2009 Reims 035

Centre de Recherche en Sciences et Technologies de lInformation et de la Communication UFR Sciences Exactes et Naturelles, Moulin de la Housse, BP 1039 51687 Reims CEDEX 2, FRANCE

THSE

Pour obtenir le grade de

Docteur de lUniversit de Reims Champagne Ardenne

Spcialit : Gnie informatique, Automatique et Traitement du Signal

Par

Tahar BOUARAR

Contribution la synthse de lois de commande pour les descripteurs de type Takagi-Sugeno

incertains et perturbs Soutenue lUniversit de Reims Champagne Ardenne le 08 dcembre 2009

devant le jury compos de : Rapporteurs :

Pr. Thierry-Marie Guerra Universit de Valenciennes et du Hainaut-Cambrsis (LAMIH) Pr. Ali Zolghadri

Universit de Bordeaux (IMS)

Examinateurs :

Pr. Patrice Billaudel Universit de Reims Champagne Ardenne (CReSTIC) Pr. Franois Delmotte Universit dArtois (LGI2A) Dr. Kevin Guelton Universit de Reims Champagne Ardenne (CReSTIC) Pr. Noureddine Manamanni Universit de Reims Champagne Ardenne (CReSTIC) Pr. Didier Maquin Institut National Polytechnique de Loraine (CRAN)

A mes parents et mes proches A ma grand mre

A mes frres et surs A ma nice et mes neveux

A mes amis denfance A KDS2

Au groupe IAR 99

Remerciements

Ce travail a t men au sein de lquipe de recherche Auto du Centre de Recherche en Sciences et Technologies de lInformation et de la Communication (CReSTIC) de lUniversit de Reims Champagne Ardenne.

Je remercie le directeur du CReSTIC Monsieur le Professeur Janan Zaytoon de mavoir accueilli au sein de son laboratoire.

Le bon droulement de ce travail de thse a t possible grce mes co-encadreurs, Monsieur Noureddine Manamanni, Professeur lUniversit de Reims Champagne Ardenne, Monsieur Kevin Guelton, Matre de Confrences lUniversit de Reims Champagne Ardenne, et Monsieur Patrice Billaudel, Professeur lUniversit de Reims Champagne Ardenne. Je leur suis reconnaissant du soutien quils mont apport. Je leur exprime galement ma profonde reconnaissance pour leurs prcieux conseils et leurs qualits humaines.

Je tiens remercier chaleureusement Monsieur ThierryMarie Guerra, Professeur lUniversit de Valenciennes, et Monsieur Ali Zolghadri, Professeur lUniversit de Bordeaux, pour lhonneur quils mont fait en acceptant dtre rapporteurs de ce travail de thse.

Mes remerciements sadressent galement Monsieur Franois Delmotte, Professeur lUniversit dArtois davoir accepter dexaminer ce travail. Je tiens remercier Monsieur Didier Maquin, Professeur lInstitut National Polytechnique de Loraine davoir accepter dexaminer ce travail et de prsider le jury de cette thse

Je tiens particulirement remercier tous les membres du CReSTIC et tous les doctorants pour leurs sympathies.

Enfin, mes remerciements vont tous ceux qui mont soutenu ou qui, dune manire ou dune autre, ont contribu la ralisation de ce travail.

Une personne qui n'a jamais commis d'erreurs n'a jamais tent d'innover .

Albert Einstein

Table des matires

Introduction gnrale...............................................................................................................................1

Concepts lmentaires sur la modlisation et la commande des systmes flous de type Takagi-Sugeno .......................................................................................................................................................5

1.1. Introduction ......................................................................................................................................6 1.2. Reprsentation dtat et systmes non linaires ...............................................................................6 1.3. Prsentation des modles flous de type Takagi-Sugeno (T-S) .........................................................7 1.4. Obtention des modles flous de type Takagi-Sugeno (T-S) .............................................................9 1.5. Stabilit et stabilisation des modles T-S standards .......................................................................12

1.5.1. Stabilit des modles T-S ....................................................................................................12 1.5.2. Stabilisation par retour dtat des modles T-S standards ...................................................14

1.5.2.1. Lois de commande PDC (Parallel distributed compensation) ....................................14 1.5.3. Stabilisation par retour de sortie ..........................................................................................15

1.5.3.1. Synthse de lois de commande par retour de sortie dynamique .................................16 1.5.3.2. Synthse de lois de commande par retour de sortie statique.......................................18

1.6. Stabilit et stabilisation des systmes descripteurs.........................................................................19 1.6.1. Admissibilit des descripteurs linaires...............................................................................19 1.6.2. Classe des modles descripteurs non linaires de type Takagi-Sugeno...............................20 1.6.3. Stabilit des modles descripteurs T-S ................................................................................22 1.6.4. Stabilisation des modles descripteurs T-S..........................................................................23

1.7. Rduction du conservatisme des conditions LMI pour modles T-S ............................................26 1.8. Conclusion......................................................................................................................................28

Stabilit et stabilisation quadratique des descripteurs T-S incertains et perturbs.........................30

2.1. Introduction ....................................................................................................................................31 2.2. Choix dun reprsentant T-S sous forme descripteur .....................................................................31 2.3. Dfinition des modles Descripteurs T-S Incertains et Perturbs (DTSIP)....................................33 2.4. Stabilit quadratique des descripteurs T-S incertains (DTSI) ........................................................35 2.5. Analyse des performances H en boucle ouverte des descripteurs T-S incertains et perturbs ....39 2.6. Stabilisation quadratique des modles DTSIP................................................................................42

2.6.1. Formulation de la dynamique en boucle ferme et du problme de commande..................42 2.6.2. Stabilisation des modles DTSI...........................................................................................43

2.7. Synthse H de lois de commande pour la classe des descripteurs T-S incertains et perturbs .45 2.8. Schma de relaxation pour les descripteurs T-S.............................................................................47 2.9. Exemple numrique et rsultats de simulation ...............................................................................48 2.10. Conclusion......................................................................................................................................55

Stabilisation non quadratique des descripteurs T-S incertains et perturbs....................................56

3.1. Introduction ....................................................................................................................................57 3.2. Stabilisation non quadratique des descripteurs T-S incertains et perturbs....................................57

3.2.1. Formulation de la boucle ferme dans le cadre non quadratique.........................................57 3.2.2. Synthse non quadratique de lois de commande pour les descripteurs T-S incertains et

perturbs ............................................................................................................................59 3.2.3. Synthse non quadratique de lois de commande pour les descripteurs incertains...............61 3.2.4. Extension la synthse H de lois de commande non quadratiques pour les descripteurs

T-S incertains et perturbs.................................................................................................65

3.2.5. Discussion sur lapplicabilit des approches non quadratiques ...........................................68 3.2.6. Rduction des approches non quadratiques un cadre quadratique tendu ........................70

3.3. Exemples numriques.....................................................................................................................72 3.4. Conclusion......................................................................................................................................77

Approches redondantes pour la stabilisation non quadratique des modles descripteurs T-S incertains et perturbs ...........................................................................................................................79

4.1. Introduction ....................................................................................................................................80 4.2. Stabilisation non quadratique des descripteurs T-S incertains : approche redondante...................80

4.2.1. Rappels sur la boucle ferme classique et formulation de la boucle ferme redondante ..................................................................................................................80

4.2.2. Conditions LMI non quadratiques pour la stabilisation des descripteurs T-S incertains : approche redondante..........................................................................................................83

4.2.3. Stabilisation non quadratique robuste des descripteurs T-S incertains et perturbs : approche redondante..........................................................................................................89

4.3. Discussion et remarques sur le cot de calcul des approches redondantes.....................................93 4.4. Exemples numriques et simulations..............................................................................................95

4.4.1. Exemple 1 : intrt des approches redondantes ...................................................................95 4.4.2. Exemple 2 : stabilisation robuste dun DTSIP.....................................................................97

4.5. Conclusion....................................................................................................................................100

Stabilisation non quadratique par retour de sortie des modles T-S standards incertains et perturbs Approches redondantes...................................................................................................102

5.1. Introduction ..................................................................................................................................103 5.2. Classe des systmes considre et formulation du problme de commande par retour de sortie.104

5.2.1. Formulation dune boucle ferme redondante pour la synthse de lois de commande .....104 5.2.1.1. Retour de sortie dynamique ......................................................................................104 5.2.1.2. Retour de sortie statique............................................................................................106

5.3. Approches non quadratiques de synthse de contrleurs par retour de sortie pour les systmes T-S incertains ................................................................................................................................................107

5.3.1. Synthse non quadratique de contrleurs par retour de sortie dynamique.........................107 5.3.2. Synthse non quadratique de contrleurs par retour de sortie statique..............................113

5.4. Extension la synthse de lois de commande robustes par retour de sortie pour les systmes T-S incertains et perturbs.............................................................................................................................118

5.4.1. Synthse de contrleurs robustes par retour de sortie dynamique .....................................118 5.4.2. Synthse de contrleurs robustes par retour de sortie statique ..........................................120

5.5. Exemples numriques et simulations............................................................................................123 5.5.1. Exemple 1 : valuation du conservatisme pour le retour de sortie dynamique approches

classiques vs redondantes ................................................................................................123 5.5.2. Exemple 2 : intrt de lapproche non quadratique vs quadratique cas du retour de sortie

statique soumis perturbations externes .........................................................................124 5.5.3. Exemple 3 : stabilisation robuste par retour de sortie dynamique et statique....................125

5.5.3.1. Rsultats en retour de sortie dynamique ...................................................................126 5.5.3.2. Rsultats en retour de sortie statique.........................................................................130

5.6. Conclusion....................................................................................................................................132

Conclusion gnrale et perspectives....................................................................................................134

Rfrences bibliographiques................................................................................................................137

Annexe A ...............................................................................................................................................147

Annexe B ...............................................................................................................................................150

