6 DÉTERMINATION DES PERTES DE PRESSIONalain.mailliat.free.fr/PolyPhasique/COURS/Chap6/... · il...

ECOLE CENTRALE MARSEILLE

6-1

6 DÉTERMINATION DES PERTES DE PRESSION

ECOULEMENTS ET TRANSFERTS DANS LES MILIEUX POLYPHASIQUES

6-2


6-3

6.1 POSITION DU PROBLÈME

Si on peut souvent traiter la thermique des écoulements permanents sans se préoccuper de la pression, c'est que les termes faisant intervenir la pression interviennent peu dans le bilan thermique et on peut donc négliger l'influence de la pression en première approximation. Cependant, la pression joue naturellement un rôle essentiel en ce sens que les écoulements résultent des différences de pression. Pour réaliser dans une conduite l'écoulement que l'on souhaite, il faut savoir quelle différence de pression on doit établir entre l'entrée et la sortie. Il faut par conséquent savoir intégrer l'équation de bilan d'impulsion. Comme pour le problème thermique, on devra faire appel à l'expérience pour fermer le problème. L'approche classique consiste à se placer en régime permanent et à admettre l'hypothèse d'équilibre thermique entre les phases. On supposera ensuite, en première approximation, que les lois trouvées restent encore valables en régime transitoire et dans des situations hors équilibre thermique.

6.2 CARACTÉRISTIQUES INTERNE ET EXTERNE

6.2.1 DEFINITIONS

Pour un écoulement permanent dans une conduite de section constante, on appelle caractéristique interne la courbe représentant la relation entre la perte de pression et le débit massique (ou la vitesse massique), pour des conditions données de pression (moyenne), de titre d'entrée et de flux de chaleur. La connaissance du réseau de caractéristiques internes permet de déterminer la différence de pression à imposer aux bornes de la conduite pour obtenir le débit souhaité et donc de prévoir la pompe qu'il faut utiliser.

• Pour les très faibles débits (sortie en phase vapeur), la perte de pression est due essentiellement au frottement, soit :


6-4

L

2

HV 2

G

D

Lf4p

ρ∆ ≈

• Pour les forts débits (sortie en phase liquide), la perte de pression résulte de la gravité et du frottement, soit :

L

2

HLL 2

G

D

Lf4gLp

ρρ∆ +≈

• Entre ces deux régions extrêmes, la sortie est diphasique et la perte de pression est une combinaison des termes d'accélération, de gravité et de frottement. Les deux branches extrêmes de la caractéristique sont raccordées par une courbe qui peut être de pente positive ou partiellement négative, selon le titre à l'entrée.

Dans les relations qui précèdent, Vf et Lf désignent les coefficients de frottement pour

un écoulement monophasique vapeur ou monophasique liquide respectivement. Un exemple de caractéristique interne est donné dans la figure 6-1.

Figure 6-1 : Allure générale de la caractéristique interne d’un canal en écoulement diphasique

Les sections 6.3 à 6.5 décrivent la méthode de calcul et les modèles les plus classiques. Dans la section 6.7, on fait le calcul complet des caractéristiques internes, dans le cas du modèle homogène équilibré, pour un canal chauffé de manière uniforme.


6-5

6.2.2 CARACTERISTIQUES ET POINT DE FONCTIONNEMENT

On appelle caractéristique externe d’une pompe (ou d’un compresseur) la courbe représentant le « gain en pression » apporté par la pompe (ou le compresseur) en fonction du débit la(le) traversant, pour une vitesse de rotation donnée du moteur. On ne considérera ici que les situations où le régime de fonctionnement de la pompe se situe dans le « premier quadrant », c’est-à-dire pour le cas où la pompe joue effectivement un rôle « moteur » (débit et vitesse de rotation tous deux positifs), ce qui correspond à un fonctionnement normal. Si on représente sur un même graphe la caractéristique interne du canal et la caractéristique externe de la pompe placée aux bornes de ce canal, les 2 courbes se coupent en un ou plusieurs points. Dans le cas d’un écoulement monophasique, il existe un seul point d’intersection, correspondant à une valeur donnée du débit. Ce point s’appelle point de fonctionnement du circuit (Figure 6-2). Dans le cas d’un écoulement diphasique, il peut exister un ou plusieurs points d’intersection, selon les conditions de fonctionnement données (pression moyenne, titre d’entrée du canal chauffé, flux de chaleur aux parois).

