7_2-Flexion

��

GMC-2001Résistance des matériaux

GMC-2001 7.0 Contraintes dans les poutres (2e partie) 2

��

1. Introduction2. Flexion pure et flexion ordinaire3. Étude de la déformation (flexion pure)4. Contrainte causée par la flexion pure5. Flexion non symétrique6. Contrainte causée par l’effort tranchant 7. Sélection de poutres: module de section8. Conclusion9. Problèmes

Hibbeler : 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 11.1, 11.2 (2e partie)


��

6.1 Rappel

� Nous avons vu que dans une poutre soumise à un chargement transversal un moment interne de flexion M et un effort tranchant V se développent.

� Jusqu’à maintenant, nous avons étudié comment calculer les contraintes normales générées par le moment de flexion M.

� Nous allons maintenant étudier les contraintes de cisaillement causées par l’effort tranchant V.


��

6.2 Contrainte de cisaillement verticale et horizontale

� L’effort tranchant V génère des contraintes de cisaillement dans le plan yz et dans le plan xz.

x

y

z

τ

τ

τ τ


��


Soit une poutre constituée de 3 planches superposées

Glissement

Soit une poutre constituée de 3 planches collées ensemble

Des contraintes de cisaillement horizontales doivent se développer pour empêcher le glissement de se produire.


��


� Les contraintes de cisaillement produisent un changement d’angle! τ

τ

τ τΠ/2 θ

Les sections ne restent pas droites ni perpendiculaires à l’axe longitudinal de la poutre.

Cependant l’erreur commise en utilisant quand même est faible quand la longueur de la poutre est beaucoup plus grande que les deux autres dimensions.

x zMy Iσσσσ = −= −= −= −


��

6.3 Calcul de la contrainte de cisaillement

� Considérons une tranche d’une poutre soumise à un chargement de flexion quelconque et étudions la répartition des contraintes normales.


��


� Considérons maintenant juste la portion supérieure de la tranche.



� On obtient:

où:• τ est la contrainte à une distance y’ de l’axe neutre• t est la largeur de la section à l’endroit où on calcule τ• Iz est le moment d’inertie de la section totale• Q est le premier moment de l’aire A’ par rapport à l’axe des z.

��

z

VQI t

ττττ ====

'

' 'A

Q ydA y A= == == == =��où est la position du centroïde de l’aire A’ par rapport à l’axe neutre

'y

Q est non constant et varie avec y!


��

6.4 Distribution de la contrainte de cisaillement

1. Section rectangulaire

Soit une poutre rectangulaire soumise à un effort tranchant V. On a:

' 'Q A y====2

( )h

b y= −= −= −= −12 2

( ( ))h

y y+ −+ −+ −+ −2

2

2 4( )

b hy= −= −= −= −

z

VQI t

ττττ ====

22

32 4

12

( )b hV y

bh b

−−−−====

22

3

64

( )V h ybh

ττττ = −= −= −= − Répartition parabolique


��


1. Section rectangulaire

22

3

64

( )V h ybh

ττττ = −= −= −= − Répartition parabolique

• ττττ a une valeur maximale lorsque y=0 (axe neutre)

32maxVA

ττττ ====

• La valeur moyenne de ττττ est égale à: moy

23 max

VA

τ ττ ττ ττ τ= == == == =


��


Problème 7-6:

Une poutre en bois de section rectangulaire est soumis à un effort tranchant V de 4 kip.

La contrainte de cisaillement admissible dans la poutre en bois est τadm=1.6 ksi.

Déterminer la valeur minimale que doit avoir a.


��


1. Section en I

z

VQI t

ττττ ====

semelle âme


��


Problème 7-2:

Si V = 30 kN, déterminer la contrainte maximale de cisaillement dans l’âme.

w = 200 mm


��


1. Section circulaire

� Dans une poutre à section circulaire, la contrainte de cisaillement n’est pas parallèle à l’axe des y.

� En fait, on peut montrer que τ doit être tangent à la surface.

� Déterminer la répartition de τ n’est pas simple. Par contre, on peut calculer facilement la contrainte de cisaillement le long de l’axe neutre (où τ est maximum) puisque τ est parallèle à l’axe des y et que l’on peut utiliser dans ce cas l’équation suivante:

y

z

z

VQI t

ττττ ====


��


Problème 7-13:

Calculer la contrainte maximale de cisaillement.


��

6.5 Flux de cisaillement

� Les poutres sont souvent constituées de différentes parties qui peuvent être collées, soudées, ou vissées ensemble.

� Quand la poutre fléchit, les vis, boulons, soudure ou colle qui servent à l’assemblage empêchent les différentes parties de glisser les unes par rapport aux autres.

� Ces connections doivent être assez solides pour pouvoir résister aux forces de cisaillement horizontales qui agissent entre les différentes parties de la poutre.

Concept de flux de cisaillement


��


On appelle flux de cisaillement q la force de cisaillement horizontale par unité de longueur le long de l’axe longitudinal de la poutre.

