Chapitre 9 OSPH Rotation d’un corps rigide 42

9. La rotation du corps solide

9.1. La cinématique de rotation La figure représente un corps rigide tournant autour d’un axe fixe O. Pendant un intervalle de temps donné, l’objet tourne d’un angle θΔ . Toutes les particules se trouvant sur la droite OA se déplacent vers leurs positions correspondantes sur OB. Cette droite décrit un déplacement angulaire 01 θθθ −=Δ où 0θ et 1θ sont les positions angulaires successives. La mesure de l’angle se fait en radians. Le déplacement angulaire θΔ d’une particule est relié à la longueur d’arc parcourue s :

rs

=Δθ

avec r la distance de la particule à l’axe de rotation. La vitesse du corps en rotation est caractérisée, pour l’ensemble du corps, par une vitesse de rotation angulaire :

Vitesse moyenne : tmoy Δ

Δ=

θω

Vitesse instantanée : θω = Ces vitesses se mesure en radians par seconde. Le sens de la rotation peut-être précisé à l’aide d’une convention de signe (positif si la rotation va dans le sens de la convention, négatif dans le cas contraire). La vitesse angulaire peut aussi être définie à l’aide d’un vecteur ω . Son sens est alors donné par la règle du tire-bouchon. La période T est la durée d’une révolution et la fréquence ν est le nombre de révolutions par seconde (tr/s). Pendant une révolution, le corps tourne de π2 .

T1

=ν et πνπω 22==

T

A une fréquence de 1 tr/s correspond une vitesse angulaire de π2 rad/s. On peut établir une relation entre le module de la vitesse linéaire d’une particule le long de l’arc de cercle et la vitesse angulaire :

rvt ω=

Δθ

rs

A

B

O

ω

x

y

z

Chapitre 9 OSPH Rotation d’un corps rigide 43

Lorsque la vitesse angulaire varie, l’accélération angulaire moyenne est définie par :

tmoy ΔΔ

=ωα

Et l’accélération angulaire instantanée par :

ωα =

9.2. Cinématique de rotation à accélération constante Les équations de la cinématique de rotation à accélération constante sont :

θ θ ω α= + ⋅ + ⋅0 021

2t t

ω ω α= + ⋅0 t )(2 0

20

2 θθαωω −⋅+= Ces équations sont similaires aux équations du mouvement rectiligne uniformément accéléré.

9.3. Accélération centripète et accélération angulaire D’après la théorie du mouvement circulaire, l’accélération radiale est :

rr

var2

2

ω==

Et l’accélération (linéaire) tangentielle est vat = , c’est la dérivée de la grandeur de la vitesse. En dérivant à son tour l’équation rvt ω= , on obtient :

rat α= L’accélération linéaire est la somme de ces deux composantes :

tr aaa += Comme ces deux contributions sont perpendiculaires (voir figure), le module de l’accélération linéaire est :

22tr aaa +=

O tara

Chapitre 9 OSPH Rotation d’un corps rigide 44

9.4. Roulement On étudie ici le cas d’une roue de vélo. Lorsque la roue effectue un tour, elle couvre une distance égale à sa circonférence pendant un temps égal à sa période T. Le module de la vitesse du centre de la roue est donc :

rT

rvc ωπ==

2

Cette vitesse est donc égale à la vitesse tangentielle de la valve. Le roulement est une combinaison d’une translation du centre et d’une rotation autour du centre de la roue. La vitesse d’un point quelconque de la roue est la somme vectorielle tc vvv += . Au point le plus haut de la roue, ces deux vecteurs sont de même sens si bien que rv π2=

ωr

2 rπ

9.5. Energie cinétique de rotation Un corps rigide quelconque tourne autour d’un axe de rotation dont la position et l’orientation restent fixes. Le corps est constitué de particules ponctuelles de masse im situées à une distance ir de l’axe de rotation. L’énergie cinétique d’une de ces particules est :

2

21

iic vmEi=

avec la vitesse angulaire 22

21 ωiic rmE

i=

L’énergie cinétique totale de rotation est :

22

21 ω∑∑ == iicc rmEE

i qui peut s’écrire sous la forme :

2

21 ωIEc =

avec ∑= 2ii rmI

La grandeur I est appelée le moment d’inertie du corps par rapport à l’axe donné.