Table des figures

Figure 1.1. Structure et implmentation dun modle T-S Standard. ....................................................9 Figure 1.2. Secteur non linaire global. ...............................................................................................10 Figure 2.1. Domaines de solutions du thorme 2.3 sans relaxation et avec relaxation (lemme 2.1)..52 Figure 2.2. Rponses temporelles du systme (2.68) sans perturbations externes et du signal de

commande..........................................................................................................................53 Figure 2.3. Stabilisation H

du systme (2.68) soumis des perturbations externes et volution

temporelle du signal de commande. ..................................................................................54 Figure 3.1. Schma de la loi de commande non-PDC. ........................................................................58 Figure 3.2. Domaines de solutions des thormes 3.1 (non quadratique) et 2.3 (quadratique) ...........74 Figure 3.3. Evolution temporelle du vecteur dtat, du signal de commande et de ( )( )1 1h x t ...........75 Figure 3.4. Evolution temporelle du vecteur dtat, du signal de commande et de la drive du

( )( )1 1h x t du DTSIP (3.54) soumis des perturbations externes.....................................76 Figure 3.5. Domaines de faisabilit du thorme 3.1 et du corollaire 3.1............................................77 Figure 4.1. Domaines de solutions ; remarque 4.3 et du thorme 3.1 sans incertitudes. ...................96 Figure 4.2. Domaines de solutions ; remarque 4.3 et du corollaire 4.1 sans incertitudes. ...................96 Figure 4.3. Domaines de solutions des thormes 4.1 et 3.1. ..............................................................98 Figure 4.4. Evolution temporelle du vecteur dtat, du signal de commande et de ( )( )1 1h x t . ..........99 Figure 4.5. Evolution temporelle du vecteur dtat perturb, du signal de commande et de ( )( )1 1h x t .

......................................................................................................................................100 Figure 5.1. Domaine de solutions du Thorme 5.1 ( ) vs [Li et al., 2000] (thorme 2) ( ) ..............

......................................................................................................................................124 Figure 5.2. Taux dattnuation : approches non quadratiques (remarque 5.2) vs quadratiques tendues

(Thorme 5.4 sans incertitudes avec 1 1jX X= ). ...........................................................125 Figure 5.3. Evolution temporelle du vecteur de sortie, du vecteur dtat du systme, du vecteur dtat

du contrleur et du signal de commande. ........................................................................127 Figure 5.4. Evolution temporelle de ( )( )1 1h x t . ...............................................................................128 Figure 5.5. Evolution temporelle des vecteurs de sortie, du vecteur dtat du systme perturb, du

vecteur dtat du contrleur et du signal de commande. .................................................129 Figure 5.6. Evolution temporelle de ( )( )1 1h x t . ...............................................................................129 Figure 5.7. Evolution temporelle du vecteur de sortie, du vecteur dtat du systme, du signal de

commande et de ( )( )1 1h x t . ............................................................................................130 Figure 5.8. Evolution temporelle du vecteur de sortie, du vecteur dtat du systme perturb, du

signal de commande et de ( )( )1 1h x t ..............................................................................131

Notations

Acronymes

BMI Ingalit Matricielle Bilinaire (Bilinear Matrix Inequality) BFC Boucle Ferme Classique BFR Boucle Ferme Redondante DAE Equation Algbro-Diffrentielle (Algebraic Differential Equation) DPDC Compensation Parallle Distribue Dynamique (Dynamic Parallel

Distributed Compensation) DOFC Compensateur Dynamique par retour de sortie (Dynamic Output

Feedback Componsator) DTS Descripteur Takagi-Sugeno DTSI Descripteur Takagi-Sugeno Incertain DTSIP Descripteur Takagi-Sugeno Incertain et Perturb FCQL Fonction Candidate Quadratique de Lyapunov FQL Fonction Quadratique de Lyapunov FLF Fonction Floue de Lyapunov (Fuzzy Lyapunov Function) LFT Transformation Fractionnelle Linaire (Linear Fractional

Transformation) LMI Ingalit Linaire Matricielle (Linear Matrix Inequality) LPV Linaire Paramtres Variant (Linear Parameter Variant) LTI Linaire Temps Invariant (Linear Time Invariant) MFC Modle Flou Continu MFD Modle Flou Discret MTSC Modle Takagi-Sugeno Continu MTSD Modle Takagi-Sugeno Discret MTSS Modle Takagi-Sugeno Standard ODE Equation Diffrentielle Ordinaire (Ordinary Differential Equation) PDC Compensation Parallle Distribue (Parallel Distributed Compensation) PLF Fonction de Lyapunov continue par morceaux (Piecewise Lyapunov

Functions) PPDC Compensation Parallle Distribue proportionnelle (Proportional

Parallel Distributed Compensation) SOF Retour de Sortie Statique (Static Output Feedback)

Ensembles, matrices et vecteurs

Ensemble des entiers naturels Ensemble des nombres rels

n Espace rel Euclidien de dimension n n q Ensemble des matrices lments rels de dimension ( )n q

2

2. Norme 2L au carr dune grandeur

Notations

nI Matrice identit de dimension n 1X Inverse de la matrice X

TX Transpose dune matrice X ( )11

21 22

*AA A

Matrice symtrique, le symbole ( ) dsigne 21TA

hhvX Cette notation dsigne 1 1 1

r r l

i j k ijki j k

h h v X= = =

Rfrences Personnelles

Articles dans des revues internationales avec comits de lecture

K. Guelton, T.-M. Guerra, M. Bernal, T. Bouarar et N. Manamanni, Comments on Fuzzy Control Systems Design via Fuzzy Lyapunov Functions, IEEE, Transactions on Systems, Man and Cybernetics Part B, Digital Object Identifier: 10.1109/TSMCB.2009.2033807.

K. Guelton, T. Bouarar et N. Manamanni, Robust dynamic output feedback fuzzy Lyapunov stabilization of Takagi-Sugeno systems - A descriptor redundancy approach, Elsevier, Fuzzy Sets and Systems, 160(19):2796-2811, October 2009.

Revue soumise

T. Bouarar, K. Guelton, N. Manamanni, Robust Fuzzy Lyapunov Stabilization for uncertain and disturbed Takagi-Sugeno Descriptor Systems,ISA Transactions.

Communications internationales avec actes

T. Bouarar, K. Guelton et N. Manamanni, Static Output Feedback Controller Design for Takagi-Sugeno Systems A Fuzzy Lyapunov LMI Approach, 48th IEEE Conference on Decision and Control (CDC'09). Shanghai, P.R. China, December 2009

L. Seddiki, K. Guelton, T. Bouarar, N. Manamanni et J. Zaytoon, T-S Tracking Controller Design for Sys-Reeduc: a descriptor Approach, 7th IFAC Symposium on Modelling and Control in Biomedical Systems (MCBMS'09). Aalborg, Denmark, August 2009.

T. Bouarar, K. Guelton et N. Manamanni, Redundancy approach for fuzzy Lyapunov stabilization of Takagi-Sugeno descriptors, IEEE Symposium Series on Computational Intelligence/Symposium on Computational Intelligence in Control and Automation (IEEE SSCI/CICA 2009). Nashville, Tennessee, USA, March 2009.

K. Guelton, T. Bouarar et N. Manamanni, Fuzzy Lyapunov LMI based output feedback stabilization of Takagi Sugeno systems using descriptor redundancy, IEEE World Congress on Computational Intelligence / International Conference on Fuzzy Systems (WCCI2008/FUZZ-IEEE). Hong Kong, June 2008.

T. Bouarar, K. Guelton, N. Manamanni et P. Billaudel, Stabilization of uncertain Takagi-Sugeno descriptors: a fuzzy Lyapunov approach, 16th Mediterranean Conference on Control and Automation (MED'08). IEEE, Ajaccio, Corsica, France, June 2008.

T. Bouarar, K. Guelton et N. Manamanni, LMI based H-infinity controller design for uncertain Takagi-Sugeno descriptors subject to external disturbances, 3rd IFAC Workshop on Advanced Fuzzy/Neural Control. Valenciennes, France, October 2007.

Rfrences Personnelles

T. Bouarar, K. Guelton, B. Mansouri et N. Manamanni, LMI Stability Conditions for Takagi-Sugeno Uncertain Descriptors, International Conference on Fuzzy Systems (FUZZ-IEEE). London, UK, Jully 2007.

Communications nationales avec actes

T. Bouarar, K. Guelton et N. Manamanni, Nouvelles conditions LMI de stabilisation non quadratique pour descripteurs flous de type T-S, Rencontres francophones sur la Logique Floue et ses Applications (LFA 2008). Lens, Octobre 2008.

T. Bouarar, K. Guelton, N. Manamanni, Approches non-quadratiques pour la synthse de commande robuste des descripteurs flous de type T-S,5me Confrence Internationale Francophone d'Automatique, Bucarest, Roumanie, Septembre 3-5, 2008.

T. Bouarar, K. Guelton, B. Mansouri et N. Manamanni, Conditions de stabilit LMI pour la classe des systmes descripteurs flous incertains de type T-S, 2mes Journes Doctorales / Journes Nationales MACS (JD-JN MACS 2007). Reims, France, Juillet 2007.

Introduction gnrale

La notion de systme joue un rle primordial en automatique. Un systme physique peut-tre considr comme un ensemble de phnomnes lis entre eux et voluant au cours du temps, modlisables thoriquement via des quations dynamiques et conduisant un modle de connaissance mathmatique suppos reprsenter au mieux la ralit. Ces modles mathmatiques peuvent sexprimer selon deux types de reprsentations dtat diffrentes. La premire est dite explicite (standard) et la seconde, plus gnrale, est dite implicite. Ainsi, la grande majorit des travaux utilisant une reprsentation dtat font appel une forme explicite offrant la possibilit de dcrire les relations entre les variables du systme par le biais dEquations Diffrentielles Ordinaires (ODE). Ces dernires permettent de relier entre elles les grandeurs de sorties et dentres par le biais dun vecteur dtat dcrivant lvolution du systme. Nanmoins, de nombreux systmes physiques ne peuvent-tre rduits une reprsentation sous forme explicite. Afin de contourner ce problme, les formes implicites sont dcrites par un ensemble dEquations Algbro-Diffrentielles (DAE). Celles-ci permettent notamment de prendre en compte simultanment des relations dynamiques et statiques entre les variables du systme. Ds lors, les quations algbro-diffrentielles conduisent, lors de la modlisation, une classe plus gnrique de systmes. Celle-ci comprend les systmes appels systmes descripteurs, systmes singuliers, systmes implicites ou encore systmes espace dtat gnralis [Luenberger, 1977][Dai, 1989]. Notons que ces systmes permettent de reprsenter une large classe de systmes physiques tels que les systmes mcaniques inertie variable, les systmes lectriques, les systmes chimiques [Kumar et Daoutidis, 1995].

