2003

TPE LES FRACTALES

PAOLI Benjamin VAUTHIER Tom FRAPPIER Louis KENDE Mathias

Professeurs : Mme Le Mailloux Mme Duchesne

SOMMAIRE INTRODUCTION 3

Qu'est ce qu'une fractale ? 3 Les courbes fractales 3 Les fractales dterministe 5

Proprit des fractales 5 Auto-similarit 5 Exemple d'auto-similarit 6 Dimension fractale 7

LES FRACTALES DANS LA NATURE 9

LA FRACTALITE DES COTES 9 Introduction : 9 En quoi une cote est fractal ? 9 Premire consquence de cette fractalit des cotes 10 Seconde consequence de la fractalit des cotes 11

Les fractales dans les vgtaux 12 La fougre 12

Le Chou-fleur 13

Conclusion 13

LES FRACTALES DANS LE CORPS HUMAIN 14

Lintestin grle. 15

Le rseau sanguin 16 Exemple 1 : Le rseau coronaire 16 Exemple 2 : Les poumons 18 Exemple 3 : Arbre bronchique 19 Conclusion 20

CONCLUSION 21

OUVERTURE 22

SOURCES : 23

2

INTRODUCTION

Bien que connue depuis le XIXe sicle, les fractale n'avait jamais t rellement tudi et tait considres comme des monstres mathmatiques jusqu' ce que Benot Mandelbrot, mathmaticien franais (qui s'est inspir des travaux des mathmaticiens Gaston Julia et Pierre Fatou), ne les tudie en tant que telle dans les annes 70. C'est lui qui forge le nologisme fractal partir du latin "fractus" qui veut dire bris.

Qu'est ce qu'une fractale ?

Au dpart, les fractales n'tait que des objets mathmatiques. C'est donc par-l que nous allons commencer les tudier.

LES COURBES FRACTALES Les courbes fractales sont les fractales les plus simples se reprsenter. Elles sont obtenues grce une construction gomtrique.

Ici encore, il en existe plusieurs sorte : Les premires sont celle obtenue grce un initiateur et un gnrateur.

La plus connu des courbes de ce genre est le flocon ou courbe de Von Koch ; c'est cette courbe que correspondent les figures ci dessus.

Pour construire cette courbe, on dbute avec un initiateur puis on remplace chaque segment de la figure (au dpart il n'y en a qu'un) par le gnrateur. Une tape de la construction va tre appele "itration", puisque l'on rpte la mme opration un certain nombre de fois. La courbe de Von Koch la plus connue est construite de la manire suivante :

3

Mais de nombreuses variations existent, en voici un exemple :

Thoriquement, pour obtenir la fractale, il faudrait recommencer faire une infinit d'itration lors de sa construction. Mais dans la ralit, on ne peut mme pas afficher (la limite tant la rsolution des ordinateurs) les dtails obtenus aprs la cinquime ou sixime itration. Mais il existe une infinit de manire diffrente de crer des courbes fractales : L'un des exemples le plus connu est le triangle de Sierpinski ci dessous. Il est obtenu avec au dpart, un triangle quilatral noir. Dans ce triangle, on vide un triangle quilatral dont les sommets sont les milieux des arrtes du premier triangle. Ceci nous donne trois triangles noirs quilatraux plus petits avec lesquels on recommence le mme processus.

LE TAPIS OU TRIANGLE DE SIERPINSKI

4

LES FRACTALES DETERMINISTES Les fractales les plus intressantes tudier sont certainement les fractales dterministes. Elles se construisent sur la base d'un algorithme mathmatique : - chaque point de l'image on associe une coordonn faites de deux nombres rels. En fait, il s'agit d'un nombre imaginaire. - puis on lve ce nombre au carr et on lui ajoute une constante (aussi un nombre imaginaire). C'est cette constante qui "fait" la fractal. - Ensuite, on rpte un nombre infini de fois le point prcdent en reprenant toujours pour nombre la norme du nombre trouv par l'itration prcdente. En fait, dans la ralit on ne le rpte qu'un nombre limit de fois. - A la fin, on regarde si le nombre que l'on obtient est rest petit ou s'il a grandi vers l'infini (si on ne rpte la boucle qu'un nombre limit de fois, dans ce cas on fixe une limite maximale la place de l'infini). Dans le premier cas ce point fait partie de la fractal (on leur associe la couleur noire le plus gnralement) dans le second cas, on associe au point une couleur selon la vitesse laquel grandi le nombre qui lui tait associ au fil des oprations. - La figure finale donne la fractal.

