COURS OU LEÇON ?

APPROCHE PASCALIENNE

DE

L'HYPERBOLE ÉQUILATÈRE

La leçon alimente le cerveau… Le cours nourrit le cœur…

Jean-Louis AYME 1

A

B C

F

K I

H D

E R

S T

Résumé. L'auteur présente un point de vue, voire un regard sur l'hyperbole équilatère. Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Abstract. The author presents a point of view about a rectangular hyperbola.

The figures are all in general position and all cited theorems can all be proved synthetically.

…

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 29/08/2020 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

2

2

Sommaire

A. Approche pascalienne de l'hyperbole équilatère 3

I. Approche pascalienne 3

1. Hexagramma mysticum ou le lemme de Blaise Pascal 3 2. Généralisation du lemme aux coniques 5 3. Propriété fondamentale d'une conique 6

II. Hyperbole H 7

1. Génération d'une hyperbole H 7 2. Le centre O de H 8 3. Une corde de H 10 4. Le triangle autopolaire de H 12

III. Hyperbole équilatère H* 13

1. Génération d'une hyperbole équilatère H* 13 2. Le centre O de H* 14 3. Deux cordes supplémentaires 16

IV. L'hyperbole équilatère H*p 17

1. Génération de l'hyperbole équilatère H*p 17 2. Le point P' 19 3. Le point final Q' 20

B. Appendice 21

1. Un quaterne harmonique 21

C. Annexe 22

1. Diagonales d'un quadrilatère complet 22

D. Lexique Français-Anglais 23

3

3

A. APPROCHE PASCALIENNE

DE

L'HYPERBOLE ÉQUILATÈRE

I. APPROCHE PASCALIENNE

1. Hexagramma mysticum ou le lemme 2 de Blaise Pascal

VISION

Figure :

A

B

C D

E

F

K I H

0

Traits : 0 un cercle, A, B, C, D, E les cinq points de 0, F un point

et I, K, H les points d'intersection de (EF) et (BC), (AF) et (CD), (AB) et (DE). Donné : F est sur 0 si, et seulement si, I, K et H sont alignés. 3 Terminologie : si, F est sur 0 alors, (1) l'hexagone ABCDEF est "un pascal inscrit à 0"

(2) (IKH) est "la pascale de ABCDEF". Énoncé traditionnel : si, un pascal est inscrit à un cercle

alors, les intersections de ses côtés opposés sont alignés. Note historique : l'auteur de l'appellation à la fois rayonnante et fascinante de ce résultat est Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716). Il se peut que Blaise Pascal a eu connaissance de l'hexagone sectoriel de

2 résultat sur lequel on s'appuie pour conduire à un développement plus important 3 Pascal B. (1623-1682)

Ayme J.-L., Hexagramma mysticum, G.G.G. vol. 12, p. 4-8 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

4

4

Pappus d'Alexandrie (300-380) et qu'il a eu l'ingénieuse idée à l'âge de 16 ans de remplacer ses deux frontières par un cercle. Cependant, nous n'avons aucune indication concernant sa démonstration…

Notation des côtés d'un pascal

A

B

C D

E

F

K I H

0

1

2

3 4

5

6

Les côtés successifs du pascal ABCDEF inscrit à 0 sont, à partir de A, notés 1, 2, 3, 4, 5, 6.

A

B

C D

E

F

K I H

0

1

2 3 4

5

6

Ta

Supposons que A, B, C, D, E restant fixes, F se rapproche indéfiniment de A.

5

5

A, F

B

C D

E

H

0

1

2 3 4

6

5 K

I

Ta

(AF) a pour limite la tangente en A à 0, notée Ta i.e. 6, et [EF] a pour limite le côté [EA]. I, K, et H étant alignés, le lemme de Pascal ne cesse d'être vrai. . 2. Généralisation du lemme aux coniques

4 Rappelons que des géomètres grecs comme Apollonius de Perge 5 se sont beaucoup occupés des sections déterminées dans un cône à base circulaire par des plans de direction quelconque, et ont réuni ces courbes planes sous le nom de ''sections coniques''.

4 https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/detentes/les-coniques 5 Apollonius de Perge (262-190 av. J.-C.)

6

6

Selon que le plan sécant rencontre une seule nappe ou les deux nappes du cône, nous obtenons l'ellipse ou l'hyperbole comme cas intermédiaire ; si le plan sécant est parallèle à une génératrice du cône, la section est une parabole Blaise Pascal dans son Essai sur les coniques (1640) qui n'a revu le jour qu'en 1779 par les soins de l'abbé Charles Bossut (1730-1814) et qui ne nous est pas parvenu, se servait des principes de la perspective conique, pour engendrer les coniques par le cercle et généraliser son résultat :

si, un pascal est inscrit à une conique alors, les intersections de ses côtés opposés sont alignés.

