Activités géométriques remédiation(s) - Mireille et Michel · Cf « Les origines de la...

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BEP ASH P4 S2

Activités géométriques et remédiation(s)

M. VinaisFormateur vacataire IFUCOME / Université d'AngersEx Responsable de l’ASH IUFM Centre Val de LoireUniversité d'Orléans

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La géométrie serait le corps organisé des connaissances relatives à l'espace. La géométrie s'est constitué comme une branche des mathématiques à partir du moment où elle est devenue une science "hypothético-déductive" soumise aux lois du raisonnement logique.

Activités géométriques

Les activités géométriques devraient permettre de développer :- l’imagination,- la rigueur et la précision,- ainsi que le goût du raisonnement.

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La géométrie s'est constitué comme une branche des mathématiques à partir du moment où elle est devenue une science "hypothético-déductive" soumise aux lois du raisonnement logique.

Mais...Nous connaissons le postulat d'Euclide: " Par un point A pris hors d'une droite D, on peut mener une droite et une seule parallèle à D". Ce résultat est une "évidence intuitive" mais il n'a jamais été démontré; ce fait a beaucoup préoccupé les mathématiciens depuis Euclide.

(LOBATCHEVSKI… RIEMAN…)


Place du perceptif… Domaine des IM… Ostention….

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Quelques obstacles pour accéder au domaine géométrique :

➢ Passage difficile de l'espace sensible à l'espace représentéPassage 3D / 2D

➢ Structuration des connaissances différentes (espace et géométrie)

➢ Problème du langage utilisé et représentation

➢ L’indifférenciation du repérage-mesurage et de la géométrie

➢ Les aspects développementaux du sujet ou plus généraux sur le fonctionnement du sujet...

…/…


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➢ Passage difficile de l'espace sensible à l'espace représenté➢ Passage 3D / 2D

Difficultés du « au voir » / savoir :Représenter en deux dimensions un objet tridimensionnel soulève un problème de taille… Où dois-je me placer ? Les enfants ne peuvent avoir que des visions locales des différents éléments qui composent l'ensemble. Or cette vision globale ne peut advenir que d'une construction intellectuelle qui nécessite le respect de tous les rapports (espace, orientation et propriétés…. codes sociaux...)


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➢ Structuration des connaissances différentes (espace et géométrie)

MH Salin et Berthelot soulignent une différence concernant l'organisation des connaissances :Les connaissances spatiales spontanées ou culturelles sont moins bien répertoriées dans la mesure où elles sont utilisées in situ par le sujet pour résoudre des problèmes quotidien ou plus tard professionnels divers.Les connaissances de la géométrie sont identifiées et organisées de manière structurée. Structure interne de ma matière….


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Une autre différence concerne le vocabulaire employé : dans la vie courante ou professionnelle, un objet carré ne sera jamais considéré comme rectangulaire , alors qu'en géométrie un carré est un rectangle particulier. Rond n'est pas un terme géométrique, en géométrie il est question de cercle ou disque…En géométrie les concepts utilisés doivent être correctement définis : exemple diagonale ? Aire, surface, longueur… (cf Stella Baruk)


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Difficultés liées aux représentations des objets géométriques :- Les jeunes élèves ne disposeraient pas des connaissances qui leur permettraient d'appréhender une droite ou une courbe (trait continu) comme un ensemble de points.- Les élèves ont du mal à faire la distinction entre la représentation d’une droite et celle d’un segment. Ce serait donc la conception de la notion de "droite" qui serait en cause (avec l'idée d'infini).- Certains élèves ne reconnaissent pas des droites perpendiculaires lorsqu’elles ne sont pas tracées de manière "prototypique".


