Distances grand red-shiftEspace courbe et dviation godsique

Philippe Magne 2004

INTRODUCTIONCe sont les distances qui nous sparent actuellement de lieux extrmement loigns.Par contre, la lumire que nous en recevons prsentement fut mise dans un pass lointain, alors quils taient trs proches de nous.En plus, le spectre de cette lumire est reu fortement dcal vers linfrarouge et mme les ondes millimtriques, donc invisible lil humain.Paradoxes dus lexpansion vertigineuse de lespace !Lordre de grandeur de ces distances est voisin de lhorizon des particules dj calcul dans dautres chapitres.Elles concernent la zone vnementielle de lespace temps o se sont figes les germes des grandes structures dues, par ailleurs linstabilit gravitationnelle.

Nous rappellerons dabord comment lunivers est devenu transparent alors qu lorigine il tait opaque.La cause en fut le dcouplage des lectrons et des photons. On se situe la limite de lobservable sans toutefois atteindre lhorizon des particules, le red-shift correspondant est de z=1089, dans une paisseur =195 ( daprs les rsultats de la mission WMAP ).Prcisons que si lunivers, dans son tat primitif trs dense et trs chaud, tait opaque la lumire, il ne ltait pas aux ondes acoustiques du fait de lantagonisme entre gravitation et pression des photons coupls aux lectrons, eux mmes en

interaction avec les protons et la matire noire, cest un plasma appel fluide photon / baryon.

Enfin, on montrera les curieuses consquences de la courbure de lespace temps, ne pas confondre avec celle de lespace (lui mme), sa gomtrie pouvant tre dailleurs euclidienne ou non euclidienne, celle de lespace temps tant toujours courbe par suite de la prsence de matire.Cette courbure a pour consquence une variation surprenante du diamtre apparent dun astre de dimension physique connue et invariante, ne subissant pas lexpansion ( par exemple une galaxie). Lorsque que la distance de cet astre augmente par rapport lobservateur, le diamtre

apparent commence normalement diminuer, passe par un minimum, puis se met ensuite crotre de plus en plus. Cest une coquetterie du fuseau de lumire, cne de lumire du pass de lobservateur dform par la gravitation ( il se referme sur la singularit initiale ).Il nen va pas de mme pour les extrmits dune distance transverse la ligne de vue qui, elle, subit lexpansion. Cette distance entre dans la catgorie comobile.

CRITERE DOPACITE DE LUNIVERSCest le couplage des lectrons et des photons qui est la cause de lopacit du milieu primitif.Lorsque la matire est ionise, le plasma contient autant dlectrons que de protons en vertu de sa neutralit globale et les lectrons ont aussi trop dnergie cintique pour pouvoir se coupler avec les protons.Pendant leur voyage les photons entrent souvent en collision avec les lectrons: cela amne dfinir un temps de libre parcours qui, compar avec lge de lunivers rvle lopacit ou la transparence du milieu

Le temps de libre parcours est donn par: en secondes

: nombre dlectrons par m3c : vitesse de la lumire en m / s : section de choc de llectron libre e : charge de llectron 1.60219 x 10-19 coulomb : coefficient des units MKSA = 8.988 x 109me : masse de llectron 0.910954 x 10-30 kg

Nous allons maintenant considrer trois poques :

1 Celle qui correspond lgalit du rayonnement et de la matire ( R=M ), les paramtres figurent dans le chapitre Les trois Omgas de lUniversz=3276, poque 55000 ans, temprature 8934 K facteur dchelle a = 3 x 10-4Pour valuer le nombre Ne dlectrons par m3 nous utilisons les rsultats publis par la mission WMAP savoir que la densit de matire baryonique est de lordre de 4% de la densit critique au temps prsent. Celle-ci vaut environ 10-26 kg / m3 et donc celle de la matire baryonique 4 x 10-28 kg / m3 le facteur dchelle tant a=1.La densit de matire varie comme a-3

On en dduit qu lpoque o R=M la densit des baryons ( en loccurrence les protons ) tait :A cette poque lunivers tait un plasma dont la neutralit globale impose quil y ait autant dlectrons que de protons, en divisant la densit de baryons par la masse du proton on obtient le nombre dlectrons: par m3

Le temps de libre parcours est ou 200 ans. Au regard de lge de lunivers 55000 ans celui-ci est opaque.

