Etude bibliographique

1 ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

1.1 CLASSEMENT DES ENGRENAGES [7-9]

Le rôle principal des engrenages est d'assurer la transmission de puissance avec un mouvement de

rotation d'un arbre à un autre, avec un rapport moyen de vitesses angulaires constant. Selon les

positionnements relatifs des arbres trois classes majeures d'engrenages peuvent être distinguées :

- les engrenages à axes parallèles. Ce type est nommé aussi cylindrique. Les deux arbres sont

parallèles. Diverses catégories sont distinguées selon la géométrie des dents suivant la génératrice.

On trouve les dentures droites, les dentures hélicoïdales, etc.…

- les engrenages à axes concourants. Ce type est nommé aussi conique. Les deux arbres sont tels

que leurs axes de rotation se coupent. Selon la géométrie des dents, on distingue les sous-catégories

des :

- dentures droites, les génératrices passent par le point de concours des axes de rotation,

- dentures hélicoïdales,

- dentures spirales, engendrées par des segments rectilignes s'appuyant sur une courbe

directrice.

- les engrenages à axes quelconques, ces engrenages sont nommés gauches. Les axes des arbres

n’ont pas de point commun et occupent une position relative quelconque. Dans cette catégorie se

retrouvent par exemple les dentures hypoïdes.

1.1.1 Engrenages spiro-coniques

Cette étude se concentre sur les engrenages coniques. Ils sont utilisés dans diverses applications

mécaniques. Leur histoire est très étroitement liée au début et au développement de l'automobile.

Quatre-vingts pour cent de la production sont des applications automobiles. Durant le développement,

il a fallu répondre à des exigences industrielles de plus en plus strictes :

- grande puissance,

- poids réduit,

- résistance des charges variables,

- fonctionnement sans bruit et vibration.

Les engrenages spiro-coniques sont réalisés avec des méthodes de taillage des engrenages

parmi les plus complexes. Les formes de denture sont directement liées au développement des

machines et des outils de fabrication.

La conception des différents types d'engrenages spiro-coniques dépend de la méthode de

génération appliquée. Tous les fabricants ont proposé leurs propres paramètres. La génération des

dents se fait à partir soit du concept des cônes primitifs, soit du concept de la roue plate génératrice.

On peut diviser fondamentalement les engrenages spiro-coniques en deux classes majeures,

américaine et européenne. La différence de base est dans:

13

- la forme de la courbure directrice de la roue plate génératrice,

- la continuité de la courbure directrice de la roue plate génératrice,

- la variation de la hauteur de denture.

La position relative des axes peut être concourante ou gauche. Parmi les systèmes de

fabrication les plus connus, on peut citer la denture spirale Gleason et la denture spirale

Klingelnberg/Oerlikon.

1.1.2 Forme de la courbe directrice

La direction de dent est déterminée par une courbe directrice. Selon les mouvements de l’outil de

taillage on trouve un arc de cercle ou un arc d’épicycloïde.

Pour un arc de cercle (Fig. 1.1), dans une position fixe, la génération de dent se réalise par trois

rotations simultanées. La fraise (rayon p) tourne sur elle-même, son axe tourne autour de l'axe de la

roue plate génératrice (rayon Rm). La pièce tourne aussi sur elle-même. La fraise porte des outils qui

imposent une forme de profil de denture. La vitesse de rotation propre de la fraise est indépendante

des autres mouvements de génération.

Fig. 1.1 Détermination de la forme de courbe directrice par un arc de cercle

Pour une génératrice selon un arc d’épicycloïde, l’axe de la fraise est entraîné par un mouvement

provoqué par un cercle roulant de rayon p. La fraise tourne sur elle-même tandis que ce cercle de

14

Etude bibliographique

rayon p roule sans glisser sur un cercle de base de rayon ρ. La pièce tourne autour de son axe. La

forme de la courbe directrice est alors une épicycloïde (Fig. 1.2). Les rotations de la fraise et de la

roue plate génératrice sont évidemment en relation.

Fig. 1.2 Détermination de la forme de courbe directrice par un arc épicycloïdal

1.1.3 Hauteur de dent

La section axiale de la denture caractérise la hauteur de dent, deux cas existent :

- denture à hauteur variable (Fig. 1.3), les génératrices du cône de pied et du cône de tête ne sont pas

parallèles avec la génératrice du cône primitif.