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En mots

Symbolique Concret

Semi-concret

Modes de représentation

Cf. Travaux Baroody et univ. Qb.laval

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➢ L’indifférenciation du repérage-mesurage et de la géométrie

La géométrie ne trouve quasiment jamais son exploitation seule ; elle

est trop fréquemment en appui sur le système métrique, ou plus exactement elle sert de prétexte, de support à l'élaboration d'un système de mesure ;

Cela amène la question de ce que l'on est entrain de faire et dans quel domaine mathématique se situe t-on ? >>> DIAPO SUIVANTE


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Numérique

GéométriqueNumérique

Géométrique

Géométrique

Numérique

RepérageMesurage

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Travailler sur du quadrillage (ex. : page de cahier seyes) c'est prendre le risque de mettre l’apprenant en situation de repérage mesurage alors qu’on ne le désire pas forcément.

Travailler sur une page vierge (blanche) c'est obliger à structurer l'espace. Quand on parle de structurer l’espace chez un sujet, est-il question de géométrie?


22Cf. MScol

En général, les outils nécessaires à ton travail sont :Règle non graduée,Règle plate graduée,Équerre,Compas...

23Cf. MScol 24Cf. MScol

25Cf. MScol 26

« Date à 4 carreaux de la marge… »

Lundi 1er mars

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➢ Difficultés liées aux tâches de construction ex. : connaissance incomplète des instruments. Par exemple, pour beaucoup

d'élèves, un compas sert à tracer des cercles mais pas à reporter des longueurs

➢ Difficultés liées aux taches de reproduction ex. : Etablissement d’une chronologie des tracés. L'établissement de cette

chronologie suppose de construire mentalement au moins une partie de la figure (opération délicate). Aspect procédurale de l'activité… pensée opératoire

➢ Difficultés liées aux descriptions de figuresex. : Au niveau du vocabulaire. L'élève ne connaît pas certains mots

mathématiques,. L'élève confond certains mots et utilise certains mots mathématiques avec leur sens courant ou certains mots du langage courant qui n'ont pas de sens en mathématiques (rond, trait…).

➢…/…


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➢ Les aspects développementaux du sujet ou plus généraux sur le fonctionnement du sujet :

Construction de l'espace

La question de l'invariance (conservation)

…/…


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La constitution de ces invariants/conservations se fait secteur par secteur selon un ordre qui comporte des décalages au niveau du temps :

Vers 6/7 ans : conservations des équivalences quantitatives.

Vers 6/7 ans : conservation des longueurs.

Vers 7/8 ans : conservation des surfaces.

Vers 8 ans : conservation de la substance.

Vers 8-9 ans : conservation du poids.

Dans le stade suivant, vers 11-12 ans : conservation des volumes.


3232

On peut dire que la géométrie part du monde sensible pour le structurer en monde géométrique : celui des volumes, des surfaces, des lignes, des points…ou celui des points, des lignes, des surfaces, des volumes ???

Une première différence tient au fait que l'enfant dispose de connaissances spatiales avant même qu'on lui propose d'apprendre la géométrie et la géométrie doit être enseignée pour exister.


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Une conclusion provisoire s'impose ici :

Pour François Boule, "Au début, à l'école, il est moins question de géométrie que d'espace. Il s'agit d'établir des représentations mentales et de les maîtriser, en un mot, il s'agit de : “ commencer à penser l'espace ” Les représentations mentales sont partout présentes. Cela passe naturellement par : le repérage, les déplacements, la reconnaissance des formes, mais aussi par la construction d'objets, la mémorisation des lieux, l'évocation des points de vue, l'imagination..


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Choisir un matériel :

➔ Facilement utilisable, pratique à presque tous les niveaux.➔ Pouvant se pratiquer seul ou en grand groupe.➔ Suffisamment attractif et évolutif ➔ Présentant un intérêt supposé pour les élèves.➔ Ayant un intérêt mathématique.➔ Ouvert à des manipulations.➔ caractère évolutif.➔ utilisation sur le long terme.

Par ailleurs, l’appareil photo est un très bon outil

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Cycle 1 et 2 :

Cf. Catherine Berdonneau, professeur IUFM de Cergy-Pontoise.

Structuration de l’espace et géométrie - D. Pernoux - Formateur ESPE d’Alsace

« Pour appréhender l'espace en maternelle. » SCEREN

Ouvrages de R. Charnay, de J. Briand, de T. Diaz. De A. Pierrard…

Auteurs de référence (+anciens) : J.Piaget, De Ajuriaguerra, J et S Sauvy, L. Lurçat...

…/...

Passage à la géométrie : Qu'est-ce qu'une construction géométrique ?

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Elle va avoir pour but la recopie du monde environnant.

Le sujet devra en comprendre ses caractéristiques et ses lois de mise en chantier.

Le sujet devra également envisager les transformations qu'il pourrait subir et ce qui variera ou non lors de ces transformations

Qu'est-ce qu'une construction géométrique ?

II faut accompagner le sujet apprenant vers la construction.

La construction transite par la reconstruction.

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Pour parvenir au stade de la construction, il faut nécessairement percevoir les propriétés basiques telles que l'alignement, l'équidistance, le parallélisme, l'orthogonalité, …

En terme de connaissance en actes, les propriétés sont révélées par le dessin

Qu'est-ce qu'une construction géométrique ?De la reproduction à la reconstruction en géométrie

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Programmes pour les cycles 2, 3 et 4.

BO Spécial N°11 du 26 novembre 2015 (extraits)

Au cycle 2, les élèves acquièrent a la fois des connaissances spatiales comme l’orientation et le repérage dans l’espace et des connaissances géométriques sur les solides et sur les figures planes. Apprendre a se repérer et se déplacer dans l’espace se fait en lien étroit avec le travail dans Questionner le monde et Éducation physique et sportive.

Les connaissances géométriques contribuent a la construction, tout au long de la scolarité obligatoire, des concepts fondamentaux d’alignement, de distance, d’égalité de longueurs, de parallélisme, de perpendicularité, de symétrie

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Attendus de fin de cycle 2 (Extraits BO N°11 26 Nov. 2015)

(Se) repérer et (se) déplacer en utilisant des repères et des représentations

Reconnaître, nommer, décrire, reproduire quelques solides.

Reconnaître, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques

Reconnaître et utiliser les notions d’alignement, d’angle droit, d’égalité de longueurs, de milieu, de symétrie

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Au cours du cycle 3 (Extraits BO N°11 26 Nov. 2015)

Reconnaître et utiliser quelques relations géométriques (notions d’alignement, d’appartenance, de perpendicularité, de parallélisme, d’égalité de longueurs, d’égalité d’angle, de distance entre deux points, de symétrie, d’agrandissement et de réduction).

Reproduire, représenter, construire : des figures simples ou complexes (assemblages de figures simples)...

Réaliser, compléter et rédiger un programme de construction.

Réaliser une figure simple ou une figure composée de figures simples a l’aide d’un logiciel.

…/...

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QUELQUES ASPECTS DE L'EVOLUTION HISTORIQUE DE LA GEOMETRIE.

- Les arpenteurs de l'ancienne Egypte

- Dans un autre domaine, celui de l'astronomie,

- …/…

Cf « Les origines de la géométrie » sous la direction de M. Serres

« Les maths ont une histoire » F. Cerquetti-Aberkane

Activités géométriques et remédiations

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La géométrie à l’heure actuelle.

Une ou des géométries ?

Etude des notions et propriétés qui restent invariantes pour un groupe donné de transformation(s).


