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CHAPITRE 4

LE POTENTIELÉLECTRIQUE

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PLAN DE MATCH

1. Énergie et potentiel électrique

2. Les surfaces équipotentielles

3. Énergie et potentiel électrique de charges ponctuelles

4. Champ électrique calculé à partir du potentiel et potentiel créé par une distribution de charges

5. Potentiel électrique d’un conducteur

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1. Énergie et potentiel électrique

• Utilité : l’énergie est un concept scalaire…

• La force électrique varie en 1/r2 comme la force gravitationnelle

• Énergie potentielle électrique loi de conservation d’énergie

• Énergie électrique : dépend de toute la distribution de charges

• Potentiel électrique : dépend des charges sources seulement, c’est une fonction scalaire de l’espace.

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Analogie

mécanique électrique

/

g

gg

g

U mgy

UV gy

mV J kg

Vg ne dépend pas de la masse d’essai

/ 1

E

EE

E

U qEy

UV Ey

q

V J C V

VE ne dépend pas de la charge d’essai

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MÉCANIQUE ÉLECTRIQUE

• Ug augmente lorsque m se déplace en sens contraire au champ.

• Vg augmente si Ug augmente.

• Laisser à elle-même, m se déplace vers des potentiels décroissants, dans le même sens que le champ

• UE augmente lorsque q positive se déplace en sens contraire au champ.

• VE augmente lorsqu’on se déplace en sens contraire au champ.

• Laisser à elle-même, q positive se déplace vers les potentiels décroissants, dans le même sens que E.

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Relation entre le potentiel, l’énergie potentielle et le travail extérieur

0 0

c

ext B A

ext

ext B A

W U

W U U U

W U

U q V

W q V q V V

Seul la variation du potentiel importe choix arbitraire de V = 0

En posant VA = 0 : extB

WV V

q

7

Définition générale du potentiel électrique

cosc

c

c

c

dW Fds

dW F ds

dW qE ds

W U

dU qE ds

dUdV E ds

q

B

B AA

V V E ds

8

Potentiel dans un champ électrique uniforme

Posons VA = 0 (arbitraire)

cos 180

B

B A A

B

B A

B

B A

V V E ds

V Eds

V E ds Ey

y =

V E s

V Ei di BCj

V Ed

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En général, pour E uniforme :

V Ed • d =

• Unités de E : V/m ou N/C

• U = q V

Pour une charge q > 0

V < 0 lorsque

U < 0 lorsque

Pour une charge q < 0

V < 0 lorsque

U < 0 lorsque

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Conservation de l’énergie

Si pas de force conservative :

Ou bien

Avec

0K U

U q V

K U

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Exemple 1 < référence : exemple 4.1 du Benson, p.78 >

Une charge q se déplace du point A vers le point B dans le même sens qu’un champ électrique uniforme.

a) Va-t-elle dans le sens des potentiels croissants ou décroissants ?

b) Son énergie potentielle augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?

Considérez les deux possibilités : q > 0 et q < 0.

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Exemple 2 < référence : exemple 4.2 du Benson, p.78 >

Un proton pénètre entre deux plaques parallèles séparées d’une distance de 20 cm.

Le champ électrique entre les plaques est de 3 X 105 V/m.

Si le proton a une vitesse initiale de 5 X 106 m/s, quelle est sa vitesse finale ?

mp = 1,67 X 10-27 kg

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2. Les surfaces équipotentielles

• Courbes de niveau sur une carte topographique…

• Une équipotentielle est une surface sur laquelle le potentiel est constant.

• Les lignes de champ sont aux équipotentielles :

0

dV E ds

dV E ds

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Que vaut le travail nécessaire pour déplacer une charge q sur une équipotentielle ?

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3. Énergie et potentiel électrique de charges ponctuelles

• E créé par une charge ponctuelle Q :

La variation du potentiel électrique du point A vers le point B :

2r

kQE

r

cos

1 1

B

B A A

B

B A A

B

rB A A

B

B AA B A

V V E ds

V V Eds

V V E dr

kQV V kQ

r r r

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• V = 0 est choisi « arbitrairement » à l’infini

• En posant rA = et rB = r :

• Si présence de n charges ponctuelles :

• C’est une somme de scalaire mais attention aux signes!

kQV

r

1

ni

i i

kQV

r

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Énergie potentielle électrique de charges ponctuelles

• Soit une charge q situé à un endroit ou le potentiel est V

• L’énergie potentielle d’interaction :

• Si la source de potentiel V est une charge ponctuelle Q :

•Alors l’énergie potentielle du système des deux charges q et Q :

U qV

kQV

r

kqQU

r

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• U = 0 pour r =

• U représente le travail nécessaire pour amener la charge q de l’infini à une distance r de Q, le tout à vitesse constante.

