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Cours d’électromagnétisme – 2ème semestre – 1ère année – ENSA-j

Chap.1 Les milieux magnétiques

I- Définitions

Un milieu magnétique est un milieu qui s'aimante lorsqu'on le place dans un champ magnétique extérieur.

Un milieu aimanté est un milieu dont chaque élément de volume dτ se

comporte comme un dipôle magnétique de moment magnétique .

Il existe des matériaux qui sont aimantés en absence de champ magnétique extérieur. Ces matériaux sont appelés des aimants.

1- Dipôles magnétiques

Un dipôle magnétique est une boucle de courant électrique de dimensions très petites par rapport aux distances considérées.

Un dipôle magnétique est caractérisé par son moment défini par :

où I est l'intensité du courant électrique dans la boucle, S est la surface de la

boucle et est le vecteur unitaire ⊥ à la surface et dont le sens est lié au sens du courant par la règle du tire-bouchon.

2- Vecteur aimantation

L'expérience montre que sous l'effet d'un champ magnétique, la matière

s'aimante, c.à.d. que chaque élément de volume dτ est le siège d'un moment

magnétique . La grandeur est désignée sous le nom du vecteur

aimantation et représente la densité volumique du moment magnétique. est

une grandeur locale macroscopique caractérisant l’état d’aimantation de la

matière. s'exprime en A/m.

II- Potentiel vecteur créé par un milieu aimanté en un point extérieur

Considérons une substance

magnétique de volume (τ ) placée

dans un champ magnétique .

Chaque élément de volume dτ centré au point P de la substance magnétique

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correspond à un moment magnétique , auquel on peut associer

une boucle élémentaire de courant dont le contour CP infiniment petit est

contenu dans dτ .

Le potentiel vecteur créé par cette boucle élémentaire en un point

extérieur P' s'écrit :

Pour faire apparaître , nous utilisons la relation :

étant un vecteur constant quelconque et dSP la surface élémentaire limitée par le contour CP.

Or, ,

d'où :

soit :

Ce qui permet d'écrire :

La boucle de courant étant infiniment petite, nous pouvons donc supposer

que est le même en tout point de la surface dSP, ce qui permet d'écrire :

Le potentiel vecteur créé par la matière aimantée de volume (τ ) s'écrit donc :

2


Si on utilise l'identité vectorielle : le potentiel

vecteur devient :

Si est un vecteur constant quelconque, alors :

En utilisant la relation :

on peut écrire :

où (S) est la surface limitant le volume (τ ) du milieu aimanté et un vecteur

unitaire ⊥ à (S) orienté vers l'extérieur du volume (τ ). Donc :

d'où :

ou encore :

avec : et .

est donc le potentiel vecteur créé par des courants en surface de densité

et en volume de densité .

et sont respectivement la densité superficielle et la densité volumique des

courants fictifs appelés courants de magnétisation.

Remarques :

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1- s’exprime en A/m (c’est le courant par unité de longueur) et

en A/m2 représente le courant par unité de surface, c.à.d. la densité des

courants de magnétisation à l’intérieur du matériau.

2- La relation : montre que la valeur globale des

courants fictifs est nulle : .

III- Champ magnétique créé par un milieu aimanté en un point extérieur

Le champ magnétique créé par le milieu aimanté, en un point P'

quelconque de l'espace est donc :

Or,

d'où :

où est le vecteur position du point P' de l'espace par rapport au centre P de

l'élément dS ou l'élément dτ .

Remarques :

1- Le champ est appelé champ démagnétisant.

2- Le champ peut être calculé par application du théorème d'Ampère si la

symétrie de la distribution des courants d'aimantation le permet.

IV- Equations de la magnétostatique dans un milieu magnétique

Dans un milieu aimanté, le champ magnétique est la superposition du

champ extérieur dû aux courants réels et du champ dû aux courants fictifs

(champ démagnétisant) : .

⇒ .

avec :

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où est la densité des courants réels et est la densité volumique fictive due

aux courants de magnétisation : .

ou encore : conduit à définir

: vecteur excitation magnétique, tel que . ( s’exprime comme en

A/m).

D’où la nouvelle formulation du théorème d’Ampère :

,

où I est le courant réel qui traverse toute surface (S) limitée par le contour (C).

L'équation : représente le théorème généralisé d'Ampère.

V- Les milieux magnétiques parfaits(l.h.i)

1. Définition

Un milieu magnétique parfait est linéaire homogène isotrope (l.h.i) :

l’aimantation est purement induite et proportionnelle à l’excitation magnétique

:

où est une constante sans dimension appelée susceptibilité magnétique du milieu.

