau III.2, les surfaces analysées deviennent plus semblables entre les deux approches 2D-3D pour les plus fortes durées et ceci pour les deux événements.

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)

I<9 mm/h

9<I<12 mm/h

12<I<15 mm/h

15<I<18 mm/h

I>18 mm/h

Réseau existant de 1973

Figure III.16. Carte de Imax sur 30 min krigée avec l’approche 2D (KDE, Evénement de 1973)



3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)

I<9 mm/h

9<I<12 mm/h

12<I<15 mm/h

15<I<18 mm/h

I>18 mm/h



3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)

I<9 mm/h

9<I<12 mm/h

12<I<15 mm/h

15<I<18 mm/h

I>18 mm/h


Figure III.18. Carte de Imax sur 30 min krigée en utilisant le variogramme avec les relations empiriques d’échelle (KDE, Evénement de 1973)



Tableau III.2. Surface (km²) avec intensité de pluie estimée dépassant une valeur seuil

Durée et valeur seuil

de l’intensité 5 min

20 mm/h 10 min

20 mm/h 15 min

15 mm/h 30 min

15 mm/h 1h

10 mm/h 2h

10 mm/h 2D

(Evènement de 1973) 8082

(-23%)

2295 (-22%)

10417 (+56%)

4291 (+17%)

9669 (+6%)

1996 (-2 %)

3D

(Evènement de 1973) 10558

2945

6662

3660

9077

2028

Durée et valeur seuil

de l’intensité 15 min

70 mm/h 30 min

60 mm/h 1h

50 mm/h 2h

40 mm/h 3h

30 mm/h

2D (Evènement de 1986)

5352 (-11%)

5110 (+2%)

4781 (~ 0 %)

3786 (~ 0 %)

3155 (-2%)

3D (Evènement de 1986)

5999

5019

4767

3792

3189

3960000

3980000

4000000

4020000

4040000

4060000

4080000

4100000

4120000

520000 570000 620000 670000 720000

X (m)

Y (

m)

30<I<50 mm/h

50<I<70 mm/h

70<I<90 mm/h

90<I<110 mm/h

I>110 mm/h





3960000

3980000

4000000

4020000

4040000

4060000

4080000

4100000

4120000

520000 570000 620000 670000

X (m)

Y (m

)

30<I<50 mm/h

50<I<70 mm/h

70<I<90 mm/h

90<I<110 mm/h

I>110 mm/h



III-1-5- Effet sur l'écart type de l'erreur de krigeage

Ici, en chaque nœud du maillage, nous calculons la moyenne des ETEK en intégrant sur les durées. La Figure III.21 présente la carte de la moyenne des ETEK (ETEKmoyen) pour les résultats du 2D et la Figure III.22 pour les résultats du 3D pour l'événement de 1973. Dans ce cas, la valeur moyenne des ETEK sur les durées en 2D est égale à 6.7 mm/h, alors qu'en 3D, nous obtenons une valeur légèrement plus petite égale à 6.1 mm/h. Au contraire, pour l'événement de 1986, des valeurs plus petites des ETEK sont obtenues avec l'approche 2D (moyenne des ETEK sur les durées est de 28 mm/h pour le cas du 3D et de 20 mm/h pour le cas 2D).

D'autre part, l'analyse de la distribution cumulative des ETEK est réalisée par un tri des séries pour chacune des durées. Les distributions cumulatives conditionnelles pour le cas 2D correspondant à = 5, 10, 15, 30, 60, 120 minutes sont présentées dans la Figure III.23 ainsi que la courbe de la fonction moyenne sur les durées relative au cas 3D pour l’événement de 1973. Comme le montre cette figure, la fonction moyenne du 3D constitue une mi-réponse : les valeurs des ETEK du 2D sont plus faibles pour les durées = 1 h et 2 h et plus élevés pour < 1 h. Une fonction analogue est obtenue pour l’événement de 1986. Ainsi, l’approche 3D constitue une sorte de compromis pour la constitution des règles de l'optimisation. Par conséquent, dans l'optimisation d’un réseau basée sur la minimisation des ETEK, une approche en 3D pourrait nous permettre de surmonter le problème du choix d'une durée de pluie a priori.

Les valeurs du CV varient de 0.1 à 0.7 pour les cartes du 2D et de 0.1 à 1 pour les cartes du 3D pour l'événement de 1973. Dirks et al. (1998) ont présenté des conclusions analogues sur les totaux des précipitations calculés sur des pas de temps horaires et annuels. Dans leur étude, les valeurs des paramètres CV varient de 0.7 pour les totaux horaires à 0.2 pour les totaux annuels. Le calcul de la moyenne des CV sur les durées à chaque nœud du maillage conduit à une valeur moyenne des CV qui est légèrement plus grande pour le 3D (0.54) que pour le 2D (0.50) pour l'événement de 1973. Cette conclusion est valable aussi pour l’événement de 1986 avec respectivement 0.58 et 0.39. C’est également le cas pour les



valeurs maximales des moyennes des CV. La plus grande valeur de la moyenne est 2.5 pour le cas du 2D et 3.5 pour le 3D (événement de 1986). Ainsi, l'analyse du critère de précision CV n'est pas convaincante quant à l'utilisation de l'approche 3D. Cependant, on trouve que la courbe moyenne du 3D est située à l'intérieur des courbes du 2D. Il semble donc que l'approche 3D représente vraiment une intégration des résultats du 2D en tenant compte de l'échelle du temps.

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)

ETEKmoyen < 2

2 < ETEKmoyen< 4

4 < ETEKmoyen< 6

6 < ETEKmoyen< 8

8 < ETEKmoyen< 10

ETEKmoyen> 10


Figure III.21. Carte de la moyenne des ETEK pour les résultats du 2D (KDE, Evénement de 1973)

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)

ETEKmoyen < 2

2 < ETEKmoyen< 4

4 < ETEKmoyen< 6

6 < ETEKmoyen< 8

8 < ETEKmoyen< 10

ETEKmoyen> 10


Figure III.22. Carte de la moyenne des ETEK pour les résultats du 3D (KDE, Evénement de 1973)



0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1 1875 3749 5623 7497 9371 11245 13119 14993 16867 18741 20615

nombre de fois où ETEK est dépassé ou atteint

ET

EK

(m

m/h

)3D-moyen 2D-5 min 2D-10 min

2D-15 min 2D-30 min 2D-1 h

2D-2 h 2D-moyen

Figure III.23. Comparaison des distributions empiriques des valeurs des ETEK-2D et la moyenne des ETEK-3D (KDE, Evénement de 1973)

III-1-6- Comparaison aux résultats du krigeage ordinaire

Etant donné que la dérive externe (l'altitude) est faiblement corrélée avec l'intensité de la pluie, l'utilisation de l'interpolation par krigeage avec dérive externe peut être discutable. Ainsi, nous adoptons maintenant le krigeage ordinaire (KO) pour effectuer l'interpolation (Eq.I.25) ainsi que le calcul des erreurs de krigeage (Eq.I.33a, Eq.I.33b et Eq.I.34). Pour analyser l'effet de la méthode d'interpolation, nous avons d'abord comparé les résultats de la validation croisée. Les Figures III.24a et III.24b présentent les résultats de l’événement de 1973 respectivement pour les cas 2D et 3D. Les résultats obtenus conduisent à des coefficients de corrélation ainsi que des écarts type moyens des erreurs du krigeage qui sont demeurés principalement inchangés en comparaison au KDE. Pour l'événement de 1986, ils se comportent de la même façon pour le cas du 3D, mais pour le 2D, le krigeage ordinaire donne des résultats meilleurs (r = 0.77 comparativement à r = 0.64 pour le krigeage avec dérive externe en 2D). Le Tableau III.3 présente les résultats de la validation croisée pour les différentes situations (KO-2D, KO-3D, KDE-2D, KDE-3D). Dans toutes ces situations, les performances de la validation croisée sont améliorées pour le 3D en comparaison avec le 2D.

De plus, une comparaison complète entre les moyennes sur toutes les durées aux noeuds du maillage ETEK est effectuée. Les estimations des ETEK-KO sont plus petites que les estimations ETEK-KDE pour les valeurs élevées des ETEK (voir par exemple la Fig. III.25 qui présente le cas 2D pour l'événement de 1973). Avec l'approche 2D, des petites valeurs des ETEK sont obtenues pour 1986 et des grandes valeurs des ETEK pour 1973. Toutefois, nous sommes plus intéressés par la différence entre les ETEK-KDE et ETEK-KO pour une approche donnée (2D ou 3D).

Pour l'événement de 1973, il se trouve que dans l'approche 2D, la différence entre les ETEK-KDE et ETEK-KO est plus élevée que dans l'approche 3D. Pour l'événement de 1986, on a trouvé que les principales caractéristiques des ETEK sont presque les mêmes pour les deux approches 2D et 3D (Tableau III.4).



En conclusion, l’approche 3D conduit à des estimations médianes entre les estimations issues de l’approche conditionnelle en 2D. Pour la méthode de krigeage, alors que nous reconnaissons qu'il n'y a pas clairement d’amélioration dans l'utilisation du KDE comparativement au KO, l'approche 3D présente l'avantage principal d'être moins sensible au choix de la méthode du krigeage que l'approche 2D. Enfin, elle conduit à des résultats meilleurs en validation croisée. Néanmoins, cette étude comparative 2D-3D a été réalisée dans un cadre prospectif et ne sera pas poursuivie tout au long de la thèse. En effet, nous continuerons la comparaison 2D-3D pour la variable d’étude Intensité et l’optimisation monocritère puis nous nous maintiendrons au cas 2D pour l’analyse du facteur d’érosivité R monocritère, pour l’analyse multicritère ainsi que pour l’analyse IDF et l’optimisation robuste.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Inte

nsi

té e

stim

ée

(m

m/h

)


Estim_ 5 min

Estim_10min

Estim_15 min

Estim_30 min

Estim_1h

Estim_2h

Y=X


Tinja

Tunis Manoubia



Figure III.24a. Résultats de la validation croisée obtenus par l’approche 2D avec le krigeage ordinaire (Evènement de 1973)



0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Inte

nsi

té e

stim

ée

(m

m/h

)


Estim_5 min

Estim_10 min

Estim_15 min

Estim_30 min

Estim_1h

Estim_2h

Y=X


Tinja

Tunis Manoubia



Figure III.24b. Résultats de la validation croisée obtenus par l’approche 3D avec le krigeage ordinaire (Evènement de 1973)

Tableau III.3. Comparaison des performances de la validation croisée entre le KO et le

KDE

KDE vs KO 3D 2D

Coef. de Corrélation KDE (1973) 0.95 0.5

Ecart type de l’erreur de krigeage KDE (1973) 2.3 6.8

Coef. de Corrélation KO (1973) 0.95 0.54

Ecart type de l’erreur de krigeage KO (1973) 2.4 6.4

Coef. de Corrélation KDE (1986) 0.92 0.64

Ecart type de l’erreur de krigeage KDE (1986) 9.7 18.9

Coef. de Corrélation KO (1986) 0.92 0.77

Ecart type de l’erreur de krigeage KO (1986) 9.3 14.9



0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 2 4 6 8 10 12 14

ETEK-KDE (mm/h)

ET

EK

-KO

(m

m/h

)

Figure III.25. Comparaison des valeurs des ETEK-2D moyens sur les durées (Evènement de 1973)

. Tableau III.4. Comparaison des statistiques de la différence relative entre KDE et KO

aux noeuds du maillage

KDE vs KO 3D 2D diff. de médiane (1973) 1.4 1.8 diff. de moyenne (1973) 4.6 4.9

quartile 0.25 (1973) 0.1 0.5 quartile 0.75 (1973) 5.8 7

percentile 0.95 (1973) 20.6 19.7 diff. de médiane (1986) 9.2 9.2 diff. de moyenne (1986) 16.1 15.8

quartile 0.25 (1986) 3.5 3.3 quartile 0.75 (1986) 20.1 19.8

percentile 0.95 (1986) 58 58.2

III-2- ANALYSES STRUCTURALES ET CARTOGRAPHIES DES DEUX

EVENEMENTS DE 1973 ET 2003

Dans les résultats précédents, nous avons obtenu qu'il n'y ait pas clairement d’amélioration dans l'utilisation du KDE comparativement au KO. C’est pour cela que le krigeage ordinaire est utilisé dans la suite comme base pour l’élaboration des fonctions objectifs. Vu la faible densité des postes pluviographiques, un maillage à plus grande résolution que celui utilisé dans la partie précédente est adopté dans la suite afin de diminuer le temps de calcul. Il s’agit d’un maillage de 4Km de côté couvrant la zone d’étude (à la place de 1km). Ce changement de maillage a un effet sur l’estimation de la moyenne du champ des variances des erreurs de krigeage.



III-2-1- Evènement de Mars 1973

III-2-1-a- Krigeage par l’approche 2D de l’intensité maximale sur une heure

La Figure III.26 reporte le variogramme expérimental des intensités maximales sur une heure. Il s’agit d’un modèle de type sphérique sans effet de pépite dont la portée est de 60 km et le palier est de 21 (mm/h)2. Les résultats de la validation croisée sont reportés en Tableau III.5. On note en particulier que les erreurs sont confinées dans l’intervalle [-2, +2].

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 160000 180000distance dans l'espace (X,Y) (m)

va

ria

nc

e (

(mm

/h)2 )


Modèle sphérique (21, 60000)

1

4

5

7

8

9 12

9

6

7

5

3

2

Figure III.26. Variogramme de l’intensité maximale sur une heure (Mars 1973)

Tableau III.5. Résultats de la validation croisée du variogramme de Imax sur une heure

(Mars 1973)

Station

Imax sur une heure observée (mm/h)

Imax sur une heure interpolée

(mm/h) Ecart-type

(mm/h) Erreur réduiteBou Salem 6.8 8.2 16.91 0.33

Mjez El Bab PF 6.5 12.2 23.67 1.18 Gardimaou DRE 5.5 8.7 19.98 0.71

SK El Arba (Jendouba) SE 7.3 6.9 11.34 -0.11

Cité du Mellegue SM 7.4 7.6 15.38 0.04 Makthar P.F 13.4 10.5 24.69 -0.58

Ain Djaja Pont du Fahs 15.7 16.8 2.66 0.70 Tinja 16.2 8.6 26.27 -1.48



Tunis Mannouba 6.3 11.5 25.82 1.02 Sidi Boubaker Barrage

Kebir SM 11.6 13.8 12.89 0.61 Tuburbo Majus 18 15.2 3.01 -1.63

Kairouan 7.3 11.9 25.12 0.93 Haffouz 12.7 10.5 23.62 -0.45

La carte des intensités interpolées par krigeage ordinaire aux nœuds du maillage de 4

km (Figure III.27) conduit à des intensités krigées variant entre 5.6 mm/h et 16.2 mm/h. Les valeurs des écarts-types qui en résultent sont comprises entre 0.4 mm/h et 4.8 mm/h. Leurs percentiles 25, 50, 75 et 95 % sont également évalués afin d’interpréter les écart-types obtenus en termes de distribution statistique. La Figure III.28 présente la carte des écarts type i(I2D-1h)

(1973) ainsi que les percentiles. Le percentile 95 % correspond à une valeur de i(I2D-

1h)(1973) = 4.8 mm/h. Il est clair que la partie sud ouest du bassin versant montre les plus

grandes valeurs des écarts-types en raison de sa faible couverture par le réseau.

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

Y(m

)

X(m)

I<8 mm/h

8 mm/h<I<10 mm/h

10 mm/h<I<12 mm/h

12 mm/h<I<14 mm/h

I>14 mm/h


Figure III.27. Carte de Imax sur 1 heure obtenue par krigeage ordinaire (Evènement de 1973)



3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

Y(m

)

X(m)

< 25 %

25 - 50 %

50 - 75 %

75 - 90 %

90 - 95%

>95%


Figure III.28. Carte des σi(I2D-1h)

(1973) et leurs courbes des percentiles pour Imax (mm/h) sur 1 heure (Approche 2D- variogramme de 1973)

III-2-1-b- Krigeage par l’approche 3D de l’intensité maximale

En utilisant le variogramme sphérique 3D qui présente une portée a0 = 2 et un palier 0 = 65 (mm/h)², on calcule la moyenne des ETEK par krigeage ordinaire sur les durées en chaque nœud du maillage de 4km. En faisant le tri des valeurs des ETEK, leurs percentiles 25, 50, 75 et 95 % sont évalués. La Figure III.29 présente la carte des écarts type ainsi que les leurs courbes des percentiles. Le percentile 95 % correspond à une valeur de l’ETEK de 8.24 mm/h. Il est clair que la partie sud ouest du bassin versant montre les plus grandes valeurs des écarts-types.

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

Y (

m)

X (m)

< 25 %

25 - 50 %

50 - 75 %

75 - 90 %

90 - 95%

>95%


Figure III.29. Carte de la moyenne des ETEK et ses courbes des percentiles par l’approche 3D (Evènement de 1973)



III-2-1-c- Mise en relation des variables I et R

Pour calculer l'énergie des gouttes de pluie E (Eq.II.14), la période des six heures la plus pluvieuse, qui représente presque 75% de toute la pluie, est considérée. L'indice d'érosivité, R, est calculé en subdivisant la période la plus pluvieuse en des intervalles uniformes d'intensité de durées 5 minutes. Les valeurs de R qui en résultent sont reportées en Tableau III.6. Elles varient entre 0.22 et 2.18 dans les unités des USA. Selon (Zahar et Laborde, 2001), R = 2 (unités des USA) est appropriée comme seuil pour l’érosion. Comme le montre le Tableau III.6, cette valeur est dépassée dans 3 stations, suggérant qu’aux environs du Pont du Fahs, Tinja et Haffouz, il y a eu de l’érosion produite lors de cet événement. Ces résultats doivent cependant être confrontés aux observations terrain. Il est à remarquer que ces trois stations se présentent selon un axe nord est- sud ouest parallèle à la Dorsale.

Tableau III.6. Indices d’érosivité RUSA relatifs à l’événement de Mars 1973 bassins 3 et 5

Station RUSA Bou Salem 0.35

Mejez El Bab 0.22 Ghardimaou 0.3

Jendouba 0.36 Mellègue K13 0.56 Makthar P.F 1.53 Pont du Fahs 2.18

Tinja 2.4 Tunis Manoubia 0.43 Barrage Kébir 1.2

Kairouan 0.33 Haffouz 2.08

La Figure III.30 présente la relation entre les logarithmes des facteurs d'érosivité R observés et les logarithmes des intensités de pluie maximales I sur une heure observées. Cette figure suggère une relation de régression linéaire en ln-ln qui sera adoptée dans la suite de ce travail.

Les modèles de régression linéaires supposent que les résidus sont normalement distribués, que chaque observation est indépendante, qu'il y a un rapport linéaire entre les variables indépendantes et dépendantes, et que la variance de la variable dépendante ne change pas avec la valeur de la variable indépendante. La première étape pour confirmer ces conditions est de calculer le résidu pour chaque observation. Le résidu est la différence numérique entre la valeur observée et la valeur obtenue par le modèle. Ces résidus sont tracés en fonction des variables explicatives observées (logarithmes des intensités maximales observées sur une heure). La Figure III.31 traduit l’homoscedasticité des résidus puisque la dispersion des points à travers les valeurs des variables explicatives forme une bande sans aucune tendance décroissante ni croissante. Il en résulte que nous pouvons adopter le modèle ajusté :

1965.51963.2 xILnxRLn (III.1) Avec I intensité maximale sur une durée d’une heure



y = 2,1963x - 5,1965

R2 = 0,9236

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Ln(I )

Ln

(R)

Figure III.30. Relation de régression linéaire entre le logarithme du facteur d’érosivité observé (R) et le logarithme de l’intensité maximale observée (I) sur une durée d’une

heure

-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1

00,10,20,30,40,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Ln(I )

rési

du

s

Figure III.31. Les résidus de régression versus le logarithme de l’intensité maximale observée (I) sur une durée d’une heure

III-2-1-d- Krigeage de l’indice d’érosivité R

La Figure III.32 présente le variogramme expérimental du logarithme de l’indice d’érosivité R. Ce variogramme expérimental a été ajusté à un modèle de type sphérique sans effet de pépite dont les paramètres sont : une portée de 60 km et un palier de 0.85. Les résultats de la validation croisée (Tableau III.7) présentent des erreurs réduites cantonnées dans l’intervalle [-2, +2], ce qui permet de valider le modèle d’ajustement.



0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 160000

distance dans l'espace (X,Y) (m)

va

ria

nc

e

variogramme expérimental

modèle sphérique (0.85,60000)

3

4 68

7

9

7

6

6

5

Figure III.32. Ajustement du variogramme du logarithme du facteur d’érosivité R

Tableau III.7. Résultats de la validation croisée du variogramme de l’indice d’érosivité

R (Mars 1973)

Station R observé R interpolé Ecart-type

Erreur réduite

Bou Salem 0.35 0.30 0.71 -0.18 Mjez El Bab PF 0.22 0.37 1.19 0.48 Gardimaou DRE 0.3 0.21 1.15 -0.34

SK El Arba (Jendouba) SE 0.36 0.48 0.46 0.42

Cité du Mellegue SM 0.56 0.42 0.62 -0.37 Makthar P.F 1.53 1.92 1.14 0.21

Ain Djaja Pont du Fahs 2.18 2.47 0.75 0.15 Tinja 2.4 2.39 1.71 -8E-03

Tunis Mannouba 0.43 0.24 1.16 -0.55 Sidi Boubaker Barrage

Kebir SM 1.2 1.13 0.54 -8E-02 Kairouan 0.33 0.46 1.08 0.32 Haffouz 2.1 1.36 1.04 -0.42

La comparaison des valeurs interpolées par le modèle de régression linéaire à celles interpolées par krigeage avec dérive externe, où l’intensité maximale sur une heure krigée



joue le rôle de dérive externe, est effectuée en comparant les distributions cumulatives. On constate que les distributions cumulatives sont tout à fait proches l'une de l'autre (Figure III.33). Cependant, la différence cruciale justifiant l’utilisation du krigeage réside dans le fait que le krigeage tient compte de la structure de variabilité spatiale de R alors que la régression n’en tient pas compte. L’élaboration de la carte des écarts type des erreurs d’estimation par krigeage (i(R)

(1973)) du logarithme de R (Figure III.34) permet enfin de localiser les zones avec des valeurs élevées et qui méritent d’être consolidées par le réseau d’observation des intensités. Cette figure confirme ce qui a été déduit de la Figure III.28 des i(I2D-1h)

(1973) à savoir que la partie sud ouest du bassin versant présente une insuffisance dans le réseau de mesure.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

1 451 901 1351 1801 2251 2701 3151 3601 4051 4501 4951

R (

Un

ité

s U

SA

)

R-Régressionlinéaire

R-Krigeage avecdérive externe

Figure III.33. Compraison des distributions du facteur d’érosivité R calculée par régression directe et R krigé



3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)

< 25 %

25 - 50 %

50 - 75 %

75 - 90 %

90 - 95%

>95%


Figure III.34. Carte des σi(R)(1973)

et leurs percentiles pour le facteur d’érosivité R krigé

III-2-2- Evènement de Janvier 2003

La Figure III.35 présente le variogramme expérimental des intensités maximales sur une heure pour l'événement de 2003. Les données pour l’établissement de ce variogramme n’ont été disponibles que pour 10 stations seulement. Ce variogramme expérimental a été modélisé par un modèle sphérique avec une portée ajustée de 160 km et un palier ajusté de 1 000 mm/h2. Les résultats de la validation croisée (Tableau III.8) présentent des erreurs réduites limitées dans l’intervalle [-2, +2], ce qui permet de retenir le modèle ajusté pour le variogramme.

