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Cours n°0 : Rappels mathématiques

Dans ce chapitre, nous allons étudier les outils nécessaires à la réalisation des différents calculs rencontrés en physique dans le cadre du concours.

1) Angles, trigonométrie et relations métriques dans le triangle

1.1) Angles et trigonométrie

1.1.1) Définitions

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Fonction cosinus

La fonction cosinus notée cos est définie à l’aide du triangle rectangle ABC précédent par :

cos α= coté adjacent à l ' angle αhypothénuse

= ABBC

Fonction sinus

La fonction sinus notée sin est définie à l’aide du triangle rectangle ABC précédent par :

sin α= coté opposé à l ' angle αhypothénuse

= ACBC

Fonction tangente

La fonction cosinus notée tan est définie à l’aide du triangle rectangle ABC précédent par :

tan α= coté opposé àl ' angle αcoté adjacent à l ' angle α

= ACAB

= sin αcosα

Dr A.Sicard CapeSup Grenoble

Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l’origine du repère et muni d’un sens direct, le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Le cercle trigonométrique permet la définition des fonctions trigonométriques pour tous les réels

positifs ou négatifs, et pas seulement pour les angles de mesure en radians comprise entre 0 et π2

lorsqu’on utilise la définition géométrique.

Tracé des fonctions cosinus et sinus

Fonction cosinus

Fonction sinus


Le point M appartenant au cercle trigonométrique a pour coordonnées :

M (cos αsin α )

M

αcos α

sin α

O1

+¿

−1

1

−1

1

−1

2ππ

2ππ

1

−1

!

Coordonnées polaires

Relation entre coordonnées cartésiennes et polaires.

Soit un point M du plan distinct de O, de coordonnées cartésiennes ( x , y ) et de coordonnées polaires (r , θ ). On a les correspondances suivantes :

- Sens coordonnées cartésiennes vers coordonnées polaires :

{ r=√x2+ y2

cosθ= xr= x

√x2+ y2

sin θ= yr= y

√ x2+ y2

- Sens coordonnées polaires vers coordonnées cartésiennes :

{x=r cosθy=r sinθ

Conversions degrés/radians

Les angles peuvent s’exprimer en degrés (°) ou en radians (rad ¿. Soit α un angle, on a :

α (° )=α (rad ) × 180π

Un demi-cercle va correspondre à un angle de 180 ° et de π radians.


On munit le plan d’un repère orthonormal direct (O , i , j ).On appelle coordonnées polaires d’un point M du plan distinct de O, tout couple (r , θ ) de réels tels que :

{ r=OM( i , OM )=θ+2kπ , k∈Z

Lors des différents calculs à la calculatrice, il faut toujours vérifier dans quel mode on se trouve (° ou radians).

Longueur d’arc

1.1.2) Valeurs remarquables des sinus et cosinus

En trigonométrie, il est important de connaitre les valeurs des cosinus et sinus de certains angles fréquemment rencontrés. Ces valeurs sont répertoriées dans le tableau suivant :

θrad 0 π

6π4

π3

π2

deg 0 30 ° 45 ° 60 ° 90 °sin θ √0

2=0 √1

2=1

2√22

√32

√42

=1

cosθ √42

=1 √32

√22

√12

=12

√02

=0

tanθ= sin θcosθ

0 1√3

=√33

1 √3 ∞

Remarque : pour se rappeler de ces valeurs plus facilement, on pourra remarquer la progression 0,1,2,3,4 sous les racines pour le sinus et 4,3,2,1,0 pour le cosinus.

1.1.3) Formules relatives aux angles associés

Périodicité

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π .

cos ( x+2π )=cos xsin ( x+2π )=sin x


O

R α A

Bl

La longueur l de l’arc de cercle AB de rayon R et d’angle au centre α est donnée par :

l=R α

Le périmètre p d’un cercle (α=2 π) est ainsi donné par :

p=2πR

Angles opposés

cos (−x )=cos xsin (−x )=−sin x

Angles supplémentaires

cos ( π−x )=−¿cos x ¿sin ( π−x )=sin x

Angles complémentaires

cos (π2−x )=sin x

sin( π2−x)=cos x

Angles de différence π

cos ( x+π )=−cos xsin ( x+π )=−sin x

Les formules précédentes ne sont pas nécessairement à apprendre par cœur car elles peuvent être retrouvées sur le cercle trigonométrique.