FRACTALE DITE ENSEMBLE DE MANDELBROT

Proprits des fractales

AUTO-SIMILARITE La proprit la plus connue des fractales est bien sr leur auto-similarit. Ceci signifie, qu' diffrentes chelles, une partie de la fractale sera similaire la fractale dans son intgralit et ce aussi loin que l'on puisse "zoomer". ATTENTION, ceci n'est pas vrai pour toutes les fractale. Mais nous ne parlerons pas de fractals ne possdant pas cette proprit car elles ne sont d'aucune utilit ici.

5

EXEMPLE D'AUTO-SIMILARITE

6

A CE NIVEAU DE GROSSISSEMENT, LA FRACTALE ORIGINALE FERAIT PLUS DE CINQ KILOMETRES CARRES.

DIMENSION FRACTALE La deuxime particularit des fractales est leur dimension. Dans la gomtrie euclidienne, tous les objets possdent une dimension entire. Objets Reprsentations Dimension

sun point 0 une ligne(droite, courbe...)

1

une figure plane(quadrilatre, cercle...)

2

Une figue dans l'espace (paralllpipde, sphre...)

3

Mais les fractales ne possde pas forcment des dimensions entires :

Pour un objet de dimension 1 (une droite), si on le mesure avec un talon de longueur x et que l'on trouve une longueur y. Alors pour un talon de longueur x/2 on trouvera une longueur y*2. Pour un objet de dimension 2 (un plan), lorsque l'on prend l'talon de longueur x/2 (tout les cot de l'talon sont divis par 2), on trouve comme longueur y*4

7

Pour un objet de dimension 3, on a y*8. Si l'on appelle a le coefficient diviseur de x et b celui multiplicateur de y, alors la dimension d'un objet nous est donn en rsolvant la formule az=b en fonction de z. On vrifie : si a=2 et b=8 alors 2x=8 23=8 La dimension est 3 (ce qui correspond ce que nous avions au dpart). La solution gnrale de l'quation est : Ax=b log(ax)=log(b) x * log(a)=log(b) x=log(b)/log(a) Mais essayons pour une figure comme le triangle de Sierpinski.

Si nous prenons l'initiateur comme talon, la premire figure a une longueur de 1. Mais si nous divisons la longueur de l'talon par 3. Alors nous devons zoomer 3 fois sur la figure, ce qui nous donne la premire itration (ici le gnrateur). La longueur est donc 4 fois plus grande. La dimension de la figure est donc log(4)/log(3)=1.2618595 Ceci veut dire que cette courbe est entre une courbe et un plan. Mais ce rsultat pourrait presque sembler naturel car en rptant l'itration de construction l'infini, le triangle aurait un primtre infini (ce qui pour une courbe voudrait dire qu'elle est un plan).

8

LES FRACTALES DANS LA

NATURE

LA FRACTALITE DES COTES

INTRODUCTION : Dans la nature de nombreuses choses ou objets illustrent le concept de fractalit ;

comme les montagnes, les nuages, les amas galactiques, la taille des cratres sur la Lune et Mars, la forme des arbres ou des coraux etc

Nous avons choisi les cotes maritimes car nous pouvons tous assez facilement se les reprsenter. Introduire des concepts qui peuvent savrer tre compliqus est plus simple si on les introduits en une chose que nous visualisons bien.

EN QUOI UNE COTE EST FRACTALE ? Expliquer la fractalit dune cote peut

savrer difficile. Prenez les cartes 1 et 2 ( cela fonctionne, bien entendu, avec toute carte ctire ). Lorsque nous les regardons, nous voyons que les cotes ne sont jamais strictement "plates" mais quelles sont composes de caps et baies donnant un aspect craquel celle-ci.

1

Toutes ces baies et caps sont eux

mme constitus dautres baies et caps plus petits encore. Et ainsi de suite, je serai tent de dire jusqu' linfini mais dans la nature nous ne pouvons pas parler dinfini.

