1

Distances à grand red-shiftEspace courbe et déviation géodésique

Philippe Magne

2004

2

INTRODUCTIONCe sont les distances qui nous séparent actuellement de lieux extrêmement éloignés.

Par contre, la lumière que nous en recevons présentement fut émise dans un passé lointain, alors qu’ils étaient très proches de nous.

En plus, le spectre de cette lumière est reçu fortement décalé vers l’infrarouge et même les ondes millimétriques, donc invisible à l’œil humain.

Paradoxes dus à l’expansion vertigineuse de l’espace !

L’ordre de grandeur de ces distances est voisin de l’horizon des particules déjà calculé dans d’autres chapitres.

Elles concernent la zone évènementielle de l’espace temps où se sont figées les germes des grandes structures dues, par ailleurs à l’instabilité gravitationnelle.

3

Nous rappellerons d’abord comment l’univers est devenu transparent alors qu’à l’origine il était opaque.La cause en fut le découplage des électrons et des photons. On se situe à la limite de l’observable sans toutefois atteindre l’horizon des particules, le red-shift correspondant est de z=1089, dans une épaisseur =195 ( d’après les résultats de la mission WMAP ).

Précisons que si l’univers, dans son état primitif très dense et très chaud, était opaque à la lumière, il ne l’était pas aux ondes acoustiques du fait de l’antagonisme entre gravitation et pression des photons couplés aux électrons, eux mêmes en

z

4

interaction avec les protons et la matière noire, c’est un plasma appelé « fluide photon / baryon ».

Enfin, on montrera les curieuses conséquences de la courbure de l’espace – temps, à ne pas confondre avec celle de l’espace (lui même), sa géométrie pouvant être d’ailleurs euclidienne ou non euclidienne, celle de l’espace – temps étant toujours courbe par suite de la présence de matière.

Cette courbure a pour conséquence une variation surprenante du diamètre apparent d’un astre de dimension physique connue et invariante, ne subissant pas l’expansion ( par exemple une galaxie). Lorsque que la distance de cet astre augmente par rapport à l’observateur, le diamètre

5

apparent commence normalement à diminuer, passe par un minimum, puis se met ensuite à croître de plus en plus.

C’est une « coquetterie » du fuseau de lumière, cône de lumière du passé de l’observateur déformé par la gravitation ( il se referme sur la singularité initiale ).

Il n’en va pas de même pour les extrémités d’une distance transverse à la ligne de vue qui, elle, subit l’expansion. Cette distance entre dans la catégorie comobile.

6

CRITERE D’OPACITE DE L’UNIVERS

C’est le couplage des électrons et des photons qui est la cause de l’opacité du milieu primitif.

Lorsque la matière est ionisée, le plasma contient autant d’électrons que de protons en vertu de sa neutralité globale et les électrons ont aussi trop d’énergie cinétique pour pouvoir se coupler avec les protons.

Pendant leur voyage les photons entrent souvent en collision avec les électrons: cela amène à définir un temps de libre parcours qui, comparé avec l’âge de l’univers révèle l’opacité ou la transparence du milieu

7

Le temps de libre parcours est donné par:

en secondes

: nombre d’électrons par m 3

c : vitesse de la lumière en m / s

: section de choc de l’électron libre

e : charge de l’électron 1.60219 x 10-19 coulomb

: coefficient des unités MKSA = 8.988 x 109

me : masse de l’électron 0.910954 x 10- 30 kg

2

0

8 ² 1

3 4 ²e

e

m c

T

eN

0

1s

e TN c

280.66 10 ²T m

8

Nous allons maintenant considérer trois époques :

1° Celle qui correspond à l’égalité du rayonnement et de la matière ( R=M ), les paramètres figurent dans le chapitre « Les trois Omégas de l’Univers »

z=3276, époque 55000 ans, température 8934 K facteur d’échelle a = 3 x 10-4

Pour évaluer le nombre Ne d’électrons par m 3 nous utilisons les résultats publiés par la mission WMAP à savoir que la densité de matière baryonique est de l’ordre de 4% de la densité critique au temps présent. Celle-ci vaut environ 10-26 kg / m 3 et donc celle de la matière baryonique 4 x 10-28 kg / m 3 le facteur d’échelle étant a=1.

La densité de matière varie comme a-3

9

On en déduit qu’à l’époque où R=M la densité des baryons ( en l’occurrence les protons ) était :

17 31.48 10 /b kg m

1710

27

1.48 100.884 10

1.67265 10eN

A cette époque l’univers était un plasma dont la neutralité globale impose qu’il y ait autant d’électrons que de protons, en divisant la densité de baryons par la masse du proton on obtient le nombre d’électrons:

par m 3

Le temps de libre parcours est

ou 200 ans. Au regard de l’âge de l’univers 55000 ans celui-ci est opaque.

96 10 secs ondes

10

2°Celle où la température a suffisamment chu pour que les électrons commencent à se découpler des photons. Nous adoptons les paramètres suivants:

z=1089, époque 378000 ans, température 2971K

on trouve secondes ou 5434 ans

Au regard de l’âge de l’univers ( 378000 ans ) celui-ci est encore opaque.

3°Celle où les protons ont capturé les électrons, le milieu est alors occupé par un gaz d’hydrogène, on est alors situé dans l’épaisseur

Il faut alors corriger la section de choc par le facteur:

111.63 10s

195z

4

1

3kT

W

11

k : constante de Boltzmann 8.61735 x 10-5 eV / K

T : température 2971 K

WI : énergie de l’état fondamental atome d’hydrogène

-13.6 eV

On trouve 543 millions d’années

Au regard de l’âge de l’univers, un peu plus de 378000 ans, il devient transparent.

.

s

12

DIAMETRE APPARENT EN FONCTIONDE LA DISTANCE A L’OBSERVATEUR

Rappelons tout d’abord une chose importante concernant les lignes d’univers parcourue par les rayons lumineux : elles sont situées sur le cône de lumière du passé de l’observateur, en l’occurrence le fuseau de lumière, nom que nous lui avons donné à cause de son repliement sur la singularité initiale.

La figure 1 est un espace-temps plat, le plan de simultanéité x0y0 perpendiculaire à l’axe temps est le lieu des évènements qui se produisent à l’instant t0 c’est à dire au temps présent

13

Le plan de simultanéité xeye correspond à l’instant te

où la lumière commença à être émise.Cette façon de présenter les choses porte le nom de « feuilletage » de l’ET, d’une manière générale les axes de temps cosmique sont perpendiculaires en

tout point aux surfaces de feuilletage, même si elles sont courbes.

Par ailleurs, les rayons lumineux issus des extrémités du diamètre physique appartiennent

aux plans 1 et 2 faisant entre eux l’angle ,ils sont perpendiculaires aux plans de simultanéité.

Remarquer les distances d’émission De et de réception DR on a évidemment

11R

e

Dz

D a

14

Figure 1

15

Par la pensée, faisons glisser le diamètre depuis jusqu’à en ayant soin que les extrémités de ce diamètre restent sur les lignes d’univers désignées « lumière ».

La contrainte que les plans 1 et 2 contiennent les extrémités de implique que l’angle varie pendant ce transport virtuel : il va commencer par décroître, passer par un minimum lors du passage au maximum de la distance d’émission, ensuite augmenter de plus en plus lorsqu’il s’approche de la singularité 0. On peut calculer en fonction de la distance de réception DR de la manière suivante:

0

1t

t

0

0t

t

(1 )radianse R R

zD D aD

16

Pour connaître DR nous utilisons la formule établie dans le document «Distances et horizons cosmologiques » dans la condition    

Saisir dans MAPLE :

evalf(4222.394*Int((0.27*a+0.73*a^4+0.000082392)^

(-1 / 2),a=ae. ..1));

On obtient DR en Mpc

De =aeDR

Un tableau donne un peu plus loin les résultats de calcul pour 0.0009174311927< ae < 0.9756

0k

1

140 2e

R

am r

c daD

Ha a

17

La première colonne concerne le red-shift zLa deuxième colonne le facteur d’échelle ae

La troisième, la distance de réception DR, on rappelle que c’est la distance au temps présent de l’astre observé.

La quatrième la distance d’émission, celle qui nous en séparait au moment où elle a émis la lumière que nous recevons aujourd’hui.

La cinquième concerne un exemple, il s’agit du diamètre apparent exprimé en secondes d’arc d’une galaxie de diamètre physique 50kpc

La sixième est une échelle exprimée en secondes d’arc

18

z ae DR Mpc De Mpc Dia App Echelle 1089 0.0009174311927 13998.89758 12.8430527 802 0.0622 1000 0.000999000999 13980.2473 13.96628 737 0.067 800 0.0012484395 13926.57379 17.38648 592 0.084 600 0.0016638935 13845.991 23.0382544 447 0.11 400 0.002493765586 13707.348 34.1829 309 0.165 200 0.0049751243 13386.19 66.5979 154.71 0.32 100 0.00990099 12925.29 127.93 80.59 0.59 50 0.019607843 12273.7849 240.662 42.81 1.16 39 0.025 11981.8624 299.546 34.39 1.45 19 0.050 10922.11311 546.1056 18.86 2.64 9 0.1 9420.978488 942.097 10.93 4.56 4 0.2 7304.594786 1460.918 7.02 7.078 3 0.25 6460.248665 1615.06 6.38 7.83

1.5 0.4 4403.33321 1761.33 5.85 8.539 1 0.5 3316.978936 1658.48 6.2 8.04

0.6 0.625 2202.142229 1376.3388 7.48 6.67 0.4 0.714 1544.798276 1102.9859 9.33 5.34 0.2 0.8333333 808.7686 673.9738 15.28 3.267 0.1 O.909090909 413.4658 375.878 27.41 1.82

0.075 0.93023325581 311.7643 290 35.62 1.4 0.050 0.9523809524 208.946 201 51.24 0.974 0.025 0.9756097561 105.01 102.45 100 0.496

19

La sixième permet ceci :

Ayant observé un astre et mesuré son diamètre apparent, en multipliant le nombre de secondes d’arc trouvé par l’échelle correspondant à son z, on obtient le diamètre physique en kiloparsecs.

Voir le tableau de calcul et la figure 4

20

21

22

23

DISTANCES COMOBILES SEPARANTLES AMAS DE MATIERE

AU SORTIR DE L’OPACITE

Se reporter à la figure 5 qui ressemble à la figure 1 dont elle diffère essentiellement par le fait que les extrémités de sont remplacées par deux amas de matière distincts

Le volume de chaque amas ne subit pas l’expansion car la gravitation locale assure leur cohésion. Par contre la distance métrique qui les sépare croît comme le facteur d’échelle, c’est une distance comobile. Les coordonnées de G1 et de G2 dans le référentiel comobile ne changent pas ( voir La Cosmologie baba )

24

D’où viennent ces amas?

Leur origine est attribuable à des ondes acoustiques qui se sont propagées au sein de l’univers homogène mais opaque à la lumière, bien que transparent aux ondes acoustiques.

La matière naissante s’est accumulée dans les zones de compression au détriment des zones de dépression.

C’est l’antagonisme entre la pression des photons et la gravitation qui rend possible ces oscillations acoustiques. En fait le phénomène est plus complexe car les interactions suivantes interviennent

photon électron (électrique), électron proton (électrique), proton matière neutre (gravitation)

25

L’espace est occupé par un fluide appelé photon/baryon.

Par ailleurs, la disparition de l’opacité est concomitante du gel des ondes acoustiques sous forme de masses séparées par du vide.

La diffusion du bruit cosmique par ces masses naissantes est constatée par de petites anisotropies qui font l’objet des recherches actuelles.

En ce qui concerne la figure 5, on peut considérer, sans que cela soit explicité, que les positions de G1et G2 correspondent à deux zones parmi d’autres du mode fondamental de vibration.

26

Figure 5

27

Revenons maintenant à la figure 5, remarquer les lignes d’univers suivantes:• les deux concernant la lumière qui convergent vers l’observateur au temps t0. Ce sont les intersections du fuseau de lumière avec les plans P1 et P2.• celles de la matière, elles atteignent les points G’1et G’2 au temps t0;

• du fait de l’expansion de l’espace on a la relation métrique:

Par contre la différence de coordonnée ne varie pas pendant l’expansion ( voir La Cosmologie baba).

' '1 2

1 2

11

e

G Gz

G G a

28

Contexte de l’évolution des idées concernant l’univers primitif

Il s’agit des conséquences de la découverte du bruit cosmique par COBE et des observations récentes effectuées par différentes missions telles que :

Boomerang, WMAP …etc…

L’objectif est d’obtenir une carte céleste détaillée des petites anisotropies du bruit cosmique qui s’avèrent de l’ordre de quelques centmillièmes de sa température moyenne 2.725K ( figure 6 ).

Elles s’avèrent d’une amplitude qui n’excède pas 70 microkelvins.Rappelons que l’origine de ce bruit est un rayonnement de corps noir .

29

Figure 6

30

La fréquence du maximum du rayonnement que nous recevons aujourd’hui est donné par la formule suivante:

fm en GHz =58.58 x Ten Kelvins

Pour T=2.725 K

on trouve 160 GHz (voir la figure7)

C’est une fréquence de la gamme des ondes millimétriques, ont été observées les bandes suivantes: 90 GHz, 150 GHz, 240 GHz, la figure 8 montre quelques cartes en fausses couleurs.

L’analyse statistique du spectre angulaire révèle des pics, celui qui a la plus grande amplitude concerne le mode fondamental (figure 9).L’échelle angulaire se déduit du moment multipolaire par r l

31

Figure 7

32Figure 8

33

Figure 9

34

Calcul de la position du premier pic de la figure 9La figure représente la statistique des observations effectuées par différentes missions,elles se recoupent assez bien. Peut-on, à partir des paramètres publiés, par ailleurs, par la mission WMAP calculer cette position?

Ce calcul est possible.

Tout d’abord, une remarque: l’énergie EM analysée fut émise au moment où l’opacité primordiale de l’univers fit place à sa transparence et qu’ipso facto la propagation des ondes acoustiques cessa puisque la pression du milieu devint quasi nulle. Il s’agit du découplage des électrons et des photons.Revoir«Les trois omégas de l’Univers » 

35

Cet événement se produisit à l’époque 378000 ansCela fixe la plus grande distance qu’a pu parcourir l’onde acoustique du mode fondamental, en l’occurrence l’horizon acoustique.

A ces 378000 ans on peut associer un red-shift z=1089 et la valeur particulière du facteur d’échelle:

L’horizon acoustique rs se calcule à l’aide du temps conforme et de la vitesse du son cs

10.0009174311927

1a

z

s sr c d

36

En fait, cs et sont des fonctions de

La vitesse du son dépend de la pression et de la densité:

d a

10 22

1 1

²m r

k

dt dad

a a Ha

a a

1

40 2

1

²k m r

dad

Ha a a

s

pc

37

p : pression en J / m 3 densité en kg / m 3

On peut encore écrire :

Pendant l’intervalle de temps ans, surtout au début, le milieu est ultra-relativiste et on peut admettre que :

Cela conduit à l’approximation :

:

²sc p

c c

0 378000

²

3

cp

3s

cc

38

Comme l’univers se dilate et se refroidit cs est aussi une fonction de z.

Wayne T. Hu dans sa thèse introduit la correction suivante:

D’où l’intégrale donnant l’horizon acoustique ( en nous plaçant d’abord dans le cas d’un univers plat)

3 19956653 1

1

s

c cc

a

z

1

40 0 2(3 1995 ) ( )

a

s

m r

c dar

Ha a a

39

Pour obtenir la valeur numérique, saisir dans MAPLE:

1

140 2

R

am r

c daD

Ha a

evalf(4222.394*Int(((3+1995*a)*(0.27*a+0.73*a^4+0.000082392))^(-1/2),a=0..0.0009174311927));

On trouve : rs = 146.6717098 Mpc

D’autre part, la distance de réception est donnée par:

Pour obtenir la valeur numérique, saisir dans MAPLE:

evalf(4222.394*Int((0.27*a+0.73*a^4+0.000082392)^(-1/2),a=0.0009174311927..1));

On trouve : DR = 13998.89758 Mpc

40

L’angle de la figure 9 ou l’angle sont donnés par:

Soit 0.600° ( WMAP donne 0.598 0.02 )

146.6710980.01047733203

13998.89758s

R

rradian

D

41

Même calcul dans le cas d’un univers courbe

Nous adoptons qui correspond à

et

Et les formules suivantes:

0.02k 1.02t 0.29m 0.73 0.000082392r

*1 1

2 21

40 0 2

sin{ }

(3 1995 )( ² )

a

s k k

k m r

c dar

Ha a a a

1

2*

11 1

2 2

0 4

sin{ }

²

R k k

a

k m r

c daD

Ha a a

42

Ordre de grandeur

ou 97.33 milliards d’AL

On trouve : radian ou 0.648°

Remarque : ce résultat confirme la très faible courbure de l’univers

1

2

0

29858.83k

cMpc

H

0.01130996174s

R

r

D

43

Quelques aspects de la perception de la courbure de l’espace

Cette perception dépend de l’écart entre l’unité et la somme

WMAP a annoncé que 1 < <1.04 ce qui signifie que la courbure est positive et que l’univers pourrait bien être fermé. Il en résulte que:

-0.04 < < 0

Le rayon de courbure d’un univers sphérique est égal à la racine carrée de la courbure, et vaut :

m r t

t

k

1

2

0k

c

H

44

La conséquence de cette courbure est la déviation géodésique, elle perturbe la mesure du diamètre apparent comme le montre la figure 10.

On constate, en effet, que dans le cas d’un univers courbe et fermé, le diamètre apparent observé est plus grand qu’il ne serait constaté dans un univers plat.

La déviation géodésique est exprimable par le rapport du diamètre apparent observé dans un espace courbe et fermé, au diamètre apparent observé dans un espace plat. Cela nécessite le calcul d’un autre angle que l’on trouvera figure 11.

Cet angle définit la longueur de l’arc de grand cercle que la lumière parcourt pour nous atteindre.

45

Figure 10

46

Figure 11

47

Cet arc est égal au produit du rayon de courbure par l’angle :

L’angle est donné par l’intégrale :

C’est l’angle du sinus de la formule donnant la distance de réception DR.

Les bornes d’intégration correspondent à:

z=1089, ( ), z=0, ( )

cR

1

2

0c k

cR

H

11

21

40.000917 2²k

k m r

da

a a a

0.0009174311927a 1a

48

La première borne d’intégration correspond à la zone de dernière diffusion du bruit cosmiqueLe diamètre apparent ( petit ) d’un diamètre physique est donné par :

Au premier ordre :

La déviation géodésique est donc

Voir le tableau de la page suivante

sinsincc

R R

3

sin6

2

16cR

2

16

49

k

m

Radians Degrés

Rayon de courbure

Age de l’univers Giga Ans

Déviation

géodésique

0 0.27 13.66 1 -0.02 0.29 0.4581519 26.25 97.37 13.48 1.035 -0.04 0.31 0.633971 36.32 68.85 13.31 1.067 -0.06 0.33 0.760638 43.58 56.21 13.15 1.094 -0.08 0.35 0.861336 49.35 48.68 13.00 1.124

-0.1 0.37 0.94529 54.16 43.54 12.86 1.149

50

TABLE DES MATIERES

Introduction 2

Critère d’opacité de l’univers 6

Diamètre apparent en fonction de la distance à l’observateur 12

Tableau des résultats de calculs 18

Distances comobiles séparant les amas de matière au sortir de l’opacité 23

Contexte de l’évolution des idées concernant l’univers primitif 28

Calcul de la position du premier pic du spectre angulaire 34

Vitesse du son et horizon acoustique 38

Calcul dans un univers dont la géométrie de l’espace est courbe 41

Quelques aspects de la perception de la courbure de l’espace 43

Tableau donnant la déviation géodésique 49