0

500

1000

1500

2000

2500

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 160000 180000

distance (m)

vari

ance

(m

m/h

)2

Variogramme Expérimental


2 2 4 1

3

8 3

10

4

1

2

1

2

Figure III.35. Ajustement du variogramme Imax sur 1 heure (Janvier 2003)



Tableau III.8. Résultats de la validation croisée du variogramme de Imax sur 1 heure (Janvier 2003)

Station Imax sur une

heure observée (mm/h)

Imax sur une heure interpolée

(mm/h) Ecart-type

(mm/h) Erreur réduite

El Amadi 9.4 9.45 60.70 6E-03 El Aroug 10.4 7.71 343.86 -0.14 Dékikira 18 21.9 32.65 0.69

Zecktoune 12.4 15.7 196.13 0.23 Fidh Ali 23.7 18.1 37.09 -0.92

El Gouazine 8.6 14.2 324.79 0.31 Janet 8.3 10.3 417.36 1E-01 M'rira 9.5 9.5 61.46 5E-04

Mellegue K13 77.4 19.8 929.89 -1.89 Slouguia 25.8 54.6 919.43 0.95

Le modèle retenu permet d’élaborer la carte des intensités interpolées par krigeage ordinaire aux nœuds du maillage (Figure III.36). Pour l’événement de Janvier 2003, les valeurs des intensités krigées varient entre 6 mm/h et 77 mm/h.

3850000

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)

I<15 mm/h

15 mm/h<I<30 mm/h

30 mm/h<I<45 mm/h

45 mm/h<I<60 mm/h

I>60 mm/h


Figure III.36. Carte de Imax sur 1 heure obtenue par krigeage ordinaire (Evènement de 2003)

En utilisant ce variogramme de 2003 et en supposant que le réseau existant est celui de 1973, les écarts-types du krigeage ordinaire varient de 2.3 mm/h à 32.1 mm/h. La Figure III.37 présente la carte des écarts type i(I2D-1h)

(2003) ainsi que la distribution des percentiles. Le percentile 95 % correspond à une valeur de i(I2D-1h)

(2003) = 27.4 mm/h. La plus faible densité du réseau de pluviographes dans la partie sud ouest du bassin versant explique que les plus grandes valeurs d’écarts-types y soient calculées.



3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X(m)

Y(m

)

< 25 %

25 - 50 %

50 - 75 %

75 - 90 %

90 - 95%

>95%


Figure III.37. Carte des i(I2D-1h)(2003) et ses courbes des percentiles par l’approche 2D

(Variogramme de 2003- Réseau existant de 1973)

III-3- CALAGE DES PARAMETRES DU SIMULATED ANNEALING

Avant de procéder au calage du SA, il s’agit de fixer la taille du nouveau réseau et de choisir l’emplacement des stations candidates. Des simulations seront effectuées pour 7, 10, 15, 20 et 25 nouveaux pluviographes en choisissant les stations candidates parmi les réseaux existants des bassins BV3 et BV5. Le réseau de 1973 est composé de 13 stations et celui de 2003 de 32 pluviographes différents. L’idée est de considérer ces 32 sites comme des stations candidates afin d’identifier les meilleures localisations de 7, 10, 15, 20 et 25 nouveaux postes. La fonction objectif considérée est la minimisation de la variance moyenne spatiale de l'erreur d'interpolation par krigeage de l'intensité maximale sur une durée d'une heure. Ces cinq scénarios d’augmentation seront réalisés en s’appuyant respectivement sur la structure de variabilité de 1973 puis sur celle de 2003. Nous avons préféré cette approche qui nous semble plus réaliste que celle consistant à placer les stations candidates en des nœuds du maillage, choisis au hasard. On postule en effet, qu’ayant été choisis par la DGRE, ces 32 sites étaient « recevables » relativement à l’accès, aux possibilités de suivi et de maintenance. Afin de simplifier les notations, les codes de ces stations candidates seront désignés de S1 à S32.

Etant donné que le recuit simulé est une méthode métaheuristique, l’utilisation dans la suite de ce chapitre du terme « solution optimale » veut dire essentiellement « la meilleure solution obtenue jusqu’à maintenant ».

III-3-1- Calage des paramètres internes du SA en utilisant le variogramme de l'événement de 1973

III-3-1-a- Cas d’extension du réseau existant par 7 nouvelles stations

En supposant que la taille du réseau est augmentée en considérant 7 nouvelles stations à implanter, nous avons examiné d'abord l'impact du choix de la température initiale T0 sur le pourcentage d'acceptation des solutions. A cet effet, différentes valeurs de l'élasticité



d'acceptation 0.1≤EA≤0.99 ont été adoptées avec FO0=16.13 (mm/h)2, les autres paramètres étant fixés à : =0.9; n1=10 et Plim=5%. La Figure III.38 présente le pourcentage d'acceptation de solutions résultant pour plusieurs valeurs de EA. Il en résulte que les valeurs de EA=0.8, 0.9, 0.95 et 0.99 réalisent un pourcentage d'acceptation d’au moins de 95%. Ces valeurs seront employées par la suite pour continuer plus loin dans l'analyse des autres paramètres du recuit simulé.

L'impact de en utilisant les valeurs précédemment choisies de EA a été analysé en termes de diminution de la fonction objectif aussi bien que celle du temps d'exécution. Trois valeurs différentes de ont été examinées : 0.9, 0.95 et 0.99. Les résultats sont rapportés dans le Tableau III.9 qui fait ressortir que les combinaisons (EA=0.9 et =0.9) ou (EA=0.95 et =0.9) sont les meilleures combinaisons des paramètres du recuit simulé du point de vue de la fonction objectif et du nombre d'itérations.

70%

75%

80%

85%

90%

95%

100%

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Elasticité d'acceptation

Po

urc

en

tag

e d

'ac

ce

pta

tio

n d

e s

olu

tio

ns

Figure III.38. Effet de l’Elasticité d’Acceptation EA sur le pourcentage d’acceptation de solutions

Tableau III.9. Résultats pour les paramètres du SA (7 nouvelles stations - variogramme

de 1973)

Paramètres Résultats

EA FO Itérations 0.8 0.9 12.06 4002 0.8 0.95 11.99 7038 0.8 0.99 11.99 31395 0.9 0.9 11.95 4968 0.9 0.95 12.02 8349 0.9 0.99 11.99 36018 0.95 0.9 11.95 4968 0.95 0.95 11.95 8901 0.95 0.99 11.95 40848 0.99 0.9 11.99 6072 0.99 0.95 11.95 11385 0.99 0.99 11.99 50991



Une analyse plus appprofondie est nécessaire pour décider de la meilleure combinaison des paramètres du SA. Vingt simulations supplémentaires ont donc été exécutées en utilisant différentes valeurs du générateur pseudo-aléatoire. Les résultats obtenus indiquent que la combinaison (EA=0.95 et =0.9) est meilleure que l'autre (EA=0.9 et =0.9) puisqu'elle a produit un pourcentage de solutions optimales plus élevé dans les 20 simulations. En effet, pour la combinaison (EA=0.95 et =0.9), seulement 4 solutions sur 20 sont non-optimales parmi lesquelles une solution seulement (12.12 (mm/h)2) présente une différence par rapport à l'optimum d’environ 1.4 % tandis que pour la combinaison (EA=0.9 et =0.9), 10 solutions sont non-optimales.

Par conséquent, sur la base de cette conclusion partielle, les valeurs EA=0.95 et =0.9 ont été adoptées pour analyser l'impact de n1 et Plim en termes de la fonction objectif et du temps d'exécution. A cet effet, l'optimisation est effectuée en utilisant quatre valeurs de n1 (5, 10, 30, 50) et deux valeurs de Plim (1% et 5%). Les Figures III.39a et III.39b suggèrent que les valeurs de n1 qui sont supérieurs à 10 n'aideront pas à améliorer les résultats du recuit simulé, puisque la fonction objectif atteint sa valeur minimale pour n1=10. Selon ces deux figures Plim = 0.01 et Plim = 0.05 donnent des résultats assez semblables.

11,93

11,94

11,95

11,96

11,97

11,98

11,99

12

5 10 30 50

n1

Fonct

ion O

bje

ctif

Plim=0,01

Plim=0,05

Figure III.39a. Effet de n1 et Plim sur la fonction objectif



0

5000

10000

15000

20000

25000

5 10 30 50

n1

No

mb

re d

'itér

atio

ns

Plim=0,01

Plim=0,05

Figure III. 39b. Effet de n1 sur le temps d’exécution

Pour gagner plus de confiance dans la solution trouvée, 50 simulations

supplémentaires ont été exécutées en utilisant différentes valeurs du générateur pseudo-aléatoire pour les deux groupes de paramètres dégagés plus haut en changeant seulement la valeur de Plim {EA=0.95; =0.9; n1=10 et Plim=5%} et {EA=0.95; =0.9; n1=10 et Plim=1%}. La Figure III.40 compare les deux groupes de paramètres en termes de la distribution des solutions pour les 50 simulations. En utilisant Plim =1%, le nombre de solutions optimales est de 46 sur 50 tandis qu'il est seulement de 33 pour Plim =5% dans les 50 simulations. La plus mauvaise solution donnée pour Plim =1% (FO=12.02 (mm/h)2) est meilleure que la plus mauvaise solution donnée pour Plim =5% (FO= 12.12 (mm/h)2).



0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

11,95 11,99 11,99 12,00 12,02 12,05 12,09 12,12

Fonction objectif ((mm/h)2)

No

mb

re d

e so

luti

on

s

Plim=0.05

Plim=0.01

Figure III.40. Effet de Plim sur la distribution des solutions en utilisant le variogramme de 1973

A titre d’application, nous reportons l’emplacement des sept pluviographes optimaux,

choisis parmi les 32 stations candidates, qui améliorent le mieux la variance moyenne de l’erreur d’estimation par krigeage de l’intensité maximale sur une heure pour l’événement de 1973, en utilisant l'ensemble des paramètre calés {EA=0.95; =0.9; n1=10 et Plim=1%} sont rapportés dans la Figure III.41.



Figure III.41. Localisation des pluviographes dans la zone d’étude et configuration des 7 stations optimales dans BV3 et BV5

III-3-1-b- Sensibilité des paramètres du SA à la taille du réseau optimal

En adoptant la même démarche de calage des paramètres du SA et en supposant la structure de variabilité de l'événement de 1973, la taille du réseau recherché est modifiée en considérant respectivement 10, 15, 20 et 25 nouvelles stations à implanter. Les paramètres optimaux du recuit simulé sont présentés dans le Tableau III.10 avec le nombre des solutions non-optimales dans 20 simulations supplémentaires ainsi que la différence de la plus mauvaise solution par rapport à l'optimum. Tableau III.10. Résultats pour les paramèters du SA étudiés en utilisant la structure du

variogramme de 1973

Paramètres Résultats Nombre des

nouvelles stations EA n1 Plim

Nombre des solutions optimales dans les 20

simulations

La plus mauvaise solution (différence par rapport à

l’optimum) 10 0.95 0.9 10 1% 19 FO=11.40(mm/h)2(0.02%) 15 0.95 0.9 10 1% 20 - 20 0.9 0.9 10 1% 20 - 25 0.9 0.9 10 1% 20 -

kilomètres



En faisant l’extension du réseau existant (13 stations) par 20 ou 25 nouvelles stations, les paramètres optimaux du recuit simulé sont {EA=0.9 ; =0.9 ; n1=10 et Plim=1%} alors que quand le réseau existant est augmenté de 10 ou 15 nouveaux pluviographes parmi les 32 stations candidates, les paramètres optimaux sont {EA=0.95 ; =0.9 ; n1=10 and Plim=1%}. En conséquence, deux groupes de paramètres calés sont obtenus dépendant de la taille d’extension du réseau, qui est inversement liée au nombre de solutions à tester. Ces deux groupes de paramètres diffèrent seulement par la valeur de EA. Ces deux groupes de paramètres ont été comparés en termes de fonction objectif et temps d'exécution. Le Tableau III.11 montre que le groupe {EA=0.9 ; =0.9 ; n1=10 et Plim=1%} semble être la meilleure combinaison des paramètres du SA du point de vue du nombre d'itérations quand le réseau existant est augmenté de 20 ou 25 nouvelles stations parmi les 32 stations candidates, c'est-à-dire dans le cas d’un petit nombre de solutions à tester.

Ainsi, en supposant la structure de variabilité de l'événement de 1973, les paramètres optimaux du SA restent identiques {EA=0.95 ; =0.9 ; n1=10 et Plim=1%} quand le réseau existant est augmenté de 7, 10 et 15 nouvelles stations parmi 32 localisations candidates, qui représentent le cas d’un grand nombre de solutions à tester. Alors que dans le cas de 20 ou 25 nouvelles stations, c'est-à-dire correspondant à un petit nombre de solutions à tester, les paramètres calés du SA sont {EA=0.9 ; =0.9 ; n1= 10 et Plim=1%}. Les résultats obtenus suggèrent que des valeurs plus faibles de EA pourraient être utilisées pour le cas d’un petit nombre de solutions à tester. Ceci semble être raisonnable puisque la probabilité d’accepter une transition à partir de la configuration initiale vers une configuration candidate, qui coûte plus que la configuration initiale (dans un problème de minimisation) est supposée être plus petite quand le nombre de solutions à tester est plus réduit.

Tableau III.11. Résultats des paramètres du SA (20 et 25 nouvelles stations - variogramme de 1973)

Paramètres Résultats Nombre des nouvelles stations EA n1 Plim FO

Nombre d’itérations

0.9 0.9 10 1% 10.41 19502 20 0.9

5 0.9

10 1% 10.41 20099 0.9 0.9 10 1% 10.41 28386

25 0.95

0.9 10 1% 10.41 32619

III-3-2- Calage des paramètres internes du SA en utilisant le variogramme de l'événement de 2003

En utilisant la structure du variogramme de l'événement 2003, l’adoption de la même démarche de calage des paramètres du SA pour le cas d’extension du réseau existant par 7 nouvelles stations conduit à deux groupes de paramètres du SA {EA=0.99 ; =0.9 ; n1=10 et Plim=5%} et {EA=0.99 ; =0.9 ; n1=10 et Plim=1%}. Ces deux alternatives présentent les mêmes résultats en termes de fonction objectif et temps d'exécution. Ces deux jeux de paramètres se distinguent seulement par la valeur attribuée à Plim. Par conséquent, 50 simulations supplémentaires ont été performées dont les résultats sont reportés à la Figure III.42. Cette figure montre qu’en adoptant la valeur Plim=1%, le nombre des solutions optimales est de 40 tandis qu'il est seulement de 26 pour Plim=5%, dans les 50 simulations. En



plus, la plus mauvaise solution donnée pour Plim=1% (FO= 208.75 (mm/h)2) est meilleure que la plus mauvaise solution donnée pour Plim=5% (FO= 210.46 (mm/h)2). Par conséquent, le jeu de paramètres {EA=0.99 ; =0.9 ; n1=10 and Plim=1%} est retenu pour le cas d’extension du réseau pluviographique existant par 7 nouvelles stations parmi les 32 localisations candidates.

La Figure 4.41 reporte également les sept stations optimales qui améliorent le mieux la variance moyenne de l’erreur d’estimation par krigeage de l’intensité maximale sur une heure en adoptant le variogramme de 2003.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

208,09 208,69 208,76 209,61 210,46

Fonction objectif ((mm/h)2)

No

mb

re d

e so

luti

on

s

plim=0.05

plim=0.01

Figure III.42. Effet de Plim sur la distribution des solutions en utilisant le variogramme de 2003

III-3-2-a- Sensibilité des paramètres internes du SA à la taille du réseau pour l'événement de 2003

Les paramètres optimaux du SA obtenus sont présentés dans le Tableau III.12 pour différentes tailles hypothétiques du réseau final en adoptant la structure du variogramme de l'événement 2003. Nous constatons que les jeux des paramètres diffèrent par les valeurs de EA, n1 et Plim. Dans le cas des grandes extensions (20 et 25 nouvelles stations parmi 32), le jeu optimal des paramètres du SA est {EA=0.9 ; =0.9 ; n1=5 and Plim=5%}, alors que pour les petites tailles du réseau (10 et 15 nouvelles stations parmi 32), les paramètres optimaux du SA sont {EA=0.99 ; =0.9 ; n1=10 and Plim=1%}. Notons que ce dernier jeu de paramètres est identique à celui obtenu précédemment dans le cas d’augmentation du réseau existant par 7 nouvelles stations avec le variogramme de 1973.

Le Tableau III.13 confirme que, pour le cas d’extension du réseau existant par 20 ou 25 nouvelles stations parmi 32, le jeu de paramètres {EA=0.9; =0.9; n1=5 and Plim=5%} semble être la meilleure combinaison des paramètres du SA du point de vue du nombre d'itérations pour le variogramme de 2003.



Tableau III.12. Résultats pour les paramètres du SA (variogramme de 2003)


nouvelles stations EA n1 Plim

Nombre des solutions non-optimales dans les 20

simulations

La plus mauvaise solution (différence par rapport à

l’optimum) 10 0.99 0.9 10 1% 2 FO=195.3 (mm/h)2(0.11%) 15 0.99 0.9 10 1% 4 FO=183.2 (mm/h)2(0.1%) 20 0.9 0.9 5 5% 4 FO=178.3 (mm/h)2(0.1%) 25 0.9 0.9 5 5% 0 -

Tableau III.13. Résultats pour les paramètres du SA (20 et 25 nouvelles stations -

variogramme de 2003)


nouvelles stations EA n1 Plim FO Itérations

0.9 0.9 5 5% 178.16 7920 20

0.99 0.9 10 1% 178.16 22487 0.9 0.9 5 5% 178.10 12524

25 0.99 0.9 10 1% 178.10 35856

III-3-3- Comparaison des paramètres internes optimaux du SA et des configurations des réseaux optimaux pour les deux variogrammes

Pour les variograms 1973 et 2003, la comparaison des paramètres internes optimaux du SA fait ressortir que le facteur de refroidissement reste inchangé ( =0.9) pour tous les scénarios d’extension du réseau. En ce qui concerne l'influence de la taille d’extension, dans chaque cas, deux jeux de paramètres optimaux sont obtenus dans deux situations différentes. En effet, il y a une différentiation entre les petites échelles d’extension du réseau pluviographique (7, 10, 15 sites choisis parmi 32 localisations candidates, c'est-à-dire de 20% à 50% des candidats à choisir) comparativement aux scénarios d’extension du réseau existant plus étendus (20 ou 25 nouveaux endroits à choisir parmi 32 localisations candidates, c'est-à-dire plus de 60% des candidats à choisir). Différents jeux optimaux des paramètres du SA sont obtenus pour de tels scénarios d’extension du réseau pluviographique et sont rapportés dans le Tableau III.14. La valeur la plus basse EA=0.9 est obtenue quand la possibilité de choix est faible (20 et 25 nouveaux sites parmi 32, donnant un effet de « saturation ») et ceci pour les deux variogrammes de 1973 et 2003. Cependant, EA=0.95 est obtenu pour le variogramme reflétant une variabilité spatiale de la pluie plus petite (événement de 1973 avec portée=60 km et palier=21 (mm/h)2) tandis que EA=0.99 est obtenu pour la structure de variogramme la plus variable (événement de 2003 avec portée=160km et palier=1000(mm/h)²). EA semble être plus sensible en ce qui concerne la taille de l'augmentation du réseau comparativement au choix offert (le nombre de stations candidates). En fait, une augmentation de 7 stations présente un nombre énormément plus grand de solutions possibles qu'une augmentation de 25 stations sur 32 localisations candidates. Les autres paramètres demeurent sans changement (n1= 10 et Plim=1%) dans le cas d’une variabilité spatiale de la pluie plus petite (cas de l’événement de 1973) même lorsque la taille du problème change. Cette combinaison s’avère aussi être la meilleure dans le cas d'une plus grande variabilité de la pluie (cas de l’événement de 2003) sous un plus grand nombre de solutions possibles (7, 10, 15 sites sur 32 localisations candidates). Cependant, les résultats



donnent une valeur plus faible pour n1 et une valeur plus grande pour Plim (n1= 5 et Plim=5%) dans le cas d'une plus grande variabilité de la pluie (2003) et d’un petit nombre de solutions possibles (choisir 20 ou 25 sites parmi 32 localisations candidates). Ainsi comme le montre le Tableau III.14, les paramètres internes du SA semblent se compenser selon la taille du problème d’extension du réseau et selon l'importance de la variabilité de la pluie.

Bien que les deux structures de variogrammes adoptées soient très différentes, une investigation plus poussée avec beaucoup plus de variogrammes à l’appui et en modifiant la taille du réseau initial pourrait peut-ête conduire à des conclusions plus générales. D’après cette petite expérience, les paramètres internes optimaux du recuit simulé dépendent du cas d’étude. Ainsi, d’un point de vue opérationnel, l’adoption d’un variogramme différent des deux variogrammes traités nécessitera une analyse de sensibilité pour le choix des paramètres du SA. Cette analyse de sensibilité s’effectue en faisant varier chaque paramètre du SA autour des valeurs choisies précédemment par calage, tout en gardant fixes les autres paramètres et en retenant par la suite les valeurs qui assurent les meilleurs niveaux d’efficience et d’efficacité de l’algorithme.

