2 Equations différentielles linéaires du 1er ordre

8/14/2019 2 Equations diffrentielles linaires du 1er ordre

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Equations diffrentielles linaires du 1er

ordre

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I Les dfinitions

1.Notations et dfinitions.a,b et c sont 3 fonctions numriques de la variable relle t, dfinies sur le mme intervalle

relI.

La relation (E) : a(t)y + b(t)y = c(t) , oy est une fonction inconnue de la variable relle

t, sappelle quation diffrentielle linaire du 1er

ordre.

La relation (E0) : a(t)y + b(t)y = 0 , oy est une fonction inconnue de la variable relle t,

sappelle quation diffrentielle linaire homogne associe (E).

ou sans second membre

On crit souvent dt

dypoury et dt

dy(t) poury(t),y tant considre comme une fonction de

la variable relle t.

Rsoudre ou intgrer (E) surI, cest trouver toutes les fonctions numriquesy, dfinies et

drivables surItelles que : a(t)y(t) + b(t)y(t) = c(t), pour tout tdeI. Ces fonctionsy sont

appeles les solutions de (E) surI.

2.Exercices

On considre lquation diffrentielle (E) :dt

dx4tx= 2tox est une fonction numrique

de la variable relle t.

On crit :f(t)= -1/2. Prouver quefest une solution de (E) sur .

On considre lquation diffrentielle (E) :dt

dx0,3x=e

0,4tox est une fonction

numrique de la variable relle t.

On crit :f(t)= 10 e0,4t

. Prouver quefest une solution de (E) sur .

On considre lquation diffrentielle (E) : y4y=e4x

oy est une fonction numrique de

la variable rellex.

On crit :f(x)=xe

4x

. Prouver quefest une solution de (E) sur

.On considre lquation diffrentielle (E) : tyy=toy est une fonction numrique de la

variable relle t.

On crit :f(t)=t.ln t. Prouver quefest une solution de (E) sur +*.

On considre lquation diffrentielle (E) :xyy=x2cosx oy est une fonction numrique

de la variable rellex.

On crit :f(x)=x.sinx . Prouver quefest une solution de (E) sur .

Rsolution :

On af(t)= -1/2 etf(t)= 0 dof(t) 4tf(t) = 04t2

1 soitf(t) 4tf(t) = 2t.


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Cest la preuve quefest une solution de (E) .

On af(t)=10 e0,4 t

etf(t) = 100,4e0,4 t

= 4 e0,4t

dof(t)0,3f(t)= 4 e0,4t

3 e0,4t

soit

f(t)0,3f(t)=e0,4t

.


On af(x) =xe4x

etf(x)= 1e4x

+x (4e4x

)= (1+4x) e4x

etf(x) 4f(x)= e4x

[ (1+4x) 4x ]

dof(x) 4f(x)= e4x

.


fest dfinie et drivable sur ]0,+[ avecf(t)=1.ln t+t.(1/t)= ln t +1 pour 0


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II.Rsolution de lquation diffrentielle (E0). Version tsch

1.Gnralits

On reprend les notations du paragraphe I.1 o a et b sont 2 fonctions numriques dfinies sur

le mme intervalleIet (E0) scrit : a(t)y+b(t)y=0.

On se place dans le cas o a(t) 0 pour tout tdeIet on crit r(t)=)(

)(

ta

tb.

On suppose queR est une fonction numrique dfinie et drivable surItelle que :

R(t)=r(t) pour tout tdeI.

Exercice fondamental

La fonction u, dfinie par lgalit u(t)= e-R(t)

, est une fonction drivable surI et ne sannule

pas surI.

1) Prouver que la fonction u est solution de (E0) surI.

2) On suppose quey est une fonction drivable surI. Soit la fonction kdfinie surIpar

= autrement dit =

. est une fonction drivable sur .

a) Prouver que pour tdansI, a(t)y(t)+b(t)y(t)= k(t)a(t)u(t) pour tout tdeI.

b) Prouver quey nest solution de (E0) que si kest constante surI.

Rsolution :

1) Pour tdansI, u(t)= -R(t)e-R(t)

soit u(t)=r(t)u(t) do :

a(t)u(t) + b(t)u(t)= a(t)r(t)u(t) + b(t)u(t) o a(t)r(t) = b(t) et ainsi :

a(t)u(t) + b(t)u(t)= b(t)u(t) + b(t) u(t) soit :

a(t)u(t) + b(t)u(t)= 0 pour tout t deI

Cest la preuve que u est solution de (E0) surI.

2) a)y(t) = k(t)u(t) + k(t)u(t) alors a(t)y(t) = k(t)a(t) u(t) + k(t)a(t)u(t)b(t) y(t) = k(t)b(t)u(t)

Par addition : a(t)y(t) +b(t)y(t) = k(t)a(t) u(t) + k(t) (a(t)u(t) + b(t)u(t)) o

a(t)u(t) + b(t)u(t)= 0.

Do a(t)y(t) +b(t)y(t) = k(t)a(t) u(t) pour tdansI.

b) On remarque que : a(t) et u(t) sont non nuls pour tout tdeI et on utilise lgalit

prcdente pour dire que les proprits { ...} suivantes sont quivalentes :

{ y est solution de (E0) surI} ; {a(t)y(t)+b(t)y(t)=0 pour tout tdeI} ;

{a(t)k(t) u(t) =0 pour tout tdeI} ; { k(t)=0 pour tout tdeI} ; {k(t)=Cpour tout tde

I} ; {y(t)= C.e-R(t)

pour tout tdeI}o C est une constante relle.

Finalement : .

Thorme fondamental.

Il vient dtre prouv prcdemment et est donn par lnonc suivant :

Les solutions surIde lquation diffrentielle homogne (E0) sont toutes les fonctions

tC.e-R(t)

o C est une constante relle.

dsigne une fonction dinie et drivable sur telle que = =

pour dans on est dans le cas o 0 pour tout de I.

y est une solution de (E0) si et seulement si :y(t)=C.e-R(t)

pour tout tde I,

o C est une constante relle.


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2.Exercices concernant la rsolution des quations homognes.

a) Rsoudre lquation diffrentielle (E0) : 4x + 5x=0 ox est une fonction numrique de

la variable relle t.

b) Trouver la solution particulirefde (E0) qui vrifief(0)=1.

a) Rsoudre lquation diffrentielle (E0) : 5x 4x=0 ox est une fonction numrique de lavariable relle t.


a) Rsoudre lquation diffrentielle (E0) : 2t y +y=0 oy est une fonction numrique de

la variable relle t, o test dans ]0 ; +[.


a) Rsoudre lquation diffrentielle (E0) :y + 2xy=0 oy est une fonction numrique de

la variable rellex.


a) Rsoudre lquation diffrentielle (E0) :xy +y=0 oy est une fonction numrique de la

variable rellex, dfinie et drivable sur ]0,+[.b) Trouver la solution particulirefde (E0) qui vrifief(1)=1.

a) Rsoudre lquation diffrentielle (E0) : t x (t2)x=0 ox est une fonction numrique

de la variable relle t, dfinie et drivable sur ]0,+[.


a) Rsoudre lquation diffrentielle (E0) : t x +(2t 5)x=0 ox est une fonction

numrique de la variable relle t, dfinie et drivable sur ]0,+[.


a) Rsoudre lquation diffrentielle (E0) : (4t+5)x 4x=0 ox est une fonction

numrique de la variable relle t, dfinie et drivable sur ]-5/4,+[.b) Trouver la solution particulirefde (E0) qui vrifief(0)=1.

a) Rsoudre lquation diffrentielle (E0) : (3t+4)x 6x=0 ox est une fonction numrique

de la variable relle t, dfinie et drivable sur ]-4/3,+[.


On considre lquation diffrentielle (E0) : (x+2)y+xy=0 oy est une fonction numrique

de la variable rellex, dfinie et drivable sur ]-2 ; +[.

a) Comparer2+x

xet12.

2

1

+xpour 2


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On considre lquation diffrentielle (E) :x y (3x 4)y = 0 oy est une fonction

numrique de la variable rellex avec 0


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Sur ]3

4, +[, les solutions de (E0) sont toutes les fonctions tc(3t+4) o c est une

constante relle.

b) ftant une solution particulire de (E0) sur ]3

4, +[ on crit, avec c constante relle, pour

3

4< t,f(t)=c(3t+4) ;f(0)=c4=16c. Ainsif(0)=1 pour c=1/16 et la fonction cherchefest

dfinie par : f(t)=16

)43( +tpour -4/3< t.

Pour -2


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Cette galit permet de rsoudre (E0) en utilisant le rsultat de la question prcdente.

On a : 2/34)32ln(

2

3

4)32ln(

2

34

)( )32.(. +=== +

++

xeeeee xx

xxx

xH .

Finalement sur ]-3/2, +[, les solutions de (E0) sont toutes les fonctionsxC.2/34 )32.( + xe x

o Cest une constante relle.

c)ftant une solution particulire de (E0), on crit pour -3/2


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Exercice n 2

On considre lquation diffrentielle (E) : tdt

dx x=

t

t

75

2

+

ox est une fonction numrique

de la variable relle t,dt

dxsa fonction drive et tappartient lintervalle ]0,+[.

1) Rsoudre sur ]0, +[ lquation diffrentielle (E0) homogne associe (E).2)x tant une fonction dfinie et drivable sur ]0,+[, on crit pour 0


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f(x)= )3/23/1ln(2

3

21ln

2x

x

x

x+=

+pour 0


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x

Exercice n 5 :1) Rsoudre sur ]0,+[ lquation diffrentielle (E) : 2xy+y=0 oy est une fonction

numrique de la variable rellex,y est sa fonction drive.2) On crit pour 0


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4) Pourfsolution de (E) sur ]0,+[, on crit pour 0


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IV. Rsolution de (E) en utilisant une solution particulire.

1.Gnralits.

On garde les notations du paragraphe I.1 :

a,b et c sont 3 fonctions numriques dfinies sur le mme intervalle relI, lquation

diffrentielle (E) scrit : a(t)y + b(t)y = c(t) oy est une fonction numrique de la variablerelle t, dfinie et drivable surI.

Lquation diffrentielle (E0) : a(t)y + b(t)y =0 est lquation diffrentielle homogne

associe (E).

On suppose que s est une solution particulire de (E) surI; cela signifie que s est une fonc-

tion numrique dfinie et drivable surI, telle que : a(t)s(t) + b(t)s(t) = c(t) pour tout tde I.

On doit rsoudre (E) en cherchant les solutions parmi les fonctions y dfinies et drivables

sur I .

Exercice fondamental

y tant une fonction dfinie et drivable sur I, on crit y(t)=s(t)+u(t), autrement dit u est la

fonction dfinie par u(t)=y(t)s(t) ; u est aussi une fonction drivable surI.

a) Prouver lgalit a(t)y(t)+b(t)y(t)= c(t)+a(t)u(t)+b(t)u(t) pour tout tdeI.b) En dduire une condition portant sur u pour quey soit une solution de (E).

-----------------------------------------------------

Rsolution : a) Pour tout tdeI, a(t)y(t)+b(t)y(t)= a(t)(s(t)+u(t))+b(t)(s(t)+u(t)) soit :

a(t)y(t)+b(t)y(t)= a(t)s(t)+b(t)s(t)+ a(t)u(t)+b(t)u(t) o a(t)s(t) + b(t)s(t) = c(t) do :

a(t)y(t)+b(t)y(t)= c(t)+ a(t)u(t)+b(t)u(t) pour tout tdeI.

b) On utilise lgalit prcdente pour dire que les propositions {...} suivantes sont

quivalentes :

{y est une solution de (E) surI}; { a(t)y(t)+b(t)y(t)=c(t) pour tdansI} ;

{c(t)+a(t)u(t)+b(t)u(t)=c(t) pour tdansI} ; {a(t)u(t)+b(t)u(t)=0 pour tdansI};

{ u est solution de (E0) surI}.

On vient de dmontrer lquivalence suivante :

y est solution de (E) surIsi et seulement si : y(t)=s(t)+u(t) pour tdansI

o u est solution de(E0) surI.

Rsultat de lexercice prcdentLes solutions de (E) surIsont toutes les fonctions ts(t)+u(t) o u est une solution surIde

(E0), lquation homogne associe (E).

On retiendra aussi lnonc suivant :

A la solution particulire s de (E), on ajoute toutes les solutions de lquation diffrentielle

(E0), homogne, associe (E) pour avoir toutes les solutions de (E).


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2.Exercices:

On considre lquation diffrentielle (E) :y + (0,4x)y = 0,4x oy est une fonction numrique de

la variable rellex, dfinie et drivable sur [0, +[,y sa fonction drive.

1 Dterminer les solutions de lquation diffrentielle (E0) : y + (0,4x)y = 0.

2 Montrer que la fonction constante h, dfinie sur [0, +[ par h(x)=1, est une solution particulire de

lquation diffrentielle (E).

3 En dduire lensemble des solutions de lquation diffrentielle (E).

4 Trouver la solution particulire Fde(E) sur [0, +[ qui vrifie la condition initiale F(0)=0.

On se donne lquation diffrentielle (E) : t

dt

dx2x= -tox est une fonction numrique de la

variable relle tavec 0< t.

1) Rsoudre sur ]0,+[, lquation diffrentielle (E0) : tdt

dx2x=0

2) On pose (t)=tpour 0


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Les corrigs des exercicesdu paragraphe IV.2

1 On crit pour 0x, r(x)= )2(2,01

4,0x

x= etR(x)=0,2x2 :R(x)=r(x).

Sur [0, +[ les solutions de (E0) sont toutes les fonctionsx

C

22,0 x

e

o Cest une constanterelle.

2 Pour 0x, h(x)=1 et h(x)=0 alors h(x)+0,4xh(x)= 0+0,4x1 soit : h(x)+0,4xh(x)= 0,4x.Cest la preuve que h est une solution particulire de (E) sur [0, +[.

3 (E0) est lquation homogne associe lquation diffrentielle linaire (E). A la solutionparticulire h de (E), on ajoute toutes les solutions de (E0) pour obtenir toutes les solutions de

(E). Il sagit de toutes les fonctions, dfinies sur [0, +[,x 1+ C22,0 xe o Cest une

constante relle.

4 Pour Fsolution particulire de (E) sur [0, +[, on crit pour 0x, F(x)= 1+ C22,0 x

e o C

est une constante relle. Alors F(0)=1+Ce0 = 1+C. F(0)=0 pour C= -1.

Finalement pour 0x, F(x)= 122,0 x

e .

1)On crit pour tout rel t, r(t)=tt

12

2=

etR(t)=-2 ln t:R(t)=r(t) et

e-R(t) = e2 ln t= t2.

Sur ]0, +[, les solutions de (E0) sont toutes les fonctions t C.t2 o Cest une constante

relle.

2) On a pour 0


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La fonction cherchefest dfinie parf(x)= 1+ 4 e xx3 pour 0


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tC.e-2to Cest une constante relle.

3) A la solution particulire de (E), trouve la question 1), on ajoute toutes les solutionsde (E), lquation homogne associe (E), pour avoir toutes les solutions de (E) ; il sagit de

toutes les fonctions t 42sin4 2costt+ +C.e-2to Cest une constante relle.

4)ftant une solution particulire de (E), on crit :f(t)=42sin

42cos tt+

+C.e-2to Cest une

constante relle. cos 0 = 1 = e0 et sin 0 = 0 donnentf(0) = -1/4 + C1= -1/4 + C.f(0)= 0 pourC= 1/4. De cette manire la fonction cherchefest dfinie par :

f(t)=42sin

42cos tt+

+

4

2te


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7 ComplmentOn considre lquationdiffrentielle E 2 + 3 = 5 o est une fonction numrique de

la variable relle ,dinie et drivable sur [0 ; +[ , est la fonction drive de .

1) Chercher une fonction affine qui soit solution de (E) sur [0 ; +[.2) Rsoudre (E) sur [0 ; +[.3) Trouver la solution particulirex0 qui vrifiex0(0) =1 .

_________________________________________________1 Pour fonction afine sur [0 ; +[, on crit, avec et rels constants , pour 0 , = + , = et 2 + 3 = 2 + 3 + = 3 + 2 + 3 .fest solution de (E) sur [0 ; +[ lorsque a et b sont solutions des systmes dgalits quivalentssuivants :

3 = 52 + 3 = 0 ; = 5

3103 + 3 = 0 ; = 5

33 = 103 ; = 5

3 = 109 Pour la suite on crit pour 0 , = 53 103 ; est une solution lquation E sur o = [0 ; +[ .2) On rsout lquation homogne (E0), associe (E) ; elle scrit 032 =+ x

dt

dx. On crit

pour 0, = 32 et = 32 = . Les solutions de E sur [0 ; +[ sonttoutes les fonctions o est une constante relle. la solution particulirefde (E), on ajoute toutes les solutions de (E0) pour obtenir toutes les

solutions de (E). Ainsi sur [0 ; +[, toutes les solutions de (E) sont toutes les fonctions 53 103 + o est une constante relle.

3 Pour solution de E, on crit avec rel constant, pour 0 , = 53 103 +

do 0 = 103 + = 103 + .0 = 103 + = 1 = 1 + 103 = 33 + 103 = 133 .On crit inalement pour 0 , = 53 103 + 133 pour avoir 0 = 1 .

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