'

'z A

dMdF ydAI

==== ��

z

VQq

I====

1

'

'z A

dF dMq ydAdx dx I

= == == == = ��


��


z

VQq

I====

V = effort tranchant

Iz = Moment d’inertie de la section entière

où A’ est l’aire du segment connecté '

'A

Q ydA==== ��

q/3

q/2


��


Problème 7-38 (6e édition)

La poutre est composée de 4 planches collées ensemble. Si la colle a une résistance tangentielle (i.e. de cisaillement) de 400 lb/in2, déterminer l’effort tranchant maximum que l’on peut appliquer.


��


Problème:

Une poutre en acier est composée de trois plaques comme le montre la figure ci-contre. Les plaques sont assemblées par quatre cordons de soudure continus sur toute la longueur de la poutre. Chaque cordon a une charge admissible de cisaillement de 900 kN/m. Calculer la force de cisaillement admissible Vmax.


��


Problème 7-40

La poutre est soumise à V = 800 N. Déterminer la contrainte moyenne de cisaillement dans les clous le long des cotés A et B si les clous sont espacés de 100 mm. Chaque clou a un diamètre de 2 mm.


��

Type d’assemblage

Mode de transmission du cisaillement

Méthode de calcul

Colle Continu;Force répartie sur l’aire de l’interface;

� Couper où se situe la colle� Calculer q = VQ /Iz et ττττ = q /t (= VQ /Izt)� S’assurer que τ τ τ τ < ττττadm (τadm de la colle)

Cordon de soudure

Linéaire;Force répartie le long d’une ligne;

� Calculer le flux q= VQ /Iz

� S’assurer que q < q adm (q adm de la soudure)

Boulon, rivés, clous

Ponctuel;Force transmise aux points d’attache;

� Calculer le flux q= VQ /Iz

� Calculer la force transmise Fb = q s� Calculer la contrainte de cisaillement induite (dans le boulon/rivet): ττττ = Fb/Ab � S’assurer que τ τ τ τ <τ τ τ τ adm

Méthode de calcul pour les poutres fabriquées par assemblage


� Il existe sur le marché des centaines de profilés dont les sections présentent une large gamme de formes et de dimensions (Voir Annexe B de votre livre).

� Le concepteur qui doit utiliser une poutre standard fait donc face à un problème de sélection parmi les nombreux modèles disponibles.

� On a vu que:

� Donc:

où:

��

xz

MyI

σσσσ = −= −= −= −y

zcmax

z

Mc MI S

σσσσ = == == == =

zIS

c==== Module de section

Propriété de la section (donnée à l’annexe B du livre)

maxc y====

0M ≥≥≥≥


��!


��

� Supposons que l’on doit concevoir une poutre faite avec un matériau de contrainte admissible connue σadm.

� Cette poutre doit transmettre un moment de flexion M(x) dont la valeur absolue maximale est Mmax.

� Dans ce cas, la poutre doit avoir un module de section S tel que:

max max ( )M M x====

adm

maxMS

σσσσ≥≥≥≥

designadm

maxMS

σσσσ====


��

Problème 11-1:

La poutre a une contrainte normale de flexion admissible de 6.5 MPa et une contrainte de cisaillement admissible de 500 kPa. Déterminer ses dimensions si la section de la poutre est rectangulaire et qu’elle doit avoir un ratio hauteur sur largeur de 1.25.


"��

Procédure pour l’analyse de poutre en flexion

Déterminer l’effort tranchant et le moment maximum dans la poutreContrainte normale

� Calculer le module de section requis� Déterminer les dimensions de la poutre

Contrainte de cisaillement� Vérifier que la contrainte de cisaillement admissible n’est pas

dépassée� Section rectangulaire : τmax = 1.5(Vmax/A)

� Approximation pour section en I : τmax � Vmax/Asem

(utile pour vérification)� Calculer le flux de cisaillement et s’assurer que les connections sont

assez résistantes


#��$�%�� &&��

Hibbeler 8e édition :7-19, 7-24, 7-40, 7-45, 11-10, 11-11, 11-17, 11-23

Problèmes d'examens antérieurs avec solutions complètes :H06-2#3, H06-2#4, H95-3#1, H94-2#5(C), H93-2#4, H93-3#1, H92-2#4(C)Note : (C) indique que la solution utilise la convention cartésienne pour le signe de V.

Avec réponses seulement :H96-2#4, H95-2#4, H91-2#3Effort tranchant : H96-3#1, H94-3#1

Problèmes de la série F : F7-1, F7-2, F7-9


#��$�%��

Problème 11-19:

Sélectionner la poutre en I la plus légère pour supporter de façon sécuritaire le chargement ( σadm=22 ksi et τadm=12 ksi ).


#��$�%��

V

�

�

�

�

� �

�

�

�

��

Quelles figures représentent le mieux l’état des contraintes aux points 1, 2, 3, 4 et 5?

(a) (b) (c) (d)

(e)


#��$�%��

Problème 7-12:

Tracez la distribution des contraintes de cisaillement sur la section.

7_2-Flexion

Documents

Transcript of 7_2-Flexion