Quel est l’effet de la valeur de ces paramètres internes sur la configuration optimale du réseau ? C’est ce que nous essayons d’interpréter à partir du Tableau III.15 qui présente les codes des stations optimales, pour chaque variogramme, pour chaque taille du réseau optimal et obtenus en utilisant les paramètres calés dans chaque cas. Les codes des stations qui sont diffèrentes sont indiqués en gras dans le Tableau III.15. Les réseaux optimaux sont parfaitement semblables si le réseau existant est augmenté par 15 nouvelles stations et diffèrent par juste une ou deux stations dans les autres cas. Il nous semble qu’il y a, pour ce problème précis du moins, une faible sensibilité de la solution optimale (le réseau) à la selection des paramètres internes (sachant que ceux-ci sont optimaux).

Tableau III.14. Résultats pour les paramètres du SA (variogrammes de 1973 et 2003) Augmenter le réseau

existent par Paramètres optimaux du SA

(variogramme de 1973) Paramètres optimaux du SA

(variogramme de 2003) 7 - 10 - 15 nouvelles stations (de 20% à 50% des candidats

à trouver)

{EA=0.95 ; α=0.9 ; n1=10 ; Plim= 1%} {EA=0.99 ; α=0.9 ; n1=10 ; Plim = 1%}

20 - 25 nouvelles stations (plus de 60% des candidats à

trouver)

{EA=0.9 ; α=0.9 ; n1=10 ; Plim= 1%} {EA=0.9 ; α=0.9 ; n1=5 ; Plim= 5%}

Tableau III.15. Ensemble des solutions en utilisant les variogrammes de 1973 et 2003

Augmenter le réseau

existant par

Ensemble de solution en utilisant la structure du variogramme de

1973

Ensemble de solution en utilisant la structure du variogramme de

2003 7 nouvelles

stations {S5, S14, S17, S21, S26, S27, S30} {S5, S13, S14, S17, S21, S26, S27}

10 nouvelles stations

{S5, S14, S17, S18, S20, S21, S23, S26, S27, S30}

{S5, S13, S14, S17, S18, S20, S21, S26, S27, S30}


{S1, S5, S13, S14, S17, S18, S19, S20, S21, S23, S26, S27, S29, S30,

S31}

{S1, S5, S13, S14, S17, S18, S19, S20, S21, S23, S26, S27, S29, S30,

S31} 20 nouvelles {S1, S5, S9, S13, S14, S16, S17, {S2, S5, S9, S13, S14, S16, S17,



stations S18, S19, S20, S21, S22, S23, S24, S26, S27, S29, S30, S31, S32}

S18, S19, S20, S21, S22, S23, S24, S26, S27, S29, S30, S31, S32}


{S1, S5, S6, S7, S9, S10, S13, S14, S15, S16, S17, S18, S19, S20, S21, S22, S23, S24, S25, S26, S27, S29,

S30, S31, S32 }

{S1, S4, S5, S7, S8, S9, S10, S13, S14, S16, S17, S18, S19, S20, S21, S22, S23, S24, S25, S26, S27, S29,

S30, S31, S32 }

III-4- OPTIMISATION DU RESEAU PLUVIOGRAPHIQUE POUR L’ESTIMATION

SPATIALE DE L’INTENSITE DE PLUIE

III-4-1- Optimisation du réseau pluviographique sur la base de l’événement de Mars 1973

Le réseau pluviographique existant dans la zone étudiée est composé de 13 stations dont 7 seulement appartiennent à l’ensemble des bassins 3 et 5 et les 6 autres pluviograhes sont limitrophes. De nouveaux sites, qui offrent les meilleures estimations de la variable étudiée (intensité de la pluie) sur toute la zone étudiée constituée par les bassins 3 et 5, sont sélectionnés par l’algorithme d'optimisation du SA pour divers scénarios. L'objectif est donc de concevoir une extension du réseau initial constitué des 13 pluviographes en augmentant successivement sa taille par 25, 50 et 100 % (respectivement scénario 1, 2 et 3). Ces trois scénarios impliquent respectivement : (1) un réseau composé de 16 pluviographes, (2) un réseau composé de 19 pluviographes et (3) un réseau composé de 26 pluviographes, tous contenant les 13 stations existantes en 1973. Selon l'OMM (WMO, 1994), la densité minimale recommandée est de 1 station par 600 km2 pour les zones des plaines méditerranéennes dans des conditions difficiles c’est à dire par exemple des sites où les stations sont difficiles à installer et à entretenir, peut-être à cause de la topographie accidentée ou de l’inaccessibilité du site. Ainsi, nous concevons une autre application consistant à augmenter le réseau initial de 1973 pour répondre à l'exigence minimale de l'OMM concernant la densité spatiale du réseau (scénario 4). Cela correspond à un ajout de 21 nouvelles stations, afin que le réseau total soit composé de 34 pluviographes pour surveiller une superficie de plus de 20 000 km2. Un nombre de stations candidates Nc = 40 a été sélectionné pour les scénarios 1, 2 et 3. Par contre, étant donné que le nombre de postes nouveaux mis en jeu est plus grand et afin de tenir compte de la saturation mentionnée dans le paragraphe précédent, les nouvelles stations seront sélectionnées à partir de 60 localisations candidates en scénario 4. Ces 60 localisations contiennent les 40 stations candidates considérées précédemment. Ces stations seront désignées par leurs codes notés de 1 à 60. (Figure III.43).

Dans cette partie nous utiliserons les paramètres internes du SA suivants {EA=0.95 ; α=0.9 ; n1=10 ; Plim= 1%} puisque les quatre scénarios étudiés correspondent tous à des pourcentages des candidats à choisir inférieures à 50%. En effet, les scénarios 1, 2 et 3, qui consistent à choisir respectivement 3, 6 et 13 stations parmi 40 localisations candidates, impliquent à caser respectivement 8%, 15% et 33% des candidats. Le scénario 4 de choix de 21 stations parmi 60 localisations candidates consiste à identifier 35% des candidats.



Figure III.43. Répartition spatiale des pluviographes existants de 1973 et des stations candidates

III-4-1-1- Extension du réseau pluviographique en utilisant l’approche 2D

La minimisation de la variance moyenne spatiale de l'erreur d'interpolation par krigeage de l'intensité maximale sur une durée d'une heure conduit aux résultats de la Figure III.44 qui illustre la répartition spatiale des nouveaux pluviographes choisis par optimisation. Dans le scénario 1 (trois nouvelles stations), les sites sélectionnés sont à l'intérieur des zones où les valeurs des écarts-types σi(I2D-1h)

(1973) sont les plus importantes. Par exemple, une

nouvelle station (code = 7) est située dans la partie sud du bassin BV5 dans la zone où σ90%(I2D-

1h)(1973)

< σi(I2D-1h)(1973)

< σ95%(I2D-1h)(1973). La deuxième station (code = 16) se trouve dans la

zone où σ75%(I2D-1h)(1973)

< σi(I2D-1h)(1973)

< σ90%(I2D-1h)(1973)

dans la partie centrale du BV5. La troisième station (code = 29) est située à la frontière nord du BV3 où σ90%(I2D-1h)

(1973) < σi(I2D-

1h)(1973)

< σ95%(I2D-1h)(1973). Ainsi, l’extension a concerné des zones où σi(I2D-1h)

(1973) > σ75%(I2D-

1h)(1973), ce qui pourrait présenter un résultat pratique intéressant pour un analyste qui ne désire

pas utiliser un algorithme d’optimisation mais simplement la carte des écarts-types de krigeage et leurs quantiles. Dans le scénario 2, un site (code = 5) est sélectionné dans le sud du BV5 où σ90%(I2D-1h)

(1973) < σi(I2D-1h)

(1973) < σ95%(I2D-1h)

(1973), trois autres (codes = 9, 16, 19) dans la partie centrale de BV5 où σ75%(I2D-1h)

(1973) < σi(I2D-1h)

(1973) < σ90%(I2D-1h)(1973) et les deux

autres (codes = 26, 30) dans la partie du BV3 où où σ75%(I2D-1h)(1973)

< σi(I2D-1h)(1973) < σ90%(I2D-

1h)(1973) (Fig. III.28). Dans le scénario 3, les nouvelles stations sont réparties sur le BV3 avec

deux sites (codes = 23, 25) à la frontière avec le BV5 où σ50%(I2D-1h)(1973) < σi(I2D-1h)

(1973) < σ75%(I2D-1h)

(1973), deux sites (27, 34) dans la zone où σ50%(I2D-1h)(1973) < σi(I2D-1h)

(1973) < σ75%(I2D-

1h)(1973) dans la partie centrale du BV3 et une station (code = 29) dans la zone où σ90%(I2D-

1h)(1973) < σi(I2D-1h)

(1973) < σ95%(I2D-1h)(1973). Dans ce scénario, la partie sud du BV5 serait couverte

$T $T $T

$T $T

$T $T $T

$T $T $T $T $T

$T $T $T $T

$T $T $T

$T $T

$T $T

$T

$T$T $T

$T $T $T$T

$T $T

$T

$T

$T$T

$T

$T

$T

$T $T

$T

$T

$T$T $T $T

$T$T

$T$T $T $T

$T

$T

$T$T

$T

%[%[

%[%[

%[

%[

%[

%[

%[

%[

%[

%[%[

BV 6

BV 5

BV 4

1 2 3

4 5

6 7 8

9 10 11 12 1314 15 16 17

18 19 20

21 22

23 2425

26 27 2829 30 31 32

33 3435

36

3738

39

40

41

42 43

44

45

46 47 48 4950

515253 54 55

56

5758 59

60

0 100000 200000 Kilometers

$T 60 stations candidates

%[ Réseau de 1973

kilomètres



par deux pluviographes (codes = 2, 4) dans la zone où σi(I2D-1h)(1973) > σ95%(I2D-1h)

(1973), et par trois stations (codes = 8, 9, 16) dans la zone où σ75%(I2D-1h)

(1973) < σi(I2D-1h)(1973) < σ90%(I2D-1h)

(1973).

Parmi les 13 nouvelles stations, nous avons aussi trois sites (codes = 17, 21, 32) dans la zone où σ50%(I2D-1h)

(1973) < σi(I2D-1h)(1973) < σ75%(I2D-1h)

(1973) dans le BV5 (Fig. III.28). Ainsi pour un plus

grand nombre de sites recherchés (13 sur 40), la solution se trouve dans les régions où le quantile σ50%(I2D-1h)

(1973) est dépassé.

Le Tableau III.16 montre bien que la variance d’estimation moyenne optimale diminue quand la taille du réseau augmente, ce qui reflète l’augmentation de la précision d’estimation spatiale avec l'augmentation du nombre de pluviographes.

Un gain relatif par station ajoutée est évalué en adoptant la diminution relative de la variance moyenne comparativement au réseau initial, rapportée au nombre de nouveaux postes. Il s’agit ainsi de la diminution relative de la fonction objectif par nouveau poste.

A l’appui de ce critère, la plus grande amélioration de la précision spatiale s’obtient avec l'ajout de trois nouvelles stations par rapport aux 13 initiales. Avec une valeur de référence de la variance moyenne obtenue avec le réseau initial de 1973 en adoptant le variogramme de 1973 égale à 16.41 (mm/h)2, le gain relatif est égal à 0.06 pour le scénario 1 et diminue très peu quand on augmente la taille du nouveau réseau (0.05 pour le scénario 2, 0.04 pour le scénario 3 et 0.03 pour le scénario 4). Le gain relatif n’est pas assez sensible comme critère pour discriminer les scénarios dans ce cas de figure.

Tableau III.16. Evolution du gain relatif avec l’augmentation de la densité du réseau dans l’objectif de cartographie de I2D-1h (Mars 1973)

Augmenter le réseau existant par La variance moyenne spatiale de krigeage

((mm/h)2) Gain relatif (1)

scénario 1 : 3 postes nouveaux) 13.4 0.06 scénario 2: 6 postes nouveaux) 11.6 0.05 scénario 3: 13 postes nouveaux) 8.9 0.04 160% (Densité normative de l’OMM)

(scénario 4: 21 postes nouveaux) 7.1 0.03

(1): gain relatif= (((I2D-1h)(1973)(réseau existant de 1973)-

(I2D-1h)(1973)(réseau de 1973 augmenté))/(I2D-1h)(1973)(réseau

existant de 1973)))/nombre des nouvelles stations



Figure III.44. Répartition spatiale des nouveaux pluviographes choisis par optimisation en utilisant l’approche 2D (Mars 1973) (seuls BV3 et BV5 sont concernés par

l’optimisation)

III-4-1-2- Extension du réseau pluviographique en utilisant l’approche 3D

Le variogramme 3D relatif à l’événement de 1973, est utilisé maintenant pour l’optimisation du réseau pluviographique en suivant la même démarche que précédemment, c'est-à-dire en suivant les 4 scénarios définis plus haut avec les mêmes stations candidates et en utilisant l’algorithme d'optimisation du SA avec les mêmes paramètres internes {EA=0.95 ; α=0.9 ; n1=10, Plim= 1%}. La Figure III.45 illustre la répartition spatiale des nouveaux pluviographes sélectionnés. Dans le scénario 1 (trois nouvelles stations), les nouveaux sites sont à l'intérieur des zones où les valeurs des écarts-types σi(I3D)

(1973) sont les plus importantes. Par exemple, une nouvelle station (code=2) est située dans la partie sud du bassin BV5 dans la zone où σi(I3D)

(1973) > σ95%(I3D)(1973). La deuxième station (code=6) se trouve

dans la zone où σ90%(I3D)(1973) < σi(I3D)

(1973) < σ95%(I3D)(1973) aussi dans la partie sud du bassin

BV5. La troisième station (code =29) est située à la frontière nord du BV3 où σ90%(I3D)(1973) <

σi(I3D)(1973) < σ95%(I3D)

(1973). Ainsi, l’extension a concerné des zones où σi(I3D)(1973) >

σ90%(I3D)(1973). Dans le scénario 2, deux sites (codes = 2,6) sont sélectionnés dans le sud du BV5

où σi(I3D)(1973) > σ95%(I3D)

(1973), un autre (code = 16) dans la partie centrale de BV5 où σ50%(I3D)

(1973) < σi(I3D)(1973) < σ75%(I3D)

(1973). Les trois autres stations se trouvent dans le BV3 avec deux sites dans la zone où σ75%(I3D)

(1973) < σi(I3D)(1973) < σ90%(I3D)

(1973) et une station (code=36) dans la zone où σ50%(I3D)

(1973) < σi(I3D)(1973) < σ75%(I3D)

(1973) (Fig. III.29). Dans le scénario 3, les nouvelles stations sont réparties sur le BV3 avec un site (code = 23) à la frontière avec le BV5 où σ50%(I3D)

(1973) < σi(I3D)(1973) < σ75%(I3D)

(1973), deux sites (codes=29, 34) dans la zone où σ75%(I3D)

(1973) < σi(I3D)(1973) < σ90%(I3D)

(1973) et une station (code=36) dans la zone où σ50%(I3D)(1973)

< σi(I3D)(1973) < σ75%(I3D)

(1973). Dans ce scénario, la partie sud du BV5 serait couverte par deux

kilomètres



nouveaux pluviographes (code=1, 37) dans la zone où σi(I3D)(1973) > σ95%(I3D)

(1973) mais par un seul (code=3) dans la zone où σ90%(I3D)

(1973) < σi(I3D)(1973) < σ95%(I3D)

(1973). .Parmi les 13 nouvelles

stations, nous avons aussi deux pluviographes (codes=7, 9) dans la zone où σ75%(I3D)(1973) <

σi(I3D)(1973) < σ90%(I3D)

(1973) et trois sites (codes=16, 19, 32) dans la zone où σ50%(I3D)(1973) <

σi(I3D)(1973) < σ75%(I3D)

(1973) dans le BV5 (Fig. III.29). Globalement, pour les 3 scénarios, il s’agit des mêmes valeurs seuils c'est-à-dire les quantiles σ50%, σ75%, σ90% et σ95% que pour dans le cas 2D-1h, ce qui est encourageant concernant la robustesse des résultats trouvés.

Le Tableau III.17 compare les précisions spatiales des différents réseaux optimaux. Notons que la valeur de référence de la variance moyenne obtenue avec le réseau initial de 1973 en adoptant le variogramme 3D est de 34.86 (mm/h)2. Le gain relatif est égal à 0.12 pour l’ajout de trois postes (scénario 1) et il diminue assez rapidement avec la taille d’extension (Tableau III.17). Ainsi, on peut conclure que le scénarios 3 (ajout de 13 stations) atteint les limites du gain d’information pour le critère de cartographie des pluies de 1 heure, ce qui place la taille du réseau largement en dessous des limites recommandées par l’OMM (21 nouveaux postes).

Il est intéressant de noter que le variogramme 3D a permis d’arriver à « optimiser » la taille du nouveau réseau, alors que l’étude de l’intensité conditionnelle avec une durée de référence de 1 h n’a pas permis cela (Tableau III.16).

Figure III.45. Répartition spatiale des nouveaux pluviographes choisis par optimisation (Approche 3D - Mars 1973) (seuls BV3 et BV5 sont concernés par l’optimisation)

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BV 5 BV 4

BV 3

0 100000 200000 Kilometers

%[ Réseau existant de 1973 Ú Scénario 1: 3 stations optimales$T Scénario 2: 6 stations optimalesð Scénario 3: 13 stations optimales

kilomètres



Tableau III.17. Réduction de l’incertitude avec l’augmentation de la densité du réseau dans l’objectif de la cartographie fiable de I3D (Mars 1973)

Augmenter le réseau existant par La variance moyenne spatiale de

krigeage ((mm/h)2) Gain relatif(1)

scénario 1: 3 postes nouveaux) 22.78 0.12 scénario 2: 6 postes nouveaux) 19.16 0.08

scénario 3: 13 postes nouveaux)

14.86 0.04

160% (Densité normative de l’OMM) (scénario 4: 21 postes nouveaux)

12.22 0.03

(1): gain relatif= (((I3D)(1973)(réseau existant de 1973)-

(I3D)(1973)(réseau de 1973 augmenté))/(I3D)(1973)(réseau existant

de 1973)))/nombre des nouvelles stations

III-4-1-3- Comparaison des solutions pour les deux approches 2D et 3D

La comparaison des réseaux optimaux obtenus pour les deux approches 2D-1h et 3D fait ressortir des différences plus importantes que précédemment lors de l’utilisation de deux variogrammes différents en 2D. En effet, on arrive à 14 postes différents sur 21 choisis, 6 sites différents sur 13 choisis, 3 postes différents sur 6 choisis et 2 sites différents sur 3 choisis, respectivement pour les scénarios 4, 3, 2 et 1. Par conséquent, nous avons des écarts qui varient de 46% à 67% dans les décisions pour les deux approches 2D et 3D. Le Tableau III.18 présente les codes des stations optimales pour chaque approche pour chaque taille du réseau optimal. Les codes des stations qui sont différents pour les deux approches sont indiqués en gras dans ce tableau. Tableau III.18. Comparaison des solutions entre l’approche 2D et l’approche 3D basée

sur l’étude de l’intensité

Augmenter le

réseau existant par Solution pour l’approche

2D (40 candidats) Solution pour l’approche 3D (40

candidats) Densité normative de

l’OMM) (scénario 4: 21 postes nouveaux)

{1, 3, 6, 10, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 25, 27, 29, 32, 34,

38, 46, 48, 49, 52, 53}

{2, 3, 6, 10, 11, 14, 21, 23, 26, 32, 33, 35, 36, 37, 38, 40, 41, 43, 50, 55,

58}

(scénario 3: 13 postes nouveaux)

{2, 4, 8, 9, 16, 17, 21, 23, 25, 27, 29, 32, 34}

{1, 3, 7, 9, 16, 19, 23, 25, 29, 32, 34, 36, 37}


{5, 9, 16, 19, 26, 30} {2, 6, 16, 26, 30, 36}


{7, 16, 29} {2, 6, 29}

La comparaison des Tableaux III.16 et III.17 fait ressortir que l’approche 3D permet

d’avoir une amélioration de la précision spatiale plus nette que l’approche 2D pour les scénarios 1 et 2. Pour les scénarios 3 et 4 (grande extension), les deux approches 2D et 3D donnent les mêmes gains relatifs. Un avantage supplémentaire de l’approche 3D est ainsi souligné pour les petites augmentations du réseau (grand choix possible).



III-4-2- Optimisation du réseau pluviographique sur la base de l’événement de Janvier 2003

Les résultats de l’extension du réseau en utilisant le variogramme de 2003 avec réseau de référence celui de 1973 sont présentés ici. C’est toujours dans l’objectif de minimiser la variance moyenne spatiale de l'erreur d'interpolation par krigeage de l'intensité maximale sur une heure. On est donc ici dans le cas 2D-1h en utilisant le variogramme de 2003. La même démarche que précédemment est suivie c'est-à-dire 4 scénarios tels que définis plus haut étudiés avec les mêmes stations candidates.

Dans cette partie nous utiliserons les paramètres internes du SA suivants {EA=0.99 ; α=0.9 ; n1=10 ; Plim= 1%} puisque les quatre scénarios étudiés correspondent tous à des pourcentages des candidats à choisir inférieures à 50%.

La Figure III.46 illustre la répartition spatiale du réseau optimal obtenu pour chaque scénario. Dans le scénario 1 (trois nouvelles stations), les sites sélectionnés sont à l'intérieur des zones où les valeurs des écarts-types σi(I2D-1h)

(2003) sont les plus importantes. Par exemple, une nouvelle station (code = 4) est située dans la partie sud du bassin BV5 dans la zone où σ(I2D-1h)

(2003) > σ95%(I2D-1h)(2003). La deuxième station (code = 16) se trouve dans la zone où

σ50%(I2D-1h)(2003) < σi(I2D-1h)

(2003) < σ75%(I2D-1h)(2003) dans la partie centrale du BV5. La troisième

station (code = 29) est située à la frontière nord du BV3 où σ75%(I2D-1h)(2003) < σi(I2D-1h)

(2003) < σ90%(I2D-1h)

(2003). Dans le scénario 2, un nouveau site (code = 2) est sélectionné dans le sud du BV5 où σ(I2D-1h)

(2003) > σ95%(I2D-1h)(2003), un autre (code= 9) se trouve dans la zone où σ75%(I2D-

1h)(2003) < σi(I2D-1h)

(2003) < σ90%(I2D-1h)(2003) et deux autres sont sélectionnés dans la zone où

σ50%(I2D-1h)(2003) < σi(I2D-1h)

(2003) < σ75%(I2D-1h)(2003). Les deux autres stations retenues (codes = 26,

30) dans la partie du BV3 où σ75%(I2D-1h)(2003) < σi(I2D-1h)

(2003) < σ90%(I2D-1h)(2003) (Fig. III.37).