Quoi quil en soit, quand vous regardez une cote une chelle de plus en plus petite, vous visualiserez toujours une cote. Et cela est la dfinition mme dune fractale, savoir : nous avons une figure, si on zoom sur une partie de cette figure

2

9

nous retrouvons la figure de dpart cest lauto-similarit. Nous retrouvons cette auto-similarit dans un segment de la courbe de Von Koch. La seule diffrence rside dans le fait que la courbe de Von Koch est une construction mathmatique et donc possdant un nombre infini de "caps" ; alors que le nombre de baies et de caps quelles que soient leurs tailles est limit

PREMIERE CONSEQUENCE DE CETTE FRACTALITE DES COTES La consquence la plus frappante et la plus marquante de cette fractalit est sur la longueur de nimporte quelle cote. En effet comment faisons-nous pour connatre la longueur dune cote ? Nous nous munissons dune bonne rgle et nous mesurons, sur une carte possdant une chelle, la longueur que nous souhaitons connatre puis, nous reportons cette longueur mesure sur cette chelle. Nous obtiendrons ainsi une longueur approximative de la cote Pour avoir une longueur plus prcise il suffirait davoir une carte plus prcise et plus grande. Pourquoi ? Mettons que nous mesurions la longueur dune cote sur la carte avec une barre de bois plus la carte sera prcise et plus cette barre se logera dans les caps et baies que forme cette cotte ; et si nous prenons une barre plus petite la consquence sera la mme : la longueur de la cote augmentera. Si maintenant nous allons sur le terrain mme mesurer cette cote avec cette mme barre de bois nous "explorerions" encore plus de recoins de cette cote, et sa longueur augmentera encore. Si nous rduisons la longueur de notre barre jusqu' que nous puissions mesurer jusquau moindre grain de sable voir mme jusqu' la moindre molcule la longueur de la cote augmentera dautant plus. Cest pourquoi nous pouvons dire que si nous avons une barre infiniment petite, la distance que nous mesurerions avec serait infiniment grande.

10

Cest Benot Mandelbrot, minent scientifique et chercheur dans ce domaine des fractales, qui arriva cette conclusion. Prenons comme exemple la cote de Bretagne ; elle pourrait avoir la mme longueur que celle de Manhattan ou de la totalit des Etats-Unis, en appliquant le principe de prendre une barre de plus en plus petite. Comme nous l'avons vu prcdemment, cette augmentation de la longueur avec la diminution de l'chelle est l'une des caractristiques des fractales.

SECONDE CONSEQUENCE DE LA FRACTALITE DES COTES Une deuxime consquence de cette fractalit des cotes est que lon peut prsent

construire des modles de ctes sachant comment "expliquer" leurs formes. Ceci donne un aspect plus mathmatique et thorique ce qui aurait pu nous sembler au contraire comme tant une des choses les plus concrtes.

Cette consquence peut nous paratre mineure cependant pour les mathmaticiens comme pour les physiciens cela leur permet dtudier des formes naturelles qui ne semblaient pas tre constitues "normalement" ou ayant des formes trop alatoires.

Je ne sais comment conclure sur un sujet qui ne demande qu tre tudi toujours plus. Je finirai simplement en disant que la rponse apporte par Mandelbrot au problme quil stait pos en se demandant quelle tait la longueur de la cote de Bretagne, a savoir une longueur infinie, sont mathmatiquement justes mais que nous ne devons pas les prendre comme vrits si nous voulons tre rigoureux ; la terre nest pas infinie. Cest pourquoi je veux marquer la frontire existante entre les mathmatiques et le monde physique, frontire qui ma semble samenuiser aprs avoir fait le point de ce sujet.

UN AUTRE SHEMA EXPLICATIF : EN ROUGE DES PAS DE LONGUEUR 2 ET EN JAUNE DE LONGUEUR 1.

11

Les fractales dans les vgtaux

De nombreux objets naturels ressemblent des fractales. Comme le chou ou la fougre. Mais ces objets naturels ne sont pas de vraies fractales, puisque leur complexit n'est pas infinie. La complexit s'arrte au niveau de l'atome, et non au niveau de l'infiniment petit. De mme, elle ne s'tend pas dans l'infiniment grand.

LA FOUGERE

La structure se rpte ici plusieurs niveaux, a chaque tape on retrouve la mme organisation, celle globale de la feuille. Mathmatiquement, en utilisant un ensemble de fonctions simples itres un grand nombre de fois. On peut obtenir des images de fougres trs ralistes. Selon ce principe, on peut simuler la croissance de nombreux vgtaux ce qui donne des images difficiles distinguer de vritables photographies.

