Phys I SV 20132-1

2: Cinématique vectorielle

I. Comment décrire en général le mouvement en ligne droite?par intégrationg – accélération terrestre

II. De quoi dépend la description d'un mouvement en général?Mouvement paraboliqueRéférentiel d’inertie

Giancoli chapitres 2-3 à 2-5, 2-7 et 2-8 et 3-6 à 3-9

Préparation au cours et aux exosChapitres du Giancoli à lire avant le cours (3 pages):

2-7 Freely falling objects3-6 Vector Kinematics

Exercices simples (3) à faire avant la séance d’exos:Giancoli 3-28, 29, 57

Phys I SV 20132-2

2-1. Le mouvement rectiligne par intégration

Quiz: Je vois … Situation: Admettons que cette image a été prise aujourd’hui dans une voiture. Question: Qu’est-ce que ça représente ?

A. Un odomètre (indicateur de kilomètres)B. Une dérivéeC. Un compte-toursD. Deux intégrales

Phys I SV 20132-3

Un odomètrehuiaujourd'

voituredecréation

v(t)dt

huiaujourd'

hier

v(t)dtIndicateur de vitesse

e)instantané(vitesse)(

dttdx

NB: x, et v sont la vitesse et la distance par rapport au sol, toujours exprimées dans le référentiel de la voiture, i.e. on compte vraiment la norme, i.e. célérité …

Solution quiz odomètre

Phys I SV 20132-4

Comment déterminer le déplacement en général ? Ex. MRUA par intégration

accélération constante

a(t) dv/dt=a0

dv = a0dtt

tadta0

00

v(t) = a0t+v0

00

)( xtxdxt

t

tvdtv0

00

2''''

2

00 0

00tatdtadtta

t t

Equation horaire (parabole):

x(t) = a0 t2/2 +v0t+x0

dtdxv

(dv/dt)

(dx/dt)vdt

x

t0

x0

v0

v

t

a0

a

t00

00

)( vtvdvt

dx = (a0t+v0)dt

Phys I SV 20132-5

Ex. de la Tesla Roadster: en 3.7s à 100 km/h!

Exemple distance:1. a = 7.5 m/s2

2. Vitesse: v(t) = a(t)dt = at + v0

»v0 = v(0)=0

3. Distance: x(t) = v(t)dt = at dt = at2/2 +x0

»x0 = x(0) = 0Après T = 3.7s la voiture a parcouru D = aT2/2 m = vT/2 = 51.33 m

MAIS incertitude!

(la précision demandée est DEUX chiffres significatifs)

Exemple accélération: La Tesla Roadsteratteint de 0 à 100 km/h en 3.7s

Accélération moyenne

v = a T:

a = 100 [km/h]/(3.6 3.7 [s])

a = 7.5m/s2

(Est-ce beaucoup ?)

(voiture 100% électrique)

1 m/s = 3600 m/3600 s = 3.6 km/h

Phys I SV 20132-6

Démo:

1. Plutôt celui qui est le plus lourd2. Ils arrivent en même temps3. Plutôt celui qui est le moins lourd4. Pas assez d’information

Situation: Deux objets avec des masses différentes tombent (sans frottement).Question: Lequel arrive le plus tôt en bas ?

Solution: Par analyse dimensionnelleAdmettons y m t gdistance = masse temps distance /temps2

=1; =2 ; =0 : Ne dépends pas de la masse

Phys I SV 20132-7

2-2. g-

Les corps soumis uniquement à l’accélération de gravitation subissent la même accélération (voir leçons 4-6)

Apollo 15: http://www.youtube.com/watch?v=5C5_dOEyAfk

plume

pièce

y

y=½ gt2 g=2y/t2t [s] g

[m/s2]

y1= 0.1 m 0.14 10y2 = 0.4 m 0.28 10y3 = 1.6 m 0.57 9.8

t

t

y

air vide

Phys I SV 20132-8

Situation: Une voiture roule à v=60 km/h et heurte un mur l’amenant à l’arrêt.Question: Cela correspond à une chute de quelle hauteur?

