4. S. LOISEL

1. A. COHEN2. C. PIGEON3. F. PLANCHET4. S. LOISEL

Mémoire d’actuaire – Yannick NANDJOU

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Mémoire d’actuaire

Impact de la table de mortalité d’expérience sur le calcul de la provision pour

risque croissant et la tarification d’un contrat obsèques

Septembre 2021

Caveat : ce mémoire ne présente ni des « recettes », ni la « meilleure manière » de procéder

en matière de mise en place d’une PRC pour un contrat obsèques. Il s’agit seulement de

quelques réflexions issues de ma propre pratique et donc certains calculs ont été faits à titre

illustratif.


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RESUME

Ce mémoire a pour objectif de construire une table de mortalité d’expérience utile à la

tarification et au calcul de la Provision pour Risque Croissant d’un portefeuille obsèques.

La garantie obsèques se caractérise par le versement d’un capital, défini à la souscription, à un

bénéficiaire en cas de décès de l’assuré. Afin de pouvoir honorer ses engagements, un

assureur est tenu de provisionner ce type de garanties. Le provisionnement de cette garantie

fait appel au calcul de probabilités de décès que l’on peut obtenir à partir de tables de

mortalité.

Une compagnie d’assurance est en droit d’utiliser ses propres tables de mortalité

d’expérience, sous réserve qu’elles soient certifiées par un actuaire indépendant. L’objectif

principal lié à l’utilisation des tables d’expérience est de lutter contre le phénomène

d’antisélection1. De cette manière, un assureur peut provisionner ses engagements à partir de

l’évaluation du risque de mortalité que son portefeuille représente. La mortalité des assurés

d’un portefeuille est en générale différente de celle de la population générale. Afin d’affiner

l’évaluation, il est également possible de tenir compte de facteurs tels que le sexe ou la CSP

par exemple, pouvant expliquer en partie la mortalité d’un individu.

Les premières estimations de la mortalité ont été réalisées à partir de deux modèles. Le

premier modèle est celui de Hœm : rapport du nombre de décès à un certain âge sur

l’exposition observée au même âge. La deuxième méthode est celle de Kaplan-Meier, qui

prend en compte la censure à droite de nos données de par les sorties autres que le décès de

certains assurés du portefeuille sur la période d’observations. Ces deux méthodes se sont

montrées pertinentes en terme d’approche et proches en termes de résultats, avec des résultats

volatiles là où l’exposition est faible.

L’étape suivante a été de lisser les taux bruts afin de leur donner une allure régulière et

« attendue » tout en respectant la fidélité à l’expérience. Nous avons dans cette approche

retenues deux méthodes, le lissage de Whittaker-Henderson et l’ajustement de Brass qui ont

donné des résultats très proches d’un point de vue graphique.

Une fois le lissage effectué, l’étape suivante a été la validation de la qualité de l’ajustement.

Pour nous assurer qu'il n'y a pas eu de déformation lors du lissage, c’est-à-dire que les taux

ajustés n’étaient pas « trop éloignés » des taux bruts estimés, nous avons appliqué à nos

données un test statistiques.

La dernière étape de la construction de la table a été de la fermeture de cette dernière pour les

âges aux extrémités ayant peu ou pas d’observation. Nous avons procédé au raccordement de

la table par une régression Logit, ce qui nous a permis d’extrapoler nos taux sur ses

extrémités.

1 L’antisélection survient quand l’assuré a une meilleure connaissance du risque que l’assureur auquel

ce risque est soumis, c’est un effet d’asymétrie de l’information.


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Enfin, dans une démarche plus opérationnelle, nous avons mesuré l’impact d’un changement

de table sur le calcul de la provision pour risques croissants et sur la tarification d’un produit

obsèques.

Mots-clés : Table de mortalité, taux brut, Hœm, Kaplan-Meier, Whittaker-Henderson, Brass,

Logit, Obsèques, PRC, tarification.


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ABSTRACT

This memory has for objective to build a table of mortality of useful experience in the

calculation of the provision for increasing risk of the Guarantee funeral of portfolio of mutual

Solimut of France.

The guarantee funeral is characterized by the payment of a capital, defined in the subscription,

to a beneficiary in the event of the death of the insured. In order to be able to honor its

commitments, an insurer is required to provision this type of guarantees. The provisioning of

this warranty fact appeal to the calculation of probabilities of death that can obtain from

mortality tables.

An insurance company is entitled to use its own tables of mortality experience, subject that

they are certified by an independent actuary. The main objective related to the use of tables of

experience is to combat the phenomenon of adverse selection. In this way, an insurer may

make provision for its commitments from the assessment of the risk of mortality than its

portfolio represents. The mortality of assured of a portfolio in general is different from that of

the general population. In order to refine the assessment, it is also possible to take account of

factors such as sex or the CSP for example, which may explain in part the mortality of an

individual.

The first estimates of the mortality have been carried out from two models. The first model is

that of Hoem: report of the number of deaths at a certain age on the exposure observed at the

same age. The second method is the Kaplan-Meier, which takes into account the censorship to

the right of our data by the outputs other than the death of insured some of the portfolio on the

period of observations. These two methods give of the raw results, volatile where the

exposure is low.

The next step was to smooth these rates in order to make them more regular basis while

respecting the fidelity to the experience. We then proceeded to the adjustment of the rate by

the method of Brass.

The last step in the construction of the table has been the closure of the latter for the ages at

the ends with little or no observation. The model of Brass on-believing in general mortality at

ages high, the closure of the table by a logit regression on a reference curve has proved to be

necessary.

We then verified the legitimacy of the adjustments by of the statistical tests and we have

confronted the results of the different curves modeled via the methods described above.

Finally, in a more operational approach, we measured the impact of a change of table on the

calculation of the provision for increasing risks and on the pricing of a funeral product.

Key words: Table of mortality, crude rate, Hoem Kaplan-Meier, Whittaker-Henderson, Brass,

logit, funeral, PRC, pricing.


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AVANT-PROPOS

Le présent mémoire a été effectué dans le cadre de mon diplôme d’actuaire préparé à l’Institut

de Science Financière et d’Assurances (ISFA).

Ce sujet sur le risque de mortalité a retenu mon attention car il s’agit d’une problématique au

cœur de l’actualité de ces dernières années, particulièrement avec d'une part, les taux bas

impactant la tarification et le provisionnement et d’autre part les évolutions règlementaires

telles que la loi Eckert sur les contrats en déshérence ou la loi Sapin dans ses versions 1 et 2

qui plafonne les frais d'entrée et sur versement des contrats obsèques. Avec l’application de la

directive européenne Solvabilité 2 qui autorise l’utilisation des tables d’expérience, ainsi que

le besoin de mon entreprise de créer une table d’expérience pour le calcul de la provision pour

risque croissant du portefeuille obsèques, il m’a paru intéressant d’en étudier le concept,

l’intérêt et les modèles relatifs à leur construction.

Je tiens avant tout à remercier les personnes suivantes sans lesquelles ce travail n’aurait pas

été aussi instructif et complet :

Je remercie tout d’abord mon référent d’école, monsieur Frédéric PLANCHET qui m’a

encadré et guidé tout au long de ce travail.

Je remercie particulièrement monsieur Charles CAZIER, directeur de l’actuariat chez GPM,

dont les précieux conseils m’ont permis de mieux cerner mon sujet.

Je dois surtout un grand merci à mon épouse, mon coéquipier, Yasmina NANDJOU, qui

m’accompagne depuis le début de cette aventure. Merci pour le soutien et la patience dont tu

as su faire preuve durant ces mois de formation.

Enfin je remercie mes enfants, Chloé et Raphael qui m’ont donné l’énergie et la motivation

nécessaire pour aller au bout de ce travail.


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SOMMAIRE RESUME ................................................................................................................................................ 3

ABSTRACT ........................................................................................................................................... 5

AVANT-PROPOS ................................................................................................................................. 6

PARTIE I – PRESENTATION DU PRODUIT OBSEQUES ET CADRE REGLEMENTAIRE........ 12

Chapitre 1 – Présentation des contrats obsèques .............................................................. 12

Section 1 – Obsèques : retour dans le passé .................................................................................. 12

Section 2 – Le marché des contrats obsèques................................................................................ 13

Chapitre 2 – Réglementation ..................................................................................................... 18

Section 1 – Contrat obsèques et réglementation ............................................................................ 18

Section 2 – Le contexte réglementaire .......................................................................................... 20

Conclusion de la première partie ............................................................................................. 23

PARTIE II – MODELISATION DE LA MORTALITE DU PORTEFEUILLE OBSEQUES ............ 25

Chapitre 1 – Présentation des données et traitements ...................................................... 25

Section 1 – Exhaustivité des données ............................................................................................ 25

Section 2 – Traitement des données .............................................................................................. 26

Section 1 – Statistiques descriptives du portefeuille ..................................................................... 30

Section 2 – Etude de l’exposition du portefeuille.......................................................................... 33

Chapitre 3 – Estimation des taux brut de mortalité ............................................................. 35

Section 1 – Notation et concept de base ........................................................................................ 35

Section 2 – Estimation des taux bruts par la méthode de Hœm .................................................... 38

Section 3 – Estimation des taux bruts par la méthode de Kaplan Meier ....................................... 41

Section 4 – Comparaison des taux bruts et choix de l’estimateur ................................................. 44

Chapitre 4 – Lissage et ajustement des taux bruts estimés ............................................. 45

Section 1 – Lissage par la méthode de BRASS ............................................................................. 46

Section 2 – Lissage par la méthode de Whittaker-Henderson ....................................................... 48

Section 3 – Comparaison des méthodes de lissage et d’ajustement .............................................. 50

Chapitre 5 – Validation et fermeture de la table ................................................................... 53

Section 1 – Validation de l’ajustement et test statistiques ............................................................. 53

Section 2 – Fermeture de la table .................................................................................................. 57

Conclusion de la deuxième partie............................................................................................ 59

PARTIE III – IMPACT DE LA TABLE D’EXPERIENCE SUR LA TARIFICATION ET LA PRC 61

Chapitre 1 – Impact de la table sur le calcul de la PRC du portefeuille obsèques ..... 61

Section 1 – La provision pour risque croissant.............................................................................. 61

Section 2 – Impact d’un changement de table de mortalité sur le calcul de la PRC ..................... 65

Chapitre 2 – Impact de la table sur la tarification d’un produit obsèques .................... 67


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Section 1 – Tarification d’un produit obsèques ............................................................................. 67

Section 2 – Impact d’un changement de table de mortalité sur la tarification............................... 75

Conclusion de la troisième partie ............................................................................................ 79

CONCLUSION GENERALE ......................................................................................................... 80

BIBLIOGRAPHIE ........................................................................................................................... 82

LISTES DES FIGURES ................................................................................................................. 84

LISTES DES TABLEAUX ............................................................................................................. 85

ANNEXES : ..................................................................................................................................... 86


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INTRODUCTION GENERALE

Les évolutions législatives et réglementaires de ces dernières années ont marqué tout

particulièrement le milieu de l'assurance, en particulier les entreprises qui commercialisent les

produits obsèques, obligeant ces dernières à accorder une importance accrue à la modélisation

du risque de mortalité de leur portefeuille. Les assureurs doivent s’adapter à la baisse des taux

d’intérêt observée sur les marchés financiers, ainsi qu’à une évolution règlementaire de plus

en plus contraignante.

Face à ces changements, tant réglementaires que financiers, la place de l’actuaire a été

renforcée au sein des organismes d’assurance qui, au-delà des calculs traditionnels doit

s’assurer de disposer d’outils adaptés pour sa tarification et son provisionnement.

Projeter l’évolution de la mortalité future occupe désormais une place importante pour ces

entreprises d’assurance, non seulement pour garder un contrôle sur leurs réserves et leur

tarification, mais aussi pour le calcul de leur SCR2.

Ce mémoire a pour objet de construire des tables de mortalité d’expérience utile à la

tarification et au calcul de la provision pour risque croissant (PRC) d’un portefeuille

obsèques. Il présentera l’ensemble des aspects techniques qui gravitent autour de la

construction d’une table de mortalité d’expérience ainsi que les techniques actuarielles

permettant le calcul de la provision pour risque croissant d’une garantie Obsèques.

Ce sujet sur le risque de mortalité a retenu mon attention car il s’agit d’une problématique au

cœur de l’actualité de ces dernières années, particulièrement avec d'une part, les taux bas

impactant la tarification et le provisionnement et d’autre part les évolutions règlementaires

impactant les contrats obsèques telles que la loi Eckert sur les contrats en déshérence ou la loi

Sapin dans ses versions 1 et 2 qui plafonne les frais d'entrée et sur versement des contrats

obsèques. Avec l’application de la directive européenne Solvabilité 2 qui autorise l’utilisation

des tables d’expérience, ainsi que le besoin de mon entreprise de créer une table de mortalité

d’expérience pour le calcul de la provision pour risque croissant, il m’a paru intéressant d’en

étudier le concept, l’intérêt et les modèles relatifs à leur construction.

L’intérêt du portefeuille obsèques utilisé dans cette étude est le volume de données qu’il

permet d’exploiter ainsi que la qualité d’information fournie par cette dernière. Nous

disposons de toutes les informations nécessaires pour construire une table de mortalité

d’expérience : la date de naissance, la date d’effet du contrat, le sexe de l’assuré, la date de

décès, la date de radiation, … Il sera donc intéressant de modéliser la sinistralité des contrats

obsèques à partir des données historiques de ce portefeuille et de tester différentes méthodes

pour comprendre leurs différents impacts.

Afin d’analyser l’impact de chacune de méthodes sur notre portefeuille de contrats obsèques,

on s’intéressera à deux méthodes d'estimation des taux bruts de décès, à savoir la méthode de

2 SCR : Solvency Capital Requirement


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Hœm et la méthode de Kaplan-Meier. Quelle que soit la méthode utilisée, les taux bruts

obtenus sont erratiques en raison de la faible exposition à certains âges. Afin de donner à la

courbe de mortalité une allure « régulière » et « attendue », nous allons procéder au lissage et

à l’ajustement des taux brutes. Dans cette démarche, nous avons également retenu deux

approches, la méthode de lissage de Whittaker-Henderson et d’ajustement de Brass. Une

comparaison des résultats de ces différentes approches nous permettra de déterminer laquelle

des méthodes ajuste le mieux les données de notre portefeuille.

Une fois les lissage et ajustement effectués, l’étape suivante sera la validation de la qualité de

l’ajustement. Nous allons vérifier l'adéquation des taux ajustés aux taux bruts estimés par des

tests statistiques ou par comparaison entre les décès théoriques et les décès observés.

Enfin, nous allons procéder à une fermeture de la table par une régression Logit pour réduire

la sous-estimation ou la sur-estimation que certaines méthodes d’ajustements peuvent créer

aux âges situés aux extrémités.

Pour mener cette étude, ce mémoire sera structuré en trois parties. La première partie nous

permettra de définir et de présenter le cadre historique, règlementaire et fiscal des contrats

obsèques. Il est important pour nous de situer ce contexte historique et règlementaire des

contrats obsèques afin de mieux cerner des enjeux de notre étude, dont la problématique porte

sur la construction d’une table de mortalité d’expérience spécifique à un portefeuille

obsèques.

L’objectif de la deuxième partie sera de détailler les outils de construction des tables de

mortalité d’expérience, d’une part, et d’aborder la problématique de la qualité des données

d’autre part.

Dans une démarche plus opérationnelle enfin, la troisième partie va nous permettre de

mesurer l’impact d’un changement de table de mortalité sur le calcul de la provision pour

risques croissants et sur la tarification d’un produit obsèques.


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PARTIE I – PRESENTATION DU PRODUIT OBSEQUES ET

CADRE REGLEMENTAIRE


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PARTIE I – PRESENTATION DU PRODUIT OBSEQUES ET CADRE

REGLEMENTAIRE

Dans cette première partie, nous présenterons le contrat obsèques dans son ensemble, ainsi

que l’ensemble des concepts qui gravitent autour de cette notion. Une fois définis, nous

présenterons l’ensemble des aspects réglementaires qui encadrent les contrats obsèques.

Chapitre 1 – Présentation des contrats obsèques

Section 1 – Obsèques : retour dans le passé

L’assurance-vie a pour vocation à l'origine de garantir le versement d'une certaine somme

d'argent (capital ou rente) quand survient un événement lié à l'assuré : son décès ou sa survie.

Il faut faire néanmoins la distinction entre l'assurance en cas de décès encore appelée «

assurance décès » qui prévoit le versement d’un capital ou d’une rente en cas de décès et

l'assurance en cas de vie, qui prévoit quant à elle le versement d’un capital ou d’une rente en

cas de vie de l’assuré à échéance du contrat (si le décès survient avant l'échéance du contrat,

rien n'est dû à la succession). Cette dernière catégorie de contrat d’assurance en cas de vie

n’est que très rarement utilisée en France.

L'assurance obsèques est une forme particulière d’assurances-décès. C’est un dispositif chargé

d'assurer les proches d’un individu face aux risques financiers d’un décès ; ainsi un capital est

versé ou une prestation est payée par l’organisme assureur dans un délai contractuel après de

la réception des pièces justificatives du décès.

Les assurances obsèques sont pourtant restées pendant longtemps illicites. En effet, la Grande

ordonnance de la marine les considère comme « réprouvées et contre les bonnes mœurs »

(Livre III Chapitre VI Article X) car elles peuvent faire convoiter la mort de l’assuré. Sous

l’empire britannique, elles ont existé sous forme de gageure, ce qui ralentissait leur diffusion

car elles sont suspectes3. En France, une Compagnie royale d'assurance vie est créée en 17874,

mais elle est éphémère ; il faut attendre un arrêt du conseil d'Etat de 1818 pour autoriser

durablement l'assurance-décès.

L’assurance obsèques n’est pas un événement récent ; À travers les temps, le besoin universel

d’enterrer ou de crématiser les morts à faire voir le jour à l’assurance funéraire. Elle a depuis

longtemps évolué selon les mentalités, les us et coutumes, les religions et les modes de vie.

L’assurance obsèques sous différentes formes tire ses racines au plus profond de notre

histoire.

3 Zelizer, Viviana [1979]. Morals and Markets : The Development of Life Insurance in the United States,

Columbia University Press. 4 Kang, Z. & Thiveaud, J. -M. (1995) "Epargne, retraite, prévoyance parfaite" Revue d'économie financière,

novembre pp. 65-93.


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Un simple rituel à l’origine, aujourd’hui, préparer ses obsèques est un engagement fort et

solennel de la personne. La profession s’est spécialisée avec d’un côté les organismes

funéraires et d’un autre côté les compagnies d’assurance. Pourtant, pendant deux siècles,

l’organisation des funérailles était confiée strictement aux communes. C’est la loi Sueur5 du 8

janvier 1993 qui a mis fin au monopole communal et a ouvert le service des pompes funèbres

à la concurrence. Jean-Pierre Sueur souhaitait moraliser les offres des opérateurs funéraires

pour protéger les familles. Il aboutit aux conclusions inverses du législateur de 1904, pour qui

la moralisation du marché passait par la municipalisation du service extérieur des pompes

funèbres. Dans la tradition laïque, la loi de 1993 a maintenu à distance les églises et soumis à

concurrence le magistère des maires en leur conservant cependant leur rôle intangible de

gardien de la salubrité et de la décence publique.

Cette loi a jeté les bases d’un véritable cadre législation sur la profession, permettant ainsi de

protéger les familles contre certains opérateurs malhonnêtes qui détournaient les fonds

déposés par les souscripteurs pour la couverture des prestations d’obsèques après leur décès.

Section 2 – Le marché des contrats obsèques

La prévoyance de ses propres obsèques, même si c’est un phénomène relativement récent, elle

semble susciter un intérêt de plus en plus marqué chez les français. Selon une ressente étude

denla Fédération Française de l’Assurance (FFA), le volume de contrat d’assurance obsèques

à adhésion individuelle en 2017 était en hausse de 4%, soit 4,5 millions de contrats dont

475 100 contrats souscrits en 2017.