2 rπ

vc

B

rθ

vc

vf

vB

ri m

i

Chapitre 9 OSPH Rotation d’un corps rigide 45

Le moment d’inertie d’un corps est la mesure de son inertie de rotation, c’est à dire sa résistance à toute variation de sa vitesse angulaire. Lorsqu’un corps tourne sur lui-même avec une vitesse angulaire ω autour d’un axe situé à une distance h de son centre de masse, l’énergie cinétique est composée de deux termes.

relCM ccc EEE += ou bien

2212

21 ωCMCMc IMvE +=

9.6. Conservation de l’énergie mécanique A partir du même point d’un plan incliné, de hauteur h on lâche une sphère pleine et un disque. Sachant qu’ils roulent sans glisser, lequel des deux a la plus grande vitesse au bas du plan incliné?

9.7. Le moment de force Si on applique la deuxième loi de Newton à la rotation d’un corps, on fait intervenir le moment de force. Ce moment de force est une mesure de la capacité qu’a une force d’imprimer une rotation à un corps autour d’un axe ou d’un pivot. Si un système est à l’équilibre, les équations suivantes sont vérifiées :

1 1 2 2r F r F× = × et 0iF =∑

M r F= × est le moment de force par rapport au pivot P. On utilisera plus fréquemment la projection du moment de force sur un axe perpendiculaire au plan formé par les vecteurs r et F

P

F

Chapitre 9 OSPH Rotation d’un corps rigide 46

Bras de levier

Force non perpendiculaire au levier M r F rF⊥ ⊥= = car sinr r⊥ = θ sinF F⊥ = θ Donc :

sinM rF= θ

Exemple Les trois forces 1F , 2F et 3F agissent sur une tige d'épaisseur négligeable aux positions 1r ,

2r et 3r à partir du pivot P situé à l'une des extrémités (figure). Déterminer le moment de force attribuable à chaque force par rapport au pivot. Solution : La convention utilisée pour le signe des moments de force est indiquée sur la figure. On détermine le signe de chaque moment de force en tenant compte du sens dans lequel la tige tournerait si la force donnée était la seule force exercée. On peut appliquer l'expression

sinM rF θ= directement. Soulignons toutefois que les angles donnés ne correspondent pas forcément à l'angle θ entre r et F

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

sin(90 ) cossin(180 ) sinsin(90 ) cos

M r F r FM r F r FM r F r F

θ θα αφ φ

= − °+ = −= + °− = += + °− = +

9.8. Etude dynamique de la rotation

Un corps rigide tourne autour d’un axe. Chaque particule le constituant subit une force ir itF F F= + que l’on peut projeter sur des axes tangentiel et radial. L’accélération tangentielle de la particule i est donnée par

it ia rα= . Le deuxième loi de Newton, sur l’axe tangentiel est donc :

it i it i iF m a m rα= = Le moment de force exercé sur la particule, par rapport à l’axe est :

2i i it i iM r F m r α= =

Chapitre 9 OSPH Rotation d’un corps rigide 47

En additionnant les moments de forces de toutes les particules, on obtient le moment de force extérieur exercé sur le corps rigide :

ii

M M=∑

Et donc : M Iα= Cette dernière équation est l’équivalent de la seconde loi de Newton pour les rotations. Exemples

Une roue de masse M = 2 g et de rayon R = 40 cm tourne librement à 600 tr/min dans le sens horaire. Son moment d'inertie est

212 MR . Un frein exerce sur le bord de la roue une force F = 10 , radiale et dirigée vers l'intérieur (figure). Si le coefficient de frottement est 0,5cμ = , combien de tours va effectuer la roue avant de s' arrêter ? On ralentit une roue en appliquant une force F. Avec le sens positif choisi, le moment de force de frottement est négatif.