1.Conversion d’unités:» Vitesse: v = 16.7 m/s» Accélération terrestre g = 10m/s2

2.Temps T pour atteindre v (de 16.7 m/s)» v=gT T = v/g = 1.7 s

3.Distance (voir exemple du Roadster):» x = gT2/2 = v2/2g

= (10 un peu/2)2[m2/s2] / 20 [m/s2]= 10 (un peu)2/10 [m] = 10 [m] = 14m

Conclusion: un accident frontal à 60km/h correspond à tomber depuis le 3eme étage d’un bâtiment

1. La hauteur est: H =x(T)=v0T-gT2/2

(négative parce v et g sont opposées, i.e. la fusée va s’arrêter !)

2. substitution de T:H = 30 [m/s] 2 [s] – 10[m/s2] 4[s2]/2

= 40 m

Situation: Une fusée sphérique de M=1 kg d’un feu d’artifice est lancée verticalement à T=0 s avec une vitesse initiale de v0=30 m/s à partir d’un terrain complètement plat. Après T=2 s, une explosion sépare la fusée.

Question: Quelle est la hauteur H de la fusée juste avant l’explosion ?

1. 80m2. 40m3. 45m

Phys I SV 20132-9

x

v>0

v<0

v>0, a>0

v>0, a<0

Le signe est important c’est une manifestation

de la direction!

x1 x2

L’objet se déplace

de x1 à x2 en t

La vitesse est v x/ t

Équivalent à une dimension:

Dans ce référentiel:

x’

y’

x1’ x2

’

y1’

y2’

La vitesse a deux composantes:

x’/ t et y’/ t(décrite par un vecteur)

x1 x2

Dans un référentiel différent :

x’

y’y

De une à deux dimensions:

Phys I SV 20132-10

2-3. Comment décrit-on le mouvement en 3D ? Cinématique vectorielle

Situation: Un projectile est lancé horizontalement au-dessus d’un précipice; on laisse tomber un autre en même temps.

Quiz: Lequel arrive en bas le premier ?(idéalisation: sans frottement avec l’air)

1. Plutôt celui qu’on laisse tomber

2. Plutôt celui lancé horizontalement

3. Pas assez d’informations

4. En même temps

Phys I SV 20132-11

Vitesse moyenne

- Position Trajectoire

Définitions vectorielles:r - vecteur de la position

r=r2-r1 - vecteur du déplacement

trajectoire

tz

ty

txvvvv zyx ,,,,

Situation: En t=t2-t1 on se déplace de P1 àP2.

NB. On traite chaque composante équivalente au cas 1D(voir diapo précédent)

moyenne vitessetrv

r

La vitesse instantanéeest tangentielle à la trajectoire

tr

dtrdv

t 0lim

En composantes ? Voir vx=dx/dt, vy=dy/dt, vz=dz/dt

zyx vvvdtdz

dtdy

dtdx

dtrdv ,,,,

v1

Vitesse instantanée

Phys I SV 20132-12

Mouvement uniformément accéléré en 3 D

- a peut avoir une direction quelconque

2

2

0lim

dtrda

tv

dtvda

t

En composantes ? Voir ax=dvx/dt=d2x/dt2, etc.

… comme le cas 1D pour chaque composante

v

a

zyxzyx aaa

dtdv

dtdv

dtdva ,,,,

)0(')'()(

)0(')'()(

)()()()(

0

0

rdttvtr

vdttatv

dttvdta

dttrdtv

t

t

Equations de base (en général):

Solutions sous forme de composantes (a=const), e.g.:

200 2

1 tatvyy yy

200 2

1 tatvzz zz

200 2

1 tatvxx xx

Trop compliqué? Choisir le référentiel d’inertie de manière

à avoir des équations plus simples

200 2

1)( tatvrtx

Phys I SV 20132-13

2-4. à accélération en une direction?