Lun des enjeux de lautomatique est de proposer un contrleur adapt au systme piloter garantissant la ralisation de la tche souhait. De nombreuses approches, pour les systmes continus, ont t proposes pour la synthse de lois de commande et peuvent tre classes en deux catgories dites linaires o non linaire . Lautomatique linaire considre le fonctionnement du systme autour dun point de

fonctionnement donn. La synthse dune loi de commande linaire se base alors sur une thorie bien matrise mais ne garantit pas la stabilit du systme sur tout lespace dtat [Delarminat, 1993][Kuo, 1995].

Lautomatique non linaire repose quant elle sur des outils plus complexes et qui ncessitent parfois de nouveaux dveloppements thoriques. Lobjectif est de garantir la stabilit des systmes pour lesquels le cas linaire nest pas adapt, notamment lorsquil sagit de traiter des problme de stabilit ou dasservissement sur une plus large rgion de lespace dtat [Khalil, 1996][Sastry, 1999].

Parmi les approches non linaires, on distingue deux catgories : les approches non formelles, qui ne ncessitent pas la connaissance dun modle

formalis, telles que la commande floue de type Mamdani [Mamdani, 1974].

Introduction gnrale

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Ces approches fournissent des rsultats souvent satisfaisants dun point de vue performances mais leurs principaux inconvnients rsident dans le fait quil savre difficile, dans certains cas, de garantir (ou de prouver) la stabilit mais aussi de tenir compte des capacits physiques du systme commander. Les approches formelles, qui ncessitent la connaissance a priori dun modle du systme

commander, permettent quant elles de garantir dans certains cas la stabilit du systme sur tout ou une rgion compacte de lespace dtat. Malheureusement, cette garantie savre difficile obtenir mesure que la taille du systme augmente (nombre de variables dtat contrler) et/ou que la dynamique du systme est fortement non linaire (commutations franches, grand nombre de termes non linaires) [Khalil, 1996][Liberzon, 2003]. En dautres termes, ces approches sont le plus souvent applicables aux seuls systmes de petites tailles et faiblement non linaires.

Une manire lgante de reprsenter un systme non linaire repose sur une reprsentation multi-modle. Celle-ci consiste en une collection de systmes linaires interconnects par des fonctions non linaires. Plusieurs catgories de multi-modles existent dans la littrature, notamment les systmes linaires paramtres variant dans le temps (LPV) [Henrion et Garulli , 2004][Zerar et al., 2009] ou les systmes quasi LPV, encore appels systmes Takagi-Sugeno (T-S) [Takagi et Sugeno, 1985]. Notons que ces derniers possdent une proprit dapproximation universelle des systmes affines en la commande et prsentent lavantage de pouvoir reprsenter de manire exacte un modle de connaissance non linaire sur un compact de lespace dtat [Tanaka et Wang, 2001]. Ainsi, lintrt majeur de ce type dapproche est quelle permet dtendre de nombreux concepts thoriques de lautomatique linaire au cas des systmes non linaires.

Lors de ltape de modlisation, le dfi de lautomaticien est de proposer un modle de connaissance capable de reprsenter fidlement les phnomnes physiques rencontrs. Notons que cette modlisation suppose dans la majeure partie des cas des approximations susceptibles de dgrader les performances dsires pour le systme rel [Dubuisson, 1990][Oustaloup et Mathieu, 1999]. Dans ce contexte, il peut tre intressant de tenir compte de ces imprcisions pour pouvoir assurer les performances dsires par le biais de la synthse de lois de commande robustes [Zhou et Doyle, 1998]. Notons par ailleurs quun modle trop simplifi est faux alors quun modle trop dtaill peut tre inexploitable avec les outils actuels danalyse des systmes. Ainsi, la prise en compte dincertitudes pour la stabilisation robuste des systmes non linaires constitue un compromis entre complexit et validit de la solution et conduisent une alternative intressante pour la commande des systmes complexes.

Lintrt suscit par les mthodes de modlisation sous forme de multi-modle T-S a t largement dmontr. Par ailleurs, il apparat clairement que la prise en compte dincertitudes ainsi que lextension la classe des descripteurs conduirait une gnralisation des rsultats applicables une plus large classe de systmes physiques. Cest dans ce contexte que sinscrivent les travaux de recherche de cette thse visant aussi bien proposer qu tendre des mthodologies de synthse de lois de commande pour la stabilisation robuste des descripteurs T-S incertains et perturbs.

Ce mmoire, compos de cinq chapitres, est organis de la faon suivante : Le premier chapitre est constitu de deux grandes parties qui ont pour but dintroduire les concepts lmentaires de la commande des systmes T-S. Au cours de la premire partie, nous introduisons les diffrentes reprsentations dtat des systmes non linaires complexes. La classe des modles T-S standards ainsi que leurs mthodes dobtention sont alors prsentes.

Introduction gnrale

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Puis, nous faisons un tour dhorizon sur les lois de commande floues frquemment utilises, et notamment le concept de compensation parallle distribue (PDC), ainsi que quelques rsultats fondamentaux concernant la stabilit et la stabilisation par retour dtat et de sortie. La seconde partie est, quant elle, consacre aux modles descripteurs. Dans un premier temps, nous donnons un bref aperu des principaux rsultats concernant les descripteurs linaires et leurs conditions dadmissibilit. Ensuite, laccent est mis sur les modles descripteurs non linaires sous forme T-S. Lintrt des descripteurs T-S vs les modles T-S standards est illustr travers un exemple. Enfin, nous prsentons les principales sources de conservatisme rencontres lors de lanalyse ainsi que les solutions apportes avant de poser les problmes traits dans la suite de cette thse.

Le second chapitre constitue une premire contribution de ce travail de thse. En effet lobjectif est de proposer des approches de stabilit et de stabilisation exprimes en termes de LMI pour les modles descripteurs T-S incertains et /ou perturbs via une fonction candidate quadratique de Lyapunov. Ces conditions serviront alors de base aux approches proposes dans la suite de ce manuscrit. Dans un premier temps, nous dressons un bilan synthtique des travaux mens dans ce contexte. Ensuite, nous voquons deux chemins conduisant aux reprsentations dtat des descripteurs T-S afin de justifier la classe des systmes tudie. Un bref rappel des diffrents types dincertitudes pouvant affecter le systme est prsent. Nous traitons ensuite le problme de la stabilit et de la stabilisation des modles descripteurs T-S incertains puis lanalyse des performances H

au regard des perturbations externes. Enfin, un

premier schma de relaxation typique pour les descripteurs T-S est propos afin de rduire le conservatisme structurel des conditions LMI. Un exemple numrique illustre alors la pertinence des rsultats proposs.

Le troisime chapitre est consacr la rduction du conservatisme des conditions prsentes au chapitre prcdent. Pour ce faire, une fonction non quadratique candidate de Lyapunov, dite fonction de Lyapunov floue (FLF), est employe ainsi quune loi de commande drive du principe PDC, appele non-PDC. Dans ce cadre, des conditions de stabilisation robustes exprimes en termes de LMI sont prsentes. Les limites dune telle approche sont ensuite discutes et plusieurs solutions ou compromis sont abordes afin de mettre en vidence lapplicabilit des approches proposes, notamment un compromis entre complexit de mise en uvre et conservatisme des conditions de stabilisation en utilisant une fonction candidate quadratique tendue de Lyapunov. Enfin, des rsultats de simulation sont prsents afin dillustrer les approches dveloppes au cours de ce chapitre.

Le quatrime chapitre est ddi la rduction dune autre source de conservatisme lors de la synthse de lois de commande pour les modles T-S. En effet, il sagit ici de contourner le couplage engendr par les matrices dentres avec celles des gains de commande lors de la formulation de la dynamique de la boucle ferme et ainsi de faciliter lobtention de conditions LMI dpourvues de termes croiss. Pour ce faire, une proprit de redondance des descripteurs est utilise. Celle-ci permet dintroduire une dynamique virtuelle dans lexpression de la boucle ferme via lutilisation dun vecteur dtat augment. Ainsi, le conservatisme introduit par les termes croiss sera rduit. On montre alors que les rsultats obtenus dans les chapitres prcdents sont inclus dans les approches proposes dans ce chapitre et des rsultats de simulation confirment le bnfice des conditions proposes au cours de ce chapitre.

Le dernier chapitre est consacr ltude de la stabilisation par retour de sortie dynamique et statique des modles T-S standards incertains et perturbs. Dans un premier temps, nous adressons un bilan des divers travaux effectus dans ce contexte afin de positionner la

Introduction gnrale

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contribution apporte dans ce chapitre. Tirant parti de lexpertise acquise sur lobtention de conditions LMI pour les descripteurs T-S, la proprit de redondance est utilise pour formuler la dynamique des boucles fermes en assurant le dcouplage entres-sorties et conduisant, de manire lgante, lobtention de conditions de stabilisation LMI pour une classe gnrique de systmes T-S standards incertains et perturbs. Notons quici, les conditions sont de plus, bases sur une fonction non quadratique de Lyapunov. Ceci constitue une contribution importante dans la mesure o de telles conditions nexistent pas, notre connaissance, dans la littrature.

Enfin, une conclusion gnrale, suivie de la bibliographie et des annexes terminent ce manuscrit.