Dans son étude parue en 2019, le CREDOC (Centre de Recherche pour l’Etude et

l’Observation des Conditions de vie), 20% de français ont déjà souscrit un contrat d’assurance

obsèques et 33% des souscripteurs ont 80 ans et plus.

• Contexte du marché :

Pour comprendre le contexte de l’essor du marché des contrats obsèques, quelques données

démographiques et socio-économiques importantes doivent être rappelées. La population

française devrait augmenter pour atteindre les 70 millions d’habitants au cours des prochaines

années selon une étude de l’Institut national d’études démographiques (INED). Le taux de

fécondité étant modéré, la population devrait croître à un rythme plus lent que celui observé

durant la deuxième partie du XXe siècle. L’âge moyen va également augmenter et ce

vieillissement est la conséquence directe de la forte natalité observée entre 1945 et 1970,

appelée « baby-boom ». Cette génération arrive à l’âge de la retraite et fait augmenter

mécaniquement le nombre de sénior : ce phénomène du terme de « papy-boom ».

5 Nom l’auteur de la loi, maire d’Orléans et secrétaire d’État aux collectivités locales

http://www.ined.fr/fr/publications/population-et-societes/tous-les-pays-du-monde-2015/


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Figure 01 – Evolution du nombre de décès en France par année (source : INSEE).

La figure suivante représente l’évolution du nombre de décès par année de la population

française. Les décès au début des années 2000 étaient relativement peu nombreux, mis à part

le pic de 2003 causé par la canicule. Les générations aux âges de forte mortalité étaient celles,

peu nombreuses, nées pendant la Première Guerre mondiale. Le nombre de décès augmente

ensuite, du fait de l’arrivée à ces âges de générations « papy-boom » un peu plus importantes.

Figure 02 – Evolution de la répartition de la population âgé de 50 ans plus résident en

France (Source : INSEE, projection des ménages à l’horizon 2060 pour la France

Métropolitaine)


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Les personnes de 50 ans et plus étant la population cible pour la souscription des contrats de

prévoyance obsèques, plus cette cible s’agrandit, plus elle présente des perspectives de

développement en matière de prévoyance obsèques. De plus, la progression du coût des

obsèques de 30% en 10 ans, le renouvellement des offres, ainsi que l’accessibilité de leur coût

ont incité naturellement à la souscription de ce genre d’assurance. Enfin, la hausse des

revenus des seniors ainsi que leur patrimoine créent un contexte favorable à l’entraide

intergénérationnelle au niveau financier.

Ceux qui profitent le plus de cette embellie sont les bancassureurs détrônant ainsi les pompes

funèbres, leaders historiques du marché. Cette offensive s’explique notamment par la densité

de leurs réseaux, le contact direct et régulier avec les seniors, mais aussi leur capacité à

proposer des solutions globales en matière de prévoyance.

• Contrat obsèques : leur rôle et les différents types

Les compagnies d’assurance proposent des contrats prévoyances obsèques destinés à prendre

en charge les frais consécutifs à un décès. Ce type de contrats de prévoyance permet au

souscripteur de décharger ses proches du financement de ses obsèques et même, s’il le

souhaite, de l’organisation de la cérémonie qu’il peut intégralement planifier de son vivant.

Les proches sont ainsi libérés de toute contrainte matérielle et le souscripteur est sûr que tout

se déroulera selon sa volonté.

Depuis l’entrée en vigueur de la loi Sueur, deux types de contrats obsèques sont proposés : les

contrats en prestation et les contrats en capital.

Dans un contrat obsèques en capital, l’assureur s’engage à verser en cas de décès, le capital

souscrit par l’assuré au bénéficiaire désigné dans le contrat. Ce bénéficiaire peut être une

personne physique ou bien directement une entreprise de pompe funèbre. Pour éviter toute

dérive, le législateur a expressément prévu dans la loi (depuis le 26 juillet 2013) que le

bénéficiaire des contrats obsèques doit utiliser le capital pour financer les obsèques du défunt.

Le contrat obsèques en prestation prend en charge le financement et l’organisation des

obsèques. Ce type de contrat décrit de façon précise les produits et services funéraires qui

devront être réalisés obligatoirement. La facture totale est ensuite réglée à un assureur adossé

à l’entreprise de pompes funèbres, en une seule fois ou en plusieurs versements.

Contrairement au contrat en capital, il commence par l’élaboration d’un devis. Pour protéger

le souscripteur, le contrat doit désormais être assorti d’un dispositif détaillé des prestations, et

non plus présenté sous forme de prestations standardisées. Au moment du décès, le devis

devra être respecté à la lettre et la famille n’aura rien à payer.

Aujourd’hui, le contrat en capital représente 75 % du marché de la prévoyance avec une

progression supérieure à celle des contrats en prestations qui ne représentent qu’un quart des

ventes.


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• Le devoir d’information des assureurs :

Les entreprises d’assurances ont un devoir d’information envers leurs assurés. Ils se sont

engagés à sensibiliser au moment de la souscription et régulièrement tout au long de la vie du

contrat, le souscripteur ou l’adhérent sur l’intérêt d’informer les proches de l’existence d’un

contrat obsèques.

En complément de ce devoir d’information, les assureurs adhérents de la Fédération Française

de l’Assurance (FFA) ont également mis en place un dispositif de recherche de ces contrats,

via l’association AGIRA (Association pour la Gestion des Informations sur le Risque en

Assurance). Ainsi, après un décès, un proche peut interroger l’AGIRA via son site web ou par

courrier simple pour savoir si le défunt bénéficiait de son vivant d’un contrat d’assurance

décès. Cet organisme indique si la personne qui a fait cette demande est ou non bénéficiaire

d'un contrat établi au nom de la personne défunte. S’il est avéré qu’un contrat d’assurance

obsèques a été souscrit, l’assureur contactera le bénéficiaire dans un délai de trois jours, à

compter de la réception de la demande.

Toutefois, dans le cas où la date du décès serait antérieure de plus de 3 mois à la date de

réception de la demande, la réponse est communiquée dans un délai maximal d’un mois si le

demandeur est le bénéficiaire.

En outre, ces entreprises d’assurance, membre de la FFA se sont engagées :

﹣ A vérifier que les souscripteurs de plus de 90 ans soient toujours en vie,

﹣ A prévenir le bénéficiaire d'un contrat dans les 30 jours après son identification,

﹣ A revaloriser le capital de 1,5 fois le taux légal durant les deux premiers mois puis

ensuite de 2 fois ce même taux.

• Le cadre fiscal des contrats obsèques :

L’assurance obsèques est soumise au même régime que l’assurance décès et bénéficie ainsi

d’un régime d’imposition avantageux. Dans la limite d’un seuil fixé par la loi, la totalité du

capital constituée via le contrat obsèques est totalement exonéré d’impôt. En effet, la

succession ne prend pas en compte les assurances obsèques. De même, les successeurs ne

peuvent en aucun cas contester le choix du bénéficiaire après le décès du souscripteur.

Cependant, la loi prévoit des montants limites pour le capital souscrit :

﹣ Un abattement de 152 500 € s’applique à chaque bénéficiaire pour tout versement

effectué par le souscripteur avant ses 70 ans. Au-delà de ce montant, les capitaux sont

soumis à une taxe de 20% à 31,25% selon des tranches définies : de 152 501 € à 700

000 €, une taxe de 20% est appliquée. Cette taxe passe à 3,25% au-delà de de 852 501

€ de capital.


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﹣ Pour tout versement effectué après les 70 ans du souscripteur, le capital n’est pas

imposable si ce montant est inférieur au plafond le 30 500 €. Les capitaux au-delà de

ce seuil sont intégrés dans l’actif successoral et soumis aux droits de succession.

Lorsque le bénéficiaire du contrat de prévoyance obsèques est le conjoint ou le partenaire de

PACS de l’assuré, ce dernier est exonéré d’impôts sur les capitaux perçus. Si les frères et

sœurs sont également bénéficiaires de ce contrat, ils ont la possibilité d’être exonérés d’impôt

sur les capitaux perçus sous certaines conditions d’éligibilité.


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Chapitre 2 – Réglementation

Section 1 – Contrat obsèques et réglementation

La loi fondatrice de l’assurance obsèques a vu le jour à la fin du XIXème siècle et il a fallu

attendre ces 20 dernières années pour qu’un véritable cadre législatif se précise et se fixe.

Dans le souci de protéger davantage le souscripteur du contrat ainsi que les bénéficiaires, la

réglementation concernant la commercialisation des contrats obsèques a beaucoup évoluée et

est tout particulièrement encadrée et surveillée ces dernières années.

• La loi Sueur du 9 décembre 2004

Cette loi qui permet de protéger davantage les souscripteurs et leurs bénéficiaires stipule que :

« … le contrat doit prévoir explicitement la faculté pour le contractant ou le souscripteur de

modifier la nature des obsèques, le mode de sépulture, le contenu des prestations et

fournitures funéraires, l’opérateur habilité désigné pour exécuter les obsèques… ». En effet,

tous les contrats souscrits après le 9 décembre 2004 doivent mentionner les prestations

funéraires prévues ainsi que les prestations non assurées par l’opérateur funéraire.

Cette loi apporte également plus de souplesse au souscripteur dans la gestion de son contrat de

prévoyance obsèques. Ce dernier (souscripteur) peut ainsi tout au long de sa durée du contrat,

modifier certains points. Il peut par exemple modifier quand il le souhaite le type d’obsèques

(inhumation ou crémation), ou toute autre prestation (modèle de monument funéraire, fleurs,

avis de décès …). Il peut également s’il le souhaite changer de bénéficiaire à tout moment tout

comme l’opérateur funéraire en charge de ses futures obsèques.

Les contrats obsèques doivent désormais préciser si la hausse du prix des obsèques (inflation)

est prise en charge ou non par l’assureur. Certains contrats le mentionnent, d’autres non. C’est

ce qui a poussé l’Autorité de Contrôle Prudentiel et de Résolution (ACPR) à s’intéresser au

sujet et exige désormais une plus grande transparence et une meilleure information lors de la

commercialisation du contrat, sur la définition exacte des garanties, ainsi que les modalités de

calculs et les différents délais.

La convention obsèques doit préciser à l’inverse, si le bénéficiaire peut ou non récupérer le

capital restant si le prix des obsèques venait à être inférieur au capital investi.

https://www.cieleden.com/assurance-obseques/


P a g e 19 | 91

• Loi Eckert et contrats d’assurance obsèques en déshérence

Depuis une quinzaine d’années, le législateur a renforcé à plusieurs reprises les dispositions

réglementaires pour obliger les assureurs à s’informer du décès de leurs assurés et de faciliter

ainsi la recherche des bénéficiaires.

La Loi n° 2014-617 dite loi « Eckert » relative aux comptes bancaires inactifs et aux contrats

d'assurance vie en déshérence, adoptée le 13 juin 2014, a prévu diverses mesures afin

d’améliorer la protection des bénéficiaires des contrats d’assurance vie, en renforçant les

obligations des assureurs en matière de recherche des assurés et bénéficiaires des contrats

d’assurance vie afin de garantir le versement des capitaux non réglés qui leur sont dus.

Les contrats non réglés sont dits en déshérences dès lors qu’arrivé à l’échéance, en raison du

décès du souscripteur ou du terme du contrat, le capital constitué au titre du contrat n’a pas été

versé aux bénéficiaires. Cela concerne en particulier le capital d’un contrat décès, d’une

assurance vie ou d’une allocation obsèques.

Les organismes assureurs doivent ainsi communiquer aux adhérents chaque année des

informations sur leurs contrats d’assurance vie, capitaux décès ou allocation obsèques en leur

adressant un relevé d’information annuelle.

Les organismes assureurs doivent en outre procéder chaque année, à la recherche des assurés

décédés de manière à identifier les contrats en déshérence. Afin de faciliter leurs recherches,

ces organismes assureurs peuvent, interroger le Registre National d’Identification des

Personnes Physiques (RNIPP) qui recense les personnes décédées. Ils peuvent également

interroger le registre géré par l’association AGIRA où demander des informations au notaire

en charge de la succession. Cette obligation de recherche des bénéficiaires, par tous les

moyens est à la charge exclusive de l’assureur qui ne peut à ce titre prélever de frais à

l’adhérent.

Ces capitaux en déshérences une fois identifiés, les organismes assureurs doivent procéder à

l’identification des bénéficiaires de ces contrats et procéder au règlement des capitaux. Si

toutefois, cette recherche s’avère infructueuse, l’article L132-27-2 du Code des assurances

prévoit le transfert de ces sommes non réglées au titre des contrats d’assurance sur la vie ou

décès à la Caisse des Dépôts et Consignations (CDC) puis à l’Etat dans un délai de dix ans à

compter de la date de la prise de connaissance du décès par l’organisme assureur. Ces

capitaux en déshérence mis à disposition de la Caisse des Dépôts et Consignations sont acquis

à l’Etat, s’ils ne sont pas réclamés dans un délai de vingt ans à compter de la date du dépôt à

la Caisse des dépôts et de consignation.

Ces capitaux non réglés par l’organisme assureur doivent faire l’objet d’une revalorisation

annuelle à un taux déterminé par la loi, ceci à partir de la date du décès de l’assuré jusqu’à la

réception des pièces nécessaires au paiement des prestations aux bénéficiaires ou jusqu’au

dépôt des fonds à la Caisse des Dépôts et de Consignations.


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• Loi SAPIN 2 et contrats obsèques

L’assurance obsèques est un contrat d’assurance vie qui permet de prévoir et organiser ses

obsèques. Mais certaines raisons personnelles peuvent amener le souscripteur à un certain

moment à vouloir récupérer une partie ou la totalité du capital de son contrat d’assurance

obsèques : cette opération est appelée rachat partiel (lorsque l’assuré ne retire qu’une partie du

capital versé) ou rachat total (lorsque l’assuré décide de récupérer l’ensemble du capital) du

contrat.

Chaque compagnie d’assurance peut fixer ses propres conditions sur le rachat de contrat

d’assurance obsèques, mais les frais applicables en cas de rachat ou de transfert sont encadrés

par la loi n°2016-1691 du 9 décembre 2016, dite « Sapin 2 ». Cette loi relative à la

transparence, à la lutte contre la corruption et à la modernisation de la vie économique intègre

des mesures visant à encadrer les rachats en cas de situations exceptionnelles ainsi que les

taux de rendement des contrats d’assurance-vie et contrats d’assurance obsèques. Elle apporte

ainsi des modifications à l’article L.132-22-1 du code des assurances en précisant les

modalités de rachat ou de transfert d’un contrat d’assurance obsèques et d’assurance vie.

Désormais, pour un contrat d’assurance vie ou d’assurance obsèques, la valeur de rachat ou de

transfert peut être inférieure à 5% au montant de la provision mathématique dudit contrat.

Cette loi introduit de nouvelles règles prudentielles et plafonne 2,5 % du capital les frais

d’entrée et sur versements des contrats obsèques.

Section 2 – Le contexte réglementaire

La réglementation, à travers le Code des Assurances, le Code de la Mutualité et le Code de la

Sécurité Sociale, établi clairement quelles sont les tables de mortalité à utiliser par un

organisme assureur. Ces tables sont homologuées par un arrêté du ministre de l'économie et

des finances, établies par sexe, et construites sur la base des données relatives à la population

générale et publiées par l'INSEE (Institut national de la statistique et des études économiques)

pour les contrats autres que les rentes viagères et les tables construites sur la base de la

mortalité de la population des bénéficiaires pour les contrats de rente viagère.

On distingue ainsi deux grandes catégories de tables de mortalité réglementaires utilisé par

défaut par les organismes assureurs :

- Les tables TH 00-02 et TF 00-02, respectivement pour la population masculine (TH)

et pour la population féminine (TF), ce sont les tables actuellement en vigueur pour

tous les contrats autres que les rentes viagères. Il s’agit des tables du moment

construites et publiées par l’INSEE sur la base de données relatives à la population

générale française entre 2000 et 2002. Depuis 2006, elles remplacent respectivement

http://devis-assurance-obseque.fr/


P a g e 21 | 91

les tables de Décès TD88-90 et les tables de Vie TV88-90 (Arrêté du 20 décembre

2005).

- Les tables TGH-05 et TGF-05, respectivement pour la population masculine (TGH) et

la population féminine (TGF), avec les décalages d’âge spécifiques à la génération. Ce

sont les tables prospectives actuellement en vigueur pour tous les contrats de rentes

viagères. Elles sont construites sur la base de la mortalité de la population des

bénéficiaires de contrats de rentes observée entre les 1993 et 2005 et la population

générale observée entre 1962 et 2000. Elles succèdent depuis 2007 à la Table

Prospective par Génération TPG93 et la Table Prospective de Rente Viagère TPRV93.

Les nouvelles tables prospectives (TGH-05 et TGF-05), pour tenir compte de

l’allongement de l’espérance de vie, ont été construites sur la base des données de la

population d’assurés pour prendre en compte le niveau actuel de mortalité et des

données de la population générale pour prendre en compte l’évolution la mortalité

future.

La réglementation en vigueur autorise les organismes assureurs à utiliser leur propre table de

mortalité d’expérience. Elle permet également au sein du même portefeuille de

provisionnement de réaliser une distinction technique entre les hommes et les femmes ou

d’utiliser une unique table réglementaire, à condition de retenir la plus prudente, à savoir la

TF00-02 pour le risque vie, la TH00-02 pour le risque décès et la TGF05 pour les rentes.

Il peut apparaître opportun pour un organisme assureur qui désire mieux cerner le

comportement de son portefeuille qui serait significativement différent des tables

réglementaires, de construire sa propre table de mortalité d’expérience pour justifier le niveau

de sa prime ou le niveau ses provisions. Ces tables de mortalité d’expérience sont construites

sur la base des données propres au portefeuille, ou de toute autre source de données, à la seule

condition qu’elles permettent de mieux évaluer les engagements de l’assureur.

En effet, l’article A335-1 du Code des Assurances (respectivement A212-10 du Code de la

Mutualité et A931-10-10 du Code de la Sécurité Sociale), qui fixe ce cadre, laisse aux

assureurs le choix de la table utilisée. Ils peuvent ainsi utiliser soit une table réglementaire,

soit sous certaines conditions, utiliser des tables d'expérience construites sur la base des

données propres au portefeuille. Cet article tel que modifié par l’Arrêté du 18 décembre 2012

- art. 2, dispose en substance que :

« Les tarifs pratiqués par les entreprises d’assurance sur la vie et de capitalisation

comprennent la rémunération de l’entreprise et sont établis d’après les éléments suivants :

1° Un taux d’intérêt technique fixé dans les conditions prévues à l’article A. 132-1.

2° Une des tables suivantes :

• Tables homologuées par arrêté du ministre de l’économie et des finances, établies

par sexe, sur la base de populations d’assurés pour les contrats de rente viagère,

et sur la base de données publiées par l’Institut National de la Statistique et des

Etudes Economiques pour les autres contrats ;


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• Tables établies ou non par sexe par l’entreprise d’assurance et certifiées par un

actuaire indépendant de cette entreprise, agréé à cet effet par l’une des

associations d’actuaires reconnues par l’autorité mentionnée à l’article L. 310-

12. ».

En conséquence, si l’organisme assureur opte dans le cadre de sa tarification ou de son

provisionnement pour une table de mortalité d’expérience, cette table doit être certifiée par un

actuaire indépendant habilité à certifier et à suivre les tables de mortalité et agréé par la

Commission de l’Institut des Actuaires. La table de mortalité d’expérience a une durée de

validité de 5 ans si cette dernière fait l’objet d’un suivi régulier. Ce délai passe à 2 ans en

l’absence de suivi.


P a g e 23 | 91

Conclusion de la première partie

Cette première partie nous a permis de définir et de présenter le cadre règlementaire et fiscal

des contrats obsèques. Il était important pour nous de situer le cadre historique et

règlementaire des contrats obsèques pour mieux comprendre des enjeux de construction de la

table de mortalité d’expérience spécifique à notre portefeuille.

En effet, les différentes évolutions du marché des produits obsèques ont accru la concurrence

sur ce secteur. La nécessité de mieux métriser son risque devient désormais nécessaire et

pousse ainsi les assureurs à construire leur propre table de mortalité, ceci afin de capter les

phénomènes d’anti-sélection spécifique à leur portefeuille ou encore de piloter leur résultat.

La partie suivante se donne pour objectif de décrire les méthodes de projection de la mortalité

d’expérience à des fins de tarification et de provisionnement.


P a g e 24 | 91

PARTIE II – MODELISATION DE LA MORTALITE DU

PORTEFEUILLE OBSEQUES


P a g e 25 | 91

PARTIE II – MODELISATION DE LA MORTALITE DU PORTEFEUILLE

OBSEQUES

L’objectif de cette partie sera de détailler les outils de construction des tables de mortalité,

d’une part, et d’aborder la problématique de la qualité des données d’autre part. Les données

d’expérience restreintes dont nous disposons nous amènent à tester différentes méthodes de

projection du taux de mortalité.

Après un traitement des données et une analyse statistique de notre portefeuille, nous

exposerons et argumenterons le choix du modèle d’estimation des taux brutes et du modèle de

lissage retenu.

Chapitre 1 – Présentation des données et traitements

Nous allons décrire dans ce chapitre l’ensemble des données ainsi que les retraitements

réalisés sur les données brutes afin d’obtenir la base finale des sinistres qui sera utilisée pour

la modélisation du risque décès de notre portefeuille de contrats obsèques.

Section 1 – Exhaustivité des données

Il est utile de rappeler que les données nécessaires à notre étude ont été récupérées de deux

outils de production sur la période de 1950 à 2020. Chacune des deux bases est constituée

pour chacune des lignes d’un client résumé par plusieurs variables telles que le nom, le

prénom, la date de naissance, la date d’effet du contrat, le numéro de sécurité sociale ou

encore la date de décès (cette liste n’est pas exhaustive).

En raison de la volumétrie des données, cette base nous est mise à disposition sous un format

« csv » par la direction des systèmes d'information (DSI). Sur chaque fichier source, des

premiers traitements ont été effectués avant agrégation des différents fichiers en une seule

base de travail. Il s’agit des traitements suivants :

• Filtre sur le libellé assureur pour ne retenir que la donnée entrant dans le périmètre

d’étude ;

• Elimination de certains contrats, afin de ne pas réaliser de doublons ;

• Concaténation de l’ensemble des bases en une seule.

Conformément à la réforme RGPD6, les champs suivants sont supprimés dans les bases : nom

et prénom de l’assuré, numéro de sécurité sociale de l’assuré...

6Le règlement général sur la protection des données (RGPD) a pour objectif d'accroître la protection des

personnes concernées par un traitement de leurs données à caractère personnel.


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Après concaténation, la base des sinistres contient 168 288 lignes (soient 122 117 lignes pour

la base 1 et 46 171 lignes pour la base 2) caractérisées pour chaque sinistre par les variables

suivantes :

o Le numéro d’adhérent

o Le numéro de contrat

o Le numéro de sécurité sociale

o Le sexe

o La date de sinistre

o La date de naissance

o La date de souscription du contrat

o La date de résiliation du contrat

o Le motif de résiliation

o La date de terme du contrat

o La date décès

o Le statut du dossier (décédé ou non décédé)

o La Catégories socioprofessionnelles (CSP)

o Le libellé de la garantie

o La somme des montants de prestations payées

Afin de s’assurer de l’exhaustivité des données, nous procédons à une comparaison des

montants de prestations enregistrées en comptabilité et les montants de prestations issues du

fichier de données mis à notre disposition par la DSI (données utilisées pour la construction

de la table de mortalité) : c’est le cadrage des prestations.

D’autres tests de cohérence présentés dans la section suivante seront effectués afin de

fiabiliser au maximum les données à utiliser.

Section 2 – Traitement des données

Comme nous l’avons rappelé plus haut, l’extraction des données a été réalisée par la DSI et

mis à la disposition de l’actuariat sous le format « csv » en raison de la volumétrie des

données. Chaque ligne de ces fichiers mise à disposition représente une ligne de contrat.

Nous avons procédé à un certain nombre de retraitements sur les différentes bases de données

initiales issues des systèmes de gestion et mise à notre disposition par la DSI afin de détecter

d’éventuelles anomalies. Il s’agit des vérifications suivantes :

✓ Date de naissance non renseignée ;

✓ Unicité de date de naissance ;

✓ Unicité de date de décès ;

✓ Date de naissance postérieure à la date de souscription ;


P a g e 27 | 91

✓ Date de souscription postérieure à la date de sortie ;

✓ Date de souscription postérieure à la date de décès ;

✓ Suppression des doublons parfaits.

Etant donné que les différentes bases de données contiennent parfois plusieurs lignes pour un

même adhérent, il est nécessaire de les dédoublonner afin d’obtenir une ligne par adhérent.

Une fois ces retraitements effectués, on procède au cryptage des données (utile lors de l’envoi

des données brutes au certificateur) avant fusion des fichiers pour la modélisation.

Nous rappelons que les différents retraitements présentés dans cette étude ont été effectués

avec les applicatifs Excel et R.

Le processus de traitement et d’agrégation des données est présenté ci-dessous :

➢ Etape 01 : Tests de cohérence sur les bases de données initiales.

BASE 1 BASE 2

Tests de cohérence

Nombre Pourcentage Nombre Pourcentage

de lignes de nombre de lignes de nombre

concernées de lignes concernées de lignes

Date de naissance non renseignée 1 0,00% 167 0,36%

Date de souscription non renseignée 0 0,00% 1 0,00%

Date de naissance postérieure à la date de souscription 0 0,00% 0 0,00%

Age à la souscription Inf à 18 ans ou négatif 9 0,01% 1 0,00%

Age au décès Inf à 18 ans ou négatif 1 0,00% 0 0,00%

Date de souscription postérieure à la date de sortie 1 0,00% 0 0,00%

Date de souscription postérieure à la date de décès 2 0,00% 1 0,00%

Date de décès postérieure à la date de sortie 517 0,42% 38 0,08%

Total 531 0,43% 208 0,45%

Tableau 01 – Récapitulatif des tests de cohérence effectués

Le tableau ci-dessous fait une synthèse des premiers tests de cohérence réalisés sur nos données

brutes issues des fichiers mis à disposition par la DSI.

La date de naissance constitue une information indispensable à la construction des lois

d’expérience. Il en est de même pour la date de décès de l’adhérent. Afin de pallier au manque

d’information sur la date de décès, nous avons croisé notre fichier de données à l’aide du

« Numéro Adhérent » à une base de sinistres issues d’une extraction directe du système de

gestion interne.

➢ Etape 02 : Agrégation des données

L’agrégation des lignes permet d’avoir une ligne par adhérent en ne retenant que le :

• Minimum date de début du contrat ;

• Minimum date de naissance ;

• Maximum date de fin du contrat ;

• Maximum date de décès.


P a g e 28 | 91

A l’issue de cette étape, les bases 1 et 2 sont cryptées et fusionnées. On a ainsi une base unique

de 80 419 lignes dont 77 754 lignes issues de la base 1 et 2 665 lignes issues de la base 2.

➢ Etape 03 : Fenêtrage

Le choix de la période d’observation est crucial dans la mesure où il doit nous permettre

d’obtenir suffisamment de données pour que le volume soit important, sans toutefois mélanger

des populations par âge qui n’auraient pas le même comportement dans le temps.

Pour rappel, nous possédons un historique d’observations de 1950 à 2019, mais nous ne

pouvons pas garder toute cette période car une période d’observation trop longue risque de

comporter des irrégularités. Dans cette démarche, une période de 5 à 10 ans semble

raisonnable. Au-delà, il est important de conduire une étude pour s’assurer qu’il n’y a pas sur

la période retenue d’évolution sensible de la mortalité.

Pour sélectionner notre période d’observation, nous avons analysé pour chaque année

comptable l’évolution du nombre de personnes présentes dans le portefeuille, le nombre de

décès observés, l’âge moyen à la souscription et au décès ainsi que le taux de décès calculé

comme étant le rapport du nombre de décès sur l’effectif présente.

Les résultats sont renseignés dans le tableau suivant :

Année Effectif Age moyen Nombre de décès

Age moyen au décès

Taux de décès

2 002 2 716 39 152 78 5,6%

2 003 2 147 39 179 76 8,3%

2 004 2 075 39 164 78 7,9%

2 005 2 201 39 168 78 7,6%

2 006 2 302 39 181 76 7,9%

2 007 2 362 39 166 77 7,0%

2 008 2 168 39 139 78 6,4%

2 009 2 176 39 175 79 8,0%

2 010 3 759 36 172 78 4,6%

2 011 4 371 38 186 78 4,3%

2 012 3 495 36 205 79 5,9%

2 013 3 592 37 196 80 5,5%

2 014 3 156 36 174 78 5,5%

2 015 3 108 36 199 79 6,4%

2 016 3 869 36 199 78 5,1%

2 017 4 552 34 247 81 5,4%

2 018 4 287 34 224 80 5,2%

2 019 3 831 34 234 81 6,1%

2 020 1 620 34 98 81 6,0%

Tableau 02 – Répartition des effectifs et décès par année


P a g e 29 | 91

On remarque une augmentation de l’effectif du portefeuille entre 2009 et 2010. Cette

évolution confirme le postulat de base fait au début de notre l’étude selon lequel de plus en

plus de Français se tournent vers les contrats d’assurance vie et notamment des contrats

obsèques dans le cadre d’une prévention de leurs frais d’obsèques. L’âge moyen à la

souscription est en baisse et tend à se stabiliser à partir de 2010. Le taux de décès semble

quant à lui relativement stable sur cette même période.

Force de ce constat, nous choisissons comme période d’observation des données, la période

allant du 01/01/2010 au 31/12/2019. Nous disposons ainsi d’une base finale regroupant

78 733 lignes, soit une suppression de 1 686 lignes. L’année 2020 est écarté de la période

d’observation pour tenir compte des déclarations tardives.

➢ Etape 04 : Analyse des données

Pour sélectionner les lignes de données à retenir pour notre modélisation, nous avons réalisé à

l’aide du logiciel R, des manipulations suivantes sur notre base fusionnée :

✓ Nombre de lignes après suppression des lignes pour lesquelles âge d'entrée <= 0 : 78733

- 0 lignes éliminées ;

✓ Nombre de lignes après suppression des lignes pour lesquelles âge d'entrée >= 100 :

78733 - 0 lignes éliminées ;

✓ Nombre de lignes après suppression des lignes pour lesquelles âge de sortie <= 0 : 78733

- 0 lignes éliminées ;

✓ Nombre de lignes après suppression des lignes pour lesquelles âge de sortie <= âge

d'entrée : 67311 - 11422 lignes éliminées.

A l’issue de cette étape ultime avant modélisation, notre base de données passe à 67 311 lignes,

soit un total de 11 422 lignes supprimées.

Dans le segment suivant, une analyse descriptive du portefeuille va nous permettre

d’appréhender les caractéristiques de cette dernière.


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Chapitre 2 – Statistiques de base

Nous aborderons dans ce chapitre une analyse descriptive de notre portefeuille sur la période

d’observation choisie. Cette analyse descriptive permettra de déterminer les différentes

caractéristiques du portefeuille qui pour rappel est composé de 67 331 lignes d’adhérents.

Section 1 – Statistiques descriptives du portefeuille

Afin de vérifier l’inexistence des valeurs aberrantes dans nos données pouvant biaiser la

construction de la table d’expérience, nous avons réalisé des statistiques descriptives sur la base

de données.

• Minimum/Maximum des dates :

Minimum Maximum

Date de naissance 29/05/1901 04/03/1998

Date de survenance du décès 02/01/2002 01/07/2020

Date de souscription 01/07/1950 11/03/2021

Date de sortie 17/10/1997 31/12/9999

Tableau 03 – Récapitulatif des dates clés

• Le nombre d’adhérents par entité et par tranche d’âge :

Tranche d'âge Base 1 Base 2 Effectif

[0 ; 20[ 10 0 10

[20 ; 30[ 17 000 203 17 203

[30 ; 40[ 34 921 985 35 906

[40 ; 50[ 17 093 900 17 993

[50 ; 60[ 7 378 534 7 912

[60 ; 70[ 1 309 42 1 351

[70 ; 103[ 43 1 44

Total 77 754 2 665 80 419

Tableau 04 – Récapitulatif de nombre des adhérents par tranche d’âge

Le pic de souscription se situe entre 30 et 50 ans, avec un âge moyen à la souscription à 37 ans.

Intéressons-nous maintenant à la répartition homme/femme par âge. Le graphique suivant

reprend la répartition homme/femme par âge au 31/12/2020.

0

1 000

2 000

3 000

4 000

5 000

18

21

24

27

30

33

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

76

86

Age à la souscription (âge moyen 37 ans)


P a g e 31 | 91

Figure 03 – Pyramide des âge homme/femme du portefeuille

Cette concentration à cette classe d’âge est en phase avec ce type de produit avec une forte

souscription des actifs et des retraités.

• La répartition du portefeuille par sexe :

Figure 04 – Répartition homme/femme du portefeuille

Il est communément admis que le sexe influe sur la mortalité d’où l’intérêt d’une étude de la

distribution homme/femme de notre portefeuille. Notre portefeuille est composé

majoritairement d’homme avec un sexe ratio (proportion d’hommes dans le portefeuille) de

52% environ.

-1 250 -750 -250 250 750 1 250

21

29

37

45

53

61

69

77

85

93

101

109

117

Pyramide des âges Homme/Femme

F M

F

48%M

52%

Répartition Homme/Femme

F

M


P a g e 32 | 91

• La répartition des sinistres par année de survenance à partir de 2010 :

Figure 05 – Répartition des sinistres par de survenance

A la lecture de ce graphique, on observe une constante au niveau du nombre de décès par

survenance entre 2010 et 2016, suivi d’une augmentation à partir de 2017. L’augmentation du

nombre de décès entre 2017 et 2019 s’expliquer par le développement du portefeuille dû à une

augmentation des assurés à partir de 2017, mais également par un vieillissement du portefeuille.

• La répartition du capital moyen payé par année de survenance à partir de

2010 :

Figure 06 – Répartition du capital moyen par de survenance

Le capital moyen payé au décès se situe entre 30k€ et 46k€.

197 194

217 212

188

215203

249229 236

0

50

100

150

200

250

300

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019

Nombre de décès par survenance

28 659 €

39 230 € 37 646 € 34 998 €

43 524 €

36 001 € 40 056 €

31 744 €

45 739 €

- €

10 000 €

20 000 €

30 000 €

40 000 €

50 000 €

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

Montant moyen réglé en fonction de l'année du décès


P a g e 33 | 91

• La répartition des adhérents par âge au décès :

Figure 07 – Répartition des adhérents par âge au décès

On constate une surmortalité aux âges élevés avec un pic de mortalité entre 80 et 95 ans et un

âge moyen au décès à 79 ans.

Section 2 – Etude de l’exposition du portefeuille

Plusieurs facteurs discriminants influencent la mortalité de notre portefeuille de contrats

obsèques Il s’agit notamment de l’âge, du sexe ou de la catégorie socio-professionnelle (CSP)

:

➢ L’âge : ce facteur joue un rôle important dans l’analyse de la mortalité. En effet,

l’observation des statistiques démographiques montre une évolution de la mortalité

avec l’âge après une légère décroissance les premières années de la vie. L’âge est une

donnée fiable dans notre portefeuille.

➢ Le sexe : Le taux de mortalité observé au niveau national diffère selon le sexe. En

effet, la mortalité des hommes est supérieure à celle des femmes pour un âge donné.

Le sexe est une variable correctement renseignée dans notre base de données.

➢ La catégorie socio-professionnelle (CSP) : selon les études de l’INSEE, la mortalité

peut être différente selon la CSP, selon que son métier est manuel ou non. C’est ainsi

que l’on observe une mortalité différente entre cadre et non cadre ou encore entre

ouvrier et ingénieur. La donnée concernant la CSP n’est pas bien renseignée dans

notre portefeuille, elle ne peut donc pas être considérée comme fiable.

➢ Génération de naissances : la mortalité peut être expliquée par des phénomènes liés

au progrès de la médecine, les conditions sanitaires ou encore les circonstances

exceptionnelles comme les épidémies (Covid, …) ou les conditions climatiques

(canicules, …).

0

20

40

60

80

100

120

140

1602

6

30

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34

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108

Age au décès (âge moyen : 79 ans)


P a g e 34 | 91

➢ La date d’observation : des circonstances exceptionnelles peuvent augmenter ou non

le risque de mortalité (canicules, épidémie…).

Dans le cadre de la construction de notre table de mortalité d’expérience, nous allons étudier

les effets des deux principaux facteurs discriminants de la mortalité : l’âge et le sexe. Ces

facteurs ont un impact sur le tarif et le provisionnement du produit et donc par conséquent

sont bien renseignés par la gestion lors de la souscription des contrats.

Le graphique suivant représente la répartition du nombre de l'exposition et du décès par âge

dans la période d'observation :

Figure 08 – Répartition de l'exposition et des décès par âge

Une grande partie de l’exposition se situe aux âges compris entre 25 ans et 80 ans. En termes

d’exposition, on constate (à échelle égale) que les profils par âge hommes et femmes semblent

similaires. On observe cependant moins de risques décès chez les femmes que chez les

hommes, notamment aux âges les plus élevés.


P a g e 35 | 91

Chapitre 3 – Estimation des taux brut de mortalité

Après les travaux sur la qualité des données, l’étape suivante de la construction d’une table de

mortalité est l’estimation des taux brutes de mortalité. Les taux bruts de décès observés à

l’âge 𝑥, seront estimés pour chaque année calendaire à partir des informations historiques

apportées par notre portefeuille d’assurés.

Nous allons étudier dans ce chapitre deux méthodes d’estimation des taux annuels bruts de

décès : l’estimation par la méthode de Kaplan Meier et l’estimation par la méthode de Hoem.

Nous comparerons les résultats obtenus afin de ne retenir qu’une d’entre elles.

Avant toute chose, faisons un rappel sur les notations et concept de base que nous utiliserons

dans la suite pour la construction de notre table.

Section 1 – Notation et concept de base

Nous allons définir dans ce paragraphe les principaux concepts et quantités les plus

couramment utilisées pour caractériser les variables de durée.

Si l’on considère l’évènement « décès », l’analyse de la survie est l’estimation de la

probabilité que survienne un décès dans le temps, en fonction de facteurs pronostiques

influençant l’estimation.

On définit une durée de survie par une variable aléatoire positive 𝑇 à valeurs dans [0 , +∞[,

de fonction de densité 𝑓 et de fonction de répartition 𝐹 :

• 𝑇𝑥 est la durée de vie d’une personne âgée de x années.

• 𝐿𝑥 représente le nombre de survivant à l’âge 𝑥

• 𝑑𝑥 = 𝐿𝑥+1 − 𝐿𝑥 est le nombre de décès entre les âges 𝑥 et 𝑥 + 1

• La probabilité de survie à l’âge 𝑥 est donnée par la relation : 𝑃𝑥 = 𝐿𝑥+1

𝐿𝑥

• La probabilité de décès à l’âge 𝑥 est donnée par la relation : 𝑞𝑥 = 𝑑𝑥

𝐿𝑥= 1 − 𝑃𝑥

On définit les concepts suivants :

Définition 1. Fonction de répartition :

La fonction de répartition de la variable T noté F(t) est la probabilité de décéder avant

l’instant t :

𝐹(𝑡) = 𝑃(𝑇 ≤ 𝑡)

Définition 2. Fonction de survie :


P a g e 36 | 91

La fonction de survie notée S(t) est la probabilité pour que l’événement d’intérêt « T » (le

décès) intervienne après un délai supérieur à « t ». Autrement dit, que l’événement d’intérêt «

T » ne survienne pas avant la date « t » :

𝑆(𝑡) = 1 − 𝐹(𝑡) = 𝑃(𝑇 > 𝑡)

Dans la suite de notre étude, on s’intéressera à la fonction de survie conditionnelle ou

autrement dit la probabilité de survivre jusqu'à l'âge t sachant qu'on est en vie à l'âge 𝑥 défini

par :

𝑆𝑥(𝑡) = 𝑃( 𝑇 > 𝑡 + 𝑥 ∣ 𝑇 > 𝑥 ) = 𝑃(𝑇 > 𝑡 + 𝑥)

𝑃(𝑇 > 𝑥)=

𝑆(𝑥 + 𝑡)

𝑆(𝑥)

Définition 3. Fonction de hasard :

La fonction de hasard encore appelé taux instantané de décès et notée h(t) est la probabilité de

décès dans un temps infinitésimalement petit sachant qu’on est en vie au temps t. La fonction

de hasard est définie par l’expression suivante :

ℎ(𝑡) = 𝑓(𝑡)

𝑆(𝑡)= −

𝑑

𝑑𝑡𝑙𝑛𝑆(𝑡)

De cette relation, il en résulte que la fonction de hasard détermine entièrement la loi de T et

on a la relation suivante :

𝑆(𝑡) = exp (− ∫ ℎ(𝑠)𝑡

0

𝑑𝑠)

Le taux instantané cumulé H(t) est quant à elle défini par :

𝐻(𝑡) = ∫ ℎ(𝑥)𝑡

0

𝑑𝑥

Définition 4. Censure :

C’est un cas particulier de données incomplètes où la durée de vie commence ou se termine

dans un intervalle de temps particulier, et souvent en dehors de la période de suivi. Dans notre

étude, elle correspond au cas observé lorsqu’un contrat est résilié, racheté ou échu avant la fin

de la période d’observation. Tout ce que l’on sait c’est qu’à la date de fin d’observation, ces

assurés sont toujours vivants, mais la durée exacte n’est pas connue : Ces assurés sont dits

censurés.

On distingue trois types de censure :

La Censure de type I : la durée de vie n’est pas observable au-delà d’une durée maximale fixe

ou avant une date fixe. On observe donc la durée de vie de l’individu 𝑖 que lorsque 𝑇𝑖 < 𝐶,

avec C un réel positif.


P a g e 37 | 91

La Censure de type II : on observe la durée de vie de l’individu 𝑖 jusqu’à ce que le kième meurt.

Ainsi au lieu d’observer la durée de vie des 𝑛 individus T1, T2, . . ., Tn, on observe seulement

𝑇1 ≤ 𝑇2 ≤ . . . ≤ 𝑇𝑘.

La Censure de type III : il s’agit le plus souvent d’une information incomplète liée à un

évènement non fixé.

Définition 4. Troncature :

C’est également un cas particulier de données incomplètes qui correspond à des durées de vie

qui ne sont pas observées en dessous d’un certain seuil (troncature à gauche).

Définition 5. Données complètes et incomplètes :

Lors de la construction d’une table de mortalité, les données issues du portefeuille ne sont pas

toujours complètes. Les individus d’âge 𝑥 ne sont pas tous observables entre 𝑥 et 𝑥+1 dans la

période d’observation.

La figure suivante illustre les cas de données complètes et incomplètes observées dans notre

étude :

Figure 09 – Differents types de données (source : Les dossiers techniques d’information

Optimind Juin 2007 - Les tables de mortalité)

Sur cette figure, Td et Tf représentent respectivement le début d’observation et la fin

d’observation et on note [Td , Tf] la période d’observation :


P a g e 38 | 91

L’individu 1 est une donnée complète puisqu’il atteint l’âge 𝑥 après Td et meurt ou atteint

l’âge 𝑥 + 1 avant Tf.

L’individu 2 est une donnée tronquée à gauche puisqu’il atteint l’âge 𝑥 avant Td et meurt ou

atteint l’âge 𝑥 + 1 avant Tf.

L’individu 3 est une donnée censure à droite car à la date du 𝑥+1ème anniversaire, l’individu

n’est pas observable.

En cas d’observation incomplète, la donnée est tronquée et/ou censurée. Une sortie pour une

raison autre que le décès est également considérée comme une observation incomplète et la

donnée est censurée à droite.

Section 2 – Estimation des taux bruts par la méthode de Hœm

L’estimateur de Hoem est une généralisation de l’estimateur binomial, permettant d’effectuer

pour un âge 𝑥 le calcul des taux de mortalité 𝑞𝑥 en prenant en compte les phénomènes de

censures et de troncatures. On dispose ainsi pour chaque âge 𝑥 de 𝑛 variables aléatoires à

deux issues : vivant ou décès.

On suppose que les individus sont indépendants les uns des autres et on pose :

• 𝑁𝑥 le nombre d’individus en vie à l’âge 𝑥 durant la période d’observation

• 𝑞𝑥 la probabilité de décès dans l’année d’un individus d’âge 𝑥

• 𝐷𝑥 la variable aléatoire représentant le nombre de décès observés entre 𝑥 et 𝑥 + 1 et

𝑑𝑥 la réalisation de 𝐷𝑥 c’est-à-dire le nombre de décès observés parmi les 𝑁𝑥 individus

sur la période d’observation.

𝐷𝑥~𝛽(𝑁𝑥 ; 𝑞𝑥)

L’estimateur binomial des taux de décès à l’âge 𝑥 est donné par :

�̂�𝑥 = 𝑑𝑥

𝑁𝑥

On en déduit à travers les approximations l’estimateur de Hoem du taux de mortalité 𝑞𝑥 :

�̂�𝑥 = 𝑑𝑥

𝐸𝑥

Où la quantité notée 𝐸𝑥 est l’exposition, c’est-à-dire la somme des présences (fractions

d’années) de chaque assuré d’âge 𝑥 présent dans le portefeuille durant l’année.


P a g e 39 | 91

Connaissant la loi de 𝐷𝑥, on peut construire un intervalle de confiance autour de l’estimateur

de taux de mortalité de Hoem. Cela suppose que les décès observés suivent une loi binomiale

telle que :

𝐷𝑥~𝛽(𝐸𝑥 ; 𝑞𝑥)

L’intervalle de confiance de l’estimateur de Hoem est construit à partir des estimations des

taux de mortalité �̂�𝑥 connus. La loi Binomiale pouvant être approximée par une loi Normale,

on peut supposer en remplaçant l’écart-type théorique par l’écart-type estimé que :

𝑞𝑥~N (�̂�𝑥 ; √�̂�𝑥(1 − �̂�𝑥)

𝐸𝑥 )

L’intervalle de confiance de l’estimateur de Hoem quel que soit l’âge 𝑥 de niveau de

confiance (1- 𝛼) est donné par la relation suivante :

𝐼𝐶(1− 𝛼) = ⦋ �̂�𝑥 − 𝜇(𝛼/2) √�̂�𝑥(1 − �̂�𝑥)

𝐸𝑥 ; �̂�𝑥 + 𝜇(𝛼/2) √

�̂�𝑥(1 − �̂�𝑥)

𝐸𝑥 ⦌

Ainsi, pour un 𝛼 fixé et pour un âge donné 𝑥, les taux de mortalité 𝑞𝑥 sont tels que :

ℙ ⦋ �̂�𝑥 − 𝜇(𝛼/2) √

�̂�𝑥(1 − �̂�𝑥)

𝐸𝑥 ; �̂�𝑥 + 𝜇(𝛼/2)

√�̂�𝑥(1 − �̂�𝑥)

𝐸𝑥 ⦌ = (1 − 𝛼)

En appliquant la méthode de Hoem à notre portefeuille, on peut tracer grâce au logiciel R les

taux de mortalité q̂x bruts homme, femme et unisexe suivants :


P a g e 40 | 91

Figure 10 – Comparaison des taux bruts – méthode de Hoem

On peut faire plusieurs constats à la lecture de ce graphique :

• La première observation est que la courbe unisexe est comprise entre la courbe homme

et la courbe femme.

• Les taux de mortalité des hommes (en rouge sur le graphique) sont globalement

supérieurs à ceux des femmes. Ce constat est en parfaite adéquation avec les

statistiques nationales sur la mortalité où on observe une mortalité plus forte chez les

hommes que chez les femmes.

• Les taux de mortalité brutes sont erratiques, ce qui peut remettre en cause la qualité de

l’estimation. Ces irrégularités observées s’expliquent par la faible quantité de données

à notre disposition, mais également par le fait que l'exposition est faible aux âges

élevés ou au risque d’échantillonnage.


P a g e 41 | 91

Section 3 – Estimation des taux bruts par la méthode de Kaplan Meier

L’estimateur de Kaplan-Meier encore appelé « estimateur produit-limite » a été introduit par

Edward L. Kaplan et Paul Meier en 1958 et permet l’estimation des taux bruts. Le principe de

Kaplan-MEIER est d’estimer la fonction de survie S(t) des vies observées par un estimateur

non paramétrique et basé sur le principe qu’être en vie à l’instant « t » c’est être en vie juste

avant et ne pas décéder à cet instant. Il fait donc intervenir les probabilités de survie en « t »

conditionnellement au fait d’être en vie juste avant. Cet estimateur prend en compte les

notions de censures et de troncatures.

Introduisons les notations suivantes :

• 𝑆𝑥 est la loi de survie discrète de la forme (𝑎𝑖 ; 𝑠𝑖) où les 𝑎𝑖 correspondent aux dates

connues où se produit un évènement entre 𝑥 et 𝑥 + 1 et les 𝑠𝑖 correspondent aux

valeurs prises par 𝑆𝑥 en 𝑎𝑖

• 𝑇𝑥 est la durée de vie résiduelle d’un individu conditionnellement au fait qu’il soit

vivant à l’âge 𝑥

• 𝑞𝑖 est la probabilité de décéder à la date 𝑎𝑖

• 𝑝𝑖 est la probabilité d’être vivant à la date 𝑎𝑖

• 𝑁𝑖 est le nombre d’individus vivants à la date 𝑎𝑖

• 𝑑𝑖 est le nombre d’individus décédées à la date 𝑎𝑖

• 𝑐𝑖 est le nombre d’individus qui sorte par censure à la date 𝑎𝑖

• 𝑡𝑖 est le nombre d’individus qui sorte par troncature à la date 𝑎𝑖

On cherche à estimer la probabilité de décès 𝑞𝑥 entre 𝑥 et 𝑥 + 1. Avant cela, on estime

d’abord la fonction de survie sur l’intervalle [ 𝑥 ; 𝑥 + 1 [.

Par définition, on a la relation suivante :

𝑞𝑥 = 1 − 𝑃𝑥 = 𝑆(𝑥 + 1)

𝑆(𝑥)

Cachant que ∀ 𝑡 ∈ [0 ; 𝑎𝑚[, la fonction de survie 𝑆𝑥(𝑡) vérifie la relation :

𝑆𝑥(𝑡) = ∏ (1 − 𝑞𝑟)

𝑟|𝑎𝑖<𝑡

L’estimateur naturel de 𝑃𝑖 est le nombre de vivants à la date 𝑎𝑖+1 divisé par le nombre de

vivant en 𝑎𝑖 et donné par la relation :

�̂�𝑖 = 𝑛𝑖 − 𝑑𝑖

𝑛𝑖= 1 −

𝑑𝑖

𝑛𝑖

L’estimateur de Kaplan-MEIER correspond au produit de toutes les probabilités de n’avoir

connu l’évènement de sortie depuis le début de l’observation :


P a g e 42 | 91

�̂�𝑥(𝑡) = ∏ (1 −𝑑𝑖

𝑛𝑖)

𝑖|𝑎𝑖<𝑡

De cette relation, on en déduit l’expression de l’estimateur de la probabilité de décès �̂�𝑥 :

�̂�𝑥 = 1 − �̂�𝑥(𝑡) = 1 − ∏ (1 −𝑑𝑖

𝑛𝑖)

𝑖|𝑎𝑖<𝑡

Avec 𝑛𝑖 = 𝑛𝑖−1 − 𝑑𝑖−1 − 𝑐𝑖−1 − 𝑡𝑖−1

L’intérêt de la méthode de Kaplan Meier est qu’elle permet d’approcher la forme empirique

prise par le risque de mortalité, sans spécification de loi. Il connait plusieurs applications dont

l’actuariat et est reconnu pour sa robustesse et sa prise en compte de données incomplètes

(censures et troncatures).

A noter toutefois que cette méthode n’est pertinente que si chaque intervalle de temps

considéré est « petit » relativement à la vitesse de variation de la fonction de survie. Il faut

donc s’assurer que la discrétisation ne génère pas de biais important dans l’estimation.

Avant sa mise en application, rappelons ses grandes étapes :

Etape 1 : Création de l’indicatrice de censure, de troncature et de décès

A partir les dates de naissance, de décès, de début d’observation ou de fin d’observation, on

crée les variables binaires suivantes :

Troncature = {1, si la date de naissance < 𝑙𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑒 𝑑é𝑏𝑢𝑡 𝑑’𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛0, sinon

Décès = {1, si l’individu décède dans la période d’observation0, sinon

Censure = {1, si l’individu est vivant au bout de la période d’observation ou est

sortie de la base au cours de la période d’observation0, sinon

Durée de la survie = âge fin d’observation

Durée de la troncature = âge début d’observation

Etape 2 : Calcul du nombre d’individus décédés et censurés

On calcule ensuite le nombre d’individus décédes 𝑑𝑖 et le nombre d’individus censuré à 𝑐𝑖

Etape 3 : Calcul du nombre d’individus tronqués

A l’étape suivante, on calcule le nombre d’individus tronqué 𝑡𝑖


P a g e 43 | 91

Etape 4 : Calcul ni, Sx par âge

Le nombre d’individus vivant et la fonction de survie est estimé par les relations suivantes :

𝑛𝑖 = 𝑛𝑖−1 − 𝑑𝑖−1 − 𝑐𝑖−1 − 𝑡𝑖−1

�̂�𝑥(𝑡) = ∏ (1 −𝑑𝑖

𝑛𝑖)

𝑖|𝑎𝑖<𝑡

Etape 5 : Calcul �̂�𝑥 par âge

Enfin, on estime la probabilité de décès par la relation :

�̂�𝑥 = ∏ (1 −𝑑𝑖

𝑛𝑖)

𝑎𝑚

𝑖−𝑎𝑖

En appliquant cette méthode à notre base de données finales grace au logiciel R, on peut tracer

la courbe des taux bruts suivante :


P a g e 44 | 91

Figure 11 – Comparaison des taux bruts – méthode de Kaplan-Meier

Comme avec la méthode Hoem, on constate que la courbe unisexe estimée par la méthode de

Kaplan-Meier se situe entre la courbe des hommes et celle des femmes. Le constat est le

même pour la volatilité des 𝑞𝑥 notamment aux âges les plus élevés. En effet, les courbes des

taux brutes obtenues présentent des irrégularités, principalement liées à la faible quantité de

données à notre disposition et éventuellement au risque d’échantillonnage.

L'estimateur de Kaplan-Meier n'étant en général pas sans biais, nous allons construire un

intervalle de confiance permettant de vérifier la volatilité de cet estimateur. Pour cela, on

s’appuie sur l’estimateur (convergent) de Greenwood de la variance de la fonction de survie

de l’estimateur de Kaplan Meier donné par la formule suivante :

𝑉𝑎�̂�(�̂�(𝑡𝑗)) = �̂�(𝑡𝑗)2

∑ 𝑑𝑖

𝑛𝑖(𝑛𝑖 − 𝑑𝑖)

𝑗

𝑖=1

Ainsi, l’intervalle de confiance de la fonction de survie de l’estimateur de Kaplan Meier de

niveau de confiance 95% est donné par la relation suivante :

𝐼𝐶95% [�̂�(𝑡𝑗)] = �̂�(𝑡𝑗) ± 1,96 ∗ √𝑉𝑎�̂�(�̂�(𝑡𝑗))

En raison du faible volume de données à notre disposition, nous allons opter pour la table

unisexe dans la suite de notre étude.

Section 4 – Comparaison des taux bruts et choix de l’estimateur

Nous avons dans les sections qui précèdent, calculé les taux bruts de décès par la méthode de

Hœm et la méthode de Kaplan-Meier.

La figure ci-dessous compare graphiquement les taux bruts unisexes obtenus par les deux

méthodes :


P a g e 45 | 91

Figure 12 – Comparaison des taux bruts de Kaplan-Meier et Hœm

D’un point de vue graphique, les deux méthodes semblent proches en terme de résultat et

pertinentes en terme d’approche. Nous pouvons constater que les taux bruts issus des deux

méthodes suivent globalement la même évolution. Nous remarquons des différences très

faibles avant 70 ans. En revanche, les taux obtenus par le modèle de Kaplan-Meier sont

supérieurs à ceux calculés grâce à l’estimateur Hœm aux âges élevés : la méthode de Kaplan-

Meier est globalement plus prudente.

En raison du fait que les taux de mortalité estimés par Kaplan-Meier soient légèrement

supérieurs à ceux estimés par Hœm, nous retenons la méthode KAPLAN-MEIER à cause de

sa prudence aux âges élevés.

Chapitre 4 – Lissage et ajustement des taux bruts estimés

Ce chapitre constitue l’avant-dernière étape de notre étude sur la mortalité de notre

portefeuille obsèques.

Les valeurs obtenues pour les taux bruts (présentés dans le chapitre précédent) ne reflètent pas

exactement le phénomène sous-jacent que nous cherchons à mesurer. Des fluctuations

d’échantillonnage induisent une variabilité, non représentative de la durée de survie que nous

allons chercher à supprimer. La table va ainsi être lissée ou ajustée pour représenter le plus

fidèlement possible la durée de vie de notre portefeuille.

Il existe à cet effet, plusieurs approches permettant de lisser ou d’ajuster les taux bruts :

0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90

Qx -

unis

exe

Age

Comparaison méthode de KM et Hoem

Kaplan-Meier Hoem


P a g e 46 | 91

• L’approche paramétrique : cette approche permet de faire un ajustement des taux bruts

par rapport à une loi paramétrique généralement continue et définie par des

paramètres.

• L’approche non paramétrique : dans cette approche, les taux sont lissés sans

ajustement à une loi.

Nous avons retenu deux méthodes : la méthode de BRASS et celle de Whittaker-Henderson.

Nous allons dans ce chapitre présenter chacune des méthodes. Une application de ces

méthodes aux taux bruts permettra de comparer les deux approches et de ne retenir pour la

suite que celle qui ajuste ou lisse le plus fidèllement nos données.

Section 1 – Lissage par la méthode de BRASS

La méthode lissage de BRASS, dont la plus célèbre est celle de Brass (1971), est une méthode

sémi-paramétrique. Son principe consiste en un positionnement des données brutes par rapport

à une table de référence à l’aide de la fonction logistique. C’est une approche à deux paramètres

(𝛼 et 𝛽) dont le premier, le paramètre 𝛼 est un indicateur de mortalité affectant tous les âges de

la même façon et le second, le paramètre β modifie cet effet avec l’âge.

Ce modèle admet l’existence d’une relation linéaire entre les logits des probabilités de décès de

la population étudiée, les 𝑞𝑥 et celle de la population de référence, les 𝑞𝑥𝑟𝑒𝑓

pour un âge donné

𝑥.

les 𝑞𝑥 et les 𝑞𝑥𝑟𝑒𝑓

sont liés par la formule suivante :

𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡(𝑞𝑥) = 𝛼 + 𝛽 ∗ 𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡(𝑞𝑥𝑟𝑒𝑓

)

Où :

𝑥 : représente l’âge commune entre la table de taux bruts estimés et la table de mortalité de

référence.

𝑞𝑥𝑟𝑒𝑓

: représente le taux de mortalité à l’âge 𝑥 dans la table de mortalité de référence ;

𝛼 : est un paramètre de mortalité affectant tous les âges de la même façon ;

𝛽 : est un paramètre qui fait varier l’effet de 𝛼 en fonction de l’âge.

Le modèle de BRASS est donc un modèle de régression linéaire sur le logit du taux instantané

de mortalité 𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡(𝑞𝑥) par le logit du taux instantané de mortalité d’une table de mortalité de

référence 𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡(𝑞𝑥𝑟𝑒𝑓

).

On rappelle que la fonction logit est définie par : 𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡(x) = ln (𝑥

1−𝑥) pour tout 𝑥 dans

l’intervalle ]0 ;1[.


P a g e 47 | 91

Enfin, la probabilité de décès du portefeuille 𝑞𝑥 est obtenue par la relation suivante :

�̂�𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 (�̂� + �̂� ∗ 𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡(𝑞𝑥

𝑟𝑒𝑓))

1 + 𝑒𝑥𝑝 (�̂� + �̂� ∗ 𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡(𝑞𝑥𝑟𝑒𝑓

))

les paramètres �̂� et �̂� (estimateurs de 𝛼 et 𝛽) sont estimés par minimisation de la distance

pondérée par l’exposition entre la probabilité de décès observées et estimées par une méthode

des moindres carrés ordinaires.

Ces paramètres une fois estimés avec la table TH 00-02 comme table de référence prennent

les valeurs suivantes :

�̂� = −𝟎. 𝟏𝟔𝟐𝟐𝟏𝟗𝟑

�̂� = 𝟏. 𝟐𝟑𝟑𝟕𝟑𝟔𝟓

Après application aux taux bruts, nous obtenons le graphique suivant :

Figure 13 – Courbe de taux bruts et ajustés par la méthode de BRASS


P a g e 48 | 91

Section 2 – Lissage par la méthode de Whittaker-Henderson

La méthode de Whittaker-Henderson est une méthode de lissage dont le principe de base

consiste à trouver le meilleur ajustement alliant fidélité aux données brutes et régularité de la

courbe des taux lissés qui minimisent une certaine combinaison linéaire des deux critères.

On note qu’au regard de nos données, nous sommes en dimension 1.

• Le critère de fidélité :

Ce critère mesure la distance euclidienne entre la mortalité lissée et la mortalité brute, chaque

distance étant pondérée. Pour être fidèle, les taux lissés doivent être aussi proches que

possibles des taux bruts.

On note F le critère de fidélité aux données et défini par la formulation suivante :

𝐹 = ∑ 𝑤𝑥(v𝑥 − 𝑢𝑥)2

𝑛

𝑥=1

Où :

﹣ 𝑈 = (𝑄1, . . . , 𝑄𝑛) est une matrice colonne de dimension n qui contient les taux bruts ;

﹣ 𝑉 = (𝑞1, . . . , 𝑞𝑛) est une matrice colonne également de dimension n qui contient les

taux lissés ;

﹣ 𝑊 = (𝑤1, . . . , 𝑤𝑛) est une matrice diagonale de dimension n*n qui contient les poids,

correspondant au taux d’exposition par âge ;

﹣ n est l’âge de fin de l’étude.

• Le critère de régularité :

Ce critère est un l'indicateur qui nous renseigne sur la régularité de la courbe obtenue après

lissage des taux bruts. Il mesure la distance entre valeurs lissées par différences avant. Ça

formulation fait ainsi appel à l'opérateur de différenciation et est définie comme suit :

𝐹 = ∑ ∆𝑧(v𝑥)2

𝑛−𝑧

𝑥=1

Où :

﹣ z : est le paramètre du modèle qui détermine le degré du polynôme utilisé pour le

critère de régularité ;

﹣ ∆𝑧 : est la différence d’ordre z entre les valeurs de v𝑥 et ∆𝑧(v𝑥)


P a g e 49 | 91

La méthode de lissage de Whittaker-Henderson consiste à trouver les valeurs lissées �̂�𝑥 qui

minimisent M tel que :

𝑀 = 𝐹 + ℎ × 𝑆 = ∑ 𝑤𝑥(v𝑥 − 𝑢𝑥)2

𝑛

𝑥=1

+ ℎ ∑ ∆𝑧(v𝑥)2

𝑛−𝑧

𝑥=1

Où h est un second paramètre du modèle et s'interpréter comme l'équilibre entre la fidélité et

la régularité. Plus il sera élevé, plus il sera accordé de l'importance à la régularité.

Pour trouver les taux ajustés 𝑞𝑥, une condition nécessaire est que les n équations provenant

des dérivées partielles de M par rapport à chacun des 𝑞𝑥 soient nulles. Cette condition est

suffisante étant donnée la convexité de M.

Cela revient donc à résoudre l’équation suivante :

𝜕𝑀

𝜕v𝑥= 0

La solution matricielle s’obtient en posant les vecteurs et matrice suivants :

W=(𝑤1 ⋯ 0

⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 𝑤𝑛

) U=(�̂�1…�̂�𝑛

) V= (𝑞1…𝑞𝑛

)

Et :

𝐹 = (v𝑥 − 𝑢𝑥)𝑇 × 𝑊 × (v𝑥 − 𝑢𝑥)

∆𝑧V= (∆𝑧𝑞1

…∆𝑧𝑞𝑛

)

Appliquons à présent cette méthode aux taux de décès bruts unisexes calculés par la méthode

de Kaplan-Meier.

Notons au passage qu’il n'existe pas de méthode formelle en ce qui concerne le choix des

paramètres z et h. En pratique, on procède par une analyse visuelle de la courbe de lissage en

faisant varier la valeur des paramètres z et h jusqu’à la convergence entre taux lissés et taux

bruts.

Les essais réalisés sur notre étude ont abouti aux observations suivantes :

➢ Paramètre z : un paramètre z trop faible (exemple z = 1) ne lisse pas suffisamment les

irrégularités, tandis qu’une valeur trop élevée de z tend à représenter une droite.

➢ Paramètre h : plus h est grand, plus le critère « régularité » a de l’importance par

rapport au critère « fidélité aux données brutes ».

Pour notre étude, une analyse visuelle nous a amené à retenir les valeurs des paramètres

suivants : z = 2 et h = 200 permettant d’avoir une adéquation suffisante aux données.


P a g e 50 | 91

Par ailleurs, nous avons utilisé ce lissage en supposant tous les 𝑤𝑖 égaux à 1.

Les résultats sont résumés dans le graphique qui suit :

Figure 14 – Lissage de Whittaker-Henderson des taux bruts de Kaplan-Meier

Section 3 – Comparaison des méthodes de lissage et d’ajustement

Une fois nos taux de mortalité lissés à l’aide des deux méthodes présentées ci-dessus, il

semble pertinent de comparer ces méthodes afin de déterminer laquelle des méthodes serait la

plus appropriée à notre portefeuille obsèques.

Le graphique ci-après compare les taux bruts de mortalité unisexe estimés par la méthode de

Kaplan-Meier et les taux lissés par les méthodes de Brass et Whittaker-Henderson :


P a g e 51 | 91

Figure 15 – Comparaison du lissage de BRASS et de Whittaker-Henderson

Le lissage de Whittaker-Henderson permet d'obtenir une meilleure estimation des 𝑞𝑥 là où

l'exposition est grande car elle va lisser la courbe avec plus de liberté que la méthode de

BRASS. Mais le problème se pose quand on arrive aux 𝑞𝑥 volatiles. En effet, le critère de

fidélité va faire « suivre » à Whittaker-Henderson sa volatilité et son non-sens aux âges

élevés. Une solution pour pallier ces problèmes d'extrémités est de lisser la courbe sur une

partie dont l'exposition nous assure une certaine régularité du lissage.

La méthode de BRASS prend en référence la courbe de mortalité réglementaire permettant

d’utiliser les propriétés de la courbe de référence. Elle présente aussi un grand intérêt pour des

études avec peu de données comme la nôtre. Elle permet en effet, d’ajuster une table de

mortalité sur des données avec peu d’observations en la comparant avec une table de mortalité

de référence.

Dans cette étude, les méthodes de lissage BRASS et de Whittaker-Henderson présentent tous

deux des avantages et semblent très proches en terme de résultat d’un point de vue graphique.

Pour les évaluer, nous allons utiliser un critère quantitatif : le critère de régularité. Cet indicateur

a été développé dans la méthode de Whittaker-Henderson. Sa formulation est la suivante :

∑(�̂�𝑥+1 − �̂�𝑥)2

𝑥

→ 0


P a g e 52 | 91

La méthode de Whittaker-Henderson rappelle qu’il y a régularité des taux lissés si cet

estimateur tend vers 0.

Les résultats de ce test sont résumés dans le tableau suivant :

Critère de régularité Brass Whittaker-Henderson

∑(�̂�𝑥+1 − �̂�𝑥)2

𝑥

1,03E-04 9,73E-03

Tableau 05 – Test de régularité

La méthode de Brass donne des meilleurs résultats au test de régularité : nous allons retenir

cette méthode pour la suite.


P a g e 53 | 91

Chapitre 5 – Validation et fermeture de la table

Une fois le lissage effectué, il convient de valider la qualité de l’ajustement. Il s'agit en effet

de vérifier l'adéquation des taux ajustés aux taux bruts estimés. Le chapitre qui suit va nous

permettre de définir des indicateurs statistiques nous permettant de valider la qualité de

l’ajustement avant la fermeture de la table aux âges extrêmes.

Section 1 – Validation de l’ajustement et test statistiques

A la Suite des traitements d’ajustement, il convient de vérifier la validité des taux obtenus. Le

premier test de validité que nous allons effectuer consiste à comparer les décès théoriques et

les décès observés au niveau global et par âge sur l’ensemble de la période d’observation.

Nous allons dans un second temps procéder à un test du Chi deux afin de s’assurer que les

taux ajustés ne sont pas trop éloignés des taux bruts.

• Comparaison du nombre de décès : Ratio SMR

Afin de mesurer la prudence de la table d’expérience, l’approche retenue consiste à comparer

le nombre de décès observés et le nombre de décès issus du modèle.

Le ratio SMR nous permet de savoir si la mortalité prédite est identique à la mortalité

réellement observée. Le SMR est défini comme le rapport du nombre de décès observé au

nombre de décès prédits dans une population de référence, avec l’objectif qu’il soit le plus

proche possible de 1.

En effet, un SMR supérieur à 1 signifie que les décès ajustés sont sous-estimés par rapport

aux décès observés et inversement si le SMR est inférieur à 1.

Pour déterminer le nombre de décès estimés par la table d’expérience, un calcul tête par tête

est effectué. Le nombre de décès espéré à l’âge x est égal à l’exposition au risque multiplié

par la probabilité conditionnelle de décès à cet âge directement lu dans la table d’expérience.

On a la formulation suivante :

𝑆𝑀𝑅 =∑ 𝐷𝑖

𝑥𝑚𝑎𝑥𝑖=𝑥𝑚𝑖𝑛

∑ �̂�𝑖 × 𝐸𝑖𝑥𝑚𝑎𝑥

𝑖=𝑥𝑚𝑖𝑛

Le rapport entre le nombre total de décès réellement observé et le nombre de décès obtenus

avec les taux lissés est de 90,3%, soit une différence de 9,7%. Cela nous permet de dire que

notre lissage est de bonne qualité.


P a g e 54 | 91

• Backtesting :

Afin d’évaluer la robustesse de notre table de mortalité et valider par la même occasion la table

construite, nous avons réalisé un « Backtesting ».

Le backtesting permet ainsi de vérifier si la table de mortalité construite reproduit correctement

la tendance qui existe sur le portefeuille. Pour se faire le modèle a été appliqué sur la période

2016-2019 afin de déterminer les nombres d’adhérents décédés sur cette période.

Comme le SMR, le but ici est de comparer les décès théoriques déterminés à partir de la table

d’expérience construite et les décès réellement observés et d’en mesurer les écarts.

Le tableau ci-dessous récapitule les écarts observés entre les décès théoriques et les décès

réels par âge et sur l’ensemble de la période d’observation :

Age Exposition Proportion Décès réel Décès modèle Ecart

20-31 16 360 13,27% 3 2 -33,3%

32-35 14 178 11,50% 4 3 -25,0%

36-39 14 297 11,59% 5 5 0,0%

40-43 12 582 10,20% 8 9 12,5%

44-47 10 296 8,35% 10 13 30,0%

48-51 9 752 7,91% 14 17 21,4%

52-55 10 760 8,73% 22 22 0,0%

56-59 11 473 9,30% 33 31 -6,1%

60-64 11 833 9,60% 60 67 11,7%

65-110 11 773 9,55% 482 543 12,7%

Total 123 304 100,00% 643 712 10,7%

Tableau 06 – Comparaison des décès observés et décès estimés par tranche d’âge

A partir de ces résultats, on peut conclure que le backtesting des décès prédits valide la table

d’expérience construite.

• Intervalles de confiance :

Afin de justifier d’une représentation correcte de la réalité par la table d’expérience, les décès

observés devraient, si l’ajustement est bon, se trouver entre les bornes inférieures et supérieures

de l’intervalle de confiance du lissage, et ce à chaque âge.

Pour nous assurer de la bonne représentation de la réalité, nous avons calculé l’intervalle de

confiance à 95% de l’ajustement de Brass et les résultats sont présentés dans le graphique

suivant :


P a g e 55 | 91

Figure 16 – Intervalle de confiance (IC) à 95 %

Les courbes avec des marqueurs « bleu » et « rouge » représentent les bornes inférieure et

supérieure de l’intervalle de confiance (IC) à 95 % pour les taux de décès ajustés. On peut

formuler les observations suivantes à la lecture du graphique :

✓ Les décès modélisés se situent globalement à l’intérieur des intervalles de confiance

théoriques à 95 % sur l’ensemble de la plage d’âge considérée, signe d’une

représentation correcte de la réalité par la table d’expérience.

✓ On observe également une forte augmentation de la taille de l’intervalle de confiance

aux environs de 90 ans. En effet, on sait que pour les âges les plus élevés, les taux de

mortalité bruts estimés sont plus volatiles en raison d’une faible exposition.

✓ On observe au global sur la plage d’observation que le nombre de décès observes se

situe à l’intérieure de la bande de confiance.

✓ On se rend compte qu’entre 65 et 70 ans, on sort de l’intervalle de confiance et surtout

qu’aucune des méthodes d’estimation et de lissage n’arrive à anticiper cette variation.

Ça pourrait s’expliquer par un manque de variables explicatives et donc que l’âge au

décès ne suffit pas à expliquer toute seule et de manière fiable les taux de décès. On

peut supposer que c’est dû au portefeuille et pas spécialement aux méthodes.

• Test du Chi-Deux


lissés ne sont pas « trop éloignés » des taux bruts estimés par la méthode de Kaplan-Meier,

nous allons appliquer à nos résultats un test d'adéquation du 𝒳2.


P a g e 56 | 91

Le test du 𝒳2 est un indicateur permettant de mesurer la qualité de l’ajustement du modèle. Il

calcule la somme des carrés des écarts entre les taux bruts et les taux lissés, et est pondéré par

les expositions.

Le quantile de la loi du chi-deux correspondant à la distance relative entre les taux bruts

estimés et les taux lissés est défini par :

𝒳2𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣é = ∑

(𝐷𝑥 − 𝐸𝑥 × �̂�𝑥)2

𝐸𝑥 × �̂�𝑥 × (1 − �̂�𝑥)

𝑥𝑚𝑎𝑥

𝑥=𝑥𝑚𝑖𝑛

Où :

﹣ 𝐷𝑥 : représente nombre de décès réellement observé ;

﹣ 𝐸𝑥 : représente l’exposition ;

﹣ �̂�𝑥 : représente les taux lissés.

Ce test du chi deux dont l’objectif est de vérifier la qualité globale des taux révisés en

s’assurant qu’ils ne sont pas « trop éloignés » des taux estimés, revient à tester les deux

hypothèses suivantes :

o 𝐻0 : La distribution des décès réels n′est pas significativement différente de la

distribution théorique

o 𝐻1 : La distribution des décès réels est significativement différente de la distribution

théorique

Pour un 𝛼 donné fixé, on a les règles de décision suivante :

o Si 𝒳2𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣é ≥ 𝒳2

𝛼, on rejette 𝐻0

o Si 𝒳2𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣é < 𝒳2

𝛼, on ne rejette pas 𝐻0

Où 𝒳2𝛼, un quantile donné par la table de chi-deux à (𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 1 − r) degrés de liberté

avec r le nombre de paramètres du modèle.

Nous rappelons ici que nous avons ajusté nos taux de mortalité par la méthode de Brass (𝛽,

𝛼), nous retenons donc r=2.

Nous avons ainsi testé les « différences » entre les taux bruts estimés et les taux ajustés par la

méthode de Brass par un test du chi-deux. En fixant le seuil de confiance 𝛼=5%, le quantile

d’ordre 99,5% de la loi du Khi-deux à (101 – 21 + 1 – 2) degrés de liberté est :

𝒳2𝛼 ≈ 52,066

Et

𝒳2𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣é = 41,467


P a g e 57 | 91

Décision :

𝒳2𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣é < 𝒳2

𝛼, on ne rejette pas 𝐻0, les décès estimés ont la même distribution que les

décès observés. Nous acceptons donc l’ajustement des taux bruts unisexes par la méthode de

Brass.

Section 2 – Fermeture de la table

La dernière étape de notre construction de table de mortalité va être l’extrapolation des taux

de mortalité.

En effet, la plupart des assureurs disposent de très peu d’informations sur les âges élévés et les

âges faibles, ce qui rend l’estimation des taux de mortalité volatiles et donc, non significatifs à

ces âges. Pour pallier à ce manque d’information, il convient de faire appel à des techniques

permettant d’extrapoler les taux de mortalité aux âges extrêmes.

La table que nous avons construite plus haut fournissent des taux de mortalité aux âges

intermédiaires, c’est-à-dire entre 21 ans et 101 ans. A cause du faible volume de données aux

âges élevés (après 101 ans) et aux âges faibles (avant 21 ans), nous allons recourir à une

technique d’extrapolation afin de modéliser la mortalité à ces âges.

Nous avons retenu dans cette étude la méthode de régression dite Logit. Cela signifie que

nous allons remplacer les valeurs des qx pour les plages [0 : 20] et [101 : 110] par des

qx régressés (en Logit) par rapport à une table de référence, la TH 00-02.

Rappelons d'abord la définition du logit :

logit(x) = ln (x

1 − x)

Nous faisons l'hypothèse qu'il existe une relation affine entre les logits de notre table sur le

segment d’âge [21 : 101] et la table de référence sur le même segment. Ainsi le modèle

s’écrit :

logit(qx) = a ∙ logit(qxref) + b

Où 𝑎 et 𝑏 sont des coefficients dont l’estimation est effectuée par par la méthode des

moindres carrés.

Ces paramètres une fois estimés avec la table TH 00-02 comme table de référence prennent

les valeurs suivantes :

�̂� = −𝟎. 𝟎𝟖𝟕𝟔𝟖𝟒𝟐𝟕

�̂� = 𝟏. 𝟐𝟑𝟕𝟑𝟑𝟐𝟐𝟎

Le modèle s’écrit alors :

logit(qx) = 1.23733220 × logit(qxref) − 0.08768427


P a g e 58 | 91

Les nouveaux qx sur les plages [0 : 21] et [101 : 110] sont alors estimés de la manière

suivante :

logit(qx) = a ∙ logit(qxref) + b

⇔ qx

1 − qx= exp (b)∙ (

qxref

1 − qxref

)

a

⇔ qx ∙ (1 + exp (b)∙ (1qx

ref

1 − qxref

)

a

) = exp (b)∙ (qx

ref

1 − qxref

)

a

⇔ qx =

exp (b)∙ (qx

ref

1 − qxref)

a

1 + exp (b)∙ (qx

ref

1 − qxref)

a

Une fois les qx estimés sur les extrêmes, on procède par jointure pour avoir notre table finale :

∀x ∈ [0, 20], qx = qxlogit

∀x ∈ [21, 101], qx = qxbrut lissé

∀x ∈ [101, 110], qx = qxlogit

La table de mortalité ainsi construite a l’allure suivante :

Figure 17 – Courbe de mortalité unisexe

0,0000%

20,0000%

40,0000%

60,0000%

80,0000%

100,0000%

120,0000%

0 3 6 91

21

51

82

12

42

73

03

33

63

94

24

54

85

15

45

76

06

36

66

97

27

57

88

18

48

79

09

39

69

91

02

105

108

Qx

Age

Courbe de mortalité d'expérience


P a g e 59 | 91

Conclusion de la deuxième partie

L’objectif de cette partie était de modéliser la mortalité de notre portefeuille obsèques. Deux

approches ont été retenues pour chacune des étapes allant du calcul des taux bruts de décès au

lissage des taux bruts.

Les deux méthodes d’estimation des taux bruts se sont montrées pertinentes, mais nous avons

retenu la méthode de Kaplan-Meier parce que cette dernière était la plus prudente pour notre

étude.

Globalement, le lissage par la méthode de Whittaker-Henderson et l’ajustement du modèle de

Brass ont donné des résultats satisfaisants et proches d’un point de vue graphique. Nous avons

toutefois retenu la méthode de Brass car cette dernière a donné des meilleurs résultats au test

de régularité.

Afin de vérifier la validité des taux obtenus, nous avons effectué des tests consistant à

comparer les décès théoriques et les décès observés au niveau global et par âge sur l’ensemble

de la période d’observation. Le test du Chi deux nous a permis de nous assurer que les taux

ajustés n’étaient pas très éloignés des taux bruts.

Enfin, le raccordement de la table s’est effectué par une régression Logit, ce qui a permis

d’extrapoler nos taux sur ses extrémités.


P a g e 60 | 91

PARTIE III – IMPACT DE LA TABLE D’EXPERIENCE SUR

LA TARIFICATION ET LA PRC


P a g e 61 | 91

PARTIE III – IMPACT DE LA TABLE D’EXPERIENCE SUR LA

TARIFICATION ET LA PRC

Dans une démarche plus opérationnelle cette fois-ci, cette troisième partie vise à mesurer

l’impact d’un changement de table sur les comptes de l’assureur. A cette fin-là, nous allons

mesurer l’impact de la table de mortalité d’expérience sur la provision pour risques croissants

et sur la tarification d’un produit obsèques, nous permettant d’apprécier la sensibilité du

provisionnement et de la tarification liée au choix de la table.

Chapitre 1 – Impact de la table sur le calcul de la PRC du

portefeuille obsèques

Nous rappellerons dans ce chapitre, les notions de base d’une provision pour risque croissant

sur un plan technique et réglementaire, puis nous allons mesurer l’impact d’un changement de

table de mortalité sur le calcul la provision pour risques croissants.

Section 1 – La provision pour risque croissant

La provision pour risques croissants (PRC) d’un contrat obsèques a pour objet de prendre en

compte l’augmentation du risque de mortalité avec l’âge de l’adhérent lorsque la prime ne

peut être ajustée.

Durant la vie du contrat obsèques, la tarification génère des phases d’excédents de primes

probables sur les sinistres probables, puis des phases d’insuffisance jusqu’à la réalisation du

sinistre. Pour gérer ce décalage temporel, il convient de constituer dès l’origine du contrat,

une provision technique de primes. Cette provision correspond à la provision pour risques

croissants (PRC). La PRC est donc d’une importance capitale puisqu’elle a pour but

d’anticiper l’augmentation des risques avec le temps et de permettre à l’assureur de faire face

à ses engagements à tout moment.

Dans un contrat de groupe par exemple, le taux de primes est calculé en fonction des

caractéristiques moyennes du groupe. Il en résulte que certains assurés (les plus jeunes) paient

plus que le risque qu’ils représentent alors que d’autres (les plus âgés) paient moins. Par

conséquent, nous serons amenés à avoir des PRC négatives ou positives et lorsqu’elles seront

négatives nous les porterons à zéro dans le compte de résultats car l’enregistrement de

provisions négatives n’est pas possible en comptabilité.

La provision pour risques croissants est calculée individuellement et est égale à la différence

entre l’engagement de l’assureur et l’engagement de l’assuré, tout comme une provision

mathématique. Elle est constituée pour les contrats d’assurance à primes périodiques nivelées,


P a g e 62 | 91

pour lesquels le risque croît avec l’âge des assurés. Les primes sont calculées de façon à ce

que l’équilibre financier soit maintenu globalement sur toute la durée du contrat : l’assuré

paye plus que le prix de son risque au début du contrat et moins que le risque en fin de

contrat.

Il importe de noter que la question de la continuité des droits pour l’assuré ne se pose que

pour les contrats à couverture viagère, que ce soit dans le cadre d’une démarche individuelle

ou collective. En effet, dans les contrats à couverture annuelle, les primes de l’année servent à

couvrir le risque de l’année. Dans ce cas, il n’y a pas de constitution de réserve pour couvrir

un risque futur, donc aucun droit « acquis ».

Dans les contrats à couverture viagère, en revanche, des réserves spécifiques doivent être

constituées pour financer, aux âges élevés, la différence entre le risque de l’année et la prime

payée par l’assuré (la prime est dite « nivelée »). Ces réserves sont appelées « provisions pour

risques croissants ». Le terme de provisions pour risques croissants désigne une provision

destinée à faire face dans l’avenir à l’accroissement des risques des opérations d’assurance.

• Contexte du calcul de la PRC obsèques :

Les engagements pris en compte dans la présente étude sont nés d’adhésions « Individuelles »

ou d’adhésions « Collectives facultatives ». Et bien que les dispositions contractuelles

prévoient une adhésion annuelle reconductible, il est apparu qu’en application de la loi Evin

les engagements des assureurs étaient viagers.

La solution comptable qui consiste à provisionner les engagements sous le libellé d’une «

Provision pour Risques Croissants » a été retenue du fait de la nature des risques, mais il est à

noter que la réglementation ne prévoit pas ce type de provisions pour la branche Vie à

laquelle appartiennent les garanties considérées.

Cette provision attachée à notre portefeuille obsèques doit permettre à l’assureur de

compenser ses pertes futures pour un groupe fermé d’assurés, sur lequel il dispose d’une

capacité limitée à indexer les contrats. En effet, le vieillissement de la population assurée

entraine une surconsommation des groupes d’assurés, et à long terme des résultats dégradés.

Cette provision découle d’une estimation actuarielle basée sur les tables de mortalité

réglementaires (tables TH 00-02 et TF 00-02) et un taux technique.

Le calcul de cette provision se fait tête par tête et consiste d’une part à projeter les primes à

partir d’hypothèses d’évolution des cotisations, et d’autre part à partir d’hypothèse de dérive

de sinistre.

Le besoin de PRC à une date donnée est égal à la somme actualisée des prestations futures

moins la somme actualisée des cotisations nettes futures. Ainsi, le besoin de PRC évolue

chaque année, en atteignant un maximum au bout d'un certain nombre d’années et en

décroissant vers zéro ensuite.


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• Informations sur le portefeuille :

Le portefeuille de notre étude est un groupe fermé à la souscription (contrats en run-off) dont

les caractéristiques au 31/12/2019 sont les suivantes :

Sinistres 1,0 M€

Prime HT 1,3 M€

S/P 78%

Effectif 1 131

• Description des données :

Les contrats concernés par les calculs de PRC de l’année sont les contrats obsèques à

adhésion individuelle ou à adhésion collective facultative. Les contrats collectifs à adhésion

obligatoire sont exclus car ils peuvent être résiliés annuellement.

Pour le calcul de la PRC, il est nécessaire de disposer de l’ensemble des contrats en cours à la

date d’inventaire. Les données utilisées comme base de calcul des PRC sont constituées

d’informations individuelles et de données spécifiques à chaque contrat. Pour certains

contrats, l’adhésion couvre tout ou partie de la famille. Dans ce cas, deux notions doivent être

distinguées : le cotisant d’une part, et les bénéficiaires d’autre part.

• Hypothèses retenues pour le calcul de la PRC :

Le calcul de la PRC dépend de différentes données d’entrée et hypothèses actualisées à

chaque inventaire :

﹣ La population en portefeuille : le portefeuille de notre étude est en « run-off ». On

observe donc à chaque inventaire une décroissance de la population et un

vieillissement de l’ordre de 1 an ;

﹣ Durée d’engagement de la Mutuelle : viagère (en raison de l’article L221-10 du code

de la mutualité) ;

﹣ Taux de revalorisation des primes : calculé sur la base d’un indice composite et validé

chaque année par le conseil d’administration ;

﹣ Taux d’inflation des sinistres : déterminé sur la base de l’indice du prix de la

consommation ;

﹣ Table de mortalité : TH 00-02 et TF 00-02 ;

﹣ Taux de chargement : x % chaque année ;

﹣ Taux technique vie : calculé à partir du TME moyen des 6 derniers mois ;

﹣ Loi de consommation : c’est la table de prestations construites par âge de survenance

comme une moyenne lissée de la consommation observée sur les deux dernières

survenances


P a g e 64 | 91

Figure 18 – Loi de consommation unisexe

• Méthodologie de calcul de la PRC :

Conformément à l’article R212-23 du code de la mutualité (voir annexe), la PRC est calculée

comme différence entre les engagements de l’assureur et des assurés.

La probabilisation est effectuée à l’aide de la table de mortalité réglementaire en vigueur pour

les engagements en cas de décès et l’actualisation est effectuée à l’aide du taux technique.

﹣ Engagement de l’assuré :

L’engagement de l’assuré d’âge entier x est le suivant :

𝐸𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟é (𝑥) = ∑ [𝐶(𝑥 + 𝑖) ∗𝑙𝑥+𝑖

𝑙𝑥∗

(1 + 𝑇𝑥𝑟𝑒𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠)𝑖

∗ (1 − 𝑇𝑥𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡)

(1 + 𝑇𝑥𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙𝑖𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛)𝑖]

∞

𝑖=0

Où C(x+i) est la cotisation hors taxes de l’assuré d’âge x à la date d’évaluation dans i années.

Les cotisations hors taxes sont les cotisations réelles des adhérents.

Interpolation : pour un assuré d’âge x, on note :

o x1 la valeur entière inférieure de x

o x2 la valeur entière supérieure de x

On obtient l’engagement de l’assuré de la manière suivante :

𝐸𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟é (𝑥) = (𝑥2 − 𝑥) × 𝐸𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟é (𝑥1) + (𝑥 − 𝑥1) ×

𝐸𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟é (𝑥2)

﹣ Engagement de l’assureur :

L’engagement de l’assureur est le suivant :


P a g e 65 | 91

𝐸𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟𝑒𝑢𝑟 (𝑥) = ∑ [𝑃(𝑥 + 𝑖) ∗ (1 −𝑙𝑥+𝑖

𝑙𝑥) ∗

(1 + 𝑇𝑥𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠)𝑖

(1 + 𝑇𝑥𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙𝑖𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛)𝑖]

∞

𝑖=0

Où P(x+i) est le niveau de prestation de l’assuré d’âge x à la date d’évaluation dans i années

qui est lu dans la table de prestation (ou loi de consummation) préalablement construite.

Interpolation : pour un assuré d’âge x, on note :

o x1 la valeur entière inférieure de x

o x2 la valeur entière supérieure de x

On obtient l’engagement de l’assureur de la manière suivante :

𝐸𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟𝑒𝑢𝑟 (𝑥) = (𝑥2 − 𝑥) × 𝐸𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟𝑒𝑢𝑟 (𝑥1) + (𝑥 − 𝑥1) ×

𝐸𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟𝑒𝑢𝑟 (𝑥2)

La PRC est finalement calculée par application de la formule de calcul suivante :

𝑃𝑅𝐶𝑖 = 𝑀𝑎𝑥(0 ; 𝐸𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟𝑒𝑢𝑟 (𝑥) − 𝐸𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟é (𝑥))

Section 2 – Impact d’un changement de table de mortalité sur le calcul de la

PRC

Il existe actuellement deux tables règlementaires utilisées dans le calcul de la PRC du risque

obsèques, la TH 00-02 et TF 00-02, respectivement, la table des hommes et la table des

femmes.

Nous nous proposons d’en analyser l’impact du passage des tables règlementaires à la table de

mortalité d’expérience unisexe construite, sur le calcul de la PRC.

Afin de mesurer l’impact de cette table de mortalité d’expérience sur le montant global de la

provision pour risque croissant, nous avons calculé, tête par tête, la provision pour risque

croissant avec d’une part les tables réglementaires et d’autre part, la table d’expérience.

Avec la table d’expérience, le montant la provision pour risque croissant de notre portefeuille

obsèques baisse car les taux de mortalité issus de cette table sont bien inférieurs à ceux issus

des tables réglementaires TH 00-02 et TF 00-02. Cette baisse est d’environ 18%, faisant ainsi

réaliser des gains techniques de mortalité.

Le taux technique, le taux d’indexation et la loi de consommation étant des paramètres entrant

dans le calcul de la provision pour risque croissant, nous avons souhaité mesurer également

leurs impacts dans le calcul de la PRC.

Nous avons illustré ci-dessous l’évolution de la provision pour risque croissant dans le temps :


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Figure 19 – Impact changement de table sur la PRC

Avec un taux technique nul depuis deux ans, ce paramètre à un impact nul sur le montant de

la PRC. En revanche, le changement de table a un fort impact sur le montant global de la PRC

qui baisse de 1,7M€, soit un écart relatif de 18% entre 2019 et 2020. Ce gain technique dû au

changement de table permettrait de compenser en partie la hausse de la PRC de ces dernières

années dues à la baisse des taux techniques vie.

Cette étude nous a permis de confirmer l’intérêt de l’utilisation des tables d’expérience. En

effet, ces tables d’expérience permettent de refléter la mortalité réelle du portefeuille et

donnent ainsi des provisions plus adaptées et une réelle vision du risque supporté par

l’assureur.


P a g e 67 | 91

Chapitre 2 – Impact de la table sur la tarification d’un produit

obsèques

Dans le chapitre précédent, nous avons montré l’impact significatif d’un changement de table

sur le montant de la provision pour risque croissant de notre portefeuille obsèques.

Dans le cadre de cette nouvelle étude, nous allons nous intéresser cette fois-ci, à l’impact d’un

changement de table de mortalité sur la tarification d’un produit obsèques. A cet effet, nous

allons dans un premier temps créer un produit obsèques avec une grille tarifaire par âge. Une

étude d’impact dans un deuxième temps, permettra de montrer la sensibilité des tarifs à un

changement de table de mortalité.

Section 1 – Tarification d’un produit obsèques

La méthode de tarification d’un contrat d’assurance obsèques est fondée sur l’évaluation des

engagements financiers pris par l’assuré et par l’assureur et sur l’égalisation de ces

engagements vus à la date de signature du contrat.

• Création d’un produit obsèques :

Le contrat d’assurance obsèques que l’on construit est un contrat collectif à adhésion

facultative de type vie entière à cotisation temporaire ou viagère garantissant le versement

d’un capital en cas de décès de l’assuré.

Le contrat inclut un délai de carence. Pendant ce délai, le capital versé en cas de décès suite à

une maladie, correspond à la totalité des cotisations versées par l’adhérent. Cette même règle

s’applique pour les contrats déjà réduits. En cas de décès ou PTIA accidentelle, intervenant

pendant le délai de carence, seul un capital décès est versé

Ce produit est un contrat viager disposant de conditions de souscription suivante :

﹣ Les conditions d’âge à la souscription : l’âge à la souscription dépend de la durée de

paiement de prime et est calculé par différence de millésime entre l’année d’adhésion

et l’année de naissance. L’âge à la souscription est :

Durée de paiement 15 ans Viager

Age minimum 18 ans 40 ans

Age maximum 80 ans 80 ans

﹣ Les capitaux souscrits : le capital souscrit évolue par tranche de 1.000€ et est compris

entre 2.000€ et 12.000€.

﹣ La durée de la garantie : la durée de garantie est viagère


P a g e 68 | 91

﹣ La durée de paiement des primes : la durée de paiement des cotisations est au choix à

la souscription. L’assuré a le choix entre des paiements viagers et temporaires sur 15

ans.

﹣ Le délai de carence : il est d’un an pour les assurés de moins de 76 ans à l’adhésion et

de deux ans pour les assurés de plus de 76 ans à l’adhésion en cas de maladie.

• Notations utilisées :

Introduisons quelques notations utilisées en assurance vie pour la tarification.

0C Capital décès à l’adhésion

kC

Capital décès à la date k (après affectation des participations aux bénéfices

jusqu’à la date k)

p Durée de paiement des primes

i Taux d’intérêt technique.

x Age de l’assuré à la souscription calculé par différence de millésimes entre

l’année d’effet et l’année de naissance.

x

Taux de prime pure unique d’une vie entière (en pourcentage du capital souscrit)

xw Taux de prime pure viagère d’une vie entière (en pourcentage du capital souscrit)

xW Taux de prime pure temporaire d’une vie entière (en pourcentage du capital

souscrit)

'xΠ

Taux de prime unique d’inventaire d’une vie entière (en pourcentage du capital

souscrit)

'wx Taux de prime d’inventaire viagère d’une vie entière (en pourcentage du capital

souscrit)

'Wx Taux de prime d’inventaire temporaire d’une vie entière (en pourcentage du

capital souscrit)

''xΠ

Taux de prime unique commerciale d’une vie entière (exprimé en pourcentage

du capital souscrit)

''wx Taux de prime commerciale viagère d’une vie entière (exprimé en pourcentage

du capital souscrit)

''Wx Taux de prime commerciale temporaire d’une vie entière (exprimé en

pourcentage du capital souscrit)

𝑔2 Chargement de gestion appliqué pendant la durée de paiement des primes

𝑔3 Chargement de gestion appliqué pendant la durée du contrat

𝑔1 Chargement commercial


P a g e 69 | 91

f Taux de frais de fractionnement autre qu’annuel

)('' pWx Taux de prime commerciale fractionnée temporaire

)('' pwx Taux de prime commerciale fractionnée viagère

kKPB

Capital issu de la participation aux bénéfices de l’année 𝑘

kPB Participation aux bénéfices de l’année 𝑘

kI

Capital garanti à la date k en cas de réduction du contrat

t Date du décès

d Délai en jours courus depuis la dernière date anniversaire

𝑞𝑜𝑎𝑐𝑐 Taux de décès accidentel (independent de l’âge)

�̈�𝑥 Rente viagère à termes payable d’avance

�̈�𝑥:�̅� Rente viagère à termes payable d’avance différée de p années

𝐿𝑥 Nombre de vivants d’une table de mortalité

• Tarification :

La tarification consiste à déterminer le niveau de la prime commerciale que doit payer

l’assuré dès la souscription pour bénéficier d’une couverture d’assurance obsèques.

La tarification d’un tel produit se fait en plusieurs étapes allant de la détermination de la

prime pure à la prime commerciale.

Les primes pures :

Le taux de prime pure, déduit de la théorie actuarielle est obtenu en égalisant à la date de

souscription, les valeurs actuelles probables (VAP) des engagements de l’assureur et de l’assuré

:

➢ Taux de prime unique :

- Si l’assuré à un âge inférieur ou égal à 75 ans à la souscription (x ≤ 75)

Π𝑥= 𝐶𝑂 * (𝑀𝑥+1

𝐷𝑥+ (1 + 𝑖)−

1

2 ∗ 𝑞𝑜𝑎𝑐𝑐) + Π′′𝑥 * (1 + 𝑖)−

1

2 * (𝑙𝑥− 𝑙𝑥+1

𝑙𝑥− 𝑞𝑜

𝑎𝑐𝑐)

- Si l’assuré a un âge supérieur à 75 ans à la souscription (x > 75)


P a g e 70 | 91

𝛱𝑥= 𝐶𝑂 * (𝑀𝑥+2

𝐷𝑥+ (1 + 𝑖)−

1

2 ∗ 𝑞𝑜𝑎𝑐𝑐 + (1 + 𝑖)−

3

2 ∗ (𝑞𝑜𝑎𝑐𝑐 ∗

𝑙𝑥+1

𝑙𝑥)) + Π′′𝑥* [(1 + 𝑖)−

1

2 ∗

(𝑙𝑥− 𝑙𝑥+1


𝑎𝑐𝑐) + 2 ∗ (1 + 𝑖)−3

2 ∗ (𝑙𝑥+1− 𝑙𝑥+2


𝑎𝑐𝑐 ∗𝑙𝑥+1

𝑙𝑥)]

➢ Taux de prime viagère :

xx

aw

= x

➢ Taux de prime temporaire :

px

xx

aW

:

=

d’où x

xx

N

Mw = et

pxx

xx

NN

MW

+−=

La prime pure s’obtient en multipliant le capital souscrit par le taux de prime ci-dessus.

Les primes d’inventaire :

La prime d’inventaire est exprimée en fonction de la prime pure avec la contrainte d’un

chargement de gestion par les relations suivantes :


𝑤′̅̅ ̅𝑥 = �̅�𝑥 + �̈�𝑥 ∗ 𝑔3


𝑊′𝑥 = 𝑊𝑥 + �̈�𝑥 ∗ 𝑔3

La prime d’inventaire s’obtient en multipliant le capital souscrit par le taux de prime ci-

dessus.

Les primes commerciales :

La prime commerciale est exprimée en fonction de la prime pure avec la contrainte d’un taux

de chargement global (gestion + commercial) par les relations suivantes :


𝑤′′̅̅ ̅̅𝑥 =

𝑤′̅̅ ̅𝑥

1 − 𝑔1


P a g e 71 | 91


𝑊′′𝑥 = 𝑊′𝑥

1 − 𝑔1

La prime commerciale s’obtient en multipliant le capital souscrit par le taux de prime ci-

dessus.

• Provision mathématique

L’article R 331-3 du code des assurances définit la provision mathématique comme la «

différence entre les valeurs actuelles des engagements respectivement pris par l’assureur et

par les assurés ». Son calcul intègre l’évolution de la mortalité et les intérêts financiers.

Provision mathématique d’un contrat non réduit avec une prime viagère :

- L’assuré a un âge inférieur ou égal à 75 ans à la souscription (x ≤ 75)

Si k ≥ 1:

𝑃𝑀𝑘 = 𝐶𝑘 ∗ (𝑀𝑥+𝑘

𝐷𝑥+𝑘+ 𝑔3 ∗ ä𝑥+𝑘

) − (1 − 𝑔1) ∗ ä𝑥+𝑘 ∗ ''xw

- L’assuré a un âge supérieur à 75 ans à la souscription (x > 75)

Si k = 1:

𝑃𝑀1 = 𝐶𝑘 ∗ (𝑀𝑥+2

𝐷𝑥+1+ 𝑔3 ∗ ä𝑥+1

+ (1 + 𝑖)−1

2 ∗ 𝑞𝑜𝑎𝑐𝑐 ) + (2 ∗ ''xw ∗ (1 + 𝑖)−

1

2 ∗

(𝑙𝑥+1− 𝑙𝑥+2

𝑙𝑥+1 − 𝑞𝑜

𝑎𝑐𝑐)) − (1 − 𝑔1) ∗ ä𝑥+1 ∗ ''xw

Si k ≥ 2:



) − (1 − 𝑔1) ∗ ä𝑥+𝑘 ∗ ''xw

Provision mathématique d’un contrat non réduit avec une prime temporaire :

Si k ≥ 1:



) − (1 − 𝑔1) ∗ pxa : ∗ ''xW

Si k ≥ 𝑝:


P a g e 72 | 91



)

Provision mathématique d’un contrat réduit avec une prime viagère :


Si k ≥ 1:

𝑃𝑀𝑘 = 𝐼𝑘 ∗ (𝑀𝑥+𝑘


)


Si k = 1:

𝑃𝑀1 = 𝐼𝑘 ∗ (𝑀𝑥+2

𝐷𝑥+1+ 𝑔3 ∗ ä𝑥+1

+ (1 + 𝑖)−1

2 ∗ 𝑞𝑜𝑎𝑐𝑐 ) + (2 ∗ ''xw ∗ (1 + 𝑖)−

1

2 ∗

(𝑙𝑥+1− 𝑙𝑥+2


𝑎𝑐𝑐))

Si t ≥ 2:



)

Provision mathématique d’un contrat réduit avec une prime temporaire :

Si k ≥ 1:



)

Pour calculer la provision à une date quelconque, nous utilisons une interpolation linéaire entre

la provision à la date d’anniversaire précédent la date de calcul et la date d’anniversaire suivant

la date de calcul.

Pour une date d'inventaire 𝑀 ∈ [𝐽𝑒/𝑀𝑒/𝑁 − 𝐽𝑒/𝑀𝑒/𝑁 + 1] , la provision mathématique

d'inventaire interpolée est égale :

𝑃𝑀𝑀 = 𝑃𝑀𝐽𝑒/𝑀𝑒/𝑁 + (𝑃𝑀𝐽𝑒/𝑀𝑒/𝑁+1 − 𝑃𝑀𝐽𝑒/𝑀𝑒/𝑁)

∗𝑁𝑏𝑟𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑖𝑡é𝑠 𝑝𝑎𝑦é𝑒𝑠 (𝑀 − 𝐽𝑒/𝑀𝑒/𝑁)

12


P a g e 73 | 91

• La réduction d’un contrat obsèques

La réduction intervient en cas d’arrêt de paiement des primes. La valeur de réduction est

convertie en prime unique d'inventaire en tenant compte de l'âge atteint à la date de la

réduction.

Mise en réduction : cas d’un paiement viager


Si k ≥ 1:

𝐼𝑘 =𝑃𝑀𝑘

𝑃𝑥+𝑘

Avec : 𝑃𝑥+𝑘 = (𝑀𝑥+𝑘


)


Si k = 1:

𝐼𝑘 =𝑃𝑀𝑘 − 2 ∗ ''xw ∗ (1 + 𝑖)−

12 ∗ (

𝑙𝑥+1 − 𝑙𝑥+2


𝑎𝑐𝑐 )

𝑃𝑥+𝑘

Avec : 𝑃𝑥+𝑘 = 𝑀𝑥+2

𝐷𝑥+1+ 𝑔3 ∗

𝑁𝑥+1

𝐷𝑥+1+ (1 + 𝑖)−

1

2 ∗ 𝑞𝑜𝑎𝑐𝑐

Si k ≥ 2:


𝑃𝑥+𝑘



)

Mise en réduction : cas d’un paiement temporaire

Si k ≥ 1:


𝑃𝑥+𝑘



)

Si la réduction intervient entre deux dates anniversaires du contrat, la valeur de réduction est

calculée comme ci-dessus avec une interpolation de 𝑃𝑀𝑘 et 𝑃𝑥+𝑘 entre les âges 𝑥 + 𝑘 et 𝑥 +𝑘 + 1


P a g e 74 | 91


𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛(𝑃𝑥+𝑘)

• Le rachat d’un contrat obsèque

Comme tous les contrats basés sur le principe de l’assurance vie, le contrat obsèques doit

prévoir une possibilité de rachat.

Le rachat d'un contrat obsèques est le retrait partiel ou total des fonds par le souscripteur avant

le décès de l’assuré. En cas de rachat total, il est mis fin au contrat obsèques. Le souscripteur

ne peut prétendre à aucune garantie.

La valeur de rachat est égale à la provision mathématique sans pénalité si le contrat a une

durée supérieure à 10 ans. Si le contrat a une durée inférieure ou égale à 10 ans, une pénalité

de 5% est appliquée sur la provision mathématique.

- Rachatk = 0,95% ∗ PMk si k ≤ 10

- Rachatk = PMk sinon

Remarque : l’organisme assureur peut d’office substituer le rachat à la réduction si le

montant de la provision mathématique est inférieur à 50% du montant brut mensuel du

salaire de croissance (SMIC) applicable en métropole à la date de réduction.

• La participation aux bénéfices

L’article L. 2223-34-1 du code général des collectivités territoriales (CGCT) prévoit la

participation aux bénéfices pour tout contrat obsèques prévoyant des prestations à l’avance.

En assurance-vie la participation aux bénéfices correspond aux sommes que la réglementation

réserve obligatoirement aux souscripteurs des contrats.

Le calcul de la participation aux bénéfices s’effectuera chaque année au 31 décembre de

l’année en cours via un compte de participation aux résultats techniques et aux résultats

financiers. Les contrats d’assurance vie précisent dans les conditions générales, les conditions

d’affectation de ces bénéfices.

Pour notre produit obsèques, le montant de la participation aux bénéfices est affecté à chaque

contrat au prorata de la valeur des provisions mathématiques du contrat tel que :

𝑃𝐵𝑘 = 𝑃𝐵𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙𝑒 ∗ 𝑃𝑀𝑘

∑ 𝑃𝑀𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑘

Cette participation aux bénéfices est équivalente à une prime unique utilisée pour garantir un

nouveau capital, 𝐾𝑃𝐵𝑘, (sans augmentation des primes ) à la date du 1er janvier 𝑘 + 1 pour

un assuré d’âge compris entre 𝑥 + 𝑘 et 𝑥 + 𝑘 + 1. Le capital assuré est alors augmenté de :

𝐾𝑃𝐵𝑘 =𝑃𝑀𝑘

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛(𝑃𝑥+𝑘)


P a g e 75 | 91



)

𝐶𝑘 = 𝐶0 + 𝐾𝑃𝐵𝑘

Section 2 – Impact d’un changement de table de mortalité sur la tarification

Nous avons également mesuré l’impact de cette loi de mortalité d’expérience sur le produit

obsèques que nous avons créé, ceci avec les hypothèses et paramètres suivants :

- Les chargements de gestion et d’acquisition :

o Chargement de gestion sur prime (y compris financement du précompte) : 22%

o Chargement de gestion sur capital : 0,5%

o Chargement commercial : 12%

- Le taux technique : 60 % TME (moyenne des 6 derniers mois). Le taux technique

retenu à la date de tarification est fixé à 0%

- Les frais de fractionnement : 0%

- La table de mortalité : TH00-02 et table d’expérience

- Taux décès accidentel : 𝑞𝑜𝑎𝑐𝑐 = 0,07% (indépendant de l’âge)

- Taxe : aucunes

- Capital obsèques souscrit : 10.000€

Pour mesurer la sensibilité de nos tarifs au changement de table, nous avons retenu deux

produits : le premier avec une durée de paiement de prime temporaire sur 15 ans et le second

avec une durée viagère de paiement de primes.

Une fois ces paramètres et frais intégrés dans nos modèles présentés ci-dessus, nous avons

mésuré les écarts tarifaires entre les tarifs issus de la table réglementaire (TH00-02) et celles

issues de la table de mortalité d’expérience.

Les écarts synthétisés dans le tableau ci-après correspondent aux écarts constatés sur notre

produit obsèques à primes viagères :


P a g e 76 | 91

Tableau 07 – Impact changement de table sur les primes viagères

On constate que, quel que soit l’âge, les tarifs issus de la table de mortalité d’expérience sont

plus bas que ceux issus de la table réglementaire TH 00-02. On constate un écart global

moyen de 19,2% sur les tarifs du produit obsèques à paiements viagers ; ce qui aura, toutes

choses égales par ailleurs, un impact à la baisse sur le chiffre d’affaires, mais pourrait en

revanche permettre d’avoir un bon positionnement tarifaire sur le marché.

Afin d’apprécier visuellement cet impact de table sur la prime, nous illustrons ci-dessous

l’évolution la prime commerciale par âge à la souscription entre 40 ans et 80 ans :

Figure 20 – Impact changement de table sur les primes viagères

Age à l'adhésion 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Primes annuelles viagères

(TH 00-02)457,3 € 467,0 € 477,2 € 487,8 € 498,7 € 510,2 € 522,1 € 534,6 € 547,6 € 561,3 € 575,6 €


(T EXP)388,0 € 395,2 € 402,7 € 410,5 € 418,6 € 427,0 € 435,9 € 445,1 € 454,7 € 464,9 € 475,5 €

Evolutions -15,1% -15,4% -15,6% -15,8% -16,1% -16,3% -16,5% -16,7% -17,0% -17,2% -17,4%

Age à l'adhésion 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60


(TH 00-02)590,7 € 606,5 € 623,1 € 640,7 € 659,1 € 678,7 € 699,3 € 721,3 € 744,5 € 769,1 €


(T EXP)486,6 € 498,3 € 510,6 € 523,6 € 537,2 € 551,6 € 566,9 € 583,0 € 600,1 € 618,3 €

Evolutions -17,6% -17,8% -18,1% -18,3% -18,5% -18,7% -18,9% -19,2% -19,4% -19,6%

Age à l'adhésion 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70


(TH 00-02)795,3 € 823,1 € 852,7 € 884,0 € 917,4 € 952,9 € 990,6 € 1 030,9 € 1 073,9 € 1 119,8 €


(T EXP)637,6 € 658,1 € 679,9 € 703,1 € 727,9 € 754,3 € 782,6 € 812,9 € 845,4 € 880,2 €

Evolutions -19,8% -20,1% -20,3% -20,5% -20,7% -20,8% -21,0% -21,1% -21,3% -21,4%

Age à l'adhésion 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80


(TH 00-02)1 168,9 € 1 221,6 € 1 278,1 € 1 339,0 € 1 404,6 € 1 475,3 € 1 551,7 € 1 634,2 € 1 723,1 € 1 818,3 €


(T EXP)917,8 € 958,2 € 1 001,9 € 1 049,2 € 1 100,5 € 1 156,1 € 1 216,7 € 1 282,7 € 1 354,4 € 1 432,2 €

Evolutions -21,5% -21,6% -21,6% -21,6% -21,7% -21,6% -21,6% -21,5% -21,4% -21,2%

€0,00

€200,00

€400,00

€600,00

€800,00

€1 000,00

€1 200,00

€1 400,00

€1 600,00

€1 800,00

€2 000,00

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80



(TH 00-02)


(T EXP)


P a g e 77 | 91

Avec la table d’expérience, le montant de la prime du portefeuille obsèques à paiement viager

baisse progressivement jusqu’à atteindre une valeur maximale de 21% à partir de 67 ans.

Nous avons fait le même exercice sur le deuxième variant de notre produit. Les écarts

tarifaires ci-après correspondent aux écarts de changement de table sur les tarifs du produit

obsèques à paiement de primes temporaires :

Tableau 08 – Impact changement de table sur les primes temporaires

Comme constaté pour les primes à paiement viager, le changement de table à un impact à la

baisse sur les primes à paiements temporaires. Cette baisse est en moyenne de 7% sur

l’ensemble des tarifs.

Pour plus de lisibilité, présentons l’évolution des tarifs issus des deux tables sur le même

graphique. On obtient :

Age à l'adhésion 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Primes annuelles tempo 15 ans

(TH 00-02)1 157,1 € 1 157,4 € 1 157,9 € 1 158,4 € 1 159,0 € 1 159,8 € 1 160,6 € 1 161,6 € 1 162,8 € 1 164,3 € 1 166,0 €


(T EXP)1 155,1 € 1 153,6 € 1 152,2 € 1 150,8 € 1 149,4 € 1 148,1 € 1 146,9 € 1 145,7 € 1 144,7 € 1 143,7 € 1 142,8 €

Evolutions -0,2% -0,3% -0,5% -0,7% -0,8% -1,0% -1,2% -1,4% -1,6% -1,8% -2,0%

Age à l'adhésion 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60


(TH 00-02)1 168,0 € 1 170,5 € 1 173,3 € 1 176,6 € 1 180,4 € 1 184,9 € 1 190,1 € 1 196,1 € 1 203,1 € 1 211,0 €


(T EXP)1 142,1 € 1 141,6 € 1 141,2 € 1 141,1 € 1 141,2 € 1 141,6 € 1 142,4 € 1 143,6 € 1 145,3 € 1 147,5 €

Evolutions -2,2% -2,5% -2,7% -3,0% -3,3% -3,6% -4,0% -4,4% -4,8% -5,2%

Age à l'adhésion 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70


(TH 00-02)1 220,0 € 1 230,2 € 1 241,7 € 1 254,5 € 1 268,8 € 1 284,7 € 1 302,6 € 1 322,7 € 1 345,4 € 1 371,0 €


(T EXP)1 150,2 € 1 153,6 € 1 157,7 € 1 162,5 € 1 168,3 € 1 175,0 € 1 183,0 € 1 192,4 € 1 203,5 € 1 216,6 €

Evolutions -5,7% -6,2% -6,8% -7,3% -7,9% -8,5% -9,2% -9,9% -10,5% -11,3%

Age à l'adhésion 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80


(TH 00-02)1 400,0 € 1 432,8 € 1 470,0 € 1 512,1 € 1 559,7 € 1 613,4 € 1 673,8 € 1 741,5 € 1 816,8 € 1 899,7 €


(T EXP)1 232,0 € 1 250,2 € 1 271,6 € 1 296,7 € 1 326,0 € 1 360,2 € 1 399,8 € 1 445,5 € 1 497,9 € 1 557,3 €

Evolutions -12,0% -12,7% -13,5% -14,2% -15,0% -15,7% -16,4% -17,0% -17,6% -18,0%


P a g e 78 | 91

Figure 21 – Impact changement de table sur les primes temporaires

On constate que pour des primes à paiement temporaire, les écarts tarifaires sont plus faibles

que ceux du produit à prime viager. Cet écart est faible avant 40 ans et augmente

progressivement jusqu’à atteindre sa valeur maximale pour une souscription à 80 ans.

Au final, quelle que soit la durée du paiement de primes (viager ou temporaire), l’utilisation

de notre table d’expérience a un impact à la baisse sur les tarifs du produit obsèques : il y a

donc une différence entre les taux de mortalité de la table réglementaire et ceux de la table

d’expérience : cette différence croît avec l’âge.

€0,00

€200,00

€400,00

€600,00

€800,00

€1 000,00

€1 200,00

€1 400,00

€1 600,00

€1 800,00

€2 000,00

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80



(TH 00-02)


(T EXP)


P a g e 79 | 91

Conclusion de la troisième partie

Dans cette partie, l’objectif était de mesurer l’impact du changement de table de mortalité sur

le calcul de la provision pour risque croissant et la tarification d’un portefeuille obsèques.

Il en ressort que la table de mortalité d’expérience construite a un impact à la baisser aussi

bien sur le montant de la provision pour risque croissant que sur le montant des primes. Cette

baisse sur les tarifs croît avec l’âge et est plus élevée sur des primes à paiement viager que sur

des primes temporaires.


P a g e 80 | 91

CONCLUSION GENERALE

L’objectif de ce travail était de construire des tables de mortalité et d’étudier l’impact du

passage de la table réglementaire à la table d’expérience sur la provision pour risque croissant

et la tarification d’un portefeuille de contrats obsèques.

Compte tenu du faible volume de données à notre disposition, nous avons fait le choix d’une

table de mortalité unisexe basé sur l’ensemble de la population globale. Cette table servirait à

la fois aux travaux d’inventaire et notamment au calcul de la PRC, ainsi qu’à la tarification

des nouveaux produits obsèques ou encore à la refonte des produits existants.

Avant toute chose, nous avons mené les travaux sur la qualité des données (QDD) de façon à

obtenir les résultats les plus fiables possible. C’est d’ailleurs de cette étape que dépend la

qualité des estimations obtenues.