0,0

5,0

10,0

15,0

0 1000 2000 3000 4000 5000

G (kg/m2s)

Dp

(ba

r)

Dpint (bar)

Dpext (bar)

Figure 6-2 : Caractéristique interne, caractéristique externe et point de fonctionnement


6-6

6.3 MÉTHODE DE CALCUL DE LA PERTE DE PRESSION

6.3.1 BILAN LOCAL ET BILAN GLOBAL D'IMPULSION

On reprend l'équation de bilan local de quantité de mouvement établie précédemment pour le modèle monofluide en régime permanent (cf. section 4.4.4) :

6-1

θρτ

χρ

cosgA~

G

dz

dG

dz

dpp

f ++=−

en ayant posé :

6-2

LV )1( ρααρρ −+=

L

2

V

2

)1(

)X1(X~1

ρααρρ −−+=

LLVV u)1(uG ρααρ −+=

La perte de pression apparaît donc comme la somme de trois termes :

fga dz

dp

dz

dp

dz

dp

dz

dp

+

+

=

Avec :

6-3

−=−=

ρρ ~G

Adz

d

A

1~G

dz

dG

dz

dp 2

a

terme d'accélération

[ ] θρααρθρ cosg)1(cosgdz

dpLV

g

−+−=−=

terme de gravité

pf

f Adz

dp τχ

−=

terme de frottement

D'où, en intégrant entre l'entrée ( 0z = ) et la sortie ( Lz = ) de la conduite :


6-7

fga pppp ∆∆∆∆ ++=

Avec :

dzdz

dpp

L

0∫−=∆

Et :

6-4

dz~G

Adz

d

A

1dz

dz

dpp

L

0

2L

0a

a ∫∫

=

−=ρ

∆

[ ] dzcosg)1(dzdz

dpp

L

0 LV

L

0g

g ∫∫ −+=

−= θρααρ∆

dzA

dzdz

dpp

L

0 pfL

0f

f ∫∫ =

−= τχ

∆

Dans l’approche la plus générale, ces 3 termes pourront être évalués directement après intégration des équations de bilan du modèle à 6 équations (voir section 6.6). On peut cependant obtenir une expression approchée (et suffisamment précise dans la plupart des cas) en faisant des hypothèses simplificatrices dans le cadre du modèle à 3 équations. Dans la suite, en dehors de la section 6.6, on va analyser et calculer chacun de ces trois termes en faisant les hypothèses suivantes :

• équilibre thermique entre les deux phases (lorsqu’elles coexistent), • écart de vitesses entre phases pouvant être représenté par un modèle analytique.

Les termes d'accélération et de gravité s'expriment directement en fonction des paramètres descriptifs de l'écoulement (taux de présence, qualité, vitesses de phases) dont il faudra connaître la distribution le long de la conduite (voir section 6.3). L'évaluation du terme de frottement repose sur des approches empiriques prenant en compte la configuration d'écoulement, mais en se référant au cas d’un écoulement monophasique (voir section 6.3.3).


6-8

6.3.2 FORMULATION DES TERMES D'ACCELERATION ET DE GRAVITE

Dans les termes d'accélération et de gravité figurent (explicitement ou implicitement), en plus de G et X , les deux vitesses Vu et Lu ainsi que le taux de vide α . Pour une vitesse

massique G imposée et la qualité X déduite du bilan d'énergie ( ∗= XX ), on doit donc, pour évaluer ap∆ et gp∆ , être capable de déterminer les 3 grandeurs Vu , Lu et α .

Compte tenu des relations de définition de la qualité et de la vitesse superficielle :

G

uX VVαρ

=

)X1(G

u)1(uVL

LV ρρ∆

ραα +=−+

il suffit, à G et X donnés, d'une relation complémentaire entre les paramètres Vu , Lu ,

α , G , X pour que les termes d'accélération et de gravité s'expriment en fonction de G et X . Cette relation est censée traduire, sous une forme analytique, le déséquilibre cinématique entre les phases liquide et vapeur, soit (cf. section 4.3) :

( ) 0X,G,,pf =α

L’obtention de cette relation complémentaire a fait l'objet de nombreuses études expérimentales évoquées dans le chapitre 5 (modélisation des écoulements diphasiques). On citera les modèles homogène, de dérive, de Martinelli-Nelson.