2Celle o la temprature a suffisamment chu pour que les lectrons commencent se dcoupler des photons. Nous adoptons les paramtres suivants:z=1089, poque 378000 ans, temprature 2971Kon trouve secondes ou 5434 ansAu regard de lge de lunivers ( 378000 ans ) celui-ci est encore opaque. 3Celle o les protons ont captur les lectrons, le milieu est alors occup par un gaz dhydrogne, on est alors situ dans lpaisseur Il faut alors corriger la section de choc par le facteur:

k : constante de Boltzmann 8.61735 x 10-5 eV / K T : temprature 2971 KWI : nergie de ltat fondamental atome dhydrogne -13.6 eV On trouve 543 millions dannes Au regard de lge de lunivers, un peu plus de 378000 ans, il devient transparent..

DIAMETRE APPARENT EN FONCTIONDE LA DISTANCE A LOBSERVATEURRappelons tout dabord une chose importante concernant les lignes dunivers parcourue par les rayons lumineux : elles sont situes sur le cne de lumire du pass de lobservateur, en loccurrence le fuseau de lumire, nom que nous lui avons donn cause de son repliement sur la singularit initiale.

La figure 1 est un espace-temps plat, le plan de simultanit x0y0 perpendiculaire laxe temps est le lieu des vnements qui se produisent linstant t0 cest dire au temps prsent

Le plan de simultanit xeye correspond linstant teo la lumire commena tre mise.Cette faon de prsenter les choses porte le nom de feuilletage de lET, dune manire gnrale les axes de temps cosmique sont perpendiculaires en tout point aux surfaces de feuilletage, mme si elles sont courbes.Par ailleurs, les rayons lumineux issus des extrmits du diamtre physique appartiennent aux plans 1 et 2 faisant entre eux langle ,ils sont perpendiculaires aux plans de simultanit.Remarquer les distances dmission De et de rception DR on a videmment

Figure 1

Par la pense, faisons glisser le diamtre depuis jusqu en ayant soin que les extrmits de ce diamtre restent sur les lignes dunivers dsignes lumire.La contrainte que les plans 1 et 2 contiennent les extrmits de implique que langle varie pendant ce transport virtuel : il va commencer par dcrotre, passer par un minimum lors du passage au maximum de la distance dmission, ensuite augmenter de plus en plus lorsquil sapproche de la singularit 0. On peut calculer en fonction de la distance de rception DR de la manire suivante:

Pour connatre DR nous utilisons la formule tablie dans le documentDistances et horizons cosmologiques dans la condition

Saisir dans MAPLE :evalf(4222.394*Int((0.27*a+0.73*a^4+0.000082392)^ (-1 / 2),a=ae. ..1));On obtient DR en MpcDe =aeDR Un tableau donne un peu plus loin les rsultats de calcul pour 0.0009174311927< ae < 0.9756

La premire colonne concerne le red-shift zLa deuxime colonne le facteur dchelle aeLa troisime, la distance de rception DR, on rappelle que cest la distance au temps prsent de lastre observ.La quatrime la distance dmission, celle qui nous en sparait au moment o elle a mis la lumire que nous recevons aujourdhui. La cinquime concerne un exemple, il sagit du diamtre apparent exprim en secondes darc dune galaxie de diamtre physique 50kpc La sixime est une chelle exprime en secondes darc

z

ae

DR Mpc

De Mpc

Dia App

Echelle

1089

0.0009174311927

13998.89758

12.8430527

802

0.0622

1000

0.000999000999

13980.2473

13.96628

737

0.067

800

0.0012484395

13926.57379

17.38648

592

0.084

600

0.0016638935

13845.991

23.0382544

447

0.11

400

0.002493765586

13707.348

34.1829

309

0.165

200

0.0049751243

13386.19

66.5979

154.71

0.32

100

0.00990099

12925.29

127.93

80.59

0.59

50

0.019607843

12273.7849

240.662

42.81

1.16

39

0.025

11981.8624

299.546

34.39

1.45

19

0.050

10922.11311

546.1056

18.86

2.64

9

0.1

9420.978488

942.097

10.93

4.56

4

0.2

7304.594786

1460.918

7.02

7.078

3

0.25

6460.248665

1615.06

6.38

7.83

1.5

0.4

4403.33321

1761.33

5.85

8.539

1

0.5

3316.978936

1658.48

6.2

8.04

0.6

0.625

2202.142229

1376.3388

7.48

6.67

0.4

0.714

1544.798276

1102.9859

9.33

5.34

0.2

0.8333333

808.7686

673.9738

15.28

3.267

0.1

O.909090909

413.4658

375.878

27.41

1.82

0.075

0.93023325581

311.7643

290

35.62

1.4

0.050

0.9523809524

208.946

201

51.24

0.974

0.025

0.9756097561

105.01

102.45

100

0.496

La sixime permet ceci :Ayant observ un astre et mesur son diamtre apparent, en multipliant le nombre de secondes darc trouv par lchelle correspondant son z, on obtient le diamtre physique en kiloparsecs.Voir le tableau de calcul et la figure 4

