001-Analyse-Intégrale de reiman Intégrale généralisée Equations différentielles Les...

7/29/2019 001-Analyse-Intgrale de reiman Intgrale gnralise Equations diffrentielles Les erxercices

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C h a p i t r e 1

I n t g r a l e s u r [a, b]

D n i t i o n : S o i t I = [a, b]

u n i n t r v a l e d e R

a v e c a e t b d e u x l m e n t s

d eR

( a < b ) , o n a p p e l l e s u b d i v i s i o n d e [a; b]

t o u t e f a m i l l e n i e :

x0 = a < x1 < ...... < xk < ..... < xn = b

D a n s c e c a s o n n o t e n = max{(xi+1xi)/i = 1;2; .....; n1} e t o n l ' a p p e l l e

l e p a s d e l a s u b d i v i s i o n .

E x e m p l e :

1 . P r e n o n s l e c a s d e I = [0, 1].

x0 = 0 < x1 =12 < x2 = 1 e s t u n e s u b d i v i s i o n d e I e t i l e s t c l a i r e

q u e s o n p a s e s t g a l e a = 12

x0 = 0 < x1 =

13 < x2 =

12 < x3 =

34 < x4 = 1 e s t u n e a u t r e

s u b d i v i s i o n d u m m e i n t r v a l e I m a i s c e t t e f o i s l e p a s e s t g a l e a

= 13

x0 = 0 < x1 =1n

< x2 =2n

< x3 =3n

< x4 =4n

< ..... < xn =nn

= 1

e s t u n e s u d i v i s i o n d e I a v e c l e p a s = 1

n

2 . D a n s l e c a s o u I = [a, b], o n p e u t c o n s i d r e r l a s u b d i v i s i o n u n i f o r m e

s u i v a n t e :

x0 = a < x1 = a + .ban

< x2 = a + 2.ban

< x3 = a + 3.ban

...... < xk =

a + k. ban

< .... < xn = b c ' e s t u n e s u b d i v i s i o n u n i f o r m e d e I d o n t l e

p a sn =

1n

1


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2 C H A P I T R E 1 . I N T G R A L E S U R [A, B]

F o n c t i o n e n e s c a l i e r :

D n i t i o n :

O n a p p e l l e f o n c t i o n e n e s c a l i e r s u r I = [a, b]

t o u t e f o n c t i o n : [a, b] R

t e l l e q u e i l x i s t e u n e s u b d i v i s i o n x0 = a < x1 < ...... < xn = b d e [a, b] a v e c :

/]xi1, xi[= i = constante

p o u r t o u t i = 1; 2; ...; n

.

D n i t i o n :

S o i t : [a, b]

R

u n e f o n c t i o n e n e s c a l i e r s u r [a, b]

, a l o r s o n d n i e

l ' i n t g r a l e d e

s u r[a, b]

p a r :

ba

(x)dx =n

i=1

i(xi xi1)

D n i t i o n :

S o i t

f : [a, b] Ru n e f o n c t i o n ,

x0 = a < x1 < ...... < xn = b u n e

s u b d i v i s i o n d e [a, b]

d o n n e ; a v e c l e p a s n .

D a n s c h a q u e i n t r v a l e [xp1, xp] O n c h o i s i t u n l m e n t p .

O n a p p e l l e s o m m e d e R i e m a n n d e f

r e l a t i v e m e n t a l a s u b d i v i s i o n (xi)0

i

n1

, a u p a s n , e t a u l m e n t s (p)p l a q u a n t i t :

Sn =n

p=1

(xp xp1).f(p)

O n d i t q u e f

e s t i n t g r a b l e a u s e n s d e R i e m a n n s u r [a, b]

s i : q u a n d n 0 ( l e

p a s t e n d v e r s z r o ) l a s u i t e Sn t e n d v e r s u n e l i m i t e n i e n o t e :

ba

f(x)dx

P r o p r i t s :

S o i t f : [a, b] R e t g : [a, b] R d e u x f o n c t i o n s i n t g r a b l e s a u s e n s d e

R i e m a n n s u r

[a, b]e t

R a l o r s o n a l e s p r o p r i t s s u i v a n t e s :

1 .

ba

(f + g)(x)dx =

ba

f(x)dx +

ba

g(x)dx.

2 . S i f 0

ba

f(x)dx 0


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3

3 . S i f

g

b

a

f(x)dx

b

a

g(x)dx

4 . |b

af(x)dx|

ba| f(x) | dx

5 . R e l a t i o n d e C h a s l e : p o r t o u t

a < c < bo n a :

ba

f(x)dx =

ca

f(x)dx +

bc

f(x)dx

6 .

ab

f(x)dx = b

af(x)dx

7 . aaf(x)dx = 0

, p o u r t o u t

a R

T h o r m e :

T o u t e f o n c t i o n c o n t i n u e s u r u n i n t r v a l e [a; b]

e s t i n t g r a b l e a u s e n s d e

R i e m a n n .

S o m m e d e R i e m a n n p o u r l e s f o n c t i o n s c o n t i n u e s :

S o i t f : [a, b] R

u n e f o n c t i o n c o n t i n u e ; a l o r s l e s d e u x s u i t e s s u i v a n t e s :

un =1

n

n1k=0

f(a + k.(b a)

n),et,vn =

1

n

nk=1

f(a + k.(b a)

n)

s o n t c o n v r g e n t e s v e r s l a m m e l i m i t e ; e t o n a :

limn+un = limn+ vn =

1

b ab

af(t)dt

E x e m p l e s :

1 . C a l c u l e r l a l i m i t e d e l a s u i t e s u i v a n t e .

un =

1 +

2 + ...... +

n

n.

n

I l e s t c l a i r e q u ' o n a p a s a f a i r e a u n e s u i t e o r d i n a i r e :

E n e e t un =

1n

(

1n

+

2n

+ ..... +

nn

)e s t u n e s u i t e d e R i e m a n n e t

o n a :

limn+un =

1

1 01

0

xdx =

2

3


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2 . C a l c u l e r l a l i m i t e d e l a s u i t e s u i v a n t e :

vn =1

n

np=0

pn2 +p2

D e l a m m e m a n i r e q u e p r c e d e m e n t c e t t e s u i t e e s t u n e s o m m e d e

R i e m a n n c a r

vn =1

n

np=0

pn

1 + ( pn

)2

p o u r l a f o n c t i o n f(x) = x

1+x2e t

a +p ban

= pn e t d o n c

a = 0e t

b = 1

e t d o n c o n a lim

n+vn =

1

101

0

f(x)dx = [

1 + x2]10 =

2

1

P r i m i t i v e :

S o i t f

u n e f o n c t i o n d n i e s u r u n i n t r v a l e I

, u n e f o n c t i o n F

e s t d i t e u n e

p r i m i t i v e d e f

s u rI

s i e t s e u l e m e n t s i :

1 )F

e s t d r i v a b l e s u r I

.

2 ) x I, F(x) = f(x).N o t a t i o n :

D a n s c e c a s o n n o t e

F(x) =

f(x)dx

R e m a r q u e :

S iG

e s t u n e a u t r e p r i m i t i v e d e f

s u rI

a l o r s FG = const.

P r o p o s i t i o n :

S o i t f

u n e f o n c t i o n c o n t i n u e s u r [a, b]

e tF

u n e p r i m i t i v e d e f

s u r[a, b]

a l o r s ba

f(x)dx = F(b) F(a)


S o i t f

u n e f o n c t i o n d n i e e t c o n t i n u e s u r [a, b]

, a l o r s l a f o n c t i o n

xa

f(t)dt

e s t u n e p r i m i t i v e d e f

s u r[a, b]

.

P r i m i t i v e s u s u e l l e s :

1 .

xdx = 1

+1x+1

s i = 1.

2 .

1x

dx = Ln(|x|) + c


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5

3 . cos(x)dx = sin(x) + c.4 .

sin(x)dx = cos(x) + c

5 .

dx

1+x2= Arctg(x) + C

6 .

dx1+x2

= Arcsin(x) + C

7 .

dx

1+x2= Arccos(x) + C

E x e m p l e :

C a l c u l e r I =

1

1x|x|dx

O n aI =

01

x2dx +10 x

2dx = 13 [13x3]01 + 13 [13x3]10 = 13 + 13 = 0.

T h o r m e d e l a m o y e n n e :

S o i t f : [a, b] R

e tg : [a, b] R

d e u x f o n c t i o n s c o n t i n u e , a v e c f(x) > 0

s u r[a, b]

; a l o r s i l e x i s t e c [a, b]

t e l q u e :

ba

f(t)g(t)dt = g(c)

ba

f(t)dt

D m o n s t r a t i o n :

p u i s q u e g

e s t c o n t i n u e s u r [a, b]

a l o r s i l e x i s t e m

e tM

d a n s R

t e l q u e

g([a, b]) = [m, M]a v e c

m = min{g(x)/x [a, b]}e t

M = max{g(x)/x [a, b]}.D o n c p o u r p o u r t o u t

x [a, b] o n a m g(x) M e t p a r s u i t e o n a :m

ba

f(t)dt b

af(t)g(t)dt M

ba

f(t)dt.

E t p a r c o n s q u e n c e

ba

f(t)g(t)dt

b

a

f(t)dt

[m, M], c e q u i i m p l i q u e l ' x i s t e n c e d ' u n

c d a n s [a, b] t e l q u e :

g(c) =

ba

f(t)g(t)dtba

f(t)dt


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I n t g r a t i o n p a r p a r t i e :


S o i e n t u

e tv

d e u x f o n c t i o n s d e c l a s s e C s u r [a, b] , a l o r s o n a :ba

u(t)v(t)dt = [u(t)v(t)]ba b

au(t)v(t)dt


O n p o s e :F(x) =

xa

u(t)v(t)dte t

G(x) = u(x)v(x)u(a)v(a)x

au(t)v(t)dt

.

A l o r s o n a :F(a) = 0

e tG(a) = 0

D e p l u s G(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x) u(x)v(x) = u(x)v(x)

e tF(x) = u

(x)v(x)

.

D o n c F = G + constante

e t p u i s q u e G(a) = F(a) = 0

a l o r s l a c o n s t a n t e e s t

n u l l e .

D o n c F(x) = G(x)

p o u r t o u t x [a, b] e n p a r t i c u l i e r p o u r b .