Chapitre I

Concepts lmentaires sur la modlisation et la commande des systmes flous de type Takagi-Sugeno

1.1. Introduction ......................................................................................................................................6 1.2. Reprsentation dtat et systmes non linaires ...............................................................................6 1.3. Prsentation des modles flous de type Takagi-Sugeno (T-S) .........................................................7 1.4. Obtention des modles flous de type Takagi-Sugeno (T-S) .............................................................9 1.5. Stabilit et stabilisation des modles T-S standards .......................................................................12

1.5.1. Stabilit des modles T-S ........................................................................................... 12 1.5.2. Stabilisation par retour dtat des modles T-S standards .............................................. 14

1.5.2.1. Lois de commande PDC (Parallel distributed compensation)................................. 14 1.5.3. Stabilisation par retour de sortie .................................................................................. 15

1.5.3.1. Synthse de lois de commande par retour de sortie dynamique.............................. 16 1.5.3.2. Synthse de lois de commande par retour de sortie statique................................... 18

1.6. Stabilit et stabilisation des systmes descripteurs.........................................................................19 1.6.1. Admissibilit des descripteurs linaires........................................................................ 19 1.6.2. Classe des modles descripteurs non linaires de type Takagi-Sugeno ........................... 20 1.6.3. Stabilit des modles descripteurs T-S ......................................................................... 22 1.6.4. Stabilisation des modles descripteurs T-S................................................................... 23

1.7. Rduction du conservatisme des conditions LMI pour modles T-S ............................................26 1.8. Conclusion......................................................................................................................................28

1.1. Introduction

Ce chapitre a pour objet de prsenter certains travaux sur la modlisation, la stabilit, et la stabilisation des modles flous de type Takagi Sugeno (T-S) ainsi que leur extension la classe des descripteurs du mme type. En effet, la problmatique de commande robuste des descripteurs flous T-S incertains et perturbs que nous abordons dans cette thse, repose essentiellement sur les travaux et mthodes dtaills dans ce chapitre. Ainsi, ce dernier sera structur comme suit. Nous prsentons dabord les diffrentes techniques dobtention dun modle T-S et donnerons un exemple dillustration sur la mthode la plus efficace pour y aboutir partir dun modle dynamique non linaire. Ensuite, les notions de stabilit et de stabilisation de ce type de modles rencontres dans la littrature seront abordes. Un recensement non exhaustif des lois de commande pour les modles T-S sera prsent, notamment les lois de commande par retour dtat et retour de sortie. Ces mthodes de synthse de lois de commande seront alors explicites pour la classe des descripteurs T-S. Notons que la dernire section de ce chapitre sera consacre la prsentation des principales mthodes de rduction du conservatisme lors de la synthse de loi de commande pour les modles T-S. Lensemble des notions prsentes au cours de ce chapitre permettra alors de positionner notre travail dans le domaine et de poser les problmatiques abordes dans cette thse.

1.2. Reprsentation dtat et systmes non linaires

Tout systme physique volution continue peut scrire sous la forme dune reprsentation dtat. Celle-ci permet de dcrire des relations dentres sorties dun systme par le biais dune modlisation sous la forme dquations diffrentielles ordinaires (voir algbriques dans le cadre des systmes implicites). La forme gnrale dune reprsentation est donne par :

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

, , 0

,

f x t x t u ty t h x t u t

=

=

(1.1)

o ( )x t est le vecteur dtat du systme ( )u t le vecteur dentre et ( )y t le vecteur de sortie. La premire quation est appele quation dtat et la seconde, quation de sortie .

Notons que le systme (1.1) est donn sous forme gnrale et inclut la classe des modles crit sous la forme dune reprsentation dtat, dite standard affines en la commande donne sous la forme:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

x t f x t g x t u ty t s x t m x t u t

= +

= +

(1.2)

o ( )( )f x t est la fonction dtat, ( )( )g x t la fonction dentre, ( )( )s x t la fonction de sortie et ( )( )m x t est la matrice de couplage entre-sortie. Ce type de systmes, couramment rencontrs en automatique, fera lobjet de la premire partie de ce chapitre.

Chap. 1 : Concepts lmentaires sur la modlisation et la commande des systmes flous de type Takagi-Sugeno

Page 7

Dautres systmes affines en la commande permettent de prendre en compte la forme implicite dun systme ou encore les particularits structurelles de modlisation. Cette classe est appele classe des descripteurs et permet de reprsenter les modles non linaires donns par :

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

E x t x t f x t g x t u ty t s x t m x t u t

= +

= +

(1.3)

Ces systmes seront tudi par la suite et constituerons lobjet principal des contributions apportes au long de ce manuscrit.

1.3. Prsentation des modles flous de type Takagi-Sugeno (T-S)

Les modles flous de type Takagi-Sugeno sont reprsents dans lespace dtat par des rgles floues de type Si Alors [Takagi et Sugeno, 1985]. Les parties prmisses de ces rgles floues sont reprsentatives de lunivers du discours sur lequel le modle flou est valide et, les parties conclusions correspondent peut tre des modles locaux invariants dans le temps (reprsentations dtat linaires). A titre dexemple, ce type de modle flou savre utile pour la reprsentation des systmes non linaires tels que les systmes lectriques, chaotiques, etc. La

mei rgle floue dun modle T-S continu (en temps continu) (MFC) scrit alors sous la forme :

iR : SI ( )1z t est ( )( )1 1iF z t

ET ( )2z t est ( )( )2 2iF z t

( )pz t est ( )( )ip pF z t

ALORS ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )i i i

i i i

x t A x t B u ty t C x t D u t

= +

= +

(1.4)

o iR reprsente la mei rgle floue, 1,...,i r= , ( )( )ij jF z t pour 1,...,j r= sont les sous-ensembles flous, r

le nombre de rgles floues, ( )jz t

sont les variables de prmisses qui dpendent de lentre et/o de ltat du systme, ( ) nx t , ( ) qy t et ( ) mu t reprsentent respectivement le vecteur dtat, le vecteur de sortie et le vecteur de commande.

n n

iA , n miB

, q niC et q miD

sont des matrices dcrivant la dynamique du systme. Notons quune discrtisation de tels modles est possible par une reprsentation dtat en temps discret (MFD). Le temps t est alors congru et le modle est alors dcrit par les quations de rcurrence suivantes :

iR : SI ( )1z est ( )( )1 1iF z

ET ( )2z est ( )( )2 2iF z

( )pz est ( )( )ip pF z

ALORS ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 i i

i i

i

i

x A x B uy C x D u

+ = +

= +

(1.5)


Page 8

A chaque rgle iR est attribue un poids not ( )( )iw z t . Ce poids dpend du degr dappartenance des variables de prmisses ( )jz t aux sous-ensembles flous ( )( )ij jF z t et du connecteur ET reliant les prmisses choisi telles que :

( )( ) ( )( )1

pi

i j jj

w z t F z t=

= , pour 1,...,i r= (1.6)

( )( )ij jF z t reprsente la valeur de la fonction dappartenance ( )jz t lensemble flou ijF . On a alors les proprits suivantes :

( )( )( )( )

10

0,

l

ii

i

w z t

w z t t=

>

(1.7)

On pose :

( )( ) ( )( )( )( )

1

ii r

ii

w z th z t

w z t=

=

(1.8)

( )( )ih z t reprsente donc la fonction dactivation de la mei rgle du modle flou. Pour 1,...,i r= , ces fonctions vrifient la proprit dune somme convexe, cest--dire

( )( )1

1r

ii

h z t=

=

et ( )( ) 0ih z t . Finalement, la dfuzzification du modle flou permet dobtenir la reprsentation dtat dun modle non linaire par linterconnexion de modles locaux invariants dans le temps par des fonctions dactivation non linaires. On obtient alors :

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

1

1

r

i i ii

r

i i ii

x t h z t A x t B u t

y t h z t C x t D u t

=

=

= +

= +

(1.9)

Notons que de la mme faon, pour un modle flou discrtis (MFD) on a:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

1

1

1r

i i ii

r

i i ii

x h z A x B u

y h z C x D u

=

=

+ = +

= +

(1.10)

Dans le cadre de la modlisation par modles Takagi-Sugeno, on rencontre souvent les termes : variables de prmisses, fonctions dappartenance ou dactivation, zones de fonctionnement (sous espaces) et rgles floues. Ceux-ci sont prciss par les dfinitions suivantes :


Page 9

Rgles floues : dnombres par r dans la reprsentation dtat dun modle flou T-S. Elles correspondent au nombre de modles locaux LTI.

Variables de prmisses : notes ( ) jz t . Grandeurs connues et accessibles permettent lvaluation des fonctions dappartenance. Elles dpendent ventuellement des variables dtat mesurables et/ou de la commande.

Fonctions dappartenance : notes ( )( ) : jih z t , ce sont des fonctions non linaires dpendant des variables de prmisses associes aux diffrentes zones de fonctionnement. Elles permettent de traduire la contribution dun modle local LTI correspondant un point de fonctionnement par rapport la zone de fonctionnement du systme. Ainsi, elles assurent le passage progressif dun modle local LTI aux modles locaux voisins.

Les zones de fonctionnement : reprsentes par des domaines i obtenus via la dcomposition de lespace de fonctionnement du systme , avec i i= .

La figure 1 illustre le schma dtaill dun modle T-S standard. Notons que les modles flous de type Takagi-Sugeno sont dots dune structure mathmatique intressante de point du vue de lautomatique. En effet, ils permettent de diminuer la complexit dun problme non linaire traiter (stabilit, stabilisation, observation, diagnostic,etc.) en le dcomposant en un ensemble de problmes linaires locaux. Lensemble des solutions locales correspondant ces derniers constitue alors la solution globale du problme non linaire initial.

Figure 1.1. Structure et implmentation dun modle T-S Standard.