FOUGERE OBTENUE PAR SIMULATION MATHEMATIQUE

12

Le Chou-fleur

Le chou-fleur a une forme remarquable. Grossirement, il se prsente comme une section de sphre entoure de feuilles. Si on regarde de prs la surface du chou-fleur, on remarque que celle-ci est constitue de cnes qui se juxtaposent de manire enroule en spirale, formant ainsi des volutes qui constituent elles-mmes des cnes similaires aux premiers, mais d'chelle plus grande.

Si on ouvre le chou-fleur en le cassant, on observe une structure en branches principales qui se sparent en branches plus petites. La premire division se produit sur la branche principale d'origine, et peut donner de 3 8 branches secondaires. Cette division se reproduit de la mme manire chaque tage avec une rgularit tonnante. A vue d'il on peut distinguer entre 5 et 8 tages de divisions entre la branche d'origine et la surface du chou-fleur. A chaque tage les subdivisions sont proportionnellement similaires.

Conclusion

Ici encore, on trouve dans ces objets naturels des caractristiques fractales. Pourtant, il ne s'agit pas de fractales au sens du terme car celles ci sont finies. On peut nanmoins dire qu'il s'agit de fractales biologiques.

13

LES FRACTALES DANS LE

CORPS HUMAIN

On entend par structure fractale dans la nature des motifs particuliers dont la reproduction rcursive gnre une auto-similarit entre les diffrentes chelles dobservation. Ces structures occupent pour un volume fini un espace maximal, sans interfrence entre les lments du motif de la fractale. Dans le corps humain, on dcouvre rgulirement de nouvelles preuves montrant que notre organisme est fractal. Le premier organe identifi comme tel fut le systme pulmonaire. Cette organisation permet principalement de pousser les capacits dchanges leur maximum en intgrant une surface la plus grande possible dans un volume faible.

MODELISATION FRACTALE DE NEURONE.

14

Lintestin grle.

Lorsque l'on observe la structure de l'intestin grle des grossissements diffrents, lauto-similarit est vidente, on retrouve les villosits toutes les chelles dobservations, jusquaux cellules de lintestin (les entrocytes). Chez l'Homme, la surface externe de l'intestin grle est d'environ 0,5 m, sa surface interne est de 300 m , le gain de surface dchange est ici vident. dimension fractale de ce systme est denviron 2,7. a] Vue densemble de lintestin grle b] Dtail de la paroi intestinale

C] DETAIL DE MICROVILOSITE D]DETAIL DUN ENTEROCYTE E]CILS DENTEROCYTES

15

Le rseau sanguin

Le rseau sanguin, les vaisseaux coronaires, de l'aorte aux capillaires, forme un continuum. Il se divise maintes reprises pour devenir si troit que les cellules sanguines sont contraintes de circuler en file indienne. Leur ramification est de nature fractale. Aucune cellule n'est jamais loigne de plus de trois quatre cellules d'un capillaire. Pourtant les vaisseaux et le sang n'occupent que trs peu d'espace. La dimension fractale de ce systme est denviron 2,7.

L'arborescence vasculaire cre une structure qui semble de longueur infiniment grande l'intrieure d'un volume fini, autrement dit une trs grande surface d'change l'intrieur d'un volume limit.

Le rseau vasculaire est une organisation fractale, un labyrinthe complexe de bifurcations identiques entre elles sur des chelles de plus en plus petites. Il apparat ainsi un motif gomtrique qui se rpte sur des chelles diffrentes, il y a donc bien auto-similarit. Quelle que soit l'chelle laquelle on regarde cette structure, l'aspect parat identique.

EXEMPLE 1 : LE RESEAU CORONAIRE

ON REALISE UNE COUPE TRANSVERSALE DU CUR. (AU NIVEAU DU TRAIT VERT).

16

GROSSISSEMENT 4.5

GROSSISSEMENT 10

Nous allons observer diffrentes chelles les ramifications du pilier gauche. Grossissement du pilier (X4,5) , lauto-similarit apparat : on retrouve le mme type dorganisation que prcdemment.

GROSSISSEMENT 15

GROSSISSEMENT 90

On constate ici clairement que les dtails de la structure rappelle la structure elle-mme, on ne peut connatre lchelle de la reprsentation uniquement partir de la photo, le motif tant chaque fois semblable.

17

EXEMPLE 2 : LES POUMONS Les ramifications sanguines pulmonaires prsentent une organisation arborescente similaire celle dcrite prcdemment :

RAMIFICATIONS SANGUINES PULMONAIRE.