- denture à hauteur constante (Fig. 1.4), les génératrices du cône de pied et du cône de tête sont

parallèles avec la génératrice du cône primitif.

Fig. 1.3 Hauteur de denture variable des roues coniques

15

Fig. 1.4 Hauteur de denture constante des roues coniques

Trois systèmes majeurs sont distingués dans la fabrication des engrenages spiro-coniques :

- le système Oerlikon. La hauteur de denture est constante (Fig. 1.4), la forme de la courbe directrice

est un arc épicycloïdal (Fig. 1.2). Le développement de la denture est continuel. Une fraise porte

tous les outils coupants pour le développement de deux flancs du creux de dent,

- le système Klingelnberg. La méthode Klingelnberg (Fig. 1.5) est issue de la méthode Oerlikon. Il y a

deux cercles roulants, chacun roule sur son cercle de base en portant une fraise. Ainsi une fraise

double est utilisée dans le développement, deux groupes d'outils coupants sont fixés à cette fraise

pour le taillage respectivement des flancs convexe et concave du creux de dent. Ce système est

nommé le système Cyclo-Palloïd,

Fig. 1.5 Système Cyclo-Palloïd Klingelnberg

- le système Gleason. La hauteur de denture est généralement variable (Fig. 1.3), la forme de la

courbe directrice est un arc de cercle (Fig. 1.1). Cet effet conduit à un développement de denture qui

16

Etude bibliographique

se réalise par étapes pour toutes les dents. Les flancs de denture convexe et concave (actif et rétro)

sont taillés par des outils différents.

1.2 METHODES DE DEFINITION DES SURFACES D'ENGRENEMENT

La conception préliminaire des engrenages demande une définition très fine de la surface de denture

pour assurer des performances cinématiques et dynamiques satisfaisantes. Les comportements des

transmissions d’engrenages spiro-coniques sont particulièrement sensibles à la définition initiale de la

surface de denture, car il y une aire de contact conforme sur une très grande surface. Plusieurs

auteurs ont essayé d’avoir une définition formalisée de la géométrie [24, 32, 33, 40], en tenant compte

des paramètres de taillage significatifs [20, 24, 55]. Dans la pratique, l’aire de contact doit être située

au milieu de la surface du flan de denture pour présenter des conditions de contact satisfaisantes et

un niveau d’erreur cinématique le plus petit possible. Ainsi des modifications sur la surfaces sont

réalisées soit le long de la denture, soit en hauteur (pied-tête) [39]. Après avoir effectué les

modifications géométriques sur les paramètres de taillage de base qui sont très proches, le

changement de la géométrie de la surface n’est pas facilement estimé.

Les études sur les engrenages pour la définition de denture se partagent en deux, en fonction

du chargement : à vide et sous charge. Les études à vide, sans charge s’occupent principalement des

comparaisons des surfaces de denture [3, 4, 5, 23, 25, 27, 37, 38, 41, 42, 43, 44, 49, 54], et de la

définition de conditions cinématique de contact [1, 2, 14, 26, 29, 32, 34, 35, 40, 45, 46, 51, 55]. Les

études sous charge couvrent le domaine de la rigidité de denture [16, 30, 52], de la déformation et de

la détermination des conditions de contact sous charge [14, 15, 17, 18, 19, 21, 28, 31, 32, 33, 36, 39,

48, 50, 53].

1.2.1 Etude et analyse numérique des transmissions d’engrenages spiro-coniques à hauteur de denture constante et Face-Milled [40]

La génération de la surface de denture se réalise par la méthode des enveloppes (Annexe 2). Cette

génération de la surface de deux pièces est basée sur une application de deux cônes qui sont

tangents le long de leur génératrice commune (modèle 1) ou un cône et une surface de révolution qui

sont tangents le long un cercle commun (modèle 2). Les outils coupants fixés sur l’outil de génération

génèrent la surface de denture.

Le surface de génération donne des surfaces conjuguées de pignon et de roue, et la portée est

localisée. La portée dans les cas de correction est dirigée suivant le profil de la denture dans le

modèle 1 (Fig. 1.6) ou dans une direction longitudinale dans le modèle 2 (Fig. 1.7). L’erreur

cinématique reste égale à zéro mais avec des axes bien positionnés. Toutefois le positionnement des

axes peut être changé, ceci produira un changement presque linéaire de l’erreur cinématique

(Fig. 1.8). Ainsi une modification de la géométrie de denture est nécessaire pour assurer la fonction

constante de l’erreur cinématique avec un niveau assez faible et pour avoir une portée localisée. Ce

but est atteintpar l’application d’une fonction parabolique (Fig. 1.9) qui peut absorber la discontinuité

17

de l’erreur cinématique liée au déplacement relatif des axes. Cette fonction parabolique est obtenue

par des corrections appliquées simultanément suivant le profil et la direction longitudinale. Ainsi deux

surfaces de génération non-similaires (Fig. 1.10) sont appliquées. Les surfaces de génération sont un

cône d’un côté et une surface de révolution obtenue par un outil coupant circulaire de l’autre côté.

Fig. 1.6 Cônes de génération [40]

Fig. 1.7 Cônes de génération [40]

L’influences des erreurs de positionnement sont étudiées, ces erreurs sont : le déplacement

axial du pignon et de la roue, le décalage hypoïde, la variation de l’angle primitif. Les paramètres de

taillage ont été choisis afin d'avoir deux couples d'engrenage au niveau similaire de l'erreur

cinématique maximale (-10,94 '' dans le cas 1 et -10,09 '' dans le cas 2). Ces deux cas produisent des

portées complètement opposées. Le modèle 1 a une portée longitudinale (Fig. 1.12). Le modèle 2 a

une portée en direction suivant du profil de la denture. Les effets des désalignements sont déterminés

sur l'erreur cinématique et le changement de position de la portée.

18

Etude bibliographique

Fig. 1.8 Erreur cinématique liée des surfaces idéales de denture, erreur de l’angle primitif est égale à 3 ' [40]

Fig. 1.9 Fonction de transmission (a), erreur cinématique parabolique prédéfinie (b) [40]

Fig. 1.10 Surfaces de génération modifiées en deux directions [40]

L'erreur de l'angle primitif induit une fonction discontinue de l'erreur cinématique, (Fig. 1.8) si la

surface de denture n'est corrigée que dans une seule direction. La transmission peut cependant

s'interrompre. Cet effet est similaire avec tous les déplacements axiaux appliqués. Les résultats

montrent que la fonction parabolique prédéfinie réellement absorbe les erreurs cinématiques liées aux

déplacements d’axes, en donnant une fonction parabolique (Fig. 1.11) et une portée localisée

(Fig. 1.12). En envisageant deux modèles d’orientation de portée (en travers de la denture c'est-à-dire

19

de haut en bas de la denture ou une portée longitudinale) il est préférable d’avoir une portée

longitudinale qui donne un niveau inférieur de l’erreur cinématique liée aux déplacements d’axes,

10,7 '' du modèle 1 et 13,5 '' du modèle 2 si l'erreur de l'angle primitif est 3 '.

Fig. 1.11 Erreur cinématique, surfaces modifiées en deux directions, erreur de l’angle primitif est égale à 3 ’ [40]

Fig. 1.12 Portée en longueur, surfaces modifiées en deux directions, erreur de l’angle primitif est égale à 3 ’ [40]

1.2.2 Méthodes d’identification des déviations des surfaces de denture réelles [20, 29, 41, 42, 57]

Le développement des machines à commande numérique a ouvert de nouvelles opportunités pour

une génération de haute précision des surfaces doublement courbées, comme celles des dentures.

Toutefois ces opportunités ne sont réalisées qu’avec une mesure des coordonnées de la pièce réelle.

Dans la pratique une bonne portée n’est pas obtenue dès le premier taillage des engrenages spiro-

coniques en raison des erreurs de paramétrage de la machine comme des erreurs liées aux

paramètres d’outil et des erreurs du paramétrage de la pièce. Pour obtenir une portée satisfaisante, il

est donc nécessaire d’effectuer un nouveau taillage à partir de l’observation de la portée qui ne fournit

que des informations qualitatives. En outre, un nouveau taillage dépend largement du savoir-faire des

opérateurs et est basé sur la méthode essai-erreur.

Dans certains cas, [57] une pièce étalon est utilisée et la mesure des cordonnées fournit des

informations sur les déviations. La comparaison se fait en relatif entre cette pièce étalon et une pièce

20

Etude bibliographique

à valider. Les réglages de la pièce à tester sont donnés par rapport aux réglages de la pièce étalon.

La mesure est effectuée par une machine à mesurer en 3 Dimensions. Les différences de forme des

surfaces sont présentées en 3D (Fig. 1.13). Cette méthode a été jugée moins efficace [40] que la

détermination numérisée des déviations surfaciques.

Fig. 1.13 Comparaison (en absolu) de la surface réelle à la surface théorique [57]

Fig. 1.14 Positionnement de la pièce à CMM [20]

Fig. 1.15 Principe de la mesure de la surface de denture [29]

21

Fig. 1.16 Quadrillage de mesure [29]

Fig. 1.17 Déviations de la surface initiale [42]

Afin d’avoir une pièce précise sans avoir à la faire retailler, une méthode d’inspection assistée

par ordinateur en utilisant une méthode CMM (Mesure des Coordonnées par Machine à mesurer) a

été développée (Fig. 1.14). La mesure est réalisée par un palpeur sphérique (Fig. 1.15) avec des

relevés de valeurs selon une grille sur la surface de pièce. La densité de la grille de mesure affectera

la résolution et les facteurs d’erreur qui seront détectés. Par exemple une grille de 5x9 (Fig. 1.16), 5

mesures en profil, 9 en longueur est suffisante de détecter des erreurs de 1er ou 2nd ordre [29]. Il est

cependant difficile de mesurer près du pied de dent à cause du diamètre de palpeur. Similairement en

tête de dent, au début ou à la fin de la denture, la mesure ne peut être faite à cause d'un chanfrein.

Comme il faut maximiser la surface de denture mesurée, il est conseillé d’utiliser une grille de 9x15.

La détermination des réglages de la surface réelle est donnée sous forme numérique. Les déviations

liées aux réglages de machine sont prises en compte en supposant que la procédure de fabrication

produit des déviations de surface répétables. Cette méthode permet de réduire les défauts par une

22

Etude bibliographique

correction adéquate des réglages de machine et d'outil (Fig. 1.17 et 1.18). Les cordonnées de la

surface réelle sont mesurées avec la machine CMM. La surface de denture théorique exprimée en

fonction des paramètres de taillage est estimée par la méthode des moindres carrés, ainsi elle

s’approche au mieux de la surface réelle. Les déviations des réglages de machine estimées par

rapport aux réglages de la pièce réelle sont considérées comme des erreurs de réglages de machine

dues à la procédure de taillage. Ces erreurs sont corrigées pour obtenir la fabrication d’une nouvelle

pièce plus précise. Il en résulte une réduction significative du temps de développement de la portée.

Le traitement numérique de la surface théorique se réalise plus facilement que celui de la surface

réelle. De cette manière, on peut évaluer des performances cinématiques ou dynamiques calculées et

les comparer aux résultats expérimentaux.

Fig. 1.18 Déviations après correction [42]

1.2.3 Définition des portées [51]

Les engrenages présentent divers types de portée. Le type de portée dépend des modifications

possibles de la surface de denture par rapport à la surface de denture conjuguée. L'intention de ces

modifications est d’assurer une portée limitée à vide ou sous très faible charge. Les corrections

maintiennent la portée entre les bords de la dent, et ainsi évitent le contact de crête. Les nombreuses

études montrent que généralement le pignon est la seule partie du couple d'engrenage concerné dans

les modifications effectuées. Pour les engrenages spiro-coniques, il existe trois mécanismes pour

créer des modifications avec l’intention de localiser la portée [51] :

- le premier élément est la modification en longueur de la denture (Fig. 1.19), par la réduction de la

longueur d’outil sur la surface convexe. Similairement, la modification en longueur est obtenue par

inclinaison de l’outil et par un changement correspondant à l’angle de l'outil coupant. Si on visualise

le contact, il devient évident que le contact de deux surfaces de denture ne se réalise que dans les

points conjugués théoriques. Les modifications sont présentées sur la surface de denture entière par

23

une présentation du rapprochement des surfaces. Généralement après les modifications, il n'y a

qu’un seul point où le rapprochement reste nul, c’est un point conjugué,

Fig. 1.19 Rapprochement des surfaces avec une correction en longueur [51]

- le second élément est la modification en hauteur (Fig. 1.20). Une courbure concave sur l'outil

coupant (contrairement à un outil coupant droit) est utile dans la procédure de fabrication. La

modification de profil entraînera un contact en biais, si c’est la seule correction dominante,

Fig. 1.20 Rapprochement des surfaces avec une correction en hauteur [51]

- le troisième élément de modification est de faire tordre la surface du flanc du début à la fin de la

surface (Fig. 1.21). Cela se réalise par une rotation de l’outil autour de l’axe de l’angle de pied, et le

changement correspondant à l’angle de pied de machine.

24

Etude bibliographique

Fig. 1.21 Torsion du flanc de denture avec contact sans biais [51]

1.2.4 Optimisation cinématique des engrenages spiro-coniques [26, 32, 35, 51]

L’influence directe des erreurs de transmission sur les comportements dynamiques des engrenages

est très largement admis. Ainsi les développements dans ce domaine réduisent ou éliminent le bruit

d’engrenages et permettent d’accroître la force transmise des engrenages. Le bruit est un problème

commun des engrenages spiro-ciniques ou hypoïdes.

Les engrenages de haute qualité peuvent être obtenus mais avec un coût de production

considérablement augmenté. Les surfaces de denture sont très sensibles aux erreurs de montage ou

de fabrication. Le moindre changement peut provoquer des comportements cinématiques

complètement différents. Les modifications de réglages doivent être choisies attentivement pour

produire une erreur cinématique appropriée à vide qui annulera des déflections et des déformations

de contact sous charge, en réduisant le bruit et les vibrations dus à la non-uniformité du mouvement.

Fig. 1.22 Surface bombée suivant la ligne de contact [51]

25

Fig. 1.23 Erreur cinématique et portée basées sur les réglages de machine initiaux [26]

Fig. 1.24 Surface des courbes paraboliques d'erreur cinématique, inclinaison de l'outil = 0 ° à 4 °[32]

Le couple d'engrenage idéal devrait présenter une erreur cinématique zéro ou négligeable.

Pratiquement, l’erreur cinématique devient parabolique à cause de l'interaction des éléments de

corrections de denture appliqués dans la génération de la denture (Fig. 1.22). Les contraintes de

26

Etude bibliographique

l’optimalisation conduisent à certaines considérations spéciales. Un saut cinématique (Fig. 1.23)

informe que le second couple d'engrenage de dentures en engrènement n'est pas en contact quand le

premier couple d'engrenage a déjà terminé son engrènement. Il va induire un impact entre les

surfaces de denture, en générant plus de bruit de fonctionnement et réduisant la longévité.

Les modifications de denture seules agissent dans un sens linéaire sur les erreurs

cinématiques différentes entre l’entrée et la sortie du contact, le changement simultané de plus d’un

réglage de machine est non-linéaire et les résultats ne sont pas parfaitement estimés. Les effets des

réglages de machine (inclinaison de l'outil, décalage hypoïde appliquée à la fabrication, déplacement

du centre de la machine) sur l'erreur cinématique sont traités en forme 3D pour présenter un espace

de génération (Fig. 1.24). Les interactions directes sont détectées entre le biais de la portée et l'erreur

cinématique. Il existe un nombre infini de modifications. Ainsi l'optimisation se concentre à trouver des

réglages de machine appropriés au niveau zéro ou désirable de l'erreur cinématique. Une large

courbure longitudinale de la roue et du pignon est utilisée pour réduire la sensibilité aux changements

des réglages de machine.

Fig. 1.25 Graphiques de mouvement relatif, de vitesse et d'accélération [51]

La vitesse angulaire est la première dérivée de la fonction de l’erreur cinématique qui donne

une fonction linéaire et non-continue (Fig. 1.25) bien que la vitesse de révolution du pignon reste

constante. La dérivée seconde est l’accélération angulaire qui a une valeur négative constante. Le

pas de la fonction de vitesse angulaire est défini physiquement comme une accélération très grande

pour une période très coutre en donnant un pic dans le graphique d’accélération au point de

27

changement de couple durant l’engrènement. Physiquement, cette courte accélération est une

impulsion et elle renvoie à l’impact de tous les couples de dent au moment du premier contact. Cet

impact est réduit par les corrections multiples de la denture qui donnent une fonction de l’erreur

cinématique différente de la fonction quasi-parabolique. Par cette nouvelle méthode, on obtient cinq

petits impacts au lieu qu’un seul (Fig. 1.26).

Fig. 1.26 Graphiques de "Ultimate Motion Graph" [51]

1.2.5 Comparaison des résultats de simulations et expérimentaux à faible puissance [29, 36, 55]

L’analyse de l'engrènement et du contact des engrenages décrits par les surfaces de denture

théorique est une contribution importante dans la technologie moderne des engrenages. Cette

technique est capable d’estimer le niveau et la forme de l’erreur de transmission ainsi que le

déplacement de la portée dû aux erreurs de montage et de fabrication des engrenages. L’une des

méthodes pour définir la portée à faible puissance est la portée calculée : c'est une aire dans la

position instantanée de contact où la distance entre les deux surfaces en contact est inférieure à

l’épaisseur de la peinture de marquage des surfaces utilisées pendant les essais de mise au point.

L’autre contribution significative à la technologie des engrenages est la mesure des cordonnées

de la surface de denture qui permet de déterminer numériquement les déviations de la surface de

denture et de les minimiser par correction. Les déviations de la surface réelle par rapport à la surface

théorique dépendent des distorsions de surface occasionnée par le traitement thermique, les erreurs

d‘outils des machines et la procédure de rasage.

Cependant, les déviations de surface sont réduites par la correction des réglages initiaux de

machine, elles ne peuvent pas être éliminées définitivement. La manipulation numérique d’une

surface présentée théoriquement est plus facilement réalisée que celle d’une surface actuelle ou

mesurée. C’est pourquoi elle peut être appliquée dans l’évaluation des performances cinématiques ou

dynamiques de la denture réelle. Elle est capable aussi d'évaluer la distribution de charge et sa

28

Etude bibliographique

relation avec la vibration et le bruit. Au niveau de fabrication, elle aide à réduire le coût et le temps,

aussi à améliorer la technologie actuelle.

Fig. 1.27 Portée et erreur cinématique des surfaces de denture théoriques, partie menante [55]

1.28 Portée et erreur cinématique des surfaces de denture réelles, partie menante [55]

29

La surface de denture mesurée est donnée dans une forme numérique. Pour le calcul, il y une

approche générale pour l’interpolation de la surface réelle par les courbes splines bi-cubiques. Avant

l’analyse une minimisation des déviations est accomplie par une correction des réglages de machine.

Les comportements cinématique sont très sensibles à ces déviations, (en comparant les figures 1.27

et 1.28). Le rapport de conduite est inférieur à un, car l’erreur cinématique est discontinue (Fig. 1.28).

Les résultats montrent un excellent accord entre la simulation et les mesures (Fig. 1.29).

Fig. 1.29 Portée mesurée et calculée [29]

1.2.6 Etude d'engrènement sous charge [16, 18, 21, 22, 28, 30, 31, 33, 36]

La taille de la portée et la localisation de la ligne de contact sur le flan (Fig. 1.30) influencent la

déformation de contact et de flexion des dentures en contact.

Fig. 1.30 Géométrie 1 (5,083 Biais) [31]

L’erreur cinématique est une caractéristique des transmissions. L’entrée et la sortie

progressives de la denture dans le contact mécaniques introduisent des variations de charge par dent

qui font varier à leur tour les positions angulaires de la roue et du pignon. A cause des erreurs de

réglage ou de positionnement des axes, l’erreur cinématique apparaît aussi dans les cas où les

surfaces de denture en contact sont conjuguées pour un positionnement parfait. L’erreur cinématique

détermine la qualité de la transmission du mouvement. L’erreur cinématique excessive et

l’interférence d’entrée de contact sous très forte charge peut être importante. L’analyse de l’erreur

30

Etude bibliographique

cinématique sous charge est donc nécessaire dans l’étude des transmissions d’engrenages.

L’erreur cinématique, le rapport de conduite et la portée d’engrenage sont les aspects fondamentaux

du comportement de l’engrènement. L’estimation précise est importante pour produire des

engrenages plus résistants à la flexion et à la contrainte de contact. Les vibrations sont causées

principalement par l’erreur cinématique et la variation de la rigidité des dentures. Presque toujours, les

simulations sont comparées aux résultats expérimentaux.

