2011 2012 MP Cours Theorie Des Mecanismes

THÉORIE DES MÉCANISMES

Objectifs ANALYSER - OPTIMISERA la fin de la séquence de révision, l’élève doit être capable, dans le cas d’une chaîne ouverte, de conduire une étude statique afin de déterminercertaines composantes des torseurs transmissibles, et dans le cas d’une chaîne fermée :

• d’écrire les relations liant les paramètres géométriques afin de déterminer la position de chacun des solides en fonction des paramètres pilotes ;

• d’écrire les relations de fermeture de la chaîne cinématique, de résoudre le système associé et d’en déduire le degré de mobilité et le degréd’hyperstatisme ;

• d’imaginer des modèles de mécanismes isostatiques équivalents cinématiquement.

Table des matières

1 Graphe de structure d’un mécanisme 21.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 21.2 Nombre cyclomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 31.3 Différents types de chaînes de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Approche cinématique 52.1 Fermetures cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 52.2 Mobilité cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 5

3 Approche statique 73.1 Application du PFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 73.2 Degré d’hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 7

4 Liaisons équivalentes : 84.1 Liaisons en parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 84.2 Liaison en série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 9

5 Dualité entre les relations cinématiques et statiques 95.1 Cinématique/hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 95.2 Analyse globale du degré d’hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 105.3 Influence de l’hyperstatisme au montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 10

6 Utilisation pratique de la théorie des mécanismes 116.1 Ce qu’il faut retenir (fondamental) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 116.2 Quelle démarche choisir ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 116.3 Comment rendre un mécanisme isostatique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 12

7 Cas des problèmes plans 12

LYCÉE CARNOT (DIJON) MP GERMAIN GONDOR

1. GRAPHE DE STRUCTURE D’ UN MÉCANISME 2/12

Nomenclature

p : Nombre de sommets ou de pièces (ensembles ci-nématiquement équivalents)

NL : Nombre d’arcs ou de liaisons

ν : Nombre cyclomatique

mc : Mobilité cinématique

mu : Mobilité cinématique utile du système

mi : Mobilité cinématique interne

Ic(i) : Nombre d’inconnues cinématiques de la liaisoni

Is(i) : Nombre d’inconnues statiques de la liaisoni

Ic : Nombre d’inconnues cinématiques

Is : Nombre d’inconnues statiques

rc : Rang du système d’équations cinématiques

rs : Rang du système d’équations statiques

h : degré d’hyperstatisme

HYPOTHÈSES :

Dans toute cette séquence, nous considérerons que :• Les pièces sont indéformables,

• Les liaisons mécaniques entre les solides sont considérées comme parfaites(sans jeu et sans frottement). Les contactssont maintenus,

• Les effets dynamiques sur l’ensemble des pièces sont négligés, de telle sorte que le principe fondamental de la statiquepuisse s’appliquer.

1 Graphe de structure d’un mécanisme

1.1 Rappel

• A toute pièce (ou classe d’équivalence cinématique), on associe un sommet: p est le nombre de sommets

• A toute liaison, on associe un arc :NL est le nombre d’arcs

EXEMPLE : Robot SCARA(Selective Compliant Articulated Robot Arm)

FIGURE 1 – Robot de manutentionde type SCARA utilisé pour déplacerdes pièces ou des outils d’un poste detravail T1 vers le poste de travail T2

FIGURE 2 – Schéma cinématiqued’un robot de manutention de typeSCARA

0

2 3 4

1p=5

n=6

FIGURE 3 – Graphe de structured’un robot de manutention de typeSCARA

LYCÉE CARNOT (DIJON) MP THÉORIE DES MÉCANISMES


1.2 Nombre cyclomatique

A partir d’un graphe de structure, il est possible de dégager différentesboucles utiles pour une étude géométrique et cinématique.