6.3.3 FORMULATION DU TERME DE FROTTEMENT

On rappelle l'expression de la perte de pression par frottement en écoulement monophasique :

6-5

ϕ

ϕϕ

ρτ

χ

1

2

H

1p

f1

f 2

G

D

f4

Adz

dp ==

−

Où ϕρ1 représente la masse spécifique, ϕ1f le coefficient de frottement en monophasique

et HD le diamètre hydraulique de la conduite, c'est-à-dire par définition :


6-9

fH

A4D

χ=

Dans le cas d’un écoulement diphasique, on écrit par analogie :

ρ

ϕϕ

~2

G

D

f4

dz

dp 2

H

22

f

=

−

A la suite des travaux de Martinelli et Nelson, on exprime souvent le gradient de pression par frottement en diphasique en fonction de celui d’un écoulement monophasique (liquide ou vapeur) circulant avec le même débit que le débit total G . On écrit ainsi :

6-6

0V

f

20V

0L

f

20L

2

f dz

dp

dz

dp

dz

dp

=

=

ΦΦϕ

Avec :

L

2

H

0L

0L

f 2

G

D

f4

dz

dp

ρ=

−

Et :

V

2

H

0V

0V

f 2

G

D

f4

dz

dp

ρ=

−

Dans ces expressions, 0Lf (resp. 0Vf ) désigne le coefficient de frottement pour

l’écoulement monophasique liquide (resp. vapeur) circulant avec le même débit G que l’écoulement diphasique considéré. En général, pour un canal en ébullition, on utilise plutôt comme référence l’écoulement liquide, soit :

6-7

L

2

H

0L20L

2

f 2

G

D

f4

dz

dp

ρΦ

ϕ

=


6-10

On trouve dans la littérature de nombreuses corrélations et tables de ΦL0

2. On pourra par

exemple se reporter à l'abaque de Martinelli-Nelson (voir figure).

Figure 6-3 : Corrélation de Martinelli-Nelson

6.4 CALCUL AVEC LE MODÈLE HOMOGÈNE

On rappelle les expressions des gradients de pression par gravité et accélération :

−=

−ρ~

2G

dz

d

dz

dp

a

en supposant la section de passage A constante. Et :


6-11

θρ cosgdz

dp

g

−=

−

En considérant l’égalité des vitesses ( LV uu = ), on obtient :

6-8

)1(~

22

VL

XGG

ρρ

ρρ∆+=

Et :

6-9

V

L

Xρ

ρρρ ∆+

=1

On peut ensuite déterminer par intégration ap∆ et gp∆ . Les calculs pour le modèle

homogène sont détaillés dans la section 6.7 pour le cas d’un canal chauffé uniformément. Pour le terme de frottement, on rappelle :

L

2

H

0L20L

2

H

22

f 2

G

D

f4~2

G

D

f4

dz

dp

ρΦ

ρϕ

ϕ

==

−

D’où l’on déduit :

0

220 ~

L

LL f

f ϕ

ρρ=Φ

Dans le cadre du modèle homogène, on fait 2 types d’approximations pour le coefficient de frottement en diphasique ϕ2f :

1) ϕ2f est égal au coefficient de frottement en simple phase liquide : 02 Lff =ϕ

Alors :

ρρ

ρρ LL

L ==Φ ~2

0 (puisque LV uu = )

D’où :


6-12

6-10

+=

−VL

2

H

0L

2

f

X12

G

D

f4

dz

dp

ρρ∆

ρ

ϕ

2) ϕ2f a la même dépendance en Re que le coefficient de frottement en simple phase

liquide, soit :

nL

n

L ReC

ReC

f

f

0

2

0

2 ϕϕ =

Soit encore :

n

LLf

f

=

µµ ϕϕ 2

0

2

En prenant, par exemple, en écoulement turbulent (formule de Blasius) :

079,0C = et 0,25n =

La seule quantité restant à spécifier est donc la « viscosité équivalente » ϕµ2 de

l’écoulement diphasique ; selon différents auteurs, elle s’exprime sous la forme :

LV

XX

µµµ ϕ

−+= 11

2

(Mc Adams)

( ) LV XX µµµ ϕ −+= 12 (Cichitti)

( ) LV µααµµ ϕ −+= 12 (Dukler)

Compte tenu de la faible valeur de l’exposant n , ces différentes corrélations donnent des résultats sensiblement identiques.