Solution : Nous choisissons le sens initial de la vitesse angulaire comme étant positif. La grandeur de la force de frottement cf Fμ= et son moment de force (anti-horaire) est M fR= − . D'après M Iα= , on a

( ) ( )212

2

2 rad12,5s

c

c

F R MR

FMR

μ α

μα

− =

= − = −

Pour trouver le nombre de tours, nous avons besoin de connaître le déplacement angulaire, que l'on peut déterminer à partir de l'équation cinématique :

2 20 2ω ω α θ= + ⋅Δ

Le produit (600 tr/min)(27π rad/tr)(l min/ 60 s) donne la vitesse angulaire initiale

0rad20s

ω π= , et l'on obtient

( ) ( )20 20 2 12,5π θ= + − ⋅Δ En effectuant les calculs, on trouve que le nombre de tours est de 8π.

Chapitre 9 OSPH Rotation d’un corps rigide 48

Une poulie en forme de disque ( 21

2I MR= ) a une masse M = 4 kg et un rayon R = 0,5 m. Elle tourne librement sur un axe horizontal. Un bloc de masse m = 2 kg est suspendu par une ficelle qui passe sur la poulie sans glisser. a) Quelle est la vitesse angulaire de la poulie 3 s après que l' on ait lâché le bloc ? b) Déterminer le module de la vitesse du bloc lorsqu'il est tombé de l,6 m. On suppose que le système est initialement au repos.

L'accélération du bloc est déterminée par F = ma. L'accélération angulaire de la poulie est déterminée par M Iα= . Solution: On peut résoudre ce problème, par la dynamique ou par la conservation de l'énergie. Nous analyserons la résolution par la dynamique. Les axes et la convention de signe pour le moment de force et la vitesse angulaire sont indiqués sur la figure. Comme la ficelle est tangentielle à la poulie, le moment de force sur la ficelle attribuable à la tension est M TR= . Les deux formes de la deuxième loi de Newton pour le bloc et la poulie donnent

(bloc) mg T ma− = (poulie) ( )21

2TR MR α=

avec 212I MR= pour un disque. Puisque le bloc et les points de la circonférence de la poulie

ont la même vitesse (la ficelle ne glisse pas), on a v Rω= . En remplaçant par ces valeurs dans la seconde équation, on obtient

12T Ma=

En additionnant la première et la dernière équation,

2

m4,01s

2

mga Mm= =

+

a) Pour déterminer ω, au bout de 3 s, on utilise une équation de cinématique :

0rad0 29,4s

at tR

ω ω α ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Pour déterminer la grandeur de la vitesse du bloc, on utilise 2 2

0m2 3,96s

v v a y v= + Δ → =

Exercice. Reprenez la question (b) en utilisant le principe de conservation de l'énergie.

Chapitre 9 OSPH Rotation d’un corps rigide 49

9.9. Exercices : 1. Calculer le module de la vitesse linéaire de a) la ville de Quito, située sur l’équateur, b) la

ville de Berne située à environ 47° Nord. 2. Une balle de fusil traverse à 850 m/s le canon d’une carabine de 60 cm de longueur. Une

protubérance à l’intérieur oblige la balle à tourner. Ce rayage correspond à un tour en 25 cm. Calculer, en tours par minutes, la vitesse de rotation de la balle à la sortie du canon.

3. Une voiture dont les pneus ont un rayon de 25 cm accélère à partir du repos jusqu’à 30 m/s en 10 s. Lorsque la vitesse du véhicule est de 2 m/s, calculer l’accélération linéaire du sommet de la roue par rapport a) au centre de la roue, b) à la route.

4. Quatre particules de masse égale M son reliées par des tiges de masse négligeable. Calculer le moment d’inertie, par rapport aux axes suivants (deux réponses) :

5. Deux particules de masses 2 kg et 5 kg sont reliées par une tige légère de longueur 2 m.

Calculer le moment d’inertie par rapport à un axe perpendiculaire à la tige, a) passant par le centre de la tige b) passant le centre de masse.

6. Calculer le moment d’inertie de la tige homogène de masse M et de longueur L par rapport à l’axe vertical :

7. Une tige homogène de longueur L et de masse M pivote librement autour d’un axe

horizontal passant par une extrémité. Elle tombe à partir de la position verticale. Calculer le module de la vitesse linéaire de l’extrémité lorsque la tige est horizontale (l’énergie potentielle de la tige est égale à celle de son centre de masse).