Le nombre de boucles indépendantes à prendre en considération est dé-terminé par le nombre cyclomatiqueν. On peut montrer que ce nombrecyclomatique vaut :

ν = NL︸︷︷︸nombre de liaisons

− p︸︷︷︸

nombre de pièces

+1

EXEMPLE : Robot SCARA :

ν = 6− 5 + 1 = 2

Le mécanisme comporte donc 2 boucles indépendantes. Par exemple :

0

2

FIGURE 4 – Boucle 1

0

2

1

FIGURE 5 – Boucle 2

0

2

1

FIGURE 6 – Combinaison des deux autres boucles

1.3 Différents types de chaînes de solides

1.3.1 Mécanisme en chaîne ouverte

DÉFINITION : Chaîne ouverteOn appelle chaîne ouverte une chaîne den+ 1 solides assemblés parn liaisons en série.

REMARQUE : Il n’y a pas de cycle :ν = NL − p+ 1 = n− (n+ 1) + 1 = 0

L10 : Pivot (O1,#»z 0)

L21 : Pivot (O1,#»z 0)

L32 : Pivot (O2,#»z 0)

L43 : Pivot (O3,#»z 0)

L54 : Pivot (O3,#»z 0)

p =6

NL=5

ν =0

0

1

2 3

4

5

1.3.2 Mécanisme en chaîne fermée simple

DÉFINITION : Chaîne ferméeOn appelle chaîne fermée une chaîne ouverte dont les deux solides extrêmes ont une liaison entre eux. Lesn+1solides sont donc reliés parn+ 1 liaisons.



REMARQUE : Une chaîne fermée forme 1 cycle :ν = NL − p+ 1 = n+ 1− (n+ 1) + 1 = 1

Le schéma cinématique ci-après représente une ponceuse vibrante électro-portative.

Elle est animée par un moteur électrique dont le rotor entraîne en rotation l’arbre d’entrée2 du mécanisme de transformationde mouvement. La rotation continue du moteur est ensuite transformée en rotation alternative de faible débattement parl’ensemble constitué de la noix3 et du balancier4. Ce dernier est lié par frettage à l’arbre de sortie de la ponceuse, guidépar un roulement à billes radial et une douille à aiguilles.

La feuille abrasive est fixée sur le patin souple lié à l’arbre de sortie. La partie arrière du carter contient le système de com-mande et d’alimentation du moteur électrique.

L21 : Pivot (K, #»x 1)

L32 : Pivot glissant (B, #»x 1)

L43 : Pivot glissant (B, #»x 1)

L41 : Pivot (C, #»z 1)

p =4

NL=4

ν =1

1

L21

2L32

3

L43

4L41

1.3.3 Mécanisme en chaîne complexe

DÉFINITION : Chaîne fermée complexeUne chaîne complexe est une chaîne cinématique constituée de plusieurs chaînes fermées imbriquées

L10 : Pivot (O1,#»z )

L21 : Hélicoïdale (O2,#»z )


L20 : Pivot glissant (N2,#»z )

L32 : Pivot (O1,#»z )

L43 : Ponctuelle de normale (I, #»z )


L52 : Pivot glissant (N5,#»z )

L42 : Pivot (O4,#»z )

p =6

NL=9

ν =4

0L30

3L43

4

L54

5L52

2L21

1

L10 L20 L32 L42

REMARQUE : Dans la suite de ce cours, les mécanismes étudiés seront en chaîne fermée simple ou complexe.


2. APPROCHE CINÉMATIQUE 5/12

2 Approche cinématique

But : Dégager le nombre de paramètres cinématiques à imposer afin de déterminer toute la cinématique et déduire les loisentrées-sorties.

2.1 Fermetures cinématiques

Considérons un mécanisme comportant :

• p solides

• Ic inconnues cinématiques de liaisons

• ν boucles indépendantes

• Ic(i) nombre d’inconnues cinématiques de la liaisoni

Ic =

NL∑

i=1

Ic(i)

La fermeture cinématique associée à chaque boucle indépen-dante fournit au maximum 6 équations par boucle :

{

V0/p−1

}

+

{

Vp−1/p−2

}

+ . . .+

{

V2/1

}

+

{

V1/0

}

=

{

0

}

En écrivant lesν fermetures cinématiques, on obtient un sys-tème linéaire homogène comportant6.ν équations àIc in-connues tel que :

6.ν équations

Ic inconnues︷︸︸︷

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

0

0

0

0

0

︸︷︷︸

Ic inconnues

=

0

0

0

0

0

2.2 Mobilité cinématique

2.2.1 Définition

DÉFINITION : Mobilité cinématique mc

La mobilité cinématique correspond au nombre de paramètres cinématiques à imposer afin d’obtenir une solu-tion unique :

mc = Ic − rc

La mobilité cinématique = nombre d’inconnues cinématiques - rang du système d’équations

2 Cas :

• mc = 0 → : la seule solution au système d’équations est la solution triviale, toutes les inconnues cinématiques sontnulles et la chaîne est immobile. Elle ne transmet aucun mouvement.