Dans le scénario 3, les nouvelles stations sont réparties sur le BV3 avec deux sites (code = 23, 36) dans la zone où σ50%(I2D-1h)

(2003) < σi(I2D-1h)(2003) < σ75%(I2D-1h)

(2003) et deux autres sites (codes=26, 30) dans la zone où σ75%(I2D-1h)

(2003) < σi(I2D-1h)(2003) < σ90%(I2D-1h)

(2003). Dans ce scénario, la partie sud du BV5 serait couverte par un pluviographe (code = 1) dans la zone où σi(I2D-1h)

(2003) > σ95%(I2D-1h)(2003), par deux stations (codes=3,6) dans la zone où σ90%(I2D-1h)

(2003) < σi(I2D-1h)

(2003) < σ95%(I2D-1h)(2003) et par deux stations retenues (codes=10,14) dans la zone où

σ75%(I2D-1h)(2003) < σi(I2D-1h)

(2003) < σ90%(I2D-1h)(2003)

. Parmi les 13 nouvelles stations, nous avons aussi trois sites (codes=16,17, 21) dans le BV5 dans la zone où σ50%(I2D-1h)

(2003) < σi(I2D-1h)(2003) <

σ75%(I2D-1h)(2003) (Fig. III.37). Ainsi les quantiles d’écart-type 50%, 75%, 90%, 95%, qui ont

constitué des valeurs seuils, restent identiques aux cas 2D-1h (1973) et 3D (1973), selon le nombre de stations ajoutées.

Le Tableau III.19 montre que la plupart de l'amélioration de la précision spatiale réside dans le cas de l'ajout de trois nouvelles stations puisque le gain relatif par station ajoutée est égal à 0.11 pour le scénario 1 contre 0.07 pour le scénario 2, 0.04 pour le scénario 3 et 0.03 pour le scénario 4. Notons que la valeur de référence de la variance moyenne obtenue avec le réseau initial de 1973 en adoptant le variogramme de 2003 est de 339.49 (mm/h)2.

D’autre part, il faut souligner que le gain relatif du scénario 1 (ajout de trois postes seulement) pour le variogramme de 2003 (0.11) et celui du cas 3D pour Mars 1973 (0.12) sont du même ordre de grandeur.



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BV 6

BV 5BV 4

BV 3

0 100000 200000 Kilometers

%[ Réseau existant de 1973 Ú Scénario 1: 3 stations optimales$T Scénario 2: 6 stations optimalesð Scénario 3: 13 stations optimales

Figure III.46. Répartition spatiale des nouveaux pluviographes choisis par optimisation (Approche I2D-1h - Janvier 2003)

Tableau III.19. Evolution du gain avec l’augmentation de la densité du réseau dans

l’objectif de cartographie de I2D-1h (Janvier 2003)

Augmenter le réseau existant par La variance moyenne spatiale de krigeage

((mm/h)2) Gain relatif(1)

scénario 1 : 3 postes nouveaux) 231.14 0.11 scénario 2: 6 postes nouveaux) 195.50 0.07 scénario 3: 13 postes nouveaux) 152.95 0.04 160% (Densité normative de l’OMM)

(scénario 4: 21 postes nouveaux) 125.91 0.03

(1): gain relatif= (((I2D-1h)(2003)(réseau existant de 1973)-

(I2D-1h)(2003)(réseau de 1973 augmenté))/(I2D-1h)(2003)(réseau

existant de 1973)))/nombre des nouvelles stations

III-4-3- Comparaison des réseaux optimaux obtenus pour les variogrammes des deux événements de 1973 et 2003

La comparaison des réseaux optimaux obtenus pour les variogrammes des deux événements de 1973 et 2003 en 2D fait ressortir des différences plus importantes que précédemment lors du calage des paramètres internes du SA avec les mêmes variogrammes. Cependant, il faut souligner que dans ce cas, il fallait choisir des stations parmi 40 candidats (et non parmi 32 tel que dans le calage des paramètres du SA de la partie III-3). La

kilomètres



comparaison des Tableaux III.16 et III.19 fait ressortir que le variogramme de 2003 qui traduit une variabilité spatiale plus forte met plus en évidence le gain provenant de l’augmentation de la taille du réseau. En utilisant le variogramme de 1973 (dénotant une variabilité spatiale plus réduite), le gain apporté par l’extension de réseau est moins clair. Ces résultats sont cohérents puisque sous l’influence d’un phénomène pluvieux avec une plus grande variabilité dans l’espace, une densité spatiale plus grande du réseau est requise.

Le Tableau III.20 présente les codes des stations optimales pour chaque variogramme en adoptant le krigeage ordinaire en 2D pour chaque taille du réseau optimal. Les codes des stations qui sont différents pour les deux approches sont indiqués en gras dans ce tableau. Pour le scénario 1, les deux réseaux diffèrent seulement par un endroit sur 3 choisis. Pour le scénario 2, les deux réseaux optimaux diffèrent par deux postes sur 6 choisis. Par contre, pour le scénario 3, les deux réseaux diffèrent par 8 postes sur 13 choisis. Pour le scénario 4, ils diffèrent par 3 postes choisis sur 21. Par conséquence, nous avons des écarts qui varient de 14% à 62%.

Tout ce qui précède permet de conclure que globalement la solution optimale dépend de l'importance de la variabilité de la pluie à l’appui de laquelle la fonction objectif est estimée et qui constitue une hypothèse de travail. Etant donné que nous n’avons que deux variogrammes (2D) pour étudier le réseau des bassins 3 et 5, cela justifie que nous ayons opté pour le développement d’une approche d’optimisation robuste (en III-8) dont l’avantage est d’obtenir une solution valable pour des événements pluvieux de récurrence différente.

Tableau III.20. Comparaison des solutions entre le variogramme de 1973 et le variogramme de 2003 (Approche I2D-1h)

Augmenter le réseau existant par

Solution en utilisant le variogramme de 1973 (KO-2D et

SA {EA=0.95 ; α=0.9 ; n1=10 ; Plim= 1%})

Solution en utilisant le variogramme de 2003 (KO-2D

et SA {EA=0.99 ; α=0.9 ; n1=10 ; Plim= 1%})

Densité normative de


{1, 3, 6, 10, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 25, 27, 29, 32, 34, 38, 46, 48, 49,

52, 53}

{1, 3, 6, 10, 11, 13, 14, 18, 20, 21, 25, 27, 29, 32, 34, 38, 43, 46,

49, 52, 53}


{2, 4, 8, 9, 16, 17, 21, 23, 25, 27, 29, 32, 34}

{1, 3, 6, 10, 14, 16, 17, 21, 23, 25, 26, 30, 36 }


{5, 9, 16, 19, 26, 30} {2, 9, 11, 19, 26, 30}


{7, 16, 29} {4, 16, 29}

III-5- OPTIMISATION DU RESEAU PLUVIOGRAPHIQUE POUR L’ESTIMATION

SPATIALE DE L’INDICE D’EROSIVITE DE LA PLUIE

Pour atteindre ce deuxième objectif d'optimisation, la variance moyenne spatiale de l'erreur d'interpolation par krigeage de l’indice d’érosivité est minimisée en utilisant toujours les mêmes scénarios 1, 2, 3 et 4 avec respectivement 16, 19, 26 ou 34 pluviographes finaux, tous contenant les 13 stations fonctionnant en 1973. L’interpolation de R est effectuée par krigeage en adoptant l'intensité maximale sur une heure comme dérive externe. La Figure III.47 illustre la répartition spatiale des nouveaux pluviographes choisis par optimisation.



Dans le scénario 1, les trois stations additionnelles seraient situées dans les zones où les valeurs des écarts types sont les plus importantes comme le montre la Figure III.34. En effet, une nouvelle station (code = 7) est située dans la partie sud du bassin BV5 dans la zone où σ90%(R)

(1973) < σi(R)

(1973) < σ95%(R)

(1973). La deuxième station (code = 16) se trouve dans la zone où σ75%(R)

(1973) < σi(R)

(1973) < σ90%(R)

(1973) dans la partie centrale du BV5. La troisième station (code = 29) est située à la frontière nord du BV3 où σ90%(R)

(1973) < σi(R)

(1973) < σ95%(R)

(1973). Ainsi les percentiles d’écart-type qui ont constitué des valeurs seuils restent identiques 75%, 90% et 95% au cas 2D-1h (1973). Dans le scénario 2, la partie Sud du BV5 recevrait une nouvelle station (code=2) où σi(R)

(1973) > σ95%(R)

(1973), une autre (code =9) dans la zone où σ75%(R)(1973) <

σi(R)(1973)

< σ90%(R)(1973)

. La partie centrale du BV5 (avec σ50%(R)(1973)

< σi(R)(1973)

< σ75%(R)(1973))

recevrait deux sites (codes= 11, 19) et le BV3 (avec σ75%(R)(1973)

< σi(R)(1973) < σ90%(R)

(1973)) recevrait aussi deux sites (codes= 26, 30).

Dans le scénario 3, les nouvelles stations sont réparties sur le BV3 avec deux sites (codes = 23, 27) où σ50%(R)

(1973) < σi(R)(1973)

< σ75%(R)(1973)

et une station (code = 29) dans la zone où σ90%(R)

(1973) < σi(R)

(1973) < σ95%(R)

(1973). Dans ce scénario, la partie sud du BV5 serait couverte par un pluviographe (code = 2) dans la zone où σi(R)

(1973) > σ95%(R)

(1973), par une station (code =6) dans la zone où σ90%(R)

(1973) < σi(R)

(1973) < σ95%(R)(1973)

et une autre (code = 38) dans la zone où σ75%(R)

(1973) < σi(R)

(1973) < σ90%(R)

(1973). Parmi les 13 nouvelles stations, nous avons aussi cinq sites (codes = 11, 14, 17, 21, 32) dans la zone où σ50%(R)

(1973) < σi(R)

(1973) < σ75%(R)

(1973) dans le

BV5 (Fig. III.34). Ainsi les percentiles d’écart-type 50%, 75%, 90%, 95%, qui ont constitué des valeurs seuils, restent identiques au cas 2D-1h (1973), selon le nombre de stations ajoutées.

La valeur optimale de la variance moyenne d’estimation diminue quand la taille du réseau augmente, ce qui est trivial (Tableau III.21). Notons que la valeur de référence de la variance moyenne obtenue avec le réseau initial de 1973 est de 0.67. Comme auparavant pour le 2D-1h, on note une faible sensibilité du gain à l’importance de l’augmentation (Tableau III.21). Cette insensibilité déconseillerait le choix de R comme variable d’étude pour un problème de sélection du degré d’extension d’un réseau pluviographique.



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Ú $T

$T

$T

$T

$T

$T

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ð

BV 6

BV 5

BV 4

BV 3

0 100000 200000 Kilometers

%[ Réseau existant de 1973Ú Scénario 1: 3 stations optimales$T Scénario 2: 6 stations optimalesð Scénario 3: 13 stations optimales

Figure III.47. Répartition spatiale des réseaux optimaux obtenus pour l’objectif de l’estimation de R par KDE= Imax sur une heure (Evènement de 1973)

Tableau III.21. Evolution du gain avec l’augmentation de la densité du réseau dans

l’objectif de cartographie de R par KDE= I2D-1h (Mars 1973)

Augmenter le réseau existant par La variance moyenne

spatiale de krigeage Gain relatif(1)

scénario 1 : 3 postes nouveaux)

0.54 0.06

scénario 2: 6 postes nouveaux) 0.47 0.05 scénario 3: 13 postes

nouveaux) 0.36 0.04

160% (Densité normative de l’OMM)


0.29 0.03

(1): gain relatif= (((R)(1973)(réseau existant de 1973)-

(R)(1973)(réseau de 1973 augmenté))/(R)(1973)(réseau existant de

1973)))/nombre des nouvelles stations

III-6- COMPARAISON DES RESEAUX MONOCRITERES

Toutefois, la comparaison des réseaux optimaux pour les deux objectifs d'interpolation de l’intensité de pluie maximale sur une heure en 2D et du facteur d'érosivité fait ressortir qu’ils sont assez semblables entre eux (Figures III.44 et III.47). En effet, pour le scénario 1,

kilomètres



les deux réseaux sont tout à fait identiques. Par contre, nous obtenons 7 postes différents sur 21 choisis, 3 sites différents sur 13 choisis, 2 postes différents sur 6 choisis, respectivement pour les scénarios 4, 3 et 2. Par conséquence, l’écart maximal trouvé est de 33% pour les scénarios 2 et 4. Le Tableau III.22 montre les ensembles des solutions pour chacun des deux objectifs pour chaque taille du réseau optimal. Les codes des stations qui sont différents pour les deux objectifs sont indiqués en gras dans le Tableau III.22. La comparaison des Tableaux III.19 et III.21 suggère encore une fois que la réduction d'incertitude par station est semblable pour les deux objectifs d'interpolation de l’intensité de pluie 2D-1h et du facteur d’érosivité. Pour les deux réseaux monocritères, la réduction la plus grande de l'incertitude provenant de l’implantation de nouvelles stations est obtenue par l’ajout de 25% du nombre de postes (Tableaux III.19 et III.21), c.a.d. pour le scénario 1. En envisageant un autre scénario, qui consiste à augmenter la taille du réseau par 8% et donc à inclure une seule nouvelle station, nous obtenons un gain relatif à peine plus grand égal à 0.07 pour les deux objectifs d'interpolation de l'intensité de pluie de 1 heure et du facteur d'érosivité.

Ces résultats ont-ils pu être influencés par le choix de l'intensité maximale sur une durée d'une heure comme dérive externe pour interpoler R? Pour vérifier cette éventualité, une autre dérive externe représentant l'intensité maximale sur 6 heures a été adoptée. Un modèle sphérique avec une portée ajustée de 50 km, un palier ajusté de 3.6 (mm/h)2, et un effet de pépite de 1 (mm/h)2 est ajusté au variogramme expérimental de l'intensité maximale de pluie sur une durée de référence de 6 heures. Pour l'objectif de la cartographie du facteur d'érosivité, en adoptant l'intensité maximale de pluie sur une durée de référence de 6 heures comme dérive externe, les sites optimaux choisis sont montrés dans la Figure III.48 pour les trois scénarios : 16, 19, et 26 pluviographes, tous contenants les 13 stations fonctionnant en 1973. Pour les scénarios 1 et 2, les réseaux optimaux obtenus pour l’objectif d'interpolation du facteur d'érosivité sont semblables à ceux obtenus pour l'objectif d’estimation de l'intensité maximale de pluie sur une durée de référence d'une heure. Pour les scénarios 3 et 4, les réseaux optimaux obtenus pour l'objectif d’interpolation du facteur d'érosivité avec l'intensité maximale sur une durée de six heures comme dérive externe sont tout à fait semblables à ceux obtenus au cas où l'intensité maximale sur une durée d'une heure est adoptée comme dérive externe.



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%[%[

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Ú

Ú

Ú

$T

$T

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$T

$T$T

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ð

ðð

ð

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BV 6

BV 5BV 4

0 100000 200000 Kilometers

%[ Réseau de 1973 Ú Scénario 1: 3 stations optimales$T Scénario 2: 6 stations optimalesð Scénario 3: 13 stations optimales

Figure III.48. Répartition spatiale des réseaux optimaux obtenus pour l’objectif de l’estimation de R par KDE= Imax sur six heures (Evènement de 1973)

D'une part, la comparaison des Tableaux III.21 et III.23 suggère que la variance

moyenne spatiale de krigeage et le gain relatif par station sont indépendants du choix de la dérive externe, ce qui constitue un bon indicateur de la robustesse des résultats.

Le gain total en précision (égal au gain relatif multiplié par le nombre de postes) est reporté dans la Figure III.49 exprimé en pourcent pour les quatre scénarios d’extension du réseau pluviographique. Il en résulte que l’approche 3D donne le meilleur gain de précision pour les scénarios 1 et 2 correspondant aux faibles extensions (et aux grandes possibilités offertes au choix). Il s’agit là d’un avantage supplémentaire de l’approche 3D. Pour les autres scénarios, son avantage n’est plus marqué puisque tous les cas (I2D-1h (Mars 1973), I3D (Mars 1973), I2D-1h (Janvier 2003), R (KDE=Imax-1h, Mars 1973), R (KDE=Imax-6h, Mars 1973)) offrent les mêmes pourcentages de gain de précision. Le fait que le gain de précision soit indépendant de la variable d’étude et de la variabilité du champ pluvieux pour de fortes augmentations de la taille de réseau (plus de 100 %) est un résultat intéressant en soi d’un point de vue pratique puisqu’il limite les investigations nécessaires à l’étude d’optimisation. D’autre part, pour tous les cas étudiés on trouve que le gain marginal entre les solutions scénario 3 et 4 est faible. De ce fait, il ne serait pas nécessaire d’envisager une augmentation de plus de 100% pour ce cas d’étude.

kilomètres



Tableau III.22. Solutions pour les objectifs simples (dérive externe= Intensité maximale sur une heure) (Mars 1973)


existant par Solution pour le critère

mono-objectif de cartographie de l’intensité de

pluie

Solution pour le critère mono-objectif de

cartographie de l’indice d’érosivité de pluie

Densité normative de l’OMM) (scénario 4: 21 postes

nouveaux)

{1, 3, 6, 10, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 25, 27, 29, 32, 34, 38, 46,

48, 49, 52, 53}

{2, 3, 4, 9, 10, 11, 13, 16, 18, 19, 23, 24, 25, 29, 32,

34, 38, 46, 48, 50, 55}


{2, 4, 8, 9, 16, 17, 21, 23, 25, 27, 29, 32, 34}

{2, 6, 11, 14, 17, 18, 21 ,23, 25, 27, 29, 32, 38}


{5, 9, 16, 19, 26, 30} {2, 9, 11, 19, 26, 30}


{7, 16, 29} {7, 16, 29}

Tableau III.23. Evolution du gain avec l’augmentation de la densité du réseau dans l’objectif de cartographie de R par KDE= I2D-6h (Mars 1973)


La variance moyenne

spatiale de krigeage

Gain relatif(1)

scénario 1 : 3 postes nouveaux)

0.55 0.06


0.47 0.05


0.37 0.04

160% (Densité normative de l’OMM) (scénario 4: 21 postes

nouveaux)

0.29 0.03



(1): gain relatif= (((R)(1973)(réseau existant de 1973)-

(R)(1973)(réseau de 1973 augmenté))/(R)(1973)(réseau existant de

1973)))/nombre des nouvelles stations

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

scénario 1(25%)

scénario 2(50%)

scénario 3(100%)

scénario 4(160%)

Scénario d'augmentation du réseau

Gai

n t

ota

l en

pré

cisi

on

en

%

Monocritère I2D- 1h (Mars 1973)

Monocritère I3D (Mars 1973)

Monocritère I2D- 1h (Janvier 2003)

Monocritère R par KDE=Imax- 1h (Mars 1973)

Monocritère R par KDE=Imax- 6h (Mars 1973)

Figure III.49. Comparaison des pourcentages de gain totaux de précision pour chacun des problèmes d’optimisation en monocritère

III-7- COMBINAISON DES DEUX OBJECTIFS

Nous présentons les résultats relatifs à trois systèmes de poids (Eq.II.29) qui sont proposés pour la comparaison : (A) (w1=w2=0.5), (B) (w1=0.3, w2=0.7) et (C) (w1=0.7, w2=0.3). Le premier correspond à une préférence égale pour les deux objectifs, le second donne plus de poids aux impacts d'érosion pour la prise de décision et le troisième favorise les buts d'interpolation de l’intensité de pluie.

Les sites optimaux trouvés sont présentés dans la Figure III.50 pour les trois scénarios 1, 2 et 3 décrits plus haut : 16, 19, et 26 pluviographes, tous contenant les 13 stations fonctionnant en 1973. Le Tableau III.24 reporte également les solutions pour ces trois problèmes bi-objectifs.

Pour le scénario 1 (trois nouvelles stations à implanter soit 25% d’augmentation), les réseaux bi-objectifs optimaux ne dépendent pas des valeurs des poids puisque les trois stations additionnelles sont strictement identiques (codes = 5, 16, 29) indépendemment de la préférence. Comparés aux sites sélectionnés dans les cas des problèmes monocritères, nous constatons que deux stations communes (codes =16, 29) choisies pour les deux objectifs monocritères sont maintenues dans l'optimisation bi-objective. La troisième station (code = 5) du problème biobjectif a été déjà choisie dans le problème d’interpolation de l’intensité maximale de pluie sur une heure dans le cas du scénario d’extension du réseau pluviographique de 50% (Tableau III.24). Ainsi, sur la base de cette situation simplifiée (seulement trois nouvelles stations à choisir), il s'avère que les résultats du problème bi-objectif correspondent à une compilation des résultats d'extension monocritère du réseau pluviographique de 25% et de 50% d’augmentation.



Pour le scénario 2 (50% d’augmentation soit 6 nouveaux postes à implanter), seulement une station parmi six (code = 16) est commune quand on change de préférence. Cette station a été déjà choisie dans le problème monocritère d’interpolation avec une variance minimale de l’intensité maximale de pluie sur une heure dans le cas du scénario d’extension du réseau pluviographique de 50% (Tableau III.24). Pour le cas de préférence égale (w1=w2=0.5), deux autres stations (codes =2, 19) identifiées dans le problème d’optimisation mono-objectif d’estimation du facteur d’érosivité sont aussi retenues dans le problème bi-objectif. La quatrième station (code = 27) du problème biobjectif a été déjà choisie dans le problème d’interpolation du facteur d’érosivité et aussi dans le problème d’interpolation de l’intensité de pluie maximale sur une heure dans le cas du scénario d’extension du réseau pluviographique de 100% (Tableau III.24). Les deux autres stations (codes= 7, 29) choisies pour les deux objectifs monocritères dans le cas du scénario d’extension du réseau pluviographique de 25% (Tableau III.24) sont maintenues dans l'optimisation bi-objective. Toujours pour le scénario 2, lorsqu’il y a préférence pour l’étude des impacts d'érosion (w1=0.3, w2=0.7), trois stations (codes= 9, 26, 30) déjà identifiées dans le problème d’optimisation mono-objectif d’estimation du facteur d’érosivité dans le cas du scénario d’extension de 50% sont aussi retenues dans le problème bi-objectif. La cinquième station (code = 5) a été déjà choisie dans le problème d’interpolation de l’intensité de pluie maximale sur une heure dans le cas du scénario d’extension de 50% et la sixième station (code = 21) a aussi été choisie dans le même problème monocritère mais dans le cas d’extension du réseau de 100% (Tableau III.24). Pour la préférence relative à l’interpolation des intensités (w1=0.7, w2=0.3), trois stations (codes= 19, 26, 30) identifiées dans le problème d’optimisation mono-objectif d’estimation de l’intensité de pluie maximale sur une heure dans le cas du scénario d’extension de 50% sont aussi retenues dans le problème bi-objectif. Les deux autres stations (codes = 4, 10) ont été déjà choisies dans le problème d’interpolation du facteur d’érosivité dans le cas du scénario d’extension de 160% (Tableau III.24).