L'abbé Charles Bossut dans son édition complète des Œuvres de Pascal donnera en sept pages, une courte synthèse de cet Essai. 3. Propriété fondamentale d'une conique Cinq points en position générale déterminent une conique et

un pascal inscrit à celle-ci renvoie à un sixième point.

7

7

II. HYPERBOLE H 1. Génération d'une l'hyperbole H Départ : une conique et un pascal ABCDEF inscrit à celle-ci.

F

K I

A E

H

B D

C

Condition : cette conique a deux branches infinies

ce qui revient à dire que ABCDEF a deux de ses sommets à l'infini, par exemple E et F.

F

K I

A

H

B

D

E

I

I

C

1 2

4

5

6

3

(EF) devient la droite à l'infini. Conséquence : le point I, intersection de (EF) et (BC), est à l'infini sur (EF) ce qui revient à dire que

la pascale (HK) de ABCDEF est parallèles à (BC). Terminologie : cette conique est une hyperbole notée H.

8

8

2. Le centre O de H

F

K

A

H

B D

E

C

S

R

1 4

3 6

Par construction géométrique, H a un centre de symétrie qui est le point d'intersection de ses deux asymptotes ; (AF) et (DE) étant adjacentes à (EF) sont resp. parallèles à ses deux asymptotes.

Notons ∆1, ∆2 les asymptotes de direction resp. (AF), (DE)

et O le point d'intersection de ∆1 et ∆2.

Nous pouvons considérer ∆1 et ∆2 comme deux tangentes dont les points de contact avec H sont resp. à l'infini i.e. F et E.

Notons R le point d'intersection de (AF) et (DE),

et S le point d'intersection de la parallèle à ∆2 issue de A avec la parallèle à ∆1 issue de D. D'après le lemme de Blaise Pascal, (ROS) est la pascale de l'hexagone inscrit dans H de côtés successifs [AS], ∆2 ou 2, [DE] ou [DR], [DS], ∆1 ou 5, [AF] ou [AR].

Conclusion : (RS) passe par O.

9

9

Scolie : réitérons cette construction avec le sommet B

F

K

A

H

B

D

E

C

S

R

T

V

W

U

O

O O

Conclusion : O est le point de concours de (RS), (TV) et (WU). 6

6 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 20-22 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

10

10

3. Une corde de H Pour une meilleure lisibilité de la figure, H passe par les points A, B, C, D et admet E et F pour points à l'infini, (AF) ou ∆1, (DE) ou ∆2 étant les directions de ses asymptotes.

A

B C

F

K I H

D

E

R

S O

Y

Z

B'

A'

Considérons les points A et D de H ainsi que la droite à l'infini (EF). Notons O le centre de H, Y, Z les points d'intersection de (AD) resp. avec ∆1, ∆2,

A' le point d'intersection de (OZ) et (AF), et B' le point d'intersection de (OY) et (DE).

11

11

D'après le lemme de Pascal appliqué à H et au pascal de côtés [AD], [DE[ ou 2, ]EO] ou ∆2 , (EF), ]FO[ ou ∆1, ]FA], (AB) // (B'A').

Une chasse segmentaire :

* le quadrilatère AYB'A' étant un parallélogramme, AY = A'B' * le quadrilatère DZA'B' étant un parallélogramme, A'B' = DZ * par transitivité de =, AY = DZ.

Conclusion : [YZ] et [AD] ont même milieu.

Énoncé traditionnel : toute hyperbole et ses asymptotes découpent sur toute sécante (AB) commune deux segments qui ont même milieu 7.

7 F.G.M., Exercices de Géométrie, 6th ed., 1920, Rééditions Jacques Gabay, Paris (1991), n° 174. p. 80

Lebossé C. et Hémery C., Géométrie Classe de Mathématiques (1962), réed. Jacques Gabay, n° 506, p. 331 Ayme J.-L. Same midpoint, AoPS du 13/08/2020 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h2232836_same_midpoint

12

12

4. Le triangle autopolaire de H

A

B C

F

W

K I

H

D

E

U

V

U'

U"

Notons UVW le triangle orthique de ABC

et U', V' les conjugués de U relativement à [AD], [BC].

D'après Pappus d'Alexandrie ''Diagonales d'un quadrilatère complet'' 8 (Cf. C. Annexe 1) appliqué à ABCD, le conjugué de U relativement à [AD], [BC] est sur (VW)

et circulairement. Terminologie : (1) UVW est ''le triangle diagonal du quadrilatère ABCD''.

(2) UVW est ''autopolaire'' ou ''conjugué'' par rapport à H.