• mc > 0 → : Il existe alorsmc inconnues principales qui peuvent prendre des valeurs arbitraires,on dit que le méca-nisme est àmc degrés de liberté. C’est-à-dire qu’il faut fixer les valeurs demc paramètres pour connaître à tout instantla configuration complète du système.


2. APPROCHE CINÉMATIQUE 6/12

C’est le seul cas intéressant du point de vue de l’étude desmécanismes. Le système linéaire peut se mettre sous laforme ci contre.

Le rang du système d’équations cinématiquesrc correspondau nombre d’équations indépendantes permettant de déter-miner les inconnues cinématiques de liaisons. Afin de le dé-terminer, il est nécessaire d’entamer une résolution partielledu système en mettant en évidence les inconnues cinéma-tiques à imposer pour résoudre complètement ce système.

rc

équations

Ic︷︸︸︷

rc inconnues︷︸︸︷

mc︷︸︸︷

=

0

2.2.2 Loi(s) " entrée-sortie "

L’analyse du mécanisme dans son environnement industrielpermet de choisir les paramètres d’entrées dont la valeurest imposée ainsi que les paramètres de sortie.

DÉFINITION : loi(s) entrée-sortieOn appelle " loi(s) entrée-sortie ", la (ou les) rela-tion(s) implicite(s) liant les paramètres cinématiquesd’entréeei, les paramètres cinématiques de sortiesiet les données géométriquesGi.

Paramètre

d’entrée

Mécanisme

F (ei, si, Gi) = 0

Paramètre

de sortie

⇓

mc paramètres

au maximum

⇓

A choisir parmi les

rc = Ic −mc

inconnues restantes

2.2.3 Mobilité cinématique utile

DÉFINITION : Mobilité cinématique utile mu

La mobilité cinématique utilemu d’un mécanisme est égale au nombre de paramètres cinématiques nécessairesà la détermination des lois entrée-sortie. C’est aussi égal au nombre deparamètres d’entrée.

2.2.4 Mobilité cinématique interne

Les pièces internes à un mécanisme peuvent présenter des mouvements quin’ont aucune influence sur les lois entrée-sortie.

DÉFINITION : Mobilité cinématique interne mi

La mobilité cinématique internemi est égale au nombre d’inconnues cinématiques à imposer afin que toutesles pièces internes au mécanisme soient dans une position parfaitement définie.

2.2.5 Synthèse

La mobilité cinématique se compose donc des mobilités cinématiques utiles et internes.

mc = mu +mi mobilité cinématique = mobilité cinématique utile + mobilité cinématique interne


3. APPROCHE STATIQUE 7/12

3 Approche statique

But : Savoir si les efforts extérieurs étant connus, on est capable dedéterminer toutes les actions mécaniques de liaisons. Sitel n’est pas le cas, alors le mécanisme est dit " hyperstatique ".

3.1 Application du PFS

On se place dans une position d’équilibre du mécanisme avec des liaisons parfaites. Une étude dynamique serait décrite dela même manière.Considérons un mécanisme comportant :

• p solides

• Is inconnues d’actions mécaniques de liaisons

• des efforts extérieurs connus

• Is(i) nombre d’inconnues d’actions mécaniques de laliaisoni

Is =

NL∑

i=1

Is(i)

REMARQUE :

Dans le cas d’une liaison parfaitei

Ic(i) + Is(i) = 6

Grâce au PFS :

• (p − 1) isolements peuventêtre effectués en ôtant lebâti.

• 6.(p− 1) équations sont ob-tenues au maximum.

