Actions exercées par les uides - Free

physique année scolaire 2018/2019

Actions exercées par les uidesLes points du cours à connaître

I- Tension supercielle

1. Propriétés de la tension supercielle

Un trombone, plus dense que l'eau, otte : une autre force existe, exercée par l'eau. Unefois immergé, le trombone coule : la force est surfacique.

Mise en évidence de la tension supercielle photo

Les forces exercées par un liquide sur un solide de longueur d` à une interface li-quide/solide/air sont données par la relation

−→df = γ d` ~n

où γ est la tension supercielle en N ·m−1

et ~n est un vecteur unitaire tangent à l'interface, perpendiculaire au solide orienté dansle sens solide → liquide.

Force de tension supercielle dénition

La gure 1 représente Le travail des forces de tension supercielles pour les deux interfacesest : δW = 2 γ ` dx.γ est donc une énergie surfacique.

Tension supercielle et énergie de surface schéma

spé PC*1 page n 1 Lycée Saint Louis


Figure 1 Tension supercielle et énergie de surface

La gure 2 représente schématiquement les forces entre molécules d'eau. Une asymétrieexiste à la surface, qui explique la tension supercielle.

Explication microscopique des forces de tension supercielle schéma

Figure 2 Explication microscopique des forces de tension supercielle

2. Lois relatives à la tension supercielle

La gure 3 représente l'eau monte dans un tube capillaire, c'est-à-dire de petit diamètreintérieur.

Montée capillaire schéma

Exprimer la hauteur h de montée d'un liquide de masse volumique µ et de tensionsupercielle γ dans un tube capillaire de rayon r.

1 Loi de Jurin exercice



Figure 3 Montée capillaire

En déduire que h augmente si r diminue.

Le système est le liquide au dessus du niveau libre du liquide.Sa masse est m = µπ r2 h.Il est soumis à son poids −mg ~uzet à la tension exercée par le solide ~T = +2π r γ cos θ ~uz.L'équilibre des forces donne

2π r γ cos θ = µπ r2 h g ⇒ h =2 γ cos θ

µ r g

On en déduit bien que h augmente si r diminue.

Considérons une bulle de gaz contenue dans un liquide et appelons γ la tension super-cielle de l'interface gaz-liquide. Supposons qu'on fait subir à la bulle une transformationqui augmente son rayon de dR. En utilisant la conservation de l'énergie, exprimer ladiérence de pression Pint − Pext entre l'intérieur et l'extérieur en fonction de γ et R. En déduire que plus la courbure est importante et plus la diérence de pression seragrande. Que se passe-t-il pour une bulle de savon de rayon R ?

2 Loi de Laplace exercice

L'aire de l'interface augmente de dS = 8π R dR et le volume de la bulle de dV = 4π R2 dR.L'énergie ne varie pas :

−γ dS + (Pint − Pext) dV = 0⇒ −8 π R γ dR + (Pint − Pext) 4 π R2 dR = 0

⇒ Pint − Pext =2 γ

R

On voit immédiatement que plus la courbure est importante (R petit) et plus Pint−Pext seragrand. Pour une bulle de savon de rayon R, il y a deux interfaces, donc

Pint − Pext =4 γ

R



Considérons une goutte de liquide de rayon R contenue dans un gaz et appelons γ latension supercielle de l'interface gaz-liquide. Exprimer la diérence de pression ∆Pg due à la pesanteur dans le cadre de l'hydro-statique. Comparer cette diérence de pression à celle, notée ∆Pγ, due à la tension supercielle :montrer que l'une est négligeable devant l'autre suivant la valeur de R, la limite étantappelée longueur capillaire `c. Calculer `c dans le cadre de l'eau et en déduire la taille maximale des gouttes d'eau.

3 Longueur capillaire exercice

∆Pg = µ g h = 2µ g R. ∆Pg ∆Pγ ⇔

2µ g R 2 γ

R⇔ R2 γ

µ g

La longueur capillaire est donc `c =√

γµ g

.

Pour l'eau `c =√

72×10−3

1000×9,8= 2, 7 mm, qui est la taille maximum des gouttes d'eau (ensuite,

la pesanteur donne à l'eau une forme non sphérique).

3. Tension supercielle et tensio-actifs

La gure 4 représente On trouve expérimentalement : γ = 72 mN ·m−1 pour l'eau pure etbeaucoup moins pour l'eau savonneuse.

méthode de mesure de la tension supercielle par arrachement schéma

Figure 4 méthode de mesure de la tension supercielle par arrachement

La gure 5 représente en adaptant l'interface, les molécules amphiphiles diminuent latension supercielle.

explication microscopique de l'eet des molécules amphiphiles schéma



Figure 5 explication microscopique de l'eet des molécules amphiphiles

La gure 6 représente la diérence des tensions supercielles entre l'eau pure et l'eausavonneuse fait avancer le "bateau".

le bateau à savon schéma

Figure 6 le bateau à savon

II- Forces de pression et de viscosité

1. Forces de pression statiques



La résultante des forces de pression exercée sur le solide (volume V délimité par lasurface fermé Σ) est

~Π =

Σ

−P−−→d2Σ =

y

V

−−−→gradP d3τ

Or, à l'équilibre statique−−→gradP = µ~g, donc

~Π =y

V

−µ~g d3τ = −Mi ~g

⇒Un corps de volume V plongé dans un uide subit comme résultante des forces depression l'opposé du poids du uide déplacé (de masse Mi) :

~Π = −Mi ~g

4 Théorème d'Archimède théorème

Déterminer la résultante des forces de pression appliquée par un gaz de pression P0

uniforme sur un solide immergé dans ce gaz.

5 Force de pression si la pression est homogène exercice

La résultante des forces de pression exercée sur le solide (volume V délimité par la surface ferméΣ) est

~Π =

Σ

−P−−→d2Σ =

y

V

−−−→gradP d3τ

Or−−→gradP = ~0, donc ~Π = ~0.

Déterminer la résultante des forces de pression appliquée sur un barrage parallélépipé-dique si la hauteur d'eau est h, la largeur du barrage L, la masse volumique de l'eau µet la pression atmosphérique Pa.

6 Force de pression appliquée sur un barrage parallélépipédique exercice

La résultante des forces de pression est

~Fp =x

S

−P−−→d2S = −L

∫ z=0

z=−hP (z) ~ux + L

∫ z=0

z=−hPa ~ux



Or−−→gradP = µ~g, donc P (z) = Pa − µ g z.

~Fp = −L∫ z=0

z=−h(Pa − µ g z) ~ux + L

∫ z=0

z=−hPa ~ux = −L

[−µ g z

2

2

]z=0

z=−h~ux = −µ g Lh

2

2~ux

2. Portance

on s'intéresse à un écoulement parfait, incompressible, irrotationnel et stationnaire, quel'on suppose uniforme à l'inni. L'écoulement du uide est perturbé par un obstaclesolide. Bien entendu, on peut comprendre l'écoulement du uide par le fait que le solidelui-même se déplace : il sut alors de se placer dans le référentiel où le centre du solideest xe.La déformation des lignes de courant au voisinage du solide se caractérise par une zoneoù la vitesse est plus forte (et donc où la pression est plus faible), alors qu'à d'autresendroits, la vitesse est plus faible (et c'est alors la pression qui est plus forte).La diérence de pression de part et d'autre du solide donne alors une force qui tend àdéplacer le solide vers les zones de dépression, donc de fortes vitesses. ⇒l'écoulement d'un uide au voisinage d'un solide exerce une force qui tend à déplacer lesolide vers les zones de dépression, donc de fortes vitesses.

7 Eet Magnus théorème

une voiture voit les lignes de courant de l'air se resserrer sous son bas de caisse. La vitessede l'air est plus importante sous la voiture qu'au dessus. Aussi, il règne une basse pressionsous la voiture, ce qui a pour eet de faire subir au véhicule une force de haut en bas quile "colle" au sol. Cet "eet de sol", loin d'être nuisible, permet une bonne adhérence despneus sur la chaussée.

Eet de sol s'y retrouver

La circulation de l'air autour d'une aile d'avion n'est pas symétrique. Au dessus de l'aile("extrados"), la vitesse est importante, alors qu'en dessous ("intrados"), la vitesse estplus faible. Aussi, l'aile ressent une force dirigée vers le haut qui assure la sustentation del'avion.

Portance d'un avion photo



De la même façon, le sèche-cheveux permet la lévitation d'une balle de ping-pong.Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.

L'eet Coanda vidéo

si le solide est un cylindre sans rotation, il y a symétrie du problème.Par contre, si le cylindre tourne autour de son axe, le caractère réel (c'est à dire visqueux)du uide entraîne sa rotation au contact du cylindre. Le cylindre ressent alors une forcequi tend à le déplacer vers les zones de fortes vitesses.Un tel dispositif a été utilisé pour mouvoir un bateau grâce au vent... sans voile ! C'est lecas du bateau "Alcylone" du Commandant Cousteau.

Déviation d'un cylindre en rotation : photo

La gure 7 représente une illustration de l'eet Magnus : une sphère ou un cylindre quitourne en se déplaçant dans un uide. Ainsi, on peut expliquer les eets (brossés, coupés,liftés, etc.) donnés aux balles de ping-pong, de tennis ou encore aux ballons de football.La situation de la gure est caractéristique d'un smatch : la balle en rotation est entraînée

Déviation d'une balle : lift, coupé, smash schéma



vers le bas.

Figure 7 Déviation d'une balle : lift, coupé, smash

3. Traînée

l'écoulement du uide crée sur un solide deux force : la portance (perpendiculairement àl'écoulement) et la traînée (parallèlement à l'écoulement).Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.

La portance et la traînée vidéo

on s'intéresse à un obstacle xe plongé dans un uide d'écoulement uniforme à l'inni

~v∞ = v∞ ~ux

La projection de l'obstacle sur un plan x = cste perpendiculaire à l'écoulement présenteune surface d'aire S : c'est le maître-couple.

Maître-couple dénition

la force de trainée est la composante parallèle à l'écoulement de la force ressentie parl'obstacle à cause de l'écoulement. Elle est de la forme :

~Ftrainee = Cxµ v2∞ S

2~ux

Le coecient de traînée Cx est sans dimension. Il ne dépend que de la forme de l'obstacleet du nombre de Reynolds.

Force de traînée dénition



La gure 8 représente l'écoulement du uide qui n'est homogène qu'à l'inni. On se placedans le référentiel où le solide est xe.

Traînée et maître couple schéma

Figure 8 Traînée et maître couple

la traînée dépend de la forme de l'objet : un objet prolé présente un Cx plus faible qu'unesurface plane.Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.

Inuence de la forme de l'objet sur le coecient de traînée vidéo

La gure 9 représente l'inuence de la forme de l'obstacle et du coecient de Reynolds Resur le coecient de traînée Cx.

Cx = f(Re) pour diérentes formes d'obstacles. schéma

La gure 10 représente l'inuence de la rugosité d'un obstacle et du coecient de ReynoldsRe sur le coecient de traînée Cx.

Variation de la courbe Cx = f(Re) pour des rugosités diérentes. schéma

• A forte vitesse (nombre de Reynolds grand), le coecient de traînée Cx est à peu près

constant, donc ~Ftrainee = −βv2~ux si Re 1.

• A faible vitesse (nombre de Reynolds petit), le coecient de traînée Cx est inversement

proportionnel à la vitesse, donc ~Ftrainee = −λ~v si Re 1.

Force de traînée et force de frottement uide s'y retrouver



Figure 9 Cx = f(Re) pour diérentes formes d'obstacles.

Figure 10 Variation de la courbe Cx = f(Re) pour des rugosités diérentes.



On s'intéresse à une sphère de rayon R qui se déplace dans un uide de viscosité η avecla vitesse v. On suppose que le nombre de Reynolds est susamment petit pour pouvoirconsidérer le coecient de traînée comme Cx = 24

Re.

Déterminer la force de traînée exercée par le uide sur la sphère.

8 Force de traînée exercée sur une sphère exercice

Fx =Cxµ.v∞.s

2=

1

2

24

Reµ.v2.π.R2 =

1

2

24.η

µ.2.R.vµ.v2.π.R2 = 6.π.R.η.v

III- Systèmes ouverts

1. Bilan de masse

le système ouvert est déni comme le volume V délimité par une surface fermée Σ. Σ estxe dans le référentiel d'étude au cours du temps.Pour le système ouvert correspondant au volume V :

Mouvert =y

V

d3m =y

V

µ d3τ

où µ est la masse volumique du uide.

Système ouvert : s'y retrouver

La gure 11 représente un système ouvert et le système fermé qui le traverse.

Passer d'un système ouvert à un système fermé schéma

Figure 11 Passer d'un système ouvert à un système fermé



le débit massique à travers une surface non fermée S orientée est :

Dm =x

S

µ−→v ·−−→d2S

Il s'exprime en kg · s−1. La masse δm qui passe à travers la surface pendant dt est telleque Dm = δm

dt.

On aurait tout aussi bien pu dénir le débit volumique à travers la surface orientée S :

Dv =x

S

−→v ·−−→d2S

qui s'exprime en m3 · s−1.

Débits massique et volumique dénition

La variation temporelle de M pour le système fermé est :

DM

Dt=∂M

∂t+δmB

dt− δmA

dt= 0

où

• la variation temporelle de la masse M pour le système fermé :dMferme

dt= DM

Dt= 0 ;

• la variation temporelle explicite de M pour le système ouvert : dMouvert

dt= ∂M

∂t=

∂∂t

(tVµ d3τ

)= 0, car µ = cste ;

• les ux entrant ( δmA

dt) et sortant ( δmB

dt) de masse qui ne sont rien d'autre que les

débits massiques.

⇒Dans le cas d'un uide incompressible (liquide),

• le débit massique se conserve entre l'entrée et la sortie : δme

dt= δms

dt= Dm

• ainsi que le débit volumique : δVedt

= δVsdt

= DV .

9 Débits pour un uide incompressible théorème


DM

Dt=∂M

∂t+δmB

dt− δmA

dt= 0

où

• la variation temporelle de la masse M pour le système fermé :dMferme

dt= DM

Dt= 0 ;

• la variation temporelle explicite de M pour le système ouvert : dMouvert

dt= ∂M

∂t=

∂∂t

(tVµ d3τ

)= 0, car ∂

∂t= 0 ;

• les ux entrant ( δmA

dt) et sortant ( δmB

dt) de masse qui ne sont rien d'autre que les

débits massiques.

⇒Dans le cas d'un écoulement permanent, quel que soit le uide (liquide ou gaz), le débit

10 Débits en régime permanent théorème



massique se conserve entre l'entrée et la sortie : δme

dt= δms

dt= Dm.

Une pompe injecte un débit massique Dm constant d'air (considéré comme un gaz parfaitde masse molaire M à la température T ) dans une chambre à air. Déterminer l'équation diérentielle à laquelle obéit la pression P dans la chambre àair.

11 Non conservation du débit d'un gaz en régime non permanent : exercice


DM

Dt=

dM

dt+δms

dt− δme

dt

où

• la variation temporelle de la masse M pour le système fermé : DMDt

= 0 ;

• la variation temporelle explicite deM pour le système ouvert : dMdt

= ∂∂t

(tVµ d3τ

)= V ∂µ

∂t;

• les ux entrant ( δme

dt= Dm) et sortant (

δms

dt= 0) de masse.

Comme µ = mV

= n.MV

= P.MR.T

, on trouve V ∂µ∂t

= Dm = V.MR.T

∂P∂t.

2. Bilans de quantité de mouvement

la quantité de mouvement du système ouvert de volume V est :

~P =y

V

~v d3m =y

V

µ~v d3τ

Quantité de mouvement d'un système ouvert : dénition

la variation temporelle de la quantité de mouvement du système fermé est :

D~P

Dt=

~Pf (t+ dt)− ~Pf (t)

dt=

d~P

dt+δms

dt~vs −

δme

dt~ve

où d~Pdt

est la variation temporelle de la quantité de mouvement du système ouvert etδms (respectivement δme) est la masse qui est sortie (respectivement entrée) pendantdt à la vitesse ~vs (respectivement ~ve).Le théorème de la résultante cinétique impose par ailleurs :

D~P

Dt= Σ~Fext

où Σ~Fext est la somme des résultantes des actions extérieures qui s'appliquent sur lesystème fermé coïncident. ⇒

Σ~Fext =∂ ~P

∂t+δms

dt~vs −

δme

dt~ve

12 Bilan de quantité de mouvement : théorème



un volume V de uide délimité par une surface fermée Σ ressent des forces de pression de

la part de son environnement. Sur l'élément innitésimal−−→d2Σ (orienté vers l'extérieur)

s'exerce−−→d2F = −P

−−→d2Σ.

~Π = −

M∈Σ

P (M)−−→d2Σ = −

y

M∈V

−−→gradP (M) d3τ

Dans le cas statique,−−→gradP = µ~g. Donc ⇒

un volume V de uide délimité par une surface fermée Σ ressent des forces de pressionde résultante

~Π = −

M∈Σ

P (M)−−→d2Σ = −

y

M∈V

µ(M)~g d3τ

Dans le cas statique, la poussée d'Archimède est égale à l'opposé du poids du uidedéplacé.

13 Résultante des forces de pression théorème

Montrer qu'en régime permanent apparaît une grandeur qui a la dimension d'une forceet qui est due au débit massique Dm

14 Force de poussée en régime permanent exercice

Si le régime est permanent, le débit massique se conserve (Dm = δms

dt= δme

dt) et d~P

dt= ~0, aussi

Dm (~vs − ~ve) = Σ~Fext

Cette dernière grandeur a la dimension d'une force. On peut la nommer force de poussée :

~Fpoussee = Dm (~ve − ~vs)

La "force" de poussée n'est pas à prendre en compte dans le bilan des forces car elleapparaît naturellement dans le bilan de quantité de mouvement.

remarque

3. Bilan d'énergie

l'énergie cinétique du système ouvert est :

Ec =y

V

v2

2d3m =

y

V

µ v2

2d3τ

Energie cinétique d'un système ouvert : dénition



la variation temporelle de l'énergie cinétique du système fermé est :

DEcDt

=Ecf (t+ dt)− Ecf (t)

dt=

dEcdt

+δms

dt

v2s

2− δme

dt

v2e

2

où dEc

dtest la variation temporelle de l'énergie cinétique du système ouvert et δms

(respectivement δme) est la masse qui est sortie (respectivement entrée) pendant dt àla vitesse ~vs (respectivement ~ve).Le théorème de l'énergie cinétique donne :

DEcDt

= ΣPext + ΣPint =dEcdt

+δms

dt

v2s

2− δme

dt

v2e

2

où ΣPext est la somme des puissances des actions extérieures et ΣPint est la somme despuissances des actions intérieures qui s'appliquent sur le système.On admet que ΣPint = 0 dans le cas d'un écoulement parfait et incompressible. ⇒

ΣPext + ΣPint =∂Ec∂t

+δms

dt

v2s

2− δme

dt

v2e

2où :

• la masse δme à l'entrée a une vitesse ve,

• la masse δms à la sortie a une vitesse vs,

• ΣPext est la somme des puissances des actions extérieures,

• et ΣPint est la somme des puissances des actions intérieures qui s'appliquent sur lesystème (ΣPint = 0 dans le cas d'un écoulement parfait et incompressible).

15 Bilan d'énergie cinétique : théorème

Que devient le bilan d'énergie cinétique dans le cas d'un écoulement parfait, incompres-sible et permanent ?

16 Bilan d'énergie cinétique dans le cas d'un écoulement parfait, incompres-sible et permanent exercice

Si le régime est permanent, le débit massique se conserve (Dm = δms

dt= δme

dt) et ∂Ec

∂t= 0, aussi

Dm

(v2s

2− v2

e

2

)= ΣPext



Exercice traité en n de cours

exo 14.1) Modélisation de l'eet d'un jet d'eau sur une plaque mobile

On s'intéresse à un jet d'eau de section S qui arrive, dans le référentiel du sol, avec une vitesse ~vj = +vj ~uxsur une plaque qui se déplace à la vitesse ~vp.

1) On considérera que l'eau repart dans un sens opposé (−~ux) en conservant la section S du jet. En faisantun bilan de masse, déterminer

1.a) la vitesse de l'eau ~ve incidente sur la plaque dans le référentiel de la plaque,1.b) la vitesse de l'eau ~v′s après choc sur la plaque dans le référentiel du sol.

2) On suppose que la pesanteur est négligeable et que la pression de l'eau est partout égale à la pressionatmosphérique.

2.a) Calculer la résultante des forces de pression ~Π.2.b) En appliquant un bilan de quantité de mouvement, déterminer la force ~Fj→p qu'applique le jet

sur la plaque.3) Etude énergétique

3.a) Faire un bilan d'énergie cinétique dans le référentiel de la plaque.3.b) Calculer, dans le référentiel du sol, la puissance Pj→p de la force qu'applique le jet sur la plaque.3.c) On pose vp = x vj . Déterminer le maximum de Pj→p.

1) Bilan de masse.1.a) Dans le référentiel R de la plaque, en déplacement à la vitesse ~vp, par rapport au référentiel R′

du sol,~v′e = ~ve + ~vp = (ve + vp) ~ux = vj ~ux ⇒ ve = vj − vp

1.b) On se place dans le référentiel R de la plaque, en déplacement à la vitesse ~vp. Dans ce référentiel,

DM

Dt=

dM

dt+δms

dt− δme

dt= 0

Le débit massique se conserve (uide incompressible), aussi :

δms

dt=δme

dt

Si on considère que la section du jet est constante,

δms

dt= µ ve S =

δme

dt= µ vs S ⇒ ve = vs ⇒ ~ve = +ve ~ux = −~vs = −vs ~ux

Donc la vitesse de l'eau après choc avec la plaque est

~v′s = ~vs + ~vp = (−ve + vp) ~ux = (−vj + 2 vp) ~ux

2) Forces :2.a) Un volume V de uide délimité par une surface fermée Σ ressent des forces de pression de

résultante~Π = −

M∈Σ

P (M)−−→d2Σ = −

y

M∈V

−−→gradP (M) d3τ = ~0

qui est cohérent avec la poussée d'Archimède nulle car égale à l'opposé du poids du uide déplacé (on négligela pesanteur !).

2.b) On se place dans le référentiel R de la plaque : la variation temporelle de la quantité demouvement du système fermé est :

D~P

Dt=

~Pf (t+ dt)− ~Pf (t)

dt=

d~P

dt+δms

dt~vs −

δme

dt~ve

où d~Pdt = ~0 est la variation temporelle de la quantité de mouvement du système ouvert et δms = Dm dt =

µ ve S dt (respectivement δme = Dm dt = µ ve S dt) est la masse qui est sortie (respectivement entrée)



pendant dt à la vitesse ~vs (respectivement ~ve).Le théorème de la résultante cinétique impose par ailleurs :

D~P

Dt= Σ~Fext = ~Π + ~Fp→j = −~Fj→p

où Σ~Fext est la somme des résultantes des actions extérieures qui s'appliquent sur le système fermé coïncident.Donc

−~Fj→p = Dm~vs −Dmdt~ve = µ ve S (~vs − ~ve)

Reste à revenir dans le référentiel R′ du sol, où

~v′e = ~ve + ~vp = ~vj ⇒ ve = vj − vp

et~v′s = ~vs + ~vp = (−vj + 2 vp) ~ux ⇒ ~vs = (−vj + vp) ~ux

aussi~Fj→p = µ ve S (~ve − ~vs) = µ (vj − vp)S (vj − vp − (−vj + vp)) ~ux = 2µS (vj − vp)2

~ux

3) Etude énergétique3.a) Dans le référentiel de la plaque, la variation temporelle de l'énergie cinétique du système fermé

est :DEcDt

=Ecf (t+ dt)− Ecf (t)

dt=

dEcdt

+δms

dt

v2s

2− δme

dt

v2e

2

où dEc

dt est la variation temporelle de l'énergie cinétique du système ouvert et δms = Dm dt = µ ve S dt(respectivement δme = Dm dt = µ ve S dt) est la masse qui est sortie (respectivement entrée) pendant dt àla vitesse ~vs (respectivement ~ve).Le théorème de l'énergie cinétique donne :

DEcDt

= ΣPext + ΣPint =dEcdt

+δms

dt

v2s

2− δme

dt

v2e

2

où ΣPint = 0 est la somme des puissances des actions intérieures qui s'appliquent sur le système.et ΣPext = −~Fj→p ·~0 est la somme des puissances des actions extérieures car la vitesse de la plaque est nulledans le référentiel de la plaque.Comme dEc

dt = 0 et vs = ve, on trouve 0 = 0 !

3.b) La puissance de la force ~Fj→p qu'applique le jet sur la plaque est

Pj→p = ~Fj→p ·~vp = 2µS (vj − vp)2vp

3.c)

Pj→p = ~Fj→p ·~vp = 2µS v3j (1− x)

2x

On dérive f(x) = x (1− x)2 :

df

dx= (1− x)

2 − 2 (1− x)x = (1− x) (1− x− 2x) = (1− x) (1− 3x)

qui s'annule pour x = 1 (minimum : Pj→p = 0), ou x = 13 , qui est un maximum :

Pmax =2

3µS v3

j

(1− 1

3

)2

=

(2

3

)3

µS v3j



Techniques à maîtriser

I- Bilans de masse et calculs de débits

Établir un bilan de masse en raisonnant sur un système ouvert et xe ou sur un système fermé et mobile.Utiliser un bilan de masse.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Il faut bien dénir la surface et son orientation.Il faut discerner débit massique (Dm =

sSµ−→v ·

−−→d2S) et débit volumique (Dv =

sS−→v ·−−→d2S).

A) calculs de débits méthode

Il faut faire un schéma avec :

• à l'instant t le système ouvert et le système fermé qui le traverse ;

• à l'instant t+ dt le système ouvert et le système fermé qui le traverse.

Seule la masse d'un système fermé est toujours constante (pas celle d'un système ouvert en régime nonpermanent) : DM

Dt = 0.

B) faire un bilan de masse méthode

14.1.1) Débit d'un ruissellement laminaire

Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µ et de viscositédynamique η s'écoule sur un plan incliné d'un angle α sur l'horizontale sur une hauteur δ constante. On étudiel'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est :

~v =µ.g. sinα

2.η(2.δ − z) .z.~ux

où ~uz est orthogonal à l'écoulement (et donc au plan incliné), orienté depuis le plan vers le liquide.1) En déduire le débit volumique Dv par unité de largeur de l'écoulement.

1) Le débit volumique Dv par unité de largeur de l'écoulement est

Dv =

∫ z=δ

z=0

µ.g. sinα

2.η(2.δ − z) .z.dz =

µ.g. sinα

2.η

∫ z=δ

z=0

(2.δ − z) .z.dz =µ.g. sinα

2.η

(δ3 − δ3

3

)soit

Dv =µ.g. sinα

3.ηδ3

14.1.2) Débit à travers une paroi poreuse (loi de Darcy)

Une paroi poreuse est modélisée par une couche de matière d'épaisseur ` percée de N tubes cylindriqueshorizontaux, de rayon a et de longueur ` (a `), par unité de surface. Il existe, au sein du liquide, une diérencede pression ∆p entre les deux faces de la paroi poreuse. On ne tient pas compte du champ de pesanteur.



On admet que l'écoulement d'un uide visqueux newtonien, incompressible, à travers cette paroi est ca-ractérisé par une loi de Poiseuille cylindrique dans chaque tube, avec un champ des vitesses ~v = v(r)~uz telque :

v(r) =∆p

4.η.`

(a2 − r2

)où r désigne la distance à l'axe du tube.

1) Exprimer le débit volumique Dv du uide à travers la paroi sous la forme

Dv = KS.∆p

η.`

où K est la perméabilité de la paroi et S représente la section totale de la paroi.2) En déduire la vitesse moyenne V du uide - vitesse de Darcy - à travers la paroi.

1) Le débit volumique dans chaque tube est

D0 = 2π

∫ r=a

r=0

v(r).dr = 2π∆p

4.η.`

∫ r=a

r=0

(a2 − r2

).r.dr = 2π

∆p

4.η.`

(a4

2− a4

4

)soit

D0 =∆p.π.a4

8.η.`

(c'est la loi de Poiseuille pour un tube). Pour tous les N tubes :

Dv =N.∆p.π.a4

8.η.`

On a bien

Dv = KS.∆p

η.`

avec

K =N.π.a4

8.S

2) La vitesse est telle que Dv = S.V , soit

V = K∆p

η.`

II- Bilans de quantité de mouvement

Associer un système fermé à un système ouvert pour faire un bilan. Utiliser la loi de la quantité demouvement pour exploiter un bilan.





Seule la quantité d'un système fermé suit le théorème de la résultante cinétique : D~PDt = Σ~Fext.

Attention à ne pas introduire dans le bilan des forces une force de poussée !

C) Faire un bilan de quantité de mouvement méthode



Ne pas oublier la résultante des forces de pression.

14.2.1) Jet sur une plaque xe

On s'intéresse à une plaque plane orthogonale à ~ux, immobile dans le référentiel du sol, sur laquelle arriveun jet d'eau à la pression atmosphérique (de masse volumique µ, de vitesse ~v0 = v0.~ux, de section S et doncde débit massique Dm = µ.S.v0). Après contact avec la plaque, le jet est dévié d'un angle α, il garde la mêmesection S, et la même pression. On néglige tous phénomènes de viscosité.

1) Déterminer la force ~Fjet exercée par le jet sur la plaque en régime permanent.2) Montrer en particulier que si α = 0 (le uide repart dans la direction d'incidence),

~Fjet = 2.Dm.~v0

1) On prend comme système la plaque et le uide compris entre deux surfaces : Se la surface d'entrée etSs, la surface de sortie. Le théorème de la résultante cinétique appliqué au système fermé coïncident donne :

D~P

Dt= Σ~Fext =

d~P

dt+δms

dt~vs −

δme

dt~ve

où Σ~Fext est la somme des résultantes des actions extérieures, qui prend en compte les forces de pression (derésultante nulle) et la force ~Fsupport due au support de la plaque. En régime permanent,

~Fsupport = Dm. (~vs − ~ve)

où ~ve = ~v0 = v0.~ux et ~vs = v0. (− cosα.~ux + sinα.~uy). Aussi, la force due au jet d'eau sur la plaque peutapparaître comme :

~Fjet = −~Fsupport = Dm. (~ve − ~vs) = Dm.v0 ((1 + cosα) .~ux − sinα.~uy)

2) Dans le cas où α = 0 (le uide part dans la direction d'incidence),

~Fjet = 2.Dm.~v0

14.2.2) Jet sur une plaque mobile

Une plaque, perpendiculaire à la direction horizontale (Ox), est en translation, de vitesse constante ~v = v.~ex.Elle est poussée par un jet d'eau, dont la vitesse est ~vi0 = v0.~ex et le débit massique Dm.

Un déecteur dévie le jet d'un angle dont la valeur est α dans le référentiel de la plaque. Le jet garde unesection uniforme, sa pression reste égale à la pression atmosphérique et on néglige toute viscosité.

1) Calculer le débit D′m du jet dans le référentiel de la plaque.2) Calculer la force exercée sur la plaque.

1) Le débit dans le référentiel du sol est Dm = µ.v0.S.La vitesse du jet incident dans le référentiel de la plaque est ~Vi = (v0 − v) .~ex. Aussi le débit dans le

référentiel de la plaque est D′m = µ.V ′.S = µ. (v0 − v) .S, soit :

D′m = Dm.

(1− v

v0

)

2) Le référentiel de la plaque est galiléen. La conservation de l'énergie dans celui-ci implique que la normede la vitesse de l'eau est constante (on ne tient pas compte de la pesanteur). La vitesse du jet émergent dansle référentiel de la plaque est ~Vf = (v0 − v) . [− cosα~ex + sinα~ey]. Le système plaque + eau en contact avecle déecteur est soumis à la pression atmosphérique de résultante nulle et à une force du support ~Fs.

Un bilan de quantité de mouvement pour ce système donne : ~Fs = D′m.(~Vf − ~Vi

).



On voit donc apparaître la force exercée par le jet : ~Fs = −~Fj , soit

~Fj = Dm.

(1− v

v0

)(v0 − v) . [(1 + cosα)~ex − sinα~ey]

14.2.3) Force sur une lance d'incendie

Un tuyau souple, de section S se termine par un embout dont la section terminale s = 1cm2 est très petitedevant S.

La pression dans le tuyau est P1 = 10bar et le jet sort dans l'atmosphère à la pression P0 = 1bar. L'emboutfait un angle droit avec la partie antérieure du tuyau.

La vitesse du jet sera supposée très grande devant la vitesse du uide dans le tuyau.1) L'eau étant assimilée à un uide partait, calculer le débit massique Dm

2) Calculer Fy, la composante parallèle au jet de la force ~F exercée par la personne qui tient la lance.

1) Dm = µ.s.vjet = µ.S.vtuyau. Comme S s, vjet vtuyau.Le uide étant parfait, on peut calculer le débit en utilisant ta relation de Bernouilli :v2jet

2 + P0

µ

v2tuyau

2 + P1

µ ≈P1

µ .

Aussi, vjet ≈√

2P1−P0

µ , d'où :

Dm = s.√

2.µ (P1 − P0) = 4, 2kg.s−1

2) Les forces appliquées sur le système formé par l'embout, le coude du tuyau et le uide sont :

• ~F la force à exercer sur l'extrémité du tuyau,

• ~F ′ les forces de cohésion du tuyau en amont (suivant ~ex),

• (P1 − P0) .S~ex les forces de pression suivant l'axe du tuyau,

• (P0 − P0) .s~ey les forces de pression suivant le jet,

Le bilan de quantité de mouvement appliqué à ce système donne :~F + ~F ′ + (P1 − P0) .S~ex = Dm. (~vjet − ~vtuyau) ≈ Dm.~vjet.En projetant suivant ~ey, on trouve Fy = Dm.vjet = µ.s.v2

jet. On en déduit :

Fy = 2 (P1 − P0) .s = 180N

14.2.4) Force de poussée subie par une fusée

Une fusée, dont la masse à l'instant t est m éjecte vers l'arrière les gaz issus de la combustion du carburantet du comburant qu'elle contient. On suppose qu'elle est en translation, de vitesse ~v par rapport au référentield'étude, galiléen, et que la vitesse ~u des gaz éjectés dans le référentiel de la fusée est uniforme et constante. Dm

représente leur débit massique.1) Calculer la poussée de la fusée, c'est-à-dire la force ~Fp qu'il faudrait appliquer à un système fermé soumis

aux mêmes forces extérieures pour obtenir la même accélération.

1) On se place dans le référentiel non galiléen de la fusée. Soit le système ouvert constitué par la fusée,le carburant et les gaz qu'elle contient, et le système fermé coïncident. Ce système est soumis à une forced'interaction ~F (pesanteur, frottements, etc.) Sa quantité de mouvement est constante, le bilan de quantitéde mouvement donne : ~F + ~Fi = Dm.~u (il n'y a pas de ux entrant). Aussi :

~Fp = −Dm.~u

14.2.5) Evolution de la vitesse d'une fusée

Une fusée, de masse totale m(0) = 12t au départ, est lancée verticalement. La propulsion est assurée parun dispositif à réaction : éjection de gaz produits par la combustion de propergol à travers une tuyère, avec



un débit massique constant a = 120kg.s−1, à la vitesse relative ~u par rapport à la fusée (u = 2400m.s−1). Lemélange combustible a une masse mc(0) = 0, 8.m(0) au départ.

1) Etablir l'équation diérentielle vériée par la vitesse ~V de la fusée à l'instant t dans le référentiel terrestreconsidéré comme galiléen, en fonction de ~g, intensité du champ de pesanteur au lieu où se trouve la fusée, u, etm(t) masse de la fusée à l'instant t.

2) Pour une intensité du champ de pesanteur constante, intégrer la précédente relation pour trouver ~V (t),la vitesse de la fusée à l'instant t.

3) On prendra g = 10m.s−2. Calculer la vitesse maximale Vmax acquise par la fusée.

1) d~Vdt = ~g + dm

m.dt .~u.

2) ~V (t) = ~g.t+ ln(

m(t)m(t=0)

).~u.

3) Vmax = 3, 1.103m.s−1.

III- Bilans d'énergie

Associer un système fermé à un système ouvert pour faire un bilan.Utiliser la loi de l'énergie cinétique pour exploiter un bilan. Exploiter la nullité (admise) de la puissancedes forces intérieures dans un écoulement parfait et incompressible.





Seule l'énergie cinétique d'un système fermé suit le théorème de la puissance cinétique : DEc

Dt = ΣPext +ΣPint = ΣPext dans le cas d'un écoulement parfait et incompressible.

D) Faire un bilan d'énergie cinétique méthode

14.3.1) Puissance d'une pompe

Une pompe aspire l'eau d'un puits, et la transvase dans un réservoir pressurisé avec un débit massique Dm

constant. Le niveau supérieur de l'eau dans le réservoir est à une altitude h au-dessus de celui du puits, et lapression y est égale à P1, supérieure à la pression atmosphérique P0. On néglige toute viscosité.

1) Calculer la puissance utile Pu fournie par la pompe au uide.

1) On eectue un bilan d'énergie mécanique pour le système constitué par l'eau comprise à l'instant t,dans un tube de courant qui relie la surface supérieure du puits à celle du réservoir.

Les énergies cinétiques entrante et sortante sont négligeables.L'énergie potentielle massique entrante est nulle en prenant l'origine des énergies potentielles au niveau

de la surface du puits. L'énergie potentielle massique sortante est égale à g.h.Le régime étant permanent l'énergie mécanique du système ouvert ne varie pas.La puissance des force de pression est Pp = (P0 − P1) Dm

µ .Conclusion :

Pu = Dm.

(g.h+

P1 − P0

µ

)



14.3.2) Réfrigérant

De l'air chaud (Pi = 6bar, Ti = 500K, de chaleur massique à pression constante ca = 1, 0kJ.kg−1.K−1.) estrefroidi de façon isobare jusqu'à la température Tf = 300K, dans un échangeur parfaitement calorifugé.

Le uide réfrigérant est constitué par de l'eau (de chaleur massique ce = 4, 18.kJ.kg−1.K−1) qui entreà la température θe = 12C et qui sort à θs. Le débit massique d'eau est De = 100g.s−1 et celui de l'airDa = 6, 5g.s−1.

1) Calculer θs.

1) Bilan enthalpique pour l'air : Ptha= Da.ca. (Ts − Te).

Bilan enthalpique pour l'eau : Pthe= De.ce. (θs − θe).

Le système est calorifugé, aussi : Ptha+ Pthe

= 0.Donc :

θs = θe −Da.caDe.ce

(Ts − Te) = 15C

14.3.3) Mélangeur

Un robinet mélangeur admet de l'eau froide (température Tf , débit massique Df ) et de l'eau chaude (tem-pérature Tc, débit massique Dc).

1) Déterminer la température T de l'eau sortant du robinet.

1) On peut supposer le robinet adiabatique en régime permanent. La capacité thermique massique àpression constante c de l'eau ne dépend pas de la température. En régime permanent, l'enthalpie entrantdans le robinet pendant dt est égale à l'enthalpie sortant pendant la même durée :

µ.c.Dc.Tc.dt+ µ.c.Df .Tf .dt = µ.c. (Dc +Df ) .T.dt, donc :

T =Dc.Tc +Df .Tf

Dc +Df

IV- Forces exercées par un uide parfait

Utiliser les relations−→dF = −p

−→dS et

−→dF = −

−−→gradp dτ .


Il faut appliquer le théorème de Bernoulli (bien vérier auparavant les conditions d'application !) entredeux points le long d'une ligne de courant (vérier qu'une ligne de courant existe bien entre ces deuxpoints !).

E) Applications de la relation de Bernoulli méthode

14.4.1) Force exercée sur une seringue

Une seringue est formée d'un corps de section constante S1 et d'une aiguille dont l'extrémité a une sectionS2 S1. Cette seringue contient un liquide de masse volumique µ qui est éjecté en appuyant sur un pistonmobile sans frottements.

1) Quelle force un opérateur doit-il exercer sur le piston pour assurer un débit volumique D d'éjection ?



1) Le débit volumique est D = S1.v1 = S2.v2, où v1 est la vitesse du uide au contact du piston et v2 àl'orice de l'aiguille.

L'écoulement entre A et B peut être considéré comme stationnaire. On peut appliquer la formule de

Bernouilli le long de la ligne de courant entre A et B : v21

2 + g.z1 + P1

µ =v222 + g.z2 + P2

µ .Or z1 = z2, P2 = Patm et P1 = Patm + ∆P .

Aussi, D2

2.S21

+ ∆Pµ = D2

2.S22. soit ∆P = µ.D2.

(1

2.S22− 1

2.S21

).

La force exercée est F = ∆P.S1, d'où :

F =µ.D2

2.S1.

((S1

S2

)2

− 1

)

V- Forces de viscosité

Utiliser l'expression fournie−→dF = η ∂vx∂y dS~ux


La force de viscosité exercée par la veine lente (pour y < y0) sur la surface S de cote y0 qui la sépare dela veine rapide (pour y > y0) est Fx = −η S ∂vx∂y . La contrainte tangentielle σ exercée sur le plan solide

de cote z = z0 est σ = η(

dv(y)dy

)y=y0

.

F) Forces de cisaillement méthode

La force de trainée est de la forme : ~Ftrainee = Cxµ v2∞ S

2 ~ux. Suivant la valeur du nombre de Reynolds, ondiscerne trois comportements : si Re < 1, Cx = 24

Re , si Re ∈[103; 105

], Cx ≈ cst, autour de Re = 5.105,

Cx chute brusquement.

G) Forces de traînée méthode

14.5.1) Contrainte exercée par un ruissellement laminaire

Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µ et de viscositédynamique η s'écoule sur un plan incliné d'un angle α sur l'horizontale sur une hauteur δ constante. On étudiel'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est :

~v =µ.g. sinα

2.η(2.δ − z) .z.~ux

où ~uz est orthogonal à l'écoulement (et donc au plan incliné), orienté depuis le plan vers le liquide.1) Quelle est la contrainte tangentielle σ exercée sur le plan incliné ?

1) La contrainte tangentielle σ exercée sur le plan incliné est σ = η(dv(z)dz

)z=0

or(dv(z)

dz

)=µ.g. sinα

2.η(2.δ − 2.z)

soitσ = µ.g. sinα.δ

qui ne dépend pas de la viscosité du uide, mais uniquement de la pesanteur qui met en mouvement le uide.



14.5.2) Contrainte exercée par le déplacement d'une plaque dans un uide

Soient deux grandes plaques parallèles, l'espace entre les plaques étant rempli d'un uide donné. La plaqueinférieure (en y = 0) est xe, tandis que la plaque supérieure (en y = ∆y) est entraînée par une force constante~F0 = F0.~ux, et on constate qu'elle est animée d'une vitesse constante ~V = V.~ux.

Il s'exerce donc sur la plaque une force, dirigée parallèlement à la plaque et opposée à ~F0 : c'est la force deviscosité, notée ~F .

