2008/01/04 La connaissances des Temps 2

Calendriers

La réforme grégorienne était-elle la plus judicieuse ?

Formation mathématique des calendriers

2008/01/04 La connaissances des Temps 3

Les astronomes, par leurs observations et connaissances mathématiques, ont toujours été associés à la construction des calendriers.

Formation mathématique des calendriers

Pour ne pas voir dériver trop vite un calendrier basé sur une année forcément fausse (nombre entier de jours), quelles corrections périodiques ou non doit-on faire ?

Pour être commode d’utilisation, on recherche dans un cycle de n années, le nombre m de corrections, ajouts ou retraits, d’un ou plusieurs jours à faire pour se recaler le mieux possible sur le Soleil.

Exemples :

calendrier musulman, alternance irrégulière des mois à 29 et 30 jours.

Calendrier julien, ajout d’un jour tous les 4 ans.

Contre exemple : calendrier vague de 365 jours, se recale au bout de 1461 ans.

2008/01/04 La connaissances des Temps 4

Quel outil mathématique de recherche de la solution ?

Formation mathématique des calendriers

Décomposition en fractions continues.

But : trouver une approximation d’un nombre réel positif sous forme d’un quotient deux nombres entiers.

Exemple : le nombre PI ?

3, 22/7, 333/106, 355/113

Méthode q = q0 + u1 (u1 <1)On écrit le nombre sous la forme

1/ u1 = q1 + u2Puis

… 1/ un = qn + un+1

Le nombre s’écrit

q qq

qq

q

0

1

2

34

11

11

. . . . . .

3, 7, 16, 1, 292

2008/01/04 La connaissances des Temps 5

L’année tropique 365,24221988

On va rechercher pour la partie fractionnaire de l’année tropique ses décompositions en fractions continues.

Soit n/m une bonne approximation.

Si dans un laps de m années, on fait n années bissextiles, quelle sera la moyenne de l’année sur ces m années ?

Nombre de jours écoulés sur m années : Nj = 365 x m + n (corrections)

Moyenne sur m années : Nj =(365xm)/ m + n/m = 365 + n/m

On a bien une valeur moyenne proche de la valeur réelle.

2008/01/04 La connaissances des Temps 6

L’année tropique

Décomposition en fraction continue de la partie fractionnaire: q1, q2, q3,… q6

365,24221988

Travail avec excel

• 1 colonne numérateur• 1 colonne dénominateur

Calculer dans les colonnes suivantes :

• La durée moyenne de l’année ainsi établie,

• La différence avec l’année tropique vraie,

• Le nombre d’années pour que la différence fasse un jour.

Pour chaque q, calculer les numérateur et dénominateur de la fraction continue correspondante (à la calculette) et l'inscrire dans la feuille du tableur :

2008/01/04 La connaissances des Temps 7

L’année tropique

Décomposition en fraction continue : 365,24221988

4, 7, 1, 3, 5, 6Suite des qi ?

Fractions

1 / 4

7 / 29

8 / 33

31 / 128

163 / 673

1009 / 4166

365.25000

365.24138

365.24242

365.24219

365.24220

365.24220

-0.0078012

0.00081949

-0.000225442

1.13E-05

-3.0847E-07

4.81997E-08

128

1220

4436

88496

3241811

20747019

Durée année DifférenceNb annéepour 1 jour

2008/01/04 La connaissances des Temps 8

Et l’année grégorienne ?

Durée de l’année grégorienne ? 400 année grégoriennes

1 / 4

7 / 29

8 / 33

31 / 128

163 / 673

1009 / 4166

365.25000

365.24138

365.24242

365.24219

365.24220

365.24220

-0.0078012

0.00081949

-0.000225442

1.13E-05

-3.0847E-07

4.81997E-08

128

1220

4436

88496

3241811

20747019

400 années normales :400 * 365 jours

100-3 années bissextiles : + 97 jours

400 x 365 + 97 = 146097 1 an = 365,2425 jours

365,2425 -0.0003012 3320Année grégorienne

2008/01/04 La connaissances des Temps 9

Et l’année grégorienne ? Discussion

1 / 4

7 / 29

8 / 33

31 / 128

163 / 673

1009 / 4166

365.25000

365.24138

365.24242

365.24219

365.24220

365.24220

-0.0078012

0.00081949

-0.000225442

1.13E-05

-3.0847E-07

4.81997E-08

128

1220

4436

88496

3241811

20747019

365,2425 -0.0003012 3320Année grégorienne

Le cycle 8 / 33 : 8 années bissextiles en 33 ans ?

Le cycle 31 / 128 : 31 années bissextiles en 128 ans ?

Le cycle 7 / 29 : 8 années bissextiles en 29 ans ?

Utilisé : calendrier persan

Non utilisé

A été proposé

2008/01/04 La connaissances des Temps 10

La fraction 31 / 128 pourrait être mise en œuvre facilement :

Sur un cycle de 128 ans, il faut une année bissextile tous les 4 ans 32 = 128/4, sauf une.

Si l’on numérote les années du cycle 1 à 128, et si on prend comme principe d’avoir les années bissextiles de rangs

4, 8, 12, … 128

Il suffit que la dernière année de rang 128 ne soit pas bissextile.

La réforme grégorienne est basée sur un double cycle de 4 et 400 ans.

Mais 4 étant diviseur de 400, le cycle global est 400.

Compléments

Autres sujets abordables par les fractions continues :

L’année lunaire, le nombre d’or, le Saros…

2008/01/04 La connaissances des Temps 11

Calendrier œcuménique

Calendrier julienen grec

Calendrier grégorien

Calendrier julienen arabe

Calendrier musulman

Calendrier israélite

Turquie 1912

2008/01/04 La connaissances des Temps 12

1- Si l’on ne trace sur le mur qu’une méridienne, un style horizontal suffit pour voir l’ombre de son extrémité passer sur le tracé de l’équation du temps. Si la longueur de la tige est l, il suffit de remplacer dans les formules l cos  par l.

2 - Souvent pour une méridienne, l’extrémité de la tige porte un petit disque percé en son centre.

Remarques

C’est alors la tache lumineuse qui sert à repérer la trajectoire du Soleil, comme dans les grandes méridiennes des églises.

2008/01/04 La connaissances des Temps 13

Tracé et calcul sous excel

Voir le fichier trace_meridienne.xls• feuille 1 mur non déclinant• feuille 2 mur déclinant

2008/01/04 La connaissances des Temps 14

La méridienne de l’Hôtel de Ville de Lyon

2008/01/04 La connaissances des Temps 15

Bibliographie

Calendriers

Annuaire de l’IMCCE Ephémérides astronomiques (annuel) • Chapitre I Données sur les calendriers• Chapitre II Définitions générales : coordonnées et temps

Calendriers Saga sur http://www.louisg.net