•Extrait d’Hermes IV & V de M. Serres :

Mon corps, je n’y peux rien n’est pas plongé dans une variété unique et spécifiée. Il travaille dans l’espace euclidien mais il y travaille seulement. Il y voit dans l’espace projectif. Il touche, caresse, manie dans l’espace topologique. Il souffre dans un autre, entend et communique dans un troisième… Mon corps est plongé dans l’intersection difficile de cette famille nombreuse… Et l’on dira malade, celui qui manquera la construction de cette intersection…

•Dictionnaire des mathématiques de S. Baruk

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Les différentes géométries

TOPOLOGIE

GEOMETRIE PROJECTIVE

GEOMETRIE AFFINE

GEOMETRIE DES SIMILITUDES

GEOMETRIE METRIQUE Longueurs conservées + ceux similitudes

Continuité / voisinage /intérieur..extérieur

Alignement + ceux de la topologie

Parallélisme + ceux de la géom projective

Angles csrv/ orthogonalité + Ceux affine

Construction de l ’espace chez l ’enfant

L‘enfant et la construction des espaces géométriques

48Diaporama M. Vinais


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Concepts VERGNAUD G. (1990) La théorie des champs conceptuels. Recherches en

Didactique des Mathématiques vol 10 2/3 pp. 133-170

Un concept est un triplet de trois éléments qui permettent de le construire :

S : un ensemble de situations qui donnent sens au concept (la référence)

I : un ensemble d'invariants sur lesquels repose l'opérationnalité des schèmes (le signifié)

S : un ensemble de forme langagière et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le signifiant)

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Les activités géométriques sont pour les apprenants une occasion privilégiée

• d'apprendre à organiser,

• d'apprendre à maîtriser l'espace graphique, si tant est bien sûr que le type d'activité proposé laisse une marge suffisante pour que l'apprenant puisse circuler au sein de cet espace.


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Ce que pourraient être les objectifs d'une activité géométrique:

Toute activité de géométrie nécessite :

• la prise en compte d'Images Mentales;• l'élaboration de stratégie;• la mise en œuvre de conduites :

analogique/opératoire.


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Objectifs généraux:

• Développer les capacités de mentalisations et plus précisément la capacité à se représenter des actions (ou plus exactement l'effet des actions) avant de les accomplir;

• de simuler leur agencement; • de se concentrer sur une activité intellectuelle;• d'organiser et structurer sa pensée, de la maîtriser.• de structurer un discours (utilisation de plusieurs langages)


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Développer les capacités de mentalisation et plus précisément la capacité à se représenter des actions (ou plus exactement l'effet des actions) avant de les accomplir; de simuler leur agencement; de se concentrer sur une

activité intellectuelle; d'organiser et structurer sa pensée, de la maîtriser. de structurer un discours

Entrons dans le vif du sujet !Comment reproduire exactement cette figure en gardant toutes ses propriétés ?…Travail par groupe de x.

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Concepts et objets géométriques

NB: les objets géométriques ne peuvent exister sans les concepts géométriques. Il y a une liaison très forte entre les deux…

Notion de concept en acte (G. Vergnaud).

Importance de travailler sur les concepts (ex. sur item de l’évaluation 6ème 1992.)


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Présentation et appropriation des “Dossiers d’activités géométriques”.

Activités géométriques,

Cadre

et

Contenants de pensée1 CDP

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Un cheminement à construire en géométrie... Cf.“Dossiers d’activités géométriques”.

•Concepteurs

•Attitude cognitive

•Concepts de géométrie et leur articulation.

•Restauration de l’…

•Travail IM

•Processus de pensée.

•Publics

62 6363

6464 6565

Mise en situation à partir des “Dossiers d’activités géométriques”.

Instruments

et

éléments techniques

Crayon papier / critériumRègle non graduéeCompasGomme

EquerreTequerre

GabaritsGuide-âne

Règle graduéeRègle roulante

« Rapporteur »

6666

Situation de départ Réalisation

1

2

3

4

5

67

P1P2

P3 P4

P9 P7

Aide : l’élastique au bureau

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P1

P2

Déplacement de point(s) (Cf. Maria Restrepo, déplacement libre… déplacement contraint...)