Mouvements paraboliques

Mouvement uniformément accéléré:La trajectoire est toujours une fonction parabolique

Indépendant du référentiel d’inertieMais son choix simplifie énormément les choses …

20 2

1 tatvy yy

22

00

0

21)( x

va

xvv

xyx

y

x

y

La composante horizontale de la vitesse reste constantecar l’accélération est uniquement selon y et ne change que la composante verticale de la vitesse.

Les paraboles sont partout …

vx = v0x = constantevy = v0y -gt

(0,0)

Le film Speed

Question: Est-il possible de sauter une distance de 15m horizontalement avec une vitesse de 30m/s ?

http://physics.info/projectiles/practice.shtml

(v0y = 0)

y(x=15m) = -10 [m/s2] 152 [m2] / (2 302 [m2/s2])

= -10 25 / (200) [m] = -1.3m

xx vxttvx 00 /

Phys I SV 20132-14

Ex. nourrir le tigre

Question: A quel angle 0 la viande parcourra-t-elle la distance maximale ?

1. 300

2. 600

3. 450

Situation: On jette une pièce de viande dans la direction d’un tigre pour le nourrir, en gardant une distance maximale avec lui. On ne peut jeter qu’avec une vitesse initiale de v0.

La réponse est par les argument suivants:1. Car on veut maximiser x(T), alors on utilise v uniquement en x (vy=0).

Mais, a 0=0, suite à l’accélération terrestre, la viande tombe et n’arrive jamais.

2. Alors il faut jetée la viande en air, mais avec 0=90, la viande reste chez moi.

3. il faut une vitesse v0 dont vx ainsi que vy soit maximale.

v0

0

Phys I SV 20132-15

La viande arrive chez le tigre après T s (inconnu pour l’instant).Avec une vitesse initiale de v0, la distance en x sera

gvx 002

00cossin2)(

Qui nous permet d’écrire x(T) indépendant de T (T: le temps que la viande est en vol):

TvTx x0)(

gv

T y020

2)(

2

0gTTvTy y

T: viande tombe au tigre

max2sin 02

0

gvx

gvv

Tx yx 002)(

)(454

00

v0

0 v0x=v0cos

v0y=v0sin

x(T)

Phys I SV 20132-16

P

x

y

O

rx’

y’

O’

r’

q

-vq

vp’vp

tan/qp vv

2-5. référentiel ?

Exemple: Pluie vue par le train

Un repère - x’,y’,z’ - est en mouvement par rapport à un autre - x,y,z

P un point matériel (r, r’)

q=(OO’)

Déplacement:

vitesse:

(accélération):

')( rtqr

q

q

aaavvv

tqrr

'

')('

'vvvdtrd

q

'aaadtvd

q

q

q

av

tq )(

Toujours soustraire le mouvement de l’origine du nouveau référentiel !

vq

1. Vue dans le repère x,y (hors train):

vq=(vT,0,0); vp=(0,-vp,0)

2. Vue du train (repère x’,y’):

vp’ =vp- vq =(-vT, -vp,0)

Phys I SV 20132-17

mouvement relatif

a) Référentiel du wagon:la balle a un mouvement uniformément accéléré et se déplace selon yseulement avec une vitesse initiale devy=(0,vy)

b) Référentiel du sol:la balle a en plus une vitesse initiale horizontale égale à celle du wagon, v0 = (v0,0)Elle décrit une trajectoire parabolique

a) Référentiel du wagon

b) Référentiel du sol

vi = vo + v vi: vitesse initiale de la balle p.r. au sol

Phys I SV 20132-18

Une balle est lancée horizontalement au-dessus d’un précipice versus une autre qu’on laisse tomber en même temps. (sans frottement avec l’air)

3. Elles arrivent en même temps tombée lancée

Position à t=0 (0, 0) (0, 0)

Vitesse à t=0 (0, 0) (v0, 0)

Vitesse à t=T (0, -gT) (v0, -gT)

Position à t=T (0, -gT2/2) (v0T, -gT2/2)

Référentiel de l’auditoire RI (en x) de la balle jetée RI au milieu des deux balles

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Phys I SV 20132-20

Phys I SV 20132-21