Le uide en contact avec la plaque supérieure va y adhérer et va donc être animé de la vitesse ~V = V.~ux,tandis que le uide en contact avec la plaque xe aura une vitesse nulle. La vitesse d'écoulement au sein duuide est en tout point parallèle à l'axe Ox, mais son module dépend de la cote y : ~v = vx(y).~ux.

Si la distance y et la vitesse V ne sont pas trop grandes, on constate que le prol des vitesses est une droite.1) Exprimer ∂vx

∂y .Les expériences ont d'autre part montré que la force F0 à exercer sur la plaque supérieure pour l'entraîner à

la vitesse constante V , varie proportionnellement avec la surface de la plaque, avec la vitesse V et inversementavec ∆y.

2) Déterminer la force de viscosité exercée par la veine lente (pour y < y0) sur la surface S de cote y0 quila sépare de la veine rapide (pour y > y0).

1)∂vx∂y

=V

∆y

2)

Fx = −η.S ∂vx∂y

= −η.S V

∆y

14.5.3) Contrainte exercée par un écoulement de Poiseuille cylindrique

On considère un écoulement de Poiseuille permanent dans un tube cylindrique d'axe Oz, de section circulaireet de rayon R :

v(r) = −R2

4 η

dp

dz

(1− r2

R2

)Déterminer la projection des forces de cisaillement.

La projection des forces de cisaillement est :

σ(r) =r

2

dp

dz

14.5.4) Forces de viscosité dans un amortisseur hydraulique

On schématise un amortisseur hydraulique par un cylindre de rayon R, dans lequel peut se déplacer unpiston de longueur ` et de rayon R′ = R − a (où a R). Le cylindre contient une huile incompressible, demasse volumique µ et de viscosité dynamique η, qui peut s'écouler entre le piston et la paroi du cylindre. Onnéglige les eets de la pesanteur. Le champ de vitesse vz(r) du uide entre le piston et la paroi est assimilableà un champ vz(x) puisque a R. On admet que vz = −F

2η.`.π.R2 (x− a) .x− vpa x, où vp est la vitesse du piston

et F la force exercée par l'opérateur.1) Exprimer le débit volumique Dv :

1.a) à partir du champ de vitesse vz(x)1.b) grâce à une autre relation.

2) En déduire la relation qui lie la vitesse vp et F .

1) Débit volumique Dv :1.a) à partir du champ de vitesse vz(x) :

Dv = 2π.R.

∫ x=a

x=0

vz(x).dx = π.R.a

[F.a2

6η.`.π.R2− vp

]



1.b) grâce à une autre relation : on déplace un volume V = vp.π.R2.dt, donc

Dv = vp.π.R2

2) Conclusion :

vp =a

R

[F.a2

6η.`.π.R2− vp

]soit

F ≈ 6.π.η.`.vpR3

a3



Les techniques mathématiques à connaîtreUtilisation de formules d'analyse vectorielle

Formules locales de dérivation d'une somme

~O (U + V ) = ~OU + ~OV

~O(~A+ ~B

)= ~O ~A+ ~O ~B

~O ∧(~A+ ~B

)= ~O ∧ ~A+ ~O ∧ ~B

Formules locales de dérivation d'un produit

~O (U.V ) =(~OU).V + U.

(~OV)

~O(U. ~A

)=(~OU). ~A+ U.

(~O ~A)

~O ∧(U. ~A

)=(~OU)∧ ~A+ U.

(~O ∧ ~A

)~O.(~A ∧ ~B

)=(~O ∧ ~A

). ~B − ~A.

(~O ∧ ~B

)~O ∧

(~A ∧ ~B

)=(~O. ~B

). ~A−

(~O. ~A

). ~B +

(~B.~O

). ~A−

(~A.~O). ~B

~O.(~A. ~B

)= ~A ∧

(~O ∧ ~B

)+ ~B ∧

(~O ∧ ~A

)+(~A.~O). ~B +

(~B.~O

). ~A

Formules locales de double dérivation

~O ∧(~OU)

= ~0 ~O.(~O ∧ ~A

)= 0

~O.(~OU)

= O2U ~O ∧(~O ∧ ~A

)= ~O.

(~O. ~A

)− O2. ~A

Formules intégrales pour une surface S délimitée par un contour fermé C

Formule de Stokes :∮C

−→A ·−→d` =

x

S

−→rot(−→A)·−−→d2S

Formule de Kelvin :∮C

f−→d` =

x

S

−−→d2S ∧

−−→grad (f)

Formules intégrales pour un volume V délimité par la surface fermée ΣFormule d'Ostrogradsky :

Σ

~A ·−−→d2Σ =

y

V

div(~A)

d3τ

Formule du gradient :

Σ

f−−→d2Σ =

y

V

−−→grad (f) d3τ

Formule du rotationnel :

Σ

−−→d2Σ ∧ ~A =

y

V

−→rot(~A)

d3τ



Programmation en python

exo 14.2) Etude d'une tuyère

On s'intéresse à un écoulement unidimensionnel (suivant x) d'un gaz parfait en régime stationnaire dansun cylindre de section variable, la tuyère. On supposera le fonctionnement réversible et les bords athermes :l'écoulement est isentropique. On se placera dans le référentiel de la tuyère.

Les notations sont les suivantes :S(x) est la section de la tuyère à la cote x, et r(x), son rayon ; P (x), la pression ; T (x), la température ;

v(x), le volume massique ; c(x) la vitesse du gaz.Pour les applications numériques, on s'intéressera par exemple à l'air : on prendra M = 29 g ·mol−1 et

γ = 1, 4.

S (c) = S0 c0 e12

c2−c20c2son

c est bien solution de la formule d'Hugoniot :

dS

S=

dc

c

(c2

c2son− 1

)1) Ecrire un programme qui permet de résoudre l'exercice suivant :

1.a) A l'entrée de la tuyère (en x = 0), la surface est S0 = 1m2, la vitesse est c0 = 100m.s−1, latempérature est T0 = 300K et la pression P0 = 5.105Pa. Calculer v0, le débit massique à l'entrée et cson (onprendra T = T0).

1.b) On va supposer que la vitesse varie linéairement dans la tuyère : c = a.x + c0. On prendra parexemple a = 1kHz. Dénir dans le programme les fonctions :

• r(x) grâce à la symétrie de révolution de la tuyère ;

• v(x) grâce à la conservation du débit ;

• P (x) grâce à la loi de Laplace ;

• T (x) grâce à la loi des gaz parfaits ;

• et enn D(x), le débit massique.

1.c) A la sortie de la tuyère (dans l'atmosphère), la pression est Patm. Trouver numériquement pourquelle position xfin cette sortie a lieu.

1.d) Tracer alors les graphes (pour x ∈ [0, xfin]) de c(x), v(x), P (x), T (x) et la forme de la tuyère.

> restart: # rend indéfinies toutes les variables

> with(plots): # ouverture de la bibliothèque

> with(student): # ouverture de la bibliothèque

>

> # équation d'Hugoniot

> # ___________________

> hugoniot:=f->diff(f(c),c)/f(c)-diff(c,c)/c*((c/cson)^2-1);

# équation d'Hugoniot

> S:=c->S0*c0/c*exp((c^2-c0^2)/(2*cson^2));

> hugoniot(S);

> factor(");

> # la fonction S(c) vérifie donc bien l'équation d'Hugoniot

>

> # Constantes

> # __________

>

> g:=1.4 : # gaz parfait diatomique

> R:=8.314:

> M:=29e-3: # masse molaire de l'air

>

> # entrée de la tuyère en 0

> # ________________________



>

> S0:=1: # surface

> c0:=100: # vitesse

> T0:=300 : # température

> P0:=5e5 : # pression

> v0:=R*T0/(M*P0); # volume massique

> Débit:=c0*S0/v0; # débit

>

> cson:=sqrt(g*R/M*T0); # vitesse du son

>

> # fonctions

> # _________

>

> # vitesse:

> a:=1000 : # augmentation de vitesse par mètre choisie linéaire

> c:=x->c0+a*x;

>

> # rayon de la tuyère

> r:=S->sqrt(S/Pi);

>

> # volume massique:

> v:=x->c(x)*S(c(x))/Débit; # conservation du débit

>

> # pression:

> P:=x->P0*(v0/v(x))^g; # isentropique

>

> # température:

> T:=x->M*P(x)*v(x)/R; # loi des gaz parfaits

>

> # débit:

> deb:=x->c(x)*S(c(x))/v(x); # débit massique

>

> # sortie de la tuyère en fin

> # __________________________

>

> Patm:=100000 : # pression atmosphérique

> sortie:=[solve (P(x)=Patm,x)];

> fin:=sortie[4];

>

> # graphes des grandeurs thermodynamiques

> # ________________________

>

> plot((c(x)),x=0..fin);

> plot((P(x)),x=0..fin);

> plot((T(x)),x=0..fin);

> plot((deb(x)),x=0..fin);

>

> # forme de la tuyère

> haut:=plot(r(S(c(x))),x=0..fin):

> bas:=plot(-r(S(c(x))),x=0..fin):

> display(haut,bas);

>



Résolution de problème

L'aérodynamisme du cycliste

Extraits de l'article "Méthodes d'évaluation de l'aérodynamisme en cyclisme" par P. Debrauxdisponible sur le site "Sciences du Sport . com"

Comment rouler plus vite en vélo ?

En cyclisme, diérentes forces s'opposent àl'avancement du cycliste et de sa bicyclette et li-mitent sa vitesse de déplacement. À vitesse élevée(> 40 km ·h−1), la traînée aérodynamique est laplus importante de toutes ces forces. Pour se re-présenter son importance, il faut savoir que 90% dela puissance produite par un cycliste sert à vaincrecette résistance.

L'aérodynamisme est une problématique depremier plan pour la recherche en cyclisme, l'ob-jectif principal étant d'améliorer les performances.Durant les courses cyclistes, et plus particulière-ment lors des épreuves de "Contre-la-montre", lesdiérences de temps entre les athlètes peuvent êtreminimes. L'optimisation des paramètres aérodyna-miques du cycliste et de sa bicyclette peuvent êtredéterminants pour augmenter la vitesse de dépla-cement pour une même production de puissance. Or, pour minimiser la résistance aérodynamique, il est im-portant de connaître ses paramètres déterminants, de savoir comment les évaluer et de pouvoir déterminer leurévolution en fonction de la position du cycliste et de sa vitesse de déplacement.

La résistance aérodynamique est directement proportionnelle à l'aire frontale projetée du cycliste (le maîtrecouple) et de sa bicyclette (Ap, en m2), au coecient de traînée (CD, sans unité), à la masse volumique de l'air(ρ, en kg ·m−3) et au carré de la vitesse d'écoulement du uide sur le corps du cycliste (vf , en m · s−1) :

RA = 0, 5×Ap × ρ× CD × v2f

Le coecient de traînée (CD, sans unité) (également appelé coecient de forme ou CX) est utilisé pour modéliserles facteurs complexes de forme, de position et les ux d'air agissant sur le corps du cycliste en déplacement.Indurain lors de son record de l'heure (1994) présentait un CD = 0, 65.