Dans le cas du scénario 3 (100% d’extension soit treize stations à implanter), quatre stations (codes = 21, 23, 25, 32) sont communes indépendamment du système de préférence. Par contre, jusqu'à seize sur 21 stations sont communes entre les décisions bi-objectives pour le scénario 4.

Ainsi, pour l’extension visant à ajouter seulement trois postes, les résultats sont indépendants de la préférence. Pour les grandes extensions (25% et plus), des différences dans les sites optimaux des pluviographes sont obtenues selon qu’une préférence soit exprimée plutôt qu’une autre (pluie contre érosion et vice-versa), mais les résultats sont cohérents avec les choix en monocritère.



Figure III.50. Répartition spatiale des réseaux optimaux obtenus pour le problème bi-objectif

Tableau III.24. Solutions pour les problèmes bi-objectifs (dérive externe= Intensité

maximale sur une heure) (Evènement de 1973)


existant par Solution pour le

problème bi-objectif sans préférence

Solution pour le problème bi-

objectif donnant la préférence au

facteur d’érosivité

Solution pour le problème bi-

objectif donnant la préférence à

l’intensité de pluie 160% (Densité

normative de l’OMM) (scénario 4: 21 postes

nouveaux)

{1, 3, 5, 6, 10, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 23, 25, 27, 29, 32,

34, 48, 49, 52, 53}

{1, 3, 5, 6, 10, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 23, 25, 27, 29, 32, 34, 48, 49, 52, 53}

{1, 3, 6, 7, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 23, 25, 26, 27, 28, 34, 36, 42, 48, 49, 52}

(scénario 3: 13 nouvelles stations)

{3, 4, 10, 14, 16, 17, 21, 23, 25, 27,

29, 32, 34}

{2, 9, 11, 17, 18, 21, 23, 25, 27, 29,

32, 34, 38}

{2, 4, 8, 9, 13, 16, 19, 21, 23, 25, 26,

30, 32} (scénario 2: 6 nouvelles stations)

{2, 7, 16, 19, 27, 29}

{5, 9, 16, 21, 26, 30}

{4, 10, 16, 19, 26, 30}

(scénario 1: 3 nouvelles stations)

{5, 16, 29} {5, 16, 29} {5, 16, 29}

%[%[

%[%[

%[

%[

%[

%[

%[

%[

%[

%[%[Ñ

Ñ

Ñ

%a

%a

%a

%a

%a%a

Ì

Ì

Ì

Ì Ì

Ì

Ì

Ì

ÌÌ

ÌÌ Ì

r

r

r

Ú

Ú

Ú

Ú

ÚÚ

Î

Î Î

Î

Î

Î

ÎÎ

ÎÎ

ÎÎ

Î#0

#0

#0

#S

#S

#S

#S

#S#S

$T

$T

$T

$T $T $T

$T

$T$T

$T$T $T

$T

BV 6

BV 5

BV 4

BV 3

0 100000 200000 Kilometers

%[ Réseau existant de 1973 Ñ Scénario 1: 3 stations optimales ︵w1=0.7,w2=0.3 ︶

%a Scénario 2: 6 stations optimales ︵w1=0.7,w2=0.3 ︶

Ì Scénario 3 : 13 stations optimales ︵w1=0.7,w2=0.3r Scénario 1: 3 stations optimales ︵w1=0.3,w2=0.7 ︶

Ú Scénario 2: 6 stations optimales ︵w1=0.3,w2=0.7 ︶

Î Scénario 3: 13 stations optimales ︵w1=0.3,w2=0.7 ︶

#0 Scénario 1: 3 stations optimales ︵w1=w2=0.5 ︶

#S Scénario 2: 6 stations optimales ︵w1=w2=0.5 ︶

$T Scénario 3: 13 stations optimales ︵w1=w2=0.5 ︶

kilomètres



III-8- RESULTATS DE L’OPTIMISATION ROBUSTE

III-8-1- Relation entre les paramètres a(T) et b(T)

Nous commençons par reporter sur les Figures III.51 (a-b-c-d-e-f) la fluctuation du coefficient de codispersion ra(T)b(T)(h) ) des paramètres a(T) et b(T) de la formule de Montana lorsqu’on fait varier l’interdistance entre postes. D’après les nuages de points obtenus, nous avons considéré que cette fluctuation est erratique et nous avons admis que ra(T)b(T)(h) pouvait être pris comme une constante, et ce pour toutes les valeurs étudiées de T. Ainsi, il sera admis dans la suite que les paramètres a(T) et b(T) sont liés quelque soit la période de retour. Cette mise en relation autorise le krigeage de a(T) en prenant b(T) comme dérive externe.

Dans ce qui suit, nous commençons par les résultats de l’analyse structurale du paramètre b(T) et de son estimation par krigeage ordinaire aux différents nœuds du maillage régulier de 4Km de côté qui constituera la valeur de la dérive externe dans le krigeage de a(T).

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

0 50000 100000 150000 200000 250000

h (m)

ra(2

ans)

b(2 a

ns)

Moyenne des ra(2 ans)b(2ans)

(a) cas 1 : T= 2 ans

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0 50000 100000 150000 200000 250000

h (m)

ra(5

ans)

b(5 a

ns)

Moyenne des ra(5 ans)b(5 ans)

(b) cas 2 : T= 5 ans

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 50000 100000 150000 200000 250000

h (m)

ra(1

0 ans

)b(1

0 ans

)

Moyenne des ra(10 ans)b(10 ans)

(c) cas 3 : T= 10 ans

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 50000 100000 150000 200000 250000

h (m)

ra(2

0 ans

)b(2

0 ans

)

moyenne des ra(20 ans)b(20 ans)

(d) cas 4 : T= 20 ans

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 50000 100000 150000 200000 250000

h (m)

ra(5

0 ans

)b(5

0 ans

)

moyenne des ra(50 ans)b(50 ans)

(e) cas 5 : T= 50 ans

(f) cas 6 : T= 100 ans

Figure III.51. Le coefficient de codispersion ra(T)b(T)(h) pour chaque valeur de la période de retour T



III-8-2- Analyses structurales et cartographie des paramètres d’ajustement des courbes Intensité-durée-fréquence

III-8-2-1- Analyse structurale du paramètre b(T)

a- Variogramme de b(T=2 ans)

La Figure III.52 présente le variogramme expérimental du paramètre b(T=2 ans) pour T=2 ans. Ce variogramme expérimental a été ajusté à un modèle de type sphérique sans effet de pépite dont les paramètres sont : portée 30 km et palier 0.004. Les résultats de la validation croisée par krigeage ordinaire sont récapitulés dans le Tableau III.25 qui restitue les erreurs standards aux postes. Toutes les erreurs sauf celle de la station Ain Taga sont dans l’intervalle [-2, +2]. Celle de la station Ain Taga est cependant assez proche de 2. De ce fait le modèle sera considéré adéquat.

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0 50000 100000 150000 200000 250000

Distance (m)

Var

ian

ce

variogramme expérimental

Modèle sphérique (0.004,30000)

2

65

5 1315

7

8 12 7 4

1

4

1

1

Figure III.52. Variogramme du paramètre b(T=2 ans)

Tableau III.25. Résultats de la validation croisée du paramètre b(T=2ans)

Station b(T=2ans) observé

b(T=2ans) krigé Ecart type Erreur réduite

Ghardimaou 0.685 0.639 4E-03 -0.71 Zouarine Gare 0.66 0.668 4E-03 0.13

Ain Taga 0.538 0.689 5E-03 2.24 Ain Beya Fernana 0.682 0.660 5E-03 -0.31

Haidra 0.745 0.623 5E-03 -1.81 Izid barrage 0.652 0.662 4E-03 0.16

Joumine Antra 0.549 0.680 5E-03 1.92 Mellègue K13 0.722 0.671 4E-03 -0.78

Oued Tine cassis 0.626 0.642 5E-03 0.24 Sarrath Pont Route 0.758 0.642 5E-03 -1.68

Sejnane 0.669 0.652 5E-03 -0.26 Siliana Laouej 0.635 0.668 3E-03 0.56

Slouguia 0.695 0.649 4E-03 -0.74 Sraya Ecole 0.592 0.692 4E-03 1.55



b- Variogramme de b(T=5 ans)

La Figure III.53 présente le variogramme expérimental du paramètre b(T=5 ans) ajusté à un modèle de type sphérique sans effet de pépite avec une portée de 40 km et un palier de 0.008. Les résultats de la validation croisée par krigeage ordinaire (Tableau III.26) présentent des erreurs réduites toutes comprises dans l’intervalle [-2, +2], ce qui permet d’adopter le modèle.

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0 50000 100000 150000 200000 250000

Distance (m)

Var

ian

ce



2

6

5

5

1315

7

8

12

7

4

1

4

1

1


Tableau III.26. Résultats de la validation croisée du paramètre b(T=5ans)

Station b(T=5ans) observé

b(T=5ans) krigé Ecart type

Erreur réduite

Ghardimaou 0.69 0.638 7E-03 -0.62 Zouarine Gare 0.64 0.698 6E-03 0.77

Ain Taga 0.53 0.702 8E-03 1.89 Ain Beya Fernana 0.694 0.665 9E-03 -0.30

Haidra 0.741 0.602 8E-03 -1.53 Izid barrage 0.73 0.649 6E-03 -1.02

Joumine Antra 0.511 0.688 9E-03 1.91 Mellègue K13 0.68 0.674 8E-03 -0.06

Oued Tine cassis 0.637 0.648 8E-03 0.12 Sarrath Pont

Route 0.789 0.643 1E-02 -1.48 Sejnane 0.663 0.631 9E-03 -0.34

Siliana Laouej 0.675 0.668 5E-03 -0.09 Slouguia 0.69 0.675 6E-03 -0.19

Sraya Ecole 0.592 0.696 7E-03 1.22

c- Variogramme de b(T=10 ans)

La Figure III.54 présente le variogramme expérimental du paramètre b(T=10 ans) dont l’ajustement conduit à un modèle sphérique sans effet de pépite de 40 km de portée et 0.01 de



palier. Les résultats de la validation croisée par krigeage ordinaire (Tableau III.27) présentent des erreurs réduites toutes comprises dans l’intervalle [-2, 2]

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0 50000 100000 150000 200000 250000

Distance (m)

Var

ian

ce



2

6

5

5

13

157

8

12

7

4

1

4

1

1


Tableau III.27. Résultats de la validation croisée du paramètre b(T=10 ans)

Station b(T=10ans)

observé b(T=10ans)

krigé Ecart type Erreur réduite Ghardimaou 0.69 0.638 9E-03 -0.56

Zouarine Gare 0.64 0.698 7E-03 0.69 Ain Taga 0.53 0.702 1E-02 1.69

Ain Beya Fernana 0.694 0.665 1.2E-02 -0.27 Haidra 0.741 0.602 1E-02 -1.37

Izid barrage 0.73 0.649 8E-03 -0.91 Joumine Antra 0.511 0.688 1E-02 1.71 Mellègue K13 0.68 0.674 9E-03 -0.06

Oued Tine cassis 0.637 0.648 1E-02 0.11 Sarrath Pont Route 0.789 0.643 1.2E-02 -1.32

Sejnane 0.663 0.631 1.1E-02 -0.30 Siliana Laouej 0.675 0.668 7E-03 -0.08

Slouguia 0.69 0.675 8E-03 -0.17 Sraya Ecole 0.592 0.697 9E-03 1.10

d- Variogramme de b(T=20 ans)

La Figure III.55 présente les variogrammes expérimental et ajusté du paramètre b(T= 20 ans). Les paramètres obtenus par calage manuel sont une portée de 40 km et un palier de 0.014. Les résultats de la validation croisée par krigeage ordinaire (Tableau III.28) présentent des erreurs réduites dans l’intervalle [-2, 2], ce qui permet de valider le modèle.



0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0,045

0 50000 100000 150000 200000 250000

Distance (m)

Va

ria

nc

eVariogramme expérimental


26

5 5

13

15

78

12

7

4

1

4

1

1



Station b(T=20ans)

observé b(T=20ans)

krigé Ecart type Erreur réduite Ghardimaou 0.686 0.642 9E-03 -0.47

Zouarine Gare 0.63 0.721 7E-03 1.08 Ain Taga 0.517 0.698 1E-02 1.78

Ain Beya Fernana 0.665 0.661 1.2E-02 -0.03 Haidra 0.726 0.599 1E-02 -1.25

Izid barrage 0.81 0.633 8E-03 -1.99 Joumine Antra 0.473 0.681 1.1E-02 2.00 Mellègue K13 0.635 0.679 9E-03 0.45

Oued Tine cassis 0.618 0.656 1E-02 0.37 Sarrath Pont

Route 0.798 0.625 1.2E-02 -1.57 Sejnane 0.661 0.611 1.1E-02 -0.49

Siliana Laouej 0.698 0.651 7E-03 -0.57 Slouguia 0.673 0.684 8E-03 0.13

Sraya Ecole 0.604 0.692 9E-03 0.92

e- Variogramme de b(T= 50 ans)

La Figure III.56 présente le variogramme expérimental et modélisé du paramètre b(T=50 ans). Le modèle ajusté par calage manuel est sphérique sans effet de pépite avec 40 km de portée et 0.016 de palier, avec des erreurs réduites de krigeage dans l’intervalle [-2, 2] en validation croisée (Tableau III.29), ce qui permet de valider le modèle.



0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0,045

0 50000 100000 150000 200000 250000

Distance (m)

Va

ria

nc



2 6

5

5

13

15 7

8

12

7

4

14

1

1



Station b(T=50 ans)

observé b(T=50 ans)

krigé Ecart type Erreur réduite

Ghardimaou 0.685 0.643 1.4E-02 -0.35 Zouarine Gare 0.62 0.729 1.1E-02 1.02

Ain Taga 0.507 0.693 1.6E-02 1.45 Ain Beya Fernana 0.635 0.657 1.9E-02 0.16

Haidra 0.713 0.596 1.6E-02 -0.91 Izid barrage 0.84 0.623 1.3E-02 -1.93

Joumine Antra 0.455 0.674 1.7E-02 1.67 Mellègue K13 0.616 0.676 1.5E-02 0.48

Oued Tine cassis 0.605 0.648 1.6E-02 0.33 Sarrath Pont

Route 0.797 0.611 1.9E-02 -1.33 Sejnane 0.666 0.596 1.7E-02 -0.54

Siliana Laouej 0.689 0.641 1.1E-02 -0.46 Slouguia 0.663 0.675 1.3E-02 0.10

Sraya Ecole 0.619 0.687 1.5E-02 0.56

f- Variogramme de b(T= 100 ans)

Enfin, la Figure III.57 présente le variogramme expérimental du paramètre b(T=100 ans) comparé au variogramme d’un modèle sphérique ajusté pour une portée de 40 km et un palier de 0.018. Les résultats de la validation croisée par krigeage ordinaire (Tableau III.30) présentent des erreurs réduites dans l’intervalle [-2, 2].



0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0,045

0,05

0 50000 100000 150000 200000 250000

Distance (m)

Var

ian

ceVariogramme expérimental


2

6

5

5

13

157 8

12

7

4

1 4

1

1



Station b(T=100 ans)

observé b(T=100 ans)

krigé Ecart type Erreur réduite

Ghardimaou 0.685 0.644 1.6E-02 -0.33 Zouarine Gare 0.62 0.732 1.3E-02 0.99

Ain Taga 0.498 0.691 1.8E-02 1.42 Ain Beya Fernana 0.61 0.655 2.1E-02 0.31

Haidra 0.704 0.594 1.8E-02 -0.81 Izid barrage 0.857 0.619 1.4E-02 -1.99

Joumine Antra 0.445 0.669 1.9E-02 1.61 Mellègue K13 0.606 0.676 1.7E-02 0.53

Oued Tine cassis 0.594 0.637 1.8E-02 0.32 Sarrath Pont

Route 0.798 0.601 2.2E-02 -1.33 Sejnane 0.671 0.585 1.9E-02 -0.62

Siliana Laouej 0.67 0.634 1.2E-02 -0.33 Slouguia 0.657 0.660 1.4E-02 0.02

Sraya Ecole 0.633 0.684 1.6E-02 0.40

III-8-2-2- Analyse structurale du paramètre a(T)

De façon similaire, les Figures III.58 à III.63 reportent les variogrammes expérimentaux et ajustés pour le paramètre a en faisant varier la période de retour. Les variogrammes ajustés sont tous de type sphérique sans effet de pépite et les valeurs de leurs paramètres sont reportées sur les figures. Les résultats de la validation croisée en adoptant b(T) krigé dans le paragraphe précédent comme dérive externe sont présentés restectivement dans les Tableaux (III.31) à (III.36). Comme les erreurs réduites sont confinées dans l’intervalle [-2, 2], tous les modèles ajustés sont supposés validés.



Figure III.58. Variogramme du paramètre a(T=2 ans)

Tableau III.31. Résultats de la validation croisée du paramètre a(T=2 ans)

Station a(T=2ans) observé a(T=2ans) krigé Ecart type Erreur réduite

Ghardimaou 231.6 223.9 10829.14 -0.07 Zouarine Gare 240 258.6 10530.77 0.18

Ain Taga 437.1 293.2 16325.54 -1.13 Ain Beya Fernana 368.5 276.1 16205.75 -0.73

Haidra 321.4 308.9 11988.28 -0.11 Izid barrage 157.7 270.3 11166.36 1.06

Joumine Antra 179 309.9 16196.15 1.03 Mellègue K13 410.4 252.6 13794.78 -1.34

Oued Tine cassis 144.5 265.0 12840.49 1.06 Sarrath Pont Route 431.5 264 15420.83 -1.35

Sejnane 304.8 252 14343.85 -0.44 Siliana Laouej 254.2 243.4 10580.25 -0.10

Slouguia 275.1 274.6 10322.26 -0.05 Sraya Ecole 162.1 290.3 14933.95 1.05

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

0 50000 100000 150000 200000 250000

Distance (m)

Va

ria

nc

e



2

6

5

5

13 15

7

8

12

7

4

1

4

1



0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

0 50000 100000 150000 200000 250000

Distance (m)

Va

ria

nc



2

6

5

5

1315

7 8

12

7

4

1

4

1

1




Ghardimaou 289.9 276.2 17258.85 -0.10 Zouarine Gare 303 409.8 21321.51 0.73


Haidra 406 389.5 19158.04 -0.12 Izid barrage 307.7 318.1 16387.81 0.08

Joumine Antra 220 414.7 31772.2 1.09 Mellègue K13 553 316.7 24207.51 -1.52

Oued Tine cassis 206.3 344.2 24016.79 0.89 Sarrath Pont Route 688.3 324.3 31470.34 -2.05

Sejnane 349.2 282.3 24552.08 -0.43 Siliana Laouej 342.6 286.5 15892.33 -0.44

Slouguia 343.8 354.5 19775.25 0.07 Sraya Ecole 200.1 354.8 28074.86 0.92



0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

200000

0 50000 100000 150000 200000 250000

Distance (m)

Va

ria

nc



26

5

513 15

78

12 7

4

1

41

1



Station a(T= 10ans) observé a(T= 10ans) krigé Ecart type Erreur réduite

Ghardimaou 324.4 321.4 27558.48 -0.02 Zouarine Gare 352.0 535.2 32669.69 1.01


Haidra 456.9 436.9 29436.87 -0.12 Izid barrage 465.9 374.4 25811.26 -0.57

Joumine Antra 249.5 467.5 47301.98 1.00 Mellègue K13 668.7 383.1 36689.39 -1.49


Sejnane 385.4 342.8 36721.55 -0.22 Siliana Laouej 406.0 323.9 25190.79 -0.52

Slouguia 387.7 429.7 30742.79 0.24 Sraya Ecole 237.2 410.8 41802.37 0.85



0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 50000 100000 150000 200000 250000

Distance (m)

Va

ria

nc



2 6

5

5

13

15

7 8 12 7

4

1

41

1



Station a(T=20 ans) observé a(T=20 ans) krigé Ecart type Erreur réduite

Ghardimaou 356.9 572.3 42050.51 1.05 Zouarine Gare 404.0 815.4 53752.72 1.77


Haidra 503.4 791.6 75358.81 1.05 Izid barrage 651.5 434.8 49156.89 -0.98



Sejnane 429.2 905.7 100990.6 1.50 Siliana Laouej 461.1 451.6 28274.66 -0.06




0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

0 50000 100000 150000 200000 250000

Distance (m)

Var

ian

ce



2

6

5

513

157 8 12

7 4

1

4

1

1




Ghardimaou 401.3 675.9 85149.21 0.94 Zouarine Gare 479 1038.2 142141.4 1.48

Ain Taga 759.9 394.1 124399.8 -1.04 Ain Beya Fernana 804 503.9 120758.4 -0.86



Oued Tine cassis 345.9 579.2 99452.16 0.74 Sarrath Pont Route 1171.5 552 161824.5 -1.54

Sejnane 499.2 1085.2 229356.5 1.22 Siliana Laouej 512.4 517.5 61632.89 0.02




0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

0 50000 100000 150000 200000 250000

Distance (m)

Va

ria

nc



2

6

55

13

15

7

812

7

4

1

4

1

1

Figure III.63. Variogramme du paramètre a(T= 100 ans)

Tableau III.36. Résultats de la validation croisée du paramètre a(T= 100 ans)

Station a(T=100 ans) observé a(T=100 ans) krigéEcart type

Erreur réduite

Ghardimaou 435.7 756.6 82755.22 1.11 Zouarine Gare 542 1213.7 149722.5 1.73





Sejnane 559.9 1269.2 250881.1 1.42 Siliana Laouej 530.8 546.6 59533.19 0.06

Slouguia 519.8 496.5 83092.04 -0.08 Sraya Ecole 448.1 428.9 96431.88 -0.06

D’après cette analyse des variogrammes de a(T), nous remarquons que nous aboutissons essentiellement à une répartition en trois groupes : groupe 1 {T= 2 ans} ; groupe 2 {T= 5, 10, 20 ans}; groupe 3 {T= 50, 100 ans} où les variogrammes sont semblables. Dans la suite, nous étudierons trois périodes de retour représentatives de chaque groupe à savoir : T1= 2 ans, T2= 5 ans et T3= 50 ans. En utilisant ces variogramme de a(T) et en supposant que le réseau existant est celui de 1973, les cartes des écarts type i(a(T))

ainsi que la distribution des percentiles obtenues par krigeage en adoptant b(T) krigé dans le paragraphe précédent comme dérive externe sont



présentées dans les Figures III.64 à III.66 respectivement pour les trois périodes de retour T1= 2 ans, T2= 5 ans et T3=50 ans. Pour T1=2 ans, le percentile 95 % correspond à une valeur de i(a(2 ans))

= 272,8. Pour T2=5 ans, le percentile 95 % correspond à une valeur de i(a(5 ans)) =

706,7. Pour T3=50 ans, le percentile 95 % correspond à une valeur de i(a(50 ans)) =1267,4.

