1

A-IV Le Potentiel Électrique Scalaire

A-IV.1 Définition - Propriétés

La troisième notion de notre cours d’électrostatique, après celle de force de Coulomb et celle de champ électrique, est la notion de potentiel électrostatique scalaire.

Son introduction utilise la notion de travail d’une force.

Soit un point M d’un parcours où se trouve une charge soumise à un champ qui occasionne une force de Coulomb à laquelle un observateur oppose une force pour maintenir l’équilibre.

On appelle différence de potentiel le travail de la force entre A et B divisé par

AB

Mq

E

cF

oF

qAB

E

cF

oF

AB VV q

oF

q)BA;F(W

VV oAB

q)BA;F(W

VV oAB

)BA;F(W o

Remarques

Il faut que le déplacement de la charge entre A et B se fasse sans accélération. On dit que le déplacement est quasi-statique avec comme condition en chaque position

Le travail est donné par l’expression

0FF co

)BA;F(W o

B

A oo d.F)BA;F(W

L’unité de potentiel est le Volt

2

Potentiel électrique en un point M

Considérons l’expérience précédente qui conduit l’observateur du point A rejeté à très grande distance des sources du champ au point M.

Si le potentiel est pris égal à zéro alors le potentiel au point M devient

M

M’q

E

cF

oF A

E

AV

q)M;F(W

)M(V o

q)M;F(W

)M(V o

L’origine de ce potentiel est dans les charges électriques sources du champ .

Calculons explicitement ce potentiel pour le champ créé par une charge ponctuelle.

Pour un parcours rectiligne radial

Le potentiel créé par une charge ponctuelle à la distance r peut alors s’écrire

E

3o

or4

'r'qqF

r4

'qq

'r

'dr

4

'qq

'r

dl'.r

4

'qq)M;F(W

o

r

2o

M

3o

o

r4

q)M(V

o

r4

q)M(V

o q

M

r

0q

MqE

'OM'r

'q M’

A

M

OMr

oF

O

Le sens de est arbitraire

oF

3

Propriétés du potentiel créé par un charge ponctuelle

C’est un grandeur scalaire, algébrique.

Le signe du potentiel est celui de la charge q.

Il est en intensité inversement proportionnel à la distance de la charge qui le crée.

Il est directement proportionnel à la valeur de la charge.

Ne dépendant que du module r il est constant à distance constante de la charge.

Nous montrerons dans les compléments que le chemin suivi pour arriver au point M n’influe pas sur la valeur du potentiel en ce point.

Une autre manière d’exprimer ce résultat : la différence de potentiel entre deux points ne dépend pas du trajet suivi pour la calculer.

La définition même du potentiel à partir du travail, processus continu, implique que le potentiel est une fonction continue des positions dans l’espace.

r4

q)M(V

o

r4

q)M(V

o

qr Potentiel

constant sur une sphère centrée sur la charge

4

A-IV.2 Relation Champ - Potentiel

Reprenons les deux relations de définition du champ et du potentiel ,créés par une charge ponctuelle

De manière purement formelle nous avons

E notant la valeur algébrique du champ le signe lui étant conféré par celui de q.

Cette relation à une dimension

se généralise-t-elle à trois dimensions?

Pour le montrer il faut introduire un nouvel opérateur vectoriel s’appliquant à une fonction scalaire à trois variables d’espace f(x,y,z) et que l’on appelle

Noté simplement

Par définition en coordonnées cartésiennes

M

0q

MqE

MqV

3o

Mqr

rq

4

1E

rq

4

1V

oMq

Er

q

4

1drdV

2o

drdV

E

(f) gradient

f grad

kzf

jyf

ixf

f grad

La notation signifie une dérivation

partielle par rapport à la variable notée, ici x.