6.5 CALCUL AVEC LES MODÈLES À PHASES SEPARÉES

Dans ce type de modèles, on renonce à l’hypothèse d’égalité des vitesses des 2 phases mais on continue à supposer qu’il y a équilibre thermique entre phases.


6-13

On décrit les modèles les plus classiques qui, bien que déjà anciens, continuent de servir de base aux modèles les plus récents.

6.5.1 METHODE DE LOCKHART-MARTINELLI

A partir de données expérimentales sur des écoulements horizontaux eau-air adiabatiques à basse pression, Lockhart et Martinelli ont établi des corrélations en introduisant la notion de « multiplicateurs » (two-phase frictional multiplier). Dans leur formulation, le gradient de pression par frottement s’exprime sous la forme :

G

fG

L

fL

f dz

dp

dz

dp

dz

dp

Φ=

Φ=

222ϕ

où 2LΦ et 2

GΦ sont les « multiplicateurs » de Lockhart-Martinelli.

A la différence du modèle de Martinelli-Nelson, on prend comme référence les gradients de pression du liquide et du gaz supposés circuler seuls dans le canal avec leurs débits respectifs Lmɺ et Gmɺ , et non avec le débit total mɺ .

Les points expérimentaux sont corrélés à l’aide du paramètre yzX (paramètre de

Martinelli) défini par :

2

22

L

GG

f

L

fyz

dz

dp

dz

dp

XΦΦ=

=

yzX est fonction de la nature (laminaire ou turbulent) des écoulement liquide et gazeux.

On notera que, compte-tenu de l’expression des coefficients de frottement en simple phase (corrélation de Biasi par exemple, 25,0=n ), le paramètre de Martinelli peut aussi s’exprimer sous la forme :


6-14

−

=

−

L

G

nn

G

Lyz X

XX

ρρ

µµ 2

2 1

La dépendance de 2LΦ et 2

GΦ en fonction de 2yzX est représentée sous la forme de

l’abaque de la figure suivante.

Figure 6-4 : Abaques de Lockhart-Martinelli

Cependant, Chisholm a proposé une formulation analytique simple des résultats de Lockhart et Martinelli :


6-15

22 1

1yzyz

LXX

C ++=Φ

22 1 yzyzG XCX ++=Φ

avec les valeurs de C données dans le tableau suivant.

Tableau 6-1 : Valeurs du paramètre de Martinelli (approximation de Chisholm)

régime (liquide / gaz) indice C turbulent / turbulent tt 20 laminaire / turbulent vt 12 turbulent / laminaire tv 10 laminaire / laminaire vv 5

Le modèle est complété par une corrélation de taux de vide permettant d’exprimer, de manière cohérente avec le terme de frottement, les termes de gravité et d’accélération :

21

11

yzyz XCX ++−=α

6.5.2 METHODE DE MARTINELLI-NELSON

Pour les écoulements ascendants dans les conduites à axe vertical, Martinelli et Nelson ont proposé une extension du modèle de Lockhart-Martinelli pour des écoulements eau-vapeur non adiabatiques (avec ébullition) dans un domaine de pression étendu. On rappelle que, dans le modèle de Martinelli-Nelson, le gradient de pression par frottement est exprimé sous la forme, par référence à un écoulement monophasique de liquide supposé circuler seul avec le débit total :

L

2

H

0L20L

2

f 2

G

D

f4

dz

dp

ρΦ

ϕ

=

−

Le « multiplicateur » 20LΦ de Martinelli-Nelson est donné, en fonction de la pression et de

la qualité, par un abaque (figure).


6-16

Figure 6-5 : « Multiplicateur » 2

0LΦ de Martinelli-Nelson

Pour calculer la perte de pression globale sur toute la longueur du canal, on définit le paramètre intégral :

∫Φ=ΦX

LL dXX 0

20

20

1

expression dans laquelle X désigne la qualité en sortie et où on suppose que l’écoulement est monophasique liquide à l’entrée (figure).