Formules élémentaires (très importantes à connaître)

cos2 x+sin2 x=1

1+ tan2 x= 1cos2 x

Formules d’addition

cos ( a+b )=cosacos b−sin asin bcos ( a−b )=cos acosb+sin asin bsin (a+b )=sin acosb+cos a sin bsin (a−b )=sin acosb−cos a sin b

Formules de duplication


cos2a=cos2a−sin2 a¿1−2sin2 a¿2 cos2 a−1

sin 2a=2sin acos aLinéarisation

cos2a=1+cos2a2

sin2 a=1−cos2a2

1.1.4) Equations trigonométriques

cos x=cosa⇒{ x=a+2kπou

x=−a+2k ' πavec k et k ' dansZ

sin x=sin a⇒{ x=a+2kπou

x=π−a+2k ' πavec k et k ' dans Z

1.2) Relations métriques dans le triangle

1.2.1) Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres cotés.


BC2=AB2+AC 2

oua2=c2+b2

1.2.2) Théorème d’Al-Kashi

Le théorème d’Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore. Il s’applique à un triangle quelconque.

Soit ABC un triangle quelconque, on note :

BC=a , AC=b , AB=c , A=BAC , B=CBA , C=BCA

On a :

a2=b2+c2−2 bc cos A

Par la permutation : a→b,b→c,c→a,on obtient :

b2=c2+a2−2cacos B

Par la permutation : b→c ,c →a,a→b,on obtient :

c2=a2+b2−2abcos C

1.2.3) Aire d’un triangle et formule des sinus

Soit S l’aire d’un triangle ABC.

S=base ×hauteur2

On peut montrer que


S=12

bc sin A

¿ 12

ab sin C

¿ 12

ca sin B

Loi des sinus

Dans le triangle ABC précédent, on la relation suivante, appelée loi des sinus :

asin A

= bsin B

= csin C

=abc2S

2) Surfaces et volumes des figures usuelles

2.1) Surface

Carré

Rectangle

Disque

Sphère


S=a2

S=l× L

S=π r2

base de surface

2.2) Volumes

Pavé droit

Cylindre quelconque

Cylindre de révolution


S=4 π r2

V=a3

V=l × L×h

V=S×h

!

Boule

3) Vecteurs

3.1) Définitions

3.1.1) Définition géométrique

Par définition, un vecteur v est un objet mathématique défini par 3 critères :

- Une direction (droite portant le vecteur)- Un sens (sens de parcours de cette droite)- Une norme (longueur du vecteur) notée ‖v‖=v avec v>0.

Le vecteur de longueur nulle est noté 0 et s’appelle le vecteur nul.

Dans le plan, un vecteur est représenté par une flèche.

Attention, il ne faudra pas confondre vecteurs et scalaires dans les calculs.

3.1.2) Définition analytique

Il est possible d’adopter une approche analytique afin de définir un vecteur.Soit un repère du plan centré en O et muni d’une base orthonormale ( i , j ). Soit v un vecteur du plan.


V=π r2 h

V= 43

π r3

v

On écrit ainsi les composantes ou coordonnées du vecteur :

v|v x

v y

La notation vx et v y signifie que les composantes d’un vecteur sont des longueurs affectées d’un signe. Ce sont des mesures algébriques. Dans la pratique, il sera possible d’abandonner cette notation en gardant en mémoire que les composantes d’un vecteur peuvent être positives ou négatives. On notera alors :

v=v x i+v y j

Les coordonnées d’un vecteur permettent de retrouver sa norme et sa direction.Le théorème de Pythagore nous donne :

v=√v x2+v y

2

Soit α l’angle entre l’axe Ox et le vecteur v. La mesure géométrique de cet angle est donnée par :

tan α=|v y

v x|

Vecteur défini à l’aide de deux points du plan

Soient deux points du plan A et B de coordonnées A( x A

y A) et B( xB

y B).


i

y

xj

vx i

v y jvα

Tout vecteur du plan peut être décomposé selon cette base orthonormée. On a :

v=v x i+v y j

i

j

La donnée de ces deux points permet de définir un vecteur du plan noté AB tel que :

AB|xB−x A

yB− y A

Le vecteur AB n’est toutefois pas attaché aux deux points A et B .

