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CONSTRUCTION DE TRIANGLES

1) Inégalité triangulaire

Théorème admis: inégalité triangulaire:

Si une figure est un triangle, alors la longueur de chaque côté est toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Exemple:

A

B

C

AB < AC + CB

AC < AB + BC

BC < BA + AC

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Conséquence:

Si trois longueurs sont données et si la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres longueurs, alors on peut construire un seul triangle avec ces trois longueurs.

Exemples:

On peut tracer un triangle de côtés 5.2 cm ; 7.3 cm et 9.1 cm .

En effet, 9.1 < 5.2 + 7.3

On ne peut pas tracer un triangle de côtés 4cm ; 6 cm et 11 cm.

En effet, 11 > 4 + 6

•Trois points alignés:

Théorème:

Si trois points A, B et C sont tels que BA + AC = BC, alors A appartient au segment [BC]

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Théorème:

Si le point A appartient au segment [BC], alors BC = BA + AC

Exemple:

BC

A

BC = BA + AC

2)2) Construction d’un triangle Construction d’un triangle

Il existe un seul triangle défini par:

•trois longueurs vérifiant l’inégalité triangulaire

Exemple:4.3 < 2.1 + 3.4

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•deux côtés et l’angle compris entre ces deux côtés

Exemple:

•un côté et les deux angles ayant ce côté en commun

Exemple

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3) Somme des mesures des angles d’un triangle.

Propriété:

Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°

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Définition:

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu

plus grand que la moitié du segment

médiatrice du segment

4) Médiatrices d’un segment

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Construire un triangle IJK tel que IJ = 11cm IK = 8 cm JK = 5 cm ainsi que les trois médiatrices des côtés

IJ

K

11 cm

5 cm8 cm

écartement plus grand que 5.5 cmécartement plus grand que 5.5 cm

on recommence ensuite avec le côté [JK] pour tracer la 2e médiatrice puis avec le côté [IK] pour la troisième médiatrice

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Les médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point appelé le centre du cercle circonscrit au triangle:

Ce point est équidistant des trois sommets du triangle

Propriété

IJ

K

11 cm

5 cm8 cm

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Remarque:

Le centre du cercle circonscrit à un triangle n’est pas toujours à l’intérieur de ce triangle.

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5) MEDIANES

Définition:

Dans un triangle, une médiane est un segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé

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Construire un triangle MNP tel que MN = 9cm MP = 11 cm et M = 40° puis les trois médianes

40°

P

11 cm

M N9 cm

Les médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé le centre de gravité de ce triangle

Propriété

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6) HAUTEURS

Définition:

Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé

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11 cmA

B

C

40°80°

Construire un triangle ABC tel que AB = 11 cm A = 40° et B= 80° puis les trois hauteurs

Propriété:

Les hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé Les hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé l'orthocentre de ce trianglel'orthocentre de ce triangle