Figure III.64. Carte des i(a(2 ans)) et ses courbes des percentiles (Variogramme de

a(T=2ans)- Réseau existant de 1973)


a(T=5ans)- Réseau existant de 1973)

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

< 25 %

25 - 50 %

50 - 75 %

75 - 90 %

90 - 95%

>95%


Tinja Her

Tunis Manoubia

Mejez El Bab PFBou Salem DRE

Kairouan SMHaffouz DRE

Bge Kebir SM

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

< 25 %

25 - 50 %

50 - 75 %

75 - 90 %

90 - 95%

>95%


Bou Salem DRE

Mejez El BabGhardimaou DRE Cité du Mellegue

Kairouan SM

Tinja Her

Haffouz DRE

Pont du FahsTuburbo Majus

Bge Kebir SM

Makthar PF

Tunis Manoubia

Sk El Arba



3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

< 25 %

25 - 50 %

50 - 75 %

75 - 90 %

90 - 95%

>95%


Tunis Manoubia

Tinja Her

Mejez El Bab


a(T=50ans) - Réseau existant de 1973)

III-8-2-3- Cartographie des paramètres a(T) et b(T)

Les cartes du paramètre b(T) en faisant varier la période de retour (T=2 ans, 5 ans et 50 ans) interpolés par krigeage ordinaire aux nœuds du maillage de 4 km sont reportées sur les figures III.67 à III.69.

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)

b < 0.600

0.600 < b < 0.625

0.625 < b < 0.650

0.650 < b < 0.675

0.675 < b < 0.700

b > 0.700

Réseau existant en 1973

Tunis Manoubia

Mejez El Bab

Tinja Her

Figure III.67. Carte de b(T=2ans) obtenue par krigeage ordinaire



Figure III.68. Carte de b(T=5ans) obtenue par krigeage ordinaire

Figure III.69. Carte de b(T=50 ans) obtenue par krigeage ordinaire

Les cartes du paramètre a(T) en faisant varier la période de retour (T=2 ans, 5 ans et 50 ans) interpolés par krigeage avec dérive externe en prenant b(T) aux nœuds du maillage de 4 km comme dérive externe sont reportées sur les figures III.70 à III.72.

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)

b < 0.600

0.600 < b < 0.625

0.625 < b < 0.650

0.650 < b < 0.675

0.675 < b < 0.700

b > 0.700


Tinja Her

Tunis ManoubiaMejez El Bab

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)

b < 0.600

0.600 < b < 0.625

0.625 < b < 0.650

0.650 < b < 0.675

0.675 < b < 0.700

b > 0.700


Tinja Her

Tunis Manoubia Mejez El Bab



Figure III.70. Carte de a(T=2 ans) obtenue par KDE = b(T=2 ans) krigé


3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)

a < 200

200 < a < 250

250 < a < 300

300 < a < 350

a > 350


Tinja Her


3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)

a < 250

250 < a < 350

350 < a < 450

450 < a < 550

a > 550


Tinja Her





En dressant la carte des altitudes (voir Figure III.73), et en la comparant avec les Figures III.70 à III.72, nous avons remarqué que les grandes valeurs de a(T) suivent le relief, ce qui prouve que a(T) est une variable explicative. La figure III.73 montre bien qu’il existe une ligne de crête qui sépare l’aval en deux parties nord et sud et que le réseau pluviographique est faible en zone plate.

Figure III.73. Carte des altitudes

III-8-2-4- Cartographie de Imax(T)

En utilisant les paramètres a(T) et b(T) obtenus par krigeage et en se basant sur le modèle de Montana, les cartes de Imax(T ans) obtenues pour une durée de référence de 1 heure sont reportées sur les Figures III.74 à III.76. La carte des Imax (2 ans) pour une durée de référence d’une heure (Figure III.74) conduit à des intensités variant entre 9.2 mm/h et 38.9 mm/h. La Figure III.75 montre que Imax (5 ans) pour une durée d’une heure est

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)

a < 500

500 < a < 650

650 < a < 800

800 < a < 950

a > 950


Tinja Her


3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m) Z< 200m

200m<Z<400m

400m<Z<600m

600m<Z<800m

Z>800m


Tunis Manoubia

Tinja Her

Bou Salem DRE Mejez El Bab



comprise entre 13mm/h et 81.6mm/h et la Figure III.76 conduit à des intensités variant entre 14.1 mm/h et 183.3 mm/h.

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)

Imax(T=2ans) < 14 mm/h

14 mm/h < Imax(T=2ans) < 17 mm/h




Imax(T=2ans) > 26 mm/h


Tinja Her


Figure III.74. Carte de Imax (T=2ans) pour une durée de référence de 1 heure

Figure III.75. Carte de Imax (T=5 ans) pour une durée de référence de 1 heure

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)








Tunis Manoubia

Tinja Her

Mejez El Bab



Figure III.76. Carte de Imax (T=50 ans) pour une durée de référence de 1 heure

Nous procédons de même pour calculer Imax(T ans) pour une durée de référence de 6

heures en utilisant les paramètres a(T ans) et b(T ans) obtenus par krigeage et en se basant sur le modèle de Montana. Les cartes de Imax(T ans) obtenues pour une durée de référence de 6 heures sont reportées sur les Figures III.77 à III.79. La carte des Imax (2 ans) pour une durée de référence de 6 heures (Figure III.77) montre que les intensités varient entre 2.9 mm/h et 14.4 mm/h. La Figure III.78 montre que Imax (5 ans) pour une durée de 6 heures est comprise entre 3.2 mm/h et 32.5 mm/h et la Figure III.79 conduit à des intensités variant entre 4.1 mm/h et 80.8 mm/h.

Figure III.77. Carte de Imax (T=2ans) pour une durée de référence de 6 heures

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)








Tunis Manoubia

Tinja Her

Mejez El Bab

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)








Tunis Manoubia

Tinja Her

Mejez El Bab



Figure III.78. Carte de Imax (T=5 ans) pour une durée de référence de 6 heures

Figure III.79. Carte de Imax (T= 50 ans) pour une durée de référence de 6 heures

III-8-3- Résultats de l’optimisation robuste

On rappelle que l’optimisation robuste est basée ici sur la minimisation de la variance moyenne spatiale de l'erreur d'interpolation par krigeage de a(T) pondérée. Elle sera réalisée en considérant deux horizons, un à court terme avec N= 5ans, et un à long terme avec N= 30 ans.

Une analyse de sensibilité pour le choix des paramètres du SA a été effectuée en faisant varier chaque paramètre du SA autour des valeurs choisies précédemment par calage, tout en gardant fixes les autres paramètres. Les valeurs qui assurent les meilleurs niveaux d’efficience et d’efficacité de cet algorithme ont finalement été identifiées à savoir {EA=0.99 ; α=0.9 ; n1=10, Plim= 1%} pour les scénarios 1 et 2 (petite taille d'augmentation du réseau correspondant à un grand nombre de solutions à tester) et {EA=0.9 ; α=0.9 ; n1=10, Plim = 1%} pour les scénarios 3 et 4 (grande taille d'augmentation du réseau correspondant à un

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m) Imax(T=5ans) < 6 mm/h






Tunis Manoubia

Tinja Her

Mejez El Bab

3900000

3950000

4000000

4050000

4100000

4150000

400000 450000 500000 550000 600000 650000

X (m)

Y (

m)

Imax(T= 50ans) < 10 mm/h








Tinja Her



petit nombre de solutions à tester). Ainsi, seule la valeur de EA distingue les paramètres internes.

Nous calculons d’abord la probabilité de dépassement de l’événement u(T) durant l’horizon (Eq.II.33) et ainsi la probabilité Prob(T) associée. Le Tableau III.37 résume les valeurs de u(T) et Prob(T) pour chaque période de retour pour les deux horizons.

Tableau III.37. Valeurs de u(T) et Prob(T)

N= 5 ans N= 30 ans

T (ans) u(T) Prob(T) u(T) Prob(T)

2 0.97 0.56 1 0.41 5 0.67 0.39 1 0.41 50 0.10 0.05 0.45 0.18

III-8-3-1- Analyse des résultats de la fonction Objectif robuste 1

Le Tableau III.38 présente les valeurs de FOref1(T ans) pour chaque scénario d’augmentation du réseau pluviographique existant en 1973. Nous rappelons que FOref1(T ans) est la fonction objectif de référence trouvée pour chaque période retour considérée seule (la variance moyenne spatiale de l'erreur d'interpolation par krigeage de a(T) avec dérive externe= b(T)) indépendamment des deux autres périodes de retour.

Tableau III.38. Valeurs de FOref1(T) pour a(T)

Période de retour 2 ans 5 ans 50 ans scénario 1 : 3 postes nouveaux) 13788 26127 90436 scénario 2: 6 postes nouveaux) 12413 22737 78416 scénario 3: 13 postes nouveaux) 101401 17314 59190 160% (Densité normative de l’OMM)

(scénario 4: 21 postes nouveaux) 8206 13629 46729

Pour atteindre l’objectif de l'optimisation robuste, la fonction objectif FO1 (Eq.II.34) est minimisée. On rappelle que cette fonction pondère les déviations quadratiques entre la valeur de la fonction objectif pour la solution robuste et la solution optimale de référence trouvée pour chaque période retour considérée seule pour le paramètre a(T), par la probabilité correspondante. La Figure III.80 illustre la répartition spatiale des nouveaux pluviographes résultants.

Les réseaux obtenus sont parfaitement semblables pour les deux horizons à court et à long terme pour les trois scénarios 1, 2 et 3 (Tableau III.39).

Dans le scénario 1 (trois nouvelles stations à implanter), les sites sélectionnés sont à l'intérieur des zones où les valeurs des écarts-types estimés étaient les plus importantes en utilisant les variogrammes a(T ans) i(a(T ans))

pour les trois périodes de retour T= 2ans, 5 ans et 50 ans (Fig.III.64 à III.66). Par exemple, une nouvelle station (code = 1) est située dans la partie sud du bassin BV5 dans la zone où σ75%(a(T ans))

< σi(a(T ans)) < σ90%(a(T ans)) pour T= 5 ans et T= 50 ans (Figures III.65 et III.66). La deuxième station (code = 3) se trouve dans la zone où



σ90%(a(T ans)) < σi(a(T ans)) < σ95%(a(T ans)) pour T= 2 ans et T= 5 ans (Figures III.64 et III.65). La

troisième station (code = 27) est située au BV3 où i(a(T ans)) > σ95%(a(T ans))

pour les trois périodes de retour T=2 ans, 5 ans et 50 ans (Fig.III.64 à III.66). Ces trois stations (codes=1, 3, 27) sont aussi retenues dans le scénario 2. Dans le scénario 2, deux autres sites (codes = 10, 19) sont sélectionnés dans la partie centrale du BV5 où σ75%(a(2 ans))

< σi(a(2 ans)) < σ90%(a(2 ans)) (Figure III.64) et où σ50%(a(T ans))

< σi(a(T ans)) < σ75%(a(T ans)) pour T= 5 ans et 50 ans (Figures III.65 et III.66) et un autre (code = 29) dans le BV3 où σ50%(a(T ans))

< σi(a(T ans)) < σ75%(a(T ans)) pour T= 5 ans et 50 ans (Figures III.65 et III.66). Pour le scénario 3, les six stations (codes=1, 3, 10, 19, 27, 29) choisies dans le scénario 2 sont aussi retenues dans le scénario 3. Les autres stations sont réparties sur le BV3 avec un site (code = 23) à la frontière avec le BV5 où σ50%(a(T

ans)) < σi(a(T ans)) < σ75%(a(T ans)) pour T= 2ans, 5 ans et 50 ans (Figures III.64 à III.66). Un autre

site (code = 25) a été choisi dans la zone où σ75%(a(T ans)) < σi(a(T ans)) < σ90%(a(T ans)) pour les

trois périodes de retour T= 2ans, 5 ans et 50 ans (Fig.III.64 à III.66) et une station (code= 34) dans la zone où σ75%(a(5 ans))

< σi(a(5 ans)) < σ90%(a(5 ans)) (Figure III.65) et où σ75%(a(50 ans)) < σi(a(50

ans)) < σ90%(a(50 ans)) (Figure III.66). Pour ce scénario, la partie sud du BV5 serait couverte par un pluviographe (code=6) dans la zone où σ50%(a(5 ans))

< σi(a(5 ans)) < σ75%(a(5 ans)) (Figure III.65) et deux autres stations (codes = 13, 32) dans la zone où σ50%(a(T ans))

< σi(a(T ans)) < σ75%(a(T ans)) pour les deux périodes de retour T= 5 ans et 50 ans (Figures III.65 et III.66). Parmi les 13 nouvelles stations, nous avons aussi un site (code=16) dans la zone où σ50%(a(2 ans))

< σi(a(2 ans)) < σ75%(a(2 ans)) (Figure III.64) et où σ50%(a(50 ans))

< σi(a(50 ans)) < σ75%(a(50 ans)) (Figure III.66) dans

le BV5.

Il n’y a que pour le scénario 4 (augmentation de 160% de la taille initiale) que les deux solutions obtenues à court terme et à long terme sont différentes. Mais il s’agit d’une différence minime avec seulement 3 stations sur 21 qui divergent (ce qui donne un écart de 14%). Les codes des stations qui sont différentes sont indiqués en gras dans le Tableau III.39.



Figure III.80. Répartition spatiale des réseaux optimaux obtenus pour l’optimisation

robuste (FO1)

Tableau III.39. Solutions robustes pour la fonction objectif FO1


Solution pour la fonction objectif robuste 1 (horizon N= 5ans)

Solution pour la fonction objectif robuste 1 (horizon

N=30 ans) Densité normative de


{1, 3, 6, 7, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 27,

29, 32, 34, 42, 50, 52}

{1, 3, 6, 7, 11, 13, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 29, 32, 34,

42, 49, 52, 53} (scénario 3: 13 postes

nouveaux) {1, 3, 6, 10, 13, 16, 19, 23,

25, 27, 29, 32, 34 } {1, 3, 6, 10, 13, 16, 19, 23,

25, 27, 29, 32, 34 } (scénario 2: 6 postes

nouveaux) {1, 3, 10, 19, 27, 29} {1, 3, 10, 19, 27, 29}


{1, 3, 27} {1, 3, 27}

III-8-3-2- Analyse des résultats de la fonction Objectif robuste 2

Le Tableau III.40 présente les valeurs de FOref2(T) qui utilise les variances normalisées dans la fonction objectif.

%[%[

%[%[

%[

%[

%[

%[

%[

%[

%[

%[%[

Ú Ú

Ú

$T $T

$T

$T

$T$T

ð ð

ð

ð ð

ð

ð

ðð

ðð

ðð

BV 6

BV 5

BV 4

BV 3

0 100000 200000 Kilometers

%[ Réseau existant de 1973 Ú Scénario 1 ︵horizon=5ans et horizon=30ans ︶

$T Scénario 2 ︵horizon=5ans et horizon=30ans ︶

ð Scénario 3 ︵horizon=5ans et horizon=30ans ︶

kilomètres



Tableau III.40. Valeurs de FOref2(T)

Période de retour 2 ans 5 ans 50 ans

scénario 1 : 3 postes nouveaux) 2.13 1.69 1.67 scénario 2: 6 postes nouveaux) 1.52 1.34 1.35 scénario 3: 13 postes nouveaux) 1.30 1.05 1.06 160% (Densité normative de l’OMM)

(scénario 4: 21 postes nouveaux) 1.03 0.89 0.89

La fonction objectif 2 (Eq.II.37) est minimisée et conduit à la répartition des nouveaux

pluviographes de la Figure III.81. Les réseaux obtenus sont parfaitement semblables pour les deux horizons : à court terme et à long terme pour le scénario 1 (Tableau III.41). Dans ce scénario (trois nouvelles stations), les sites sélectionnés sont à l'intérieur des zones où les valeurs des écarts-types sont les plus importantes que ce soit celles obtenues en utilisant le variogramme a(T=2 ans) i(a(2 ans))

(Fig. III.64) ou celles obtenues en utilisant le variogramme a(T=5 ans) i(a(5 ans))

(Fig. III.65) ou celles obtenues en utilisant le variogramme a(T=50 ans) i(a(50 ans) )(Fig. III.66). Par exemple, une nouvelle station (code = 27) est située dans le bassin BV3 dans la zone où i(a(T ans))

> σ95%(a(T ans)) pour les trois périodes de retour T=2 ans, 5 ans et

50 ans. Les deux autres stations sont réparties sur le BV5 avec un site (code = 25) à la frontière avec le BV3 où σ75%(a(T ans))

< σi(a(T ans)) < σ90%(a(T ans)) pour les trois périodes de retour T=2 ans, 5 ans et 50 ans (Fig.III.64 à III.66) et une station (code=28) dans les zones où σ90%(a(T ans))

< σi(a(T ans)) < σ95%(a(T ans))

pour les trois périodes de retour T=2 ans, 5 ans et 50 ans (Fig.III.64 à III.66). Pour le scénario 2 et en adoptant un horizon à court terme (N= 5 ans), en plus des deux stations (codes=25, 27), un site (code = 34) est sélectionné dans le BV3 où σ75%(a(5 ans))

< σi(a(5 ans)) < σ90%(a(5 ans)) (Fig.III.65) et σ75%(a(50 ans)) < σi(a(50 ans)) < σ90%(a(50 ans))

(Fig.III.66). Une autre station (code = 21) est sélectionnée dans le BV5 dans la zone où σ75%(a(2 ans))

< σi(a(2 ans)) < σ90%(a(2 ans)) (Fig.III.64) et σ75%(a(5 ans)) < σi(a(5 ans)) < σ90%(a(5 ans))

(Fig.III.65) et un autre site (code = 5) dans la zone où σ50%(a(5 ans)) < σi(a(5 ans)) < σ75%(a(5 ans))

(Fig.III.65).

Pour le scénario 2 et en adoptant un horizon à long terme (N=30 ans), au lieu de la station (code =34), un autre site (code = 20) a été sélectionné dans le BV5 à la frontière avec le BV4 où σ75%(a(2 ans))

< σi(a(2 ans)) < σ90%(a(2 ans)) (Fig.III.64).

Pour le scénario 3, les deux solutions obtenues à court terme et à long terme sont différentes. Mais il s’agit d’une différence minime avec seulement 2 stations sur 13 qui divergent (ce qui donne un écart de 15%). Les codes des stations qui sont différentes sont indiqués en gras dans le Tableau III.41. Pour l’horizon à court terme, les quatre stations (codes=18, 21, 25, 27) choisies dans le scénario 2 sont aussi retenues dans le scénario 3. Les autres stations sont réparties sur le BV5 avec un site (code = 28) où σ90%(a(2 ans))

< σi(a(2 ans)) < σ95%(a(2 ans)) (Fig.III.64) et σ90%(a(5 ans))

< σi(a(5 ans)) < σ95%(a(5 ans)) (Fig.III.65) et σ90%(a(50 ans)) <

σi(a(50 ans)) < σ95%(a(50 ans)) (Fig.III.66) et un site (code = 20) où σ75%(a(2 ans)) < σi(a(2 ans)) < σ90%(a(2

ans)) (Fig.III.64). Pour ce scénario, la partie centrale du BV5 serait couverte par un pluviographe (code=19) dans la zone où σ90%(a(2 ans))

< σi(a(2 ans)) < σ95%(a(2 ans)) (Fig.III.64) et où σ75%(a(5 ans))

< σi(a(5 ans)) < σ90%(a(5 ans)) (Fig.III.65). Deux autres stations (codes =12, 13) ont été sélectionnées dans le BV5 dans la zone où σ50%(a(T ans))

< σi(a(T ans)) < σ75%(a(T ans)) pour les trois périodes de retour T=2 ans, 5 ans et 50 ans (Fig.III.64 à III.66) et un autre site (code= 16) dans la zone où σ50%(a(2 ans))

< σi(a(2 ans)) < σ75%(a(2 ans)) (Fig.III.64) et où σ50%(a(50 ans)) < σi(a(50 ans))

< σ75%(a(50 ans)) (Fig.III.66). Parmi les 13 nouvelles stations, nous avons aussi un site (code=31)



dans la zone où σ50%(a(2 ans)) < σi(a(2 ans)) < σ75%(a(2 ans)) (Fig.III.64) et où σ75%(a(5 ans))

< σi(a(5 ans)) < σ90%(a(5 ans)) (Fig.III.65) et où σ75%(a(50 ans))

< σi(a(50 ans)) < σ90%(a(50 ans)) (Fig.III.66) dans le BV3. Pour l’horizon à long terme, au lieu des deux stations (codes = 13, 28) choisies dans l’horizon à court terme, nous avons deux pluviographes sélectionnés dans le BV5 avec un site (code =40) dans la zone où σ90%(a(T ans))

< σi(a(T ans)) < σ95%(a(T ans)) pour les trois périodes de retour T=2 ans, 5 ans et 50 ans (Fig.III.64 à III.66). L’autre site (code = 32) est choisi dans la zone où σ50%(a(5 ans))

< σi(a(5 ans)) < σ75%(a(5 ans)) (Fig.III.65) et où σ50%(a(50 ans)) < σi(a(50 ans)) < σ75%(a(50 ans))

(Fig.III.66).

