About Fourier series - Unesp · possui Serie de Fourier convergente, tal exemplo ser´ a constru´...

ISSN 2316-9664Volume 8, dez. 2016

Felipe Felix SoutoUniversidade Estadual Paulista“Julio de Mesquita Filho”-Unesp, Campus Rio Clarofelipe felix [email protected]

Marta Cilene GadottiUniversidade Estadual Paulista“Julio de Mesquita Filho”-Unesp, Campus Rio [email protected]

Sobre series de FourierAbout Fourier series

ResumoO objetivo principal deste trabalho e apresentar alguns pontos im-portantes da teoria da Analise de Fourier. Na primeira secao des-crevemos a trajetoria de Fourier, um dos matematicos mais cita-dos do seculo XX. A secao seguinte introduz a Serie de Fouriere apresenta alguns dos resultados de convergencia. Em seguida,e dado um exemplo de uma funcao contınua cuja Serie de Fou-rier diverge. Alem disso, ilustramos graficamente, atraves de umexemplo, como a convergencia se da. Finalizamos este trabalhocom duas aplicacoes. Uma delas e o uso das Series de Fourierpara expressar numeros irracionais, enquanto que a outra envolveo uso da serie para expressar a solucao de um problema sobre elas-ticidade, em que a tensao em uma barra satisfaz uma certa EDP.Buscamos assim, fortalecer ainda mais a importancia dos estudosdesse tipo de serie.Palavras-chave: Series de Fourier. Convergencia. Numeros Irra-cionais. Equacao de Poisson.

AbstractThe main objective of this paper is to present some importantpoints of the theory of Fourier Analysis. The first section wedescribe the trajectory of Fourier, one of the most cited mathe-maticians of the twentieth century. In the following section in-troduces the Fourier Series and present some of the convergenceresults. Then it is given an example of a continuous function wichits Fourier series diverges. In addition, we illustrate graphically,by one example, as convergence occurs . We end this work withtwo applications. One is the use of the Fourier series for expres-sing irrational numbers, while the other involves the use of seriesto express the solution of a problem of elasticity in the tension ina bar that satisfies a certain PDE. With this, we seek to strengthenthe importance of studies of this type of series.Keywords: Fourier Series. Convergence. Irrational numbers.Poisson equation.

1 Um pouco de historiaIniciamos este artigo retratando, de forma breve, a historia deste importante matematico,

Jean-Baptiste Joseph Fourier (Auxerre, 21 de marco de 1768 - Paris, 16 de maio de 1830) foium matematico e fısico frances, celebrado por iniciar a investigacao sobre a decomposicao defuncoes periodicas em series trigonometricas convergentes chamadas series de Fourier e a suaaplicacao aos problemas da conducao do calor. A transformada de Fourier foi designada em suahomenagem. Fourier tambem e geralmente creditado pela descoberta do efeito estufa.

Figura 1: Jean-Baptiste Joseph Fourier

Foi o 120 filho dos 15 que teve seu pai, um alfaiate em Auxerre. Ele ficou orfao muito jovem efoi internado na escola militar de Auxerre, onde inicialmente mostrou ter talento para a literatura,mas aos treze anos comecou a interessar-se pela matematica. Aos catorze anos ja tinha lido osseis volumes do Curso sobre Matematica de Etienne Bezout e em 1783 recebeu o primeiro premiopelo seu estudo da Mecanica Geral de Charles Bossut.

Em 1787 decidiu seguir a carreira religiosa, no entanto, persistiu no seu interesse pela ma-tematica e manteve correspondencia com o professor de matematica de Auxerre e enviou ummanuscrito a Jean-Etienne Montucla em Paris. Abandonou a abadia em 1789 e visitou Parisonde apresentou um artigo a Academia Real de Ciencias francesa sobre as suas pesquisas paraa solucao de equacoes numericas, assunto de seu interesse. Em 1790 tornou-se professor dematematica na escola militar de Auxerre.