En grossissant l'image sur les ramifications on observerait une organisation identique celle du rseau coronaire permettant une distribution rapide de l'oxygne dans le sang..

18

EXEMPLE 3 : ARBRE BRONCHIQUE

Les bronches sont des tubes creux qui se ramifient comme les branches d'un arbre et

qui permettent de distribuer l'air de faon homogne aux deux poumons. Cet air rentre dans l'organisme lors de l'inspiration par le nez ou la bouche, passe par le larynx puis par la trache qui descend l'intrieur du thorax. La trache se divise ensuite en deux bronches principales, une pour chaque poumon. Les bronches se divisent ensuite environ 25 fois pour amener l'air jusqu'aux alvoles pulmonaires. On peu donc parler de structure fractale.

On peut retrouver mathmatiquement lorganisation de cet arbre, elle est semblable une des drives du flocon de Von Koch :

GENERATEUR DE LA FRACTALE

La quatrime tape correspond alors la formation de sacs alvolaires composs d'alvoles servant aux changes gazeux dont le diamtre varie entre 0,06 et 0,2mm.

19

On peut aussi trouver d'autre mthode pour modliser les poumons l'aide de fractales.

ALVEOLE PULMONAIRE OBSERVE AU MICROSCOPE ELECTRONIQUE A BALAYAGE

FRACTALE GENERE SUR UN ORDINATEUR

CONCLUSION Cette organisation fractale des poumons permet de dcupler les changes gazeux en

multipliant la surface d'change dans un volume restreint. Le nombre d'alvoles dans les deux poumons est estim entre 200 et 750 millions d'alvoles, ce qui correspond une surface d'change variant entre 55 et 200m. En imaginant des poumons assimils des sphres, ayant une mme surface d'change sans organisation fractale, chaque poumon aurait un diamtre compris entre 3 et 5,6 mtres. Cet impressionnant gain de surface et d'espace est une preuve de l'intrt d'une organisation fractale adopte par la nature.

20

CONCLUSION

En guise de conclusion sur ce fascinant sujet des fractals, nous pouvons dire que cest seulement depuis la parution des travaux de Benot Mandelbrot que nous commenons bien percevoir ce quest, et quel est l'intrt de la conformation fractal. En effet ses travaux ont permis entre autres, de rationaliser des formes qui nous semblaient avant cela irrationnelles.

Si nous savons quil est relativement facile de "faire des fractals" sur du papier ou un ordinateur, il tait lgitime de se demander si ces fractals existaient dj dans la nature.

Des scientifiques stant penchs sur cette question ont rpondu oui. Nous pouvons (comme citer avant dans ce travail) parler du rseau coronarien, des villosits intestinales, ou encore des poumons, de la forme de certaines fougres et choux-fleurs.

La question qui venait ensuite tait "pourquoi ?". La rponse est : "Pour faciliter les changes", en effet Mandelbrot a prouv que les fractals avaient, pour une aire (ou un volume) limit, un primtre infini offrant donc une surface de contact immensment grande (mais tout de mme pas infinie pour les tre vivant qui eux sont "fini").

Le deuxime point expliqu par la dimension fractal est, comme dit ci avant dans notre travail, un point utilitaire.

En effet ce concept a permis dexpliquer des formes qui semblaient dautant plus inexplicables quelles ntaient rgies par aucune loi ( la diffrence des exemples prcdents dont la forme est rgie par lA.D.N.).

Les ctes maritimes, les nuages, les montagnes etc sont les exemples les plus illustratifs. Et le fait davoir "mathmatis" ces choses nous a permis dlargir encore notre connaissance de l'univers

Pour finir, nous tenons remercier encore une fois Mme Duchesne et Mme Le Mailloux pour avoir encadr nos efforts, nous remercions aussi nos parents qui nous ont soutenus pendant notre travail. Enfin, nous remercions Benot Mandelbrot pour le fantastique sujet de recherche qu'il nous a offert.