1.4. Obtention des modles flous de type Takagi-Sugeno (T-S)

Dans la littrature, il existe trois approches permettant le passage dun modle non linaire affine en la commande un modle T-S. Ces approches visent reprsenter les systmes non linaires complexes sur un large domaine de fonctionnement. Ces diffrentes approches sont :

Systme non linaire ( )y t

( ) ( )1 1A x t B u t+

( ) ( )2 2A x t B u t+

( ) ( )r rA x t B u t+

( )( )1h z t

( )( )2h z t

( )( )rh z t

( )x t ( )x t

( ) ( )1 1C x t D u t+

( ) ( )2 2C x t D u t+

( ) ( )r rC x t D u t+ ( )( )rh z t

( )( )2h z t

( )( )1h z t

( )y t

( )u t


Page 10

approche par identification [Gasso et al., 1999][Gasso et al., 2000]. Les mesures acquises sur les entres et les sorties du systme permettent lidentification des paramtres des modles locaux autour des diffrents points de fonctionnement pralablement dfinis. Dans ce cas, le problme didentification du modle non linaire se rduit lidentification des modles locaux (sous-modles) LTI. Notons que, cette mthode est souvent utilise dans le cas des systmes dots dune dynamique difficile dcrire laide dun modle analytique.

approche par linarisation [Ma et al., 1998][Tanaka et Wang 2001]. Le principe de cette mthode consiste linariser le systme non linaire autour dun ensemble fini de points de fonctionnement judicieusement choisis, conduisant un nombre dfini de modles LTI. Lobtention dun reprsentant T-S dans ce cas, est ralis par linterconnexion de ces modles LTI laide des fonctions dappartenance non linaires judicieusement choisies (gaussiennes, triangulaires, trapzodales,etc.).

approche par secteur non linaire. Cette mthode a t initie par [Kawamoto et al., 1992] et tendue par [Tanaka et Wang, 2001] et [Morre, 2001]. Le principe de celle-ci est bas sur une transformation polytopique convexe des termes non linaires dun systme dynamique. Autrement dit, cette mthode consiste trouver un secteur tel que

( ) ( )( )1 2,a x f x t u t a x avec ( ) ( )( ),x f x t u t= reprsente un systme non linaire. Cette mthode garantit la construction dun modle T-S reprsentant exactement un modle non linaire sur un espace compact des variables dtat.

Dans la suite de ce manuscrit, lintrt est port sur la troisime mthode, puisquelle prsente des avantages du point de vue prcision et connaissance des fonctions dappartenance assurant linterconnexion des modles locaux LTI. En effet, lapproche par secteur non linaire par rapport lapproche par linarisation permet, dune part, de minimiser lerreur lors du passage du modle analytique non linaire au modle T-S, dautre part doptimiser le nombre de modles locaux. Il convient de souligner quil peut savrer difficile de trouver un secteur global pour un systme non linaire quelconque. Dans ce cas, il est ncessaire de considrer un secteur non linaire local. Les figures 1.2 et 1.3 reprsentent respectivement les secteurs non linaires global et local.

Figure 1.2. Secteur non linaire global. Figure 1.3. Secteur non linaire local.

Notons que lapproche par secteur non linaire permet dassocier une infinit de modles T-S pour un systme non linaire suivant le dcoupage des non-linarits ralis. Une approche systmatique de dcoupage en secteurs non linaires repose sur le lemme suivant [Morre, 2001] :

( )1a x t ( ) ( )( ),f x t u t

( )2a x t ( )x t

( )x t

( )1a x t

( )2a x t ( )x t

( ) ( )( ),f x t u t b

b

( )x t


Page 11

Lemme 1.1 :

Soit ( )( ) :f x t une fonction borne, il existe toujours deux fonctions ( )( )1w x t et ( )( )2w x t ainsi que, deux scalaires et tels que :

( )( ) ( )( ) ( )( )1 2f x t w x t w x t = +

avec : ( )( ) ( )( )1 2 1w x t w x t+ = , ( )( )1 0w x t et ( )( )2 0w x t .

Preuve :

Sous lhypothse que la fonction ( )( )f x t est borne telle que ( )( )f x t , il est possible dcrire :

( )( ) ( )( ) ( )( )1 2f x t w x t w x t = + (1.11)

avec ( )( )( )max f x t = , ( )( )( )min f x t = , ( )( ) ( )( )1 f x tw x t

=

et

( )( ) ( )( )2 f x tw x t

=

.

Remarque 1.1

On considre le systme non linaire ( )( )x f x t= , avec ( )0 0f = . Selon les proprits des termes non linaires rencontrs dans le modle mathmatique non linaire, nous distinguons deux types de reprsentant T-S, en effet :

Si toutes les non-linarits du systme sont continues et bornes sur n , alors le modle T-S reprsente dune manire exacte le systme non linaire sur lintgralit de lespace des variables dtat n .

Si toutes les non-linarits du systme sont uniquement continues, alors le modle T-S reprsente de faon exacte le systme non linaire sur un sous-espace compact de lespace des variables dtat n .

Exemple 1.1

Soit le systme non linaire autonome donn par :

( ) ( ) ( )( )cosx t x t x t= (1.12)

Notons que ( )( ) ( )( )cosf x t x t= est continu et born par [ ]1 1 , daprs le lemme 1, on peut crire :


Page 12

( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )1 2

cos 1 1 coscos 1 1

2 2h x t h x t

x t x tx t

+ = +

Do un reprsentant T-S de (1.12) comportant deux rgles floues donnes par :

Si ( )x t est ( )( )11 1F h x t alors ( ) ( )x t x t=

Si ( )x t est ( )( )21 1F h x t alors ( ) ( )x t x t=

Ainsi le modle T-S est donn sous sa forme compacte par :

( ) ( )( ) ( )21

i ii

x t h x t a x t=

= (1.13)

o 1 1a = et 2 1a = .

Remarque 1.2

Les modles T-S obtenus via une transformation polytopique convexe dpendent directement du nombre des non-linarits dcouper. Ainsi, lorsque lon a nl termes non linaires, alors le modle T-S est constitu de 2nl rgles floues.

1.5. Stabilit et stabilisation des modles T-S standards

Ltude de la stabilit et la synthse des contrleurs flous pour les modles T-S standards (MTSS) (1.9) sont gnralement bases sur la thorie de Lyapunov [Liapounoff, 1907]. Le principe de cette dernire est inspir dune ralit physique. En effet, si lnergie dun systme est continment dissipe, au final le systme va atteindre un point dquilibre. Un rappel sur la thorie de Lyapunov est donn dans lannexe B. Dans la suite, sans perte de gnralit, on suppose que le point dquilibre est lorigine.

1.5.1. Stabilit des modles T-S

Ltude de la stabilit dun MTSS autonomes (1.9) permet dtablir si sa dynamique est intrinsquement stable lorsquil nest soumis aucune excitation externe ( ( ) 0u t = ). Dans cette section, afin de permettre au lecteur dapprhender les rsultats proposs dans la suite de ce manuscrit, on prsente les rsultats significatifs, lorigine des nombreux travaux sur la stabilit des MTSS. Ceux-ci sont donns sous forme dIngalits Matricielles Linaires (LMI) [Boyd et al., 1994]. Notons que quelques rappels sur les LMI sont prsents en annexe. Le rsultat suivant traite de la stabilit des MTSS dcrits en temps continu :


Page 13

Thorme 1.1 : [Tanaka et Sugeno, 1992]

Le MTTS continu autonome ( ( ) 0u t = ) (1.9) (respectivement (1.10) dans le cas discret) est asymptotiquement stable sil existe une matrice 0TP P= > , telles que les LMI suivantes sont vrifies pour 1,...,i r= :

0Ti iA P PA+ < (cas continu) (1.14)

0Ti iA PA P < (cas discret) (1.15)

Preuve : (cas continu)

En considrant la fonction candidate quadratique de Lyapunov :

( )( ) ( ) ( )TV x t x t Px t= (1.16)

Le MTSS autonome (1.9) ( ( ) 0u t = ) est stable si:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0T TV x t x t Px t x t Px t= +


Page 14

1.5.2. Stabilisation par retour dtat des modles T-S standards

Afin dassurer la stabilit dun MTSS en boucle ferme, on ralise la synthse dune loi de commande adquate. Plusieurs lois de commande floues ont t proposes dans la littrature. Les plus rpandues se basent sur des lois de commande de type compensation parallle distribue (PDC, Parallel Distributed Compensation) [Wang et al., 1996][Tanaka et al., 1998]. Notons, par ailleurs que, suivant la classe des modles T-S considrs, des variantes de ce type de loi de commande ont t galement proposes dans la littrature, par exemple la PDC proportionnelle (PPDC) [Lin et Er, 2001] ou encore la loi de commande de type compensation et division pour modles flous [Guerra et al., 1999].

1.5.2.1. Lois de commande PDC (Parallel distributed compensation)

La loi de commande PDC [Wang et al., 1996][Tanaka et al., 1998] a lavantage de considrer les mmes prmisses que les rgles floues contenues dans le modle T-S stabiliser. De ce fait, cela revient considrer que, chaque modle local correspond une commande par retour dtat linaire que lon peut interpoler par les mmes fonctions dactivation ( )( )ih z t que celles du modle T-S. Notons que dans ce cas, lorsque le modle flou obtenu par dcoupage est exact, c'est--dire par transformation polytopique convexe, alors cette loi de commande est valable sur tout lespace compact des variables dtat sur lequel a t effectu le dcoupage. Ainsi, cette loi de commande est donne par :

( ) ( )( ) ( )1

r

i ii

u t h z t F x t=

= (1.19)

avec m niF reprsentent les matrices des gains de retour dtat.

La synthse dun correcteur flou consiste alors dterminer les matrices de gain de retour dtat notes iF .

Stabilisation des MTSS continus

Dans le cas continu, pour obtenir lexpression du modle flou T-S en boucle ferme, on substitue la loi de commande (1.19) dans (1.9), on obtient alors :

( ) ( )( ) ( )( )( )1 1

r r

i j i i ji j

x t h z t h z t A B F= =

= (1.20)

Des conditions suffisantes de stabilisation sont prsentes dans le thorme suivant.