No final de 1794 foi nomeado para estudar na Ecole Normale de Paris. Nesta escola, ondedemonstrou ser um dos alunos mais brilhantes, Fourier teve como professores Joseph-Louis deLagrange, Pierre Simon Laplace e Gaspard Monge, fısicos-matematicos da epoca. Ele comecouentao a ensinar primeiro no College de France e depois na Ecole Polytechnique sob a direcao deLazare Carnot e Gaspard Monge, e iniciou uma atividade mais seria em investigacao matematica,mantendo excelentes contatos com Lagrange, Laplace e Monge. Em 1797 sucedeu a Lagrangeao ser nomeado para a catedra de Analise e Mecanica nesta escola. Ele ficou conhecido pe-las suas aulas excepcionais, devido ao seu grande dom para a oratoria que ja lhe tinha trazidoreconhecimento na polıtica

Em 1798, juntou-se a Napoleao e por meritos, mais tarde foi nomeado prefeito de Greno-ble. Neste local, Fourier desenvolveu a maioria do seu trabalho experimental e teorico sobre apropagacao do calor. Este permitiu-lhe modelar a evolucao da temperatura atraves de series tri-gonometricas. Em 1822 Fourier escreveu “Theorie analytique de la chaleur” (Teoria Analıticado Calor), um marco na fısica-matematica. Este trabalho contribui aos fundamentos da ter-modinamica e constitui uma melhoria muito importante para a modelizacao matematica dosfenomenos fısicos. Inaugura-se a area matematica de teoria de analise de Fourier. No entanto,

SOUTO, F. F.; GADOTTI, M. C. Sobre series de Fourier. C. Q. D.- Revista Eletronica Paulista de Matematica, Bauru, v. 8, p. 36-50, dez. 2016.DOI: 10.21167/cqdvol8201623169664ffsmcg3650 -

Disponível em: http://www.fc.unesp.br/# ! /departamentos/matematica/revista-cqd/

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uma simplificacao excessiva e pouco rigorosa, geraram muitas crıticas por parte de Laplacee Lagrange. Em particular, neste trabalho Fourier afirma que qualquer funcao de uma variavel,contınua ou descontınua, pode ser expandida em uma serie de senos de multiplos da variavel.Este resultado incorreto teve, no entanto, uma grande importancia ao incluir a possibilidade deexpandir deste modo tambem funcoes descontınuas. Lagrange, que tinha estudado este problemaanteriormente, foi particularmente crıtico da demonstracao apresentada por Fourier. Mais tarde,esta demonstracao foi melhorada por matematicos como Johann Dirichlet, Francois Budan deBoislaurent e Jacques Charles Francois Sturm, que apresentou a versao final ao chamado Teoremade Fourier em 1829. Em 1830, Fourier morreu vıtima de um aneurisma cerebral.

2 Series de FourierNesta secao pretendemos introduzir as Series de Fourier. A ideia e, basicamente, tentar escre-

ver uma funcao como uma combinacao infinita de senos e cossenos, para tanto, sera necessariointroduzir alguns conceitos.

Definicao 1 Seja f : R→ R uma funcao, dizemos que f e uma funcao periodica de perıodo Tquando f (x+T ) = f (x), para todo x ∈ R.

Definicao 2 Dizemos que uma funcao f : [−L,L]→ R e L1, quando for integravel e absoluta-mente integravel.

Observacao 3 E possıvel mostrar que toda funcao contınua e uma funcao L1.

Definicao 4 (Serie de Fourier) Seja f : R→ R uma funcao L1 e periodica de perıodo 2L. ASerie de Fourier de f e dada por:

a0

2+

∞

∑n=1

(an cos

(nπxL

)+bn sen

(nπxL

)),

onde os coeficientes an e bn sao denominados coeficientes de Fourier e sao dados, para cadan = 1,2, ..., por:

a0 =1L

∫ L

−Lf (x)dx, an =

1L

∫ L

−Lf (x) cos

(nπxL

)dx e bn =

1L

∫ L

−Lf (x)sen

(nπxL

)dx.

Definicao 5 Seja f : R→ R uma funcao.