Le système linéaire peut se mettresous la forme :

6.(p− 1) équations

Is inconnues︷︸︸︷

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

0

0

0

0

0

︸︷︷︸

Is inconnues

=

Second membre non nul contenant

les efforts extérieurs︷︸︸︷

0

0

0

0

0

3.2 Degré d’hyperstatisme

DÉFINITION : Degré d’hyperstatismeLe degré d’hyperstatisme caractérise le nombre d’inconnues d’actions mécaniques à imposer afin de résoudrele système linéaire.

h = Is − rs

Degré d’hyperstatisme = nombre d’inconnues d’AM - rang du système d’équations

2 cas :

• h = 0 → : Le système est dit isostatique. La seule connaissance des actions mécaniques extérieures suffit à déterminerles actions mécaniques de liaisons en appliquant le PFS.

• h > 0 → : Le système est dit hyperstatique de degré h. Certaines actions mécaniques de liaisons ne peuvent pas êtredéterminées. L’analyse de ces systèmes sera développée plus tard.


4. LIAISONS ÉQUIVALENTES : 8/12

rs

équations

Is︷︸︸︷

rs inconnues︷︸︸︷

h︷︸︸︷

=

4 Liaisons équivalentes :

On parle de liaison équivalente si la liaison obtenue appartient aux liaisons normalisées.

4.1 Liaisons en parallèle

L’associations de liaisons en parallèle peut engendrer des inconnues hyperstatiques. Le calcul du degré d’hyperstatisme dit" interne " s’effectue de la même manière que précédemment.

P1 P2

L1

L2

Li

Ln

≡P1 P2

Leq

4.1.1 Approche cinématique

Pour que la liaison équivalenteLeq entreP1 etP2 soit compatible avec les autres liaisons simples parallèles, il faut que sontorseur cinématique soit égal au torseur cinématique associé à chaque liaison parallèle :

{

VLeq

P2/P1

}

=

{

VL1

P2/P1

}

= . . . =

{

VLn

P2/P1

}

4.1.2 Approche statique

IsolerP1 permet de faire le bilan des actions mécaniques qui lui sont exercées. Leprincipe fondamentale de la statique (oude la dynamique) appliqué àP1 nous permet d’écrire que :

{

FLeq

P2 7→P1

}

=

{

FL1

P2 7→P1

}

+ . . .+

{

FLn

P2 7→P1

}


5. DUALITÉ ENTRE LES RELATIONS CINÉMATIQUES ET STATIQUES 9/12

4.2 Liaison en série

P1

L1

P2 Pn−1Ln

Pn

≡P1 Pn

Leq

4.2.1 Approche cinématique

Par composition des vecteurs vitesses :{

VLeq

Pn/P1

}

=

{

VLn−1

Pn/Pn−1

}

+ . . .+

{

VL1

P2/P1

}

4.2.2 Approche statique

Par application du successives du PFS àn− 1 solidei :{

FPi−1→Pi

}

+

{

FPi+1→Pi

}

=

{

0

}

{

FPi+1→Pi

}

=

{

FPi→Pi−1

}

On en déduit donc que :

{

FLeq

Pn 7→P1

}

=

{

FL1

Pn 7→Pn−1

}

= . . . =

{

FLn

P2 7→P1

}

5 Dualité entre les relations cinématiques et statiques

5.1 Cinématique/hyperstatisme

5.1.1 Cinématique7→ hyperstatisme

• mu équations lient exclusivement les efforts d’entrée-sortie (efforts extérieurs)

• mi équations sont du type 0=0 (équations issues du PFS).

D’autre part l’application du PFS conduit àrs équations permettant de déterminer les inconnues de liaisons (équationsprincipales). On admet :

mc = mu +mi = 6.(p− 1)− rs

La diminution du rang statiquers provient uniquement des mobilités cinématiques.

5.1.2 Hyperstatisme7→ cinématique

h (degré d’hyperstatisme) équations de cinématique sont dégénérées. Onadmet : h = 6.ν − rc


5. DUALITÉ ENTRE LES RELATIONS CINÉMATIQUES ET STATIQUES 10/12

La diminution du rang cinématiquerc provient uniquement de l’hyperstatisme.

5.2 Analyse globale du degré d’hyperstatisme

Les relations déterminées jusqu’à présent permettent de trouver le degréde mobilité cinématique ou le degré d’hyperstatismeà partir d’une étude analytique aboutissant aux équations cinématiques ou statiques du système.