La norme de ce vecteur vaut :

AB=‖AB‖=√ (xB−x A )2+ ( yB− y A )2

3.2) Propriétés des vecteurs

3.2.1) Relation de Chasles

Pour tous points A, B et C du plan, on a la relation vectorielle suivante :

AB+ BC= AC

AC est le vecteur somme de AB et BC .

3.2.2) Colinéarité de deux vecteurs

Deux vecteurs u et v sont dits colinéaires si il existe un réel k tel que v=k u.

Si le vecteur u a pour coordonnées u|ux

u y alors v a pour coordonnées v|k ux

ku y .

3.3) Produit scalaire

3.3.1) Définition

En géométrie vectorielle, le produit scalaire correspond à une opération algébrique s’ajoutant aux lois s’appliquant aux vecteurs. A deux vecteurs, elle associe leur produit qui est un nombre réel.Le produit scalaire de u par v noté u ∙ v est le nombre défini par l’égalité suivante :

u ∙ v=‖u‖×‖v‖× cos ( u , v )

où ( u , v ) est l’angle orienté entre u et v.


Le produit scalaire est un outil important en physique. Il peut être, par exemple, utilisé pour modéliser le travail d’une force ou pour effectuer l’opération de projection orthogonale.

Carré scalaire

Pour tout vecteur u du plan, le produit scalaire de u par lui-même u ∙u est appelé carré scalaire de u. On le note u2.On a :

u2=u ∙ u=‖u‖×‖u‖=‖u‖2

Ce qui donne pour deux points A et B:

AB2=‖AB‖2=AB2

3.3.2) Propriétés

Soient u,v et w trois vecteurs du plan et k un réel. On a les propriétés suivantes :

- Orthogonalité u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

u⊥ v⟺u ∙ v=0

- Symétrie u ∙ v= v ∙ u

- Linéarité u ∙ ( v+w )=u ∙ v+u ∙ w( u+ v ) ∙ w=u ∙ w+ v ∙ w

(k u ) ∙ v=k (u ∙ v )u ∙ (k v )=k (u ∙ v )

Identités remarquables

( u+ v )2=u2+2 u∙ v+ v2

( u−v )2=u2−2u ∙ v+ v2

( u+ v ) ( u−v )=u2− v2

3.3.3) Expression analytique du produit scalaire

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O , i , j ).

u et v sont deux vecteurs de coordonnées respectives u|xy et v|x 'y '


On a :u ∙ v=x x'+ y y '

Condition d’orthogonalité

u⊥ v⟺x x'+ y y '=0

3.3.4) Projection sur un axe orienté

Soit un axe orienté x ' Ox muni d’un vecteur unitaire i (‖i‖=1).

Le projeté orthogonal du vecteur v sur l’axe x ' Ox est la composante vx de ce vecteur. On a :

vx= v ∙ i=‖v‖cosα

3.3.5) Projection sur des axes orthogonaux

vx= v ∙ iet v y=v ∙ j

Exemples de projections rencontrées en physique

- cas n°1


O

v

i

j

vx

v y

vx=vcos α

v y=v cos ( π2−α)=v sin α

- cas n°2

- cas n°3

- cas n°4

4) Fonctions et outils des fonctions

En mathématiques, une fonction réelle d’une variable réelle est une règle qui permet d’associer un réel à un autre nombre réel. En physique, on utilisera le formalisme des fonctions pour décrire l’évolution d’un système physique.Il est ainsi nécessaire de connaître les fonctions usuellement rencontrées en physique, ainsi que les outils utiles pour leur étude.

4.1) Fonctions usuelles

4.1.1) Fonction affine

y ( x )=a x+bDomaine de définition ¿ Df =R

Une fonction affine correspond à une variation linéaire de y en fonction de la variable x.


vx=vsin αv y=v cos α

vx

v yα

v

vx=vcos α

v y=v cos ( π2

+α)=−v sin α

vx=vcos ( π2+α )=−v sin α

v y=v cos ( π+α )=−v cosα

y2

a=y2− y1

x2−x1

b= y1−a x1= y2−a x2

4.1.2) Polynôme du 2 nd degré

y ( x )=a x2+b x+c Df =R avec a, b, c dans R

La courbe représentative d’une telle fonction s’appelle une parabole. Si a est positif la parabole est tournée vers le haut. Si a est négatif, elle est tournée vers le bas.