Thorme 1.2 [Wang et al., 1996]:

Le MTSS continu (1.9) est asymptotiquement stabilis via la loi de commande PDC (1.19) sil existe des matrices X et jK , telles que les LMI suivantes soient vrifies.


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0ii < , pour 1,...,i r= (1.21)

0ij ji + < , pour , 1,...,i j r= et i j< (1.22)

avec 0T T Tij i i j i j iA X B K XA K B = + < , j jK F X= et 1X P=

Preuve :

En suivant la mme dmarche que pour la preuve du thorme 1.1 et en sparant les modles dominants des modles croiss, on obtient directement :

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )1

0r

T T T Ti i i j i i j

iV x t x t h z t A P PA F B P PB F x t

=

= +


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commande base dobservateurs ou par retour de sortie dynamique, elles ne ncessitent pas la rsolution dquations diffrentielles en ligne.

Notons par ailleurs que lensemble des conditions de stabilisation par retour de sortie proposes dans la littrature, ont t obtenues dans le cadre quadratique et quelles sont souvent donnes en termes dingalits matricielles bilinaires (BMI). Lorsque des LMI sont proposes, celles-ci sont obtenues au prix dhypothses restrictives, par exemple iC C= commune, de rang plein en ligne et 0iD = [Chadli et al., 2002]. Dans la suite, nous expliciterons les travaux relatifs au retour de sortie dynamique puis statique dans la mesure o ils feront lobjet dun chapitre conduisant leur application pour une plus large classe de systmes T-S tout en rduisant le conservatisme des conditions existantes.

1.5.3.1. Synthse de lois de commande par retour de sortie dynamique

Un contrleur par retour de sortie dynamique est reprsent par un systme dquations diffrentielles ordinaires. Dans le cadre de la stabilisation des modles T-S, une loi de commande PDC dynamique (DPDC) peut-tre donne par [Li et al., 2000]:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1

1

r r rij i

c i j c c i ci j ir

ii c c c

i

x t h z t h z t A x t h z t B y t

u t h z t C x t D y t

= = =

=

= +

= +

(1.24)

o ( )cx t , ( )y t et ( )u t reprsentent respectivement le vecteur dtat du contrleur, le vecteur de sortie du systme et le signal de commande. Les matrices ijcA ,

icB ,

icC et cD sont des

matrices de gains de dimensions appropries synthtiser.

Notons que la classe des MTSS considre par [Li et al., 2000] ne tient pas compte de la matrice de couplage entres-sorties ( 0iD = ). Ainsi, en utilisant le produit de Redheffer [Redheffer, 1960], lexpression de la dynamique de la boucle ferme peut-tre exprime laide du vecteur dtat ( ) ( ) ( ) TT Tcl cx t x t x t = telle que :

( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 1

jr ri i c j i c

cl i j cli iji i c j c

A B D C B Cx t h z t h z t x t

B C A= =

+=

(1.25)

En considrant la fonction candidate quadratique de Lyapunov :

( )( ) ( ) ( )Tcl cl clV x t x t Px t= (1.26)

avec 11 12

12 22T

P PP

P P

=

,

le thorme suivant peut tre nonc.


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Thorme 1.3 : [Li et al., 2000]

Le MTSS continu (1.9) est globalement stable via la loi de commande DPDC (1.24) sil existe les matrices 11Q , 11P , ij , ijA , iB , iC et D , telles que les LMI suivantes soient vrifies pour , 1,...,i j r=

11

11

0Q II P

>

(1.27)

11 1

1

0n

T

n nn

= =


Page 18

Notons que, dans le cas de la commande par le retour de sortie dynamique des MTSS, des conditions quadratiques de stabilisation robustes ont t proposes pour des systmes incertains [Han et al., 2000], perturbs [Assawinchaichote et al., 2004], avec retard [Lee et al., 2000] ou dans le cas discret [Tanaka et al., 2006][Dong et Yang, 2009].

1.5.3.2. Synthse de lois de commande par retour de sortie statique

La commande par retour de sortie dynamique ncessite la rsolution en ligne dun systme dquations diffrentielles ordinaires. Celui-ci entrane donc une augmentation considrable du cot de calcul lors de son implantation. Une alternative consiste en la synthse et limplmentation dune loi de commande par retour de sortie statique. Dans le cadre des systmes T-S, celle-ci est donne par :

( ) ( )( ) ( )1

r

i ii

u t h z t K y t=

= (1.35)

o ( )y t et ( )u t reprsentent respectivement la sortie du systme (1.35) et le signal de commande. iK sont les matrices de gains de commande de dimensions appropries synthtiser.

Dans [Chadli et al., 2002], des conditions LMI sont obtenues en considrant la matrice de couplage entre-sortie nulle ( 0iD = ) et la matrice de sortie constante ( iC C= ) et de rang plein en ligne. La dynamique de la boucle ferme est exprime par :

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1 1

r r

i j i i ji j

x t h z t h z t A B K C x t= =

= + (1.36)

et ses conditions de stabilit sont rsumes dans le thorme suivant.

Thorme 1.4 [Chadli et al., 2002]:

Le MTSS continu (1.9), avec 0iD = et iC C= de rang plein en ligne, est globalement asymptotiquement stable via la loi de commande PDC (1.35) sil existe les matrices 0X > , M et N , telles que les LMI suivantes soient vrifies :

( ) ( ) 0T Ti i i i i iA X A X B N C B N C+ + + < , pour 1,...,i r= (1.37)

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0T Ti j i j i j j i i j j iA A X A A X B N B N C B N B N C+ + + + + + + < , pour , 1,...,i j r= et i j (1.38)

avec CX MC= et ( ) 1T Ti iK N CC CXC = .


Page 19

Notons que dautres conditions quadratiques ont t exprimes en termes de BMI pour les MTSS [Huang et Nguang, 2007], avec retard [Nachidi et al., 2007] ou dans le cas incertain et perturb [Kau et al., 2007]. Dautre part, ce nest que rcemment que des conditions non quadratiques LMI ont t propose par [Wu, 2008] mais uniquement dans le cas discret. Le cas continu constitue un des rsultats apport par ces travaux de thse [Bouarar et al., 2009c].

1.6. Stabilit et stabilisation des systmes descripteurs

Les systmes descripteurs permettent de dcrire les systmes singuliers [Dai, 1989] mais aussi de reprsenter de nombreux modles de connaissances physiques crits sous forme ordinaire et dont lexploitation ncessite lajout de contraintes statiques [Luenberger, 1977]. Cest le cas par exemple des mcanismes poly-articuls comportant des paralllismes structurels et dont les quations du mouvement (Euler-Newton) doivent tre enrichies par un ensemble de contraintes non holonomes afin den dcrire lvolution [Khalil et Dombre, 1999][Merlet, 1997]. Dans cette section, nous rappellerons quelques rsultats sur ladmissibilit des descripteurs linaires avant de nous intresser aux conditions de stabilit et de stabilisation des descripteurs T-S qui feront lobjet des contributions apports le long de cette thse.

1.6.1. Admissibilit des descripteurs linaires

Soit le systme descripteur linaire [Luenberger, 1977] :

( ) ( ) ( )( ) ( )

Ex t Ax t Bu t

y t Cx t= +

=

(1.39)

o n nE , n nA , n mB et q nC sont des matrices relles, ( ) nx t , ( ) qy t et ( ) mu t reprsentent respectivement le vecteur dtat, le vecteur de sortie et le signal de commande. Notons que la matrice n nE peut tre dans le cas chant singulire, cest--dire ( )rang E n= < . Dans le cadre des modles descripteurs, il est plus juste de parler dadmissibilit plutt que de stabilit [Dai, 1989]. En effet, la notion de stabilit connue dans le cas des systmes standards (explicites) savre insuffisante. Par consquent, il est ncessaire de considrer les proprits de rgularit et de non impulsivit impulse free donnes par les dfinitions suivantes pour les descripteurs (1.39) autonomes ( ( ) 0u t = ).

Dfinitions 1.2 : [Dai, 1989].

Le couple ( ),E A est rgulier si ( )det 0sE A o s dsigne loprateur de Laplace.

Le couple ( ),E A est dit non impulsif si ( )( ) ( )deg det sE A rang E = .


Page 20

Le couple ( ),E A est dit stable si les ples de ( )det 0sE A = sont partie relle ngative.

Le couple ( ),E A est dit admissible sil est rgulier, non impulsif et stable.

Remarque 1.4

Dans le cadre des systmes standards, la notion de rgularit est toujours vrifie dans la mesure o pour toute condition initiale ( )0x et une commande ( )u t connue sur un intervalle [ ]0 t , la sortie ( )y t du systme existe et est unique. En revanche, dans le cadre des systmes descripteurs, la sortie est unique pour une condition initiale dfinie et une loi de commande connue si le couple ( ),E A est rgulier. De plus, limpulsivit des systmes physiques reprsente un phnomne indsirable et soulve un problme lors de ltude de la stabilit et de la stabilisation. En effet, il est important de vrifier a priori si le systme tudier nest pas impulsif. De ce fait, un systme est dit non impulsif impulse free si sa rponse temporelle reste continue pour toute condition initiale et quelque soit le signal de commande ( )u t .

Notons que des travaux existent dans la littrature traitant de la stabilit, la stabilisation et lobservation des descripteurs linaires. Par exemple, le problme de synthse de lois de commande par placement de ples ainsi que celui de la commande optimale ont t traits par [Cobb, 1981] et [Cobb, 1983], la commande H

par le retour de sortie dynamique a t lobjet

de ltude mene par [Masubushi et al., 1997] ou encore la commande de descripteur linaires incertains [Lin, 1999]. Dautre part, des conditions dadmissibilit des descripteurs linaires incertains en temps discret exprimes en terme de LMI ont t proposes par [Rejichi et al., 2008]. Ces dernires ont t tendues au cas des descripteurs incertains retard par [Wu et al., 2008].

