BTS électrotechnique 2ème année - Sciences physiques appliquées

CH3 : Solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe

Enjeu :

Mise en sécurité d’une machine-outil.

Problématique :

En tant que responsable de la maintenance d’un atelier, il

vous revient la charge de diminuer le temps d’arrêt d’une

machine-outil en cas d’urgence.

En effet, lorsque l’arrêt d’urgence est déclenché, la

machine est immédiatement mise hors tension, mais il faut

15 secondes pour voir la rotation de la partie mécanique de

la machine se stopper.

Pour la sécurité des personnes, ce délai est beaucoup long.

Quelle solution technique peut-on apporter ?

Rapport au programme :

A3. SOLIDE ET FLUIDE EN MOUVEMENT

A3.1. Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide :

– En mouvement de rotation autour d’un axe fixe

A3.2. Aspect énergétique

Objectifs :

A l’issue de la leçon, l’étudiant doit :

3.1 Savoir calculer la vitesse linéaire d’un point d’un solide, connaissant la vitesse

angulaire

3.2 Savoir convertir en rad.s-1 une vitesse angulaire exprimée en tr/min

3.3 Savoir calculer une accélération angulaire connaissant les vitesses initiales et

finales et la durée d’accélération.

3.4 Savoir différentier le cas où la rotation est due à une force, du cas où la

rotation est due à un couple de force.

3.5 Savoir calculer le moment d’une force connaissant la distance qui la sépare de

l’axe de rotation

3.6 Savoir calculer le moment d’un couple de force connaissant la distance qui sépare

les forces

3.7 Savoir calculer la puissance connaissant la vitesse de rotation et le moment de la

force ou du couple de force.

3.8 Savoir calculer l’énergie cinétique d’un système en rotation

3.9 Savoir appliquer le PFD pour le cas de la rotation de l’arbre d’un moteur

Travail à effectuer :

Lire attentivement l’annexe (en essayant de le comprendre).

Répondre à la problématique au travers des questions suivantes (au brouillon) :

1. Fonctionnement initial :

Le profil de vitesse de rotation du moteur est

représenté ci-contre.

Lors de ce fonctionnement, c’est le couple

résistant sur l’arbre qui assure le ralentissement

du moteur : Tr=0,7N.m

Lors du déclenchement d’un arrêt d’urgence, le

couple utile du moteur entraînant la machine-outil

est nul.t

n

1500 tr/min

15s0

1.1 Calculer l’accélération 𝐝Ω

𝐝𝐭 du moteur en rad.s-2.

1.2 En déduire la valeur du moment d’inertie du moteur.

2. Diminution de la vitesse d’arrêt :

On souhaite obtenir le profil de vitesse ci-dessous :

t

n

1500 tr/min

0,5s0

2.1 Calculer la nouvelle valeur de l’accélération 𝐝Ω

𝐝𝐭du moteur

2.2 Calculer la valeur du couple utile correspondant.

2.3 En vous aidant de l’annexe 1 du TP n°3, proposer une solution technique pour obtenir ce couple

négatif.

En utilisant l’annexe, réaliser la fiche résumée du chapitre. Pour cela, réécrire les différents objectifs et indiquer pour chacun la relation, la définition ou la méthode permettant de

l’atteindre.

BTS Electrotechnique 2ème année - Sciences physiques appliquées

Annexe du CH3 : cours de mécanique sur les solides

en rotation autour d’un axe fixe.

1. Qu’est-ce qu’un mouvement circulaire ?

Un point mobile M est en mouvement dit circulaire si celui-ci se déplace sur un cercle fixe de centre O

et de Rayon R. Les coordonnées les plus adaptées à la description de ce mouvement sont les

coordonnées polaires :

O

M

x

R

Le pont M est repéré :

par la distance R constante par rapport à O

et par l’angle θ

Lorsque le point M s’est déplacé sur le cercle d’un angle θ,

il a parcouru une distance d (arc de cercle) telle que :

2. Quelle est la vitesse linéaire du point M ?

On obtient la vitesse linéaire v du point M en dérivant cette dernière relation :

𝒗 =𝒅(𝑹𝜽)

𝒅𝒕= 𝑹𝒅𝜽

𝒅𝒕

3. Quelle est la vitesse angulaire du point M ?

On définit la vitesse angulaire Ω de M par la relation :

4. Quelle est la relation entre la vitesse linéaire et la vitesse angulaire ?

La relation entre la vitesse linéaire de M et sa vitesse angulaire est donc :

5. Comment déterminer l’accélération angulaire :

Elle se calcule comme en translation à partir des vitesses initiales et finales, mais avec les vitesses

angulaires qu’il faut convertir en rad.s-1.

Remarque : en translation, il existe une lettre pour l’accélération (𝒅𝒗

𝒅𝒕= 𝒂). En rotation, il n’en existe

pas : pour écrire l’accélération angulaire on utilise 𝒅𝜴

𝒅𝒕 .

6. Qu’est-ce qu’un solide en rotation ?

Un solide est en rotation autour d'un axe fixe, si tous les points du solide ont même vitesse angulaire.

Un rotor mobile autour d’un axe est en rotation.

θ

𝒅 = 𝑹𝜽 [rad] [m] [m]

𝜴 =𝒅𝜽

𝒅𝒕

[rad]

[s] [rad.s-1]

𝒗 = 𝑹𝜴 [rad.s-1] [m] [m.s-1]

𝜴(𝒆𝒏 𝒓𝒂𝒅/𝒔) =𝝅

𝟑𝟎× 𝒏(𝒆𝒏 𝒕𝒓/𝒎𝒊𝒏)

Remarque : la vitesse angulaire peut

également s’exprimer en tr/min :

𝒅𝜴

𝒅𝒕=𝜴𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍𝒆 −𝜴𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒂𝒍𝒆

𝜟𝒕

[rad.s-1]

[s]

[rad.s-2]

Chaque point du solide a néanmoins une vitesse linéaire différente suivant l’éloignement de l’axe de

rotation. La vitesse de chaque point de l’axe est nulle et plus on s’éloigne de l’axe, plus la vitesse linéaire

des points est grande.