Résolution d’une équation du second degré a x2+b x+c=0


x1 x2

y1

a>0 a<0

4.1.3) Exponentielle

En mathématiques, la fonction exponentielle notée exp est la fonction qui est sa propre dérivée et qui prend la valeur 1 en 0.On note e la valeur de cette fonction en 1. Ce nombre e qui vaut approximativement 2,71828 s’appelle la base de la fonction exponentielle et en permet une autre notation :

exp x=e x

Propriétés

- La fonction exponentielle est définie et continue sur R.

- La fonction exponentielle est dérivable sur R et (e x)'=ex

- Pour tout réel x, ex>0

- La fonction exponentielle est strictement croissante sur R .

Equations – Inéquations

Pour tous réels a et b, on a :

ea=eb⟺a=bea<eb⟺a<bea>eb⟺a>b

Relations fonctionnelles

Soient a et b deux réels, on a :

ea ×eb=ea+b


e−b= 1eb

ea

eb=ea−b

Limites

limx→+∞

ex=+∞

limx→−∞

e x=0

4.1.4) Logarithme népérien

Le logarithme népérien noté ln est la fonction logarithme de base e. Elle est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Propriétés

- La fonction logarithme népérien est définie sur ¿0 ,+∞¿

- La fonction logarithme népérien est dérivable sur R+¿¿¿ et sa dérivée est ( ln x )'=1x

- La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur R+¿¿¿

- ln 1=0 et ln e=1

- Pour tout x réel, ln (ex)=xPour tout x dans R+¿¿¿, e ln x=x

Equations – Inéquations

Pour tous a et b dans R+¿¿¿

ln a=ln b⟺a=bln a< ln b⟺a<b


ln a> ln b⟺a>b

Relations fonctionnelles

ln (a×b )=ln a+ lnb

ln ( ab )=ln a−ln b

ln ( 1a )=−ln a

ln ( ab )=b×ln a

Limites

limx →0

ln x=−∞

limx→+∞

ln x=+∞

4.2) Dérivation

4.2.1) Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle , et a appartenant à I . On dit que f est dérivable en a si l’une des conditions suivantes est réalisée :

limh→ 0

f (a+h )−f (a )h

=l

limx→ a

f (x )−f (a )x−a

=l

Dans ce cas, l s’appelle le nombre dérivé de f en a, et on le note f ' ( a )

4.2.2) Interprétation graphique : tangente

Si f est dérivable en a, la courbe représentative de f admet au point A (a; f (a ) ) une tangente de

coefficient directeur f ' ( a ). Une équation de cette tangente est :

y=f ' (a ) × ( x−a )+ f ( a )


4.2.3) Etude du sens de variation

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .

- Si la dérivée f ' est nulle sur I , alors f est constante sur I .

- Si f '>0 sur I , sauf peut-être en un nombre fini de points où elle s’annule, alors f est strictement croissante sur I .

- Si f '<0 sur I , sauf peut-être en un nombre fini de points où elle s’annule, alors f est strictement décroissante sur I .

4.2.4) Extremum local

Soit f dérivable sur un intervalle ouvert I , et x0 un réel de I .

- Si f admet un extremum local, alors f ' (x0 )=0.

- Si en x0 la dérivéef ' s’annule en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0.

4.2.5) Dérivées des fonctions usuelles

Fonction Fonction dérivée Intervallek (k∈R ) 0 R

x 1 R

xn n xn−1 R si n≥0R¿si n<0

1x

−1x2

R¿

√ x 12√ x

¿0 ;+∞¿

sin x cos x R

cos x −sin x R

tan x 1cos2 x

=1+ tan2 x R ¿{k π2

, k∈Z ¿}

ex ex R

ln x 1x

¿0 ;+∞¿


4.2.6) Opérations et composition

Fonction Fonction dérivée Commentaireu+v u '+v '

k u k u ' k constante

uv u' v+uv '

1v

−v 'v2

si v ( x )≠ 0

uv

u' v−uv 'v2

si v ( x )≠ 0

v [u ( x ) ] u ' ( x )× v ' [u (x ) ] dérivation d'une fonctioncomposée

[u ( x ) ]n n× [u ( x ) ]n−1× u' (x ) n∈Z si u ( x )<0lorsque n<0

√u ( x) u ' ( x )2√u ( x )

si u ( x )>0

eu ( x ) u ' ( x )× eu ( x )

ln [u ( x ) ] u' (x )u (x )

si u ( x )>0

4.3) Primitives et intégration

4.3.1) Primitives

4.3.1.1) Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R . On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I , telle que, pour tout x de I , F ' ( x )= f ( x )

4.3.1.2) Propriétés

Soit I un intervalle de R .

