5 PHYSIQUE DES TRANSFERTS DE CHALEUR ET DE...

ECOULEMENTS ET TRANSFERTS DANS LES MILIEUX POLYPHASIQUES

5-2

5 PHYSIQUE DES TRANSFERTS DE CHALEUR ET DE MASSE EN THERMOHYDRAULIQUE DIPHASIQUE

ECOLE CENTRALE MARSEILLE

5-3


5-4

5.1 INTRODUCTION

On a développé au chapitre 4 la forme des équations de bilan de la thermo-hydraulique diphasique dans le cas monodimensionnel (modèle 1D) et dans le cas d’une enceinte (modèle point ou 0D). Ces équations font apparaître des termes de transfert d’énergie qu’il convient de modéliser pour pouvoir déterminer le champ thermique. La Figure 5.1 montre les différents termes de transferts de chaleur entre, d’une part, les parois et les deux phases et, d’autre part, les transferts de chaleur entre les deux phases à l’interface. On introduit parfois, comme indiqué sur la figure, un terme de transfert direct

entre les parois et l’interface (Psq ) pour modéliser les phénomènes de transferts de masse

(ébullition, condensation). Une autre façon de procéder est de gérer les transferts de masse directement par l’interface.

Par

oi

Phase liquide

Phase gazeuse

PGq

PLq

Psq

Gsq

Lsq

Par

oi

Phase liquide

Phase gazeuse

PGq

PLq

Psq

Gsq

Lsq

Figure 5-1 : Schématisation des différents termes de transfert de chaleur Dans le cas le plus général, les deux phases liquide et gaz peuvent être discontinues dans le volume de contrôle considéré. Par exemple, la phase liquide peut se présenter simultanément sous la forme d’un film liquide en paroi et de gouttelettes entraînées en sein du gaz, avec des vitesses différentes. On parle de « champs » et de modélisation « multi-


5-5

champs ». La formulation générale des équations de bilan (cf. chapitre 4) prend en compte ces différentes situations. On traite les phases chacune comme une phase moyenne liquide et gaz occupant une certaine fraction du volume de contrôle. Les différents régimes des changements d'état liquide/vapeur à leur interface sont fonction de la valeur de la température du liquide par rapport aux températures de saturation correspondant à la pression P ou la pression partielle de vapeur VP .

TL = Tsat(PV) TL = Tsat(P) TL

condensation évaporation ébullition

TL = Tsat(PV) TL = Tsat(P) TL

condensation évaporation ébullition

Si la transition de la phase liquide à la phase gazeuse se fait au-dessous du point d'ébullition, on parle d'évaporation. L'évaporation ne peut avoir lieu que lorsque l'on est en présence d'un mélange de gaz (l’évaporation nécessite un gradient de concentration de la vapeur dans le mélange gazeux). Lorsque la vapeur du liquide est le seul gaz, on n'a pas d'évaporation mais une ébullition (on peut également avoir une ébullition en présence d'un mélange de gaz). Dans le cas d’une vapeur pure, les deux points sont confondus, seuls les mécanismes d’ébullition et de condensation peuvent se produire. Les échanges entre la paroi et le liquide ou la vapeur sont conditionnés par la valeur de la température de paroi par rapport aux températures de saturation correspondant à la pression P ou la pression partielle de vapeur VP .

Dans le cas d’une paroi au contact du liquide :

TP = Tsat(P) TP

convection ébullition en paroi

TP = Tsat(P) TP

convection ébullition en paroi

Dans le cas d’une paroi au contact de la vapeur :

TP = Tsat(PV) TP

condensation en paroi convection

TP = Tsat(PV) TP

condensation en paroi convection


5-6

5.2 PARAMÈTRES ADIMENSIONNELS EN ÉBULLITION ET CONDENSATION

On peut de manière simple faire apparaître les paramètres adimensionnels pertinents pour l’analyse des processus d’ébullition et de condensation en utilisant le théorème pi de Buckhingam. Les coefficients d’échange dépendent a priori de la différence entre les

températures de paroi et de saturation, P satT T T∆ = − , de la poussée d’Archimède

résultant des différences de densité liquide-vapeur, soit ( )L Vg ρ ρ− , de la chaleur latente

VL , de la tension superficielle σ , d’une longueur caractéristique L , et des propriétés

thermophysiques du liquide et de la vapeur , , ,pcρ λ µ . On a donc, pour le coefficient

d’échange h , une relation de la forme :

( ), , , , , , , ,L V V ph h T g L L cρ ρ σ ρ λ µ = ∆ −

Il y a 10 variables faisant intervenir 5 dimensions ( , , , ,m kg s J K ). Il y a donc (10-5) = 5 groupes-pi reliés par une relation :

( ) ( )3 2

2, , ,p pL V L V

V

c T cg L g LhLf

L

µρ ρ ρ ρ ρλ µ λ σ

∆− −=

Ou encore, en définissant les nombres adimensionnels :

5-1 ( ) 3

2, ,Pr,L Vg L

Nu f Ja Boρ ρ ρ

µ −

=

En plus des nombres de Nusselt Nu et de Prandtl Pr , de nouveaux paramètres adimensionnels sont mis en évidence : le nombre de Jakob Ja , le nombre de Bond Bo , et un troisième paramètre s’apparentant à un nombre de Grashof. Ce dernier paramètre représente les effets gravitaires (buoyancy) sur le transfert de chaleur. Le rôle de ces différents paramètres sera détaillé dans les sections suivantes.


5-7

5.3 TRANSFERT DE CHALEUR PAR ÉBULLITION EN VASE

5.3.1 INTRODUCTION

L'ébullition en vase, quoique d'application relativement limitée, présente l'avantage d’introduire une description simple des mécanismes d'ébullition. L'ébullition est une transition liquide-vapeur s'accompagnant de formation de bulles de gaz (composées d'air et de vapeur d'eau). Considérons un élément chauffant (ou une paroi chauffante) plongé dans le liquide porté à

une température supérieure à la température d'ébullition ( ( )P e satT T T p≥ = ). On note eT∆

la différence entre les températures de paroi et de saturation eT∆ . L'eau liquide est

supposée pure et désaérée (pas de formation de bulles dans la masse liquide). L’objectif est de décrire de manière qualitative et quantitative la relation liant la densité de

flux Pq à la différence de température entre la paroi (élément chauffant) et l'eau liquide,

eT∆ . La pression de l'eau variant très peu, on peut supposer que la température d'ébullition

est constante ( ( ) tee satT T p c= = ).

5.3.2 LES REGIMES D'EBULLITION

La Figure 5.2 représente le flux échangé entre la paroi chauffante et le liquide en fonction de l'écart de température entre ces deux milieux (courbe de Nukiyama). Nukiyama fut le premier à identifier les différents régimes d’ébullition en vase, dans un dispositif à puissance contrôlée : la température du fil chauffant PT (ou encore la surchauffe eT∆ ) est

la variable dépendante et la puissance électrique (représentant le flux de chaleur Pq ) est la

variable indépendante. On voit apparaître 5 régimes distincts de transfert de chaleur par ébullition.