Exemple : si

xf

32 zyx)z,y,x(f

xy2xf

2x

yf

2z3

zf

kz3jxi2xyf grad 22

5

Considérons la fonction

Il vient facilement avec

Soit la relation locale cherchée entre le champ et le potentiel électriques

1/2 222 zyx

1r1

)z,y,x(f

kzjyixr

33/2 222 r

r

zyx

kzjyixr1

gradf grad

V(M) grad)M(E

V(M) grad)M(E

A-IV.3 Différence de potentiel

La relation locale entre le champ et le potentiel électriques produit également une relation globale. Calculons ce que l’on appelle la circulation du vecteur champ électrique entre les points A et B d’une courbe quelconque, en utilisant la relation locale entre le champ et le potentiel

AB

M

E

AV

BV

E

B

A BAB

A

B

AVVdVd.Vgradd.E

BAB

AVVd.E

BA

B

AVVd.E

Il a été fait usage de la relation

On peut la déduire de

variation totale de la fonction V(x,y,z) lorsque les trois variables varient.

d.VgraddV

dVdzzV

dyyV

dxxV

d.Vgrad

kdzjdyidxd

Avec

6

Remarques concernant les relations champ – potentiel

Le fait que localement

et globalement

implique que le champ soit orienté vers les potentiels décroissants.

Circulation du champ électrique sur une courbe fermée. Partant du point A et retour au point A il vient

La fonction potentiel étant définie continue elle reprend la même valeur après un tour complet. D’où la propriété importante du champ électrique:

la circulation du champ électrique sur une courbe fermée est nulle

BAB

AVVd.E

A B

E

BA VV

A B

E

BA VV

C

A

M

E

0VVd.E AAC

0d.EC

0d.EC

V(M) grad)M(E

7

A-IV.3 Surfaces équipotentielles

Le potentiel est une fonction scalaire de points

Un domaine où V(x,y,z) = Ct doit permettre de trouver une

autre fonction qui explicite la coordonnée z en fonction de x et y.

Cette dernière fonction représente une surface, relation entre x , y et z sur laquelle V = Ct.

De telles surfaces sont dites équipotentielles.

Les domaines équipotentiels ne se limitent pas à des surfaces, ils peuvent s’étendre à des volumes (voir la leçon sur les conducteurs) à l’équilibre où tout le volume du conducteur est au même potentiel (volume isopotentiel).

)z,y,x(V

)y,x(Sz VVS

x

y

z

O

M

Surface équipotentielle

Direction des lignes de champ par rapport aux surfaces équipotentielles.

Soient deux points A et B quelconques, distincts, sur une surface équipotentielle .

La circulation du champ électrique entre A et B sur un parcours appartenant à la surface est nulleVS

0VVd.EB

A

VSAB

E

d

Suite

VS

8

VSAB

E

d

Pour que cette expression soit nulle pour tout point A et B de la surface équipotentielle il faut que

Comme le vecteur infinitésimal appartient à la surface on déduit la propriété importante:

Les lignes de champ sont orthogonales aux surfaces équipotentielles.

dE d VS

VS

E

9

Electrostatic Potential Map H2O

Positively charged region(blue)

Negatively charged region(red)

H2O(no net charge)

Oxygen(red)

Hydrogen(white)

10

Electrostatic Potential Map H3O+

More positive(blue)

Less positive(green)

H3O+

(+1 charge)

Oxygen(red)

Hydrogen(white)

11

Most negative charge

Most positive charge

H3O+ and waterHow do they interact?

12

Electrostatic Potential MapH3O+ + 3 H2O

H3O+ surrounded by three water molecules –

still +1 charge

Green signifies reduced positive charge compared with

H3O+ alone.

13

BENZENEBENZENE

14

A-IV.4 Potentiel créé par plusieurs charges ponctuelles

Distribution discrète de charges

La définition même du potentiel dans ses relations à la force électrique permet d’appliquer le principe de superposition et de déduire le potentiel total par simple sommation, ici plus simple que pour le champ car nous avons affaire à une somme de scalaires et non plus de vecteurs.

