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Complexité de requêtes du problème de collision

et de problèmes liés

C. Dürr (LRI - Orsay)

travail avec Harry Buhrman, Mark Heiligman, Peter Høyer, Frédéric Magniez, Miklos Santha, Ronald de Wolf

v1

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Utiliser les algorithmes quantiques connusShor :

Problème de sous-groupe caché

Grover : Recherche du minimum, Problème de collision,Recherche du median

Trouver de nouveaux algorithmes quantiques

Utiliser de nouveaux opérateurs unitairesTransformée de

Hadamard Deutsch-Jozsa, Bernstein-Vazirani

Transformée de Fourier Simon, Shor

Matrice de HaarHøyer-Neerbek-Shi

Matrices de Hadamardvan Dam

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Problème de collision

Entrée : f:[N]Z

0 1 … i j N-1

Chercher : i,j[N] tel que f(i)=f(j), ij

f :

Z :

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0 1 … i N-1

Problème d’intersection

Entrée : f:[N]Z g:[M]Z

Chercher : i[N], j[M] tel que f(i)=g(j)

f :

Z :

0 1 … j M-1 : g

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Modèles de complexité

Modèle de requêtesOn compte le nombre d’appels à f ou g

Modèle de comparaisonsOn ne peut pas lire directement f ou gSeuls des comparaisons f(i)<f(j), g(i)<g(j),

f(i)<g(j) sont possibles et comptéesAucune hypothèse n’est faite sur Z, sauf

qu’il est muni d’un ordre

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Entrée: f:[N]{0,1}

Outil recherche quantique

Trouver (avec proba ½): i[N], tel que f(i)=1en appelant f O(N½) fois

f(i)=0

f(i)=1

[Grover]

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Complexité classique/quantique

Rechercher zZ dans f:[N]Z

cas général (f n’est pas forcément triée)

(N), (N½) [Grover]

cas f triée(log N), (log N)

0.53 log N par [Fahri,Goldstein,Gutman,Sipser]

log3N+O(1) par [Høyer,Neerbek,Shi]

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Outil amplification quantique

Entrée : Algorithme A avec probabilité de succès p

Répéter O(p-½) fois Apour probabilité de succès ½

succès

[Brassard,Høyer,Mosca,Tapp]

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Borne inférieure par réduction

Problème de recherchepour h:[N]{0,1} trouver i tel que h(i)=1(N½) [Bennet,Bernstein,Brassard,Vazirani]

Problème de collisionf: i i+h(i)

Donc le problème de collision est (N½)

f:

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Intersection: cas f trié

Chercher j[M] tel que g(j)f([N])

ce test coûte log(N)

Cette recherche coûte M tests Coût total O(M log(N))

j

f([N])

f: :g

… et N<M

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A B

Intersection: cas général

Trouver une intersection entre f et g– Chercher A[N], |A|=k

et B[M], |B|=k2 tel que f(A)g(B){}

Trouver une intersection entre f(A) et g(B)– Trier f(A)– Chercher jB tel que g(j)f(A)

j

f(A)

f: :g

coûte O(k log k)

coûte O(k2 log k)

coûte O((MN/k3) k log k)

=O ((MN/k) log k)

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Complexité

Meilleur choix de k avec kmin(N, M)

NMN2 N2<M

(M)

O(N½M¼logN)

O(N¾logN)

O(M½logN)

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Intersection: cas f et g triées

Application possibleQuestion à google.com “Calcul quantique”Réponse: éléments en commun de

tableaux précalculées et triées (une par mot clé)

… et N=M

f: 4 7 8 12 15 21 22 27 29 32 34

g: 5 8 11 26 22 26 32

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Sous-problème

f:

f est découpé en blocs de taille r

a

fi : restriction de f au i-ième bloc

g: b

g’i : restriction de g au bloc de taille r, commençant au premier b, tq g(b)f(a)

collision?

Sous-problèmes (f’i,gi) définis pareillement

0 i N/r

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Algorithme

Le problème initial a une solution si et seulement si un parmi les 2N/r sous-problèmes a une solution (“est positif”)

• Recherche quantiquement un sous-problème positif

• Appliquer récursivement cet algorithme aux sous-problèmes

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Complexité T(N)

T(N) c’(N/r)½(log(N+1)+T(r))

Appel récursif

Recherche binaire du début de bloc

Recherche quantique d’un sous-problème

Choisir r=log2(N)

T(N) c’’ (N/r)½ T(r)

pour des constantes c’,c’’

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Complexité

T(N)=O(N½clog*(N))

Logarithme itéré

log(i)(x) = log log … log (x)

log*(x) = min{i 0 : log(i)(x) 1}

Fonction presque constante

clog*(N) = o(log(i)(N)) pour tout i

pour une constante c

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Entrée : graphe G(V,E), n=|V|, m=|E|Trouver : a,b,c V tel que

(a,b), (b,c), (c,a) E

Recherche naïveRecherche quantique sur (a,b,c)V3

Complexité de requêtes O(n3/2)

Recherche de triangles

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Pour graphes épars

• Recherche quantique d’une arête (a,b)E

• Recherche quantique d’un 3-ième sommet c tel que (b,c), (c,a) E

• Amplifier quantiquement la probabilité de succès

… m=o(n2)

O(m½) requêtes

O(n½) requêtes

O(m½) répétitions

Au total O(n+(nm)½)

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Récapitulatif classique/quantique

Collision dans f 2-to-1 (i !j f(i)=f(j))

(N½), O(N)[Brassard,Høyer,Tapp]

Collision dans f(N), O(N¾logN), (N½ logN)

[Høyer,Neerbek,Shi]

Intersection entre f et g triées(N), O(N½clog*(N))

Triangles(n2), O(n+(nm)½)

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Problèmes difficiles

Pour f : [N]Z Parité des collisions

trouver la parité du nombre de i,j (i<j) tel que f(i)=f(j)

Sans collisiontrouver i qui n’est pas en collision avec un j

Hors imagetrouver zZ tel que z n’est pas dans

l’image de f

… même quantiquement (N)

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Directions futures

Trouver une borne inférieure pour le problème de collision dans f 2-to-1

Fermer le fossé entre les deux bornes pour le problème de collision

Dans le modèle de requêtes, utiliser le fait que pour f : [N][N]

∑j f(j) avec =e2i/N

est 0 pour f sans collision et diff. de 0 pour f avec une unique collision