5-8

Figure 5-2 : Régimes d’ébullition pour une plaque à température imposée (courbe de Nukiyama)

• Régime ab Nukiyama observa que l’ébullition, détectée par la présence de bulles, ne démarrait pas tant que 5eT C∆ ≈ ° (à la pression atmosphérique). Il faut donc une certaine surchauffe

pour que l'ébullition se mette en oeuvre, c'est à dire pour amorcer des germes. Tant qu’il n’y a pas de bulles, l'échange se fait par convection naturelle uniquement et le coefficient d’échange peut être calculé avec des corrélations classiques correspondant à ce régime.

• Régime be : ébullition nucléée à bulles séparées Le régime be correspond à un régime d'ébullition nucléée à bulles séparées. Pendant cette phase de l'ébullition, les bulles (composées de vapeur et d'air) montent en colonnes à partir de points isolés de la paroi que l'on appelle des sites. Si l'écart de température augmente, les bulles sont de plus en plus nombreuses. On peut de façon empirique relier le nombre de site par m2, N , au flux échangé selon

21.210 PN q p= (où p est la pression totale exprimée en bars). Dans ce régime, l'échange

thermique est de la forme nPq h T= ∆ , avec n une constante comprise entre 3 et 4 pour

l'eau à la pression atmosphérique.


5-9

Le coefficient h du régime d'ébullition nucléée à bulles séparées dépend de la nature du liquide, de la pression, de la géométrie et de la nature et de l'état de l'élément chauffant. La puissance échangée entre la paroi et le liquide est nettement plus importante que celle du régime précédent pour lequel l'échange est de type convectif.

• Régime ef : ébullition nucléée avec colonnes continues Le régime ef est appelé régime d'ébullition nucléée avec colonnes continues. Le flux évacué croît très lentement du fait de la présence de bulles de plus en plus nombreuses à la surface de l'élément chauffant. Ces bulles forment une couche de gaz qui isole le liquide de la paroi chauffante. Du point de vue industriel, la zone ef, régime pour lequel les échanges sont très efficaces, présente le plus d'intérêt. Au point f, il existe une couche de vapeur continue qui isole complètement le liquide de la paroi. Or le gaz, composé de vapeur et d'air, est très faiblement conducteur ce qui se traduit par une difficulté à évacuer la chaleur. Au-delà du point f, on distingue deux cas : 1) Le flux est imposé entre la paroi chauffante et le liquide (expérience de Nukiyama) Pour évacuer le flux thermique imposé, la température de la paroi va augmenter considérablement, les échanges sont régis par le rayonnement et la convection vapeur. On passe donc directement au point g. Le point f est appelé crise d’ébullition (flux critique), il correspond à la limite de fonctionnement des dispositifs mettant en œuvre l’ébullition. 2) la température de la paroi chauffante est imposée Si le point de fusion de l'élément chauffant est suffisamment élevé pour supporter de hautes températures, le régime fg est décrit par la courbe en pointillé qui traduit le fait que le flux échangé diminue fortement (à cause de la pellicule de gaz) à mesure que la température de l'élément chauffant augmente et passe par un minimum. Le régime fg à température imposée peut également être fluctuant du fait de la mouillabilité de l'élément chauffant. En effet, il peut, même dans ce régime, y avoir localement de l'eau au contact de la paroi qui s'évapore instantanément en évacuant un flux important. En résumé le régime fg est une zone instable qui ne peut se décrire qu'à température imposée en la faisant varier.

• Régime gh : ébullition en film Si l'élément chauffant est à haut point de fusion, pour pouvoir dépasser le stade du point g, le transfert de chaleur se fait uniquement par rayonnement et convection vapeur. A cause de la pellicule de gaz qui isole la paroi chauffante, cette zone est dite à vaporisation pelliculaire.


5-10

5.3.3 LA NUCLEATION

L'ébullition n'est possible que par la présence initiale d'air dans l'eau liquide. Cet air est sous forme de micro-bulles que l'on appelle des germes de nucléation. Ces germes de nucléation peuvent être présents soit à la paroi d'un élément chauffant (dans ce cas, l'ébullition a lieu à la paroi), ou bien dans l'eau (ce qui donnera une ébullition en masse).

5.3.4 CORRELATIONS DE TRANSFERT DE CHALEUR EN EBULLITION EN VASE

De nombreuses corrélations ont été développées. Pour la région précédant l’apparition de l’ébullition (région ab), les corrélations appropriées de convection naturelle peuvent être utilisées pour évaluer le coefficient de transfert de chaleur. On donne dans cette section des corrélations largement utilisées pour les régimes d’ébullition nucléée et d’ébullition en film. L’analyse de l’ébullition nucléée passe par la prédiction du nombre de sites de nucléation et du taux de génération de bulles sur chaque site. Même si ces mécanismes ont fait l’objet de nombreuses études, des modèles complets et fiables restent à établir. Yamagata et al furent les premiers à mettre en évidence l’influence des sites de nucléation sur le transfert de chaleur via la relation :

a b

P eq C T N= ∆

Où N est la densité de sites (nombre de sites actifs par unité de surface) et les exposants valent approximativement 1,2a = et 1 3b = . Bien que C et N varient de manière significative d’une combinaison fluide-surface à une autre, il a été trouvé que, pour la

majorité des surfaces « commerciales », N varie selon 5eN T∞∆ ou 6

eN T∞∆ . Il en résulte

que Pq est à peu près proportionnel à 3eT∆ .

La corrélation la plus employée pour l’ébullition nucléée est celle proposée par Rohsenow :

5-2 ( ) 31 2

PrpL eL V

P L V nsf V L

c Tgq L

C L

ρ ρµ

σ ∆−

=


5-11

Les indices L et V se rapportent au liquide et à la vapeur à saturation. Le coefficient sfC et

l’exposant n dépendent de la combinaison surface-liquide, des valeurs représentatives sont 0,013sfC = et 1n = pour les combinaisons inox/eau et cuivre/eau.

Pour le flux critique, Kutateladze (analyse dimensionnelle) et Zuber (analyse de stabilité hydrodynamique) ont obtenu une expression de la forme :

5-3 1 4 1 2

max 2

( )

24L V L V

V VV V

gq L

σ ρ ρ ρ ρπ ρρ ρ

− −=

Cette expression est, en première approximation, indépendante du matériau de surface et dépend seulement faiblement de la géométrie. En remplaçant la constante de Zuber

( 0,13124

π = ) par une valeur expérimentale de 0,149 et en approximant le dernier terme

par l’unité, la relation devient :

5-4 1 4

max 2

( )0,149 L V

V VV

gq L

σ ρ ρρρ

−=

Il est important de noter que le flux critique dépend fortement de la pression, à travers la tension superficielle et de la chaleur latente.

5.4 TRANSFERTS DE CHALEUR PAR ÉBULLITION DANS UNE CONDUITE CHAUFFÉE

5.4.1 DIFFERENTS MODES DE TRANSFERTS DE CHALEUR

La Figure 5.3 montre l'évolution du flux de chaleur échangé entre une paroi chauffante et un fluide à son contact en fonction du niveau de température auquel est maintenu cette paroi. La variation du flux avec la température de paroi n'est pas monotone et on notera en particulier la décroissance du flux dans la zone de transition qui suit le point dit de crise d'ébullition.


