A. Objectifs de la séquence:à l'issue de la séquence, il faut être capable de:

Déterminer la fonction de transfert d’un système bouclé

Déterminer par la méthode de BODE la stabilité d’un asservissement.

Connaître les fonctions de transferts élémentaires.

Savoir associer les différentes fonctions élémentaires.

B) REPRESENTATION FONCTIONNELLE D’UN SYSTEME DE TRAITEMENT ANALOGIQUE.

F(t) F(w)

Ww0 2w0 3w0

Tout signal périodique peut-être étudié dans le domaine temporel ou fréquentiel d’après Fourier.

B.1) La variable de LAPLACE (p=jω)

Exemple, soit à étudier un simple circuit R-C auquel on applique un échelon de tension.

Deux méthodes de calcul s’offrent à nous :

1er méthode, utilisation des équation différentiels

R

C0

V0

eV

0.)( . VeKtuc t

Pour déterminer K il faut connaître les conditions initiales par exemple uc(t)=0 à t=0

La courbe de réponse est ainsi la suivante :La courbe de réponse est ainsi la suivante :

Uc

tRégime

transitoire

RégimePermanent

V=VO-VO.e-t

2eme Méthode Utilisation de la variable de LAPLACE

On utilise la notation p (variable de LAPLACE)

On retiendra que p =jω dans le cas d’une étude par la méthode de BODE.

LAPLACE permet de résoudre les équa diff linéaires en tenant compte des conditions initiales imposées sans introduire de solutions générales ni de

constantes arbitraires.

Il existe 2 théorèmes importants: (qui permettent d’éviter de retourner Il existe 2 théorèmes importants: (qui permettent d’éviter de retourner dans le domaine temporel).dans le domaine temporel).

Théorème de la valeur finale et de la valeur initialeThéorème de la valeur finale et de la valeur initiale

lim Y(t) = lim p.Y.(p)

t 0 p

valeur initiale

valeur finale

lim Y(t) = lim p.Y(p)

t p 0

Dans le domaine de LAPLACE l’impédance d’un condensateur s’exprime par :

Z(p)=p.C

1

D’où pCR

pe

pCR

pCpepV

..1

1).(

.

1.

1

).()(

Connaissant e(p), on peut alors retrouver V(p) pour cela on utilise des tables qui nous permettent de connaître pour différentes expressions temporelles la transformée de Laplace équivalente.

Exemple si e(t) est un échelon e(t)=V0 on trouve en consultant les tables la transforméede LAPLACE

E(p)=p

0V

On peut ainsi connaître la valeur finale et initiale du système sans avoir à recourir aux conditions initiales au contraire de l’exercice précédent.

Exemple

Valeur finale

0

0..1

1).(.lim

p

VpCR

pep

Valeur initiale :

p

0p.C.R1

1).p(e.plim

B.2) Principe d'un asservissement

+-

Sc

G ran d eu rd e co n s ig n e

G ra n d e u r d 'é c a r t

G r a n d e u rd e

c o m m a n d e

P R O C E S S U S

G ra n d e u rc o m m a n d é e

C A P T E U RG a n d e u r d e re to u r

o ugra n d e u r d e m e su re

perturbation

préamplificateuroucorrecteur

Blocs = Fonctions de transfert

B.3) Fonctions de transferts élémentaires

Amplificateur

KV e V s V s(j)= K V e (j)

VS(p)=K.Ve(p)

Dérivateurj V e V s V s(j)= jV e (j)= p

Vs(p)=p.Ve(p)

Intégrateur 1j

V e V s V s(j)= .V e(j)j

1p=

Vs(p)=1/p .Ve(p)

Vs(t)=KVe(t)

Vs(t)=Ve'(t)

Vs(t)= dt)t(Ve

B.4) Association de blocs, règle de réduction

1) Cascade1) Cascade

2) parallèle2) parallèle

V e V i V sT 1( ) T2 ( )p p

Vs(p) = T2(p).Vi(p)Vi(p) = T1(p) . Ve (p)Vs(p) = T1( p) . T2 (p) .Ve(p)