Fig. 1.31 Maillage de contact raffiné d'engrenage spiro-conique [18]

La méthode d’Eléments Finis (EF) donne des résultats. Le temps de calculs est négligeable

dans la plupart des applications. Seule la préparation du modèle est un facteur limitant. Les modèles

d’EF peuvent être utilisés en temps réel pour optimiser la géométrie, comme l’erreur cinématique et la

portée. Quand le maillage de la denture se fait, il est habituel d’avoir une maille plus fine dans la zone

où le gradient de déformation ou de contrainte est grand. Le reste de la denture est discrétisé plus

grossièrement (Fig. 1.31). L’analyse par éléments finis des engrenages considérant la flexibilité de la

denture modélise mieux les contraintes de contact que la théorie de Hertz utilisée seule[21]. Plusieurs

systèmes de logiciel d'élément finis existent comme Lusas de FEA, Nastran ou Marc.

Une alternative proposée à la méthode d'éléments finis est la Méthode des Bandes Finis "Finite

Strip Method (FSM)" [30] (Fig.1.32). Elle conduit à des temps de préparation et de calcul réduits de

même à un résultat sûr. Ce modèle ne considère pas la rotation et le déplacement de la denture, ni la

déformation de couronne. Les positions de charge sont choisies pour éviter des effets des

chargements aux extrémités de denture coté petit bout et coté gros bout. Un modèle de référence

d'éléments finis a été construit (Fig. 1.33). Les résultats de deux méthodes sont comparés (Fig. 1.34).

La plus grande différence entre les méthodes est de l’ordre de 5 %.

Les transmissions d’engrenages récemment développées se dirigent vers l’augmentation du

nombre de couples de denture en contact. Pour deux à trois couples, on parle de haut rapport de

conduite, pour un à deux couples on parle le bas rapport de conduite [31]. La rigidité totale

d'engrènement peut être augmentée et la charge sur chaque couple de dentures est diminuée.

31

Fig. 1.32 Modèle typique des bandes finies [30]

Fig. 1.33 Modèle de référence d'éléments finis, position de charge A, B et C [30]

Fig. 1.34 Résultat de FSM (Méthode des bandes finies) et de la méthode d'éléments finis, position de charge A [30]

Les résultats montrent, dans les circonstances générales qu'un faible rapport de conduite

32

Etude bibliographique

produit sous charge une amplitude de l’erreur cinématique non-désirable sous charge (Fig. 1.35).

Pour les engrenages spiro-coniques qui ont une erreur cinématique à vide, un rapport de conduite

élevé conduit à un aplatissement de l’erreur cinématique sous charge. Le couple appliqué doit avoir

une valeur déterminée pour conduire à une erreur cinématique très proche de zéro. L’erreur

cinématique nulle obtenue aux dépends du rapport de conduite n’est pas forcément une bonne chose

de même pour la rigidité de la denture. Par ailleurs la transmission de mouvement dans des

conditions variables d’engrènement sont des conditions à considérer.

Fig. 1.35 Géométrie 5 (2,500 Biais) [31]

La capacité de transmission de charge des engrenages spiro-coniques est gouvernée par le

mode de distribution des charges entre les couples en contact. Cette capacité dépend fortement du

rapport de conduite ainsi que des conditions d’engrènement. A cause de la forme et des dimensions

de la portée produite par la charge transmise entre les dents en prise, le rapport de conduite calculé

avec la procédure AGMA est convenable par rapport aux résultats réels. Des résultats expérimentaux

peuvent être obtenus par des mesures avec des jauges de déformation placées au pied de la denture

(Fig. 1.36). Ils peuvent alors être comparés aux résultats simulés. Les dimensions et la positions de la

portée jouent un rôle principal pour la réponse des jauges contraintes à un couple appliquée. La

charge maximum indiquée par les jauges de déformation est obtenue dans la zone centrale (Fig. 1.37)

[21]. Pendant l’engrènement, le rapport de conduite réel reste quasi constant. Il varie selon la

distribution de charge.

Une nouvelle méthode a été développée, celle de LTCA (Loaded Tooth Contact Analysis) pour

obtenir une évaluation plus précise du rapport de conduite dans les conditions réelles. L’accord entre

les résultats expérimentaux (Fig. 1.38) et le modèle d’éléments finis est assez bon [21]. La denture est

sensible aux changements quel qu’ils soient. La variation de la localisation de portée causera des

variations significatives des déformations de denture et des contraintes correspondantes.

