1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

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Page 2: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié

2) Norme d’un vecteur2) Norme d’un vecteur

3) Opérations sur les vecteurs3) Opérations sur les vecteurs

4) Système de référence4) Système de référence

2/13

5) Solide indéformable5) Solide indéformable

6) Paramétrage d’un point 6) Paramétrage d’un point

7) Angles d’Euler7) Angles d’Euler

8) Exemples8) Exemples

Page 3: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié1) Vecteur, vecteur libre, vecteur liéUn vecteur (libre ou lié) est un élément de l’espace vectoriel R3

il peut être défini de manière unique par 3 grandeurs (composantes)dans une base donnée de cet espace vectoriel R3

un vecteur libre n’est attaché à aucun point de l’espace.un vecteur lié est attaché à un point de l’espace.

3/13

Exemple : soit la base ( )000 ,, zyxrrr

000 zcybxaABrrr ++=

Autre notation :

( ) 0000 Bzyxc

b

a

c

b

a

AB

=

=rrr

un vecteur lié est attaché à un point de l’espace.

ExempleSolide

indéformableExemplesOpérations Système de

référenceParamétrage Angles

d’EulerNormeVecteurVecteur

Page 4: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

2) Norme d’un vecteur2) Norme d’un vecteur

Dans une base orthonormée ( )000 ,, zyxBrrr

on définit la normed’un vecteur la grandeur positive:

222 cbaAB ++=000 zcybxaABrrr ++=

Le résultat est indépendant

4/13

Exemple

Une base est dite orthonormée quand :

les vecteurs la composant sont orthogonaux entre eux.la norme de chacun de ses vecteurs vaut 1 (vecteurs unitaires).

Solide indéformable

ExemplesVecteur Opérations Système de référence

Paramétrage Angles d’Euler

NormeNorme

Le résultat est indépendantde la base d’écriture.

Page 5: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

3) Opérations sur les vecteurs3) Opérations sur les vecteursSomme de vecteurs :

aa +

Soient deux vecteurs exprimés dans la mêmebase B0 :

01

1

1

Bc

b

a

U

=

02

2

2

Bc

b

a

V

=

5/13

=+VU

021

21

21

Bcc

bb

aa

+++

Nota : VUVU +≠+

ExempleSolide

indéformableExemplesVecteur Système de

référenceParamétrage Angles

d’EulerNorme OpérationsOpérations

( ) ( ) ( ) =+++++ 021021021 zccybbxaarrr

Page 6: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

Multiplication par un scalaire :

=× ABα

=

× b

a

α

000 zcybxarrr ααα ++( ) =++× 000 zcybxa

rrrα

b

a

αα

0Bc

b

a

AB

=

6/13

=

×

0Bc

bα=

Nota : UU ×=× αα uniquement si αααα est positif ou nul

ExempleSolide

indéformableExemplesVecteur Système de

référenceParamétrage Angles

d’EulerNorme OpérationsOpérations

0Bc

b

αα

Page 7: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

Produit scalaire :

Le produit scalaire de deux vecteurs vaut :

Le résultat d’un produit scalaire est un réel.

Autre expression si les deux vecteurs sont écrits dans la même base :

7/13

( )VUVUVU ,cos. ××=

Autre expression si les deux vecteurs sont écrits dans la même base :

ExempleSolide

indéformableExemplesVecteur Système de

référenceParamétrage Angles

d’EulerNorme OpérationsOpérations

iBc

b

a

U

=

1

1

1

iBc

b

a

V

=

2

2

2

=VU . 212121 ccbbaa ×+×+×

Le résultat est indépendant de la based’écriture (identique aux deux vecteurs)

Page 8: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

( ) WUVUWVU ... +=+

Distributivité par rapport à l’addition :

UVVU .. =Symétrie :

Propriétés du produit scalaire :8/13

Nullité : le résultat d’un produit scalaire est un nul si :

l’un des deux vecteurs est nul ous’ils sont orthogonaux.

Signe du produit scalaire :

ExempleSolide

indéformableExemplesVecteur Système de

référenceParamétrage Angles

d’EulerNorme OpérationsOpérations

−2

;2

ππ0. >VU ( )∈VU ,si

Page 9: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

Si 1=V alors VU . correspond à la projection

en valeur algébrique de

axU =0.r

Si est une base orthonormée directe alors : ( )0000 ,, zyxBrrr

Cas d’un vecteur de norme unitaire :

Cas d’une base orthonormée directe :

U sur V

a

9/13

000 zcybxaUrrr ++=

axU =0.

byU =0.r

czU =0.r

1. 00 =xxrr

1. 00 =yyrr

1. 00 =zzrr

0. 00 =yxrr

0. 00 =zyrr

0. 00 =zxrr

ExempleSolide

indéformableExemplesVecteur Système de

référenceParamétrage Angles

d’EulerNorme OpérationsOpérations

)( 000 zyxc

b

a

U

rrr

=

Page 10: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

Produit vectoriel :

Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteuret vaut :