DISTANCES COMOBILES SEPARANTLES AMAS DE MATIEREAU SORTIR DE LOPACITE

Se reporter la figure 5 qui ressemble la figure 1 dont elle diffre essentiellement par le fait que les extrmits de sont remplaces par deux amas de matire distinctsLe volume de chaque amas ne subit pas lexpansion car la gravitation locale assure leur cohsion. Par contre la distance mtrique qui les spare crot comme le facteur dchelle, cest une distance comobile. Les coordonnes de G1 et de G2 dans le rfrentiel comobile ne changent pas ( voir La Cosmologie baba )

Do viennent ces amas?Leur origine est attribuable des ondes acoustiques qui se sont propages au sein de lunivers homogne mais opaque la lumire, bien que transparent aux ondes acoustiques.La matire naissante sest accumule dans les zones de compression au dtriment des zones de dpression.Cest lantagonisme entre la pression des photons et la gravitation qui rend possible ces oscillations acoustiques. En fait le phnomne est plus complexe car les interactions suivantes interviennentphoton lectron (lectrique), lectron proton (lectrique), proton matire neutre (gravitation)

Lespace est occup par un fluide appel photon/baryon.Par ailleurs, la disparition de lopacit est concomitante du gel des ondes acoustiques sous forme de masses spares par du vide.La diffusion du bruit cosmique par ces masses naissantes est constate par de petites anisotropies qui font lobjet des recherches actuelles.En ce qui concerne la figure 5, on peut considrer, sans que cela soit explicit, que les positions de G1et G2 correspondent deux zones parmi dautres du mode fondamental de vibration.

Figure 5

Revenons maintenant la figure 5, remarquer les lignes dunivers suivantes: les deux concernant la lumire qui convergent vers lobservateur au temps t0. Ce sont les intersections du fuseau de lumire avec les plans P1 et P2. celles de la matire, elles atteignent les points G1et G2 au temps t0; du fait de lexpansion de lespace on a la relation mtrique:

Par contre la diffrence de coordonne ne varie pas pendant lexpansion ( voir La Cosmologie baba).

Contexte de lvolution des ides concernant lunivers primitifIl sagit des consquences de la dcouverte du bruit cosmique par COBE et des observations rcentes effectues par diffrentes missions telles que : Boomerang, WMAP etcLobjectif est dobtenir une carte cleste dtaille des petites anisotropies du bruit cosmique qui savrent de lordre de quelques centmillimes de sa temprature moyenne 2.725K ( figure 6 ).Elles savrent dune amplitude qui nexcde pas 70 microkelvins.Rappelons que lorigine de ce bruit est un rayonnement de corps noir .

Figure 6

La frquence du maximum du rayonnement que nous recevons aujourdhui est donn par la formule suivante:fm en GHz =58.58 x Ten KelvinsPour T=2.725 K on trouve 160 GHz (voir la figure7)Cest une frquence de la gamme des ondes millimtriques, ont t observes les bandes suivantes: 90 GHz, 150 GHz, 240 GHz, la figure 8 montre quelques cartes en fausses couleurs.Lanalyse statistique du spectre angulaire rvle des pics, celui qui a la plus grande amplitude concerne le mode fondamental (figure 9).Lchelle angulaire se dduit du moment multipolaire par

Figure 7

Figure 8

Figure 9

Calcul de la position du premier pic de la figure 9La figure reprsente la statistique des observations effectues par diffrentes missions,elles se recoupent assez bien. Peut-on, partir des paramtres publis, par ailleurs, par la mission WMAP calculer cette position?Ce calcul est possible.Tout dabord, une remarque: lnergie EM analyse fut mise au moment o lopacit primordiale de lunivers fit place sa transparence et quipso facto la propagation des ondes acoustiques cessa puisque la pression du milieu devint quasi nulle. Il sagit du dcouplage des lectrons et des photons.RevoirLes trois omgas de lUnivers