5-12

Ecoulement simple-phase vapeurEcoulement à gouttelettes

Ecoulement à bouchons

Ecoulement à bulles

Ecoulement simple-phase liquide

Convection simple-phase vapeur

Region déficiente en liquide

Convection forcée à travers un film liquide

Ebullition nucléée saturée

Ebullition nucléée sous-saturée

Convection simple-phase liquide

Ecoulement annulaire

Régimes d'écoulem ent

Mécanism es d'échange

Figure 5-3 : Régimes d’ébullition dans une conduite chauffante

Pour un fluide en écoulement dans une conduite dont la paroi est soumise à un flux thermique imposé, on observe des régimes de transfert de chaleur analogues.

5.4.2 TRANSFERT DE CHALEUR AVANT EBULLITION

Dans la zone où l'écoulement est en simple phase liquide, l'échange de chaleur entre paroi et fluide se fait par convection et l'écart de température correspondant peut être calculé en utilisant des corrélations de la forme :

( )LLLL Pr,ReNuNu =

Où LNu , LRe et LPr désignent respectivement les nombres de Nusselt, de Reynolds et de Prandtl de l'écoulement liquide, à savoir :


5-13

5-5

L HL

L

h DNu

λ=

Re L L H HL

L L

u D GDρµ µ

= =

Pr L pLL

L

cµλ

=

Lh représente le coefficient d'échange par convection entre l'écoulement liquide et la

paroi. On peut par exemple utiliser la corrélation de Dittus-Boelter :

5-6 0,8 0,40,023Re PrL L LNu =

L'écart de température entre la paroi et le liquide est alors donné par :

P P HP L

L L L

q q DT T

h Nuλ− = =

où pq désigne le flux de chaleur échangé entre la paroi et l'écoulement.

5.4.3 TRANSFERT DE CHALEUR PAR EBULLITION

5.4.3.1 APPARITION DE L’EBULLITION Les relations précédentes (section 5.4.2) représentent la situation physique tant que la température de paroi est inférieure à la température de saturation.

5.4.3.2 EBULLITION SOUS-SATUREE A partir du moment où la température de paroi dépasse la température de saturation, va apparaître un second mécanisme de transfert de chaleur qui devient rapidement prépondérant, le transfert de chaleur par ébullition. Une transformation de liquide en vapeur se produit sur les imperfections géométriques de la paroi (appelées sites de nucléation) qui jouent un rôle d'amorçage. A ce nouveau phénomène correspond un flux de chaleur supplémentaire de sorte que le flux d'échange total s'écrit :

5-7 P L eq q q= +


5-14

Le terme "Lq représente le flux de chauffe direct du liquide correspondant au mécanisme

de convection ; on pourra l'écrire comme précédemment sous la forme :

( )*L L P Lq h T T= −

en prenant pour *Lh soit la valeur Lh du coefficient d'échange obtenue en considérant

l'écoulement comme tout liquide, soit en corrigeant cette valeur pour tenir compte de l'augmentation de vitesse due à la production de vapeur :

5-8

0,8

* 1L LV

h h Xρ

ρ ∆= +

Quant au flux d'ébullition "eq , l'expérience montre qu'il croît avec satP TT − beaucoup plus

vite que linéairement et qu'en première analyse il est indépendant du débit. Parmi de nombreuses expressions empiriques de la littérature, on retiendra la corrélation de Jens et Lottes :

5-9 0,250,79exp

6,2P sat e

pT T q

= + −

Avec les unités suivantes :

PT , satT en °C, p en MPa et eq en W/m2

On remarque que l'écart de température correspondant à un flux donné est faible. Il est d'autant plus faible que la pression est élevée à tel point qu'alors on ne fait pas d'erreur importante en supposant que la température de la paroi chauffante est bloquée par l'ébullition à la température de saturation. Notons que l'apparition de vapeur avant la cote d'ébullition franche (se reporter au chapitre 4), dans la zone dite d'ébullition locale, n'est pas en contradiction avec l'hypothèse du modèle équilibré thermiquement. Du fait de la grande intensité supposée de l'échange thermique entre phases, la vapeur produite en paroi aux cotes inférieures à la cote d'ébullition franche ( Lzz < ), se recondense immédiatement par contact avec le liquide froid et la qualité reste nulle jusqu'à la cote d'ébullition franche.

5.4.3.3 EBULLITION SATUREE On parle d’ébullition saturée lorque la température de liquide atteint la température de saturation. Ce régime comprend à la fois l’ébullition nucléée sous-saturée (configuration à bulles) et la convection forcée à travers un film liquide (configuration annulaire : film liquide tapissant la paroi et la région centrale étant constituée de gouttelettes entraînées par la vapeur).


5-15

Le flux d'échange peut être représenté sous la forme :

5-10 ( ) ( )n

L P sat L p satq k T T h Y T T= − + −

Dans l'expression précédente, Lh est le coefficient d'échange paroi-liquide évalué avec un

débit de liquide égal au débit total et Y un facteur multiplicatif rendant compte en particulier de l'augmentation de vitesse :

5-11 0,8

1V

Y Xρ

ρ ∆= +

Notons qu'à fort flux de chauffe, le mécanisme d'évaporation peut ne pas exister étant donné que la paroi peut être asséchée avant que ne se forme l'écoulement annulaire (phénomène de caléfaction, voir section 5.4.4).

5.4.4 CRISE D'EBULLITION

Tant qu'il y a du liquide à la paroi, la température de cette dernière reste voisine de la température de saturation. Par contre, si la paroi n'est plus mouillée par du liquide, alors il y a une forte dégradation de l'échange thermique entre paroi et écoulement entraînant une élévation importante de la température de paroi (crise d'ébullition). On distingue deux mécanismes conduisant à l'assèchement de la paroi :

La caléfaction

En ébullition locale ou en ébullition franche (titre négatif ou faiblement positif), coalescence des bulles au voisinage de la paroi conduisant à la formation d'un film vapeur continu (écoulement annulaire inverse).

L'assèchement de film

A fort titre, évaporation du film liquide jusqu'à sa disparition totale (écoulement annulaire). On remarque ainsi que l'assèchement peut se produire bien avant que tout le liquide dans l'écoulement se soit vaporisé, c'est-à-dire avant que la qualité soit égale à 1. Du fait de son importance, le phénomène est analysé expérimentalement chaque fois qu'on met en oeuvre un nouveau dispositif chauffant. La crise d'ébullition est en effet fortement dépendante de la configuration en même temps que des caractéristiques locales de l'écoulement. Les résultats sont donnés sous forme analytique par des expressions souvent fort compliquées (corrélation W3 utilisée pour les réacteurs nucléaires refroidis à l’eau) ou


5-16

présentés sous forme de banques de données. Ils revêtent souvent un caractère confidentiel, au moins dans le cas des réacteurs à eau. Le fait essentiel est le suivant : dans des conditions données de pression et de débit, il y a

crise d'ébullition si le flux de chauffe est supérieur à une valeur cq (appelée flux critique).

D’une manière générale, on exprime le flux critique sous la forme :

5-12 ( )*, ,cq f p G X=

Le flux critique est une fonction décroissante du titre thermodynamique. On retiendra pour sa simplicité la corrélation de Zuber-Griffith, ainsi que la corrélation de Biasi qui vaut pour l'eau dans une conduite circulaire de diamètre D .

