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Coalescence et grandes structures combinatoires

Philippe ChassaingInstitut ELIE CARTAN

Nancy

Rouen, 6 Juin 2002

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751236475123647512364751236475123647512364751236475123647512364Graphe aléatoire

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Tailles des composantes C1(n,p) ≥C2(n,p)≥L

Erdös & Rényi, 1960-61

……..Janson, Luczak, Knuth & Pittel,

1993

p(n) ≈cn

c<1 → C1 =O(logn)

c=1 → Ci =O n2/3( )

c>1 → C1 =O(n), C2 =O(logn)

Aldous, 1997

p(n) =1n

+tn4/3

La suite converge vers la suite des longueurs des excursions de

au dessus de son minimum courant

Wt(s) =Bs +ts−12 s

2

n−2/3Ci( )i≥1

OK pour la loi limite à t fixé !Quid de la loi du processus en t ?

Coalescentmultiplicatif ?

4

8751236491082888751236491087129828536410871298228853641071928785364101928756568341019287565

Fragmentation d ’un arbreAldous & Pitman 1999

Coalescent additif !!

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Parking

Coalescence des blocs ? Quid ?

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Excursion & coalescence

a

f

Ta

Ta f(t) = f(t) −at+sup0≤s≤t

(as− f (s))

TaoTb =Ta+bf : excursion Brownienne normalisée

Bertoin 2000

Coalescence et fragmentation des

excursions quand a varie

Coalescent additif d ’Aldous & Pitman

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Equations de coagulation

∂n∂t

(x, t) =12 K(y, x−y)n(y, t)n(x−y,t)y=1

x−1

∑ −n(x, t) K (x, y)n(y, t)y=1

x−1

∑

Marian von Smoluchowski, 1916

n(x,t) =e−tB1−e−t,x( ), 0≤t≤+∞

B(α,x) = Pr(Zα =x) = (αx)x−1

x! e−αx

K(x,y) =x+y

Cas particulier

xentier

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Processus de Marcus Lushnikov

A chaque couple de particules (i,j), de tailles respectives x et y, on associe une variable aléatoire Ti,j de loi donnée par:

P Ti,j >t( )=e−K (x,y) t

La première coalescence a lieu à l ’instant :

T=mini,j

Ti, j

et concerne le couple de particules (I,J) défini par

TI ,J =mini, j

Ti,j

Introduit par M&L pour approcher numériquement les solutions des équations de Smoluchowski

Résultats de convergence parJeon, Norris, Fournier, Deaconu, Tanré, Wagner, etc ...

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Lien Parking—Smoluchowski:le bloc marqué (tagged particle)

10

m ⏐ → ⏐ +∞, nm

⏐ → ⏐ α

Pr Lm,n =k( ) ≈

Le bloc marqué

Pr Lm,n =k( ) =k−1

n−1⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ m k+1( )k−1 m−k−1( )n−k−1 m−n−1( ) m

−n

α k−1

k−1!k+1( )k−1 1−α( )

k n k+1,−ln(1−α )( ) =α k−1

k−1!(k+1)k−1e−α(k+1) 1−α( )

K(x,y) =x+y

e−α (k+1)

Parking ~ Smoluchowski additif ?

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Parking = Marcus-Lushnikov

Changement de temps ?

Pour chaque objet (véhicule) x, la pulsion de parking (!!!) se produit au bout d ’un temps Tx aléatoire exponentiel de moyenne 1. Les Tx sont indépendants ...

Date du kème événement: T(k)

Tαm( ) =−ln 1−α( ) +o(1)

Tm−λ m( )=1

2 lnm − lnλ +o(1)

Probabilité d ’agglomérer un bloc de taille x à un bloc de taille y lorsque restent exactement r blocs

x+ym(r−1)

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Lien Parking—excursion:hachage & coût de construction

Coût de construction = ? Coût de recherche = ?

= déplacement total =Dm,n

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E Dm,n[ ]=n+

n2n−1m

+(n−1)(n−2)

m2 +L⎛ ⎝

⎞ ⎠

Knuth, 1962

Déplacement total

Espérance

m places,n objets

E Dm,α m[ ]≈m2

1+1

1−α⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

Cas épars

E Dm,m−1[ ]≈m mπ8

Cas plein

1999

Variance

Flajolet, Viola & Poblete, Knuth,

σm+1,m≈m32 10−3π

24

14

Polynomes de Kreweras

Fn(1) =# fonctions parking{ }

=nn−2

=# arbres de Cayley{ }

Fn(2) =# graphes connexes à n sommets{ }

Fn(0)=n!

Fn(−1) =# permutations alternantes{ }

Fn(k)(1)k!