L'aire frontale projetée représente la portion du corps qui peut être vue par un observateur placé exactementen face de ce corps. L'aire frontale projetée est dépendante de la taille et de la masse corporelle du cycliste, dela position du cycliste sur la bicyclette et de l'équipement utilisé (e.g., casque, forme du cadre, vêtements).

exo 14.3) Enoncé

1) Déterminer l'ordre de grandeur du coecient de traînée d'un cycliste.

Pour V = 36 km ·h−1 = 10 m · s−1, en prenant la taille caractéristique L = 1 m, Re = µ.V.Lη = V.L

ν ≈10×1

15×10−6 = 6× 105. On n'est pas à faible vitesse (nombre de Reynolds petit), où le coecient de traînée Cxest inversement proportionnel à la vitesse.

La puissance développée par le cycliste pour contrarier les forces de frottements quadratiques est donc :

P = 0, 5×Ap × ρ× CD × v3f



En assimilant le cycliste à une sphère de rayon R d'eau, 43πR

3µeau = m = 80 kg, soit

R =

(3m

4µeau

)1/3

=

(3× 80

4× 103

)1/3

= 0, 4 m

Le maître couple est donc Ap = πR2 = 0, 5 m2.Sur le graphique, on lit pour vf = 40 km ·h−1 = 11 m · s−1, P ≈ 400 W soit

CD =2P

Apρv3f

≈ 2× 400

0, 5× 1, 3× 113

on trouve donc CD ≈ 1 ce qui est cohérent avec la donnée relative à Indurain.



Exercices d'oral pour s'entraîner

exo 14.4) Eet Magnus pour un cylindre qui tourne

D'après l'article wikipédia sur l'eet magnus, ce dernier aété utilisé avec de gros cylindres verticaux en rotation surdes bateaux an de produire une poussée par le vent.Ainsi, l'Allemand Anton Flettner t transformer le schoo-ner trois mâts Buckau et acquit avec lui une première ex-périence avec ce principe de propulsion. Après plusieursessais par diérentes conditions de vent, le Buckau rebap-tisé Baden-Baden traversa l'Atlantique et rallia New Yorkle 9 mai 1926.L'océanographe Jacques-Yves Cousteau t construire l'Al-cyone au début des années 1980. Ses deux cylindres four-nissaient environ 25 à 30 % de l'énergie propulsive quivenait assister la propulsion par hélice. Le navire t sonpremier voyage en 1985.

Un écoulement permanent et incompressible, au voisinage d'un cylindre d'axe (Oz) et de rayon a, en rotationautour de son axe xe avec la pulsation ω a pour champ de vitesse :

~v = v0 cos θ

(1− a2

r2

)~ur +

[−v0 sin θ

(1 +

a2

r2

)+a2 ω

r

]~uθ

1) Calculer la circulation Γ du champ des vitesses du uide le long d'un cercle quelconque entourant lecylindre.

2) Déterminer la pression P (a, θ) en tout point du cylindre3) En déduire la force exercée par le uide sur le cylindre de longueur h.4) Calculer la circulation Γ du champ des vitesses du uide le long d'un cercle quelconque entourant le

cylindre et exprimer la force précédente en fonction de Γ.

1) La circulation de ~v sur un cercle de rayon R > a est égale à :

Γ =

∮~v.−→dl

2) L'application de la relation de Bernoulli entre un point très éloigné du cylindre et un point de lasurface du cylindre donne :

P0

µ+v2

0

2=P (a, θ)

µ+

(ω.a− 2.v0. sin θ)2

2

d'où l'on déduit :P (a, θ) = P0 +

µ

2

[v2

0 − (ω.a− 2.v0. sin θ)2]

3) La force élémentaire de pression est :

−−→d2F = −P.d2S.~er

Cette distribution de pression engendre sur le cylindre des forces de pression dont la résultante est dirigéesuivant l'axe (Oy), vers les y décroissants. Il s'agit uniquement de déterminer cette composante.

dFy = −P.dh.a.dθ. sin θ

Les termes uniformes de P donnent une contribution nulle à cette résultante, il reste :

Fy = −h.a.µ2

∫ θ=2.π

θ=0

[ω.a.2.v0. sin θ − (2.v0. sin θ)

2]. sin θ.dθ



On obtient donc une force :~F = −2.π.h.ω.a2.µ.v0.~ey

4) Seul le champ de vortex présente une circulation non nulle, (les autres étant par constructionirrotationnels), on trouve :

Γ =

∫ θ=2π

θ=0

a2.ω

R.R.dθ = 2π.ω.a2

L'existence d'une force orthogonale à l'écoulement (force de portance) est directement liée à celle d'unecirculation non nulle du champ de vitesses du uide autour de l'obstacle :

~F = −Γ.h.µ.v0.~ey

exo 14.5) Jetlev

Un "jetlev" est un dispositif xé au dos d'un pilote lui permettant des'élever au-dessus d'une étendue d'eau (lac, mer...).Une poussée susante est permise grâce à l'expulsion d'eau à grandevitesse par deux tuyères orientées vers le bas et alimentées grâce à untuyau exible d'une dizaine de mètres de long.An de limiter le poids de l'engin, la pompe et le carburant sontdisposés dans un bateau auxiliaire.

1) Eectuer une analyse qualitative des phénomènes physiques permettant d'expliquer le vol stationnairede l'utilisateur d'un jetlev.

2) Faire, dans un référentiel adapté, un bilan entre deux instants successifs2.a) de quantité de mouvement,2.b) d'énergie.

3) Quelle puissance doit fournir la pompe permettant au pilote de rester à une hauteur de quelques mètresau dessus de la surface de l'eau ?

Un "jetlev" est un dispositif xé au dos d'un pilote lui permettantde s'élever au-dessus d'une étendue d'eau (lac, mer...).Une poussée susante est permise grâce à l'expulsion d'eau à grandevitesse par deux tuyères orientées vers le bas et alimentées grâce àun tuyau exible d'une dizaine de mètres de long.An de limiter le poids de l'engin, la pompe et le carburant sontdisposés dans un bateau auxiliaire.

1) Eectuer une analyse qualitative des phénomènes physiques permettant d'expliquer le vol stationnairede l'utilisateur d'un jetlev.

2) Faire, dans un référentiel adapté, un bilan entre deux instants successifs2.a) de quantité de mouvement,2.b) d'énergie.

3) Quelle puissance doit fournir la pompe permettant au pilote de rester à une hauteur de quelquesmètres au dessus de la surface de l'eau ?

exo 14.6) Une serre sous la tempête



Soit un repère cartésien, Oy étant vertical, vers le haut, et Ox étant l'origine des angles θ dans un repèrecylindrique d'axe Oz.

Une serre est protégée par une sorte de toiture en forme de demi-cylindre horizontal d'axe Oz, de longueurL grande devant son rayon R.

Une violente tempête engendre un vent qui, loin de la serre est horizontal, de vitesse V∞ ~ux. On admettraque la pression loin de la serre est uniforme et on la note p∞ ainsi que la vitesse : V∞ ~ux. On note aussi µ lamasse volumique de l'air, que l'on supposera parfait. On néglige l'inuence de la pesanteur.

1) L'écoulement est pratiquement incompressible, permanent et irrotationnel, de sorte que le champ devitesse soit le gradient d'une fonction φ qui, en coordonnées cylindriques, est cherchée sous la forme suivante,indépendante de z :

φ(r, θ) = cos(θ)

(Ar +

B

r

)où A et B sont des constantes.

1.a) En déduire l'expression du champ de vitesse dans le repère cylindrique.1.b) Déterminer A et B grâce aux conditions aux limites.

2) On admet qu'un manque (nécessaire) d'étanchéité impose que la pression intérieure à la serre est celledu point au pied de la serre du côté "au vent" (à l'opposé du vent).

2.a) Déterminer la pression p en tout point de l'espace extérieur à la serre.2.b) Déterminer les pressions intérieure et extérieure (au niveau de la paroi de la serre).

3) Force résultante3.a) Sans aucun calcul, déterminer la direction de la force résultante ~F exercée par l'air sur la serre.3.b) Par le calcul, déterminer l'expression de ~F .3.c) Eectuer une application numérique de ‖~F‖ avec p∞ = 105 Pa, µ = 1, 3 kg ·m−3, V∞ =

144 km ·h−1, R = 2 m et L = 10 m. Conclure.

1)

1.a) Au potentiel φ correspond le champ de vitesses ~v =−−→gradφ, d'où :

vr = ∂φ∂r = cos(θ).

(A− B

r2

)vθ = 1

r∂φ∂θ = − sin(θ)

r

(A.r + B

r

)vz = ∂φ

∂z = 0

1.b) Les conditions aux limites imposent :~v(r →∞, θ) = V∞.~urvr(r = R, θ) = 0

Soit : A = V∞

B = A.R2 = R2.V∞

Conclusion :

~v = V∞. cos(θ).

(1− R2

r2

).~ur − V∞. sin(θ)

(1 +

R2

r2

).~uθ

2)2.a) L'écoulement est considéré comme parfait et incompressible, il est permanent, on peut donc

appliquer le théorème de Bernoulli entre deux points d'une même ligne de courant dont l'un est à l'inni oùla vitesse est de module V∞ et la pression p∞, soit, en négligeant le terme en g.z (pesanteur négligée),

v2

2+p

µ=V 2∞2

+p∞µ



Il ne reste qu'à reporter la vitesse calculée plus haut, ce qui conduit à :

p(r, θ) = p∞ +µ.V 2∞

2

[1− cos2(θ).

(1− R2

r2

)2

− sin2(θ)

(1 +

R2

r2

)2]

2.b) La pression intérieure est

pint = p(R, θ = 0) = p∞ +µ.V 2∞

2

et la pression extérieure est

pext = p(R, θ) = p∞ +µ.V 2∞

2

[1− 4. sin2(θ)

]3) Force résultante.

3.a) ~F est la somme de la force de traînée (nulle car le uide est parfait !) et de la force de portance(verticale, vers le haut).

3.b) Une bande de longueur L de largeur R.dθ découpée sur la paroi de la serre est soumise à uneforce élémentaire −−→

d2F = (pint − pext)−−→d2S = 2.µ.V 2

∞. sin2(θ)L.R.dθ.~ur

Pour obtenir la force totale, il sut d'intégrer, sans tomber dans le piège classique, à savoir que ~ur n'est pasun vecteur constant mais dépend de θ : ~ur = cos θ.~ux + sin θ.~uy. On a donc

~F = 2.µ.V 2∞.L.R.