8 Pappus d'Alexandrie, Collections, Livre 7, proposition 131.

13

13

III. HYPERBOLE ÉQUILATÈRE H* 1. Génération d'une l'hyperbole équilatère H*

A

B C

F

K I

H D

E

Condition : A, B et C étant trois points arbitraires de H, fixons D tel que (AB)⊥ (CD) et (DE)⊥ (FA).

Les directions (AF) et (DE) des asymptotes étant perpendiculaires, cette hyperbole est ''équilatère'' et est notée H* .

Conséquences : (1) (AD) est la A-hauteur du triangle AEH

(2) D est l'orthocentre du triangle ABC.

Énoncé traditionnel ou le théorème de Brianchon-Poncelet 9 :

une hyperbole circonscrite à un triangle est équilatère

si, et seulement si, elle passe par l'orthocentre.

9 Brianchon C. J., Poncelet J.-V., Recherche sur la détermination d'une hyperbole équilatère au moyen de quatre conditions

données, Annales de Mathématiques pures et Appliquées (1821-1822) 233-25 ; Annales Mathématiques de Montpellier vol. XI (01/01/1821) 504-516 ; théorèmes VII , p. 511

14

14

2. Le centre O de H*

A

B C

F

K I

H D

E R

S T

Considérons deux cordes de H* , par exemples [BA] et [BC]. Notons RST le triangle médian de ABC. Conclusion partielle : <RBT = <TSR.

A

B C

F

K I

H D

E

Q

R

S T

O

X

Y

Z

Notons Q le point d'intersection de (DH) et (AK), O le centre de H,

X, Y le point d'intersection de la parallèle à (DH) issue de O resp. avec (BC), (BA) et Z le point d'intersection de la parallèle à (AK) issue de O avec (BA). Conclusion partielle : (OX) et (OZ) sont les deux asymptotes perpendiculaires de H.

15

15

Rappel (Cf. A. II. 3.) : toute hyperbole et ses asymptotes découpent sur toute sécante (AB) commune deux segments qui ont même milieu 10.

Conséquences : le triangle ROX étant R-isocèle, <XOR = <RXO ; par une autre écriture, <YOR = <BXY. Le triangle TOY étant T-isocèle, <TOY = <OYT ; par une autre écriture, <TOY = <XYB. par addition angulaire, <TOY + <YOR = <BXY + <XYB = par réduction, <TOR = <XBT par une autre écriture, <TOR = <RBT. Nous avons : <TOR = <TSR. Notons 1 le cercle d'Euler de ABC 11 Conclusion : d'après ''Le théorème de l'angle inscrit'', O est sur 1.

Scolie :

A

B C

F

K I

H D

E

Q

R

S T

A*

O

Y

Z

X 1

Notons A* le milieu de [AD] 12. Par parallélisme et le rappel précédent, A*, Q et O sont alignés. 10 F.G.M., Exercices de Géométrie, 6th ed., 1920, Rééditions Jacques Gabay, Paris (1991), n° 174. p. 80

Lebossé C. et Hémery C., Géométrie Classe de Mathématiques (1962), réed. Jacques Gabay, n° 506, p. 331 Ayme J.-L. Same midpoint, AoPS du 13/08/2020 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h2232836_same_midpoint

11 C'est le cercle circonscrit au triangle médian RST de ABC 12 A* est le A-point d'Euler de ABC

16

16

Conclusion : 1 passant par A*, O est le second point d'intersection de (A*Q) avec 1. 13 3. Deux cordes supplémentaires de H* .

A

B C

F

K I

H D

E

Q

R

S T

A*

O

Y

Z

X

1 A'

Notons A' le symétrique de A par rapport à O. O étant le centre de symétrie de H* , (1) A' est sur H*

(2) [AA'] est un diamètre de H*

(3) [BA] et [BA'] sont ''supplémentaires''.

D'après A. II. 3. , T étant le milieu [AB] et [YZ], d'après Thalès de Milet ''La droite des milieux'' appliqué au triangle BA'A, (BA') // (OT).

(OZ) et (OY) étant les asymptotes perpendiculaires de H* , le triangle OYZ étant T rectangle ; en conséquence le triangle YOT est T-isocèle.

Conclusion : <TOY = <OYT.

Énoncé traditionnel 14 : un point M appartient à une hyperbole équilatère de diamètre [AB]

si, et seulement si,

[MA] et [MB] sont également inclinées sur les asymptotes.