(i) f e denominada seccionalmente contınua quando tiver apenas um numero finito de des-continuidades de primeira especie em qualquer intervalo limitado;

(ii) f e denominada seccionalmente diferenciavel quando for seccionalmente contınua e suaderivada tambem o for.



38

O principal teorema sobre convergencia pontual de Series de Fourier e conhecido como Te-orema de Fourier e sua demonstracao e baseada no teste abaixo, cuja demonstracao pode serencontrada nas referencias [1] e [2].

Proposicao 6 (Teste de Dini) Seja f : R→ R uma funcao periodica de perıodo 2L e L1 em[−L,L], fixado x ∈ [−L,L] suponha que os limites laterais f (x−0) e f (x+0) existam e defina

g(x, t) = [ f (x+ t)− f (x+0)]+ [ f (x− t)− f (x−0)].

Suponha tambem que exista η > 0 tal que:∫η

0

∣∣∣∣g(x, t)t

∣∣∣∣dt < ∞.

Entao Sn(x)→ f (x+0)− f (x−0)2 , quando n→ ∞, onde Sn(x) representa a soma parcial de ordem n

da Serie de Fourier de f .

Teorema 7 (Teorema de Fourier) Seja f : R→R uma funcao periodica de perıodo 2L e seccio-nalmente diferenciavel. Entao sua Serie de Fourier converge, em cada ponto x, para f (x+0)+ f (x−0)

2 ,ou seja,

f (x+0)+ f (x−0)2

=a0

2+

∞

∑n=1

(an cos

(nπxL

)+bn sen

(nπxL

)).

Demonstracao: Como f e seccionalmente diferenciavel, segue que

f ′+(x) = limt→0+

f (x+ t)+ f (x+0)t

e f ′−(x) = limt→0−

f (x− t)+ f (x−0)t

existem. Logog(x, t)

t=

[ f (x+ t)− f (x+0)]+ [ f (x− t)− f (x−0)]t

e limitada em [−L,L]. Entao, as hipoteses da Proposicao 6 estao satisfeitas. Portanto, a Serie deFourier de f converge pontualmente para a media dos limites laterais da f .

Observacao 8 Com o Teorema 7, percebemos que se f for contınua, entao, para cada ponto dodomınio, a Serie de Fourier se iguala com a funcao. Mesmo assim, nem toda funcao contınuapossui Serie de Fourier convergente, tal exemplo sera construıdo neste trabalho.

O proximo resultado e o mais conhecido sobre convergencia uniforme das Series de Fourier,sua demonstracao pode ser encontrada na referencia [1].

Teorema 9 (Teorema sobre a Convergencia Uniforme da Serie de Fourier) Considere umafuncao f : [−L,L]→ R uma funcao periodica de perıodo 2L, seccionalmente contınua e comderivada primeira de quadrado integravel. Entao, sua Serie de Fourier converge uniformementepara f , em todo intervalo fechado que nao contenha pontos de descontinuidade de f .



39

O resultado de convergencia pontual, que apresentaremos abaixo, foi elaborado por Jordan,quando estudava as funcoes de variacao limitada e sua prova pode ser encontrada na referencia[1].

Definicao 10 Sejam f : [a,b]→ R uma funcao e P : a = x0 < x1 < · · ·< xk = b uma particao de[a,b]. Dizemos que f e de variacao limitada sobre [a,b], se existir uma constante M > 0 tal que:

k

∑j=1| f (x j)− f (x j−1)| ≤M,

para toda particao P. A variacao de f em [a,b] e definida por:

V ( f ) = supP∈P

∑ | f (x j)− f (x j−1)|,

onde P e o conjunto de todas as particoes de [a,b].

Teorema 11 (Teste de Jordan) Seja f uma funcao de variacao limitada e periodica de perıodo2L. Entao, sua Serie de Fourier converge pontualmente para

f (x+0)+ f (x−0)2

.