(∫ θ=π

θ=0

sin2(θ). cos θ.dθ.~ux +

∫ θ=π

θ=0

sin3(θ).dθ.~uy

)

Le calcul donne :~F =

8

3.µ.V 2

∞.L.R.~uy

3.c) L'application numérique donne ∣∣∣~F ∣∣∣ = 55kN

capable donc de soulever une toiture de 5, 5 tonnes !Remarquons que cette étude conduit à une force de traînée (force horizontale) nulle ce qui est invraisem-

blable : c'est que l'étude suppose l'écoulement laminaire et néglige toute force de viscosité. Néanmoins pourla composante verticale de la force, le résultat est une bonne approximation des mesures expérimentales.



Approche documentaire (DNS)

Ressaut et mascarets

"Ce que disent les uides" - 2nde éd. - de E. Guyon, J-P. Hulin et L. PetitBelin - Pour la Science

Des vagues xes ou qui remontent les euves

Mascaret

Intéressons-nous à un estuaire à marée montante : l'élévation du niveau de l'eau progresse vers l'intérieurdes terres, à contre-courant de l'écoulement du euve. Dans certaines conditions - réunies dans l'exemple dela gure 1 - cet eet s'amplie pour former une vague, appelée mascaret, qui se propage vers l'amont. Cetteperturbation peut dépasser un mètre de haut. Elle remonte le courant sur plusieurs dizaines de kilomètres, àune vitesse qui atteint parfois 15 km/h lors des grandes marées d'équinoxe, et nit souvent par déferler. Dansd'autres cas, on observe au lieu d'un déferlement une série de vagues régulières et de grande amplitude (Figure2).

Pour qu'un mascaret apparaisse, plusieurs ingrédients doivent être réunis : marée de grande amplitude,estuaire en entonnoir avec un fort élargissement à l'embouchure (Figure 3), faible hauteur d'eau, pente douces'accentuant à l'embouchure, et enn absence de cuvettes sur le fond. Un vent venant de la mer et parallèle aucours de la rivière ampliera également le phénomène.

Le nombre de sites dans le monde présentant des mascarets importants est très limité : on en observe enChine, au Brésil, au Canada, en Alaska et en Angleterre (sur la Severn et la Trent). En France, il ne reste guèreque les estuaires de la Gironde et de la Dordogne. Le mascaret de la Seine (la barre ) a disparu en 1963,avec la construction du chenal de Rouen. Dès le début du XXe siècle, ce mascaret attirait les touristes en grandnombre, mais il présentait un danger certain pour la navigation (on lui a même attribué, à tort, le naufrage dela barque où périt la lle de Victor Hugo). En Gironde, les surfers à la recherche de belles vagues durablesont rejoint les curieux et se font porter par le mascaret sur plusieurs kilomètres. Sur l'estuaire de l'Araguari auBrésil, certains bravent même les piranhas pour proter du pororoca.



La montée de l'eau de mer à l'extérieur de l'estuaire provoque uncourant vers l'intérieur des terres. C'est alors que le prol en entonnoirde l'embouchure accélère l'écoulement (Figure 3), et amplie l'éléva-tion du niveau d'eau. Cet accroissement se propage sous forme d'unevague, au départ en pente douce mais dont le front avant devient deplus en plus raide. Cet eet non linéaire vient de la variation de lavitesse des vagues avec l'épaisseur h du uide, lorsque la longueurd'onde de la perturbation est grande devant h. Localement, la vitessede l'onde est donc plus élevée dans les parties hautes que dans les par-ties basses de l'onde : si le contraste est assez fort, les zones les plushautes rattrapent le front avant de la vague et déferlent (Figure 1).

La structure du mascaret est largement déterminée par le nombrede Froude Fr, quotient de la vitesse Vr du courant sur la vitesse carac-téristique des ondes de surface. L'amplitude du phénomène est d'au-tant plus importante que ce nombre est élevé. Des valeurs peu su-périeures à 1 conduisent à des oscillations de la surface (Figure 2),tandis qu'une structure du type de la gure 1 apparaît au-delà de Frde l'ordre de 4 ou 5.

La constance de la forme du bourrelet au cours de sa propaga-tion résulte d'une compensation entre la dispersion de l'onde (qui atendance à l'étaler), et les eets non linéaires indiqués plus haut (res-ponsables du raidissement du front). Une compensation similaire alieu dans les tsunamis, ce qui explique pourquoi leurs eets se fontencore sentir à des milliers de kilomètres de l'épicentre où ils ont prisnaissance.Ressaut hydraulique

Un jet d'huile qui arrive verticalement sur un plan solide horizontaldonne naissance à un lm liquide. Ce lm s'écoule radialement surcette surface, vers l'extérieur (Figure 4). Près de la zone d'impact dujet, l'épaisseur du lm est faible et sa vitesse élevée. L'observation la plus surprenante est l'existence d'unbourrelet stationnaire de liquide qui se forme à une certaine distance du centre : il s'accompagne d'une brusqueaugmentation de l'épaisseur du lm vers l'extérieur, et d'un ralentissement simultané de l'écoulement.



Cette expérience est semblable à l'observation courante d'un letd'eau qui tombe sur le fond d'un évier. Comme dans l'exemple pré-cédent, il se produit, à quelques centimètres du point d'impact, unetransition d'un régime d'écoulement rapide vers un régime lent. Lebourrelet à la frontière entre les deux zones uctue, et entraîne denombreuses bulles. La diérence d'aspect entre les deux expériencestient à la vitesse du liquide : elle est plus faible dans la gure 4,où l'écoulement est régulier (ou laminaire), que dans l'exemple del'évier où l'écoulement est uctuant (c'est-à-dire turbulent). Curieu-sement, pour des conditions expérimentales légèrement diérentes, onobserve des gures spectaculaires comme des hexagones (Figure 5) aulieu d'un cercle.

Dans tous les cas, la transition entre les deux zones d'écoule-ment représente un ressaut hydraulique. À une échelle beaucoup plusgrande, des discontinuités analogues sont observées en bas des déver-soirs (Figure 6) par lesquels s'évacue le trop plein des barrages :l'écoulement y est turbulent et accompagné d'un fort brassage d'air(c'est, cette fois, un écoulement parallèle et non plus radial).

Le nombre de Froude Fr, dont nous avons fait connaissance pré-cédemment, caractérise le rapport entre la vitesse v du liquide et lacélérité (g h)

12 des ondes de surface (h est l'épaisseur de la couche

de uide). Le ressaut hydraulique marque le passage d'une zone oùFr est supérieur à l'unité, à une région où il lui est inférieur et oùle uide s'écoule plus lentement. Les déformations accidentelles de lasurface viennent par ailleurs renforcer le ressaut : celles qui sont dansla zone lente en aval peuvent remonter le courant vers le ressaut(puisque Fr < 1), tandis que les perturbations dans la zone rapidesont au contraire entraînées par le courant jusqu'au ressaut (Figure7). Il existe une analogie entre le bourrelet d'un ressaut et les ondesde choc dans les soueries et écoulements supersoniques : les frontsde choc séparent en eet une zone d'écoulement supersonique (équiva-lente à la zone amont du ressaut) d'une zone d'écoulement subsonique(à comparer à la région aval). Le nombre de Mach joue en acoustiquele rôle du nombre de Froude pour le ressaut hydraulique.

Si les ressauts sont xes, les mascarets ou les vagues déferlantes sepropageant sur un uide globalement immobile, constituent la versionmobile du même phénomène. Imaginez que vous xez le mascaret envous déplaçant à sa vitesse : vous contemplerez alors une discontinuitéstationnaire du niveau, comparable à celle observée dans un ressaut.

Enoncé

On note µ la masse volumique du liquide, Patm la pression atmosphérique et g l'intensité de la pesanteur.1) RessautOn s'intéresse au ressaut de la gure 7. Le jet a un débit volumique Dv, et la vitesse dépend de la distance

r à l'axe du problème :

• à l'intérieur (r < R), la hauteur de liquide est h1 et la vitesse v(r) = v1(r) ;

• à l'extérieur (r > R), la hauteur de liquide est h2 > h1 et la vitesse v(r) = v2(r).

1.a) Faire un schéma où apparaissent ces données.1.b) Qu'impose la conservation du débit ?1.c) Tracer l'allure des variations du nombre de Froude Fr avec r.

2) MascaretOn modélise le mascaret (la vague) par une marche rectangulaire de hauteur ∆h, qui remonte le euve vers

l'amont. On suppose le euve rectiligne, suivant Ox (x croissant de l'amont vers l'aval), et de largeur uniforme,égale à L . On se place dans le référentiel lié à la vague parce que le régime y est permanent car la vague y estimmobile. Dans ce référentiel, la vitesse de déplacement de l'eau du euve est :



• V.~ux en amont de la vague, où hr est la profondeur du euve sans la vague ;

• V ′.~ux en aval de la vague, où hm = hr + ∆h est la profondeur du euve avec la vague.

On choisit un système ouvert d'eau, portion de euve limité par une section verticale en amont de la vagueet une section verticale en aval du mascaret.

2.a) Faire un schéma où apparaissent ces données.2.b) En faisant un bilan de masse, montrer que :

(1) hr.V = hm.V′

2.c) Faire un bilan de quantité de mouvement reliant le système ouvert au système fermé coïncident.Calculer la somme des forces de pression appliquées sur le système fermé coïncident, en supposant qu'en amontcomme en aval, la pression de l'eau varie comme en hydrostatique. En déduire que

(2)(hm.V

′2 − hr.V 2)

=h2r − h2

m

2g

2.d) Déduire des deux relations précédentes une expression de V et de V ′ dans le cas où ∆h hr ≈hm ≈ h. Application numérique : que vaut V en km/h pour un euve de dix mètres de profondeur ?

On note v0, la vitesse d'écoulement du euve par rapport au sol.2.e) A quelle condition sur le nombre de Froude le mascaret peut-il remonter le euve ?



Correction

1) Ressaut1.a) Schéma :

1.b) La conservation du débit volumique impose

Dv =

∫ ∫v(r) r dθ dz

soit

• à l'intérieur (r < R), Dv = 2π r h1 v1(r) ;

• à l'extérieur (r > R), Dv = 2π r h2 v2(r).