7. Comment calcule-t-on le moment d’une force par rapport à un axe ?

Dans le cas des moteurs électriques, la rotation de l’arbre est due à plusieurs couples de forces.

Cependant une force peut suffire pour mettre en rotation un solide autour d’un axe immobile. Par

exemple, si on exerce une force sur la manivelle d’un treuil, celui-ci va tourner.

Définition : Le moment d’une force par rapport à un axe

est l'aptitude d'une force à faire tourner un solide autour

d'un axe donné. On le note T et on montre que :

𝑇 = 𝐹 ∙ 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 Remarque : Si 𝛼 = 0 alors 𝑇 = 0 (pas de rotation)

Si 𝛼 =𝜋

2 alors le couple est maximum pour une

force donnée : c’est le cas que l’on cherche à atteindre

puisqu’il correspond au meilleur rendement possible. On a

alors :

8. Comment calcul-t-on le moment d’un couple de forces par rapport à un axe ?

Un couple de forces est constitué de deux forces ayant des droites

d’action parallèles, un sens opposé et une même norme (𝑭 = 𝑭′).

La somme vectorielle de ces forces est nulle : + 𝑭′ = . Cela se

traduit par le fait qu’il n’y a pas de mouvement de translation.

Le solide est cependant en mouvement de rotation car le moment du

couple de forces est non nul :

Le moment T du couple de force par rapport à l’axe de rotation est donc défini par :

Remarques : par abus de langage, les électrotechniciens utilisent souvent le terme de « couple » à

la place de « moment du couple »

Pour les moteurs, ce sont plusieurs couples de forces qui mettent en rotation le

rotor : les moments de ses différents couples s’additionnent pour constituer le

moment du couple moteur.

9. Comment calcul-t-on la puissance pour un mouvement de rotation ?

La puissance d’un couple (ou d’une force) de moment T appliqué à un mobile de vitesse angulaire

instantanée est donné par :

𝑻 = 𝑭 ∙ 𝒅

𝑷 = 𝑻 ∙ Ω

𝑇 = 𝐹 ∙ 𝑟

α

[W] [N.m] [rad.s-1]

[m] [N.m] [N]

[m] [N.m] [N]

𝑻 = 𝑭.𝒅

𝟐+ 𝑭′𝒅

𝟐 𝒐𝒓 𝑭 = 𝑭′ 𝒅′𝒐ù 𝑻 = 𝑭(

𝒅

𝟐+𝒅

𝟐)

10. Qu’est-ce que l’inertie ?

Définition : L’inertie d’un système est un paramètre qui est lié à la résistance qu’un système va offrir à

la modification de son mouvement : démarrage, freinage…

Pour un solide en translation, l’inertie mécanique est la masse (notée m, unité le kg)

Pour un solide en rotation autour d’un axe, l’inertie mécanique est le moment d’inertie

(notée J, unité le kg.m2 )

Exemples de moments d'inertie :

o Cylindre plein homogène par rapport à son axe de révolution. (M désigne sa masse et R son rayon).

𝐽 =𝑀𝑅2

2

o Cylindre creux de masse M et de rayons r et R, (r<R)

𝐽 =1

2𝑀(r2 + 𝑅2)

o Jante : cylindre creux de rayons interne et externe égaux

𝐽 = 𝑀𝑅2

11. Comment calcul-t-on l’énergie cinétique d’un solide en rotation ?

Pour un solide de moment d’inertie J tournant à la vitesse angulaire autour d’un axe, elle est donnée

par :

Remarque : pour un système technologique, comprenant des solides en mouvement de translation et des

solides en rotation autour d’axes fixes, l’énergie cinétique est égale la somme des énergies cinétiques

de ces différentes parties.

12. Que devient le Principe fondamental de la dynamique pour un solide en rotation ?

Soit un solide en rotation autour d’un axe fixe, le Principe fondamentale de la dynamique s’écrit

où T désigne les moments des couples de forces exercées sur le solide, J le moment d’inertie autour

de l’axe et Ω sa vitesse angulaire.

Pour l’arbre d’un moteur, cela donne :

Avec : TM : moment du couple moteur appliqué par le moteur sur l’arbre (couple utile)

TR : moment du couple résistant sur l’arbre (charge entraînée, frottements, …)

𝑬𝒄 =𝟏

𝟐𝑱Ω𝟐

[J] [kg.m2]

[rad.s-1]

𝑇 = 𝐽𝑑Ω

𝑑𝑡

𝑻𝑴 − 𝑻𝑹 = 𝑱𝒅Ω

𝒅𝒕

1 2 3 4

Pour les systèmes en Rotation :

Couple exercé

(Par la charge)

A g

auch

e A

dro

ite

Vitesse de

rotation Marche Avant Marche Arrière

Quadrants Couple T

Vitesse

P : puissance fournie par le moteur (pas par la charge)

Q1 : Marche avant câble à gauche

P>0 le moteur fournit de l’énergie

Q2 : Marche arrière câble à gauche

P<0 le moteur récupère de l’énergie

Q3 : Marche arrière câble à droite

P>0 le moteur fournit de l’énergie

Q4 : Marche avant câble à droite

T

T

T

T