Autre expression si les deux vecteurs sont écrits dans la même base :

avec le vecteur unitaire orthogonal au plan formé par etU VW

10/13

( ){ } WV,UsinVUVU ××=∧

Autre expression si les deux vecteurs sont écrits dans la même base :

=∧ VU =

002

2

2

1

1

1

BBc

b

a

c

b

a

02121

2121

2121

Babba

caac

bccb

×−××−××−×

ExempleSolide

indéformableExemplesVecteur Système de

référenceParamétrage Angles

d’EulerNorme OpérationsOpérations

Page 11: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

( ) WUVUWVU ∧+∧=+∧

Distributivité par rapport à l’addition :

UVVU ∧−=∧Antisymétrie :

Nullité : le résultat d’un produit vectoriel est nul si

Propriétés du produit vectoriel : 11/13

Nullité : le résultat d’un produit vectoriel est nul si

l’un des deux vecteurs est nul ous’ils sont colinéaires.

0=∧ UU

000 zyxrrr =∧ 000 xzy

rrr =∧ 000 yxzrrr =∧

Si est une base orthonormée directe alors : ( )000 ,, zyxBrrr

ExempleSolide

indéformableExemplesVecteur Système de

référenceParamétrage Angles

d’EulerNorme OpérationsOpérations

Page 12: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

Double produit vectoriel :

( ) ( ) ( )VUWWUVWVU .. ×−×=∧∧

Produit mixte :

( ) ( ) ( )VUWUWVWVU ∧=∧=∧ ...

Le résultat est un vecteur.

12/13

( ) ( ) ( )VUWUWVWVU ∧=∧=∧ ...

Invariance par permutation circulaire.

Le résultat est un scalaire.

ExempleSolide

indéformableExemplesVecteur Système de

référenceParamétrage Angles

d’EulerNorme OpérationsOpérations

Page 13: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...
Page 14: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

4) Système de référence4) Système de référence

En mécanique on se place dans un système constituédu temps et d’un espace physique :

le temps (noté t) permet de repérer tout instant par sa date.

l’espace physique est associé à un repère ( )00000 ,,,0 zyxRrrr

0zr

1/14

Ce repère est défini par :

un point d’origine (centre du repère)

On parle d’espace-temps, de référentiel, d’observateur ou de repère.

0yr

0xr O0

une base orthonormée directe ( )0000 ,, zyxBrrr

ExempleSolide

indéformableExemplesVecteur Paramétrage Angles

d’EulerNorme Opérations Système de Système de

référenceréférence

Page 15: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

5) Solide indéformable5) Solide indéformable

On considèrera toujours que les pièces mécaniques étudiées sont toutes indéformables.

Un solide est dit indéformable si quels que soient deuxpoints A et B de ce solide

La distance AB reste constante au cours du mouvement ( )t∀

2/14

La distance AB reste constante au cours du mouvement ( )t∀

A

B

Exemple ExemplesVecteur Paramétrage Angles d’Euler

Norme Opérations Système de référence

Solide Solide indéformableindéformable

Page 16: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

6) Paramétrage d’un point dans un repère6) Paramétrage d’un point dans un repère

Pour définir la position d’un solide (S)

dans un repère ( )zyxRrrr

,,,0il faut d’abord commencer par lier à ce

solide un repère ( )SSSSS zyxRrrr

,,,0et ensuite définir la position de RS par

rapport à R :

3/14

Nota : comme le solide est supposé indéformable il y aéquivalence entre le solide et son repère associé.

définir la position de l’origine OS

définir l’orientation de la base ( )SSSS zyxBrrr

,,

Exemple ExemplesVecteur Angles d’Euler

Norme Opérations Système de référence

Solide indéformable

ParamétrageParamétrage

Page 17: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

yr

Paramétrage dans le plan coordonnées cartésiennes

( )yxRrr

,,0 est un repère orthonormé direct de ce plan.

La position d’un point M est définie par ses deux projections

Le problème se situe dans le plan( )yxrr

,

)( yxy

xM

rr

orthogonales sur chacun des axes.

4/14

yr

xrO

Mx

y

OM

Exemple ExemplesVecteur Angles d’Euler

Norme Opérations Système de référence

Solide indéformable

ParamétrageParamétrage

=OM

)( yxy

x

rr

=

Vecteur position

yyxxrr +

Page 18: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

yr

xirθθθθj

r

La position d’un point M est définie par le rayon r et l’angleθθθθ

Le problème se situe dans le plan( )yxrr

,

OM)(

0ji

rM

rr

)(sin

cos

yxr

rM

rr

θθ

coordonnées polaires

( )yxRrr

,,0 sont deux repères orthonormés directs.( )jiRrr

,,0'et

5/14

Paramétrage dans le plan

xrO

Mx

yθθθθ

=OM

== irOMr

)(0

ji

rrr

)(sin

cos

yxr

r

rr

θθ

=

OM

Exemple ExemplesVecteur Angles d’Euler

Norme Opérations Système de référence

Solide indéformable

ParamétrageParamétrage

Vecteur position

yrxrrr θθ sincos +

Page 19: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

Coordonnées cartésiennes (dans l’espace) :

( )zyxRrrr

,,,0 est un repère orthonormé direct.

La position d’un point M est définie par ses trois projectionsorthogonales sur chacun des axes.

Bz

y

x

M

zr

y

6/14

Bz

=

=

Bz

y

x

OM zzyyxxrrr ++

yr

xr

OMz

x

OM

Exemple ExemplesVecteur Angles d’Euler

Norme Opérations Système de référence

Solide indéformable

ParamétrageParamétrage

Vecteur position

Page 20: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

kzrr =

Coordonnées cylindriques :

( )zyxRrrr

,,,0 est un repère orthonormé direct.

La position d’un point M est définie par le rayon rl’angle θθθθ et la hauteur z

=+= kzirOMrr

)(

0

kjiz

r

rrr

)(

0

kjiz

r

Mrrr

Vecteur position

7/14

yr

xr

O

M

zθθθθ

ir

jr

rθθθθ

=OM

)( kjiz rrr

)(

sin

cos

zyxz

r

r

rrr

θθ

=

OM

Exemple ExemplesVecteur Angles d’Euler

Norme Opérations Système de référence

Solide indéformable

ParamétrageParamétrage

zzyrxrrrr ++ θθ sincos

Page 21: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

Coordonnées sphériques (dans l’espace):

Dans la base ( )wvuBrrr

,,

La position d’un point M est définie parle rayon ρρρρ l’angle θθθθ et l’angle ϕϕϕϕ

kzrr =

wr

( )zyxRrrr

,,,0 est un repère orthonormé direct.

Vecteur position

8/14

=OM

)(0

0

wvurrr

ρ

yr

xr

O M

zθθθθ

ir

jr

ρρρρϕϕϕϕ

ur

OM

Exemple ExemplesVecteur Angles d’Euler

Norme Opérations Système de référence

Solide indéformable

ParamétrageParamétrage

=urρ

Page 22: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

Dans la base ( )kjiBrrr

,,kzrr =

wr

La position d’un point M est définie parle rayon ρρρρ l’angle θθθθ et l’angle ϕϕϕϕ

( )zyxRrrr

,,,0 est un repère orthonormé direct.

Coordonnées sphériques (dans l’espace):9/14

kiOMrr

ϕρϕρ sincos +=

)(sin

0

cos

kjirrr

ϕρ

ϕρ=

Exemple ExemplesVecteur Angles d’Euler

Norme Opérations Système de référence

Solide indéformable

ParamétrageParamétrage

yr

xr

O M

zθθθθ

ir

jr

ρρρρϕϕϕϕ

ur

OM

Page 23: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

kzrr =

yr

xr

O M

zθθθθ

ir

jr

ρρρρϕϕϕϕ

ur

wr

Dans la base ( )zyxBrrr

,,

10/14

=OM

)(sin

sincos

coscos

zyxrrr

ϕρθϕρθϕρ

=

Dans la base ( )zyxB ,,

Exemple ExemplesVecteur Angles d’Euler

Norme Opérations Système de référence

Solide indéformable

ParamétrageParamétrage

zyxrrr ϕρθϕρθϕρ sinsincoscoscos ++

Page 24: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

Toutes les bases sont orthonormées

7) Angles d’Euler7) Angles d’Euler( )zyxB

rrr,,

Rotation de ψψψψzr

autour de

Rotation de θθθθir

autour de

( )kjiBrrr

,, kzrr =

précession

nutation

et directes.

zr

θθθθ

1zwrr =

ψψψψ1

3ϕϕϕϕ

kr

=

11/14

iautour de

( )wvuBrrr

,, uirr

=

Rotation de ϕϕϕϕwr

autour de

( )111 ,, zyxBrrr

1zwrr =

rotationpropre

Exemple ExemplesVecteur Norme Opérations Système de référence

Solide indéformable

Paramétrage Angles Angles d’Eulerd’Euler

yr

xr

uirr

=ϕϕϕϕ

ψψψψ

1xr

θθθθ2

Page 25: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

kzrr =

yr

xr

θθθθ

ϕϕϕϕψψψψ

1zwrr =

xr

ψψψψ

2

1

3ϕϕϕϕ

12/14

uirr

=ϕϕϕϕ

1xr

θθθθ2

yr

xr

ψψψψir

ψψψψjr

kzrr =

précession

kr

jr

θθθθvr

θθθθwr

uirr

=

nutation

vr

ur

ϕϕϕϕ1xr

ϕϕϕϕ1yr

1zwrr =

rotationpropre

Page 26: 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié 4) Système de ...

8) Exemples8) Exemples

Ecrire les vecteurs de la base dans la base( )zyxBrrr

,,( )w,v,u'Brrr

yr

θθθθ

θθθθur

vr

13/14

xr

θθθθ

wzrr =

Ecrire le vecteur dans la base( )zyxBrrr

,,U

)( wvuc

b

a

U

rrr

=

ExempleVecteur Norme Opérations Système de référence

Solide indéformable

Paramétrage Angles d’Euler

ExemplesExemples

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