1.c) Le nombre de Froude est

Fr =v(r)√g h

soit

• à l'intérieur (r < R), Fr = v1(r)√g h1

= Dv

2π r√g h

321

;

• à l'extérieur (r > R), Fr = v2(r)√g h2

= Dv

2π r√g h

322

.

r

Fr

1

R

2) Mascaret2.a) Schéma :



2.b) On note la masse δme = µ.hr.L.V.dt qui va entrer dans le système ouvert entre t et t + dt etla masse δms = µ.hm.L.V

′.dt qui va en sortir.La masse du système fermé à l'instant t est égale à la masse du système ouvert : Mf (t) = Mo(t).La masse du système fermé à l'instant t+ dt est reliée à la masse du système ouvert par :Mf (t+ dt) = Mo(t+ dt) + δms − δme.Comme la masse du système fermé se conserve (Mf (t + dt) = Mf (t) et qu'on est en régime permanent

(Mo(t+ dt) = Mo(t)), donc δms = δme, soit :

hr.V = hm.V′

2.c) Bilan de quantité de mouvement.La variation temporelle de la quantité de mouvement du système fermé est :

D~PfDt

=~Pf (t+ dt)− ~Pf (t)

dt=d~Podt

+δms

dtV ′ ~ux −

δme

dtV ~ux

où la variation temporelle de la quantité de mouvement du système ouvert est d~Po

dt = ~0 car on est en régimepermanent. Aussi, le bilan donne :

D~PfDt

= Σ~Fext = µ.L(hm.V

′2 − hr.V 2).~ux

où Σ~Fext est la somme des résultantes des actions extérieures qui s'appliquent sur le système fermé.Sur la face en amont, la pression vérie pamont(z) = Patm+µ.g.(hr− z). La pression n'est pas homogène,

on obtient la force en intégrant les forces élémentaires sur des bandes de largeur L (celle du euve) entre lescotes z et z + dz, donc

~Famont =

∫ z=hr

z=0

pamont(z).L.dz~ux =

(Patm + µ.g.

hr2

).L.hr.~ux

De même, sur la face en aval, la pression vérie paval(z) = Patm + µ.g.(hm − z) et la pression :

~Faval = −∫ z=hm

z=0

paval(z).L.dz~ux = −(Patm + µ.g.

hm2

).L.hm.~ux

Enn, on n'oublie pas que la vague elle-même a une surface L(hm−hr) soumise à la pression Patm, d'où unetroisième force

~Fvague = Patm.L.(hm − hr).~ux



Au total, la résultante des forces de pression suivant ~ux est :

~F = ~Famont + ~Faval + ~Fvague =h2r − h2

m

2µ.g.L.~ux

On trouve donc : (hm.V

′2 − hr.V 2)

=h2r − h2

m

2g

2.d) Expression de la vitesse.(2) dans (1) donne :

V 2.

(h2r

hm− hr

)=h2r − h2

m

2g

Après simplication on en déduit

V 2. (hr − hm) =h2r − h2

m

2g.hmhr

soit encore :

V =

√hr + hm

2

hmhrg et V ′ =

√hr + hm

2

hrhm

g

Si ∆h hr, hm ≈ hr ≈ h, soit :V ≈ V ′ ≈

√g h

Application numérique : si h = 10m avec g = 10m.s−2,

V = 10m.s−1 = 36km/h

(ce qui est considérable).2.e) Interprétation.

Dans le référentiel lié au sol, le euve a une vitesse vr ~ux, la vitesse du mascaret par rapport au sol estdonc (V − vr) ~ux. La vague remonte le euve si

vr <√g h

Donc le nombre de Froude est Fr = vr√g.hr−vr

> v0√g.hr

> 1.



Problème (DNS)Énergie hydraulique

Une centrale est alimentée par une conduite d'eau cylindrique, dite conduite forcée, issue d'un barrage (cf.gure suivante). L'eau est considérée comme un uide parfait, incompressible et de masse volumique µ ; elle sortde l'injecteur à l'air libre, sous la pression atmosphérique P0, supposée indépendante de l'altitude. Le jet estcylindrique d'axe horizontal et de section circulaire de diamètre D dans la conduite puis d dans l'injecteur. Cejet frappe la turbine et l'anime d'un mouvement de rotation. On considère les écoulements comme permanentset irrotationnels. On néglige tout frottement. On néglige les variations avec l'altitude de l'accélération de lapesanteur g.

La turbine Pelton est constituée par une roue munie d'augets. Un auget Pelton est une sorte de doublegodet avec une cloison au milieu (penser à deux coquilles de noix contiguës), qui dédouble le jet en deux partiesidentiques (cf. gure suivante). Les deux parties s'écoulent latéralement. L'eau, en provenance d'un injecteurest propulsée sur ces augets et met la roue en mouvement. La vitesse du jet d'eau, de section s = π.d2

4 , est notée~c = c.~ux. La section de chacun des deux demi-jets est s′ = s

2 . On néglige l'eet de la pesanteur sur les jets.



1) Quel intérêt y a-t-il à dédoubler le jet qui heurte l'auget ?Le référentiel du laboratoire, L, est galiléen ; on note L′ le référentiel lié à l'auget frappé par le jet.

La gure suivante présente schématiquement les paramètres de fonctionnement d'une turbine Pelton. Le rayonR du rotor est susamment grand pour que l'on puisse assimiler le déplacement des augets, dans L, à unetranslation suivant l'axe Ox dans la zone d'action du jet. Sous l'action du jet, de l'air et de la force du bâti,l'auget se déplace donc à la vitesse uniforme ~u = u.~ux.

2) Justier que l'écoulement est permanent dans L. Exprimer, dans L′, d'une part la vitesse du jet



incident, notée ~cinc, d'autre part celle des jets déviés dans la direction opposée à celle du jet incident, notée~cd. On suppose bien entendu que la puissance du jet est conservée. Quel est le sens physique de la quantitéD′m = µ.s. (c− u) ?

3) En considérant un système fermé Σ de uide, évaluer dans L′, la variation de quantité de mouvement−→dp′ du uide entre les instants t et t+ dt, en fonction de µ, s, c, u et dt. En déduire la composante selon Ox dela force ~Fb du bâti sur l'auget en fonction de c, u, µ et du débit volumique Q′ du jet dans L′.

4) Et maintenant, une subtilité : si l'auget était unique, une partie de la puissance du jet serait perdue enraison de l'éloignement de l'injecteur et du volume croissant du jet ; en réalité, placé sur le bâti en rotation,l'auget en question est remplacé par l'auget suivant et tout se passe comme si les augets étaient placés à distancexe de l'injecteur... tout en se déplaçant à la vitesse ~u. Pour exprimer le couple Γ du jet sur le rotor, il est doncacceptable de remplacer Q′ par Q. Exprimer Γ dans ces conditions.

5) Déterminer la puissance mécanique P reçue par le rotor dans L. Le jet apporte une puissance cinétique12µ.Q.c

2 ; dénir et calculer le rendement η de la turbine en fonction de c et u. Pour quelle valeur de uc le

rendement est-il maximum? Calculer ce rendement maximum.6) Quelle est alors, pour ce rendement maximal, la vitesse ~cs de sortie de l'eau dans le référentiel L ? En

déduire la puissance cinétique de l'eau sortant de la turbine. Commenter le résultat obtenu d'un point de vueénergétique.

7) Le rotor tourne à la vitesse angulaire de 750 tours par minute et la vitesse de sortie du jet vautc = 74m.s−1. Calculer le rayon R du rotor pour atteindre le rendement maximum. Le résultat est-il réaliste ?Pour un débit de 1500 litres par seconde, calculer la puissance maximale Pmax.

8) Le rendement réel de la turbine est égal à 0,87. Calculer la puissance réelle de la turbine. Quelles sontles raisons permettant d'expliquer pourquoi on n'atteint pas le rendement maximum?

1) Dédoubler le jet permet de rendre l'eort symétrique par rapport au milieu de l'auget, et évite ainsiune usure au niveau de l'axe de rotation de la turbine.

2) L′ est en translation rectiligne uniforme dans L, donc la vitesse d'arrivée de l'eau sur l'auget estconstante. Comme l'auget est immobile dans L′, l'écoulement y est bien permanent.

La loi de composition des vitesses permet d'écrire : ~vL = ~vL′ + ~vL′/L soit ~c = ~cinc + ~u, donc

~cinc = ~c− ~u = (c− u) .~ux

On peut alors appliquer la relation de Bernoulli dans le référentiel L′, car l'écoulement y est permanent,le uide est incompressible. Comme la pression et l'altitude sont identiques aux points où on appliqueBernoulli, on en déduit que 1

2c2d = 1

2c2inc, soit

~cd = −~cinc = (u− c) .~ux

D′m est le débit massique du uide à travers une section droite du tube de courant dans le référentielL′.

3) On dénit un système fermé comme sur la gure suivante :



Le bilan de quantité de mouvement pour le système ouvert coïncident avec le système fermé à t est :−→dp′ = 2.µ. (s′.cd.dt) .~cd − µ. (s.cinc.dt) .~cinc = µ. (s. (c− u) .dt) . (~cd − ~cinc)donc

−→dp′ = µ. (s. (c− u) .dt) . (− (c− u) .~ux − (c− u) .~ux) soit

−→dp′ = −2.µ.s. (c− u)

2.~ux.dt

Bilan des forces pour le système auget ∪ système fermé de uide :

• ~Fbati>auget ;

• ~Fpression.

Le théorème de la résultante cinétique pour ce système donne dans L′ :−→dp′

dt = ~Fbati>auget + ~Fpression, carla quantité de mouvement de l'auget est constante.

Puisque la force de pression est nulle (la pression est constante et s'exerce sur une surface fermée),

~Fbati>auget =

−→dp′

dt= −2.µ.s. (c− u)

2.~ux

Dans L′, le débit volumique est Q′ = s.cinc = s. (c− u), aussi,

~Fbati>auget = −2.µ.Q′. (c− u) .~ux

4) Le couple est ~Γ =−−→OM ∧ ~Fauget>bati, soit, en considérant que la distance de l'auget à l'axe est égale

à R,Γ = 2.R.µ.Q′. (c− u) = 2.R.µ.Q. (c− u)

Ici, on tenu compte de la "subtilité" suggérée par l'énoncé.5) La puissance mécanique reçue par le rotor est P = ~F .~vI + ~Ω. ~MI = Γ.Ω, avec Ω = u

R . D'où :

P = 2.Q.µ. (c− u) .u

Le rendement η de la turbine est donc : η = PPc

= 2.Q.µ.(c−u).u12µ.Q.c

2 , donc

η =4. (c− u) .u

c2

En posant, x = uc , alors η = 4.x. (1− x).

On dérive dηdx = 4 (1− 2.x), donc dη

dx = 0 pour x = 1/2,



Le rendement est donc maximum pour u = c2 et vaut ηmax = 1.

6) La vitesse de sortie de l'eau dans le référentiel L est, d'après la loi de composition des vitesses :~ceau/L = ~ceau/L′ + ~cL′/L, soit ~cs = ~cd + ~u = (u− c) .~ux + u.~ux = (2.u− c) .~ux et puisque u = c

2 ,

~cs = ~0

La puissance cinétique de l'eau en sortie de la turbine est nulle ce qui est cohérent avec la valeur 1 durendement toute la puissance cinétique disponible à l'entrée est transmise à la turbine.

7) Pour atteindre le rendement maximum il faut que u = c2 or Ω = u

R , soit

R =c

2.Ω= 47cm

Le résultat est réaliste si on en juge d'après la photo fournie.La puissance maximale est alors :

Pmax = 2.Q.µ.(c− c

2

).c

2=Q.µ.c2

2= 4, 0MW

8) Si le rendement réel de la turbine vaut η = 0, 87,

P = η.Pc = 3, 6MW

Les raisons pour lesquelles on n'atteint pas le rendement maximal sont essentiellement les pertes parfrottement dans le uide et au contact des augets.


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