1.6.2. Classe des modles descripteurs non linaires de type Takagi-Sugeno

Soit le modle descripteur non linaire affine en la commande appartenant la classe dcrite par (1.3) suivant :

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

E x t x t A x t x t B x t u t

y t C x t x t D x t u t

= +

= +

(1.40)

avec ( ) nx t , ( ) qy t et ( ) mu t respectivement les vecteurs dtat, de sortie et de commande.

( )( ) n nE x t , ( )( ) n nA x t , ( )( ) n mB x t , ( )( ) q nC x t et ( )( ) q mD x t sont des matrices de fonctions non linaires.

Lobtention dun modle flou de type T-S sous la forme descripteur se fait de la mme faon que pour une reprsentation dtat standard. En effet, le dcoupage des non-linarits contenues


Page 21

dans le modle non linaire (1.40) permet davoir une reprsentation exacte sous forme de descripteur flou sur un domaine compact de lespace dtat [Tanaka et al., 1998][Morre, 2001]. Ainsi, un modle descripteur flou de type T-S (DTS) a t propos par [Taniguchi et al., 2000] et est donn par :

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1

1

l r

k k i i ik i

r

i i ii

v z t E x t h z t A x t B u t

y t h z t C x t D u t

= =

=

= +

= +

(1.41)

o l et r reprsentent respectivement le nombre de rgles floues dans les parties gauche et droite. n nkE

, n niA , ( )( ) n mB x t , q niC et q miD sont des matrices

constantes. De la mme manire que pour les MTSS, les fonctions dappartenance ( )( ) 0kv z t et ( )( ) 0ih z t vrifient les proprits de sommes convexes ( )( )

11

l

kk

v z t=

= et ( )( )1

1r

ii

h z t=

= .

Remarque 1.5

1) Un descripteur peut-tre rcrit sous la forme dune reprsentation dtat standard que sil nexiste pas un point de lespace dtat o ( )( )E x t est singulire.

2) Lide nest pas dutiliser les formes implicites ( ( )( )E x t singulire) mais dutiliser la forme descripteur dans le souci de reprsenter des modles non linaires de faon exacte dans un domaine de lespace des variables dtat afin de rduire le nombre de rgles dun modle T-S associ [Taniguchi et al., 2000][Guelton, 2003][Guelton et al., 2008b].

Dans la suite, par souci de clart et pour allger les expressions mathmatiques, on dfinit les notations suivantes qui seront conserves le long de ce manuscrit.

Notations :

Pour , 1,...,i j r= et 1,...,k l= les fonctions scalaires ( )( )ih z t et ( )( )kv z t , les matrices de dimensions appropris kY , iG , ikT et ijkL , on note :

( )( )1

l

v k kk

Y v z t Y=

= , ( )( )1

r

h i ii

G h z t G=

= , ( )( ) ( )( )1 1

r l

hv i k iki k

T h z t v z t T= =

= et

( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1

r r l

hhv i j k ijki j k

L h z t h z t v z t L= = =

= .

Par ailleurs, de manire usuelle, ( ) indique une quantit transpose au sein dune matrice. Enfin, le temps t est omis lorsquil ny a pas dambigut.


Page 22

1.6.3. Stabilit des modles descripteurs T-S

Ltude de la stabilit et de la stabilisation des modles DTS ont t inities par [Yoneyama et Ichikawa, 1999][Taniguchi et al., 1999a][Taniguchi et al., 2000]. Les conditions de stabilit proposes sont bases sur une fonction candidate quadratique de Lyapunov.

De manire usuelle pour les systmes descripteurs, on considre le vecteur dtat augment ( ) ( ) ( ) TT Tx t x t x t = et (1.41) peut tre rcrit tel que :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

hv h

h h

Ex t A x t B u t

y t C x t D u t

= +

= +

(1.42)

avec 0

0 0I

E =

,

0ik

i k

IA

A E

=

,

0i

i

BB

=

, [ ]0i iC C= et i iD D= .

Des conditions suffisantes de stabilit quadratique pour les modles DTS continus en rgime autonome ont t proposes par [Taniguchi et al., 2000] et sont rsumes dans le thorme suivant.

Thorme 1.5 : [Taniguchi et al., 2000]

Le modle DTS continu autonome ( ( ) 0u t = ) (1.42) est asymptotiquement stable sil existe les matrices 1 1 0

TP P= > , 3P et 4P telles que les LMI suivantes sont vrifies pour 1,...,i r= et 1,...,k l= :

( )3 3

1 3 4 4 4

* 0T Ti i

T T T Tk i k k

A P P AP E P P A E P P E

+ (1.45)

On pose 1 23 4

P PP

P P

=

, la condition (1.45) conduit 1 1 0TP P= > et 2 0P = .

Le descripteur T-S autonome (1.42) est stable si :


Page 23

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0T

T T

P E

V x t x t EPx t x t EP x t= +


Page 24

Thorme 1.6 : [Taniguchi et al., 2000]

Le modle DTS continu (1.42) est asymptotiquement stable via la loi de commande PDC modifie (1.48), sil existe les matrices 1 1 0TX X= > , 3X , 4X , et jkY , telles que les LMI suivantes sont vrifies pour , 1,...,i j r= et 1,...,k l= :

( )( )

3 3

4 1 3 4 4

0T

TTi i ik k k k

X X

X A X BY E X E X E X


Page 25

Remarque 1.6

Notons que la recherche de conditions de non impulsivit reste un problme ouvert en ce qui concerne les descripteurs de type T-S. Celle-ci a toutefois t aborde dans [Marx et Ragot, 2006][Marx et Ragot, 2008]. Cependant, ces conditions ne tiennent pas compte de lvolution des fonctions dappartenance et par consquent ne peuvent tre vrifies sur lensemble de lunivers du discours et en particulier lorsque deux valeurs dappartenance sont gales. Supposons lexemple suivant :

( ) ( )( ) ( )21

i ii

Ex t h z t A x t=

= (1.55)

o 0.5 00 0

E

=

, 1

0.5 00 0.5

A =

, 2

1.5 00 0.5

A =

et ( )( ) ( )( )2 11h z t h z t= .

Les conditions locales [Dai,1989] mnent ( )( ) ( )1deg det 1sE A rang E = = et ( )( ) ( )2deg det 1sE A rang E = = et le descripteur (1.55) serait non impulsif. Or, cause de la

nature des fonctions dappartenance, il existe un ou plusieurs points de lespace dtat o ( )( ) ( )( )1 2 0.5h z t h z t= = , le descripteur (1.55) scrit alors :

( ) ( ) ( )0.5 0 1.5 0 1 00.5 0.50 0.5 0 0.5 0 0Ex t x t x t

= + =

(1.56)

dans ce cas, ( )1 0deg det0 0

sE rang E

, do la non impulsivit ne peut-tre garantie.

Hypothse 1.1

Dans la suite de ce mmoire, nous supposerons que les modles descripteurs T-S tudis sont rguliers et non impulsifs impulse free .

Remarque 1.7

Il est intressant de noter que lapproche o la reprsentation des systmes descripteurs peut conduire, lorsquil sagit de systmes non singuliers, une rduction du nombre de contraintes LMI vrifier pour en assurer la stabilit. Afin dillustrer ce propos, on considre le modle descripteur non linaire donn par [Guelton, 2003] :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2E x t x t Ax t B x u t= + (1.57)

avec ( ) ( )( )1

2

x tx t

x t

=

, ( )( )21

22

1 11

111

xE x t

x

+ =

+

,

4,7 4,70,2 1,5

A

=

et ( ) ( )22 cos 31x

B x +

=

.


Page 26

Rappelons que le nombre de rgles issues du dcoupage flou est fonction du nombre de non- linarits dcoupes du modle non linaire, c'est--dire 2nl tel que nl est le nombre de non- linarits dcouper.

( )( )E x t contient les termes non linaires 21

11 x+

et 22

11 x+

qui conduit 4 rgles floues

pour le membre gauche du descripteur, do 4l = . ( )2B x contient la non linarit ( )2cos 3x + qui conduit 2 rgles floues, soit 2r = .

Pour les descripteurs flous T-S, le nombre de conditions LMI vrifier au thorme 1.6 est ( 1) / 2l r r + , cest--dire dans le cadre de lexemple propos, 12 contraintes LMILMILMILMI.

Le modle (1.57) tant non singulier, il peut tre rcrit sous la forme dun modle T-S standard en multipliant gauche et droite par ( )( ) 1E x t , on obtient donc :

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )* * 2x t A x t x t B x u t= + (1.58)

Avec ( )( ) ( )( ) 1*A x t E x t A= , ( )( ) ( )( ) ( )1* 2B x t E x t B x=

et ( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

2 2 21 1 2

2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 21 2 2

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 1 12 2

1 1 12 2

x x x

x x x x x x x xE x t

x x x

x x x x x x x x

+ + +

+ + + + + + =

+ + + + + + + + +

.

Le nombre de non-linarits prendre en compte dans ( )( ) 1E x t est de trois et une non-linarit dans ( )* 2B x . Le modle flou (1.58) sera donc compos de * 16r = rgles floues, et il y aura * *( 1) / 2r r + LMI vrifier au thorme 1.2, c'est--dire 136 LMILMILMILMI !!!

A partir de cet exemple, on peut conclure que la forme descripteur permet de rduire le nombre de contraintes LMI par rapport la forme T-S standard.

1.7. Rduction du conservatisme des conditions LMILMILMILMI pour modles T-S

Les rsultats prsents prcdemment sur la stabilit et la stabilisation des systmes T-S sont conservatifs. En effet, ceux-ci ne constituent que des conditions suffisantes mais non ncessaires. Dans cette section, des solutions significatives pour rduire le conservatisme des approches T-S sont prsentes. Notons que ces solutions dpendent principalement de la source de conservatisme laquelle elle sattaque [Sala et Ario, 2009][Sala, 2009], par exemple : la non unicit dun modle T-S, le choix de la fonction candidate de Lyapunov, lindpendance des fonctions dappartenance et structure dinterconnexion des conditions LMI, cot de calcul lev... Dans la suite nous expliciterons quelques unes de ces sources de conservatisme et nous prsenterons les principaux rsultats de la littrature permettant de les rduire.