++

V e V s

T 1 ( )

T 2 ( )

p

pVs(p) = T1(p) . Ve(p) + T2 (p). Ve(p)= (T1(p) + T2(p)).Ve(p)

V e V sT 1( ) .T2 ( )p p

T 1 ( ) + T 2 ( )V e V sp p

3) Rétroaction3) Rétroaction

+ -V e V sT 1

T 2

Vs=T1.ε=T1(Ve-T2Vs)Vs(1+T1T2) = T1.Ve

2.11

1

TT

T

Ve

Vs

•LA boucle ouverte est le produit des fonctions de transfert T1T2LA boucle ouverte est le produit des fonctions de transfert T1T2

C) PROPRIETES D'UN SYSTEME ASSERVI

Un bon système asservi se caractérise par :

•Une erreur très faible et si possible nulle en régime permanent

•Un temps de réponse tr5% le plus court possible en régime transitoire

Malheureusement, ces deux exigences sont souvent contradictoires et il faudra se satisfaire d’un compromis.

Un système asservi :

Améliore la précision

Améliore la rapidité

Réduit les effets des perturbations.

Peut rendre un système instable.

C.1) Précision

+ -A(p)E S

La boucle de retour améliore la précision

•Plus le besoin en énergie (ou plus la vitesse)est élevé plus l'écart ε doit être grand et donc plus l'imprécision sera grande.

•Plus le gain de l'ampli G est élevé, plus l'écart est petit donc meilleur est la précision.

•Pour augmenter la précision il faut augmenter le gain d'amplification de l'asservissement.

C.2) Calcul de l’erreur+ -

A (p )E S

L’erreur ε en fonction du signal d’entrée pour un système bouclé est donnée par :

)(1

1).(

)())(1.(

:oùd'

).()(

)()(

)(

)(

)(

)(

pApE

pEpA

pApE

pSpE

p

p

p

p

recherchons l’erreur pour un signal E(t) du type échelon

E(t) = échelon unité

Alors E(p) s’écrit E(p)=p

1

L’erreur dans le domaine temporel s’écrit :

erreur = lim E(t)

1 + A(t)

t

alors que dans le domaine fréquentiel l’erreur est donnée par le théorème de la valeur finale

erreur p E p

A p

p

lim . ( ).( )

1

1

0

Dans notre cas

0p

permanent régimeen erreur )(1

1lim

1)( )(

ppAerreur

ppE

C.3) Stabilité

+ -E SA

B

AB+ 1

A =

E

S

Instable si le gain en B.O AB= -1

c.à.d G=0dB , φ = -180° en boucle ouverte

Dans un asservissement, on s’intéresse en premier lieu à la fonction de transfert en boucle ouverte

La Boucle Ouverte est le produit de toutes les fonctions de transfert

C.3.1) REGLES POUR LA STABILITE

Marge de gain :

Nombre de dB dont )( jAB se trouve en-deçà de zéro dB à la fréquence

d’inversion de phase (-180°) (-10db pour la stabilité)

Marge de phase:

Nombre de degrés dont arg (AB(j.ω) se trouve au-delà de –180° à la fréquence de coupure ω1 pour laquelle ( |AB(j.ω)|=1)= (0dB)

45°au mini soit (-135°) pour la stabilité

•Tracer dans le plan de Bode la caractéristique du gain et de la phase de la fonction de transfert en BO suivante :

)5

1()2

1(

2A.B :

ppp

exemple

-60

-40

-20

0

20

0.1 1 10 100

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

2 5

M a r g e d e g a i n < - 1 0 d B

M a r g e d e p h a s e

D) EXEMPLE D'ASSERVISSEMENTD) EXEMPLE D'ASSERVISSEMENT

+ -Vc A

1+j.

Vr

transistor diode laser

conversioncourant->tension

Compléter les différentes fonctions de transfert: