1 Eléments de mécanique des - HECE - Hydrostatique_Intro... · Stabilité « de rotation » : une...

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1 1 Eléments de mécanique des fluides .be ArGEnCo – MS²F Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) http://www.hach.ulg.ac. 2 Hydrostatique Forces appliquées sur des parois • Planes Courbes Objectif de la séance .be Pression d’Archimède Stabilité des corps Dynamique des fluides Notions cinématiques ArGEnCo – MS²F Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) http://www.hach.ulg.ac.

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1

Eléments de mécanique des fluides

.be

q

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2

• Hydrostatique– Forces appliquées sur des parois

• Planes

• Courbes

Objectif  de la séance

.be

Cou bes

– Pression d’Archimède

– Stabilité des corps

• Dynamique des fluides– Notions cinématiques

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2

3

Hydrostatique

.be

y q

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4

Par équilibre d’un cube de fluide

Rappel

zdpg

dz 0xdp

dx 0ydp

dy

.be

Par équilibre local en un point du fluide

* p gp z cst

x y zp p p p

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La constante peut être évaluée si l’on connaît la pression en un point donné du domaine (par ex. la surface libre où p=patm)

p gp

3

5Statique des fluides : force de pression sur un corps solide 

Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi plane Posons psurface = patm

En pression relative p’surface=0O

.be

c op H

p’A = ρghA

p’E = ρgH = p’max

Rappel de trigonométrie :

A

hA

E

HL

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ww.hach.ulg.ac. . .

sin.

. . . .cos tan

. .

c op H

hypo L

c adj c op

hypo c adj

E

6

Statique des fluides : force de pression sur un corps solide 

Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi plane

O

.be

0 0

i

E E

E

F p dl gh dl

l dl

Version « math » :

A

hA

Ep = pA

L

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0

2

sin

sin2

gl dl

Lg

E

p = pmax

4

7Statique des fluides : force de pression sur un corps solide 

Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi plane

Version « géométrique » :O

.be

2

max

sin2

sin

.2 2

LComme F g

et L H

L LF gH p

A

hA

Ep = pA

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ww.hach.ulg.ac. 2 2E

p = pmax Aire d’un triangle de base L

de hauteur pmax

8

Statique des fluides : force de pression sur un corps solide 

Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi plane

O

.be

Point d’application de F

~ « centre de poussée »

~ centre de gravité du

triangle de pression

E

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ww.hach.ulg.ac. E

p = pmax

5

9Statique des fluides : force de pression sur un corps solide 

Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi plane

.be

0

max

0

0

0

E

E

p x x b dx

xp x b dx

L

Vue « géométrique » Equilibre de moment

~ balancepmax

O Eb a

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3 2 2

0

03 2

2;

3

2

3

3

Ex bx L bL

L

L Lb a

L

2/3 1/3

x

10

Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi plane

Statique des fluides : force de pression sur un corps solide 

O

.be

Conclusions :

Action du fluide sur la paroi

Intensité totale

max2 2

L LF gH p

C

E

a

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Pt d’action

a2 2

3

La

E

p = pmax

F

6

11Statique des fluides : force de pression sur un corps solide 

Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi quelconque

.be

max min

min max

2

2

3

p pF L

p pLa

p p

E

Op = pmin

a

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ww.hach.ulg.ac. min max3 p p E

p = pmax

F

12

Statique des fluides : force de pression sur un corps solide 

Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi quelconque

.be

E

O

p = pmax

p = pmin

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ww.hach.ulg.ac. E

7

13Statique des fluides : force de pression sur un corps solide 

Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi quelconque

A BP2

.be

1 2

1 2

:

. :

. :

Equilibre de OEBA

R P P F

Hor H F

Vert V P P

E

Op = pmin

P1 F

A B

V

P2

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ww.hach.ulg.ac. E

p = pmax

R

H

V

14

Statique des fluides : force de pression sur un corps solide 

Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi quelconque

Composante horizontale : résultante

.be

E

O

p = pmax

p = pmin

Op = pmin

qui s’exerce sur la surface considérée projetée sur un plan

vertical.

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ww.hach.ulg.ac. E

E

p = pmax

8

15Statique des fluides : force de pression sur un corps solide 

Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi quelconque

Composante verticale : Poids du

.be

E

O

p = pmax

p = pmin

O

volume de fluide au dessus de la paroi

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ww.hach.ulg.ac. E

E

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Poussée d’Archimède

Force résultante des pressions sur ABC = Fi = poids du volume fluide ABCEFA

Force résultante des pressions sur ADC = Fs = poids du volume fluide ADCEFA

Force résultante totale = Fa = - poids du volume fluide ABCDA

.be

D

A

F E

Fs

Fa

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B

CFi

9

17Poussée d’Archimède

Chercher le point d’application par équilibre des moments

V

xdV xV dV LdA

1x xdV

V Définition du centre de gravité

.be O

xdA

p1dA

L

VV du volume déplacé

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ww.hach.ulg.ac. x

p2dA

18

• Supposons – un volume quelconque V

– délimité par une surface fermée S

– plongé entièrement dans un fluide de masse volumique

Poussée d’Archimède

V,

Sg

.be

plongé entièrement dans un fluide de masse volumique – soumis à un champ de pesanteur uniforme g

• On cherche à déterminer la résultante des forces de pression exercées sur le volume :

ùF p n dS

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ww.hach.ulg.ac. où

– dS est un élément infinitésimal de la surface considérée,

– n désigne la normale à l’élément de surface, orientée par convention vers l'extérieur de cette surface

S

n

10

19

• Afin de pouvoir appliquer le théorème de la divergence, de manière à transformer l’intégrale de surface en une intégrale de volume, on considère un vecteur uniforme et non nul

Poussée d’Archimède

u

.be

• u étant uniforme, on peut écrire :

• Selon le théorème de la divergence,

S S S

F u p n dS u p n u dS p u n dS

u

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divV

F u p u dV

20

• Or, en analyse vectorielle,

i if

Poussée d’Archimède

div grad divp u p u p u

.be

• Et puisque u est uniforme, on a

• Par conséquent,

u

div gradpu p u

div grad gradV V V

F u p u dV p u dV p dV u

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• On en déduit donc que

gradV

F p dV

11

21

• Or, d'après la loi fondamentale de l'hydrostatique,

Poussée d’Archimède

grad p g

.be

• D'où

• La résultante des forces de pression est donc égale en grandeur au poids du volume de fluide déplacé, mais orientée dans le sens contraire du poids,

flgradV V V

F p dV g dV dV g M g

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p ,c'est-à-dire vers le haut.

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Corps flottant

Poids du corps solide = Fs

Poussée d’Archimède = Fa

A l’équilibre Fs = Fa

Si mouvement vers le bas : Fs = cste et Fa augmente le corps remonte

.be

Fa

Si mouvement vers le haut : Fs = cste et Fa diminue le corps redescend

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Fs

12

23Stabilité des corps

Stabilité « linéaire » : un faible déplacement dans une direction engendre une force opposée tendant à retrouver la position d’origine

Stabilité « de rotation » : une faible rotation engendre une force opposée tendant à retrouver la position d’origine

.be

stable instable neutre

à retrouver la position d origine

Fs

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Fs

Fs

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Stabilité des corps immergés

Un corps totalement immergé est stable en rotation si son centre de gravité est en dessous du centre de poussée

.be

Fs

Fa Fa

Fs

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Fs Fa FaFs

13

25Stabilité des corps flottants

Un corps flottant est inconditionnellement stable en rotation si son centre de gravité est en dessous du centre de poussée

.be

Fa

Fs

Fa

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Stabilité des corps flottants

Un corps flottant est conditionnellement stable en rotation si son centre de gravité est au dessus du centre de poussée

G t d ité d lid

.be

FsFa

G

B

G : centre de gravité du solide

B : centre de gravité du fluide déplacé

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14

27Stabilité des corps flottants

Un corps flottant est conditionnellement stable en rotation si son centre de gravité est au dessus du centre de poussée

M

M : métacentre

.be

G

B B

M

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Métacentre: Point d’intersection de l’axe longitudinal d’un navire et de la verticale passant par le centre de poussée, lorsque le navire est incliné

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Stabilité des corps flottants

Un corps flottant est stable en rotation si son métacentre est au dessus du centre de gravitéUn corps flottant est instable en rotation si son métacentre est en dessous du centre de gravité

.be

B

M

M : métacentre

Fs

sinsCouple F MG

G

M

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ww.hach.ulg.ac. B

B

15

29Stabilité des corps flottants

.be

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30

Stabilité des corps flottants

.be

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31Stabilité des corps flottants

.be

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Stabilité des corps flottants

.be

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33Statique des fluides : Principe d’Archimède 

Poussée sur une surface fermée

.be

Tout corps plongé dans un fluide subit une poussée: égale au poids du fluide « déplacé »

(intérieur à la surface extérieure du corps)

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ww.hach.ulg.ac. s’appliquant verticalement de bas en haut

(pas de composante horizontale)

s’appliquant au centre de gravité du volume de fluide limité par la surface externe du corps

(centre de poussée)

34 Dynamique des Fluides

.be

Introduction, définitions et notions cinématiques

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18

35Grandeurs extensives vs intensives

Grandeur extensive

► sa valeur pour un système composé de deux sous-

Grandeur intensive

► rapport de deux grandeurs extensives se rapportant au

.be

systèmes est égale à la somme des valeurs de cette grandeur pour chaque sous-système

• masse,

même sous-système

• masse volumique

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• volume,

• quantité de mouvement,

• énergie totale…

q

• vitesse

• énergie spécifique…

36

• Ecoulement stationnaireL’écoulement ne dépend pas du temps

Les dérivées partielles des grandeurs de l’écoulement par

rapport au temps sont nulles

Notions cinématiques

0t

.be

appo t au te ps so t u es

• Ecoulement instationnaireLes variables de l’écoulement dépendent du temps

Dé d d éfé i l !!!

t

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ww.hach.ulg.ac. Dépend du référentiel !!!

19

37

• Description cinématique d’un écoulement– Vecteur vitesse:

– Vecteur lieu:

Notions cinématiques

,U r t

, ,r x y z

.be

Vecteur lieu:

Deux manières d’illustrer le champ vectoriel…– Tracer la trajectoire des particules

– Déterminer les lignes de courant

, ,r x y z

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38

• Trajectoire d’une particule« Lieu des endroits où se trouve la particule quand le temps varie »

Notions cinématiques

d rU

.be

Udt

, , ,

, , ,

dxu x y z t

dtdy

v x y z tdtd

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, , ,dz

w x y z tdt

20

39

• Ligne de courant« Ligne qui, à un instant t fixe, possède en chacun de ses points une

tangente parallèle au vecteur vitesse »

Notions cinématiques

U

.be

dx u

dy v

dy v

dz wdx u

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ww.hach.ulg.ac. dz w

, , , , , , , , ,fixé fixé fixé

dx dy dz

u x y z t v x y z t w x y z t

40

• Trajectoire vs. Ligne de courant– Les lignes de courant changent de position en fonction du temps

– Pour un écoulement stationnaire, les particules suivent continuellement les mêmes trajectoires, les lignes de courant s’identifient dès lors à ces trajectoires

Notions cinématiques

.be

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21

41Notions cinématiques

.be

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42

Notions cinématiques

• Phase de pompage en amont de l’écluse de Lanaye

.be

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22

43

• Par définition, les lignes de courant ne peuvent s’intersecter sauf aux points singuliers que sont les points d’arrêt

Notions cinématiques.be

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44

• Surface de courantSérie de lignes de courant adjacentes

Aucune particule ne peut

pénétrer la surface

Notions cinématiques

.be

pé ét e a su ace

• Tube de courantSurface engendrée par

l’ensemble des lignes de courant qui s’appuient

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de courant qui s appuient sur un contour fermé Cchoisi arbitrairement dans le fluide

C

23

45Principaux types d’écoulements

A chaque type d’écoulement correspond

.be

certaines versions simplifiées du modèle mathématique de base, traduisant toujours les

mêmes principes

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46

Cinématique des Fluides

• Description dans un repère cartésien :

z

.be

y

V

xV

yV

zV Point = (xV,yV,zV) V

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x

xV

24

47Cinématique des Fluides

• Description dans un repère cartésien :

z

.be

y

V

xV

yV

zV Point = (xV,yV,zV)

Vecteur position

= (xV,yV,zV) X

V

X

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x

xV

48

Cinématique des Fluides

• Description lagrangienne :

L’observateur suit chaque particule fluide dans son mouvement

.be

z

Particule fluide Trajectoire X(t) = (x(t), y(t), z(t))

~ évolution temporelle de la position (x,y,z) d’une particule donnée

0X

P0

P

dans son mouvement

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ww.hach.ulg.ac. t

X

y

x

= Coordonnées matérielles

~ liées à la particule fluide

, , ,X x y z t

25

49Vision Lagrangienne

.be

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50

Cinématique des Fluides

• Description eulérienne :L’observateur décrit l’état des particules

passant en un point donné

.be

z

Particule fluide

X

P0

P

Les grandeurs en x dépendent des particules X passant en t

En variables matérielles (Lagrange ) :

E i bl i l (E l )

,,

x X tU U X t

t

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x

,U U X t

x

En variables spatiales (Euler) :

,,

X x tU U x t

t

26

51Vision Eulérienne

.be

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52

Cinématique des Fluides

, ,IMPORTANT U X t U x t

.be

Vitesse eulérienne :

• Vitesse des particules qui passent au point donné = (x,y,z).

• Pour t fixé, on associe un vecteur vitesse en chaque point de l’espace.

Vitesse lagrangienne :

• Vitesse d’une particule donnée le long de sa trajectoire.

• Pour t fixé, on associe un vecteur vitesse à chaque

U

x

U

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ww.hach.ulg.ac. vecteur vitesse à chaque

particule.U

27

53Cinématique des Fluides

Voit. N°3

Observateur

.be

Voit. N°1

Voit. N°2

EULER LAGRANGE

V (km/h)150

130

150

130

V (km/h)

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53 t (s)t (s)

130

110

90

Voit. N°1

Voit. N°2

Voit. N°3

110

90

54

Cinématique des Fluides

Considérons une fonction de l’espace et du temps (x,y,z,t)– La dérivée lagrangienne de est notée

,X t

.be

– La dérivée eulérienne de est notée

,

t

,x t

A h i ilé ié

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ww.hach.ulg.ac. ,x t

t

Approche privilégiée

en hydraulique !

28

55

Ecoulement d’un fluide parfait autour d’un cylindre en translation à vitesse U∞ constante

Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne.be

U

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56

• Démarche :– Solution analytique en axes mobiles (vr, v) en coordonnées r,

ou (u,v) en coordonnées X,Y

– Changement de repère dans des axes fixes

Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne

x X U t

.be

C a ge e t de epè e da s des a es es

– Expression des composantes de vitesse dans les axes fixes

– Recherche de la formulation analytique des lignes de courant en axes mobiles

y Y

, ,

dX dY

u X Y v X Y

ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)

http://w

ww.hach.ulg.ac. – Recherche de la formulation analytique des trajectoires en axes

fixes

, ,

, ,

dxu x y t

dtdy

v x y tdt

29

57

Ecoulement d’un fluide autour d’un cylindre, 2D– Vitesses dans un repère fixe par rapport au cylindre (coordonnées cylindriques)

Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne

2a

.be Avec a : le rayon du cylindre

2

2

2

1 cos

1 sin

ra

v Ur

av U

r

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r, : les coordonnées cylindriques

58

Ecoulement d’un fluide autour d’un cylindre, 2D– Vitesses dans un repère fixe par rapport au cylindre

(coordonnées cartésiennes X, Y)

Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne

cos sinu v v

.be

2 2 2

22 21

a Y Xu U

Y X

cos sin

sin cosr

r

u v v

v v v

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2

22 22

a XYv U

Y X

30

59

Ecoulement d’un fluide autour d’un cylindre, 2D– Vitesses dans le repère fixe (coordonnées cartésiennes)

Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne

x X U t

.be

y Y

22 2

222, ,

a y x U tu x y t U

y x U t

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2

222, , 2

a x U t yv x y t U

y x U t

60

• Lignes de courant

Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne

.be

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31

61

• Lignes de courant dans un repère fixe par rapport au cylindre

Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne

, ,

dX dY

u X Y v X Y

.be

Coordonnées cylindriques

r

vrd

dr v

2

l i l i1 sin

a

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ww.hach.ulg.ac. Formulation analytique 2

2

2

1 sin

1 cos

rrd

dr a

r

62

• Lignes de courant dans un repère fixe par rapport au cylindre

Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne

2 2

2 2

sin

cos

r ard

dr r a

.be

cosdr r a

2 2

2 2

1

tan

r a drd

rr a

2 21r a d

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2 2

1

tan

r a drd

rr a

32

63

• Lignes de courant dans un repère fixe par rapport au cylindre

Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne

2 2

ln ln sin lnr a

Cr

0

.be

r a2

21 sin

aC r

r

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64

• Trajectoires en axes fixes

Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne

, ,dx

u x y tdt

.be

, ,dy

v x y tdt

22 2

222Formulation analytique

a y x U tdxU

dty x U t

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2

2222

y

a x U t ydyU

dt y x U t

33

65

• Lignes de courant dans un repère fixe par rapport au cylindre

Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne

2

21 sin

aC r

r

.be

• Trajectoires en axes fixes

22 2

222

a y x U tdxU

dt

r

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22

2

2222

dty x U t

a x U t ydyU

dt y x U t

66

Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne

.be

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