6-17

Figure 6-6 : « Multiplicateur intégral » de Martinelli-Nelson

Le modèle est complété par une corrélation de taux de vide représentée sur l’abaque suivant (Figure 6-7).


6-18

Figure 6-7 : Abaque de taux de vide (modèle de Martinelli-Nelson)

Plus généralement, on peut mener le calcul de la perte de pression totale de la manière suivante. En intégrant le gradient de pression entre l’entrée et la sortie du canal, on obtient :

∫∫∫ +

+=−

L

0

L

0

2L

0

20L

L

2

H

0L dzcosgdz~G

dz

ddz

2

G

D

f4p θρ

ρΦ

ρ∆

Soit encore, en supposant que l’écoulement est monophasique liquide à l’entrée :

( )

−−+

−+

−−+

=− ∫∫

ss X

0 L

V

sL

V

L

s

2s

s

2s

L

2X

0

20L

sL

2

H

0L dX11X

1cosgL1

X

1

X1GdX

X

1L

2

G

D

f4p α

ρρθρ

ρρ

ααρΦ

ρ∆

On réécrit cette expression sous forme abrégée :


6-19

6-11

θρ

ρρ∆ cosgLr

GrL

2

G

D

f4rp L4

L

2

2L

2

H

0L3 ++=−

Cette expression est valide dans le cas d’un flux de chaleur uniforme. Elle est également utilisable pour représenter les composantes de la perte de pression dans des conditions plus générales, en combinaison avec d’autres modèles. Cependant, les valeurs des coefficients

2r , 3r et 4r sont alors différentes de celles proposées par Martinelli-Nelson.

Il est important de noter quelques restrictions dans l’application du modèle de Martinelli-Nelson (et à plus forte raison dans le modèle homogène) :

• il suppose que, pour une qualité donnée, les effets de débit sont négligeables, alors

qu’il a été observé expérimentalement que 2LΦ , 2

VΦ et 20LΦ sont fonction de G ;

• il ne prend pas en compte les effets de tension superficielle, qui sont significatifs à haute pression.

Divers chercheurs ont trouvé que les résultats du modèle de Martinelli-Nelson sont

meilleurs que ceux du modèle homogène dans l’intervalle skg/m 1000G500 é<< , alors

que le modèle homogène semble supérieur pour skg/m 2000G é≈ . Cette tendance pourrait être due au fait que, pour une qualité donnée, un débit élevé peut conduire à une homogénéisation de l’écoulement plutôt qu’à une configuration de type annulaire correspondant à l’approche de Martinelli-Nelson et de Thom.

6.5.3 METHODE DE THOM

Thom a évalué le « multiplicateur » de frottement sur la base de résultats complémentaires tout en conservant le mode de reprsentation de Martinelli-Nelson. Les coefficients multiplicateurs 2r , 3r et 4r correspondants sont représentés dans les abaques des figures

suivantes (corrélation de Thom).


6-20

Figure 6-8 : Coefficient multiplicateur 2r (corrélation de Thom)


6-21



6-22



6-23

6.5.4 METHODE DE BAROCZY

Baroczy a proposé une prise en compte de l’effet de débit sur le multiplicateur de

Martinelli-Nelson ( 20LΦ ) pour des fluides autres que l’eau-vapeur. Ses données sous la

forme de deux abaques.

Le premier (figure) donne 20LΦ , pour une valeur de référence 21356 kg/mrefG s= , en

fonction d’un paramètre caractérisant le fluide (« property index »), avec un paramétrage en qualité X . L’autre abaque (figure) fournit un facteur correctif Ω sur le débit en fonction du paramètre « property index », soit :

( ) ( )ref20L

20L GG ΩΦΦ =

Figure 6-11 : Coefficient multiplicateur 2

0LΦ (corrélation de Baroczy)


6-24

Figure 6-12 : Facteur correctif (corrélation de Baroczy)


6-25

6.6 CALCUL AVEC LE MODÈLE À 6 ÉQUATIONS

On prend comme exemple la modélisation du calcul de perte de charge contenue dans le code CATHARE. Les termes de gradients de pression par frottement figurant dans les équations de bilan d’impulsion (liquide et gaz) sont modélisés séparément sous la forme :