Souvent, on recherche uniquement le caractère isostatique ou hyperstatique d’un mécanisme. L’écriture des systèmes d’équa-tions est alors superflue. Une méthode de détermination globale du degré d’hyperstatisme est préférée.

En reprenant les équations précédentes, on obtient :h = 6.ν − rc = 6.ν +mc − Ic

h = 6.ν +mc − Ic

eth = Is − rs = Is − (6.(p− 1)−mc)

h = mc − 6.(p− 1) + Is

Ces formules permettent d’éviter de devoir écrire le système d’équation cinématique ou statique et de déterminer le rang dusystème d’équations.

Méthode de détermination du degré d’hyperstatisme par une analyse globale:

• La mobilité cinématique est déterminée par une analyse qualitative du mécanisme (àpartir du schéma cinématique).C’est la principale difficulté de cette méthode (intuition).

• Le bilan du nombre total de solides, d’inconnues cinématiques et d’actions mécaniques de liaisons se fait à partir dugraphe de structure (des liaisons).

• Le degré d’hyperstatismeh du mécanisme est alors déterminé avec la formule ci-dessus.

REMARQUE : Cette méthode ne permet pas d’identifier les inconnues indéterminables, juste de les dénombrer.

5.3 Influence de l’hyperstatisme au montage

La connaissance du degré d’hyperstatisme est importante dans l’étude des mécanismes. En effet, un hyperstatisme induit descontraintes géométriques lors du montage des différentes pièces. Il s’agit d’être capable de fermer la (ou les) boucle(s).

Pour illustrer ce propos sur une chaîne fermée simple, la démarche consisteà briser artificiellement un solide, puis à essayerde repositionner les 2 parties en face l’une de l’autre afin de réaliser la liaison encastrement. Ceci consiste à positionner lesolide2 sur le solide1 via la liaisonL1, puis le solide3 sur le solide2 via la liaisonL2. . . et on arrive au solide0 positionnésur le solideN via la liaisonLN . 2 cas peuvent alors se produire :


6. UTILISATION PRATIQUE DE LA THÉORIE DES MÉCANISMES 11/12

• soit le nombre de mobilité des liaisons en série vaut 6 (mc = 6), et alors, il est possible de bouger comme on lesouhaite le solide0 dans l’espace, et donc de le positionner parfaitement par rapport au solide1 (on peut recoller sansproblème les deux morceaux même si les pièces intermédiaires ont des défautsce qui est le cas dans la " vraie vie "après l’opération de fabrication)

• soit le nombre de mobilité de la liaison en série est inférieur strictement à (mc < 6). Dans ce cas, à cause des défautsde fabrication des pièces intermédiaires, le solide0 ne peut pas se retrouver dans la bonne position par rapport ausolide1. Technologiquement :

◦ soit on réalise des liaisons avec jeu, ce qui permet de retrouver un peu de mobilité et donc de compenser lesdéfauts de fabrication afin de monter l’ensemble des pièces (attention, les jeux ne sont pas mis au hasard, ils sontdéterminés analytiquement en fonction des défauts de fabrication et réduitle plus possible afin de conserver une" qualité acceptable " du produit),

◦ soit on déforme les pièces lors du montage, ce qui a pour effet de rigidifier le mécanisme (il se déformera moinsen utilisation) et d’augmenter les efforts de contact dans les liaisons (les calculs sont faits en modélisant lespièces par des solides déformables et nécessitent la connaissance desdéfauts de fabrication).

6 Utilisation pratique de la théorie des mécanismes

6.1 Ce qu’il faut retenir (fondamental)

Point de vue Cinématique Statique

Inconnues Ic =∑NL

i=1 Ic(i) Is =∑NL

i=1 Is(i)

Nombre d’équations Ec = 6.ν Es = 6.(p− 1)

Équations indépendantes ou rang dusystème.

rc ≤ 6.ν rs ≤ 6.(p− 1)

Degré de mobilité / de statisme mc = Ic − rc h = Is − rs

Indice de mobilité Ic − Ec Es − Is

Dégradation du système d’équationsh = Ec − rc = 6.ν − rc mc = Es − rs = 6.(p− 1)− rs