1M

2M

1q

2q

M

1r

2r

Mqq 21

V

1

1

oMq r

q

4

1V

1

2

2

oMq r

q

4

1V

2

2

2

1

1

oMqq r

q

r

q

4

1V

21

Pour une distribution discrète de N charges N1,i M,q ii

N

1i i

i

oMq r

q

4

1V

i

N

1i i

i

oMq r

q

4

1V

i

Pour deux charges

N1,i MMr ii

15

A-IV.5 Compléments

a- Calcul du potentiel pour un trajet quelconque

Pour un parcours quelconque l’expression du travail est au départ la même

Il faut alors estimer l’expression générale

Soit en coordonnées cartésiennes

et

Il vient

Avec

Le travail peut alors s’écrire

M

3o

o'r

dl'.r

4

'qq)M;F(W

3'r

dl'.r

0q

MqE

'OM'r

'q

M’

A

M

OMr oF

O

k'zj'yi'x'r

k'dzj'dyi'dxd

)'u(d21 'dz'z 'dy'y 'dx'x d'.r

2222 r' 'z 'y 'x 'u

r4'qq

'u1

4'qq

'u2)'u(d

4'qq )M;F(W

o

2r

o

2r

2/3o

o

r4

q)M(V

o

r4

q)M(V

o

Soit pour le potentiel

L’expression est la même que celle trouvée pour le parcours linéaire radial. Ce qui montre en toute généralité que la différence de potentiel entre deux points ne dépend pas du chemin suivi. C’est la moindre des choses si on veut que le potentiel en un point ait un sens physique.

16

Les calculs du potentiel électrique en un point M sont valables que le point M soit situé hors ou dans le domaine de la distribution de charges.

b- Potentiel créé par une distribution de charges

d

'rr

)'r(

4

1)r(V

o

Le potentiel de la charge totale du domaine 3D est donné au point M par

S

o

dS'rr

)'r(

4

1)r(V

C

o

d'rr

)'r(

4

1)r(V

r

O

S

C

r

r

S

'r

'r

'r

M

M

M

Le potentiel de la charge totale du domaine 2D est donné au point M par

Le potentiel de la charge totale du domaine 1D est donné au point M par

Au même titre que pour le champ électrique donnons les expressions du potentiel électrique scalaire produit par une distribution de charges dans les trois cas de dimensionnalités.

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c- Propriétés locales du potentiel électrique

Deux relations impliquant le champ électrique nous permettent de déduire une propriété locale du potentiel électrique.

Nous avons établi une relation locale entre le champ électrique et la densité de charges

De même qu’une relation directe entre le potentiel et le champ électrique

En combinant les deux relations

L’opérateur divergence du gradient n’est autre que le laplacien noté Δ.

On en déduit l’équation de Poisson reliant le potentiel et la densité locale de charges

En un point dépourvu de charge cette équation se réduit à l’équation de Laplace

V(M) grad)M(E

o

)M()M(Vgraddiv

o

)M()M(V

o

)M()M(V

0)M(V

La forme explicite du laplacien d’une fonction scalaire V(x,y,z) est dans la version cartésienne 2

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

V)z,y,x(V

o

)M()M(Ediv

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A-IV.6 Exercice à faire

N°1- Potentiel d’une sphère chargée en volume Soit une sphère de rayon R portant une charge

uniformément répartie dans tout son volume avec une densité ρ constante.

1- Calculer par une méthode directe le potentiel électrique en un point M à la distance r du centre O de la sphère avec OM = r.

2- Étudier et tracer V(r) pour r variant de 0 à

3- Retrouver l’expression du potentiel à partir de celle du champ électrique.

O

RM

?)M(V

N°2- Potentiel créé par un fil fini chargé

x

O

M

y

ab

cc

λ

Soit un fil rectiligne, fini, de longueur 2c, de centre O, portant une charge électrique uniformément répartie de λ coulombs par unité de longueur.

1-Trouver le potentiel électrique en un point M ce coordonnées (a,b) dans le repère (O;x,y) donné.

2-En déduire dans ce repère les composantes du champ électrique.

3-Déterminer les lignes équipotentielles dans le plan de la figure de même que les lignes de champ. Montrer leur perpendicularité.

19

N°3- Potentiel créé une plaque carrée uniformément chargée

MxO

2c

2c

Soit une plaque carrée de côté 2c, de centre O, portant une charge électrique par unité de surface.

1-Calculer le potentiel électrique créé en un point M de l’axe à la distance x = OM.

2-Donner l’expression de ce potentiel en O.

3-Retrouver l’expression du champ électrique en M à partir de celle du potentiel.

20

A-V L’Énergie Électrique

A-V.1 Généralités sur l’énergie potentielle d’un système physique

Une définition très générale de l’énergie potentielle d’un système physique peut être la suivante:

L’énergie potentielle d’un système physique est l’énergie qu’un observateur doit dépenser pour mener le système dans son état présent, à partir de constituants initialement à l’infini les uns des autres

L’origine de cette énergie peut être multiple compte tenu de la complexité éventuelle du système.

Nous intéresse ici l’énergie potentielle de charges électriques en présence de champ électrique.

Comme les charges électriques sont ponctuelles nous ne sommes pas concernés par l’énergie potentielle d’une charge ponctuelle dans son propre champ.

Par contre, pour un ensemble de charges de dimension finie, il sera nécessaire de considérer l’énergie potentielle propre du système de charges dans le champ global qu’elles créent.

Système constitué

Éléments issus d’endroits où ils sont très éloignés les uns des autres

21

A-V.2 Énergie potentielle électrique d’une charge ponctuelle dans un champ électrique extérieur

Quand nous avons construit le potentiel électrique nous avons calculé le travail d’un observateur mis en jeu pour déplacer une charge q depuis une grande distance jusqu’à un point M dans le champ créé par une charge q’.

Avec l’expression du potentiel créé en M par la charge q’

Nous obtenons l’expression de l’énergie potentielle recherchée, celle d’un charge q placée au potentiel V.

Cette expression est valable pour toute source de champ localisée

0'q

q

M

O

)M(V

r4

'qq)M;F(W

oo

r4

'q)M(V

o

qVW V dans q qVW V dans q qM

Source de champ

V(M) créé par la source de champ

qVW

22

A-V.3 Énergie potentielle électrique d’un couple de deux charges en interaction

L’énergie potentielle de la charge dans le champ de la charge est

expression dans laquelle

2q 1q

1q

21 qqV

2q

12 qqV

2112 rr

2122 qq2V dans qVqW

12o

1qq r4

qV

21

L’énergie potentielle de la charge dans le champ de la charge est

expression dans laquelle

Dans le cas présent l’une des énergies n’existe pas sans l’autre. Elles représentent la même quantité physique qui est l’énergie d’interaction entre les deux particules chargées.

En prévision de la suite nous noterons cette énergie

2q1q

1211 qq1V dans qVqW

21o

2qq r4

qV

12

2211 V dans qV dans qWW

221121 V dans qV dans qq qWW

21

W

23

A-V.4 Énergie potentielle électrique d’un système de charges en interaction

iqNq

1q

2q3q

jq

iV

Soit un système de N charges ponctuelles

Chaque charge, par exemple est soumise au potentiel dû aux N-1 autres charges

étant la distance entre la charge et la charge

Cette charge a une énergie potentielle égale à

L’énergie potentielle de l’ensemble des N charges en interaction est donnée par

Le facteur ½ se justifie facilement par récurrence et a déjà été vu pour deux charges (faire la démonstration).

N1,i qi

iq iV

ij ji

j

oi r

q

4

1V

jir iqjq

iii VqW iq

N

1iii

N

1ii Vq

21

W21

W