2. Equations de la magnétostatique dans un milieu magnétique parfait (l.h.i)

,

⇒

où est la perméabilité relative par rapport au vide (sans dimension) et

est la perméabilité absolue du milieu (de même unité que : H/m)

Dans un milieu parfait (l.h.i) de perméabilité magnétique :

⇒ et .

VI- Relations de passage entre deux milieux magnétiques (l.h.i.)

1. Composantes normales

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Considérons une surface (Σ ) parcourue par un courant surfacique de densité , séparant deux milieux magnétiques (l.h.i) de perméabilités µ 1 et µ 2. La normale à la surface est orientée du milieu (2) vers le milieu (1). Si on prend comme surface fermée le cylindre de surfaces de bases S1 = S2 = S très petites de sorte que B1 et B2 peuvent être considérés comme

constants sur (S1) et (S2) et de surface latérale infiniment petite (SL ≈ 0) pour rester au voisinage de la surface de séparation entre les deux milieux :

(SL ≈ 0)

⇒ ⇒ .

Il y a donc continuité de la composante normale de à la traversée de la surface de séparation entre deux milieux magnétiques.

⇒ ⇒ et donc discontinuité de la composante normale de de part et d'autre de la surface de séparation.

2. Composantes tangentielles

Considérons une surface (Σ ), parcourue par un courant surfacique de densité , séparant deux milieux (1) et (2). On choisit comme contour (C) un rectangulaire ABCD de longueur AB = CD =L (// à la surface de séparation), suffisamment faible

pour que reste pratiquement constant sur L et de largeur infiniment petite (BC = DA = ℓ≈0), afin de rester au voisinage de la surface de séparation.

Le sens de la surface (S) est lié au sens du contour ABCD par la règle du tire-bouchon.

Le théorème d'Ampère généralisé s'écrit :

soit :

D’où :

Si la surface de séparation n'est parcourue par aucun courant réel (k = 0), on a :

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Il ya donc continuité de la composante tangentielle de à la traversée de cette surface.

⇒ ⇒ et donc discontinuité de la composante

tangentielle de de part et d'autre de la surface de séparation.

VII- L’énergie libre magnétique

1. Présentation générale

Considérons un milieu conducteur de volume (τ 0) parcouru par un courant I0 de densité . L’énergie magnétique W de ce système est donnée par :

Soit (τ ) un milieu magnétique situé au voisinage du milieu conducteur. Les deux milieux se trouvent à l’intérieur du milieu (τ ’) limité par la surface (S’).

On peut étendre l’intégrale au

domaine (τ ’) puisque est nulle à l’extérieur de (τ 0) et écrire :

D’après la forme locale du théorème généralisé d’Ampère, on a :

d’où :

En utilisant l’identité : , l’énergie

magnétique devient :

où S’ est toute surface fermée limitant l’espace.

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Si on prend comme surface (S’) une sphère de rayon r infini, on a : H =

Β /µ proportionnel à 1/r3, A proportionnel à 1/r2 et dS = r2sinθ dθ dϕ , d’où :

et l’énergie magnétique s’écrit alors :

où τ est un volume quelconque qui contient tous les points où et sont non

nuls.

La densité volumique d’énergie s’écrit :

Si le milieu est considéré comme l.h.i alors : , donc :

2. Exemple

Soit un solénoïde infini ayant n spires par unité de longueur, parcourues par un courant constant I. Le solénoïde est rempli d’un matériau magnétique

(l.h.i) de perméabilité µ . Calculer en fonction de l’inductance L du solénoïde et du courant I l’énergie magnétique W.

La densité d’énergie vaut :

Si S est la surface du solénoïde et ℓ sa longueur, alors l’énergie emmagasinée s’écrit :

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VIII- Les différents types de milieux magnétiques

Les milieux magnétiques sont regroupés en trois catégories selon leur susceptibilité magnétique χ :

- les milieux diamagnétiques (χ < 0);

- les milieux paramagnétiques (χ > 0 mais faible)

- les milieux ferromagnétiques (χ > 0 et grande).

1. Les milieux diamagnétiques

Les milieux diamagnétiques sont des matériaux constitués d'atomes (ou molécules) n'ayant pas de moment magnétique intrinsèque (propre). Le phénomène d'aimantation de ces milieux en présence d'un champ magnétique extérieur est appelé diamagnétisme, c'est une aimantation électronique. Ces milieux sont caractérisées par une faible susceptibilité magnétique χ qui est négative ( ).

Diamagnétisme

Si un atome du matériau diamagnétique est placé dans un champ magnétique , l'électron de masse me

gravitant à une vitesse v0=Rω 0 autour du noyau de l'atome sur une orbite de rayon R et d’axe de rotation Oz // , subit une force magnétique

qui modifie sa vitesse, ce

qui entraîne la création d'un moment magnétique local qui tend à s'opposer au champ extérieur et donc une aimantation

avec χ m < 0.