2

uuC

Adz

dp kkkk

f

fk

ρχ

=

−

où l’indice k caractérise la phase concernée (L pour le liquide, G pour le gaz).

kC représente le coefficient de frottement pour la phase k , pondéré de façon à tenir

compte de la configuration d’écoulement, soit :

kkk fcC =

Avec :

= 003.0 ,

Re

079.0 ,

Re

16maxf

25,0kk

k et 20Du

Rek

Hkkkk +=

µρα

kc est une fonction semi-empirique de la forme (stratifiée ou non stratifiée) de

l’écoulement. Une telle modélisation permet un calcul direct de la distribution de pression, donc de la perte charge. Elle a été validée sur un ensemble d’essais couvrant une large gamme de paramètres et de configurations d’écoulements.

6.7 APPLICATION : CANAL CHAUFFÉ UNIFORMÉMENT

A titre d’illustration, on donne le calcul complet de la perte de pression avec le modèle homogène équilibré pour le cas d’un canal chauffé uniformément.

6.7.1 INTRODUCTION ET HYPOTHESE

On va déterminer la caractéristique interne d'un canal dans le cadre du modèle homogène équilibré thermiquement et ainsi dégager un formulaire. On fait en plus les hypothèses suivantes :


6-26

• canal vertical de section constante A , de longueur L ,

• écoulement à l'entrée tout liquide et sous-saturé (titre d'entrée 0X0 <∗ ),

• puissance linéique de chauffage 0ψ uniforme.

Dans ces conditions, on a déjà établi l’expression des cotes particulières dites d’ébullition franche ( Lz ) et de fin d’évaporation (Vz ). On rappelle ainsi que l’intégration du bilan

d’énergie en régime permanent conduit à :

6-12

( )

L

zXXz

AGLXzX

V

**0

0*0

* ∆+=+= ψ

avec, en particulier :

( ) **0

0*0

** XXAGL

LXXLzX

Vs ∆+=+=== ψ

La cote d’ébullition franche est alors donnée par :

6-13

( ) 0* =LzX , soit :

0

*0

ψXAGL

z VL −=

et la cote d’évaporation par :

6-14

( ) 0* =VzX , soit :

( )0

*01

ψXAGL

z VV

−−=

Les cotes Lz et Vz existent (ou non) dans le canal selon les conditions de fonctionnement

( *0X ,G , 0ψ ).

On peut aussi écrire la répartition du titre thermodynamique sous la forme :

6-15

( )

L

Ls zL

zzXzX

−−= **

où *sX est le titre en sortie. Cette formule sera utile dans la suite.


6-27

6.7.2 RAPPEL DES VARIABLES EN MODELE HOMOGENE

On rappelle l’expression des 3 composantes de la perte de pression (cf. section 6.3.1) qui deviennent, avec les hypothèses faites :

dzG

dz

ddz

GA

dz

d

Adz

dz

dpp

LLL

aa ∫∫∫

=

=

−=∆0

2

0

2

0 ~~1

ρρ

[ ] dzgdzgdzdz

dpp

LL

LV

L

gg ∫∫∫ =−+=

−=∆000

cos)1( ρθρααρ

∫∫ =

−=L

0L

2

H

0L20L

L

0f

f dz2

G

D

f4dz

dz

dpp

ρΦ∆

Avec, pour le modèle homogène (cf. section 6.4) :

)1(~

22

VL

XGG

ρρ

ρρ∆+=

V

L

Xρ

ρρρ ∆+

=1

Et, pour le terme de frottement :

ρρΦ ϕ

~2

G

D

f4

2

G

D

f4

dz

dp 2

H

2

L

2

H

0L20L

f

==

−

En modèle homogène, on fait souvent comme approximation : 02 Lff =ϕ .

d’où l’on déduit :

ρρ

ρρ

ρρ ϕ LL

L

LL f

f===Φ ~~

0

220

soit :


6-28

6-16

V

L Xρ

ρ∆+=Φ 120

6.7.3 CALCUL DES DIFFERENTS TERMES EN MODELE HOMOGENE

6.7.3.1 CALCUL DU TERME D’ACCELERATION Compte tenu de ce qui précède, la perte de pression par accélération s'exprime par :

dzXG

dz

ddz

G

dz

dp

L

VL

L

a ∫∫

∆+=

=∆

0

2

0

2

1~ ρρ

ρρ

L’intégration est triviale et conduit à :

[ ] Lzz

VL

Lz

zVLa X

GX

Gp =

=

=

=

∆=

∆+=∆ 0

2

0

2

1ρρ

ρρρ

ρ

On a supposé que l’écoulement était sous-saturé à l’entrée ; on peut en déduire (modèle équilibré thermiquement) que la qualité est nulle à l’entrée : ( ) 00 ==zX . La suite du calcul dépend des conditions de fonctionnement.