• U < 0 ?

• U > 0 ?

• Système de plusieurs charges :

Q

i jij

i j i j ij

kqqU U

r

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Exemple 3

Lors d’une fission nucléaire un noyau U235 capture un neutron ce qui sépare le noyau initial en deux produits de fission : Ba (Z=56) et Kr (Z=36 ). Immédiatement après la fission, les noyaux se retrouvent à une distance égale à la somme de leur rayon respectif soit r = 16,6 X 10-15 m. Calculez l’énergie potentielle de ce système de deux charges.

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Exemple 4

Deux charges ponctuelles q1 et q2 sont situées sur l’axe des x l’une à l’origine et l’autre à x = 8 cm.

a) Trouvez le potentiel aux points P1 et P2.Que vaut E au point P2 ?

b) On amène une charge q3 de l’infini en P2. Si q3 = - 8 nC, quelle est son énergie potentielle ?

c) Quelle est l’énergie potentielle du système formé par les 3 charges ?

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4. Champ électrique calculé à partir du potentiel et potentiel créé par une distribution de charges.

• Un des intérêts de la notion de potentiel : cette fonction scalaire permet de calculer E!

• Si par exemple le potentiel varie seulement selon l’axe des x :

s

s

s

dV E ds E ds

E

dVE

ds

x

x

ds dxi

dV E dx

dVE

dx

Calcul de E à partir de V

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• D’une manière générale, pour V quelconque :

• Dans le cas d’un champ radial :

gradient de V

V V VE i j k

x y z

E V

V

r

dVE

dr

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Potentiel créé par une distribution de charges

La technique est la même : divise la distribution en éléments de charge dq et on calcul la contribution de chaque dq au potentiel en un point donné :

kdqdV

rdq

V kr

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Exemple 5

Calculez le champ électrique produit par un anneau sur l’axe à une distance x. Le rayon de l’anneau est a et il porte une charge Q.

2 2

2 2 2 2

dq dqV k k

r x ak kQ

V dqx a x a

122 2

3 22 2

3 22 2

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2

x

x

x

dV dE kQ x a

dx dx

E kQ x a x

kQxE

x a

Voir p.29 du chap.2 de vos notes de cours!

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5. Potentiel électrique d’un conducteur

• Soit une cavité vide à l’intérieur d’un conducteur en équilibre électrostatique

• Dans le conducteur E = 0 :

• Tous les points appartenant au conducteur sont au même potentiel

• Si la trajectoire suivie passe dans la cavité, l’intégrale de ligne est encore nulle et donc E = 0 dans la cavité!

0B

AV E ds

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Exemple 6

Calculez le potentiel électrique, en fonction de r, créé par une sphère conductrice de rayon R portant une charge Q.

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Exemple 7

Une sphère conductrice creuse et non chargée a un rayon intérieur a et un rayon extérieur b. Une charge ponctuelle +q est placée au centre de la cavité à l’intérieur de la coquille. Calculez le potentiel électrique V(r).

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Effet de pointe

• Deux sphères chargées de rayon R1 et R2 avec R1 > R2.

• Les sphères sont éloignées l’une de l’autre et sont reliées par un fil conducteur.

• Les sphères forment un seul conducteur, donc V1 = V2.

• Sphères éloignées :

• Charge uniformément répartie :

1 2

1 2

Q Q

R R

12 1

2

R

R

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• 1/R

•E = /o

•Emax dans l’air = 3 X 106 V/m

• Équipements de haute tension = lisses et grand rayon de courbure.

• Paratonnerre : haute tige pointue pour capter les charges le plus tôt possible!

• Microscope à effet de champ : E très intense produit par une aiguille.

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RÉSUMÉ

• Le potentiel électrique :

• Calcul de la différence de potentiel :

• Pour un champ E uniforme :

• Potentiel créé par une charge ponctuelle (V=0 à r=) :

• Énergie électrique d’un système de charge :

• Effet de pointe pour un conducteur : et E sont élevés là où r est faible car V = cte sur tout le conducteur.

UV

q

B

AV E ds

V Ed

kQV

r

i j

i j ij

kqqU

r