=# graphes connexes à n sommetset n+k-1 arètes { }

15

Polynomes de Kreweras

Fn(s) = kn−1

( )k=0

n−1

∑ Fk(s) Fn−1−k(s)1−sk+1

1−s

F(s,t) = Fn(s) tn

n!n≥0∑

∂∂tF(s,t) =F(s,t)

F(s,t) −sF(s,st)1−s

E Dm,m+1k

[ ]≈dk 2 πn3k k!

2 2( )kΓ 3k−1

2( )

dn =9(3n−4) dn−1 +12 dkdn−kk=1

n−1

∑

Aire sous l ’excursion Brownienne :

aire sousl'excursion Brownienne

0

20

40

60

0 500 1000 1500 2000 2500

E ρk[ ]=γk 2 π k!

36 2( )kΓ 3k−1

2( )

γn =9(3n−4) γn−1 +12 γkγn−kk=1

n−1

∑

Getoor Sharpe 1979, Shepp 1982, Louchard 1984, Biane-Yor 1987, Groeneboom 1989, Takács 1991

16

aire sousl'excursion Brownienne

0

20

40

60

0 500 1000 1500 2000 2500

Aire sous l ’excursion Brownienne :

déjà étudiée comme étant limite du cheminement total dans un arbre au hasard (Takac 1995)

PrDm,m−1

m m≤x

⎛ ⎝

⎞ ⎠

≈Pr ρ≤x( )

Flajolet, Viola & Poblete, 1999

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m ⏐ → ⏐ +∞, m−n ≈ α m

PrLm,n

m∈dx

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ ≈Pr

N2

α 2 +N2 ∈dx⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

N2

α 2 +N2

Le premier terme du coalescent additif standard

est distribué comme

(Aldous, Pitman, 2000)

La largeur d ’une excursion de Te

est distribué comme

(??)

Pr Lm,n =k( ) =k−1

n−1⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ m k+1( )k−1 m−k−1( )n−k−1 m−n−1( ) m−n

Lien Parking—excursion: le bloc marqué

18

Lien Parking—excursion: le profil

6823838781488458598996823838781488458582331144233114445523311444556233114445567233121

19

2000 sur 2500 places

0

20

40

60

0 400 800 1200 1600 2000 2400

20

2400 sur 2500 places

0

20

40

60

0 400 800 1200 1600 2000 2400

21

2499 sur 2500 places

0

20

40

60

0 400 800 1200 1600 2000 2400

220

20

40

60

400 800 1200 1600 2000 2400

Profils successifs cf. Bertoin 2000

23

Le modèle limite

a

f

Ta

am

places vides

Ta f(t) = f(t)−at+sup0≤s≤t

(as− f (s))

24

Convergenceha,n(t,ω) =

1nH n−a n⎣ ⎦,n

nt⎣ ⎦,ω( )

Pr ha,n(t)unift ⏐ → ⏐ ⏐ Tae U +t{ }( )[ ] =1

signifie "unift pour (a,t) [0,A] [0,1], A arbitraire")

unift ⏐ → ⏐ ⏐

t

128 7 9

912

13

5 12

13

13 4 3

6

6

11 11

11

14

14

14 15 10

16

16

ha,n

(t)

Tae(t,ω)

ha,n(t,ω)

Chassaing& Louchard

2000

25

2751836491010275183649104910275183649104910369275183649104910369427518364910491036946927518364910491036946932751836491049103694693592751836491049103694935996275183649104910275183649104910369493996527518364910491036949399652172751836491049103694939652179272751836491049103694939652792712751836491049103694939652792717827518364910491036949396527971782275183649104910369493965279717828275183649104910369493965279718287275183649104910369493965279718278

Lien arbres—parking

Schutzenberger, Foata-Riordan,

Françon,Kreweras ...

1960-80

26

27

88751236491049369695981787821098875123649108712982493665817878210853641087129822849366517721088536410719287493665121087853641019287564935121087656834101928756559108643127834101928765459108631273456Fragmentation de l ’arbre ≈ agrégation des blocs

28

Hachage et graphes connexes

7491523680a.7491523680c.6882323377145145495990b.Nombre de graphes connexes

à n sommets et n+k-1 arètes

n+1( )n−1 E Dn+1,nk

[ ]

29

87512364910

Élagage (bis)

875123649108751236491087512364910875123649108751236491087512364910875123649108751236491087512364910

N9 =4

Chassaing& Marchand

2002

Nombres de coupes au hasard pour détruire un arbre:

n × Rayleigh

30

Hachage et processus empiriques011F, Fn719368542U , i=i01n

01719368542U , i=i011234555667788901n

31

Largeur et hauteur des arbres46380125791226456337788955(n)ykkGk(n)k

32

Applications à l ’algorithmique