R e m a r q u e :

L a d m o n s t r a t i o n q u ' o n v i e n t d e f a i r e e s t v a l a b l e a u s s i p o u r l e s p r i m i t i v e s

e t o n a l a p r o p o s i t i o n s u i v a n t e :


S o i e n t u

e tv

d e u x f o n c t i o n s d e c l a s s e

C1

s u r[a, b]

, a l o r s o n a :u(t)v(t)dt = u(t)v(t)

u(t)v(t)dt

E x e m p l e :

C a l c u l e r l e s i n t g r a l e s e t p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :

1 .I =

ln(t)dt

.

2 .J =

21

t ln(t)dt.

3 . K = 10

arctan(t)dt .

P o u r 1)

o n p o s e u(t) = 1

e tv(t) = ln(t)

e t d o n c ln(t)dt = t ln(t)

t.

1

tdt = t ln(t) t + c


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7

. P o u r 2)

o n a :

J =

21

t ln(t)dt = [1

2t2 ln(t)]21

21

1

2t2.

1

tdt = 2Ln(2) 3

4

P o u r 3

O n a :10

arctan(t)dt = [x.arctg(x)]1010

x

1 + x2dx =

41

2[Ln(1+x2]10 =

41

2Ln(2)

C h a n g e m e n t d e v a r i a b l e :


S o i t

: [, ] [a, b]u n e f o n c t i o n d e c l a s s e

C1e t

f : [a, b] Ru n e f o n c t i o n

c o n t i n u e , a l o r s o n a :

()()

f(u)du =

f((t)).(t)dt


O n p o s e F(x) =

(x)()

f(u)du =e t

G(x) =

x

f((t)).(t)dt.

O n a a l o r s F() = 0

e tG() = 0

D e p l u s o n a :G(x) = f((x)).(x)

e tF(x) = f((x)).(x)

e t d o n c F = G

R e m a r q u e :

S i

e s t b i j e c t i v e a l o r s :

ba

f(u)du =

1(b)1(a)

f((t))(t)dt

E x e m p l e :

1 . C a l c u l e r I =

10

1 t2dt

.

2 . C a l c u l e r J =

sin(x)

1+cos2(x)dx

.

P o u r l a p r e m i r e o n p o s e l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e

t = sin(x)d o n c

dt =cos(x)dx

.

D o n c I =

2

0cos2(x)dx

e t p u i s q u e cos2(x) = 1+cos(2x)2 , a l o r s o n a :

I =

2

0(

1

2+

cos(2x)

2)dx =

1

2([x]

20 ) +

1

4[sin(2x)]

20 =

4


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P o u r l a d e u x i m e i n t g r a l e o n f a i t l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e s u i v a n t :

u = cos(x) du = sin(x)dx e t d o n c o n a :J =

du1+u2

= arctan(u) + c = arctan(cos(x)) + c.

T c h n i q u e s d e c a l c u l e s :

P o u r c a l c u l e r u n e i n t g r a l e o n a t o u j o u r s l e p r o b l m e d e s a v o i r q u e l m t h o d e

u t i l i s e , e s t c e q u e u n c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e ( i l y ' e n b e a u c o u p s ) o u u n e

i n t g r a t i o n p a r p a r t i e o u d ' a u t r e s ; d a n s l a s u i t e o n v a d o n n e r u n e s r i e d e

m t h o d e s c o n c r n a n t c e r t a i n e s c l a s s e d e f o n c t i o n s :

1 . I n t g r a l e d ' u n e f r a c t i o n r a t i o n n e l l e :

PQ .

O n p r o c d e p a r t a p e s ;

- 1 e r E t a p e :

S ideg(P) deg(Q) ; o n f a i t d ' a b o r d u n e d i v i s i o n E u c l i d i n n e e t d o n c

o n a :P = E.Q + R

D o n c o n a :

P(x)Q(x) = E(x) +

R(x)Q(x) ; a v e c ; deg(R) < deg(Q)

- 2 e m e E t a p e :

O n f a i t l a d c o m p o s i t i o n e n l m e n t s s i m p l e s d a n s R[x]

d e

R(x)Q(x) .

E x e m p l e 1 :

C a l c u l e r I =

x1

x3+4x

D a n s c e t e x e m p l e o n p a s s e d i r c t e m e n t a l a d e u x i m e t a p e :

f(x) =x 1

x3 + 4x=

x 1x(x2 + 4)

=a

x+

bx + c

x2 + 4

C a l c u l e d e a,b,

e tc

:

xf(x) = x1x2+4 = a +

x(bx+c)x2+4 e t o n d o n n e a x l a v a l e u r 0 d o n c a =

14 .

limx0

xf(x) = 0 = a + be t d o n c

b = 14 .

E t p u i s f(1) = 0 = a + b+c5 c = 1 .

d o n c

I = 1

4x

dx+x + 4

4(x2

+ 4)

=1

4

ln(

|x

|)+

1

82x

x2

+ 4

dx+1

4dx

(

x

2 )2

+ 1e t d o n c

I = 14 ln(|x|) + 18 ln(x2 + 4) + 12 arctan(x2 ) + cE x e m p l e 2 :

C a l c u l e r J =

dx

x3x2

O n p o s e g(x) = 1

x3x2 =1

x2(x1) =ax

+ bx2

+ cx1


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9

E t o n c a l c u l a,b,c

x2g(x)/x = 0 b = 1(x 1)g(x)/x = 1 c = 1

limx+xg(x) = 0 = a + c a = 1D o n c

J =

(1x 1

x2+

1

x 1 )dx = ln(|x|) +1

x+ ln(|x 1|) + c

E x e m p l e 3 :

C a l c u l e r K =

x4+x2+4

x3+5x2+8x+4dx

O n f a i t d ' a b o r d u n e d i v i s i o n E u c l i d i e n n e e t o n t r o u v e :

x4 + x2 + 4

x3 + 5x2 + 8x + 4= x 5 + 18x

2 + 36x + 24

x3 + 5x2 + 8x + 4

e tx3 + 5x2 + 8x + 4 = (x + 1)(x + 2)2

E t o n v a d c o m p o s e r e n l m e n t s s i m p l e s l a f r a c t i o n r a t i o n n e l l e :

18x2 + 36x + 24

x3 + 5x2 + 8x + 4=

a

x + 1+

b

x + 2+

c

(x + 2)2

E t a p r s c a l c u l e s o n t r o u v e :

x4 + x2 + 4

x3 + 5x2 + 8x + 4= x 5 + 6

x + 1+

12

x + 2+

24(x + 2)2

E t e n n :

K =1

2.(x 5)2 + 6 ln(|x + 1|) + 12 ln(|x + 2|) + 24

x + 2+ c

E x e m p l e 4 :

C a l c u l e r T =

dx

x3+1

T o u t d ' a b o r d o n r e m a r q u e q u e x3 + 1 = (x + 1)(x2 x + 1)

D o n c o n d c o m p o s e e n l m e n t s s i m p l e s l a f o n c t i o n

f(x) =1

x3 + 1=

a

x + 1+

bx + c

x2 x + 1

E t a p r s u n p e t i t c a l c u l e o n t r o u v e :


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1 0 C H A P I T R E 1 . I N T G R A L E S U R [A, B]

f(x) = 1x3+1

=13

x+1 +13

x+ 23x2

x+1

E t

13

x+ 23x2x+1 =

16

2x1x2x+1 +

12

x2x+1E t d e m e m e

12

x2 x + 1 =12

(x 12)2 + 34=

2

3.

1

( 23

x 13

)2 + 1

D o n c T = 13

(|x + 1) 16 ln(|x2 x + 1|) + 23

1

( 23x 1

3)2+1

dx

e t o n p o s a n t l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e u = 2

3.x 1

3

O n t r o u v e :

T =1

3ln(|x + 1) 1

6ln(|x2 x + 1|) + 3

3. arctan(

23

x 13

) + c

2 . I n t g r a l e d ' u n p o l y n m e e n Sin(x)

e tCos(x)

.

O n s e r a m n e a u c a s :

Ip,q =

cosp(x)sinq(x)dx

a v e c p

, e tq

d e u x l m e n t s d e N

e t I l y a 3

c a s a e n v i s a g :

S ip = 2k + 1

i m p a i r e :

Ip,q =

(cos2(x))ksinq(x)cos(x)dx =

(1sin2(x))ksinq(x)cos(x)dxD a n s c e c a s o n p o s e l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e

u = sin(x)e t d o n c .

Ip,q =

(1 u2)kuqdu

E x e m p l e :

C a l c u l e r I =

cos(x)sin2(x)dx

o n p o s e u = sin(x)

d o n c du = cos(x)dx

e t p a r s u i t e

I =

u2du = 13u

3 + c = 13sin3(x) + c

S i

q = 2k + 1i m p a i r e :

Ip,q =

(sin2(x))kcosp(x)sin(x)dx =

(1cos2(x))kcosq(x)sin(x)dx

D a n s c e c a s o n p o s e l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e u = cos(x)

e t d o n c .

Ip,q =

(1 u2)kuqdu


11/63

1 1

E x e m p l e :

C a l c u l e r J = cos4(x)sin3(x)dxI l e s t c l a i r e i c i q u ' o n v a p o s e r

u = sin(x)d o n c

du = cos(x)dx, e t d o n c

J =

u4(1 u2)du = 15u5 17u7 + c

D o n c

J =1

5sin5(x) 1

7sin7(x) + c

S ip

e tq

t o u t l e s d e u x p a i r e :

A l o r s d a n s c e c a s o n e s t o b l i g e r d e f a i r e u n e l i n a r i s a t i o n .

E x e m p l e :

C a l c u l e r :

I = cos2(x)sin2(x)dxD a n s c e c a s o n a :

cos(x).sin(x) = 12sin(2x) d o n c cos2(x)sin2(x) =

14sin

2(2x) = 18(1 cos(4x))E t d o n c

I = 18x 132sin(4x) + c

3 . P r i m i t i v e d e l a f o r m e :

F(x, n

ax+bcx+d)dx , a v e c ad bc = 0.

O n p o s e l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e :

y = nax + b

cx + d yn =

ax + b

cx + d x =

dyn b

a cyn

E x e m p l e :

C a l c u l e r I =

n

1+x1x .

dx2x1 .

A l o r s o n p o s e l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e :

y = n

1 + x

1 x x =y2 1y2 + 1

dx = 4ydy(1 + y2)2

C e q u i d o n n e :

I = 4y2dy(y2 3)(y2 + 1)E t e n d c o m p o s a n t e n l m e n t s s i m p l e s l a f r a c t i o n r a t i o n n e l l e :

4u

(u 3)(u + 1) =3

u 1 +1

u + 1 4y

2dy

(y2 3)(y2 + 1) =3

y2 1 +1

y2 + 1


12/63


D o n c I = 3y23dy +

dyy2+1 e t l e r s t e e s t v i d e n t .

4 . I n t g r a l e d e l a f o r m e

F(cos(x),sin(x))dx

: .

P o u r l e c a l c u l e d e c e g e n r e d e p r i m i t i v e s o u i n t g r a l e s i l y a p l u s i e u r e s

c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e p o s s i b l e s l e p l u s i m p o r t a n t e s t p e u t t r e :

t = tg(x

2) dx = 2

1 + t2dt; .sin(x) =

2t

1 + t2; .cos(x) =

1 t21 + t2

E x e m p l e :

C a l c u l e r I =

12+cos(x)dx

D ' a p r e s l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e p r c d e n t o n a :

I =

2dt3+t2

.

F o r m u l e d e W A L L I S :

I l s ' a g i t d e l a f o r m u l e s u i v a n t e :

Jn =

2

0sinn(x)dx

O n v o i s f a c i l e m e n t q u e J0 =

2 e t J1 = 1

S o i t n u n e n t i e r s t r i c t e m e n t s u p r i e u r 1 .

O n i n t g r e p a r p a r t i e e t o n a :

Jn =

2

0sinn1(x)sin(x)dx = [cos(x)sinn1(x)]

20 +(n1)

2

0cos2(x)sinn2(x)dx

D o n c

Jn = (n1)

2

0(1sin2(x))sinn2(x)dx = (n1)

2

0sinn2(x)dx(n1)

2

0sinn(x)dx

E t e n n o n a :

nJn = (n

1)Jn

2 A l o r s e n u t i l i s a n t c e t t e f o r m u l e o n t r o u v e

f a c i l e m e n t :

J2n =2n 1

2n

2n 32n 2

2n 52n 4 .............

3

4

1

2

2

e t

J2n+1 =2n

2n + 1

2n 22n 1

2n 52n 4 ..............

4

5

2

3.1


13/63

1 3

F o n c t i o n d n i e p a r u n e i n t g r a l e :


S o i t f : I R u n e f o n c t i o n c o n t i n u e , a v e c I u n i n t r v a l e d e R ; e t u ; v

d e u x f o n c t i o n s d n i e s d e J I d e s a p p l i c a t i o n s d e c l a s s e C1 .

O n p o s e a l o r s :

G(x) =

v(x)u(x)

f(t)dt

A l o r s G

e s t u n e f o n c t i o n d r i v a b l e s u r I

e t o n a :

G(x) = f(v(x))v(x) f(u(x))u(x)


E n e e t s o i t F

u n e p r i m i t i v e q u e l c o n q u e d e f

s u rI

, a l o r s o n a :

G(x) = [F(t)]v(x)u(x) = F(v(x)) F(u(x))

E t d o n c

G(x) = F(v(x)).v(x) F(u(x)).u(x) = f(v(x)).v(x) f(u(x)).u(x)

E x e m p l e :

E t u d i e r l e s f o n c t i o n s s u i v a n t e s :

1 .G(x) = 2xx dt1+t2 e t

2 .

I(x) =sin2(x)0 arcsin(

t)dt +

cos2(x)0 arccos(

t)dt

1 ] L a f o n c t i o n f(t) = 1

1+t2e s t d n i e c o n t i n u e s u r

R; d o n c i n t g r a b l e

s u r t o u t i n t r v a l e f e r l d u t y p e [a, b]

, e n p a r t i c u l i e r s u r [x, x2]

p o u r t o u t x

d a n s R

.

C e q u i e n t r a i n e q u e l e d o m a i n e d e d n i t i o n d e G

e s tDG = R.

D ' a u t r e p a r t l e s f o n c t i o n s u(x) = x

e tv(x) = 2x

s o n t d e c l a s s e C1

e t d o n c

Ge s t d r i v a b l e s u r

Re t o n a :

G(x) = f(v(x)).v(x) f(u(x)).u(x) = 21 + 4x2

11 + x2

C e q u i d o n n e :

G(x) =3

1 + x2.

1 + 4x2(2

1 + x2 +

1 + 4x2)


14/63


2 ] L e s f o n c t i o n s arcsin(

t)

e tarccos(

t)

s o n t c o n t i n u e s s u r [0, 1]

; d o n c s o n t

i n t g r a b l e s s u r [0,sin2(x)] e t s u r [0,cos2(x)] r e s p e c t i v e m e n t p o u r t o u t x d a n s

R, d o n c l e d o m a i n e d e d n i t i o n d e l a f o n c t i o n

Ie s tR

.

D e p l u s i l e s t f a c i l e d e v r i e r q u e I

e s t p a i r e e t p r i o d i q u e d e p r i o d e T = .

E n e e t I(x) = I(x)

c a rsin2(x) = sin2(x)

e tcos2(x) = cos2(x)

.

E t :

sin2(x + ) = (sin(x))2 = sin2(x)cos2(x + ) = (cos(x))2 = cos2(x)

D o n c o n r d u i t l e d o m a i n e d ' t u d e l ' i n t r v a l e [0, 2 ].

S o i t

Fu n e p r i m i t i v e d e

arcsin(t) e t G u n e p r i m i t i v e d e arccos(t).A l o r s :

I(x) = F(sin2(x)) F(0) + G(cos2(x)) G(0).

D o n c :

I(x) = F(sin2(x)).2cos(x).sin(x) G(cos2(x)).2cos(x).sin(x)d o n c

I(x) = sin(2x)[arcsin(|sin(x)|) arccos(|cos(x)|)]E t p u i s q u e

x [0, 2 ] , d o n c sin(x) e t cos(x) s o n t p o s i t i f s a l o r s :

I(x) = sin(2x)[arcsin(sin(x)) arccos(cos(x))] = sin(2x)(x x) = 0D o n c

Ie s t c o n s t a n t e s u r

[0; 2 ], e t c e t t e c o n s t a n t e e s t g a l e :

I(x) = I(

4) =

12

0arcsin(

t)dt +

12

0arccos(

t)dt

d o n c

I(x) =

12

0(arcsin(

t)dt + arccos(

t))dt

o r p o u r t o u t x

[0, 1]

o n a :arcsin(x) + arccos(x) = 2 e t d o n c :

I(x) =

4


15/63

C h a p i t r e 2

I n t g r a l e g n r a l i s e

D n i t i o n 1

:

S o i t I = [a, b[

a v e c ( b R

o ub = +

) ,f : I R

, u n e f o n c t i o n l o c a l e m e n t

i n t g r a b l e s u r I c . a . d i n t g r a b l e s u r t o u t i n t r v a l e [a, x] I.

P o u r a < x < b

o n p o s e (x) =

xa

f(t)dt; s i

limxb

(x) = le x i s t e (

R); o n

d i t q u e

ba

f(t)dtc o n v e r g e , e t o n c r i t t o u t s i m p l e m e n t

ba

f(t)dt = l

D a n s l e c a s c o n t r a i r e o n d i t q u e b

a

f(t)dte s t d i v r g e n t e .

E x e m p l e s

I =

10

dx1x2 c o n v e r g e .

O n e e t

0

dx1x2 = [arcsin(x)]

0 = arcsin()

E t p u i s q u e lim1

arcsin() = 2 a l o r s I c o n v e r g e e t o n a I =2

J =

21

dt(t2)2 d i v e r g e .

S i

1 < x < 2a l o r s

(x) = x

1

1(t2)2 dt = [

1t2 ]

x1 =

1x2 1

E t d o n c s i x 2 a l o r s (x) +

K =

10

dtt d i v e r g e .

O n e e t K = lim

0[ln(t)]1 = +

L =

10

dtt2

d i v e r g e .

1 5


16/63

1 6 C H A P I T R E 2 . I N T G R A L E G N R A L I S E

E n e e t

L = lim0[1t ]1 = lim0(1 + 1 ) = +

T h o r m e

1:

O n p o s e I() =

10

dtt A l o r s o n a l e s d e u x s i t u a t i o n s s u i v a n t e s :

1 . S i < 1 I() c o n v e r g e .

2 . S i 1 I()

d i v e r g e .


S i = 1

c ' e s t l ' e x e m p l e 3

l ' i n t g r a l e e s t d i v e r g e n t e .

S i= 1

d e u x s i t u a t i o n s s e p r s e n t e n t :

I() =

10

dt

t= lim

X0[

t1

1 ]1X = lim

X0(

1

1 X1

1 )

E t d o n c :

I() = 1

1 si 1>0+ si 10

C o n s q u e n c e 1

:

S o i t a

u n r e l s t r i c t e m e n t p o s i t i f ; a l o r s o n a :

a

0

1

tdt converge

< 1


m m e t c h n i q u e s q u e l e t h o r m e p r c d e n t .

C o n s q u e n c e 2

:

S o i e n t a

e tb

d e u x r e l s a l o r s o n a :ba

dt(bt) , c o n v r g e , s i e t s e u l e m e n t s i < 1


S o i t a < x < b

e t(x) =

x

a

dt(b

t) o n p o s e a l o r s u = b t e t d o n c du = dt

c e q u i d o n n e :

(x) = bx

badu

(u)=

babx

du

u

E t o n f a i s a n t t e n d r e x

v e r s b

o n a :

I =

ba0

duu e s t c o n v r g e n t e s i e t s e u l e m e n t s i

< 1d ' a p r e s l a c o n s q u e n c e


17/63

1 7

1.

T h o r m e 2

:

S o i t R o n p o s e I() =

+1

dtt

a l o r s o n a : I()

c o n v e r g e s i e t s e u l e m e n t

s i > 1


S i = 1

a l o r s o n a :

I(1) = limX+

X1

dt

t= lim

X+[ln(t)]X1 = lim

X+(ln(X)) = +

S i= 1

A l o r s o n a :

I() = limX+

X1

dt

t= lim

X+[

1

1 t1]X1 = lim

X+(

1

1 X1 1

1 )

E t d o n c I() = +

s i1 > 0

e tI() = 11 s i 1 < 0.

E x e m p l e s

+1

dt3

te s t d i v r g e n t e c a r

13 < 1(

3

t = t13 )

+

1

dt

t

3

te s t c o n v e r g e n t e c a r

43 > 1

T h o r m e

3:

S o i e n t f

e tg

d e u x f o n c t i o n s p o s i t i v e s s u r I = [a, b[

l o c a l e m e n t s i n t g r a b l e s

s u rI

e t t e l l e s q u e :

x I : f(x) g(x)A l o r s o n a l e s a r m a t i o n s s u i v a n t e s :

1 . S i

ba

g(x)dxc o n v e r g e

b

af(x)dx

c o n v e r g e .

2 . S i

b

af(x)dx

d i v e r g e

b

ag(x)dx

d i v e r g e .

E x e m p l e s

1 . E t u d i e r l a n a t u r e d e l ' i n t g r a l e g n r a l i s e :I =

+1

dxx+x2 .

O n r e m a r q u e f a c i l e m e n t q u e 0 1

x+x2 1

x2p o u r t o u t

x > 0.

E t p u i s q u e

+1

dxx2

c o n v r g e c a r 2 > 1

i l e n r s u l t e q u e I

c o n v e r g e .


18/63


2 . E t u d i e r l a n a t u r e d e l ' i n t g r a l e g n r a l i s e :J =

+

1

e1x

x

2 dx.

D e l a m e m e f a c o n q u e d a n s 1

o n v a m a j o r e e l a f o n c t i o n f(x) = e

1x

x2p a r

u n e f o n c t i o n d o n t l ' i n t g r a l e g n r a l i s e e s t c o n v r g e n t e :

x 1 1x 1 e 1x e 0 f(x) e

x2

O r

+1

dxx2

c o n v e r g e J

c o n v e r g e .

3 . E t u d i e r l a n a t u r e d e l ' i n t g r a l e g n r a l i s e :K =

+1

exx

dx.

O n p o s e

f(x) =ex

x q u i e s t u n e f o n c t i o n p o s i t i v e .S i

x 1 a l o r s x 1 d o n c 1x 1 e t d o n c f(x) ex .

O r

+1

exdx = [ex]+1 = 1 c o n v e r g e , d o n c K c o n v e r g e .R e m a r q u e

L a c o n d i t i o n f

e tg

p o s i t i v e s e s t u n e c o n d i t i o n n c e s s a i r e .

D o n c a v a n t d ' u t i l i s e r c e c r i t r e i l f a u t s ' a s s u r e r q u e l e s f o n c t i o n s s o n t p o s i t i v e s

.

T h o r m e 4

:

S o i e n t a

e tb

d e u x r e e l s e t I = [a, b[

;f : I

R

u n e f o n c t i o n p o s i t i v e e t

l o c a l e m e n t i n t g r a b l e . O n s u p p o s e q u ' i l e x i s t e r R t e l q u e :

limxb

(b x)rf(x) = l R+

A l o r s o n a :

1 . S i

r < 1 b

af(x)dx

c o n v e r g e .

2 . S i r 1

ba

f(x)dxd i v e r g e .

E x e m p l e s :

1 . E t u d i e r l a n a t u r e d e l ' i n t g r a l e g n r a l i s e I =

10

|ln(x)|x

dx

L e p r o b l m e s e p o s e e n 0

, a v e c f(x) = |ln(x)|

x, e t o n a :

limx0

(x 0)rf(x) = limx0

(x)r12 |ln(x)| = 0


19/63

1 9

P o u r t o u t r

12 > 0

E n p a r t i c u l i e r o n p e u t c h o i s i r u n r q u i v r i e a l a f o i s r 12 > 0 e tr < 1

p a r e x e m p l e r = 23 ( e n r a l i t e t o u t l e s r ]12 , 1[) .

D o n c d ' a p r s l e t h o r m e p r c e d e n t I

c o n v e r g e .

2 . E t u d i e r l a n a t u r e d e l ' i n t g r a l e g n r a l i s e J =

10

11xdx

D e l a m m e m a n i r e d u e p r c e d e m e n t o n a , o n p o s e f(x) = 1

x.

limx1

(1 x)rf(x) = limx1

(1 x)r 12 = 0,si,r 12

> 0

D o n c o n p r e n d u n r

q u i v r i e a l a f o i s r

12 > 0 e t r < 1 p a r e x e m p l e

r = 34 , e t d o n c J c o n v e r g e .

T h o r m e

5:

S o i e n t a

u n r e e l s t r i c t e m e n t p o s i t i f , I = [a, +[

; e tf : I R

u n e f o n c t i o n

p o s i t i v e e t l o c a l e m e n t i n t g r a b l e . O n s u p p o s e q u ' i l e x i s t e u n r R

t e l q u e :

limx+(x)

rf(x) = l R+

A l o r s o n a :

1 . S i r > 1

ba

f(x)dxc o n v e r g e .

2 . S i r 1 e t l = 0 b

af(x)dx

d i v e r g e .

E x e m p l e s :

1 . E t u d i e r l a n a t u r e d e l ' i n t g r a l e s u i v a n t e :I =

+1

dx4

(x+1)ex.

O n p o s e

f(x) = 14(x+1)ex e t d o n c o n a :

limx+x

rf(x) = limx+x

r 14 .

1

ex4

= 0

P o u r t o u t r

e n p a r t i c u l i e r p o u r l e s r > 1

.

D o n c I

c o n v e r g e .

2 . E t u d i e r l a n a t u r e d e l ' i n t g r a l e s u i v a n t e :J =

+1

exdxx

C o m m e d a n s l e p r e m i e r e x e m p l e o n p o s e

f(x) = exx

e t o n a :

limx+x

rf(x) = limx+x

r 12 ex = 0,si,r 12

> 0


20/63


.

S i p a r e x e m p l e r = 2 a l o r s o n a :

limx+x

2f(x) = limx+x

32 ex = 0

D o n c J

c o n v e r g e .

D n i t i o n 2

:

S o i e n t a, b R = R {, +}

;I =]a, b[

e tf : I R

u n e f o n c t i o n

l o c a l e m e n t i n t g r a b l e .

O n d i t q u e l ' i n t g r a l e

ba

f(x)dxc o n v e r g e s i e t s e u l e m e n t s i p o u r t o u t

a 0 d a n s c e c a s n o u s a v o n s d e u x r a c i n e s r e l l e s d i s t i n c t e s

r1 = r2 e t a l o r s l e s s o l u t i o n s d e E0 s o n t d e l a f o r m e :yssm = exp(r1x) + exp(r2x) , a v e c e t d e u x r e l s :

2emec a s :

= b24ac = 0 d a n s c e c a s l ' q u a t i o n c a r a c t e r i s t i q u e a d m e t u n e s e u l e


37/63

3 7

s o l u t i o n d o u b l e r1 = r2 = r e t d a n s c e c a s l e s s o l u t i o n s d e l ' q u a t i o n

s a n s s e c o n d m e m b r e s o n t d o n n e s p a r l a f o r m u l e :

yssm = (x + )exp(r.x)

A v e c

e t

d e u x r e l s q u e l c o n q u e s .3eme

c a s :

= b2 4ac < 0 d a n s c e c a s n o u s a v o n s d e u x r a c i n e s c o m p l e x e s d i s t i n c t e s

z1 = z2 a v e c z1 = + i e t z2 = i e t d a n s c e c a s l e s s o l u t i o n s d e l ' e q u a t i o n s a n s s e c o n d m e m b r e s o n t d o n n e s p a r l a

f o r m u l e :

yssm = exp(x)[A cos(x) + B sin(x)]

a v e c A e t B d e u x l e m e n t s d e R

E x e m p l e s :

r s o u d r e l e s q u a t i o n s s u i v a n t e s :

( a )y + 3y 4y = 0

( b )

y 4y + 4y = 0( c )

y + 4y + 5y = 0

P o u r 1 ) l ' q u a t i o n c a r a c t e r i s t i q u e e s t :r2 + 3r 4 = 0

d o n t l e =

b2 4ac = 9 + 16 = 25e t d o n c

r1 =3+5

2 = 1 e t r2 =35

2 = 4e t d o n c

yssm = exp(x) + exp(4x) , a v e c e t d e u x r e l s :p o u r 2 ) l ' q u a t i o n c a r a c t e r i s t i q u e e s t :

r2 4r + 4 = 0d o n t l e

=

b2 4ac = 16 16 = 0e t d o n c

r1 = r2 =42 = 2

e t d o n c yssm = [x + ]exp(2x) , a v e c e t d e u x r e l s :

p o u r 3 ) l ' q u a t i o n c a r a c t e r i s t i q u e e s t : r2 + 4r + 5 = 0 d o n t l e =b2 4ac = 16 20 = 4 = (2i)2A l o r s

z1 =4+2i

2 = 2 + i e t z2 = 2 iE t d a n s c e c a s

yssm = exp(2x)[A cos(x) + B sin(x)] a v e c A e t B d e u x l e m e n t s d e

R


38/63

3 8 C H A P I T R E 3 . E Q U A T I O N S D I F F R E N T I E L L E S

1 3 . R e c h e r c h e d ' u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e :

c o n s i d e r o n s d ' a b o r t l ' e q u a t i o n :

ay + by + cy = ex.Pn(x)

A v e c

u n r e l e t Pn u n p o l y n m e d e d e g r e n

D a n s c e c a s o n c h e r c h e u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e l a f o r m e :

Yp = ex.xs.(A0 + A1x + ....... + Anx

n)

O A0, A1, ......An d e s c o n s t a n t e s r e l l e s a d t e r m i n e r .

E ts

v r i e :

s = 0

s i

n ' e s t p a s r a c i n e d e E.C

s = 1

s i

e s t r a c i n e s i m p l e d e E.C

s = 2

s i

e s t r a c i n e d o u b l e d e E.C

E x e m p l e :

R s o u d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s u i v a n t e :

y 3y 4y = 6e2x (1)

O n c o m m e n c e p a r r s o u d r e l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e :r2 3r 4 = 0

O n a :

= 9 + 16 = 25d o n c

r1 = 4e t

r2 = 1 e t d o n c l a s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n s a n s s e c o n d m e m b r e e s t :

yssm = e4x + ex

a v e c

e t

d e u x r e l s

O n c h e r c h e e n s u i t e u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e l a f o r m e :

Yp = e2x.x0.(A) = A.e2x

A l o r s yp = 2Ae2x e t yp = 4Ae2x e t o n r e m p l a c e d a n s l e q u a t i o n (1)

4Ae2x 6Ae2x 4Ae2x = 6e2x 6A = 6 A = 1E t e n n l a s o l u t i o n g n r a l e d e

(1)e s t :

y = yssm + Yp = e4x + ex e2x


39/63

3 9

E x e m p l e 2 :

r s o u d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s u i v a n t e :

y 2y 3y = 3xex (2)

L e q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e :

r2 2r 3 = 0E t

= 16d o n c

r1 = 1 e t r2 = 3 ; d o n c l a s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n s a n s s e c o n d m e m b r e e s t d o n n e p a r :

yssm = ex + e3x e t R

O n c h e r c h e e n s u i t e u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e l a f o r m e :

yp = ex.xs.(A0 + A1x)

a v e c s = 1

c a r 1 e s t r a c i n e s i m p l e d e l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e .E t o n c a l c u l e

yp = ex(A0+(2A1A0)xA1x2) p u i s yp = ex(2A12A0 + (A0 4A1)x + A1x2) .E t o n r e m p l a c e d a n s l ' q u a t i o n

(2):

c e q u i n o u s d o n n e : A0 = 316 e t A1 = 38 .

C e q u i n o u s d o n n e l a s o l u t i o n g n r a l e d e (2)

:

y = ex + e3x + ex.x.(3

16+

3

8x)

C o n s i d r o n s m a i n t e n a n t l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s u i v a n t e :

ay + by + cy = ex.Pn(x)cos(.x)

A v e c

,

d e u x r e l s e t Pn u n p o l y n m e d e d e g r e n

D a n s c e c a s o n c h e r c h e u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e l a f o r m e :

yp = exxs[Qn(x)cos(.x) + Rn(x)sin(.x)]

O Qn e t Rn s o n t d e s p o l y n m e d e d e g r e n e t


40/63


s = 0

s i + i

n ' e s t p a s r a c i n e d e l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e .

s = 1 s i + i e s t r a c i n e d e l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e

E x e m p l e 1 :

R s o u d r e l ' q u a t i o n d i o r e n t i e l l e s u i v a n t e :y3y4y = 8ex.cos(2x) (3)

E q u a t i o n c a r r a c t r i s t i q u e :r2 3r 4 = 0

, d o n c = 25

e tr1 = 1

e tr2 = 4 e t d o n c l a s o l u t i o n p a r t i c u l i r e s e r a d e l a f o r m e :

yp = ex.(Acos(2x) + Bsin(2x))

O n as = 0

c a r1 + 2i

n ' e s t p a s u n e r a c i n e d e l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s -

t i q u e ; e t o n c a l c u l e yp e t yp p u i s o n r e m p l a c e d a n s l ' q u a t i o n (3) e t

o n t r o u v e : A = 317 e t B = 517 .

E x e m p l e 2 :

R s o u d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e :

y + 2y + 5y = 4excos(2x) y(0) = 1 , y(0) = 0

L e q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e e s t :r2+2r+5 = 0

e t s o n = 16 = (4i)2

d o n c l e s s o l u t i o n s s o n t z1 = 1 + 2i e t z2 = 1 2i

O n c h e r c h e d o n c yp = (Acos(2x) + Bsin(2x)).x.e

x( o n a

s = 1c a r

1+2ie s t r a c i n e d e l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e ) e t l e r s t e d e s c a l c u l e s

e s t l a i s s a u t u d i a n t s .

R e m a r q u e :

P o u r r s o u d r e u n e q u a t i o n d u t y p e :

ay + by + cy = ex.Pn(x)sin(.x)

o n p r o c d e d e l a m m e m a n i r e e t l a s o l u t i o n p a r t i c u l i r e s e r a a u s s i

d u t y p e :

yp = exxs[Qn(x)cos(.x) + Rn(x)sin(.x)]

1 4 . P r i n c i p e d e s u p r p o s i t i o n :

S o i t l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e :

ay + by + cy = f1 + f2 (E)


41/63

4 1

O f1 e t f2 d e u x f o n c t i o n s .

P o u r c h e r c h e r u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e E ; o n c h e r c h e u n e s o l u t i o n

p a r t i c u l i r e y1 d e : ay + by

+ cy = f1 e t u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e y2 d eay + by + cy = f2 e t a l o r s yp = y1 + y2 s e r a u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e

E.

E x e m p l e :

R s o u d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s u i v a n t e :

y + y 2y = ex + e2x

t o u t d ' a b o r t o n c r i t l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e :r2 + r

2 = 0

e t s o n t

= 1 + 8 = 9

D o n c r1 = 2 e t r2 = 1 , d o n c l a s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n s a n s s e c o n d

m e m b r e e s t :

yssm = .ex + .e2x e t R

P o u r c h e r c h e r u n e s o l u t i o n p a r t i c u l i r e d e c e t t e q u a t i o n o n c h e r c h e r a

l e s s o l u t i o n s p a r t i c u l i r e d e y + y2y = ex

e t d e y + y2y = e2x

.

p o u r l a p r e m i e r e q u a t i o n

y1 = A.x.ex

(

s = 1) c a r

1e s t u n e r a -

c i n e d e l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e e t d o n c y1 = (Ax + A)ex e t

y1 = (Ax + 2A)ex

, e t p u i s o n r e m p l a c e d a n s l ' q u a t i o n e t o n

t r o u v e :3A = 1

, d o n c A = 13

P o u r l a d e u x i e m e q u a t i o n y2 = B.x.e

2x(s = 1

c a r 2 e s t u n e r a c i n e d e l ' q u a t i o n c a r r a c t e r i s t i q u e e t d o n c

y2 = (2Bx + B)e2xe t

y2 = (4Bx 4B)e2x , e t p u i s o n r e m p l a c e d a n s l ' q u a t i o n e t o n t r o u v e : 3B = 1 , d o n c B = 13

D o n c yp = y1+y2 =

13xe

x13xe2x ; e t l a s o l u t i o n g n r a l e d e l ' q u a t i o n e s t :

yg = yssm + yp = .ex + .e2x +

1

3xex 1

3xe2x

A v e c

e t

d e u x l m e n t s d e R


42/63



43/63

C h a p i t r e 4

L E S E X E R C I C E S

E X E R C I C E S D ' I N T E G R A T I O N S U R R

1 . E X E R C I C E :

C a l c u l e r l e s l i m i t e s d e s s u i t e s s u i v a n t e s :

( a )un =

1n

n

2 + n

4 + ........ + n

2n

un1n3

1

12 + n2 + 2

22 + n2...... + n

n2 + n2

( b )

vn = n.[1

1+n2 +

1

22

+n2 +

1

32

+n2 + ......+

1

n2

+n2 ] vn =

n

k=1

n+k

n2

+k2

( c )wn =

nk=1

(1 + kn

)1n wn =

1np+1

nk=1

kpp o u r

pe n t i e r n a t u r e l .

( d )kn =

1n

.n1p=0

pn2+p2

kn =1n

nk=1

kp kn =n

k=1

1(n+k1)(n+k)

( e )rn =

1n2

np=1

p n

ep rn =1n

arctan(1n1+n ) + arctan(

knk+n ) + .... + arctan(

nnn+n )

( f )zn =

n

p=12[ln(p+n)ln(n)]+5

p+n zn =1n arcsin(1n1+n ) + arcsin( knk+n ) + ...... + arcsin(nnn+n )

( g )sn =

np=1

1(n+p)(1+ln(p+n)ln(n)) sn = n.

nk=1

ekn

k2

( h )n =

1n

(2n)!

n!

1n

4 3


44/63

4 4 C H A P I T R E 4 . L E S E X E R C I C E S

2 . E X E R C I C E :

S o i t f u n e f o n c t i o n c o n t i n u e s u r [ 0 ; 1 ] o n p o s e

U n = 1n

nk=1

f(2k12n ) , p o u r n 1

C a l c u l e r l a l i m i t e d e c e t t e s u i t e

3 . E X E R C I C E :

C a l c u l e r l e s p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :

( a ) cos(x)exdx 4) x cos(x)dx( b )

Ln(x)

xdx 5)

sin(3x) cos(4x)dx

( c )

x2 cos(x)dx 6)

sin(x) cos(x)sin(x) + cos(x)

dx

4 . E X E R C I C E :

O n p o s e I =

cos(x)

cos(x)+sin(x)dx e t J =

sin(x)

cos(x)+sin(x)dx

( a ) C a l c u l e r I + J

e tI J

( b ) E n d d u i r e I

e tJ

5 . E X E R C I C E :

C a l c u l e r l e s i n t e g r a l e s e t p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :

( a )

40

x1+3x2

dx

94

(

x 1x

)dx

( b )

dx

x(1+ 3

x)

Arc sin(x)dx

( c )

xtg2(x)dx

dx

x

1+Ln(x)

6 . E X E R C I C E : C a l c u l e r l e s i n t e g r a l e s e t p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :

( a )eArctg(x)

(1+x2)32 dx

sin(x)dxcos(x)(1+cos2(x))( b ) 3 )

dx

sin(x)

e1

xnLn(x)dx

( c )5)

21

Ln(x +

x2 + 1)dx,

11

(Arc cos(x))2dx


45/63

4 5

7 . E X E R C I C E :

T r o u v e r u n e r e l a t i o n d e r c u r e n c e p r m e t t a n t d e c a l c u l e r l ' i n t g r a l e

s u i v a n t e :

In =

10

dt(1+t2)n

8 . E X E R C I C E : O n p o s e In =

4

0tgn(x)dx

p o u r n N

( a ) T r o u v e r u n e r e l a t i o n In e t In+2

( b ) C a l c u l e r lim

n+ In

9 . E X E R C I C E :

S o i t Jn = 10

xn sin(x)dx ; n N( a ) t r o u v e r u n e r e l a t i o n e n t r e

Jn e t ; Jn+2

( b ) C a l c u l e r lim

n+n2.Jn

1 0 . E X E R C I C E :

1 ) D c o m p o s e r e n l e m e n t s s i m p l e s l a f o n c t i o n f(t) = 1

t(1+t2)

2 ) E n d d u i r e

tLn(t)dt(1+t2)2

1 1 . E X E R C I C E :

( a ) D o n n e r l a d c o m p o s i t i o n e n l m e n t s s i m p l e s d e l a f r a c t i o n r a -

t i o n n e l l e :f(x) = x

2

(1+x)2(2+x)

( b ) E n d d u i r e u n e p r i m i t i v e d e l a f r a c t i o n r a t i o n n e l l e g(t) = t

4

(1+t2)2(2+t2)

( c ) C a l c u l e r a l o r s l ' i n t g r a l e I =

4

0

sin4(x)dx1+cos2(x)

1 2 . E X E R C I C E :

a ) D c o m p o s e r e n l e m e n t s s i m p l e s : l e s f r a c t i o n s r a t i o n n e l l e s s u i v a n t e s :

( a )f(x) = 1+mx

(1+x2)(xm) , o u m R+

( b )g(x) = 1

(1+x)(1+x2)

b ) C a l c u l e r A l o r s I(x) =

0x

f(t)dta v e c

x < 0e t

J(s) =s

0

et

(1+et)(1+e2t)dt

c ) C a l c u l e r l e s l i m i t e s s u i v a n t e s :

limX

I(X) et lims+J(s)


46/63


1 3 . E X E R C I C E :

E n u t i l i s a n t l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e x = cos(t) c a l c u l e r I =10

x.

1x1+xdx

1 4 . E X E R C I C E :

S o i t a < b

d e u x r e l s e t s o i t f : [a, b] R

u n e f o n c t i o n b o r n e

i n t g r a b l e e t

v r i a n t : p o u r t o u t

x [a, b], f(a + b x) = f(x)

1)M o n t r e r q u e b

ax.f(x)dx =a+b

2 . ba f(x)dx2)

A p p l i c a t i o n :

C a l c u l e r I =

0

x sin(x)1+cos2(x)

dxe t

J =

0

x1+sin(x)dx

1 5 . E X E R C I C E :

S o i t f(x) = x+2

x3(x+1).

1 ) D o n n e r l a d c o m p o s i t i o n e n l m e n t s s i m p l e d e f

e t c a l c u l e r

f(x)dx.

2 ) O n p o s e g(x) = x

2+2x6(x2+1) , e n d d u i r e

g(x)dx

1 6 . E X E R C I C E :

S o i t R

, u n r e l , e t f(x) = x+3

x2(x+1)

1 ) D c o m p o s e r f

e n l m e n t s s i m p l e s d a n s R [X] .

2 ) C a l c u l e r F =

f(x)dx

3 ) P o u r q u e l s v a l e u r s d e

,F(x) e s t u n e f r a c t i o n r a t i o n n e l l e .

4 ) O n s u p p o s e q u e = 2

, c a l c u l e r

+1

f(x)dx.

1 7 . E X E R C I C E :

S o i t f(x) = x+

x2(x+1) , o u

e s t u n r e l d o n n ,

1 ) D c o m p o s e r f e n l e m e n t s s i m p l e s .

2 ) C a l c u l e r G =

f(x)dx

3 ) P o u r q u e l s v a l e u r s d e

,G e s t u n e f r a c t i o n r a t i o n n e l l e .

4 ) O n s u p p o s e q u e = 2

, c a l c u l e r

+1

f(x)dx.


47/63

4 7

1 8 . E X E R C I C E :

C a l c u l e r l e s i n t e g r a l e s s u i v a n t s :10

tdt1+t4 ; 2 )

e0

xn ln(x)dx, 3 )

10

(x2 + 3x + 1)exdx; 4 )

1 9 . E X E R C I C E :

C a l c u l e r p a r p a r t i e s l e s i n t g r a l e s o u p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :

( a )I =

11

(x2 + 5x + 6) cos(2x)dx J =

sin(ln(x))dx

( b )K =

x ln(x)dx(1+x2)2

L =

ex cos(2x)dx

2 0 . E X E R C I C E :

c a l c u l e r l e s i n t g r a l e s e t p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :

( a )I1 =

dx

1+cos(x) I2 =

2+sin(x)

3+sin(x)+cos(x)dx

( b )J1 =

cos2(x)dx2+sin(x) J2 =

1+x

x24 dx

( c )K1 =

x

3

1+x2+x

dx

2 1 . E X E R C I C E : S o i t G(x) =

x2

0

1 + t4dt

( a ) M o n t r e r q u e G

e s t d r i v a b l e s u r R

e t c a l c u l e r G(x)

( b ) M o n t r e r q u e

1 + t4 t2

p o u r t o u t

t R.( c ) E n d d u i r e l e s l i m i t e s s u i v a n t e s :

limx+G(x) limx+

G(x)x

limx+

G(x)x2

limx+

G(x)x3

limx+

G(x)x4

limx+

G(x)x5

2 2 . E X E R C I C E : S o i t H(x) =

2x2x2

11+t2+t4

dt

( a ) M o n t r e r q u e H


e t c a l c u l e r H(x)

( b ) M o n t r e r q u e 0 H(x) 12x2 x R

( c ) E n d d u i r e lim

x+H(x)

2 3 . E X E R C I C E : S o i t

F(x) =

x2+x31+x

dt1+t4


48/63


( a ) C a l c u l e r F(1)

( b ) M o n t r e r q u e F


e t c a l c u l e r F(x)

p o u r x R

( c ) C a l c u l e r limx1

1x1

x2+x31+x

dt1+t4

2 4 . E X E R C I C E : S o i t h(x) =

x1x

1t2(1+t2)

1+t4

dtd n i e s u r

]0, +[

( a ) C a l c u l e r h(1)

( b ) M o n t r e r q u e h

e s t d r i v a b l e s u r I

e t c a l c u l e r h(x)

p o u r t o u t x I

( c ) E n d d u i r e h(x)

p o u r x I

2 5 . E X E R C I C E : O n c o n s i d r e p o r

n N l ' i n t g r a l e Jn(x) = dx(1+x2)n( a ) c a l c u l e r

J0; J1;e t J2

( b ) E t a b l i r u n e r e l a t i o n d e r c u r e n c e e n t r e

Jn+1 e t Jn . E n d d u i r e

J3 e t J4

2 6 . E X E R C I C E : C a l c u l e r I =

cos(x)exdx

e t e n d d u i r e

J =

eArctg(t)

(1 + t2)32

dt

2 7 . E X E R C I C E : c a l c u l e r l e s p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :

( a )A =

dt

t(1+ 3

t)

( b )B =

dx

x

1+ln(x)

( c )

x3+1

x(x1)2 dx

2 8 . E X E R C I C E O n p o s e In =

10

tn

1 + tdt

( a ) C a l c u l e r

I0 e t , I1

( b ) C o m p a r e r tn

e ttn+1

p o u r 0 t 1 e t e n d d u i r e l a m o n o t o n i e

d e l a s u i t e In

( c ) M o n t r e r q u e

1n+1 In

2

n+1

( d ) M o n t r e r q u e p o u r t o u s t [0;1] : 0 2 1 + t 12(1 t)


49/63

4 9

( e ) E n d d u i r e a l o r s q u e

2

n+1

1

2n2

In

2

n+1 e t c a l c u l e r l a l i m i t e

d e In e t nIn

2 9 . E X E R C I C E : O n p o s e In =

e1

x(ln(x)ndxp o u r

n N

( a ) C a l c u l e r I0 e t I1

( b ) T r o u v e r u n e r e l a t i o n d e r e c u r e n c e e n t r e In e t In+1

( c ) M o n t r e r q u e I n e s t d c r o i s s a n t e e t q u e

e2

n+3 In e2

n+2

( d ) C a l c u l e r l i m i t e d e In e t nIn

3 0 . E X E R C I C E : C a l c u l e r l e s p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :

( a )I =

10

tdt1+t4

J =

sin(Ln(x))dx

( b )K =

dx

sin(x) . . . L =

dx

xLn(x)

( c )

F =

x3+1

x(x1)2 dx

3 1 . E X E R C I C E :

O n p o s e In =

n1

et2

dt(n N)

1 ) M o n t r e r q u e l a s u i t e

Ine s t c r o i s s a n t e

2 ) m o n t r e r q u e In

n1

tet2dt

3 ) E n d d u i r e u n m a j o r a n t d e In e t l a c o n v e r g e n c e d e l a s u i t e In

3 2 . E X E R C I C E :

S o i t

fu n e f o n c t i o n c o n t i n u e s u r

R, o n p o s e :

F(x) =

x+1x1

f(t)dt

1 ) M o n t r e r q u e F e s t d r i v a b l e s u r R e t c a l c u l e r F(x)2 ) M o n t r e r q u e

Fe s t c o n s t a n t e s i e t s e u l e m e n t s i

fe s t p r i o d i q u e d e

p e r i o d e T = 2

3 ) E n v i s a g e r l e c a s f(x) = cos(x)


50/63


3 3 . E X E R C I C E

1 ) D c o m p o s e r e n l e m e n t s s i m p l e s l a f r a c t i o n r a t i o n n e l l e f(x) =1

(x+1)(x2x+1)2 ) C a l c u l e r l e s p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :

dxx3+1 ;

x3dxx3+1

3 ) C a l c u l e r l a p r i m i t i v e

dx

x2+

x

3 4 . E X E R C I C E :

C a l c u l e r l e s p r i m i t i v e s s u i v a n t e s :

1 )I =

10

xx2 + 2xdx

( o n p o s e r a t = arcsin(x 1)

)

2 )J =

11|ex 1| dx

ex+1

3 5 . E X E R C I C E :

S o i t Fn l a f o n c t i o n d n i e p a r :

x R ; n N ; Fn(x) = 1246

(cos(t))nex. cos(t)dt

1 ) M o t r e r q u e x R

;n N

;Fn(x) =

12

20

(cos(t))nex. cos(t)dt

2 ) a ) E c r i r e Fn(0) e t e n i n t e g r a n t p a r p a r t i e t r o u v e r u n e r e l a t i o n d e

r e c u r e n c e e n t r e

Fn(0) e t Fn2(0) , p o u r n 2.b ) E n d e d u i r e l a v a l e u r d e

F2n(0) e t c e l l e d e F2(n+1)(0) p o r t o u t

n 03 ) O n s u p p o s e q u e p o r t o u t

x Re t p o u r t o u t

n 0,

Fn(x) =Fn+1(x) .

( Fn d s i g n e l a f o n c t i o n d r i v e d e Fn )4 ) E x p r i m e r

F(k)0 e n f o n c t i o n d e Fk p o u r t o u t k 1

5 ) E n d d u i r e l e d v e l o p p e m e n t l i m i t l ' o r d r e 7

d e l a f o n c t i o n F0 a u

v o i s i n a g e d e 0


51/63

5 1

3 6 . E X E R C I C E :

S o i t I n =

10

xn1+xdx

( a ) E n m a j o r a n t l a f o n c t i o n i n t e g r e , m o n t r e r q u e In t e n d v e r s z r o

( b ) C a l c u l e r In + In+1

( c ) D t e r m i n e r lim

n+(n

k=1

(1)k+1k

).

3 7 . E X E R C I C E :

S o i t In =

10

(1 t2)ndt

( a ) E t a b l i r u n e r e l a t i o n d e r c u r e n c e e n t r e In e t In+1

( b ) C a l c u l e r In

( c ) E n d d u i r e

nk=0

(1)k2k+1 .n

k

3 8 . E X E R C I C E :

S o i t In =

10

tnetdt

( a ) C a l c u l e r I0, I1, I2 I3, I4.

( b ) E t u d i e r l a s u i t e

In

3 9 . E X E R C I C E :

S o i e n t I =

0

x cos2(x)dxe t

J =

0

x sin2(x)dx

( a ) C a l c u l e r I + J

( b ) C a l c u l e r I J

( c ) E n d d u i r e I

e tJ

.

4 0 . E X E R C I C E : O n p o s e p o u r

p, q N:

Ip,q = 1

0tp(1 t)qdt

( a ) M o n t r e r q u e : p N; q N; Ip,q = qp+1Ip+1,q1 .( b ) E n d e d u i r e q u e :

p, q N, Ip;q = p!q!(p+q+1)!

( c ) M o n t r e r q u e :p, q N;

qk=0

(1)kp+k+1 =

p!q!(p+q+1)!


52/63


4 1 . E X E R C I C E :

S o i t f

u n e f o n c t i o n d e c l a s s e C1

s u r[a, b]

o n p o s e :

In =

ba

f(t)sin(nt)dt Jn =

ba

f(t)cos(nt)dt

M o n t r e r q u e In e t Jn t e n d e e n t v e r s z r o l o r s q u e n t e n d v e r s +

4 2 . E X E R C I C E :

I ] S o i t f u n e f o n c t i o n c o n t i n u e d e R

d a n s R

, e t s o i e n t u e t v d e u x

f o n c t i o n s d r i v a b l e s s u r R

O n d n i e l a f o n c t i o n G d e R v e r s R p a r :

G(x) =

v(x)u(x)

f(t)dt

1 ] M o n t r e r q u e G


2 ] M o n t r e r q u ' o n a :

G(x) = v(x).f(v(x)) u(x).f(u(x))

I I ] S o i t f

e tF

l e s f o n c t i o n s d n i e s p a r :

f(t) = t4e4t4e t

F(x) =1+x2

xf(t)dt

( a ) i . D o n n e r l e d o m a i n e d ' t u d e

DE d e f e t d r e s s e r s o n t a b l e a u d e

v a r i a t i o n s u r DE

i i . M o n t r e r q u e p o u r t o u t x R

,f(x) 14e

i . C a l c u l e r l a f o n c t i o n d r i v e F

d eF

i i . E n d d u i r e q u e x [0, 1] : |F(x)| 34e( b ) M o n t r e q u e

x

[0, 1] : 0

F(x) < 1

( c ) O n c o n s i d r a n t l a f o n c t i o n g(x) = F(x) x

m o n t r e r q u ' i l e x i s t e

x0 ]0, 1[ t e l q u e F(x0) = x0( d ) S o i t

un l a s u i t e d n i e p a r : u0 = 0; ..et; ..un+1 = f(un)

i . M o n t r e r q u e un [0, 1]


53/63

5 3

i i . E n u t i l i s a n t l e t h o r m e d e s A c c r o i s s e m e n t n i s e n t r e un1

e t x0 , m o n t r e r q u e

|un x0| 34e |un1 x0|i i i . E n d d u i r e q u e

un c o n v e r g e v e r s x0

4 3 . E X E R C I C E : C a l c u l e r l e s p r i m i t i v e s u i v a n t e s :

( a )I =

dx

sin5(x)

( b )J =

sin3(x)dx

(cos2(x)+1)3

( c )K = dxcos(x)+sin(x)

4 4 . E X E R C I C E :

C a l c u l e r l e s p r i m i t i v e s u i v a n t e s :

( a )

3x+xx38xdx

( b )

t1

3t+1dt

( c )

t

t2t+2dt

( d ) dx

31+x3

( e )

31+x3

x2dx

4 5 . E X E R C I C E :

C a l c u l e r l e s p r i m i t i v e s u i v a n t e s o n u t i l i s a n t u n c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e :

( a )I1 =

dx

x1+x

( b )I2 =

2xx

dx

( c )I3 =

x3dx

(1+x2)2

( d )I4 =

(x2 1)x3 3xdx

( e )I5 =

sin(

x)

xdx

( f )I6 =

e3x

1+e2xdx


54/63


4 6 . E X E R C I C E :

C a l c u l e r l e s i n t g r a l e s e t p r i m i t i v e s s u i v a n t e s o n u t i l i s a n t u n e i n t e g r a -

t i o n p a r p a r t i e :

1 )I1 =

t sin(2t)dt

2 )I2 =

tdt1+t

3 )I3 =

arcsin(t)dt

4 )

I4 =

11

et cos2(t)dt5 )

I5 =

sin(ln(t))dt

6 )I6

10

t2etdt

4 7 . E X E R C I C E :

C a l c u l e r l e s i n t e g r a l e s e t p r i m i t i v e s d e s f r a c t i o n s r a t i o n n e l l e s s u i v a n t e s :

I1 = 1

0 x32

x3

x2

dx3 )

I3 = x3x2+2(x2)(x3)dx 4 ) I4 = x6+2x5x43x31

x3

(x+1)

2 dx5 )

I5 =

(x1)5

(x2+1)(x+3)2dx

6 )I6 =

x2+1

(x21)2 dx 7 ) I7 =

x4+1x3xdx 8 )

I8 =

x2x6x416 dx

4 8 . E X E R C I C E :

( a ) J u s t i e r l a d n i t i o n d e l ' a p p l i c a t i o n I

d eR \ {1, 1}

d a n s R

d n i e p a r :

xR

\ {1, 1

}, I(x) =

2

0

ln(x2

2cos().x + 1)d.

( b ) M o n t r e r q u e I

e s t p a i r e .

( c ) P o u r t o u t R ; d c o m p o s e r l e p o l y n m e x4 2cos().x2 + 1 e n

p r o d u i t d e p o l y n o m e s i r r e d u c t i b l e s d a n s R[X]

.

( d ) S o i t x R\{1; 1} c a l c u l e r I(x2) e n f o n c t i o n d e I(x) ; p u i s I(x2n)

e n f o n c t i o n d e I(x)

p o u r t o u t n N

( e ) D d u i r e d e s r s u l t a t s p r c e d e n t s l a v a l e u r d e I(x)

p o u r x R, |x| 1

( g ) R e t r o u v e r l e s r s u l t a t s d e 5)

e t6)

d i r e c t e m e n t a l ' a i d e d e s s o m m e s

d e R i e m a n n .


55/63

5 5

I N T E G R A L E S G E N E R A L I S E E S

1 . E X E R C I C E :

E t u d i e r l a n a t u r e d e s i n t g r a l e s s u i v a n t e s p a r t i r d e l a d n i t i o n e t

l e s c a l c u l e r v e n t u e l l e m e n t :

10

11t2 dt

2

0

dtsin(t)

10

1t ln(t)dt

10

ln(t)(1+t)2

dt

+0

eaxdx (a R)+

0t2etdt

2 . E X E R C I C E :

E t u d i e r l a n a t u r e d e s i n t g r a l e s u i v a n t e s :

1 )

I =

+0

(1cos(x))x73

dx; 2 )

+0

cos(x)1+x2

dx3 )

+0

x2

1+3x4dx

4 )

+0

x1+x4

dx5 )

+0

sin(x2)x2

dx

3 . E X E R C I C E :

E t u d i e r l a n a t u r e d e s i n t g r a l e s s u i v a n t e s e n d t e r m i n a n t l e s l i m i t e s

c o r r s p o n d a n t s :

1 ) 10Ln(t)dt

2 ) 20 tg(t)dt

3 ) 10

Ln(t)(1+t)2 dt

4 )

+1

dt

t1+t2

5 )

+1

arctg(1t

)dt

4 . E X E R C I C E :

1 ) M o t r e r q u e

+1

1t2

cos(t) cos(1t

)dte s t a b s o l u m e n t c o n v e r g e n t e .

2 ) E n d d u i r e l a n a t u r e d e

+0

sin(t) sin(1t

)dt

5 . E X E R C I C E 5 :

E n u t i l i s a n t l a d n i t i o n , m o n t r e r q u e l e s i n t g r a l e s s u i v a n t e s

s o n t c o n v e r g e n t e s e t c a l c u l e r l e u r s v a l e u r s :

I =

+0

dtt2+t+1 e t

J =

+1

dtt2(t+1)


56/63


6 . E X E R C I C E :

E t u d i e r l a c o n v e r g e n c e d e s i n t e g r a l e s s u i v a n t e s :

1 )

+

dtet+t2et 2 )

+1

esin(t)

tdt

3 )

10

t1ln(t)dt

4 )

10

dt1tdt 5 )

10

dtarccos(t)

7 . E X E R C I C E :

E t u d i e r l a c o n v e r g e n c e d e s i n t g r a l e s i m p r o p r e s s u i v a n t e s

e t c a l c u l e r l e u r s v a l e u r s l e c a s c h a n t :

I1 = +

1

dx

xx

1

,I2 =

1

0

dx

x(1+x2);

I3 = +

0

dxex+1

8 . E X E R C I C E :

S o i t l ' i n t g r a l e I1 =

+0

dt1+t3

1 ) M o n t r e r q u e

I1 e s t c o n v e r g e n t e ( l e c a l c u l e d e I1 n ' e s t p a s d e m a n d )

2 ) a ) E e c t u e r l a d e c o m p o s i t i o n e n l m e n t s s i m p l e s d e l a f r a c t i o n

r a t i o n n e l l e

1

1+t3

( r a p p e l :1 + t3 = (1 + t)(1 t + t2) ) .

b ) S o i t x > 0

. C a l c u l e r

x

0

1

1+t3dt

c ) E n d d u i r e l a v a l e u r d e I1

3 ) O n c o n s i d e r e l ' i n t e g r a l e I2 =

+0

dt(1+t3)2

E t a b l i r e u n e r e l a t i o n e n t r e I1 e t I2 p e r m e t t a n t d ' e x p r i m e r I2 e n

f o n c t i o n d e I1

4 ) S o i t In =

+0

dt(1+t3)n ; a v e c

nu n e n t i e r n o n n u l .

M o n t r e r q u e In e s t c o n v e r g e n t e

5 ) m o n t r e r q u e In+1 In p o u r t o u t n

6 ) M o n t r e r q u e l ' o n a :0 In I13n p o u r t o u t n 1

7 ) D d u i r e d e c e q u i p r c d e q u e l a s u i t e In e s t c o n v e r g e n t e e t c a l c u l e r

s a l i m i t e

8 ) E t a b l i r e u n e r e l a t i o n e n t r e In e t In+1 . E n d d u i r e l ' e x p r s s i o n d e

In+1 e n

f o n c t i o n d e I1 .


57/63

5 7

9 . E X E R C I C E

C a l c u l e r l e s i n t g r a l e s g n e r a l i s e s s u i v a n t e s :

( a )

20

dt2+sin(t)

2

0

tg(t)dt

( b )

2

0

dt3tg(t)+2

4

0cos(t)Ln(tg(t))dt

1 0 . E X E R C I C E

C a l c u l e r l e s i n t g r a l e s s u i v a n t e s :

( a )

+0

dt(1+t2)2

+

dtt2+2t+2

+0

dt(1+t2)4

( b )

+0

2t2+1dt(1+t2)2

+0

dt1+t4

+0

t2dt1+t4

( c )

+1

dtt6(1+t10)

1 1 . E X E R C I C E


( a )

ba

dt(ta)(bt)

( b )

1

1

dt

(1+t2)1t2

( c )

+0

te

tdt

( d )

10

Ln(1t2)dtt2

( e )

10

Ln(t)dt1t

( f )

+0

t3Ln(t)(1+t4)3

dt

1 2 . E X E R C I C E


( a )

+0

Ln(1 + a2

t2)dt

( b )

+0

Ln(1+t1t ) tdt(a2+t2)2

( c )

+0

Ln(t)dt1+t2


58/63


( d ) 1

0

Ln(t)dt

(1+t)1t2

( e )

10

dt1+t+

1t


59/63

5 9

L E S E Q U A T I O N S D I F F E R E N T I E L L E S

1 . E X E R C I C E

O n c o n s i d e r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e :(E) : x(x 1)y + y = x .

1 ) D e t e r m i n e r l e s s o l u t i o n s d n i e s r s p e c t i v e m e n t s u r c h a c u n d e s i n -

t r v a l l e s :

I1 =], 0[; I2 =]0, 1[; I3 =]1, +[2 ) M o n t r e r q u ' i l e x i s t e u n e i n n i t d e s o l u t i o n s d n i e s s u r

I1 =

], 0[.3 ) M o n t r e r q u ' i l e x i s t e u n e e t u n e s e u l e s o l u t i o n d n i e s u r

R

2 . E X E R C I C E

I n t g r e r l ' q u a t i o n ( e n p r c i s a n t l e s i n t r v a l l l e s d e d n i t i o n s m a x i -

m a l e s . )

(x2 + 4x 5)y 3(x + y) = (x + 5)3

3 . E X E R C I C E

I n t g r e r l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e :

(1 + x

2

)y + xy + x2

= 0

4 . E X E R C I C E

I n t g r e r l e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s s u i v a n t e s :

( 1 )ysin2(x) ytg(x) = tg(x)

( 2 )y + y + y = xsin(x) cos(x)

5 . E X E R C I C E

O n c o n s i d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s u i a n t e :

(E) : 2(x 1)y + y = sin(2x) + x2

1 ) R s o u d r e ( E ) s u r ], 1[

e t s u r ]1, +[

( o n l a i s s e r a l e s s o l u t i o n s

s o u s f o r m e i n t g r a l e ) .

2 ) S o i t

l a s o l u t i o n d e ( E ) t e l l e q u e (0) = 0

. m o n t r e r q u e p o u r t o u t


60/63


n

4

o n a :

2(x 1)n(x) + (2x 1)n1(x) = 2n1sin(2x + (n 1). 2

)

3 ) E n d d u i r e q u e

e s t d e c l a s s e C

s u r], 1[

e t d o n n e r l e d v e l -

l o p p e m e n t l i m i t e d e

a l ' o r d r e 5

a u v o i s i n a g e d e 0

.

6 . E X E R C I C E

O n c o n s i d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e :

(E) : y (4x 1)y + (4x2

2x)y = 0P o u r

R, o n p o s e

u(x) = y(x).e(.x)

a ) E c r i r e l ' q u a t i o n (E) q u e d o i t v r i e r u , s o u s l a f o r m e :

(E) : u + A(x)u + B(x)u = 0

o uA(x)

e tB(x)

s o n t d e s p o l y n o m e s e n x

.

b ) E c r i r e l ' q u a t i o n (E0) : q u e r e m a r q u e z v o u s .

c ) M o n t r e r q u e l ' o n p e u t c h o i s i r

p o u r q u e

B(x)s o i t d e d e g r s t r i c -

t e m e n t

< 2e t r s o u d r e l ' q u a t i o n c o r r s p o n d a n t e .

d ) D o n n e r l e s s o l u t i o n s d e (E)

.

.

.

7 . E X E R C I C E

I n t g r e r l e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s s u i v a n t e s :

1 )(x2x)y = y2 + y 2 ) y2 + (x2xy)y = 0 3 ) y = xexy

4 )xy = y + xcos2( y

x)

5 )y + ytg(x) sin(2x) = 0 6 )

xy + y y2Ln(x) = 0

8 . E X E R C I C E

R s o u d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e : |x|y + y = x2 .a ) M o n t r e r q u ' i l e x i s t e u n e i n n i t d e f o n c t i o n s d n i e e t c o n t i u e s s u r


61/63

6 1

l a d r o i t e r e l l e q u i p o u r x < 0

e tx > 0

s o n t s o l u t i o n s d e l ' q u a t i o n

d i r e n t i e l l e .

b ) M o n t r e r q u ' i l e x i s t e u n e s e u l e q u i e s t d r i v a b l e e n 0

.

9 . E X E R C I C E

R s o u d r e l e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s s u i v a n t e s :

( a )y y

y31 = 0

( b )y + y

x2= 1

x3

( c ) xy(2y x) y2 = 0( d )

y y = xy2

1 0 . E X E R C I C E

S o i t (E)

l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e d e B e r n o u i l l i d n i e p a r :

y + 2y = y2(2x2 + 3) (E)

( a ) R s o u d r e (E)

( b ) D o n n e r l a s o l u t i o n p a r t i c u l i r e yp v r i a n t yp(0) = 1

( c ) D o n n e r l e d v e l o p p e m e n t l i m i t l ' o r d r e 2

a u v o i s i n a g e d e z r o

d eyp .

( d ) E n d e d u i r e l ' q u a t i o n d e l a t a n g e n t e e n 0

e t l a p o s i t i o n d e l a

c o u r b e p a r r a p p o r t c e l l e - c i .

1 1 . E X E R C I C E

I n t g r e r l e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s s u i v a n t e s e n s p a r a n t l e s v a r i a b l e s :

y = ex+y

y1 x2

+ y2

xy + 2y = xyy

x(1 y2)y + y(1 x2) = 0

1 2 . E X E R C I C E I n t g r e r l e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s l i n a i r e s s u i v a n t e s :

( a ) * ) y = x + y

* )xy = 2y + x


62/63


( b ) * ) xy

y = Ln(x)

* )y

ycos(x) = sin(2x)

( c ) * ) x(y y) = ex

* )y + ycotg(x) = ecos(x)

a v e c y(2 ) = 0

1 3 . E X E R C I C E

R s o u d r e l e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s s u i v a n t e s :

( a )y = (x + y + 1)2

( b )y =

y 2x + 3 + 2

( c )y = tg2(x + y)

1 4 . E X E R C I C E

R s o u d r e l e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s s u i v a n t e s ( a e t m s o n t d e s p a r a -

m t r e s r e l s ) :

y 2y + (1 a)y = 0

y 3y + 2y = x3

y + y + y = cos(mx)

1 5 . E X E R C I C E

R e s o u d r e l e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s d u s e c o n d o r d r e s u i v a n t e s :

y + 2y + y = 2x2

e

x

+ ex

y 2y = xe2x 2xex

y 2y + y = x + xex

y + 2y + y = exsin2(x)

1 6 . E X E R C I C E

S o i t (x) = 1

x p o u r x > 0

.

a ) C a l c u l e r

12 . + 2

+ .

b ) R s o u d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s u i v a n t e :

1

2 .y + 2y + y = 1 +7

2 xex

+

(x

1)2

x3

1 7 . E X E R C I C E

O n c o n s i d r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s u i v a n t e :

y 2y + y = xex

1 + x2(E)


63/63

6 3

O n p o s e z(x) = y(x)ex

a ) E c r i r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e q u e v r i e r a z s i y e s t s o l u t i o n d e (E).

b ) R s o u d r e l ' q u a t i o n v r i e r p a r z

.

c ) E n d d u i r e l e s s o l u t i o n s d e (E)

.

1 8 . E X E R C I C E

O n c o n s i d e r e l ' q u a t i o n d i r e n t i e l l e s u i v a n t e :

(F) (1 + x2)y + 4xy + (1 x2)y = 0O n p o s a n t

z(x) = (1 + x

2

)y(x)r s o u d r e l ' q u a t i o n

(F)

1 9 . E X E R C I C E

C o n s i d e r o n s l ' e q u a t i o n d i e r e n t i e l l e s u i v a n t e :

(1) : y yx y2 = 4x2

1 ) V e r i e r q u e l a f o n c y i o n y0 = 2x e s t s o l u t i o n d e l ' e q u a t i o n (1) .

2 ) M o n t r e r q u e y = y0+ z

e s t s o l u t i o n d e l ' e q u a t i o n (1)

s i e s t s e u l e m e n t

s iz

e s t s o l u t i o n d e l ' e q u a t i o n d i e r e n t i e l l e :

(2) z ( 1x

+ 4x)z z2 = 03 ) r e s o u d r e l ' e q u a t i o n

(2).

4 ) E n d e d u i r e l e s s o l u t i o n s d e (1)

.

2 0 . E X E R C I C E

R e s o u d r e l e s e q u a t i o n s d i e r e n t i e l l e s s u i v a n t e s :

( a )

y = y(1 + y).

( b )y = sin(x).sin(y)

.

( c )2yy

x =

y2 1

.

( d )

1 + xy = eya v e c c o n d i t i o n i n i t i a l e

y(1) = 1.

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