En absence du champ magnétique ( ), l'électron tourne avec la vitesse et la relation fondamentale de la dynamique s'écrit :

En présence du champ magnétique ( ), la relation fondamentale de la dynamique devient :

⇒ .

Si on suppose ω ≈ ω 0, on a : ⇒ .

Les Z électrons de l’atome subissent alors sous l'action d'un champ magnétique une variation de la vitesse angulaire ∆ ω . Dans ces conditions, le

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mouvement de l'ensemble de ces électrons autour du noyau de l’atome équivaut

à une variation de l'intensité du courant : .

La circulation de cette variation du courant à la distance R de OZ

correspond à un moment magnétique .

Pour une substance contenant n atomes par unité de volume, l'aimantation peut se mettre sous la forme :

⇒ .

Exemples :

H2 O : χ = -2,3.10-9 N2(gazeux) : χ = -4.10-8 H2 : χ = -9.10-6 Alcool : χ = -7.10-6

Cuivre : χ = -9,4.10-6 Bismuth : χ = -1,7.10-4

2. Les milieux paramagnétiques

Les milieux paramagnétiques sont des matériaux constitués d'atomes (ou molécules) ayant un moment magnétique propre en absence du champ extérieur. Le phénomène d'aimantation de ces milieux en présence d'un champ magnétique extérieur est appelé paramagnétisme, c'est une aimantation d'orientation. Ces milieux sont caractérisées par une faible susceptibilité magnétique χ positive plus grande (en valeur absolue)que celle des milieux diamagnétiques ( ).

Paramagnétisme

En absence du champ magnétique extérieur, tous les moments magnétiques sont orientés de façon arbitraire.

Lorsqu'un champ magnétique est appliqué au matériau paramagnétique, il tend à orienter les moments dans sa direction et son sens. A saturation :

On montre que la susceptibilité magnétique d'un milieu paramagnétique est donnée par :

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où n représente le nombre de dipôles magnétiques par unité de volume, K = 1,38.10-23J/K : la constante de Boltzmann et T la température en K.

Exemples :

O2(gazeux) : χ = 2.10-6 Air : χ = 3,7.10-7 O2(liquide) : χ = 3,1.10-3

Aluminium : χ = 2,1.10-5

3. Les milieux ferromagnétiques

Les milieux ferromagnétiques sont des matériaux qui ont des propriétés magnétiques similaires à celles du fer. Ce sont des matériaux qui sont capables d'acquérir une aimantation importante dans un champ magnétique extérieur (même très faible) et de conserver cette aimantation lorsque ce champ est supprimé. Ils sont donc caractérisés par une grande susceptibilité magnétique

(χ m ≈103) qui varie, pour des températures au dessus d'une certaine valeur TC

appelée température de Curie, suivant la loi de Curie-Weiss : , avec C

une constante positive.

Pour des températures élevées, l'agitation thermique entraîne un désordre qui limite l'aimantation du milieu ferromagnétique. Celui-ci perd ses propriétés

originales et se comporte comme des paramagnétiques (χ reste >0 mais devient faible).

Exemples : Fe, Co, Ni, …

IX- Le ferromagnétisme

1. Etude expérimentale de l'aimantation ferromagnétique

Soit une bobine torique de faible section (S) dont la circonférence a une

longueur moyenne . Un enroulement contenant N spires, également réparties sur la bobine, alimenté par un courant I. La bobine étant remplie d'un matériau ferromagnétique.

Par raison de symétrie, les lignes de champ produits par ce circuit seront des cercles ayant même axe que le tore.

Le théorème d'Ampère généralisé s'écrit :

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d'où : .

La valeur de H est donc simplement déterminée, dans ce cas, par la lecture de l'ampèremètre (A). On peut en déduire la valeur du champ magnétique B par

une intégration graphique : .

Connaissant H et B, on a également l’aimantation : .

2. Courbe de première aimantation

Considérons un matériau ferromagnétique n'ayant jamais été aimanté (ou qui a perdu toute trace de ses aimantations antérieures par chauffage au dessus de la température de Curie) que l’on place dans une région où l’excitation

magnétique , peut être lentement augmentée à partir de zéro.

En augmentant progressivement I, on peut tracer la courbe M(H) dite de première aimantation qui traduit la variation de l’aimantation en

fonction de l’excitation magnétique . Lorsque H tend vers l'infini, M tend vers une limite MS appelée aimantation à saturation.

3. Variation de la susceptibilité magnétique χ avec l’excitation magnétique H

Compte tenu de la courbe de première aimantation, la susceptibilité magnétique

varie en fonction de H selon la

courbe ci-contre.