Observacao 12 Nao podemos afirmar qual teste sobre convergencia pontual e mais eficaz, poiso conjunto de funcoes em que cada um pode ser aplicavel sao distintos e infinitos. Desta forma,um teste complementa o outro para garantir a convergencia pontual para um numero maior detipos de funcoes. Por exemplo:

(i) A funcao

f (x) =

1

ln |x|, 0 < |x|< 1

2

0, x = 0

e periodica de perıodo 1. Podemos observar que f e contınua e monotona em cadaintervalo [0, 1

2 ] e [−12 ,0], ou seja, ela e de variacao limitada, veja Figura 2. A nao-

aplicabilidade do Teste de Dini se deve ao fato da integral abaixo divergir:∫δ

0

1x ln |x|

dx.



40

Figura 2: Grafico de1

ln |x|.

(ii) A funcao

f (x) =

{|x|sen( 1

|x|), 0 < |x|< 1

0, x = 0

e periodica de perıodo 2, mas nao e de variacao limitada e portanto nao se aplica o Testede Jordan, mas se aplica o Teste de Dini, veja Figura 3

Figura 3: Grafico de |x|sen(

1|x|

).



41

3 Uma funcao contınua com Serie de Fourier divergenteEsta secao trata da construcao de uma funcao contınua com Serie de Fourier divergente, ba-

seada na referencia [3]. Para construı-la, sera necessario o seguinte resultado:

Lema 13 O somatorio:

φ(n,r,x) =cos((r+1)x)

2n−1+

cos((r+2)x)2n−3

+ ...+cos((r+n)x)

1−

cos((r+n+1))x)1

− cos((r+n+2)x)3

− ...− cos((r+2n)x)2n−1

e limitado para quaisquer n,r ∈ N e x ∈ R.

Demonstracao: Note que:

φ(n,r,x) =n

∑v=1

cos((r+n− v+1)x)− cos((r+n+ v)x)2v−1

=

2sen((

r+n+12

)x) n

∑v=1

sen((v− 12)x)

2v−1.

Fazendo uma mudanca de variavel de λ = 2v−1, obtemos:

2sen((

r+n+12

)x) n

∑v=1

sen((v− 12)x)

2v−1= 2sen

((r+n+

12

)x)2n−1

∑λ=1

sen((λ

2 )x)λ

, (1)

onde o ultimo somatorio e sobre os numeros ımpares (de 1 a 2n− 1). Observamos que (1) elimitado, pois

2n−1

∑λ=1

sen((λ

2 )x)λ

(2)

converge uniformemente para a parte imaginaria da serie complexa abaixo:

∞

∑n=1

einθ

n.

Note que esta serie converge uniformemente, para θ ∈ [ε,π] e ε > 0, pois dado ε > 0, considereθ ∈ [ε,π] e

En(θ) =n

∑k=1

einθ

e observe que, para n,m ∈ N,



42

n

∑k=m

eikθ

k=

n

∑k=m

1k[Ek(θ)−Ek−1(θ)].

Alem disso,n

∑k=m

1k

Ek−1(θ) =n−1

∑j=m−1

1j+1

E j(θ).

Entao,n

∑k=m

eikθ

k=

n

∑k=m

[1k− 1

k+1

]Ek(θ)+

1n+1

En(θ)−1m

Em−1(θ). (3)

Note que,

|En(θ)|=|eiθ − ei(n+1)θ ||1− eiθ |

| ≤ 2

|ei θ

2 − ei θ

2 |≤ 1

sen(θ

2 ). (4)

De (3) e (4), segue que: ∣∣∣∣ n

∑k=m

eikθ

k

∣∣∣∣≤ 2msen( ε

2).

E, pelo Criterio de Cauchy, segue que a serie converge uniformemente.

Logo (2) e limitado, e como a funcao seno e limitada, concluımos a prova do lema.

Feito isso, podemos comecar a construir a funcao desejada. Denote por Gn a colecao dos 2nnumeros:

12n−1

,1

2n−3, ...,

13,1,−1,−1

3, ...,− 1

2n−1e considere λ1,λ2, ... uma sequencia crescente de inteiros. Tome os numeros dos grupos Gλ1,Gλ2, ...

em ordem e multiplique cada um dos numeros de Gλv por v−2, obtendo a sequencia (αn)n∈N:

112(2λ1−1)

, ...,− 112(2λ1−1)

,1

22(2λ2−1),

122(2λ2−3)

, ...