Cet vnement se produisit lpoque 378000 ansCela fixe la plus grande distance qua pu parcourir londe acoustique du mode fondamental, en loccurrence lhorizon acoustique.A ces 378000 ans on peut associer un red-shift z=1089 et la valeur particulire du facteur dchelle:

Lhorizon acoustique rs se calcule laide du temps conforme et de la vitesse du son cs

En fait, cs et sont des fonctions de

La vitesse du son dpend de la pression et de la densit:

p : pression en J / m3 densit en kg / m3On peut encore crire :

Pendant lintervalle de temps ans, surtout au dbut, le milieu est ultra-relativiste et on peut admettre que :

Cela conduit lapproximation :

Comme lunivers se dilate et se refroidit cs est aussi une fonction de z.Wayne T. Hu dans sa thse introduit la correction suivante:

Do lintgrale donnant lhorizon acoustique ( en nous plaant dabord dans le cas dun univers plat)

Pour obtenir la valeur numrique, saisir dans MAPLE:evalf(4222.394*Int(((3+1995*a)*(0.27*a+0.73*a^4+0.000082392))^(-1/2),a=0..0.0009174311927));On trouve : rs = 146.6717098 MpcDautre part, la distance de rception est donne par:

Pour obtenir la valeur numrique, saisir dans MAPLE:evalf(4222.394*Int((0.27*a+0.73*a^4+0.000082392)^(-1/2),a=0.0009174311927..1));On trouve : DR = 13998.89758 Mpc

Langle de la figure 9 ou langle sont donns par:

Soit 0.600 ( WMAP donne 0.598 0.02 )

Mme calcul dans le cas dun univers courbeNous adoptons qui correspond et Et les formules suivantes:

Ordre de grandeur

ou 97.33 milliards dAL

On trouve : radian ou 0.648

Remarque : ce rsultat confirme la trs faible courbure de lunivers

Quelques aspects de la perception de la courbure de lespaceCette perception dpend de lcart entre lunit et la somme WMAP a annonc que 1 <

La consquence de cette courbure est la dviation godsique, elle perturbe la mesure du diamtre apparent comme le montre la figure 10. On constate, en effet, que dans le cas dun univers courbe et ferm, le diamtre apparent observ est plus grand quil ne serait constat dans un univers plat.La dviation godsique est exprimable par le rapport du diamtre apparent observ dans un espace courbe et ferm, au diamtre apparent observ dans un espace plat. Cela ncessite le calcul dun autre angle que lon trouvera figure 11.Cet angle dfinit la longueur de larc de grand cercle que la lumire parcourt pour nous atteindre.

Figure 10

Figure 11

Cet arc est gal au produit du rayon de courbure par langle :

Langle est donn par lintgrale :

Cest langle du sinus de la formule donnant la distance de rception DR.Les bornes dintgration correspondent :z=1089, ( ), z=0, ( )

La premire borne dintgration correspond la zone de dernire diffusion du bruit cosmiqueLe diamtre apparent ( petit ) dun diamtre physique est donn par :

Au premier ordre :

La dviation godsique est donc Voir le tableau de la page suivante

Radians Degrs

Rayon de

courbure

Age de

lunivers

Giga Ans

Dviation

godsique

0

0.27

13.66

1

-0.02

0.29

0.4581519 26.25

97.37

13.48

1.035

-0.04

0.31

0.633971 36.32

68.85

13.31

1.067

-0.06

0.33

0.760638 43.58

56.21

13.15

1.094

-0.08

0.35

0.861336 49.35

48.68

13.00

1.124

-0.1

0.37

0.94529 54.16

43.54

12.86

1.149

_1166697090.unknown

_1166697142.unknown

_1166697576.unknown

_1166696835.unknown

TABLE DES MATIERESIntroduction 2Critre dopacit de lunivers 6Diamtre apparent en fonction de la distance lobservateur 12Tableau des rsultats de calculs 18Distances comobiles sparant les amas de matire au sortir de lopacit 23Contexte de lvolution des ides concernant lunivers primitif 28Calcul de la position du premier pic du spectre angulaire 34Vitesse du son et horizon acoustique 38Calcul dans un univers dont la gomtrie de lespace est courbe 41Quelques aspects de la perception de la courbure de lespace 43Tableau donnant la dviation godsique 49