5.4.5 TRANSFERT DE CHALEUR EN AVAL DE LA CRISE D’EBULLITION

Au-delà du point d'assèchement, le transfert de chaleur paroi-fluide se fait par le mécanisme classique de convection par la vapeur séparant la paroi du coeur de l'écoulement. On va donc avoir un coefficient d'échange du type Dittus-Boelter évalué avec les caractéristiques (propriétés physiques et vitesse) de la vapeur. Si l'on note Vh le coefficient d'échange paroi-fluide quand la vapeur circule seule avec le

débit total, le coefficient d'échange effectif *Vh s'exprime en tenant compte de la vitesse

locale :

5-13

0,8

* VV V

L

Xh h

ρ ρρ

+ ∆=

avec Vh déduit de :

5-14 0,8 0,40,023Re PrV V VNu =

sachant que :

5-15

V HV

V

h DNu

λ=

V

HV

GDRe

µ=

V

pVVV

CPr

λµ

=


5-17

Dans la dernière zone de la conduite enfin, quand tout le fluide est en simple phase vapeur, on retrouve l'expression classique pour la convection simple phase vapeur, d'où :

( )V P Vq h T T= −

Soit :

P VV

qT T

h− =

5.5 TRANSFERTS DE CHALEUR PAR CONDENSATION

5.5.1 INTRODUCTION : MECANISMES PHYSIQUES

Par définition, la condensation désigne la transformation par changement d'état d'une vapeur saturée en liquide au contact d'un milieu plus froid (généralement une paroi). La condensation se produit lorsque la température d’une vapeur devient inférieure à sa

température de saturation ( ( )V satp p T< ). Dans l’industrie, le processus résulte en

général de la mise en contact d’une vapeur avec une surface froide. La chaleur latente de la vapeur est libérée, la chaleur est transmise à la surface de la paroi, un condensat se forme. D’autres modes sont la condensation homogène se manifestant par la condensation de la vapeur sous la forme de gouttelettes dans la phase gazeuse formant ainsi un brouillard. Un autre mécanisme est la condensation directe se produisant lorsque qu’une vapeur est mise en contact avec un liquide froid. Seule la condensation en surface sera décrite plus en détail dans ce chapitre. La condensation en surface peut se produire selon deux modes, selon l’état de surface. La forme la plus courante consiste en la formation d’un film liquide couvrant la totalité de la surface (film condensation) et s’écoulant de manière gravitaire le long de cette surface. Si la surface est revêtue d’une substance inhibant le mouillage, alors le condensat peut se présenter sous la forme d’une multitude de gouttelettes (dropwise condensation). Que ce soit en film ou en gouttes, le condensat induit une résistance thermique au transfert de chaleur entre la vapeur et la surface. Les coefficients d’échange de chaleur sont beaucoup plus élevés en condensation en gouttes qu’en condensation en film, mais la


5-18

condensation en gouttes nécessite des parois hydrophobes et est plus difficile à obtenir dans des équipements industriels (oxydation, fouling, dégradation du revêtement). Aussi et parce que les coefficients de convection pour la condensation en film sont plus faible que dans le cas de gouttes, le dimensionnement des condenseurs est souvent effectué en supposant la condensation en film. Les applications que l'on peut rencontrer sont soit de type industriel (réfrigérant, condenseur,...) soit dans le domaine de la sûreté des réacteurs (condensation dans une enceinte de confinement lors d'une dépressurisation du circuit primaire).

5.5.2 CONDENSATION EN FILM SUR UNE PAROI PLANE VERTICALE

Dans le domaine industriel, la condensation est généralement réalisée à la surface d'une paroi froide. Cette paroi peut être soit verticale, soit horizontale ou bien encore inclinée. On va établir l'expression du coefficient d'échange superficiel à la paroi entre la vapeur saturée et cette paroi qui sera ici supposée verticale. Lorsque de la vapeur se condense sur une paroi froide, la résistance thermique prépondérante est celle du film de condensat. Il est donc naturel de s’intéresser à la structure de ce film. On observe à partir du début de la condensation trois structures de film différentes :

o un film laminaire lisse, o un film laminaire avec vagues, o un film turbulent.

Les épaisseurs de film de condensat étant très faibles, les résultats obtenus pour les plaques planes seront applicables pour la condensation en film à l’extérieur ou à l’intérieur d’un tube vertical à condition que le rayon de courbure de la paroi froide soit suffisamment grand (> 1,5 mm). Les équations de bilan en condensation peuvent être établies de manière générale à partir du formalisme unitaire présenté dans le chapitre 2 (voir notamment les sections 2.2.2 et 2.3.5). On rappelle néanmoins dans ce qui suit (section 5.5.2.1) la démonstration directe des équations de la théorie de Nusselt en raison de son intérêt pédagogique.


5-19

5.5.2.1 CONDENSATION EN FILM LAMINAIRE D'UNE VAPEUR PURE SU R UNE PAROI PLANE VERTICALE : THEORIE DE NUSSELT

L'équation de Nusselt reliant le coefficient d'échange superficiel aux caractéristiques des fluides en présence (gaz et eau liquide) et aux caractéristiques de la paroi verticale peut être établie après avoir fait les hypothèses qui suivent.

Hypothèses - Le film de condensat s'écoule en régime permanent et laminaire. - En se condensant, la vapeur libère sa chaleur latente de vaporisation et le liquide formé est refroidi à une température inférieure à la température de saturation mais supérieure à celle de la paroi. - La vapeur est une vapeur pure, au repos, saturée, à la température de saturation satT

correspondant à la pression partielle de vapeur Vp (ici égale à la pression totale).

- L'épaisseur du film reste suffisamment faible pour que l'on puisse considérer que le gradient de température est constant. - L'épaisseur du film en un point n'est fonction que de la vitesse. - Les propriétés physiques du condensat sont considérées comme constantes. - La température PT de la paroi est constante sur toute la hauteur de la paroi qui est lisse.

La Figure 5.4 représente le condensat au contact de la paroi avec les profils de vitesse et de température résultant des hypothèses précédentes.


5-20

y

x

TP

Tsat(PV)

δ(x)

0y

u

y δ=

∂ =∂

y

x

TP

Tsat(PV)

δ(x)

0y

u

y δ=

∂ =∂

Figure 5-4 : Film de condensat sur une paroi verticale (notations et profils)

Démarche La théorie de Nusselt permet d’évaluer le coefficient moyen d’échange de chaleur par condensation ainsi que le débit de condensation. Les différentes étapes du calcul sont : 1. Intégration du bilan d’impulsion local dans le film sur un élément de hauteur dx, 2. Intégration des bilans de masse et d’énergie dans le film, 3. Prise en compte de la sous-saturation, 4. Calcul du coefficient d’échange moyen sur toute la hauteur de la plaque

Etape 1 : Ecriture du bilan d’impulsion dans le film

L’écriture du bilan d’impulsion sur un volume élémentaire dxdy dans le film liquide donne :

0L

pp p dx dy gdxdy dy dx

x y

τρ τ τ ∂ ∂ − + + − − + = ∂ ∂

En écrivant que le gradient de pression le long du film est le même que dans la vapeur au

repos (p p

y x

∂ ∂∂ ∂≪ ) :


5-21

V

pg

xρ∂ =

∂

On a de plus :

L

u

yτ µ ∂=

∂

D’où finalement :

( )2

2L L V

ug

yµ ρ ρ∂ = − −

∂

En intégrant deux fois, avec comme conditions aux limites :

( )0 0u y = = et 0y

u

y δ=

∂ =∂

On obtient la distribution de vitesse du liquide dans le film :

5-16 ( ) ( ) 22 1

2L V

L

g y yu y

ρ ρ δµ δ δ

− = −

On peut en déduire le débit de liquide dans le film de condensat, expression où b représente la largeur de la plaque :

5-17 ( ) ( ) ( ) 3

0 3

x L L VL

L

gbm x ubdy

δ ρ ρ ρ δρ

µ−

= =∫ɺ

Ou encore : ( ) ( ) 3

3L L V

L

m x g

b b

ρ ρ ρ δµ

−=

ɺ

Etape 2 : Intégration des bilans de masse et d’énergie dans le film

Les variations en x de δ et de mɺ peuvent être obtenues en appliquant le bilan d’énergie à une tranche d’épaisseur dx du film liquide. On écrit que, à l’interface liquide-vapeur, la

puissance thermique transférée vers le film, PdQɺ , est égale à celle produite par

condensation, sdQɺ , soit (et en négligeant la sous-saturation du liquide par rapport à la

chaleur latente) :

P s VdQ dQ L dm= =ɺ ɺ ɺ

Si l’on suppose que le transfert de chaleur dans le film se fait par conduction (en négligeant les effets de convection dans le film), alors la distribution de température dans le film est linéaire :


5-22

5-18 ( ) ( ) 1sat sat P

yT T y T T

δ − = − −

D’où :

5-19 ( )L sat Px

T Tq

λδ

−=

Soit encore :

( )L sat PP x

T TdQ q bdx bdx

λδ

−= =ɺ

D’où, en utilisant l’expression du débit de film en fonction de x , on obtient :

( )( ) 3

1L L sat P

L L V V

T Td

dx gL

λ µδρ ρ ρ δ

−=

−

Soit encore :

( )( )

3 L L sat P

L L V V

T Td dx

gL

λ µδ δ

ρ ρ ρ−

=−

L’intégration, en utilisant la condition 0δ = à 0x = , donne :

5-20

( ) ( )( )

1/ 44 L L sat P

L L V V

T T xx

gL

λ µδ

ρ ρ ρ −

= −

On peut en déduire le coefficient de transfert de chaleur local (conduction seule dans le film) :

5-21 ( )

1/43( )

4 ( )L L V V LL

L sat P

gLh x

x T T

ρ ρ ρ λλδ µ

−= = −

D’où le nombre de Nusselt local :

5-22

( ) ( ) ( )( )

1/ 43

4L L V V

L L L sat P

h x x gL xNu x

T T

ρ ρ ρλ λ µ

−= = −

Etape 3 : Prise en compte de la sous-saturation du film liquide L’analyse classique de Nusselt s’appuie sur de nombreuses hypothèses. Des variantes de cette analyse ont été développées pour lever certaines de ces hypothèses. On peut par exemple prendre en compte l’effet de sous-saturation du liquide dans le bilan d’énergie du film. On écrit que le liquide, formé à l’interface à satT , doit être refroidi à T


5-23

( p satT T T< < ) pour maintenir des conditions stationnaires. Il en résulte un terme

supplémentaire, subdQɺ , tel que :

5-23 P s subdQ dQ dQ= +ɺ ɺ ɺ

D’où, en intégrant sur l’épaisseur du film :

( ) ( )( )

0

x

sub pL sat LQ x c T T ubdyδ

ρ= −∫ɺ

On procède à l’intégration en utilisant l’expression des profils de vitesse et de température dans le film :

( ) ( ) ( ) ( )3

0

11 1

2

xL L Vsub pL sat P

L

gb y y yQ x c T T dy

δρ ρ ρ δµ δ δ δ δ

− = − − −

∫ɺ

Soit encore :

( ) ( ) ( ) ( )3

1

01 1

2L L V

sub pL sat PL

gbQ x c T T d

ρ ρ ρ δ ςς ς ςµ

− = − − −

∫ɺ

On en déduit :

5-24 ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3

3 8 8L L V

sub pL sat P pL sat PL

gbQ x c T T mc T T

ρ ρ ρ δµ

−= − = −ɺ ɺ

On en déduit :

( ) ( ) *3

8L sat P

V pL sat P V

T T dm dmL c T T L

dx dx

λδ

− = + − =

ɺ ɺ

En posant :

5-25 ( )* 3

8V V pL sat PL L c T T= + −

Il suffit donc de remplacer VL par *VL pour obtenir l’expression du coefficient de transfert

local :

5-26 ( )

1/4* 3( )

4 ( )L L V V L

L sat P

g Lh x

x T T

ρ ρ ρ λµ

−= −

D’autres analyses de la condensation en film sur une surface verticale (Koh, Rohsenow) ont été développées. L’analyse de Rohsenow indique que l’effet de sous-saturation du liquide et de la convection peut être pris en compte en remplaçant dans les équations

précédentes VL par *VL , selon :

5-27 ( )* 0,68V V pL sat PL L c T T= + −


5-24

Etape 4

La valeur moyenne du coefficient d'échange sur une hauteur H est donc :

5-28 1/ 4* 3

1/ 4

0 0

1/ 4* 33/4

( )1 1.

4 ( )

( )1 4

3 4 ( )

H LL L V V L

H xL sat P

L L V V L

L sat P

g Lh h dx x dx

H L T T

g LH

H T T

ρ ρ ρ λµ

ρ ρ ρ λµ

− −= = −

−= −

∫ ∫

Ce qui nous amène à la relation de Nusselt :

5-29 1/ 4* 3( )4

3 4 ( )L L V V L

HL sat P

g Lh

H T T

ρ ρ ρ λµ

−= −

Ou encore, sous forme adimensionnelle :

5-30 1/ 4* 3( )4

3 4 ( )L L V VH

HL L L sat P

gL Hh HNu

T T

ρ ρ ρλ µ λ

−= = −

On peut faire les remarques suivantes :

1) On a 4

( )3Hh h x H= =

2) Hh diminue lorsque la hauteur H de la paroi augmente par suite de l'épaississement du

film de condensat. Par conséquent, tout dispositif (aspérités, ailettes,...) susceptible de rompre ce film améliore les échanges entre le gaz et la paroi par l'intermédiaire du coefficient d'échange.

3) Hh augmente lorsque ( )sat PT T− diminue. Par conséquent un condenseur est un bon

échangeur à faible écart de température. 4) Les coefficients réels sont en général de 15 à 20 fois supérieurs à ceux donnés par l'équation de Nusselt. Ceci est dû à la formation de rides à la surface du condensat, ce qui accroît l'aire d'échange entre le gaz (la vapeur) et le condensat. 5) Si la surface n'est pas verticale (angle θ avec l'horizontale), la relation de Nusselt est toujours valable en prenant sing θ pour la pesanteur.

5.5.2.2 CONDENSATION EN FILM EN REGIME TURBULENT La transition vers le régime turbulent peut s’exprimer en fonction d’un nombre de Reynolds (de film) défini par :


5-25

5-31 44Re L m

L L

um

bδρ δ

µ µ= =ɺ

On rappelle que mu désigne la vitesse moyenne dans le film, δ l’épaisseur du film, prise

comme longueur caractéristique. Pour Re 30δ < environ, le film est laminaire. Avec l’augmentation de Reδ , des rides ou

des vagues apparaissent à la surface du film et, pour Re 1800δ ≈ , le film est pleinement

turbulent. Dans la région laminaire (Re 30δ < ), on obtient en remplaçant :

5-32 ( ) 3

2

4Re

3L L V

L

gδ

ρ ρ ρ δµ

−=

En supposant V Lρ ρ≪ , on fait apparaître un nombre de Nusselt modifié selon :

5-33 ( )1/32 4 31/3 1/34

Re 1,47 Re3

L L

L

h gδ δ

νλ

− − = =

pour Re 30δ <

Dans la région laminaire à vagues, Kutateladze recommande la corrélation suivante :

5-34 ( )1/32

1,22

Re

1,08Re 5,2L L

L

h gδ

δ

νλ

=−

pour 30 Re 1800δ< <

Et pour le régime turbulent :

5-35 ( )( )

1/32

0,5 0,75

Re

8750 58Pr Re 253

L L

L

h gδ

δ

νλ −

=+ −

pour Re 1800δ >

L’ensemble de ces résultats est représenté sur la Figure 5.5.


5-26

Modified Nusselt number for condensation on a verti cal plate

0,1

1,0

10 100 1 000 10 000 100 000

Nud laminaire

Nud laminaire à vagues

Nud turbulent, Pr=1

Nud turbulent, Pr=2

Nud turbulent, Pr=5

Nud turbulent, Pr=10

Figure 5-5 : Nombre de Nusselt modifié pour la condensation sur une plaque verticale

5.5.2.3 EFFET DE LA PRESENCE D’UN GAZ INCONDENSABLE La condensation sur une paroi peut être sensiblement modifiée par la présence d'un gaz incondensable. On rappelle que la relation de Nusselt n'est valable que pour une vapeur saturée pure. La présence des gaz incondensables peut limiter plus ou moins les échanges entre la vapeur et la paroi. Le coefficient d'échange peut être considérablement diminué en présence de gaz incondensable par rapport à celui obtenu avec une vapeur pure. Ce phénomène peut s'expliquer par le fait que le gaz incondensable est entraîné vers la paroi par le mouvement de la vapeur et s'y accumule, offrant ainsi un obstacle au transfert de chaleur.


5-27

Par ailleurs, la pression partielle de vapeur diminue au voisinage du film (donc la température de saturation prise à la pression partielle de vapeur diminue aussi) puisque la pression des incondensables augmente afin de conserver une pression totale constante.

5.5.3 CONDENSATION EN FILM DANS UN TUBE

5.5.3.1 CONDENSATION EN FILM SUR UN TUBE HORIZONTAL L’analyse de Nusselt peut être étendue au cas de la condensation en film sur la surface externe d’une sphère ou d’un tube horizontal de diamètre D , avec le coefficient convectif moyen s’exprimant sous la forme :

5-36 ( )( )

1/ 43 *L L V L V

DL sat P

g Lh C

T T D

ρ ρ ρ λµ

−= −

avec 0,729C = .

La même relation s’applique pour une sphère de diamètre D en prenant 0,826C = .

Pour une grappe verticale de tubes horizontaux (tubeN tubes), le coefficient d’échange

moyen (sur les tubeN tubes) est donné par :

5-37 ( )( )

1/ 43 *

, 0,729 L L V L VD N

tube L sat P

g Lh

N T T D

ρ ρ ρ λµ

−= −

Soit 1 4,D N D tubeh h N −= où est le coefficient d’échange correspondant au premier tube (le plus

haut). Une telle configuration est souvent utilisée dans les condenseurs.

5.5.3.2 CONDENSATION EN FILM DANS UN TUBE HORIZONTAL Les condenseurs utilisés pour les systèmes de réfrigération et de conditionnement d’air mettent généralement en œuvre la condensation de vapeur à l’intérieur de tubes horizontaux ou verticaux. Les conditions dans le tube sont complexes et dépendent fortement de la vitesse de la vapeur circulant dans le tube. Le débit de condensat s’écoule d’abord du haut vers le bas du tube, puis dans la direction axiale avec la vapeur. Pour des vitesses de vapeur telles que :

,,Re 35000V m V

V iV i

u Dρµ

= <


5-28

Où i indique l’entrée du tube, Chato recommande une expression de la forme :

5-38 ( )( )

1/ 43 *

0,555 L L V L VD

L sat P

g Lh

N T T D

ρ ρ ρ λµ

−= −

Où, dans ce cas, la chaleur latente modifiée est :

5-39 ( )* 3

8V V pL sat PL L c T T= + −

Pour des vitesses de vapeur plus élevées, l’écoulement diphasique devient annulaire. La vapeur occupe le centre de l’écoulement, diminuant en diamètre à mesure que l’épaisseur de la couche de condensat augmente dans la direction de l’écoulement. Des résultats pour ces conditions sont fournis par Rohsenow [xx].

5.5.4 CONDENSATION EN GOUTTES

L'effet principal de la condensation en gouttes est une augmentation du coefficient d'échange superficiel puisque la résistance thermique due au film liquide (film de condensat) est ainsi détruite. Pour obtenir une condensation sous forme de gouttelettes, il faut faire intervenir un agent promoteur ayant d'une part une affinité avec la paroi, et d'autre part un effet répulsif (hydrophobe) envers l'eau pour empêcher la condensation en film. Ainsi la condensation se fera sous forme de gouttes ne recouvrant que 90% de la paroi et laissant par voie de conséquence 10% de paroi libre facilitant les échanges gaz-paroi. Cette fraction de 10% de paroi libre peut augmenter d'un facteur 10 à 80 le coefficient d'échange établi par la relation de Nusselt. Cette relation sous-estime le coefficient d’échange de manière significative de sorte que les coefficients d’échange par condensation en gouttes sont d’un ordre de grandeur supérieur à ceux obtnues pour la condensation en film. Parmi les nombreuses combinaisons surface-fluide étudiées, la plupart des données se rapportent à la condensation de vapeur d’eau sur des surfaces en cuivre bien promotrices et peuvent être corrélées par :

5-40 51,104 2044dc sath T= + pour 22 100satC T C° < < °

255,510dch = pour 100satT C> °

Relations où le coefficient d’échange est exprimé en unité SI ( 2/ .W m K ). L’effet de sous-saturation est faible, il peut être négligé.


5-29

L’influence de gaz incondensables dans la vapeur d’eau peut être très significatif.