8. Calculer l’énergie cinétique de la Terre associée à sa rotation quotidienne ( 233,0 MRI = )

9. Une bobine de fil se trouve sur une surface rugueuse (figure). Le trou central a un rayon r

et la circonférence extérieure, un rayon R. Étudiez le mouvement de la bobine pour les diverses directions dans lesquelles on tire le fil. a) Pour quel angle la bobine glisse-t-elle sans rouler ? b) Quelle est la condition pour que le fil s'enroule sur la bobine ?

Chapitre 9 OSPH Rotation d’un corps rigide 50

10. Pour chacune des forces représentées à la figure précédente, déterminer le moment de

force par rapport au pivot. 1 10 NF = , 2 15 NF = , 3 8 NF = et 8 mL = . 11. Un moment de force de 40 N m⋅ agit sur une roue de moment d'inertie 210 kg mI = ⋅

pendant 5 s puis est supprimé. a) Quelle est l'accélération angulaire de la roue durant ces 5 premières secondes ? b) Combien de tours effectue la roue en 10 s si elle part du repos ?

12. Une roue d'inertie qui tourne initialement à 1200 tr/min s'arrête en 4 min sous la seule action du frottement. Si l'on applique un moment de force supplémentaire de 300 N·m, elle s'arrête en 1 min. a) Quel est le moment d'inertie de la roue ? b) Quel est le moment de force de frottement ?

13. Une roue part du repos et tourne de 150 rad en 5 s. Le moment de force net attribuable au moteur et au frottement est constant et égal à 48 N·m. Lorsqu'on coupe le moteur, la roue s'arrête en 12 s. Trouver le moment de force dû (a) au frottement; (b) au moteur.

14. Un bloc de masse m = 2 kg peut glisser vers le bas d'un plan incliné de 53°, sans

frottement, mais il est relié à une poulie de masse M = 4 kg et de rayon R = 0,5 m (figure). On peut assimiler la poulie à un disque. Déterminer : a) l'accélération angulaire de la poulie; b) la grandeur de la vitesse du bloc lorsqu'il a glissé de 1 m à partir du repos.

15. Une bobine (cylindre plein) de masse M et de rayon R se déroule sur une ficelle verticale

(figure). a) Utiliser l'approche faisant intervenir l'énergie pour démontrer que la vitesse de la

bobine a une grandeur égale à 43gh après qu'elle soit tombée d'une distance h à partir du

repos. b) Utiliser le résultat de la question (a) pour trouver l'accélération linéaire du CM. c) Utiliser la dynamique pour trouver l'accélération linéaire de la bobine.

Chapitre 9 OSPH Rotation d’un corps rigide 51

d) Quelle est la tension ? e) Avec quelle force doit-on tirer sur la ficelle pour que la bobine tourne sur elle-même sans tomber ? Quelle est son accélération angulaire dans ce cas ?

16. Un rouleau à gazon est un cylindre plein de masse M et de rayon R. Comme le montre la

figure, il subit en son centre une force de traction horizontale F et roule sans glisser sur une surface horizontale. Déterminer la grandeur de : a) l’accélération du cylindre, la force de frottement agissant sur le cylindre.

Chapitre 9 OSPH Rotation d’un corps rigide 52

9.10. Pour une particule Le moment cinétique: L r p= Λ

Théorème du moment cinétique: MdLdt

=

Théorème du moment cinétique: La dérivée par rapport au temps du moment cinétique d'une particule est égale à la somme des moments des forces ( Mi∑ ) qui agissent sur la particule.

Mouvement central: dLdt

= 0

donc: L est une constante Cinématique du mouvement circulaire: Mouvement circulaire de vitesse angulaire ω : L mR= 2ω

9.11. Solides en rotation Moment d'Inertie: I m di i

i= ⋅∑ 2

Moment cinétique (autour d'un axe principal): L I= ⋅ω Théorème du moment cinétique: M I= ⋅α

car: ( )

Md I

dtI

ddt

I=⋅

= ⋅ =ω ω

α

Gyroscope: MdLdt

=

Précession: le C.M. tourne → M ≠ 0