Agora, considere a serie:

∞

∑n=1

φ(λn,2λ1 +2λ2 + ...+2λn−1,x)n2 .

Pelo Lema 13 e pelo Teste M de Weierstrass, segue que a serie converge uniformemente eabsolutamente. Suponha que convirja para uma funcao f (x) e alem disso, como φ e contınua,entao f tambem e contınua.

Observe que pelo fato de f ser contınua, podemos multiplicar por cos(mx) ou sen(mx) eintegrar. Pela ortogonalidade do conjunto formado por estas funcoes (veja [1]), a integral de cadatermo sera zero, exceto nos termos da forma αm cos(mx). Desta forma, obtemos:



43

∫ 2π

0f (x)cos(mx)dx = αmπ =⇒ αm =

1π

∫ 2π

0f (x)cos(mx)dx.

Ou seja, os numeros αn sao os coeficientes de Fourier de f e∞

∑n=1

αn cos(nx) e a Serie de Fou-

rier de f .

Por fim, podemos escolher λv de modo que a Serie de Fourier seja divergente em x = 0. Defato, considere Sn a n-esima soma parcial, entao:

S2λ1+...+2λv =1v2

(1

2λv−1+ ...+

13+1)>

1v2

∫ 1

0

12x−1

dx =ln(λv)

2v2 .

Desta maneira, se λv tender a infinito suficientemente rapido, por exemplo se λv = vv2, entao

Sn→ ∞ quando n→ ∞ para alguns valores da sequencia. Portanto a Serie de Fourier diverge emx = 0.

4 Visualizacao GeometricaPara se ter uma ideia de como a convergencia da Serie de Fourier de uma funcao f se da,

vamos dar um exemplo para visualizar geometricamente a aproximacao da funcao e por algunstermos de sua Serie de Fourier.

Considere f :R→R uma funcao periodica de perıodo 2L, dada por f (x)= x, para−L≤ x≤ Le estendida periodicamente para toda reta.

Primeiramente, observe que f e uma funcao ımpar, assim sua Serie de Fourier sera apenasuma serie de senos, com os coeficientes:

an = 0 e bn =2L

∫ L

0x sen

(nπxL

)dx.

Usando integracao por partes, temos

bn =2

nπ(−L cos(nπ))+

2Lnπ

∫ L

0cos(nπx

L

)dx =−2L

nπcos(nπ) =

2Lnπ

(−1)n+1.

Desta maneira, a Serie de Fourier fica da forma:

2Lπ

∞

∑m=1

(−1)m+1

msen(mπx

L

).

Pelos resultados de convergencia, observe que nao podemos garantir a igualdade da serie comf , pelo fato de a funcao nao ser contınua. Entretanto, vamos ver como ocorre a aproximacao dografico das somas parciais da Serie de Fourier com o da funcao f . Veja figura 4.



44

Figura 4: Grafico m=1

Note que com apenas um termo na soma, a aproximacao nao e boa. Vamos entao ver o queacontece ao somarmos alguns termos a mais, por exemplo m = 12. Veja figura 5.




45

Neste caso, observa-se que os graficos comecam a ficar mais proximos, e nas partes em quea funcao da um salto, ou seja, e descontınua, o grafico que representa a soma parcial da serie vaise aproximando de uma reta vertical. Vamos considerar m = 100. Veja figura 6.


Neste ultimo caso, os graficos aparentam ser quase os mesmos, e claro que e apenas umaaproximacao, pois estamos somando apenas um numero finito de termos da serie, enquanto quea igualdade vale apenas para a soma infinita.

Contudo e possıvel ver, graficamente, que a aproximacao e realmente muito boa, ate mesmopara funcoes descontınuas.

5 AplicacoesNesta secao, buscamos ver algumas aplicacoes da Serie de Fourier, sendo a primeira o calculo

de alguns numeros irracionais atraves de uma serie numerica, baseado na referencia [4]. A se-gunda trata da resolucao de uma EDP, onde a Serie de Fourier e usada como uma ferramenta enao como o metodo de resolucao.



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5.1 Aproximacoes numericasConsidere f : R → R uma funcao periodica de perıodo 2L, definida por f (x) = x2, para

−L≤ x≤ L e estendida periodicamente por toda reta.

Primeiramente, observe que f e uma funcao par, logo sua Serie de Fourier sera apenas umaserie de cossenos, com os coeficientes:

a0 =2L

∫ L

0x2 dx =

2L2

3, an =

2L

∫ L

0x2 cos

(nπxL

)dx e bn = 0, ∀n≥ 1.

Para calcular an, usaremos integracao por partes:

an = L2(sen(nL)− sen(0))− 2Lnπ

∫ L

0xsen

(nπxL

)dx = −

(2Lnπ

)2

cos(nπ) =4L2

n2π2 (−1)n.

Logo, sua Serie de Fourier fica da forma:

L2

3+

4L2

π2

∞

∑n=1

(−1)n

n2 cos(nπx

L

).

Neste caso, devido ao Teorema de Fourier (Teorema 7) temos a igualdade ponto a ponto destaserie com a funcao, ou seja, podemos escrever:

x2 =L2

3+

4L2

π2

∞

∑n=1

(−1)n

n2 cos(nπx

L

). (5)

A questao que pode surgir e sobre a utilidade de se fazer isso, afinal a funcao de segundograu e uma funcao conhecida e sua expressao e bem mais simples que uma serie infinita. Umapossibilidade e a de desvendarmos resultados mais interessantes. Por exemplo, mostrar o valor

para o qual a serie ∑1n2 converge. Fazendo x = L em (5):

π2

6=

∞

∑n=1

1n2 = 1+

14+

19+ . . .

No caso em que temos uma funcao contınua, podemos em geral obter aproximacoes parao valor de uma serie infinita. Com essa mesma serie, podemos obter a convergencia da serie

∑(−1)n+1

n2 , tomando x = 0 em (5):

0 =L2

3+

4L2

π2

∞

∑n=1

(−1)n

n2 cos(0) ⇒ −π2

12=

∞

∑n=1

(−1)n

n2 ⇒ π2

12=

∞

∑n=1

(−1)n+1

n2 ,

ou seja,π2

12=

∞

∑n=1

(−1)n+1

n2 = 1− 14+

19− 1

16+ . . .



47

Note que conseguimos, alem de analisar convergencia de algumas series, expressar algunsnumeros irracionais usando a Serie de Fourier

Foram aproximacoes como essa que, em sua epoca, Fourier causou instigacao, pois como suateoria tao criticada poderia aproximar tao bem certos numeros.

5.2 A equacao de Poisson na ElasticidadeEsta secao e baseada na aplicacao encontrada na referencia [5] e sua peculiaridade, como ja

foi dito, e usar as Series de Fourier como uma ferramenta para a resolucao de uma EDP.

E conhecida da teoria da elasticidade que a funcao tensao ψ(x,y) em uma barra satisfaz aequacao de Poisson

∂ 2ψ

∂x2 +∂ 2ψ

∂y2 =−2

em uma seccao transversal retangular R, de dimensoes a e b, do plano xy, com ψ = 0 na fronteirade R.

Comecamos introduzindo a mudanca de variaveis

ψ(x,y) = u(x,y)+ax− x2.

Note que u(x,y) satisfaz a equacao de Laplace:

∂ 2u∂x2 +

∂ 2u∂y2 = 0,

pois:

∂u∂x

= ψx−a+2x ,∂ 2u∂x2 = ψxx +2 ,

∂u∂y

= ψy e∂ 2u∂y2 = ψyy.

Alem disso, u(0,y)= u(a,y)= 0 e u(x, b2)= u(x,−b

2)= x2−ax. Em outras palavras, u satisfazo seguinte PVC:

∂ 2u∂x2 +

∂ 2u∂y2 = 0

u(0,y) = u(a,y) = 0u(x, b

2) = u(x,−b2) = x2−ax.

(6)

Agora, vamos usar o metodo de separacao de variaveis para determinar a funcao tensaoψ(x,y) e, para tanto, vamos determinar uma solucao de (6). Supondo u(x,y) =R(x)T (y) e usandoas condicoes da equacao de Laplace, obtemos:



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0 =∂ 2u∂x2 +

∂ 2u∂y2 = R′′T +RT ′′⇒ R′′

R=

T ′′

T= λ ∈ R.

Usando as condicoes homogeneas, obtemos o problema de Sturm-Liouville:{R′′−λR = 0R(0) = R(a) = 0,

que admite solucoes nao triviais apenas para λ = k2, com k > 0. As autofuncoes correspondentes

sao:

Rk(x) = Asen(

kπ

ax), k = 1,2, . . . (7)

Como ja analisamos a equacao em x, vamos usar as informacoes para analisar a equacao emy:

T ′′− k2T = 0, (8)

cuja solucao pode ser vista como

T (y) = c1eky + c2e−ky

e usando o fato que:

c1ekt = c1cosh(ky)+ c1senh(ky) e c2e−kt = c2cosh(ky)− c1senh(ky)⇒c1ekt + c2e−kt = (c1 + c2)cosh(ky)+(c1− c2)senh(ky),

podemos reescreve-la da seguinte forma:

T (y) = Bcosh(ky)+C senh(ky), (9)

onde B e C sao constantes reais e k = kπ

a com k = 1,2, . . . .

Feito isso, usando as solucoes encontradas em (7) e (9) junto com o princıpio da superposicaoencontramos uma solucao da equacao de Laplace:

u(x,y) =∞

∑k=1

(akcosh

(kπy

a

)+bk senh

(kπy

a

))sen(

kπxa

),

onde ak = AB e bk = AC sao constantes.

Das condicoes nao-homogeneas, temos:

u(x,b2) =

∞

∑k=1

(akcosh

(kπb2a

)+bk senh

(kπb2a

))sen(

kπxa

)= x2−ax

u(x,−b2) =

∞

∑k=1

(akcosh

(kπb2a

)−bk senh

(kπb2a

))sen(

kπxa

)= x2−ax



49

o que implica que bk = 0, para todo k e assim, temos a igualdade:

∞

∑k=1

akcosh(

kπb2a

)sen(

kπxa

)= x2−ax, (10)

que nada mais e que a Serie de Fourier da funcao f (x) = x2− ax. Assim, para determinar cadaak, podemos usar a definicao dos coeficientes de Fourier da seguinte forma:

akcosh(

kπb2a

)=

2a

∫ a

0(x2−ax)sen

(kπx

a

)dx =− 8a2

k3π3 , (11)

para k ımpar. Por fim, voltamos na mudanca de variaveis para obter a solucao:

ψ(x,y) = ax− x2− 8a2

π3

∞

∑n=1

cosh((2n−1)πy/a) sen((2n−1)πx/a)k3cosh((2n−1)πb/2a)

.

Referencias[1] FIGUEIREDO, D. G. Analise de Fourier e equacoes diferenciais parciais, 4. ed. Rio de

Janeiro: IMPA, 2003.

[2] SOUTO, F. F. Convergencia pontual da serie de Fourier, Boletim de Iniciacao Cientıficaem Matematica, v. 12, p. 29-43, 2015.

[3] TITCHMARSH, E. C. The theory of functions. Oxford: Oxford University Press, 1952.

[4] ARFKEN, G. B.; WEBBER, H. J.; HARRIS, F. E., Mathematical methods for physicists.7. ed. Amsterdam: Elsevier, 2013.

[5] OLIVEIRA, E. D.; MAIORINO, J. E. Introducao aos metodos da matematica aplicada.2. ed. Campinas: Editora Unicamp, 2003.



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