Page 27

Considrons, dans un premier temps, le choix dune fonction candidate de Lyapunov. Pour les systmes T-S, ce choix sest trs largement port sur lutilisation dune fonction candidate quadratique de Lyapunov. Nanmoins, celui-ci ncessite la recherche dune matrice commune un ensemble de contraintes LMI. De ce fait, les conditions de stabilit proposes sont conservatives dun point de vue synthse de contrleur. Une autre approche a t propose par [Johansson, 1999][Johansson et al., 1999][Feng et Wang, 2001][Feng, 2004]. Celle-ci considre lutilisation de fonctions de Lyapunov continue par morceaux (piecewise Lyapunov functions). Nanmoins, cette approche savre peu efficace lorsquun reprsentant T-S est obtenu par dcoupage en secteur non linaire. En effet, ce type de fonction de Lyapunov ne tient pas compte de la structure dinterconnexion non linaire entre sous-modles composant le systme global. Une alternative, efficace lorsque le modle T-S est obtenu sur la base dun modle de connaissance non linaire, consiste en lutilisation dune fonction candidate non quadratique de Lyapunov [Jadbabaie, 1999][Tanaka et al., 2003][Guerra et Vermeiren, 2004][Rhee et Won, 2006][Feng, 2006]. Parmi celles-ci, on distingue lapproche considrant lemploi dune fonction candidate de Lyapunov dite floue (FLF) dans la mesure o les variables de dcision de cette fonction sont bases sur la mme structure dinterconnexion que le systme T-S tudi [Jadbabaie, 1999][Tanaka et al., 2001a][Tanaka et al., 2001b][Liu et al., 2004][Tanaka et al., 2003][Feng, 2004][Feng, 2006]. Ainsi le systme, la FLF et la loi de commande tant bass sur cette mme structure, on comprend bien quune compensation parallle entre ces parties facilite la recherche dune solution aux problmes LMI et conduit une rduction du conservatisme.

Par ailleurs, une autre source de conservatisme peut provenir de linteraction engendre par les modles croiss dans les conditions de stabilit LMI. Plusieurs solutions ont t proposes afin de rduire cette source de conservatisme. Celles-ci sont communment appeles schmas de relaxation [Tanaka et Sano, 1994][Tanaka et al., 1998][Kim et Lee, 2000][Tuan et al., 2001] [Xiaodong et Qingling, 2003]. Parmi ceux-ci, nous prsenterons les rsultats les plus utiliss travers les lemmes suivants :

Lemme 1.2 : [Tanaka et Sano, 1994]

Pour 1,...,i r= , 1,...,j r= , 0ih > , 0jh > , la condition 1 1

0r r

i j iji j

h h= =

, 0jh > , la condition 1 1

0r r

i j iji j

h h= =


Page 28

0ii < pour 1,...,i r= (1.61)

2 01 ii ij jir

+ + , 0jh > , la condition 1 1

0r r

i j iji j

h h= =

pour 1,...,i r= (1.63)

ij ji ij ji + > + pour , 1,...,i j r= et i j< (1.64)

11 12 1

21 22 2

1 2

....

....

0

....

r

r

r r rr

>

(1.65)

Parmi les schmas de relaxation prsents ci dessus, le lemme 1.4 [Xiaodong et Qingling, 2003] fournit les rsultats les moins conservatifs mais, du fait de laugmentation du nombre de variables de dcision dterminer, le cot de calcul sen trouve fortement accru. Un bon compromis entre conservatisme et cot de calcul est propos au lemme 1.3 qui mne des rsultats satisfaisants en terme de conservatisme sans introduire de nouvelles variables rechercher [Tuan et al., 2001].

1.8. Conclusion

Ce premier chapitre a permis de prsenter les concepts de base relatifs la stabilit et la stabilisation des modles flous de type T-S. Ainsi, des conditions suffisantes de stabilit ont t prsentes. Celle-ci se basent sur la seconde mthode de Lyapunov et sont, si possible, crites sous la forme de LMI afin dtre rsolues pas les outils classiques de loptimisation convexe. Dans un premier temps, la classe des systmes reprsents par une reprsentation dtat standard non linaire affine en la commande a t aborde. Cette forme classique de la reprsentation dtat est lune des plus utilise en automatique mais ne correspond pas la forme la plus gnrale des reprsentations dtat que lon peut rencontrer. Cette forme plus gnrale, appele descripteur, fera lobjet des tudes proposes dans la suite de ce mmoire. Ainsi, nous avons prsent les principaux rsultats de la littrature concernant la stabilit des systmes non linaires reprsents par des modles flous T-S sous forme descripteurs. Ceux-ci se basent sur une rcriture matricielle du modle descripteur permettant lcriture aise de la drive de la fonction candidate de Lyapunov. Enfin, les principales techniques permettant lobtention de conditions de stabilit moins conservatives ont t prsentes, notamment


Page 29

lemploi de fonctions de Lyapunov non quadratiques ainsi que les schmas de relaxation les plus communment employs dans la littrature.

Notons que les rsultats prsents dans ce chapitre ne tiennent pas compte des incertitudes de modlisation et des perturbations externes lors de la synthse de la loi de commande. Ce point sera abord au chapitre suivant par llaboration de conditions de stabilit pour la classe des modles flous T-S sous forme descripteurs incertains et perturbs. Puis, dans le but de rduire le conservatisme des conditions proposes, plusieurs approches non quadratiques seront successivement proposes aux chapitres 3 et 4. Enfin, en utilisant une proprit intressante des systmes descripteurs, des conditions de stabilit et de stabilisation seront proposes afin de soulever des verrous relatifs la synthse de lois de commande par retour de sortie des systmes T-S standards.

Chapitre II

Stabilit et stabilisation quadratique des descripteurs T-S incertains et perturbs

2.1. Introduction ....................................................................................................................................31 2.2. Choix dun reprsentant T-S sous forme descripteur .....................................................................31 2.3. Dfinition des modles Descripteurs T-S Incertains et Perturbs (DTSIP)....................................33 2.4. Stabilit quadratique des descripteurs T-S incertains (DTSI) ........................................................35 2.5. Analyse des performances H en boucle ouverte des descripteurs T-S incertains et perturbs ....39 2.6. Stabilisation quadratique des modles DTSIP................................................................................42

2.6.1. Formulation de la dynamique en boucle ferme et du problme de commande ............... 42 2.6.2. Stabilisation des modles DTSI................................................................................... 43

2.7. Synthse H de lois de commande pour la classe des descripteurs T-S incertains et perturbs .45 2.8. Schma de relaxation pour les descripteurs T-S.............................................................................47 2.9. Exemple numrique et rsultats de simulation ...............................................................................48 2.10. Conclusion......................................................................................................................................55

2.

2.1. Introduction

Le chapitre prcdent est consacr la prsentation des concepts lmentaires relatifs la stabilit et de la stabilisation des modles T-S sous forme standard et sous forme descripteur. Notons que ces rsultats ne tiennent pas compte des incertitudes de modlisation et des perturbations externes lors de la synthse de la loi de commande. De plus, dans le cadre de la commande des descripteurs T-S, peu de travaux de la littrature tiennent compte des exigences en termes de robustesse. En effet, la prise en compte dincertitudes permet de rduire les erreurs de modlisation dun systme physique commander mais aussi de tenir compte de perturbations externes (bruits de mesures). Ainsi, des premiers travaux ont t exprims en terme dingalit bilinaires matricielles (BMI) pour la classe des descripteurs T-S incertains (DTSI) [Ma et Sun, 2004]. Dautre part, une approche de synthse de contrleur H

a t

dveloppe afin dattnuer les perturbations externes dans [Yoneyama et Ichikawa, 1999]. Nanmoins, cette dernire nest valable que pour une classe particulire de descripteurs ( E constante). Lobjectif de ce chapitre est de proposer des conditions quadratiques pour la synthse de lois de commande robustes stabilisant la classe des descripteurs T-S incertains et perturbs. Dans un premier temps, une forme gnrique des DTSIP sera prsente. Ensuite, les familles dincertitudes affectant la dynamique dun systme seront rappeles. Ltude de la stabilit et lanalyse de la performance H

pour le modle considr seront proposes et tendues pour

aboutir des conditions LMI de stabilisation bases sur une loi de commande PDC modifie. Par ailleurs, afin de rduire le conservatisme des approches proposes, un schma de relaxation pour les modles descripteurs sera dvelopp. Finalement, un exemple numrique sera considr pour illustrer lefficacit des diffrentes approches tudies ainsi que lintrt du schma de relaxation.

2.2. Choix dun reprsentant T-S sous forme descripteur

Comme il a t prsent dans le chapitre prcdent, il existe plusieurs techniques permettant lobtention dun reprsentant T-S partir dun systme dynamique non linaire. Parmi celles-ci, la mthode du dcoupage en secteur non linaire est retenue puisquelle permet daboutir un reprsentant exact dun systme non linaire sur un compact de lespace dtat [Tanaka et Wang, 2001]. Pour les systmes descripteurs T-S obtenus via cette technique, deux chemins sont possibles et conduisent deux reprsentations. Celles-ci sont quivalentes au systme dorigine mais peuvent conduire un nombre diffrent de contraintes vrifier pour en tudier la stabilit. Notons que lobtention dun reprsentant T-S conduisant un nombre minimal de contraintes vrifier permet de rduire le pessimisme lors de ltude ultrieure de son comportement dynamique [Taniguchi et al., 2001][Delmotte et al., 2007][Delmotte et al., 2008]. Afin dillustrer ce point, on considre le descripteur non linaire suivant :

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )E x t x t A x t x t B x t u t= + (2.1)

o ( )( ) n nE x t , ( )( ) n nA x t , ( )( ) n mB x t sont de

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