13 Ayme J.-L., Position de O sur le cercle d’Euler, Les-Mathematiques.net ;

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2072460 Ce résultat a été vérifié par Bouzar en recourant au calcul barycentrique

14 Lebossé C. et Hémery C., Géométrie Classe de Mathématiques (1962), réed. Jacques Gabay, n° 514, p. 334

17

17

IV. HYPERBOLE H*p 1. L’hyperbole équilatère H*p

A

B C

F

W

K I

H D

E

Q

A*

O

1

1a

U

V

P

O*

1*

Q*

Notons UVW le triangle orthique de ABC, 1a le cercle de diamètre [AD], P un point de [VW], 1* le cercle passant par U et tangent à (VW) en P, O* le second point d'intersection de 1 et 1*, et Q* le point d'intersection de [A*O*[ avec 1a. En conséquence, Q est sur 1a.

18

18

A

B C

W

D

A*

1

1a

U

V

P

O*

1*

Q*

H* K*I*

E*

Condition : lorsque Q est en Q*, O est en O* Notons H*p l'hyperbole équilatère passant par P. Conclusion : H*p a pour centre O* et pour directions asymptotiques perpendiculaires (Q*A) et (Q*D).

19

19

2. Le points P'

A

B C

W

D

A*

1

1a

U

V

P O*

1*

Q*

H* K*I*

E*

P*

P'

(UV) est la polaire de W relativement à H*p

Notons P' le conjugué harmonique de P relativement à [VW], P* le milieu de [PP'] et 1'* le cercle passant par U et tangent à (VW) en P'. Nous savons que le quaterne (V, W, P, P') est harmonique. Conclusion : P' est sur H*p.

Scolie : d'après B. Appendice 1, U, O* et P* sont alignés

20

20

3. Le point final Q'

A

B C

W

D

A*

1

1a

U

V

P O*

1*

Q*

H* K*I*

E*

P*

P'

Q'

Notons Q' le symétrique de P par rapport à O*.

Conclusion : O* étant le centre de symétrie de H*p, Q' est sur H*p.

21

21

B. APPENDICE

1. Un quaterne harmonique

VISION

Figure :

A

B C P

Q

T P'

0

1a

1'a

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, I le centre de ABC, P un point de [BC], P' le conjugué harmonique de P relativement à [BC], T le milieu de [PP'], 1a le cercle passant par A et tangent à [BC] en P, Q le second point d'intersection de 1a et 0, et 1'a le cercle passant par A et tangent à [BC] en P', Donné : A, Q et T sont alignés si, et seulement si, le quaterne (B, C, P, P') est harmonique .

VISUALISATION NÉCESSAIRE • D'après Jakob Steiner ''Puissance'' appliqué au cercle

* 0, TB.TC = TA.TQ

* 1a, TA.TQ = TP²

* par transitivité de =, TB.TC = TP² (ou TP'²). • Conclusion : d'après Isaac Newton ''La relation'', le quaterne (B, C, P, P') est harmonique.

VISUALISATION SUFFISANTE

Elle est laissée aux bons soins du lecteur.

22

22

C. ANNEXE

1. Diagonales d'un quadrilatère complet 15

VISION

Figure :

A

F E

D

B

H

C

G

Traits : ABCD un quadrilatère, E, F les points d'intersection resp. de (AD) et (BC), (AB) et (CD), et G, H le point d'intersection resp. de (AC) et (EF), (BD) et (EF). Donné : le quaterne (E, F, G, H) est harmonique. Énoncé traditionnel :

dans tout quadrilatère, une diagonale est coupée harmoniquement par la deuxième et par la droite

qui joint le point de concours des côtés opposés.

15 Pappus d'Alexandrie, Collections, Livre 7, proposition 131.

23

23

D. LEXIQUE

FRANÇAIS - ANGLAIS A aligné collinear annexe annex axiome axiom appendice appendix adjoint associate a propos by the way btw acutangle acute angle axiome axiom B bissectrice bisector bande strip C centre incenter centre du cercle circonscrit circumcenter cercle circonscrit circumcircle cévienne cevian colinéaire collinear concourance concurrence coincide coincide confondu coincident côté side par conséquence consequently commentaire comment D d'après according to donc therefore droite line d'où hence distinct de different from E extérieur external F figure figure H hauteur altitude hypothèse hypothesis I intérieur internal identique identical i.e. namely incidence incidence L lemme lemma lisibilité legibility M mediane median médiatrice perpendicular bissector milieu midpoint

N Notons name nécessaire necessary note historique historic note O orthocentre orthocenter ou encore otherwise P parallèle parallel parallèles entre elles parallel to each other parallélogramme parallelogram pédal pedal perpendiculaire perpendicular pied foot point de vue point of view postulat postulate point point pour tout for any Q quadrilatère quadrilateral R remerciements thanks reconnaissance acknowledgement respectivement respectively rapport ratio répertorier to index S semblable similar sens clockwise in this order segment segment Sommaire summary symédiane symmedian suffisante sufficient sommet (s) vertex (vertice) T trapèze trapezium tel que such as théorème theorem triangle triangle triangle de contact contact triangle triangle rectangle right-angle triangle