• si LzL > , alors l’écoulement est simple phase liquide tout le long du canal, donc :

( ) 0== LzX et 0=∆ ap

• si LzL < , alors l’écoulement est diphasique en sortie soit :

( ) 0* >== sXLzX et LV

sa

GXp

ρρρ 2

*

∆=∆

6.7.3.2 CALCUL DU TERME DE GRAVITE La perte de pression par gravité peut s’écrire :


6-29

dzgX

pL

V

Lg ∫ ∆+

=∆0

1ρ

ρρ

Le calcul dépend des conditions de fonctionnement et notamment de la localisation des différentes zones (simple phase liquide, diphasique, simple phase vapeur). Dans le cas le plus général, on pourra décomposer selon :

[ ] [ ] [ ]Lzg

z

zgz

ggV

V

L

L pppp ∆+∆+∆=∆0

Le premier et le dernier termes se calculent simplement en simple phase (liquide ou vapeur).

• si LzL < , alors l’écoulement est simple phase liquide tout le long du canal, donc :

gLp Lg ρ=∆

• si LzL > et LzV > , alors l’écoulement est diphasique en sortie et :

[ ] [ ]Lzg

zgg

L

L ppp ∆+∆=∆0

Avec :

[ ] LLz

g gzp L ρ=∆0

Et :

[ ] ( )

∆+∆

−=∆+=∆ ∫

**

11

1s

V

V

sLL

L

z

V

LL

zg XLnX

zLgdzgX

pLL ρ

ρρ

ρρ

ρρ

ρ

soit finalement :

( )

∆+∆

−+=∆ **

11

sV

V

sLLLLg XLn

XzLggzp

ρρ

ρρρρ


6-30

• si LzV < , alors l’écoulement est simple phase vapeur en sortie, d’où (tous calculs

faits) :

( ) ( )VV*s

V

V*s

LVLLLg zLgX1LnX

1zzggzp −+

+−+= ρ

ρρ∆

ρ∆ρρρ∆

6.7.3.3 CALCUL DU TERME DE FROTTEMENT En retenant l'expression donnée précédemment (cf. section 6.5.2), on obtient :

∫∫

+==

L

0VL

2

H

0LL

0L

2

H

0L20Lf dzX1

2

G

D

f4dz

2

G

D

f4p

ρρ∆

ρρΦ∆

Comme pour le terme gravitaire, on décompose dans le cas général selon :

[ ] [ ] [ ]Lzf

z

zfz

0ffV

V

L

L pppp ∆∆∆∆ ++=

Il vient, tous calculs faits, le formulaire suivant : • si LzL < , alors l’écoulement est simple phase liquide tout le long du canal, donc :

L

2

H0Lf 2

G

D

Lf4p

ρ∆ =

• si LzL > et LzV > , alors l’écoulement est diphasique en sortie, d’où :

( )

+−+=

2

X1

2

G

D

zLf4

2

G

D

zf4p

*s

VL

2

H

L0L

L

2

H

L0Lf ρ

ρ∆ρρ

∆

• si LzV < , alors l’écoulement est simple phase vapeur en sortie, d’où :

( ) ( )

V

2

H

V0V

*s

VL

2

H

LV0L

L

2

H

L0Lf 2

G

D

zLf4

2

X1

2

G

D

zzf4

2

G

D

zf4p

ρρρ∆

ρρ∆ −+

+−+=


6-31

6.7.3.4 FORMULAIRE ET ILLUSTRATION La figure suivante représente la caractéristique interne (calculé avec le modèle homogène) d’un canal chauffant, dans les conditions suivantes :