Pour le scénario 4, les deux solutions obtenues par optimisation robuste à court terme et à long terme sont différentes. Les codes des stations qui sont différentes sont indiqués en gras dans le Tableau III.41. Les deux réseaux optimaux diffèrent par 7 stations sur 21 ce qui donne un écart de 33%.

%[%[

%[%[

%[

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ÊÚ

ÊÚ ÊÚ

$T

$T

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$T

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Ñ Ñ

Ñ

Ñ

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(X (X (X

(X (X

(X

(X (X(X

(X

Ì

Ì

Ì Ì Ì

Ì Ì

Ì

ÌÌ Ì

Ì

Ì

BV 6

BV 4

0 100000 200000 Kilometers

%[ Réseau existant de 1973 ÊÚ Scénario 1 ︵horizon=5ans et horizon=30ans ︶

$T Scénario 2 ︵horizon=5ans ︶

Ñ Scénario 2 ︵horizon=30ans ︶

(X Scénario 3 ︵horizon=5ans ︶

Ì Scénario 3 ︵horizon=30ans ︶

Figure III.81. Répartition spatiale des réseaux optimaux obtenus pour l’optimisation robuste (FO2)

kilomètres



Tableau III.41. Solutions robustes pour la fonction objectif FO2


Solution pour la fonction objectif

robuste 2 (horizon= 5ans)


robuste 2 (horizon =30 ans)


nouveaux)

{22, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 34, 40, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51,

53, 54, 55}

{22, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 40, 47, 50, 51, 52, 53, 54, 58,

60} (scénario 3: 13 postes

nouveaux) {12, 13, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 25, 27, 28, 31,

35}

{12, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 25, 27, 31, 32, 35,

40)} (scénario 2: 6 postes

nouveaux) {15, 18, 21, 25, 27, 34} {15, 18, 20, 21, 25, 27}


{25, 27, 28} {25, 27, 28}

III-8-3-3- Comparaison des réseaux robustes obtenus à ceux du monocritère

Pour une fonction objectif donnée, il y a un peu de différences sur les horizons (3 postes sur 21 ou encore 2 postes sur 13) à partir de 100% d’extension.

Pour interpréter ces résultats, une comparaison des solutions obtenues par l’optimisation robuste avec la Fonction objectif 1 à celles obtenues en monocritère pour la cartographie de l’intensité en une heure est réalisée. Les deux variogrammes relatifs aux deux événements de 1973 et 2003 sont utilisés successivement à titre comparatif. Les Tableaux III.42 et III.43 reportent les variances d’estimation de l’intensité de 1 heure issues du réseau robuste (FO1) auquel est associé respectivement le variogramme 2D de 1973 puis celui de 2003 et aussi les variances obtenues par l’optimisation monocritère (cartographie de I2D-1h).

L’examen des Tableaux III.42 et III.43 fait ressortir que les différences sur la variance moyenne des réseaux optimaux ne sont pas significatives. En effet, tel que le montre le Tableau III.43, l’écart maximal entre la variance moyenne du cas monocritère et celle du cas robuste est obtenu pour le cas du variogramme de 2003 pour le scénario 1.

Tableau III.42. Comparaison des variances moyennes obtenues sur la base du réseau robuste (FO1) à celles obtenues en monocritère pour la cartographie de I2D-1h (Mars

1973)


Variance spatiale moyenne ((mm/h)2)

(Réseau optimal robuste (FO1) + variogramme

2D de Mars 1973) ((mm/h)2)

La variance moyenne spatiale de krigeage (monocritère I2D-1h

(Mars 1973)) ((mm/h)2)

(3 nouveaux postes) ( horizon=5 ans et horizon= 30 ans)

14.6 13.4


12.0 11.6


9.0 8.9

160% (Densité normative OMM) 7.2 7.1



(horizon=5 ans) 160% (Densité normative OMM)

(horizon= 30 ans) 7.2 7.1

Tableau III.43. Comparaison des variances moyennes obtenues par le réseau robuste (FO1) à celles obtenues en monocritère pour la cartographie de I2D-1h (Janvier 2003)



(Réseau optimal robuste (FO1) + variogramme

2D de 2003)

Variance moyenne spatiale de krigeage (monocritère I2D-1h (Janvier 2003))

(mm/h)2

(3 nouveaux postes) (horizon=5 ans et horizon= 30 ans)

257 231


203 196

(13 nouveaux postes) (horizon=5 ans et

horizon= 30 ans)

154 153

160% (Densité normative OMM) (horizon=5 ans)

126.

126

160% (Densité normative OMM)

(horizon= 30 ans)

126

126

De même, les solutions obtenues par l’optimisation robuste avec la Fonction objectif 1 sont comparées à celles obtenues en monocritère pour l’érosion et ceci en évaluant la variance spatiale moyenne de l’erreur de krigeage du facteur d’érosivité relatif à l’événement de 1973 sous l’hypothèse que le réseau est le réseau robuste identifié auparavant. Le Tableau III.44, qui reporte ces résultats, montre qu’il n’y a pas de différence significative sur la valeur de la variance moyenne d’estimation.



Tableau III.44. Comparaison des variances moyennes obtenues par le réseau robuste (FO1) à celles obtenues en monocritère pour la cartographie de R pour Mars 1973


Variance spatiale (Réseau optimal robuste (FO1) +

Erosion de 1973)

La variance moyenne spatiale de krigeage

(monocritère R (Mars 1973))


0.59 0.54


0.49 0.47


0.37 0.36


0.29 0.29

160% (Densité normative OMM) (horizon= 30 ans)

0.29 0.29

Nous procédons de même que précédemment pour la comparaison des solutions

obtenues pour l’optimisation robuste avec la Fonction objectif 2 à celles obtenues en monocritère pour la cartographie de l’intensité en une heure pour chacun des deux événements de 1973 et de 2003. Les Tableaux III.45 et III.46 reportent les variances obtenues par le réseau robuste (FO2) et le monocritère (cartographie de I2D-1h) respectivement pour Mars 1973 et Janvier 2003. L’examen de ces tableaux fait ressotir que les différences entre les variances moyennes du monocritère (cartographie de I2D-1h) pour les deux variogrammes et celles du cas robuste (FO2) sont plus ressenties que précedemment, c'est-à-dire en comparant le monocritère et le robuste pour le cas de FO1. Ces résultats montrent bien que le monocritère aboutit généralement à une variance moyenne plus petite que le cas robuste (FO2).

Tableau III.45. Comparaison des variances moyennes obtenues par le réseau robuste (FO2) à celles obtenues en monocritère pour la cartographie de I2D-1h (Mars 1973)



(FO2 + variogramme de 1973)


(Mars 1973)) ((mm/h)2)


15.3 13.4

(6 nouveaux postes) (horizon=5 ans)

13.5 11.6

(6 nouveaux postes) (horizon= 30 ans)

13.6 11.6

(13 nouveaux postes) (horizon =5 ans)

12.3 8.9


12.4 8.9

160% (Densité normative OMM) (horizon =5 ans)

11.3 7.1

160% (Densité normative OMM) (horizon = 30 ans)

11.7 7.1



Tableau III.46. Comparaison des variances moyennes obtenues par le réseau robuste (FO2) à celles obtenues en monocritère pour la cartographie de I2D-1h (Janvier 2003)

Augmenter le réseau existant par Variance spatiale

moyenne ((mm/h)2) (FO2 +variogramme de 2003)


(Janvier 2003)) (mm/h)2


317 231


280 196


287 196


269 153


269 126

160% (Densité normative OMM) (horizon =5 ans)

242 126

160% (Densité normative OMM) (horizon = 30 ans)

247 126

De même, les solutions obtenues par l’optimisation robuste avec la Fonction objectif 2

sont comparées à celles obtenues en monocritère pour l’érosion. Le Tableau III.47 reporte la variance d’estimation de l’erreur de krigeage du facteur d’érosivité en adoptant le réseau obtenu par optimisation robuste (FO2) et en utilisant le variogramme du facteur d’érosivité relatif à 1973 et aussi celle obtenue en monocritère pour la cartographie de R. L’examen du Tableau III.47 fait ressotir que la variance moyenne du monocritère (R (Mars 1973)) est plus faible que celle du cas robuste (FO2) pour tous les cas d’extension du réseau pluviographique. L’écart maximal entre les deux variances est obtenu pour le scénario 4. Toutefois, en général, la différence avec les résultats que ce soit pour I2D-1h ou pour R des cas monocritère est plus marquée pour la FO2 comparativement à la FO1.

Tableau III.47. Comparaison des variances moyennes obtenues par le réseau robuste (FO2) à celles obtenues en monocritère pour la cartographie de R pour Mars 1973


Variance spatiale (Réseau optimal robuste (FO2) + Erosion de 1973)

La variance moyenne spatiale de krigeage

(monocritère R (Mars 1973))


0.61 0.54


0.54 0.47


0.54 0.47


0.50 0.36


0.50 0.36


0.46 0.29

160% (Densité normative OMM) (horizon= 30 ans)

0.47 0.29



En comparant les résultats des deux fonctions objectives robustes, il vient que les réseaux sont très différents pour les deux horizons 5 ans et 30 ans à toutes les échelles d’extension (Tableaux III.48 et III.49). En effet, pour la FO2, la normalisation constitue aussi une sorte de pondération, ce qui explique les différences de ses résultats par rapport à ceux de la FO1. Ceci s’explique par le fait que nous avons ici des problèmes décisionnels et c'est prévisible par conséquent d'avoir des réponses différentes quand on exprime des préférences différentes à travers la fonction objectif ou les poids adoptés.

Tableau III.48. Solutions robustes pour les fonction objectifs FO1 et FO2 (Horizon N=5 ans)



robuste 1 (horizon= 5ans)


robuste 2 (horizon =5 ans)


nouveaux)

{1, 3, 6, 7, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 27,

29, 32, 34, 42, 50, 52}

{22, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 34, 40, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 53, 54,


nouveaux) {1, 3, 6, 10, 13, 16, 19, 23, 25, 27, 29, 32, 34 }

{12, 13, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 25, 27, 28, 31,


nouveaux) {1, 3, 10, 19, 27, 29} {15, 18, 21, 25, 27, 34}


{1, 3, 27} {25, 27, 28}

Tableau III.49. Solutions robustes pour les fonction objectifs FO1 et FO2 (Horizon N=30

ans)


existant par Solution pour la fonction

objectif robuste 1 (horizon=30 ans

Solution pour la fonction objectif 2 (horizon =30 ans)


nouveaux)

{1, 3, 6, 7, 11, 13, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 29,

32, 34, 42, 49, 52, 53}

{22, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 40, 47, 50, 51,

52, 53, 54, 58, 60}


{1, 3, 6, 10, 13, 16, 19, 23, 25, 27, 29, 32, 34 }

{12, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 25, 27, 31, 32, 35, 40}


{1, 3, 10, 19, 27, 29} {15, 18, 20, 21, 25, 27}


{1, 3, 27} {25, 27, 28}

III-9- SYNTHESE DES RESULTATS DES PROBLEMES D’OPTIMISATION ETUDIES

Au total, nous avons considéré 12 problèmes d’optimisation qui diffèrent aussi bien par la fonction objectif que par la variable d’étude. Quatre variables d’étude ont été considérées : l’intensité maximale sur une durée d'une heure krigée (I2D-1h) en se basant sur le variogramme 2D, l’intensité krigée sur la base du variogramme 3D (I3D) en considérant six



durées de référence ( = 5, 10, 15, 30, 60, 120), le facteur d'érosivité des précipitations (R) pour un intervalle de temps pluvieux comportant l’intensité la plus forte en 6 heures et le coefficient a(T) de la formule de Montana pour 3 périodes de retour différentes. Dans ce qui suit, nous allons faire une synthèse de ces problèmes traités (Tableau III.50) pour voir quelles sont les postes les plus sollicités par ces approches, c'est-à-dire les stations candidates les plus choisies, sachant toutefois qu’un réseau fonctionne comme une entité et non par poste. .

Tableau III.50. Synthèse des problèmes d’optimisation étudiés

N° du

problème Variable d’étude

FO Remarques

P1 I2D-1h (Mars 1973)

nMinn

ihDIihDI

1

2)1973(12

)1973(2)12(

Problème mono-objectif

P2 I2D-1h (Janvier 2003)

nMinn

ihDIihDI

1

2)2003(12

)2003(2)12(


P3 I3D (Mars 1973)

nMin

n

iDIiDI

1

2)1973(3

)1973(2)3(

le 3D inclut six durées de référence ( = 5, 10, 15, 30, 60, 120)

P4 R (KDE=Im

ax-1h, Mars 1973)

nMinn

iRiR

1

2)1973()1973(2)(


P5 R (KDE=Im

ax-6h, Mars 1973)

nMinn

iRiR

1

2)1973()1973(2)(


P6 I2D-1h (Mars

1973) et R (KDE=Im

ax-1h, Mars 1973)

*)(

*)(.5.0

*)(

*)(.5.0 min

)1973(2)(

)1973(2)(

)1973(2)(

)1973(2)12(

)1973(2)12(

)1973(2)12(

R

RR

hDI

hDIhDIFO

Problème bi-objectif sans préférence

P7 I2D-1h (Mars

1973) et R (KDE=Im

ax-1h, Mars 1973)

*)(

*)(.7.0

*)(

*)(.3.0 min

)1973(2)(

)1973(2)(

)1973(2)(

)1973(2)12(

)1973(2)12(

)1973(2)12(

R

RR

hDI

hDIhDIFO

Problème bi-objectif avec préférence au facteur d’érosivité

P8 I2D-1h (Mars

1973) et R (KDE=Im

ax-1h, Mars 1973)

*)(

*)(.3.0

*)(

*)(.7.0 min

)1973(2)(

)1973(2)(

)1973(2)(

)1973(2)12(

)1973(2)12(

)1973(2)12(

R

RR

hDI

hDIhDIFO

Problème bi-objectif avec préférence à l’intensité de pluie

P9 a(T) Min FO1=0.56*(FO(2ans)- Problème robuste 1 (horizon= 5 ans)



FOref1(2ans))2 +0.39*(FO(5ans)-FOref1(5ans))2+ 0.05*(FO(50ans)-

FOref1(50ans))2 ans) FO(T

1

2)( n

n

iTansai

FOref1(T ans) est la fonction objectif de référence trouvée pour chaque période de retour seule (la variance moyenne spatiale

optimale de l'erreur d'interpolation par krigeage de a(T) avec dérive externe= b(T)) indépendamment des deux autres

périodes de retour).

P10 a(T) MinFO1=0.41*(FO(2ans)-FOref1(2ans))2+0.41*(FO(5ans)-FOref1(5ans))2+0.18*(FO(50ans)-

FOref1(50ans))2

Problème robuste 1 (horizon= 30 ans)

ans) FO(T 1

2)( n

n

iTansai

FOref1(T ans) est la fonction objectif de référence trouvée pour chaque période de retour seule (la variance moyenne spatiale

optimale de l'erreur d'interpolation par krigeage de a(T) avec dérive externe= b(T)) indépendamment des deux autres

périodes de retour).


FOref2(50ans))2


) -()/ (ans) FO(T 2))25%(a(Tans

2))(%(75

1

2)( Tansa

n

iTansai n

FOref2(T ans) est la fonction objectif de référence trouvée pour chaque période de

retour seule (la variance normalisée optimale obtenue en utilisant la différence

interquartile du champ des variances d’erreur de a (T ans) indépendamment des

deux autres périodes de retour).


FOref2(50ans))2


) -()/ (ans) FO(T 2))25%(a(Tans

2))(%(75

1

2)( Tansa

n

iTansai n

FOref2(T ans) est la fonction objectif de référence trouvée pour chaque période de

retour seule (la variance normalisée optimale obtenue en utilisant la différence

interquartile du champ des variances d’erreur de a (T ans) indépendamment des

deux autres périodes de retour).

Nous rappelons que tous ces problèmes ont été basés sur des scénarios d’extension du

réseau pluviographique avec 13 stations initiales fixes et un réseau de 40 stations candidates pour les scénarios 1, 2 et 3 et 60 stations candidates pour le scénario 4. Ces stations candidates fictives sont régulièrement réparties sur la région étudiée. Les Tableaux III.51 à III.54 présentent des synthèses, pour chaque scénario, des postes choisis (parmi Nc stations candidates) pour le réseau optimal.



Tableau III.51. Synthèse des réseaux optimaux pour le scénario 1 Station P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12

1 + + 2 + 3 + + 4 + 5 + + + 6 + 7 + + + 8 9 10 11 12 13 14 15 16 + + + + + + + 17 18 19 20 21 22 23 24 25 + + 26 27 + + + + 28 + + 29 + + + + + + + + 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40



Tableau III.52. Synthèse des réseaux optimaux pour le scénario 2

Station P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 1 + + 2 + + + + 3 + + 4 + 5 + + + 6 + 7 + 8 9 + + + + + 10 + + + 11 + + 12 13 14 15 + + 16 + + + + + + 17 18 + + 19 + + + + + + + + 20 + 21 + + + 22 23 24 25 + + 26 + + + + + + + 27 + + + + + 28 29 + + + 30 + + + + + + + 31 32 33 34 + 35 36 + 37 38 39 40




Station P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 1 + + + + 2 + + + + + 3 + + + + + 4 + + + 5 6 + + + + + 7 + 8 + + 9 + + + + 10 + + + + 11 + + + 12 + + 13 + + + + 14 + + + + 15 16 + + + + + + + + + 17 + + + + + + 18 + + + + + 19 + + + + + + 20 + + 21 + + + + + + + + + 22 + + 23 + + + + + + + + + + 24 25 + + + + + + + + + + + + 26 + + 27 + + + + + + + + + 28 + 29 + + + + + + + + 30 + + 31 + + 32 + + + + + + + + + + 33 34 + + + + + + 35 + + 36 + + 37 + 38 + + + 39 40 +




Station P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 1 + + + + + + + 2 + + + 3 + + + + + + + + + + 4 + + 5 + + 6 + + + + + + + + 7 + + + 8 9 + + 10 + + + + + + + 11 + + + + + + + + + + 12 13 + + + + + + + + + 14 + + + + + + + + 15 16 + + + + + + + + 17 18 + + + + + + + + + 19 + + + + + + + 20 + + 21 + + + + 22 + + 23 + + + + + + + + 24 + + + + 25 + + + + + + + + + + + 26 + + + + 27 + + + + + + + + + 28 + + 29 + + + + + + + + + + 30 + + 31 + + 32 + + + + + + + + + + 33 + + 34 + + + + + + + + + + + 35 + + 36 + + + 37 + 38 + + + + + 39 40 + + + 41 + 42 + + + 43 + + 44 45 + 46 + + + + +



47 + + 48 + + + + + + + 49 + + + + + + + 50 + + + + + + 51 + + 52 + + + + + + + + 53 + + + + + + + 54 + + 55 + + + + 56 57 58 + + 59 60 +

III-10- EXEMPLE ETUDIE SUITE A LA CONSULTATION DE L’ETUDE DE L’AJCI

(2009)

L’étude de l’AJCI (2009) a défini un plan directeur de gestion intégrée du bassin de Medjerdah, axé sur la régulation des inondations. Ce plan directeur est constitué de 6 projets, dont deux sont des mesures structurelles et quatre des mesures non structurelles, pour un horizon de réalisation fixé à 2030. Les mesures structurelles concernent la protection des villes et des terres agricoles le long de l’oued Medjerda contre les débordements au delà des crues de projet en mettant en place des endiguements, alors que les mesures non structurelles portent sur l’atténuation des dégâts des inondations en adoptant notamment des mesures de restriction d’utilisation des zones inondables. Cette étude considère des pluies de six jours parce qu'elle s'intéresse aux crues de grande envergure qui concernent tout le bassin, qui remplissent les barrages et qui causent des inondations à l'aval. Cette étude a cherché à choisir les 20 meilleures stations d’alerte des crues. Nous avons décidé de traiter cet exemple en recherchant la solution du problème du choix des 20 meilleures stations qui permettent d’avoir une cartographie fiable du paramètre de Montana a(T).

Nous procèdons pour l’optimisation robuste pour le choix de 20 stations dans le but de minimiser l’erreur moyenne de krigeage de a(T). Le krigeage avec dérive externe de a(T) est utilisé en prenant comme dérive externe b(T) obtenue par krigeage ordinaire. Nous nous intéressons à un horizon du long terme (N= 50 ans) étant donné que l’AJCI (2009) porte sur des actions qui vont jusqu'à 2030. Comme la FO2 se distingue plus des cas monocritères comparativement à la FO1, nous nous proposons de minimiser la FO2 en adoptant des poids calculés pour l’horizon N=50 ans : Min FO2=0.38*(FO(2ans)-FOref2(2ans))2+0.38*(FO(5ans)-FOref2(5ans))2+0.24*(FO(50ans)-FOref2(50ans))2 (III.2) Où FO(T ans) est donnée par l’équation (II.39) et FOref2(T ans) est la fonction objectif de référence trouvée pour chaque période de retour seule (la variance normalisée optimale obtenue en utilisant la différence interquartile du champ des variances d’erreur de a(T ans) indépendamment des deux autres périodes de retour).

D’autre part, nous avons considéré la sélection des 20 meilleures stations parmi 45 stations candidates consitutés par les 13 pluviographes existants en 1973 et les 32 postes existants en 2003. Ce choix n’implique pas d'investissement supplémentaire puisque les



postes sélectionnés feront partie du réseau existant. Afin de simplifier les notations, les codes des stations existantes en 1973 sont désignés de N1 à N13. Nous rappelons que les codes des stations candidates existantes en 2003 ont été désignés de S1 à S32.

Le Tableau III.55 présente les valeurs de FOref2(T) qui utilise les variances normalisées dans la fonction objectif.

Tableau III.55. Valeurs de FOref2(T)

Période de retour 2 ans 5 ans 50 ans stations optimales 1.41 1.13 1.08

La Figure III.82 montre l’emplacement des vingt pluviographes optimaux dont la liste

est donnée dans le Tableau III.56, choisis parmi les 45 stations candidates, qui améliorent le mieux la variance normalisée des erreurs de a(T). les sites sélectionnés sont à l'intérieur des zones où les valeurs des écarts-types sont les plus importantes que ce soit celles obtenues en utilisant le variogramme a(T=2 ans) i(a(2 ans))

(Fig. III.64) ou celles obtenues en utilisant le variogramme a(T=5 ans) i(a(5 ans))

(Fig. III.65) ou celles obtenues en utilisant le variogramme a(T=50 ans) i(a(50 ans) )(Fig. III.66). Par exemple, une la station (code = S17) est située dans le bassin BV3 dans la zone où i(a(T ans))

> σ95%(a(T ans)) pour les trois périodes de retour T=2 ans, 5

ans et 50 ans. Deux autres stations sont en BV3 à savoir les sites (code = S30) à la frontière avec le BV5 où σ75%(a(T ans))

< σi(a(T ans)) < σ90%(a(T ans)) pour les deux périodes de retour T=2 ans et 5 ans (Fig.III.64 et III.65) et une le site (code=S16) dans la zone où σ50%(a(5 ans))

< σi(a(5 ans))

< σ75%(a(5 ans)) (Fig.III.65).