P3

69

P1

P2

Déplacement de point(s) : déplacement contraint

P3

Déplacer P3. Situations où l'on peut continuer à tracer

la droite passant par P1 P2 P3

70

P1

P2

Déplacement de point(s) : déplacement libre

P3

Peut-on tracer un triangle en utilisant ces 3 points ?

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Problèmes ouverts

Combien de droites distinctes peut-on tracer avec X points distincts?

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Problèmes ouverts

Avec x points distincts permettant de tracer des droites distinctes, combien de points supplémentaires peut-on créer ?

111111

Utilisation d'autres instruments : gabarit, équerre, équerre papier...

112Cf. Mscol CapMaths

Cahier GM p. 9 exercice ACette activité de reconnaissance permet l’expression d’un certain nombre de conceptions erronées :– la perpendicularité de deux droites : droites sécantes quelconques ou droites sécantes avec l’une des deux qui est soit verticale, soit horizontale ;

113

Identification angles droits dans une figure complexe

Cf. Mscol Ermel

122

Parallélisme

Double orthogonalité ?

D1

D3D2

123

Parallélisme

Double orthogonalité ?

D1

D5D4

124

Le parallélisme

Il s’agit ici de faciliter l’utilisation du parallélisme pour en renforcer le concept donc il n’est pas question…

Utilisation d'autres instruments : gabarit (guide âne, « paralléleur »), téquerre, règle/équerre, règle roulante ...

125Cf. Mscol CapMaths

Cahier GM p. 9 exercice ACette activité de reconnaissance permet l’expression d’un certain nombre de conceptions erronées :

– le parallélisme de deux droites : deux traits rectilignes qui ne se coupent pas matérialisent deux droites parallèles. Cette perception du parallélisme est imputable à une conception erronée de la droite qui est assimilée au trait qui la matérialise.

126Doc. MVinais 126 127Doc. MVinais 127

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Le discours en géométrie (et machine à construire)

Utilisation de structures spécifiques… TRACER..• des points P~ ( ce qui peut définir un point)

P~ intersection de D~ et D~P~ intersection de D~ et C~P~ intersection de C~ et C~

• des droites D~ (ce qui peut définir une droite)D~ droite passant par P~ P~D~ droite perpendiculaire à D~ passant par P~D~ droite parallèle à D~ passant par P~

• des cercles C~ ( ce qui définit un cercle)C~ cercle de centre P~ et passant par P~C~ cercle de centre P~ et de rayon P~ P~

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Construire :

C’est d’abord « analyser » les propriétés de ce que l’on veut reconstruire ;

C’est ensuite développer une procédure entièrement soumise aux propriétés repérées, procédure qui est caractérisée par le fait qu’elle représente un système nécessaire et suffisant ;

Au sein de cette procédure, chaque acte traduit explicitement une propriété.

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Voici des adresses où vous pourrez télécharger de nombreux logiciels gratuits (cf JL Brégeon) :

http://cartables.net/logiciels/ (Geonext)

http://pragmatice.net/kitecole/logiciels_kit_p_w9.htm.

…/….

http://jean-luc.bregeon.pagesperso-orange.fr/Page%206.htm

Rédigéo / Géoclide

http://www.langagiciels.com

157157

3 Dossiers édités par le

CNEFEI 58/60 avenue des Landes 92150 - SURESNES Tel 01 41 44 31 29

• Activités géométriques N° 1………………...………8€

• Activités géométriques N° 2…………………………8€

• Constellations N°1 Du dessin à la reconstruction……8€

•Frais 2 ou 3 >>3,20 € 6 ou 7 >>> 5€ …../...

167167

Dossier de géométrie :

LES CONSTELLATIONS

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Qu’est-ce qu’une constellation ?

•Ensemble de formes non connexes

•Liens structuraux plus ou moins visibles

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Une transformation est un déplacement dans l’espace, certains parlent de mouvement dans l’espace.

Qu’ont de particulier ces transformations ?

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