• diamètre hydraulique cm 2DH =

• hauteur du canal m 10L =

• flux thermique 260 W/m 10=φ

• titre d’entrée 25,0X0 −=

• masse spécifique du liquide 3L kg/m 750=ρ

• masse spécifique de la vapeur 3V kg/m 30=ρ

Caractéristique interneen modèle homogène équilibré

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

010

020

030

040

050

060

080

010

0020

0030

0040

0050

0060

0070

0085

00

1000

0

G(kg/m2s)

Dp(

MP

a)

Dpg(Pa)

Dpa(Pa)

Dpf(Pa)

Dpt(Pa)

Figure 6-13 : caractéristique interne d’un canal chauffé uniformément (modèle homogène)


6-I

TABLE DES MATIERES DU CHAPITRE VI

6 DÉTERMINATION DES PERTES DE PRESSION 6-1

6.1 POSITION DU PROBLÈME 6-3

6.2 CARACTÉRISTIQUES INTERNE ET EXTERNE 6-3 6.2.1 Définitions 6-3 6.2.2 Caractéristiques et point de fonctionnement 6-5

6.3 MÉTHODE DE CALCUL DE LA PERTE DE PRESSION 6-6 6.3.1 Bilan local et bilan global d'impulsion 6-6 6.3.2 Formulation des termes d'accélération et de gravité 6-8 6.3.3 Formulation du terme de frottement 6-8

6.4 CALCUL AVEC LE MODÈLE HOMOGÈNE 6-10

6.5 CALCUL AVEC LES MODÈLES À PHASES SEPARÉES 6-12 6.5.1 Méthode de Lockhart-Martinelli 6-13 6.5.2 Méthode de Martinelli-nelson 6-15 6.5.3 Méthode de Thom 6-19 6.5.4 Méthode de baroczy 6-23

6.6 CALCUL AVEC LE MODÈLE À 6 ÉQUATIONS 6-25

6.7 APPLICATION : CANAL CHAUFFÉ UNIFORMÉMENT 6-25 6.7.1 Introduction et hypothèse 6-25 6.7.2 Rappel des variables en modèle homogène 6-27 6.7.3 Calcul des différents termes en modèle homogène 6-28


6-II

FIGURES CHAPITRE VI FIGURE 6-1 : ALLURE GENERALE DE LA CARACTERISTIQUE INTERNE D’UN CANAL EN ECOULEMENT DIPHASIQUE........................................................................................................................6-4 FIGURE 6-2 : CARACTERISTIQUE INTERNE, CARACTERISTIQUE EXTERNE ET POINT DE FONCTIONNEMENT.......................................................................................................................................6-5 FIGURE 6-3 : CORRELATION DE MARTINELLI-NELSON......................................................................6-10 FIGURE 6-4 : ABAQUES DE LOCKHART-MARTINELLI .........................................................................6-14 FIGURE 6-5 : « MULTIPLICATEUR »

20LΦ DE MARTINELLI-NELSON...............................................6-16

FIGURE 6-6 : « MULTIPLICATEUR INTEGRAL » DE MARTINELLI-NELSON.....................................6-17 FIGURE 6-7 : ABAQUE DE TAUX DE VIDE (MODELE DE MARTINELLI-NELSON) ..........................6-18 FIGURE 6-8 : COEFFICIENT MULTIPLICATEUR 2r (CORRELATION DE THOM) .............................6-20

FIGURE 6-9 : COEFFICIENT MULTIPLICATEUR 3r (CORRELATION DE THOM) .............................6-21

FIGURE 6-10 : COEFFICIENT MULTIPLICATEUR 4r (CORRELATION DE THOM) ...........................6-22

FIGURE 6-11 : COEFFICIENT MULTIPLICATEUR 2

0LΦ (CORRELATION DE BAROCZY) ...............6-23 FIGURE 6-12 : FACTEUR CORRECTIF (CORRELATION DE BAROCZY) .............................................6-24 FIGURE 6-13 : CARACTERISTIQUE INTERNE D’UN CANAL CHAUFFE UNIFORMEMENT (MODELE HOMOGENE) .................................................................................................................................................6-31 TABLES DU CHAPITRE VI TABLEAU 6-1 : VALEURS DU PARAMETRE DE MARTINELLI (APPROXIMATION DE CHISHOLM)6-15

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