Deux autres stations (codes =S26, S30) ont été sélectionnées dans le BV5 dans la zone

où σ90%(a(2 ans)) < σi(a(2 ans)) < σ95%(a(2 ans)) (Fig.III.64) et où σ75%(a(50 ans))

< σi(a(50 ans)) < σ90%(a(50

ans)) (Fig.III.66) et un autre site (code= S31) dans la zone où σ90%(a(2 ans)) < σi(a(2 ans)) < σ95%(a(2

ans)) (Fig.III.64) et où σ50%(a(50 ans)) < σi(a(50 ans)) < σ75%(a(50 ans)) (Fig.III.66). Parmi les 20 stations

optimales choisies dans le BV5, nous avons aussi trois sites (codes=S5, S23, S27) dans la zone où σ50%(a(T ans))

< σi(a(T ans)) < σ75%(a(T ans)) pour les deux périodes de retour T=5 ans et 50 ans (Fig.III.65 et III.66).



Figure III.82. Localisation des pluviographes existants en 1973 et 2003 dans la zone d’étude et configuration des 20 stations optimales dans BV3 et BV5

Tableau III.56. Liste des 20 stations optimales

Code Nom de la station N5 Cité du Mellegue SM S5 Batta Lac collinaire N1 Bou Salem DRE S27 Siliana Laouej S16 Mellegue K13 S22 Saadine 1 N4 Sk El Arba (Jendouba) SE S23 Saadine 2 S31 Zouara Sidi El Barrak N10 Sidi Boubaker Bge Kebir SM S17 Mellila Hammam Bourguiba S26 Sidi Hassoun N6 Makthar PF N3 Ghardimaou DRE S24 Sakiet Sidi Youssef S32 Zouarine Gare S29 Oued Tine Cassis S20 M'rira S30 Zecktoune N2 Mejez El Bab PF

%[%[

%[%[

%[

%[

%[

%[

%[

%[

%[

%[%[

$T$T$T$T

$T

$T$T$T

$T

$T

$T

$T

$T

$T

$T

$T

$T

$T

$T

$T

$T

$T

$T $T$T

$T

$T

$T

$T$T

$T

$T

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

#

BV 6

BV 4N5

S5

N1N4

N6

N3N2

S27

S16

S22S23S31

N10

S17

S26

S24

S29

S20

S30

0 100000 200000 Kilometers

%[ Réseau existant en 1973 $T Réseau existant en 2003# 20 stations optimales

kilomètres



CONCLUSIONS

En se basant sur une étude géostatistique des intensités de pluie observées lors de deux événements extrêmes, enregistrés dans la partie Nord et Nord-Est de la Tunisie en Mars 1973 et en Septembre 1986, un effet d'échelle des paramètres des variogrammes conditionnels a été mis en évidence: le palier ainsi que la portée des variogrammes d’intensité maximale de pluie montrent une relation semi-logarithmique en fonction de la durée de référence de l'intensité maximale. Un variogramme 3D est donc proposé, en tenant compte de la durée des précipitations comme une coordonnée dans R3. Ce variogramme 3D présente l'avantage d'être unique pour un événement pluvieux donné, tandis que les variogrammes 2D sont conditionnels à la durée de pluie de référence. En utilisant l'altitude comme dérive externe, ces variogrammes sont ensuite utilisés comme outils pour le krigeage et en adoptant la variance de l’erreur d’estimation pour le calcul de la fonction objectif.

D’après les résultats de la validation croisée, le variogramme 3D mène à des valeurs plus petites des erreurs standardisées d’interpolation des intensités maximales de pluie, pour une durée donnée, en comparaison avec les résultats du 2D. D’autre part, des écarts importants entre les estimations spatiales ont été signalés entre le 2D et le 3D, ce qui peut poser problème en pratique où c’est plutôt l’approche 2D qui est utilisée couramment. Afin de vérifier aussi la sensibilité de nos résultats à la méthode du krigeage, le krigeage ordinaire KO a été adopté comme alternative au krigeage avec dérive externe KDE. Les résultats ont montré que pour le cas du 3D, la différence entre les valeurs des ETEK-KDE et des ETEK- KO est légèrement plus petite que celle correspondante au cas 2D, pour l'événement de 1973. Les différences entre le KDE et le KO demeurent semblables pour les deux approches 2D et 3D dans le cas de l'événement de 1986. Ces résultats montrent l’avantage de l'estimation par l’approche 3D qui semble être moins sensible à la méthode du krigeage (KDE ou KO) pour les résultats des ETEK.

Pour le calage des paramètres internes du SA, dont l’étude s’est basée sur deux événements extrêmes, enregistrés dans la partie Nord en Mars 1973 et Janvier 2003, quatre critères ont été considérés : le pourcentage d'acceptation de solutions, la diminution de la valeur de la fonction objectif à l'optimum, le nombre d'itérations et le nombre de solutions optimales. La conclusion met en relief que le facteur de refroidissement était le paramètre le plus stable. Les trois valeurs hypothétiques retenues pour le paramètre d'élasticité d'acceptation (EA) étaient : 0.9 (en cas d'augmentation significative dans la taille de réseau indépendamment de la variabilité de la pluie); 0.95 (en cas de petite variabilité et de petite taille d'augmentation du réseau qui représente le cas d’un grand nombre de solutions à tester), et 0.99 (en cas de variabilité élevée et de grande taille d'augmentation du réseau qui coorespond à un petit nombre de solutions à tester). Le paramètre interne représentant la valeur du facteur de la longueur du pas n1 était n1=5 (en cas de variabilité élevée et de taille élevée d'augmentation) et n1=10 dans les autres cas. Le paramètre pourcentage des transitions acceptées était Plim=5% (en cas de variabilité élevée et de taille d'augmentation élevée) et Plim=1% dans les autres cas. Une autre conclusion principale est que malgré une grande différence dans les deux structures de variogrammes étudiées les paramètres internes du recuit simulé (SA) sont d’une façon générale assez semblables.

Des réseaux optimaux ont été configurés sur la base de l’événement de Mars 1973 en adoptant successivement les deux approches 2D et 3D, dans l’objectif d’optimisation du réseau pluviographique pour l’estimation spatiale de l’intensité de pluie. La conclusion est qu’ils sont différents d’une façon générale.



D’autre part, avec l’approche 2D , la comparaison de réseaux optimaux obtenus en se basant sur les variogrammes des deux événements de 1973 et 2003 qui déploient une variabilité de la pluie différente fait ressortir que globalement la solution optimale dépend du variogramme sous-jacent.

Mais la comparaison des réseaux optimaux obtenus en considérant l’objectif monocritère d’interpolation des deux variables intensité de pluie sur 1 heure et facteur d’érosivité sur la base de l’événement de 1973 fait ressortir qu’ils sont assez semblables entre eux.

L'agrégation des deux objectifs (intensité sur 1 heure et facteur R) en se basant successivement sur le variogrammes de 1973 puis sur celui de 2003 suggère que les solutions optimales restent tributaires de l’événement pluvieux extrême sous-jacent.

Lorsqu’on s’oriente vers une approche d’optimisation robuste sur la base de l’étude des paramètres a(T) et b(T) de la formule de Montana utilisée dans les courbes IDF, la comparaison des des réseaux robustes obtenus pour chacun des problèmes monocritères conclue à des configurations encore différentes.

Conclusion générale

177

Conclusion générale et perspectives

Au terme de ce travail qui a porté sur l’optimisation de réseau pluviographique avec application aux bassins versants de la Medjerdah (Bassin 5 (BV5)), de l’extrême nord et l’Ichkeul (Bassin 3 (BV3)), et le Méliane - Cap Bon (Bassin 4 (BV4)), nous allons présenter les principales conclusions de l’étude après en avoir rappelé rapidement la méthodologie. Cette région avait été étudiée dans le cadre du projet «Modernisation et maintenance du réseau pluviométrique et pluviographique du Nord de la Tunisie» qui a été financé par la DGRE (2006). Ayant participé à cette étude, nous avions eu la possibilité d’examiner les archives de la DGRE pour les pluviogrammes afin d’identifier ceux relatifs aux événements pluvieux les plus importants que la zone d’étude a connus et qui ont été préalablement identifiés par une revue de littérature. Vu l’absence de la plupart des pluviogrammes relatifs aux événements extrêmes identifiés, Le choix méthodologique a été pris de travailler sur des situations de crues exceptionnelles dont les intensités observées ont été bien documentées dans la littérature.

C’est pourquoi la thèse s’est s’abord concentrée pour les bassins 3 et 5 sur l’étude de

l’événement pluvieux du 26-27 et 28 Mars 1973 et du 10 au 11 Janvier 2003. Pour le bassin versant 4, nous avons étudié l’événement du 29 et 30 septembre 1986. Pour prendre en compte l’aléa pluviométrique, les résultats d’une étude des courbes IDF portant sur 14 stations appartenant aux bassins versants de la Medjerdah et de l’extrême nord et l’Ichkeul a été également utilisée de façon supplémentaire. Les estimations des paramètres a(T) et b(T) de la Formule de Montana ont été adoptés pour une étude géostatistique et pour l’optimisation de réseau pluviographique.

Compte tenu du fait que les événements étudiés ainsi que les pluviographes pour

lesquels l’étude IDF est disponible représentent des réseaux de faible densité comparativement aux critères de l’OMM, notre méthodologie a porté exclusivement sur la problématique d’extension du réseau pluviographique. Une augmentation hypothétique de la taille du réseau est considérée selon quatre scénarios (en étudiant des extensions plus ou moins importantes allant de 25% à 160% du réseau initial).

L’opération d’augmentation adopte une approche géostatistique pour évaluer les fonctions objectifs à minimiser. Il s’agit de la valeur moyenne spatiale de la variance d’estimation par krigeage n considérant trois types de variables de conception à savoir l’intensité de pluie , le facteur d’érosivité et le coefficient a(T).

La première variable de conception (l'intensité maximale de pluie sur une durée de référence d'une heure) est traitée en liaison avec des problématiques d'évaluation du débit d'écoulement pour les bassins versants de taille modérée (surface inférieure à 50 km²). Pour l’événement de Mars 1973, un modèle sphérique avec une portée=60 km et un palier=21 (mm/h)2) a été modélisé au variogramme expérimental, Pour l’événement de Janvier 2003, la portée= 160 km et le palier=1000(mm/h)². La deuxième variable de conception est le facteur d'érosivité de pluie qui est utilisé dans le modèle universel de l'équation de perte de sol (USLE), correspondant à la période des six heures de pluie les plus intenses au sein d’un événement pluvieux. Cette variable a été étudiée pour les problématiques d'érosion par impact de la pluie. Le variogramme expérimental du logarithme de l’indice d’érosivité R a été ajusté à un modèle de type sphérique sans effet de pépite dont les paramètres sont : une portée de 60



km et un palier de 0.85. La troisième variable de conception est le paramètre a(T), considérée pour trois valeurs différentes de la période de retour (T=2 ans, 5 ans et 50 ans). Les variogrammes modélisés sont sphériques ont pour paramètres (pour a(T=2ans) : portée=40 km, palier = 15000 ; pour a(T=5ans) : portée=50 km, palier=32000 ; pour a(T=50ans) : portée=50 km, palier=110000)

Etant donné que nous avons affaire à des régions avec un réseau pluviographique de faible densité, la thèse s’est proposé d’adopter une évaluation à trois dimensions (position géographique– durée - intensité) du variogramme comme alternative complétant l’approche classique 2D souvent adoptée pour l'analyse spatiotemporelle des précipitations. L'avantage de l'approche 3D réside dans le fait qu'elle est basée sur un variogramme normalisé unique qui caractérise l’événement pluvieux. Une comparaison de la précision d’estimation issue des deux méthodes (2D, 3D) en se basant sur l’approche de la validation croisée a montré que le krigeage 3D permet d’abaisser de manière plus significative les erreurs d’estimation que l’approche classique 2D.

L'efficacité de la méthode de recherche automatique de la solution optimale adoptée qui est celle du recuit simulé (SA) dépend principalement des paramètres internes du SA. La procédure de leur calage est basée sur les simulations de Monte Carlo. Comme synthèse, nous pouvons avancer la conclusion que pour le variogramme reflétant une variabilité spatiale plus petite (événement de 1973 avec portée=60 km et palier=21 (mm/h)2), les paramètres internes optimaux du SA sont {EA=0.95; =0.9; n1=10 et Plim=1%} dans les cas d’extension du réseau existant de 13 stations par par 7, 10 ou 15 nouvelles stations parmi 32 candidats (de 20% à 50% des candidats à trouver). Pour des scénarios d’extension du réseau existant plus étendus (à savoir 20 ou 25 nouvelles stations sur 32, c'est-à-dire de 60% à 80% des candidats à trouver), les paramètres , n1 et Plim sont maintenus tandis que EA est diminué (EA=0.9). EA semble beaucoup sensible en ce qui concerne la taille de l'augmentation du réseau comparativement au choix offert (le nombre de stations candidates). Pour le variogramme caractérisé par de plus grandes valeurs de portée et de palier (événement 2003, avec portée= 160 km et palier=1000(mm/h)²), quand le réseau subit la plus petite augmentation (7 nouvelles stations parmi 32 candidates), les paramètres internes optimaux du SA ne diffèrent pas à l’exception de EA (EA=0.99 comparé à EA=0.9). Pour les scénarios d’extension de la taille du réseau plus grands, on obtient une valeur plus petite pour n1 et une valeur plus grande pour Plim (n1= 5 et Plim=5%) tout en gardant les mêmes valeurs de EA et (EA=0.9 ; =0.9). Ainsi peut-on suggérer que les paramètres internes du SA semblent se compenser selon la taille du problème d’extension du réseau et selon l'importance de la variabilité de la pluie. Ceci implique qu’en pratique, il est nécessaire d’effectuer un calage préliminaire des paramètres internes du SA avant de procéder à l’optimisation du réseau pluviographique.

Pour l’optimisation monocritère, la comparaison des réseaux optimaux issus de l’adoption des variogrammes des deux événements de 1973 et 2003 fait ressortir que globalement la solution optimale dépend de la structure de la variabilité de la pluie sous-jacente. En effet, le variogramme de 2003, qui traduit une variabilité spatiale plus forte, met plus en évidence le gain provenant d’une augmentation de la taille du réseau. En utilisant le variogramme de 1973 (dénotant une variabilité spatiale plus réduite), le gain apporté par l’extension de réseau est moins évident. Ces résultats sont cohérents puisque face à un phénomène pluvieux plus variable dans l’espace, une augmentation de réseau de suivi est souhaitable. Ainsi la solution optimale dépend de l'importance de la variabilité de la pluie considérée comme hypothèse de travail. Cela justifie que nous ayons opté dans la suite de la



thèse pour le développement d’une approche d’optimisation robuste dont l’avantage est d’obtenir une solution valable pour des événements pluvieux de récurrence différente.

La comparaison des réseaux optimaux obtenus pour les deux variables intensité de pluie et facteur d’érosivité en monocritère sur la base de l’événement de 1973 fait ressortir qu’ils sont assez semblables entre eux. Alors qu’on aboutit à la même solution pour le scénario 1, nous avons pour les autres scénarios entre un quart et un tiers de postes qui diffèrent (respectivement 7 postes différents sur 21, 3 sur 13 et 2 sur 6). La réduction d'incertitude par station ajoutée est semblable pour les deux objectifs d'interpolation de l’intensité de pluie et du facteur d’érosivité quel que soit le scénario.

Notons que pour vérifier si ces résultats sont influencés par le choix de la dérive externe pour l’interpolation, une autre dérive externe représentant l'intensité maximale sur 6 heures a été adoptée pour l’estimation de R. Les résultats obtenus ont montré que la variance moyenne spatiale de krigeage et le gain relatif par station ajoutée sont indépendants du choix de la dérive externe, ce qui constitue un bon indicateur de la robustesse des résultats.

D’autre part, si les variogrammes issus des deux approches 2D et 3D sont utilisés comme base d’optimisation, pour la variable d’étude intensité maximale de pluie sur une heure, l’interprétation a fait ressortir que les réseaux optimaux identifiés sont différents, avec des écarts variant de 46% à 67%. Cette comparaison a montré aussi que l’approche 3D permet d’avoir une amélioration de la précision d’interpolation spatiale du réseau optimisé plus nette que l’approche 2D pour les scénarios 1 et 2. Pour les scénarios 3 et 4 d’extension du réseau pluviographique, les deux approches 2D et 3D donnent les mêmes gains relatifs. Ceci constitue aussi donc un avantage supplémentaire de l’approche 3D surtout pour les petites augmentations du réseau.

Après l’analyse d’optimisation en monocritère, nous avons adopté des techniques d'optimisation bi-objectives en utilisant trois cas de poids ((w1=0.5, w2=0.5) ; (w1=0.3, w2=0.7) ; (w1=0.7, w2=0.3)). Les résultats s’avèrent indépendants des valeurs des poids en scénario 1 puisque les trois stations additionnelles sont strictement identiques quels que soient les poids. Par contre, donner plus de poids à un aspect singulier (intensité de pluie ou facteur d'érosivité) plutôt qu’à l’autre résulte en des réseaux optimaux différents que ce soit pour le scénario 2 (six nouvelles stations) ou 3 (treize nouvelles stations). En effet, pour le scénario 2, seulement une station parmi six est commune pour les trois cas de décisions (les trois cas de poids). Indépendamment du choix des poids, on constate que dans le cas du scénario 3, quatre sur treize stations sont communes pour les trois situations de pondération des deux objectifs. Par contre, jusqu'à seize sur 21 stations sont communes entre les décisions bi-objectives pour le scénario 4. Les réseaux bi-objectifs optimaux diffèrent donc selon les poids accordés aux objectifs partiels d’estimation de l’intensité et du facteur d’érosivité de pluie.

Enfin, l’adoption des techniques d'optimisation robustes qui se rapportent à des réseaux représentatifs couvrant des événements pluvieux de probabilité d’occurrence différente a consisté à étudier l’optimisation basée sur la minimisation de la variance moyenne spatiale de l'erreur d'interpolation par krigeage du coefficient a(T) de la formule de Montana décrivant les courbes IDF. La méthode d’optimisation robuste suppose l’adoption d’horizons. Un horizon à court terme N= 5 ans et un horizon à long terme N=30 ans sont alors considérés.



Deux fonctions objectives sont proposées et comparées dont la première consiste à minimiser la somme des déviations quadratiques entre la valeur de la fonction objectif pour la solution robuste et sa valeur pour la solution optimale trouvée pour chaque période retour seule, multiplié (pondéré) par la probabilité d’occurrence liée à l’horizon. Comme auparavant, la fonction objectif est la variance moyenne spatiale de l’erreur de krigeage de a(T). Les réseaux obtenus sont parfaitement semblables pour les deux horizons à court terme et à long terme pour les trois scénarios 1, 2 et 3, ce qui s’explique par la valeur des poids obtenus qui n’est pas très différente d’un cas à l’autre. Pour le scénario 4 (21 nouvelles stations à choisir), ils diffèrent par 3 stations seulement sur 21. Par conséquent, les différences sur la variance moyenne des réseaux optimaux sont très faibles entre l’optimisation robuste utilisant a(T) pour la Fonction objectif 1 et l’optimisation monocritère pour la cartographie de l’intensité en une heure. La même conclusion vaut pour la comparaison des résultats de l’optimisation robuste (FO1) et ceux du cas monocritère pour le facteur d’érosion R. Ainsi, cela traduirait le fait que le choix des événements extrêmes étudiés est assez judicieux.

La deuxième fonction objectif de l’optimisation robuste (FO2) utilise la variance normalisée par la différence interquartile du champ des variances d’erreur de a(T ans)) au lieu de la variance comme pour FO1. Les réseaux obtenus sont de nouveau parfaitement semblables pour les deux horizons : à court terme et à long terme pour les scénarios 1 et 2. Pour le scénario 3, ils diffèrent par 2 stations sur 13. Pour le scénario 4, ils diffèrent par 3 stations sur 21. Ainsi, la fonction objectif 2 est plus sensible à l’horizon de travail que la fonction objectif 1. D’autre part, la comparaison des solutions obtenues par l’optimisation robuste (FO2) à celles obtenues en monocritère que ce soit pour la cartographie de I2D-1h (pour 1973 et 2003) ou pour la cartographie de l’érosion ont montré que les différences entre les variances moyennes issues des réseaux optimaux obtenus sont plus importantes que précédemment, c'est-à-dire en comparant le monocritère et le robuste pour le cas de FO1.

La comparaison des résultats des deux fonctions objectives robustes fait ressortir des réseaux optimaux différents aussi bien pour l’horizon de 5 ans que pour celui de 30 ans pour toutes les hypothèses d’extension.

Les précédents résultats confirment le fait que dans le cadre des problèmes décisionnels, des solutions optimales différentes sont obtenues quand on exprime des préférences différentes que ce soit à travers le choix de la fonction objectif (mono critère, bi-critère ou robuste) ou celui des variables de conception (intensité, facteur d’érosion, coefficient de la courbe IDF). Le gestionnaire du réseau a ainsi un grand rôle à jouer pour le choix des fonctions objectifs, des variables de conception et des termes de l’optimisation (taille du réseau, horizon, …). Nous avons procédé à taille de réseau connue en faisant varier de façon hypothétique cette taille. Nous en concluons que les méthodes convergent plus ou moins selon la taille du réseau à optimiser comparativement au nombre de sites candidats.

Ce travail pourrait être poursuivi dans plusieurs directions en adoptant d’autres types de pondérations ou de fonctions objectifs autres que la minimisation de la variance d’estimation par krigeage. La fonction objectif pourrait ainsi être basée par exemple sur le concept de l’entropie ou sur la notion du nombre équivalent de stations indépendantes. D’autres pistes pourraient être envisagées pour les perspectives de ce travail en optimisant par exemple la taille du réseau ou en considérant des contraintes liées au coût ou à l’accessibilité des sites.

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