5.6 TRANSFERTS DE CHALEUR PAR ÉVAPORATION

5.6.1 INTRODUCTION

Les condenseurs utilisés pour les systèmes de réfrigération et de conditionnement d’air mettent généralement en œuvre la condensation de vapeur à l’intérieur de tubes horizontaux ou verticaux. Les conditions dans le tube sont complexes et dépendent fortement de la vitesse de la vapeur circulant dans le tube. Si cette vitesse est faible, la condensation se produit comme indiqué sur la Figure. L'évaporation est aussi un changement d'état liquide-vapeur, mais contrairement à l'ébullition, pour laquelle ce changement s'effectue en masse ou bien au contact d'une paroi solide chauffante, l'évaporation se produit directement à l'interface liquide/gaz. Lorsque la pression partielle de la vapeur est inférieure à la pression de vapeur saturante et que celle-ci est elle-même inférieure à la pression ambiante, une partie des molécules passent de la phase liquide à la phase gazeuse : c'est l'évaporation. L'évaporation ne peut avoir lieu que lorsque l'on est en présence d'un mélange de gaz. Lorsque la vapeur du liquide est le seul gaz, on n'a pas d'évaporation mais une ébullition (on peut également avoir une ébullition en présence d'un mélange de gaz). L'évaporation est un phénomène important indispensable dans le cycle de la vie. Le cycle bien connu de l'eau (eau liquide devient nuage, puis retombe en pluie ou neige) nécessite cette étape. L'évaporation demande une quantité d'énergie en général non négligeable (la chaleur latente de vaporisation), ce qui permet par exemple la régulation de température chez les homéothermes par transpiration et évaporation de la sueur, ou de l'air par nébulisation (aérosols d'eau). L’évaporation doit être reliée au transfert de masse par diffusion. D’une manière plus générale, s’il y a une différence de concentration d’espèces chimiques dans un mélange, alors un transfert de masse se produit, même dans des conditions isothermes (analogie avec le transfert de chaleur dans un gradient de température).


5-30

5.6.2 RAPPELS SUR LA DIFFUSION

5.6.2.1 PARAMETRES DE LA COMPOSITION D’UN MELANGE Un mélange consiste en deux ou plus constituants (espèces chimiques), la composition pouvant être définie par la masse spécifique iρ (kg/m3) de chaque constituant ou sa

concentration molaire iC (kmol/m3). La masse spécifique et la concentration molaire sont

reliées à travers la masse molaire iM (kg/kmol), de sorte que :

5-41 i i iM Cρ = (kg/m3)

La masse spécifique du mélange est donnée par :

ii

ρ ρ=∑

De même, le nombre total de moles par unité de volume du mélange est :

5-42 ii

C C=∑ (kmol/m3)

La quantité de l’espèce i dans le mélange peut également être exprimée par sa fraction massique iy :

5-43 iiY

ρρ

= (sans unité)

ou sa fraction molaire ic :

5-44 ii

Cc

C=

(sans unité)

On a :

1ii

Y =∑

Et :

1ii

c =∑

Dans le cas d’un mélange de gaz parfaits, alors la masse volumique et la concentration molaire de chaque constituant sont reliés à la pression partielle du constituant par la loi des gaz parfait, soit :


5-31

5-45 ii

i

p

rTρ =

Et :

5-46 ii

pC

RT=

Où ir désigne la constante réduite du gaz parfait i ( i ir R M= ) et R la constante

universelle des gaz parfaits. En utilisant les relations 5.44 et 5.46 ainsi que la loi de Dalton sur l’additivité des pressions partielles,

ii

p p=∑

Il vient :

5-47 i ii

C pc

C p= =

5.6.2.2 LOI DE DIFFUSION DE FICK ET BILAN DE MASSE EN DIFFU SION Soit un mélange de deux espèces A et B (généralement des gaz), au repos (ou pas), à température uniforme mais présentant des gradients de densité. Le taux de transfert par diffusion de l’espèce A dans le mélange binaire A et B s’exprime par la loi de Fick :

5-48 A AB Aj D Yρ= − ∇ (kg/m2s)

Ou, en termes de fractions molaires :

5-49 A AB AJ CD c= − ∇ (kmol/m2s)

Ces expressions ont une forme analogue à la loi de Fourier pour la diffusion thermique (conduction). Aj représente le flux de masse de l’espèce A, c’est-à-dire la quantité de A

transférée par unité de temps et par unité de surface perpendiculaire à la direction de transfert.

ABD est le coefficient de diffusion moléculaire de l'espèce A dans le milieu binaire. Une

attention particulière a été portée à la détermination des coefficients de diffusion dans le cas d’un mélange binaire de deux gaz, A et B. Dans le cas de gaz parfaits, ABD peut être

calculé par la théorie cinétique des gaz :

5-50 1 3 2~ABD p T−


5-32

ABD peut également être mesuré expérimentalement. A titre d'exemple, on peut citer la

relation de Schirmer pour la vapeur d'eau, valable pour une température comprise entre 20 et 90°C.

5-51 1,815 1

2,26.10273

TD

p− =

(m2/s)

avec la température du gaz exprimée en Kelvin, la pression totale (somme des pressions partielles de chaque constituant) en bars. Il faut noter que, bien que la diffusion de masse puisse résulter d’un gradient de température, d’un gradient de pression ou d’une force extérieure, autant que d’un gradient de concentration, on suppose ici que ces effets additifs sont absents ou négligeables (« diffusion ordinaire »). Une autre condition restrictive est que les flux sont évalués dans un système de coordonnées suivant la vitesse moyenne de l’écoulement d’ensemble. Si les flux massiques ou molaires sont évalués dans un système de coordonnées fixe, alors on doit écrire :

5-52 A A An vρ′′ ≡ (kg/m2s)

Où Av est la vitesse absolue de l’espèce A.. On peut montrer simplement que :

A A An j vρ′′ = +

Où est la vitesse moyenne du mélange définie par :

A A B Bv Y v Y v= +

On en déduit :

5-53 ( )A AB A A A Bn D Y Y n nρ′′ ′′ ′′= − ∇ + +

De la même manière, en fonction des grandeurs molaires, on a :

5-54 ( )A AB A A A BN CD c c N N′′ ′′ ′′= − ∇ + +

5.6.2.3 CAS PARTICULIER D’UN MELANGE DE GAZ PARFAITS Par analogie avec la loi de Fick, on peut écrire la relation de flux de masse en fonction des pressions partielles des différents constituants :

5-55 PA AB Aj D pρ= − ∇

Où PABD est le coefficient de diffusion relatif aux pressions partielles.

En utilisant l’équation d’état des gaz parfait :


5-33

A A Ap r Tρ=

D’où on déduit, en rapprochant les équations 5.48 et 5.55 :

5-56 p

AB AB VD D r T=

5.6.3 EVAPORATION AU VOISINAGE D'UNE NAPPE D'EAU EN L'ABSENCE DE CONVECTION

L'évaporation est aussi un changement d'état liquide-vapeur, mais contrairement à l'ébullition, pour laquelle ce changement s'effectue en masse ou bien au contact d'une paroi solide chauffante, l'évaporation se produit directement à l'interface liquide/gaz. Le phénomène d’évaporation peut être décrit par le formalisme unitaire présenté au chapitre 2 (voir notamment la section 2.2.3). On donne dans la suite une approche plus directe du problème.

LT

( )sat Lp T

,V Hp

,V zp

z

z H=

0z =

LT

( )sat Lp T

,V Hp

,V zp

z

z H=

0z =

Figure 5-6


5-34

A l’interface liquide-gaz, la pression partielle de vapeur est égale à la pression de saturation (vapeur en équilibre avec le liquide). Il s'agit d'un transfert de masse de la phase liquide vers l'extérieur qui s'effectue en deux temps.

Premier temps Il y a un déplacement des molécules de vapeur d'eau dans la phase gazeuse dû au gradient de pression partielle. Le premier processus est donc un phénomène de diffusion moléculaire.

Deuxième temps Il y a une transformation liquide-vapeur, au niveau de la surface, pour maintenir l'équilibre entre l'eau et sa vapeur puisque cet équilibre est perturbé par le mouvement de diffusion moléculaire. Le second processus est la vaporisation. On notera que la diffusion étant accompagnée de vaporisation en surface, l'évaporation est toujours associée au transfert de chaleur nécessaire pour cette vaporisation. Pour fixer les idées, on rappelle que, pour vaporiser un kg d'eau, il faut fournir une quantité de chaleur

égale à la chaleur latente ( )VL T .

5.6.3.1 APPLICATION DE LA LOI DE FICK A L'EVAPORATION D'UN FLUIDE AU REPOS : LOI DE STEFAN

En régime permanent, en l’absence de réactions chimiques, le flux molaire de valeur doit être uniforme sur toute la hauteur de la colonne, soit :

5-57 , 0V zdN

dz

′′=

D’après la définition de la concentration molaire totale, V aC C C= + , on a 1V ac c+ = sur

toute la hauteur. Ayant supposé que ,0 ,V V Hc c> , on en déduit que , ,0a H ac c> et donc que l’air doit diffuser

du haut de la colonne vers l’interface liquide. Cependant, en supposant l’air insoluble dans le liquide, des conditions stationnaires ne peuvent être maintenues que si le la diffusion d’air vers le bas est compensée par un mouvement d’ensemble (air + vapeur) vers le haut. Cela implique que le flux absolu d’air est nul (, 0a zN ′′ = ). L’expression du flux peut être

obtenue en utilisant la condition , 0a zN ′′ = dans l’équation 5.54, ce qui donne :

5-58 , ,

VV z Va V V z

dcN CD c N

dz′′ ′′= − +

Soit encore :


5-35

5-59 , 1

Va VV z

V

CD dcN

c dz′′ = −

−

Avec p , T , C et VaD constants, en reportant 5.59 dans 5.57, on obtient finalement :

10

1V

V

dcd

dz c dz

= −

Et, en intégrant deux fois :

( ) 1 21 VLn c C z C− − = +

En appliquant les conditions aux limites ( ) ,00V Vc c= et ( ) ,V V Hc H c= , on aboutit

finalement à :

5-60 ,

,0 ,0

11

1 1

z H

V HV

V V

cc

c c

−− = − −

Et de même, puisque 1 V ac c− = :

5-61 ,

,0 ,0

1

1

z H

a Ha

a a

cc

c c

−= −

On en déduit le flux diffusif de vapeur dans la colonne :

5-62 ,,

,0

1

1V HVa

V zV

cCDN Ln

H c

−′′ = −

En utilisant les relations entre concentrations molaires et pressions partielles, on obtient finalement :

5-63 , ,,

,0

V H V HVa VaV z

V sat

p p p pD p D pN Ln Ln

H p p H p p

− − ′′ = = − −

5.6.3.2 CAS PARTICULIER : LOI DE DALTON A partir de l'équation de Stefan, on ajoute les deux hypothèses suivantes : • la pression totale est nettement supérieure à ,V Hp ,


5-36

• la pression totale est nettement supérieure à satp .

Ces deux hypothèses sont vérifiées lorsque la température de l'eau et du gaz sont inférieures à 30°C. Dans ces conditions particulières, on a :

, 1V H

sat

p p

p p

−≈

−

Par un développement limité au premier ordre de la fonction logarithme :

, , ,( )1V H V H sat V H

sat sat

p p p p p T pLn

p p p p p

− − − = − = − −

L'équation de Stefan prend alors la forme suivante, dite équation de Dalton :

( ), ,( )VaV z sat V H

DN p T p

H′′ = −

Remarques sur l'équation de Dalton

1) Lorsque le mistral souffle, la pression de saturation est très supérieure à la pression de vapeur à l'infini 0VP car le vent est peu chargé en humidité. Par conséquent le débit

d'évaporation est élevé. 2) Lorsque le vent vient de l'Est, vent chargé en humidité, la pression partielle à l'infini

0VP est de l'ordre de celle à saturation. Par conséquent, le débit d'évaporation est faible.

Remarques sur l'équation de Stefan

Même si l'équation de Stefan n'est applicable que pour l'évaporation de l'eau dans un tube, elle montre la dépendance du débit d'évaporation avec la température de l'eau : 1) Quand la température de l'eau augmente, la pression de saturation augmente aussi, donc le débit d'évaporation croît. 2) Sous vide, la pression partielle de vapeur à l'infini est faible. Par conséquent le débit d'évaporation est plus grand.

5.7 NOTATIONS


5-37

5.8 RÉFÉRENCES


5-38


5-II

TABLE DES MATIERES DU CHAPITRE V

5 PHYSIQUE DES TRANSFERTS DE CHALEUR ET DE MASSE EN THERMOHYDRAULIQUE DIPHASIQUE 5-2

5.1 INTRODUCTION 5-4

5.2 PARAMÈTRES ADIMENSIONNELS EN ÉBULLITION ET CONDENSA TION 5-6

5.3 TRANSFERT DE CHALEUR PAR ÉBULLITION EN VASE 5-7 5.3.1 Introduction 5-7 5.3.2 Les régimes d'ébullition 5-7 5.3.3 La nucléation 5-10 5.3.4 Corrélations de transfert de chaleur en ébullition en vase 5-10

5.4 TRANSFERTS DE CHALEUR PAR ÉBULLITION DANS UNE CONDU ITE CHAUFFÉE 5-11

5.4.1 Différents modes de transferts de chaleur 5-11 5.4.2 Transfert de chaleur avant ébullition 5-12 5.4.3 Transfert de chaleur par ébullition 5-13 5.4.4 Crise d'ébullition 5-15 5.4.5 Transfert de chaleur en aval de la crise d’ébullition 5-16

5.5 TRANSFERTS DE CHALEUR PAR CONDENSATION 5-17 5.5.1 Introduction : mécanismes physiques 5-17 5.5.2 Condensation en film sur une paroi plane verticale 5-18 5.5.3 Condensation en film dans un tube 5-27 5.5.4 Condensation en gouttes 5-28

5.6 TRANSFERTS DE CHALEUR PAR ÉVAPORATION 5-29 5.6.1 Introduction 5-29 5.6.2 Rappels sur la diffusion 5-30 5.6.3 Evaporation au voisinage d'une nappe d'eau en l'absence de convection 5-33

5.7 NOTATIONS 5-36

5.8 RÉFÉRENCES 5-37


5-III

FIGURES CHAPITRE V FIGURE 5-1 : SCHEMATISATION DES DIFFERENTS TERMES DE TRANSFERT DE C HALEUR 5-4 FIGURE 5-2 : REGIMES D’EBULLITION POUR UNE PLAQUE A TEMPERATURE IM POSEE (COURBE DE NUKIYAMA) .........................................................................................................................5-8 FIGURE 5-3 : REGIMES D’EBULLITION DANS UNE CONDUITE CHAUFFAN TE........................5-12 FIGURE 5-4 : FILM DE CONDENSAT SUR UNE PAROI VERTICALE (NOTATIO NS ET PROFILS)5-20 FIGURE 5-5 : NOMBRE DE NUSSELT MODIFIE POUR LA CONDENSATION S UR UNE PLAQUE VERTICALE ..................................................................................................................................................5-26 FIGURE 5-6 ...................................................................................................................................................5-33

5 PHYSIQUE DES TRANSFERTS DE CHALEUR ET DE...

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