21

OUVERTURE

Aprs ce travail, nous conservons beaucoup d'interrogations, que nous n'avons pas pu traiter dans ce dossier (le plus souvent parce que les sources taient inexistantes). Il nous restait plusieurs rponse notre problmatique que nous n'avons pas pu valider. Nous les nonons quand mme ici : - Les fractales simplifient la description d'objets complexes comme cela a t voqu plus haut. Il est possible, que des formes de vie adoptant des conformations fractales aient plus de chance d'apparatre dans l'volution car la quantit de matriel gntique demand pour les dcrire est peut-tre plus faible (bien que les tre vivant ne fonctionnent pas comme des ordinateurs). - Un autre exemple que nous n'avons pas pu traiter tait le cerveau. Plus prcisment le cortex suprieur car celui ci possdent en tant que plan une dimension fractal de l'ordre de 2,75. Ce chiffre est le plus lev du rgne animal et des chercheurs pensent que dans quelques milliers d'annes nous auront peut-tre un cortex de dimension fractal trs proche de 3. Ceci peut s'expliquer car les neurones du cortex tant disposs en couche, un plan qui occuperait un volume (donc de dimension 3) aurait une surface infinie (dans notre cas, il y aurait seulement beaucoup de place pour plus de neurones sur une surface qui ne serait pas infini) En plus de cela, il reste des mystres. Comme ce coquillage Cymbolia innexa REEVE qui arbore sur sa coquille des motifs identiques en tout point avec le triangle de Sierpinski que nous avons vu plus haut.

22

SOURCES :

http://imagerie-cv.univ-lyon1.fr/WEB_CARDIO/documents/Documents_references/coronaires/anatomie/Anatom05.htm http://www.unice.fr/LEML/coursJDV/morpho/morpho6-2.htm http://www.discip.crdp.ac-caen.fr/svt/pratikp/college/grtravail/la_paroi_intestinale.htm http://barbara.petit.free.fr/fractales/corps.html Gleick, James, La thorie du chaos, Flammarion, 1989 Mandelbrot, Benot, Les objets fractales Hors srie de la recherche L'ordre et le chaos. http://science-univers.qc.ca/cosmologie/fractale.htm http://mapage.noos.fr/ulysseus/index.htm encyclopdie en ligne encarta http://encarta.msn.fr article fractales encyclopdie en ligne Webencyclo http://www.webencyclo.com article fractales encyclopdie Hachette sur http://fr.encyclopedia.yahoo.com article fractales (les) Portail thinkquest recherche Fractales http://library.thinkquest.orgAmenant au site : http://library.thinkquest.org/25810/cgi-bin/fido.cgi?whichtype=0&page=..%2Fsitemap.txt#introduction http://www.riffraffuk.demon.co.uk/ http://les fractales.multimania.com/frame.html http://fractales.free.fr/plan.html http://josephv.test.free.fr/fractal/definitions.html http://pedagogie.ac-aix-marseille.fr/etablis/lycees/craponne/fractale/index.htm

23

http://imagerie-cv.univ-lyon1.fr/WEB_CARDIO/documents/Documents_references/coronaires/anatomie/Anatom05.htmhttp://imagerie-cv.univ-lyon1.fr/WEB_CARDIO/documents/Documents_references/coronaires/anatomie/Anatom05.htmhttp://www.unice.fr/LEML/coursJDV/morpho/morpho6-2.htmhttp://www.discip.crdp.ac-caen.fr/svt/pratikp/college/grtravail/la_paroi_intestinale.htmhttp://barbara.petit.free.fr/fractales/corps.htmlhttp://science-univers.qc.ca/cosmologie/fractale.htmhttp://mapage.noos.fr/ulysseus/A quoi sert une fractale.htmhttp://encarta.msn.fr/http://www.webencyclo.com/http://fr.encyclopedia.yahoo.com/http://library.thinkquest.org/http://www.riffraffuk.demon.co.uk/http://les fractales.multimania.com/frame.htmlhttp://fractales.free.fr/plan.htmlhttp://josephv.test.free.fr/fractal/definitions.htmlhttp://pedagogie.ac-aix-marseille.fr/etablis/lycees/craponne/fractale/index.htm

INTRODUCTIONQu'est ce qu'une fractale ?Les courbes fractalesLes fractales dterministes

Proprits des fractalesAuto-similaritExemple d'auto-similaritDimension fractale

LES FRACTALES DANS LA NATURELA FRACTALITE DES COTESIntroduction:En quoi une cote est fractale?Premire consquence de cette fractalit des cotesSeconde consequence de la fractalit des cotes

Les fractales dans les vgtauxLa fougre

Le Chou-fleurConclusion

LES FRACTALES DANS LE CORPS HUMAINLintestin grle.Le rseau sanguinExemple 1 : Le rseau coronaireExemple 2: Les poumonsExemple 3: Arbre bronchiqueConclusion

CONCLUSIONOUVERTURESOURCES: