5.Chapitre II- Dimensionnement Capacitaire Des Poteaux BA

Chapitre II ………………………………………………………………Dimensionnement capacitaire des poteaux en Béton Armé

Elabore par ELDJOUZI Brahim et TALEB Rafik

Chapitre II

Dimensionnement capacitaire des poteaux en Béton Armé

II.1. Introduction

Dans le plan cartésien (N, M), le domaine de sécurité d’une section donnée

en béton armé, soumise à des sollicitations de calcul, (flexion composée),

est défini par une courbe fermée appelée diagramme d’interaction, décrite

par le point de coordonnées et .

Le point représentatif (Nu, Mu) de la sollicitation agissante de calcul doit se

trouver à l’intérieur ou sur la frontière de ce domaine.

On peut aussi déterminer la section d’acier nécessaire à cette section pour

résister à des sollicitations imposées, a l’aide de la même courbe

d’interaction.

Hypothèses fondamentales

Ces hypothèses sont :

a) Les sections droites restent droites après déformation (hypothèse de

Bernoulli).

b) La résistance du béton tendu est négligée.

c) Du fait de l’adhérence, toute armature subit la même déformation

linéaire que la gaine de béton qui l’entoure (supposée non

fissurée si l’armature considérée est tendue).

d) Le raccourcissement relatif de la fibre de béton la plus comprimée est

limité à 3,5‰ en flexion simple ou composée (tant que la section n’est

pas entièrement comprimée), et 2,0‰ en compression simple.

e) L’allongement relatif des armatures les plus tendues, supposées

concentrées en leur centre de gravité, est limité à 10 ‰. (Fig. II.1

et II.2).

17


Compte tenu du caractère différent des deux ELU (fragile – non fragile) des

deux matériaux acier et béton, la ruine d’une section fléchie est toujours, en

fait, atteinte par l’écrasement du béton.

18


: Résistance caractéristique a la compression du béton âgé de j jour. : Contrainte de compression du béton : Raccourcissement relatif du béton comprimé

Es : Le module de déformation longitudinale de l’acier. : Contrainte élastique de l’acier. : Contrainte de traction, de compression dans l’acier.: Raccourcissement relatif du béton comprimé

b = 1,5 : pour les combinaisons fondamentales et 1,15 pour les

combinaisons accidentelles.

s = 1,15 : pour les combinaisons fondamentales et 1,0 pour les

combinaisons accidentelles.

19

d

y 0.8y

AN

10‰.

s

es

ff

ε sε se

f s

Figure II.2. Diagramme contraintes déformation de l’acier

avec : Es = 2,0.105 MPa

Figure II.1. Diagramme parabole-rectangle du béton

3,5‰.

f bc

ε sε bc2,0‰.

f bc

ε bc f bc

Diagramme parabole-rectangle

Diagramme rectangle simplifié


II.2. Présentation de la méthode de calcul

Nous traitons le cas des sections rectangulaires, le cas le plus répandu. On

considère un poteau de section rectangulaire b x h comportant deux

armatures de section A et A’ disposées symétriquement sur les deux faces.

(Fig. II.3.).

Si on suppose que la contrainte de compression est de signe positif, la

contrainte dans les aciers est donc, de signe positif si on est dans la

compression et de signe négative si on est dans la traction.

La valeur de l'effort normal ultime limite Nu,lim de résistance la section

vaut :

Le moment de flexion ultime limite de la section par rapport au centre de gravité de la section du béton seul :

20

Diagramme des contraintes

Section du poteau Diagramme des déformations

Figure II.3- Section rectangulaire à deux nappes d’armatures

s

00350,c


Avec : Nc effort de compression limite du béton seul.

Ns Effort de compression dans les aciers comprimés.

Ts Effort de traction dans les armatures tendues, Ts peut être un

effort de compression dans le cas où y > d et Ts = 0 dans le où y = d

(Fig. II.4).

21


Effort de compression limite du béton seul :

L’effort normal réduit est :

Cette expression décrit la capacité de la section sous effort axial en fonction

de la variable

Et :

Le moment réduit est :

22

y < h/2 y = h/2 y > h/2

y > dy = d

Figure II.4. Différentes possibilités de la position de l’axe neutre dans une section


23


Avec la présence des armatures tendues As, la traction dans le béton tendu est négligée on a :

En effet, la quantité : est le pourcentage géométrique des

armatures As dans la section de l’élément.

Le moment réduit des armatures As est :

Le changement de l'effort normal axial limite et le moment ultime limite

dépendent de la contrainte et la déformation dans l'acier (Fig. II.4).

Par les triangles semblable on déduit la valeur de et :

Par conséquent le changement dans la capacité est dépendant du

paramètre .

La présence d'armature comprimée change également la capacité de

charge axiale de la section de l’élément :

est le pourcentage géométrique des armatures As’ dans la section

24

s

sFigure II.4.


du l’élément

De même pour le moment ultime :

Ainsi la capacité axiale globale,

II.3. Étapes de traçage de la courbe d’interaction

Étape 01 :

Calculer : c'est paramètres sont des constantes une fois que

l'aire d'armatures est les dimensions de la section du poteau sont définies.

Étape 02 :

Choisir la valeur de

Étape 03 :

On utilise la première valeur choisit de pour le calcul des déformations

des armatures (As et As’) par les formules précédentes :

On déduit par la suite les valeurs de (avec leur signes positifs ou négatifs)

si si

Étape 04 :

On remplace les valeurs de dans la formule de :

25


Et :

Étape 05 :

Répéter les étapes 2 a 4 pour définir une série de points et les joindre pour

obtenir une courbe continue.

Pour n’importe qu’elle combinaison de b et h on peut tracer une succession

de courbes d’interactions en fonction de la variable avec des

pourcentages des armatures et ’ variable pour chaque courbe (Fig.II.5)

On fixe : d/h = 0,9 et d’/h = 0,1

Données :

si Es = 2,0.105 MPa

si pour des aciers Fe E 400

26

Figure II.5 - Utilisation de la courbe d’interaction pour la vérification de la section


II.3.1. Application Excel pour le calcul des courbes d’interaction

Nous avons programmé la méthode précédente pour tracer la courbe

d’interaction d’une section en béton armé de forme rectangulaire.

L’exemple ci-dessous montre une application numérique pour une section

30x30 cm2 en béton armé et un ferraillage en 2x3T14. Les résultats des

cordonnées Nu et Mu sont regroupés dans le tableau ci-dessous, pour le

tracé de la courbe d’interaction (Fig. II.6).

Tableau de donnéesh = 300 mm As = 462 mm²b = 300 mm A's = 462 mm²d = 270 mm As/bh = 0,5%d' = 30 mm A's/bh = 0,5%

d/h = 0,9 14,17 MPad'/h = 0,1bh = 90000 mm²

bh² = 2,7E+07 mm3

Tableau des résultats

y/h εs εs' fs (Mpa) fs' (Mpa) υ μ N (kN) M (kN.m)

1,3 1,08 3,23 215 348 1,244 -0,002 1 586,60 -0,611,25 0,98 3,22 196 348 1,197 0,022 1 526,63 8,431,2 0,88 3,21 175 348 1,149 0,044 1 465,91 16,941,15 0,76 3,20 152 348 1,101 0,065 1 404,36 24,941,1 0,64 3,18 127 348 1,052 0,085 1 341,84 32,441,05 0,50 3,17 100 348 1,002 0,103 1 278,23 39,46

1 0,35 3,15 70 348 0,951 0,120 1 213,36 46,020,95 0,18 3,13 37 348 0,899 0,136 1 147,03 52,140,9 0,00 3,11 0 348 0,846 0,151 1 078,99 57,860,85 -0,21 3,09 -41 348 0,791 0,165 1 008,96 63,200,8 -0,44 3,06 -88 348 0,734 0,178 936,54 68,220,75 -0,70 3,03 -140 348 0,675 0,191 861,28 72,970,7 -1,00 3,00 -200 348 0,614 0,203 782,54 77,520,65 -1,35 2,96 -269 348 0,549 0,214 699,55 81,970,6 -1,75 2,92 -348 348 0,480 0,226 612,14 86,330,55 -2,23 2,86 -348 348 0,440 0,224 561,13 85,720,5 -2,80 2,80 -348 348 0,400 0,221 510,12 84,500,45 -3,50 2,72 -348 348 0,360 0,216 459,11 82,660,4 -4,38 2,63 -348 348 0,320 0,210 408,10 80,210,35 -5,50 2,50 -348 348 0,280 0,202 357,08 77,150,3 -7,00 2,33 -348 348 0,240 0,192 306,07 73,480,25 -9,10 2,10 -348 348 0,200 0,181 255,06 69,190,2 -12,25 1,75 -348 348 0,160 0,168 204,05 64,300,15 -17,50 1,17 -348 233 0,078 0,137 100,06 52,430,1 -28,00 0,00 -348 0 -0,046 0,087 -58,75 33,37

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On remarque que pour cette section rectangulaire de dimensions b x h et

comportant deux armatures de section A = A’ disposées symétriquement

sur les deux faces section, on peut facilement déduire le moment résistant

Mr en fonction de l’effort de compression N appliqué issu de l’analyse et

situé dans l’intervalle délimiter par la courbe.

On peut aussi déduire la position de l’axe neutre si on connaît les deux

sollicitations M et N par la suite.

Exemple : pour N = 459,11 kN on lit Mr = 82,66 kN.m

La position de l’axe neutre par rapport à la fibre du béton le plus comprimé

dans ce cas là est

y = 0.45h = 13.5 cm.

28

Figure II.6 – Courbe d’interaction de la section étudiée


II.4. Calcul des moments résistant d’une section en flexion simple

Le moment résistant d’une section est le moment maximum que peut

supporter cette section.

Les équations d’équilibre deviennent (fig. II.7) :

On utilise la relation géométrique :

Les déformations des armatures valent :

En pratique pour simplifier les calculs on utilise la formule simplifiée

suivante :

avec =0,8 à 0,85

si

si

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Figure II.7.

s

b


En présence des armatures comprimé A’s, les équations d’équilibre

deviennent :

si si

II.5. États Limites de flexion oblique (Moments bi-axial) et effort

normal

Une pièce est sollicitée en flexion oblique lorsqu’elle est non symétrique ou

lorsqu’elle n’est pas chargée dans son plan de symétrie (fig. II.7).

30Figure II.7.- Section rectangulaire soumis à une flexion oblique


En pratique, les sections non symétriques se présentent relativement

rarement. Les sections symétriques soumises à (Mx, My, N) sont par contre

assez courants (poteaux d’angle d’un bâtiment, piles d’un pont sous l’action

des charges principales et le séisme).

La difficulté principale du calcul a la flexion oblique réside dans le fait

qu’aussi bien la direction que la position de l’axe neutre sont inconnues a

priori. D’autre part, la forme de la zone comprimée rend l’expression de la

force de compression Fc compliquée (déjà pour la section rectangulaire, on

est conduit à une équation du 5éme degré).

Il est donc préférable de résoudre le problème par itération au moyen

d’ordinateur.

Cheminement du calcul des contraintes :

1. Admettre une position et une direction de l’axe neutre, et imposer

donc un état de déformation .

2. Calculer la position et la grandeur correspondantes de Fs, Fc et

éventuellement Fs’ .

3. Vérifier que le système des forces intérieurs Fs, Fc et Fs’ est

équivalent à l’effort donné. Si ce n’est pas le cas, refaire une nouvelle

itération.

Il existe plusieurs méthodes numériques qui permettent la construction des

courbes d’interaction des sections en béton armé de forme quelconque, et

de ce fait, plusieurs logiciels sont disponible pour l’analyse des sections

béton armé.

Le logiciel CSICOL est un programme complet pour l’analyser des sections

de forme quelconque. C’est un logiciel simple, organisé et efficace. La

conception peut être effectuée selon les codes parasismiques américains.

Mais en fait, si on calcul par rapport au code ACI-318 (American Concrete

Institute), l’effort Nu et le moment Mu sont multipliés par un coefficient

réducteur Ф=0.80, dû aux incertitudes concernant la distribution réelle des

efforts et moments dans la section, et donc plus de sécurité dans l’analyse.

31


II.5.1. Exemple : diagramme d’interaction d’une section béton en forme de L

Données du problème :

Poteau en béton seul en forme de L (Fig. II.8)

Béton : (Situation permanentes)

(Situation accidentelle)

Acier: (Situation permanent)

(Situation accidentelle)

32


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Figure. II.8 – Poteau en forme de L

Figure. II.9 – Courbe d’interaction de la section en forme de L sans armatures

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