33

Fig. 1.36 Instrumentation des dents du pignon [22]

Fig 1.37 Réponse des jauges de contraintes des trois dents consécutives [22]

34

Etude bibliographique

Fig. 1.38 Portée mesurée et simulée. Sans les dents adjacentes (a), avec les dents adjacentes (b) [22]

D'autres auteurs [33] ont tenté d'envisager aussi les effets de la vitesse de rotation et du couple

transmis sur la contrainte et de les comparer aux résultats analytiques. Une analyse de contact en

trois dimensions en utilisant une méthode d'éléments finis a été comparée aux résultats obtenus par

des jauges contraintes. Un engrenage spiro-conique de type de Face-milled est utilisé. Les points sur

la surface de denture peuvent être décrits mathématiquement en étudiant la cinématique de la

procédure de fabrication. Un modèle multi-dents, modèle de sept dents, trois dents du pignon et

quatre dents de la roue, est appliqué dans les analyses d'éléments finis (Fig. 1.39). Ce modèle a 8793

éléments et 11262 nœuds. Les éléments appliqués sont tridimensionnels, hexagonaux, de huit nœuds

iso-paramétriques. Car le contact change la matrice de rigidité, elle doit être recalculée à chaque

itération. Pour cela, un temps énorme de calcul numérique est exigé pour un grand modèle de trois

dimensions.

Initialement, le modèle est chargé statiquement en fixant la position du pignon (Fig. 1.39) puis

un couple faible appliqué sur la roue tourne vers le pignon et produit le contact. Quand le contact est

établi, la charge est augmentée jusqu'au couple expérimental maximal. L'exemple de la distribution de

la contrainte est présenté sur la figure 1.40. Cependant on obtient les mêmes résultats par les

méthodes analytiques et expérimentales, plusieurs spéculations pourraient être faites concernant la

source des différences potentielles. Supposons que le modèle analytique a une géométrie parfaite

avec un alignement parfait des engrenages. Les tolérances de la procédure de fabrication sont loin

d'être parfaites. L'alignement sur le banc d'essai donne une déviation additionnelle de l'installation

parfaite. Les engrenages spiro-coniques sont particulièrement sensibles à n'importe quel changement

de minute et peuvent avoir du déplacement de l'enveloppe de contact. Les tolérances de la fabrication

et de l'installation sont contrôlées par la vérification de la portée. La variation de la localisation de la

portée causera une variation significative des forces intérieures de denture et contraintes

correspondantes. Comme les jauges de déformation ont une longueur active courte, leurs résultats

sont comparés aux contraintes ponctuelles des analyses d'éléments finis. La densité du maillage peut

35

être toujours augmentée mais le maillage est utilisé pour balancer la difficulté de la création un

modèle à trois dimensions sans utiliser des éléments déformés avec un temps de calculs numériques

raisonnable pour gérer l'analyse de contact. Toutefois certains compromis doivent être faits pour faire

ces calculs dans cette approche numérique très dépendante de la puissance du processeur utilisé.

C’est pourquoi comme les ordinateurs deviennent plus en plus performants une simulation complète

du modèle sera pratique et non-coûteuse, et la précision du modèle sera améliorée. La variation de la

vitesse de rotation du pignon a peu d'effet sur la contrainte entre une vitesse de rotation basse et

14400 tr/min, il y a un effet dynamique très faible sur la zone de contrainte.

Fig. 1.39 Modèle de sept dents appliqué dans l'analyse d'éléments finis [33]

Fig. 1.40 Résultat d'éléments finis exemplaire de l'analyse de contact 3D au couple d'engrenage est égale à 1073 Nm

(9500 in.lb) [33]

36

Etude bibliographique

1.3 CONCLUSION

Les engrenages spiro-coniques sont largement utilisés dans les transmissions aéronautiques ou

automobiles. Ils ont des géométries de denture complexes. Ainsi, leurs études se déroulent en

plusieurs étapes. L'initiative de ces études est de répondre aux exigences industrielles de plus en plus

strictes. Les études induites sur les comportements globaux des engrenages spiro-coniques

deviennent aussi extrêmement complexes. Les méthodes appliquées représentent des méthodes

d'analyse très récentes et sophistiquées, de la simulation numérique de la denture issue du système

de fabrication aux systèmes d'Eléments Finis. Le développement des machines CNC (Machine à

commande numérique) permet une combinaison presque infinie des réglages de machine. Les

performances des machines à mesurer facilitent la vérification de la géométrie de la denture taillée.

Les résultats des études expérimentales ou analytiques sont toujours comparés.

Dans le chapitre suivant, nous allons présenter la définition de la géométrie de la denture en

fonction des paramètres machines.

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