- Toute fonction continue sur I admet des primitives sur I

- Si f admet une primitive F sur , alors toute fonction G telle que G ( x )=F ( x )+k , k∈R, est aussi une primitive de f .


- Si F et H sont deux primitives de f , alors H ( x )=F ( x )+k , k∈R

- Si f admet une primitive F sur I , alors f admet une infinité de primitives sur I :toutes les fonctions de la forme F+k, k∈R .

4.3.1.3) Tableau des primitives

Fonctions usuelles

Fonctions Une primitive Intervalles0 k Rk kx R

xn ( n∈Z ¿{−1¿}) xn+1

n+1¿0 ;+∞¿

1x

ln x ¿0 ;+∞¿

1√x

2√x ¿0 ;+∞¿

ex ex Rsin x −cos x Rcos x sin x R

cos ( ax+b ) 1a

sin ( ax+b ) R

sin (ax+b ) −1a

cos (ax+b ) R

1+ tan2 x= 1cos2 x

tan x ¿−π2

; π2

¿

Opérations et composition

Dans chaque cas, u est une fonction dérivable sur un intervalle I .

Fonctions Une primitive Intervallesk u ' k u

u'+v ' u+v

u '√u

2√u u ( x )>0 sur I

u ' ×uα

(α∈Z ¿ {−1¿ })uα+1

α+1Lorsque α←1 , u (x ) ≠ 0

pour tout x dans Iu ' ×eu eu

u'u

ln|u|


4.3.2) Intégration

4.3.2.1) Définition

Si f est une fonction continue avec a et b deux réels. L’intégrale de a à b de la fonction f est la valeur de F, primitive de f , en b moins sa valeur en a. On a :

∫a

b

f ( x )dx= [F (x ) ]ab=F (b )−F (a )

D’un point de vue géométrique, l’intégrale d’une fonction positive correspond à l’aire sous la courbe. Si la fonction est toujours négative, son intégrale ¿−¿ aire sous la courbe.

4.3.2.2) Propriétés

∫a

b

f ( x )dx=−∫b

a

f ( x )dx

Relation de Chasles

Pour tous a ,b , c réels

∫a

b

f ( x )dx=∫a

c

f ( x )dx+∫c

b

f ( x ) dx

Linéarité

Pour tout λ dans R ,

∫a

b

[ λ f ( x ) ]dx= λ∫a

b

f ( x )dx

∫a

b

[ f ( x )+g ( x ) ] dx=∫a

b

f ( x ) dx+∫a

b

g ( x ) dx

4.3.2.3) Intégration par parties

Soient u et v deux fonctions dérivables sur I avec u ' et v ' continues sur I et pour tous a et b dans I


∫a

b

u (t )×v ' (t )dt= [u ( t )×v (t ) ]ab−∫

a

b

u ' (t )× v (t ) dt

L’intégration par parties peut être utile pour déterminer les primitives de certaines fonctions.

4.4) Equations différentielles

4.4.1) Définition

Une équation différentielle est une équation liant une fonction à ses dérivées successives.

4.4.2) Equation différentielle du premier ordre, linéaire à coefficients constants y '+ay=b

Résoudre dans un intervalle I l’équation différentielle y '+ay=b d’inconnue la fonction y, c’est trouver toutes les fonctions f dérivables sur I telles que pour tout réel t de I , f ' (t )+af ( t )=b.

L’équation y '+ay=0 est l’équation sans second membre associée.

Résolution de l’équation

Les solutions dans R de l’équation différentielle y '+ay=b sont les fonctions f k définies pour tout réel t par :

f k (t )=k e−at+ ba

où k est un réel quelconque.Dans la pratique, la détermination de k se fera à l’aide des conditions initiales.

4.4.3) Equation de l’oscillateur harmonique

L’équation différentielle régissant l’évolution de l’oscillateur harmonique est de la forme suivante :

y ' '+ω2 y=0

C’est une équation différentielle du second ordre car elle fait intervenir la dérivée seconde y ' ' de y.Les solutions d’une telle équation sont des sinusoïdes de la forme suivante :

y (t )=A cos (ωt+φ )

avec A et φ deux réels à déterminer à l’aide des conditions initiales.


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