La valeur de H1 qui correspond au

maximum de χ peut être obtenue à partir de la courbe de première aimantation.

En effet, en H1 la dérivée de χ par rapport à H est nulle. Soit :

d’où :

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Si on considère la droite : , passant par l’origine et de pente

, cette droite passe par le point (M1,H1) et elle est tangente à la courbe de première aimantation en ce point.

Dans le cas ci-dessous, la relation : M = χ (H)H n'étant pas linéaire; la susceptibilité magnétique du fer est fonction de H et passe pour H ≈ 102 A/m par un maximum de l'ordre de 104.

χ = 104 ⇒ µ r = χ + 1 ≈ 104 ⇒ B = µ H =

µ 0µ rH = µ rB0 ≈ 104B0.

Le champ B peut atteindre des valeurs 10.000 fois supérieures à celle du champ

: champ en absence de

matériau ferromagnétique (On est loin du cas du para et diamagnétique pour lesquels le champ créé par la matière (champ

démagnétisant) est négligeable devant le champ appliqué).

4. Cycle d'hystérésis

Avec un matériau initialement non aimanté, on peut d'abord faire croître H (augmenter I) jusqu'à une valeur Hm

suffisante pour que l'aimantation M soit proche de MS, on décrit ainsi une portion de la courbe de première aimantation (courbe (1)). Si on diminue I, on observe que M(H) décrit la courbe (2) qui ne repasse pas par les points

de la courbe de la première aimantation. Quand H s'annule, le milieu ferromagnétique reste aimanté avec une aimantation Mr dite aimantation rémanente.

Pour désaimanter le matériau ferromagnétique (annuler l’aimantation M), il faut appliquer une excitation magnétique -HC (HC : excitation coercitive du matériau) en inversant le sens du courant I (donner à H des valeurs < 0).

Si on fait varier H entre -Hm et Hm on décrit la courbe (3) ⇒ cycle d'hystérésis. La forme de ce cycle dépend du matériau ferromagnétique utilisé, de la vitesse de variation de H et de la température.

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5. Pertes d’énergie par hystérésis

La puissance électromagnétique fournie au circuit est P = I(V1-V2) avec :

et ⇒ .

τ : volume du matériau magnétique.

Le travail élémentaire fourni au matériau pour faire varier le champ de dB est :

⇒

Soit W1 l’énergie reçue par le matériau ferromagnétique entre l’instant t = 0 (où i = 0, H = 0 et M = M0) et l’instant t = t1 (où i = i1, H = Hm et M = Ms), on a :

Si on diminue H de Hm à zéro, le matériau restitue (fournit) l’énergie W2 :

L’énergie perdue par hystérésis pendant la montée-descente est donc :

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où S est l’aire comprise entre les deux courbes (montée et descente).

Si on considère un cycle entier (une montée de –Hm à Hm

suivie d’une descente de Hm à –Hm), l’énergie WC perdue par hystérésis (pendant ce cycle) est donc :

SC étant l’aire du cycle d'hystérésis en coordonnées (M,H). Plus le cycle est large plus les pertes sont importantes.

I- Forces subies par des matériaux magnétiques

1. Les forces exercées sur un dipôle magnétique

Soit (C) un circuit fermé placé dans le champ magnétique extérieur

inhomogène , parcouru par un courant d’intensité I. Le circuit ayant une surface

S petite devant les caractéristiques de variation du champ .

Le vecteur somme des forces de Laplace est .

Sa composante suivant l’axe Ox est

Le champ magnétique étant toujours à divergence nulle (

), il vient :

d’où : .

Nous supposons le circuit de faible dimension, aussi les dérivées partielles

de restent les mêmes en tout point de la surface du circuit. Alors devient :

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De même, et .

2. Application aux matériaux diamagnétiques ou paramagnétiques

Considérons une substance magnétique (diamagnétique ou

paramagnétique) de volume (τ ) placée dans un champ magnétique non

uniforme.

Un élément de volume dτ d'aimantation se comporte comme un dipôle

magnétique de moment , il subit donc dans un champ magnétique

extérieur non uniforme une force dont les composantes peuvent s'écrire :

, et .

Si le matériau est dia ou paramagnétique, on a : ,

d'où :

.

Soit, en groupant les composantes de , l'expression de la densité

volumique de force :

où dW/dτ est la densité volumique de l'énergie magnétique.

Remarque : χ > 0 ⇒ la force est dirigée dans le sens des croissants ⇒

les paramagnétiques (χ > 0) sont attirés vers les régions de champ intense. Par

contre, les diamagnétiques (χ < 0) sont repoussés par ces régions.

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