Après les travaux sur la qualité des données, l’étape suivante a été l’estimation des taux brutes

de mortalité. Nous avons dans cette étude retenue deux méthodes d’estimation des taux

annuels bruts de décès : l’estimateur de Kaplan-Meier et l’estimateur de Hoem. Une fois les

taux bruts de mortalité calculés à l’aide des deux méthodes ci-dessus, il nous a semblé

pertinent de comparer leurs résultats afin de déterminer laquelle des méthodes serait la plus

appropriée à notre portefeuille obsèques.

Les deux méthodes d’estimation des taux bruts se sont montrées pertinentes en terme

d’approche et proches en termes de résultats, mais nous avons retenu la méthode de Kaplan

Meier parce que cette dernière était la plus prudente dans notre étude.

Les taux bruts obtenus sont erratiques quels que soit la méthode en raison des fluctuations

dues à une faible observation à certains âges. Afin de donner à la courbe de mortalité une

allure « régulière » et « attendue », nous avons procédé au lissage et à l’ajustement des taux

bruts issus de la méthode de Kaplan Meier. Nous avons dans cette approche retenues deux

méthodes : le lissage de Whittaker-Henderson et l’ajustement de Brass.

Les méthodes de lissage de BRASS et de Whittaker-Henderson semblaient très proches d’un

point de vue graphique, nous avons toutefois retenu la méthode de Brass car cette dernière

nous a donné de meilleurs résultats au test de régularité.

Une fois le lissage effectué, l’étape suivante a été la validation de la qualité de l’ajustement.

Nous avons vérifié l'adéquation des taux ajustés aux taux bruts estimés par des tests

statistiques ou par comparaison entre les décès théoriques et les décès observés. Nous avons

retenu à ces fins plusieurs indicateurs.

Le ratio SMR définit comme le rapport du nombre de décès observé au nombre de décès

prédits dans une population de référence, nous a permis de constater que la mortalité prédite

n’était pas éloignée de la mortalité réellement observée, nous amenant ainsi à la conclusion

que notre lissage était de bonne qualité.


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ajustés n’étaient pas « trop éloignés » des taux bruts estimés, nous avons appliqué à nos

données un deuxième critère à savoir le test d'adéquation du Chi deux. Ce test nous a permis

de conclure que les décès estimés ont la même distribution que les décès observés, validant

ainsi l’ajustement des taux bruts par la méthode de Brass.

Enfin, un « Backtesting » nous a permis d’évaluer la robustesse de notre table de mortalité et

valider par la même occasion la table construite.

Faute de données aux jeunes âges et aux âges élevés, nous avons procédé au raccordement de

la table par une régression Logit, ce qui nous a permis d’extrapoler nos taux sur ses

extrémités.

Enfin, dans une démarche plus opérationnelle, nous avons mesuré l’impact financier d’un

changement de table sur le calcul de la provision pour risques croissants et sur la tarification

d’un produit obsèques.

Cette étude nous a permis de constater que l’utilisation de la table d’expérience a un impact à

la baisse de l’ordre de 18% sur le montant de la provision pour risque croissant de notre

portefeuille obsèques.

Une deuxième étude nous a permis d’évaluer l’impact de la table de mortalité d’expérience

sur la tarification d’un produit obsèques. Nous avons avant tout, crée un produit obsèques à

deux variants : l’une à prime viagère et l’autre à prime temporaire.

On a ainsi pu constater que, quels que soient l’âge et la durée de paiement des primes

(temporaires ou viagères), les tarifs issus de la table de mortalité d’expérience étaient plus bas

que ceux issus de la table réglementaire TH 00-02. Ce gain de mortalité a un impact sur les

comptes : une baisse du chiffre d’affaires attendu du fait d’une baisse du montant des primes,

mais qui pourrait être compensé par un meilleur positionnement tarifaire sur le marché.

Cette étude nous a permis de confirmer l’intérêt de l’utilisation des tables d’expérience pour

un assureur. En effet, ces tables d’expérience permettent de refléter la mortalité réelle du

portefeuille de l’assureur et donnent ainsi, une réelle vision du risque supporté par l’assureur

et donc des provisions et des tarifs plus adaptés.


P a g e 82 | 91

BIBLIOGRAPHIE

ARTICLES ET DOCUMENTS :

DELWARDE, DENUIT. (2006). Construction de tables de mortalité périodiques et

prospectives.

KAPLAN E.L., MEIER P. (1958). Non-parametric estimation from incomplete observations,

Journal of the American Statistical Association 53, 457-481.

PLANCHET Frédéric. (2005). Tables de mortalité d’expérience pour les portefeuilles de

rentiers, notice de présentation

PLANCHET F., THEROND P.E. (2011). Modélisation Statistique des phénomènes de durée,

Economica.

PLANCHET F., THEROND P.E. (2006). Modèles de durée – applications actuarielles,

Economica.

MEMOIRES :

BALTESAR Benjamin. (2013). Construction d’une table de mortalité sur un portefeuille de

temporaire décès. Mémoire ISFA

CLEMENT Olivier. (2003). Elaboration d’une table d’expérience : comparaison de méthodes

de lissage analytique et d’ajustement statistique – Application à la population d’un régime de

retraite marocain. Mémoire EURIA

DESPLANCHE Philippe. (2003). Construction et impact d'une table d'expérience sur un

portefeuille Vie Entière. Mémoire ISUP.

AUER Emmanuelle. (2007). Modélisation d’un contrat emprunteur : Impacts & Résultats.

Mémoire ULP.

LEPORHO, Sophie. (2003). Construction de tables d’expérience en cas de décès. Mémoire

ISUP.

KHALDI Nadir. (2017). Construction de tables de mortalité fonctionnaire et impacts

tarifaires sur le produit obsèques. Mémoire CEA.

NDIAYE Mouhamadou. (2014). Assurance des frais d’obsèques et techniques actuarielles.

Mécanismes de distribution de la participation aux excédents. Mémoire ISFA.


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CHOU Marina, (2018). Tables de mortalité prospectives Best Estimate sur un portefeuille

obsèques : modèle relationnel ou spécifique ? Mémoire DAUPHINE.

SITES WEB :

http://www.santepub-rouen.fr/Down-script.php?id=470&nom=analyse%20survie.ppt#1

http://www.ressources-

actuarielles.net/C12574E200674F5B/d512ad5b22d73cc1c1257052003f1aed?

https://www.lassurance-obseques.fr/guide-pratique/contrat-obseques/

https://csnaf.fr/publications/dernieres

https://www.ffa-assurance.fr/

http://www.santepub-rouen.fr/Down-script.php?id=470&nom=analyse%20survie.ppt#1

http://www.ressources-actuarielles.net/C12574E200674F5B/d512ad5b22d73cc1c1257052003f1aed

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https://csnaf.fr/publications/dernieres

https://www.ffa-assurance.fr/


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LISTES DES FIGURES

Figure 01 Evolution du nombre de décès en France par année

Figure 02 Evolution de la répartition de la population âgé de 50 ans plus résident

en France

Figure 03 Pyramide des âge homme/femme du portefeuille

Figure 04 Répartition homme/femme du portefeuille

Figure 05 Répartition des sinistres par de survenance

Figure 06 Répartition du capital moyen par de survenance

Figure 07 Répartition des adhérents par âge au décès

Figure 08 Répartition de l'exposition et des décès par âge

Figure 09 Differents types de données

Figure 10 Comparaison des taux bruts – méthode de Hoem

Figure 11 Comparaison des taux bruts – méthode de Kaplan-Meier

Figure 12 Comparaison des taux bruts de Kaplan-Meier et Hœm

Figure 13 Courbe de taux bruts et ajustés par la méthode de BRASS

Figure 14 Lissage de Whittaker-Henderson des taux bruts de Kaplan-Meier

Figure 15 Comparaison du lissage de BRASS et de Whittaker-Henderson

Figure 16 Intervalle de confiance (IC) à 95 %

Figure 17 Courbe de mortalité unisexe

Figure 18 Loi de consommation unisexe

Figure 19 Impact changement de table sur la PRC

Figure 20 Impact changement de table sur les primes viagères

Figure 21 Impact changement de table sur les primes temporaires


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LISTES DES TABLEAUX

Tableau 01 Récapitulatif des tests de cohérence effectués

Tableau 02 Répartition des effectifs et décès par année

Tableau 03 Récapitulatif des dates clés

Tableau 04 Récapitulatif de nombre des adhérents par tranche d’âge

Tableau 05 Test de régularité

Tableau 06 Comparaison des décès observés et décès estimés par tranche d’âge

Tableau 07 Impact changement de table sur les primes viagères

Tableau 08 Impact changement de table sur les primes temporaires


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ANNEXES :

ANNEXE 1 : Article R212-23 du code de la mutualité

Entrée en vigueur 2014-12-20

Les provisions techniques correspondant aux opérations relevant des branches ou sous-

branches mentionnées aux 1, 2, 15, 16 a et h, 17 et 18 de l'article R. 211-2 sont les suivantes :

1° Provision mathématique des rentes : valeur actuelle des engagements de la mutuelle ou de

l'union relatifs aux rentes et accessoires de rentes mis à sa charge ;

2° Provisions pour prestations à payer : valeur estimative des dépenses en principal et en frais,

tant internes qu'externes, nécessaires au règlement de tous les sinistres survenus et non payés,

y compris les capitaux constitutifs des rentes non encore mises à la charge de la mutuelle ou

de l'union.

3° Provision pour cotisations non acquises : provision destinée à constater, pour l'ensemble

des bulletins d'adhésion ou contrats collectifs en cours, la part des cotisations émises et des

cotisations restant à émettre se rapportant à la période comprise entre la date de l'inventaire et

la date de la prochaine échéance de la cotisation ou, à défaut, du terme du bulletin d'adhésion

ou du contrat ;

4° Provision pour risques en cours : provision destinée à couvrir, pour l'ensemble des bulletins

d'adhésion ou contrats collectifs en cours, la charge des sinistres et des frais afférents aux

bulletins d'adhésion et contrats, pour la période s'écoulant entre la date de l'inventaire et la

date de la première échéance de la cotisation pouvant donner lieu à révision de la cotisation

par la mutuelle ou l'union ou, à défaut, entre la date de l'inventaire et le terme du bulletin

d'adhésion ou du contrat collectif, pour la part de ce coût qui n'est pas couverte par la

provision pour cotisations non acquises ;

5° Réserve de capitalisation : réserve destinée à parer à la dépréciation des valeurs comprises

dans l'actif de la mutuelle ou de l'union et à la diminution de leur revenu ;

6° Provision pour risques croissants : provision pouvant être exigée pour les opérations

d'assurance contre les risques de maladie et d'invalidité et égale à la différence des valeurs

actuelles des engagements respectivement pris par la mutuelle et l'union et par les membres

participants ou les souscripteurs de contrats collectifs ;

7° Provision pour risque d'exigibilité : provision destinée à faire face aux engagements dans le

cas de moins-value de l'ensemble des actifs mentionnés à l'article R. 212-53, à l'exception des

valeurs amortissables que la mutuelle ou l'union a la capacité et l'intention de détenir jusqu'à

leur maturité. La provision à constituer est calculée dans les conditions définies au I de

l'article.


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ANNEXE 2 : Article L221-10 du code de la mutualité

Modifié par LOI n° 2014-344 du 17 mars 2014 - art. 54 (V)

Le membre participant, pour les opérations individuelles, le membre participant ou

l'employeur ou la personne morale, pour les opérations collectives à adhésion facultative, la

personne morale souscriptrice, pour les opérations collectives à adhésion obligatoire, peut

mettre fin à son adhésion ou résilier le contrat collectif tous les ans en envoyant une lettre

recommandée à la mutuelle ou à l'union au moins deux mois avant la date d'échéance. La

mutuelle ou l'union peut, dans des conditions identiques, résilier le contrat collectif, à

l'exception des opérations mentionnées au deuxième alinéa de l'article L. 112-1.

Lorsque le contrat a pour objet de garantir, en cas de survenance d'un des risques que ce

contrat définit, soit le remboursement total ou partiel du montant restant dû au titre d'un prêt

mentionné à l'article L. 312-2 du code de la consommation, soit le paiement de tout ou partie

des échéances dudit prêt, le membre participant peut résilier son contrat dans un délai de

douze mois à compter de la signature de l'offre de prêt. Le membre participant notifie à la

mutuelle ou à l'union, ou à son représentant, sa demande en envoyant une lettre recommandée

au plus tard quinze jours avant le terme de la période de douze mois susmentionnée. Le

membre participant notifie également à la mutuelle ou à l'union par lettre recommandée la

décision du prêteur prévue au sixième alinéa de l'article L. 312-9 du même code ainsi que la

date de prise d'effet du contrat d'assurance accepté en substitution par le prêteur. En cas

d'acceptation par le prêteur, la résiliation du contrat d'assurance prend effet dix jours après la

réception par la mutuelle ou l'union de la décision du prêteur ou à la date de prise d'effet du

contrat accepté en substitution par le prêteur si celle-ci est postérieure. En cas de refus par le

prêteur, le contrat d'assurance n'est pas résilié.

Ce droit de résiliation appartient exclusivement au membre participant.

Pendant toute la durée du contrat d'assurance, la mutuelle ou l'union ne peut pas résilier ce

contrat d'assurance pour cause d'aggravation du risque, sauf dans certaines conditions définies

par décret en Conseil d'Etat, résultant d'un changement de comportement volontaire de

l'assuré.

NOTA :

Conformément à l'article 54 VI de la loi n° 2014-344 du 17 mars 2014, ces dispositions sont

applicables aux contrats souscrits à compter du 26 juillet 2014.


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ANNEXE 3 : Article L530-1

« Les tarifs pratiqués par les mutuelles et unions effectuant des opérations mentionnées au b

du 1° du I de l'article L. 111-1 comprennent la rémunération de celles-ci et sont établis

d'après les éléments suivants :

a) Tables homologuées par arrêté du ministre chargé de la mutualité, établies par sexe, sur la

base de populations de membres participants et bénéficiaires pour les contrats de rente

viagère, et sur la base de données publiées par l'Institut national de la statistique et des

études économiques pour les autres contrats ;

b) tables établies ou non par sexe par la mutuelle ou l'union et certifiées par un actuaire

indépendant de celle-ci, agréé à cet effet par l'une des associations d'actuaires reconnues par

l'Autorité de contrôle instituée à l'article L. 510-1.

Les tables mentionnées au b sont établies d'après les données d'expérience de la mutuelle ou

de l'union, ou des données d'expérience démographiquement équivalentes.

Lorsque les tarifs sont établis d'après des tables mentionnées au a, et dès lors qu'est retenue

une table unique pour tous les membres participants, celle-ci correspond à la table

appropriée conduisant au tarif le plus prudent.

Pour les contrats en cas de vie autres que les contrats de rente viagère, les tables

mentionnées au a sont utilisées en corrigeant l'âge du membre participant conformément aux

décalages d'âge ci-annexés.

Ces décalages d'âge sont appliqués de telle sorte que chaque taux de mortalité annuel à un

âge donné soit égal au taux de mortalité annuel à l'âge ayant subi le décalage dans la table

appropriée.

Pour les opérations de rentes viagères, en ce compris celles revêtant un caractère temporaire,

et à l'exception des contrats relevant du chapitre II bis du titre II du livre II, les tarifs et les

provisions techniques déterminés en utilisant les tables mentionnées au b ne peuvent être

inférieurs à ceux qui résulteraient de l'utilisation des tables appropriées mentionnées au a.»


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ANNEXE 4 : Calcul du taux d’amortissement des précomptes

Les taux d’amortissement de précompte sont calculés sur les durées de versement des primes

(viagère et temporaire) en utilisant la table de mortalité réglementaire TH00-02 associée aux

paramètres suivants :

- Age de référence : 60 ans (âge cible visé et sur lequel est concentrée la production

actuelle).

- Les 𝐿𝑥 de la table réglementaire ont été modifiés pour tenir compte des taux de chute

année par année.

Les taux de chute utilisés sont les suivants :

- Taux de chute année 1 = (𝑇𝐶1)

- Taux de chute année 2 et suivantes = (𝑇𝐶2)

Les 𝐿𝑥 ont été recalculés comme suit 𝐿′𝑥+1 = 𝐿′𝑥 −𝐿𝑥−𝐿𝑥+1

𝐿′𝑥

avec 𝐿𝑥 = 𝐿𝑥 issus de la table réglementaire TH00-02

et 𝐿′𝑥 = 𝐿𝑥 recalculé en fonction de la formule ci-dessus

Le taux d’amortissement de précompte final résulte de la formule suivante :

𝑡𝑥 =𝑐ℎ𝑔𝑡 − 𝑅1 − 𝑅2 − 𝑅3

�̈�60

avec

�̈�60 : annuité temporaire ou viagère (si n’est pas limité), terme à échoir pour un assuré d’âge

60 ans

𝑅1 : remboursement des précompte de 1ère année compte tenu du taux de chute 𝑇𝐶1

𝑅2 et 𝑅3 : remboursements respectifs des précomptes de 2ème et 3ème année compte tenu des

taux de chute 𝑇𝐶1et𝑇𝐶2.


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ANNEXE 5 : Tables d’expérience

Age qx Lx Age qx Lx

0 0,00489 100 000 55 0,00242 96 577

1 0,00038 99 511 56 0,00262 96 343

2 0,00027 99 473 57 0,00284 96 090

3 0,00022 99 446 58 0,00308 95 817

4 0,00018 99 424 59 0,00336 95 522

5 0,00016 99 406 60 0,00367 95 202

6 0,00014 99 390 61 0,00403 94 852

7 0,00013 99 376 62 0,00444 94 470

8 0,00013 99 363 63 0,00492 94 050

9 0,00012 99 350 64 0,00547 93 587

10 0,00013 99 338 65 0,00610 93 075

11 0,00013 99 325 66 0,00680 92 508

12 0,00016 99 312 67 0,00758 91 879

13 0,00020 99 296 68 0,00845 91 182

14 0,00026 99 276 69 0,00943 90 411

15 0,00037 99 250 70 0,01053 89 559

16 0,00050 99 213 71 0,01177 88 616

17 0,00067 99 163 72 0,01313 87 573

18 0,00083 99 097 73 0,01465 86 423

19 0,00095 99 015 74 0,01635 85 157

20 0,00018 98 921 75 0,01829 83 764

21 0,00019 98 903 76 0,02051 82 232

22 0,00019 98 884 77 0,02304 80 545

23 0,00019 98 865 78 0,02597 78 689

24 0,00019 98 847 79 0,02949 76 645

25 0,00019 98 828 80 0,03375 74 385

26 0,00019 98 810 81 0,03886 71 875

27 0,00020 98 791 82 0,04481 69 082

28 0,00020 98 771 83 0,05153 65 986

29 0,00021 98 751 84 0,05894 62 586

30 0,00021 98 730 85 0,06719 58 898

31 0,00022 98 709 86 0,07644 54 940

32 0,00023 98 687 87 0,08673 50 740

33 0,00025 98 664 88 0,09806 46 340

34 0,00028 98 639 89 0,11035 41 796

35 0,00030 98 612 90 0,12358 37 184

36 0,00033 98 582 91 0,13798 32 589

37 0,00037 98 549 92 0,15373 28 092

38 0,00041 98 513 93 0,17099 23 773

39 0,00046 98 473 94 0,18971 19 708

40 0,00052 98 428 95 0,21004 15 969

41 0,00059 98 377 96 0,23188 12 615

42 0,00067 98 318 97 0,25531 9 690

43 0,00077 98 252 98 0,28031 7 216

44 0,00087 98 177 99 0,30731 5 193

45 0,00098 98 091 100 0,33514 3 597

46 0,00110 97 995 101 0,40488 2 392

47 0,00122 97 887 102 0,43033 1 423

48 0,00133 97 768 103 0,46043 811

49 0,00146 97 637 104 0,48000 438

50 0,00158 97 495 105 0,51282 228

51 0,00172 97 341 106 0,52632 111

52 0,00188 97 173 107 0,55556 53

53 0,00204 96 991 108 0,50000 23


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54 0,00223 96 793 109 0,50000 12

4. S. LOISEL

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