Calcul de h par les formules globalesh = mc + 6.ν − Ic

h = mc − 6.(p− 1) + Is

Dualité cinématique/statique Is + Ic = 6.NL

6.2 Quelle démarche choisir ?

A priori 2 possibilités :• l’approche globale en utilisant directement les équations reliant mobilités, hyperstatisme et nombres d’inconnues. La

seule difficulté consiste à déterminer les mobilités du mécanisme (mc = mu +mi) avec :◦ mu, le nombre de mobilités dites utiles du modèle (paramètres de mouvements que l’on retrouve dans les rela-

tions E/S, et qui sont directement liés à la fonction principale du système) ; elles sont, généralement, clairementidentifiées dans le sujet

◦ mi, le nombre de mobilités internes, mobilités qui correspondent à des mouvementspossibles de pièces à l’inté-rieur du mécanisme même lorsque les mobilités utiles sont bloquées. Si elles sont souvent faciles à identifier, ilexiste de nombreux cas où il est nécessaire d’avoir une certaine expérience pour les détecter (il faut les " voir "à partir du schéma cinématique)


7. CAS DES PROBLÈMES PLANS 12/12

Donc par cette méthode, le risque est de sous évaluer les mobilités internes, ce qui revient à sous évaluer le degréd’hyperstaticité. Par contre elle est extrêmement rapide, mais elle ne permet que de déterminermc eth.

• l’approche analytique en écrivant le système d’équations cinématiques oustatiques. L’écriture des équations de ciné-matique se fait bien plus rapidement que l’écriture des équations de statique.A partir de l’analyse cinématique, onidentifie clairement les mobilités (internes et utiles) du modèle, mais on ne fait que déterminer le degré d’hypersta-ticité (la modification du modèle afin de baisser le degré d’hyperstaticité n’est pas réellement possible). Par contre,l’approche statique permet d’identifier clairement les inconnues des torseurs statiques en relation avec l’hyperstatismece qui donne la possibilité de modifier le modèle pour abaisserh, mais les mobilités ne sont pas clairement identifiées.

Stratégie au concours

• Le choix d’une ou autre méthode dépend fortement de ce que l’on cherche, du temps imparti pour trouver le résultat,et de ce qui est imposé dans le sujet. La méthode la plus rapide reste la méthodeglobale, mais les résultats à obtenirsont dépendants de vos facultés (" innées et acquises ") à comprendre le fonctionnement du modèle à partir du schémacinématique.

• Les approches analytiques sont probablement plus sûres quant à la détermination demc et h (à condition qu’il n’yait pas de fautes de calculs), mais elles sont également beaucoup plus lentes et fastidieuses. L’approche analytiquecinématique est plus courte que l’approche analytique statique. Elle permet d’identifier clairement les mobilités, maisne permet pas de " jouer " avec l’hyperstatisme, contrairement à l’approche statique.

• Si dans le sujet, il est demandé de dimensionner les liaisons, l’approche statique est obligatoire (et il est indispensablede faire intervenir les efforts extérieurs, voire même de se placer en dynamique si les quantités d’inertie peuventinfluer sur les inter-efforts de liaisons, pour déterminer les inconnues des torseurs des inter-efforts du système enfonctionnement). Dans ce cas, comme toutes les équations sont déjà écrites,il ne reste plus qu’à analyser le systèmed’équations pour déterminer l’hyperstatisme et les mobilités.

6.3 Comment rendre un mécanisme isostatique ?

La méthode la plus classique consiste à supprimer les inconnues hyperstatiques, donc à rajouter des degrés de liberté dansune ou plusieurs liaisons.

7 Cas des problèmes plans

Dans le cas d’une modélisation plane, les développements précédents restent valables, mais on ne peut écrire que trois équa-tions à partir des fermetures torsorielles. On obtient donc les relations :

• par l’approche cinématique :h = mc + 3.ν − Ic

• par l’approche statique :h = mc − 3.(p− 1) + Is

Attention,Ic et Is correspondent aux inconnues cinématiques et statiques des " torseursplans ".

REMARQUE : le degré d’hyperstatisme avec une modélisation plane et avec une modélisationspatiale peuvent diverger. Ilest nécessaire de préciser votre point de vue (plan ou spatial). Sauf indication contraire explicite, on calcule un degré spatial.


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