Chapitre 6 : Approfondissement de la modlisation : la mcanique des milieux continus

Chapitre 6 : Approfondissement de la modlisation : la mcanique des milieux continus

Nous venons de le voir dans le Chapitre 5, la modlisation analytique est intressante

pour lestimation du volume de la hernie en fonction du recul mais elle ne permet pas de simuler une part importante des phnomnes observs au cours dune dcompression orbitaire. Pour y remdier, nous avons dcid de mettre en uvre un modle capable de prendre en compte la gomtrie complexe de chaque orbite de patient, la taille et la position de lostotomie ainsi que les paramtres mcaniques comme la force applique sur le globe, la surpression dans la zone intra-orbitaire et le volume des tissus graisseux qui fuient travers lostotomie. Ce modle est bas sur la mcanique des milieux continus que nous allons prsenter dans ce chapitre. Etant donn que nous avons utilis un matriau porolastique pour modliser les tissus intra-orbitaires et que ce formalisme est driv des formulations lastique et fluide, trois approches seront abordes ici. Dans la premire partie, nous verrons lapproche lastique, dans la deuxime, les matriaux fluides et nous finirons en prsentant les matriaux porolastiques.

Nous avons introduit la mthode des lments finis dans le Chapitre 3. En particulier,

nous avons vu que cette mthode pouvait tre divise en quatre tapes : (1) la dtermination des proprits des matriaux et les quations les gouvernant localement, (2) lassemblage de ces quations, (3) la dfinition et lintgration des conditions limites et (4) la rsolution du systme ainsi obtenu. Nous avons vu que la dformation dun corps rsulte des contraintes qui lui sont appliques, et vice et versa. Ces deux points de vue expriment le lien qui existe entre contraintes et dformations dans la nature. La description de cette connexion est plus ou moins complexe selon le matriau tudi. Physiquement, ce lien est modlis par une loi de comportement propre chaque matriau. Cette loi de comportement est dtermine exprimentalement, au cours de tests visant caractriser le matriau, en lui appliquant un chargement mcanique et en mesurant la dformation rsultante. Ces tests sont appels tests de rhologie. A partir de ces expriences, les quations du comportement du matriau peuvent tre dfinies.

Les matriaux sont classs suivant diffrents critres : leurs proprits (lastique, visqueux, plastique), leur comportement linaire ou non, leur dpendance au temps ou non, leur tat physique (solide, liquide), leur homognit ou non Dans cette partie, nous allons nous focaliser sur trois types de matriaux pouvant tre modliss par lments finis. Il sagit de matriaux : lastique, fluide, et porolastique. Dautres types sont possibles et envisageables pour la modlisation dautres phnomnes, mais pour les tissus mous de lorbite, nous avons dcid de nous limiter ces trois matriaux.

1. Lapproche lastique

La mthode des lments finis est base sur la mcanique des milieux continus qui

permet de dcrire le comportement dun corps qui se dforme et se dplace sous linfluence de contraintes externes. Cette dformation, ainsi que les contraintes quelle engendre lintrieur du matriau, doivent permettre de calculer le mouvement rsultant du corps tudi

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conformment au principe fondamental de la dynamique appel aussi conservation de la quantit de mouvement. Dans cette partie, nous allons nous placer dans le cas dun modle lastique. Une description plus complte est donne dans la partie 1 de lAnnexe F et dans divers ouvrages comme ceux de Zienkiewicz [Zienkiewicz et Taylor, 1994] ou de Touzot [Touzot et Dahtt, 1984].

Les matriaux lastiques linaires sont les matriaux les plus utiliss, que ce soit dans lindustrie (par exemple dans la conception des avions) ou dans la recherche (par exemple dans la modlisation lments finis des os). Sous une contrainte, un corps lastique se dforme proportionnellement cette contrainte. La particularit des matriaux lastiques fait que, lorsque cette contrainte cesse, le corps reprend sa forme initiale.

Ltat de dformation dun corps lastique est caractris par le tenseur de

dformation de Green-Lagrange tandis que ltat de contrainte du milieu est dfini par le tenseur de contrainte .

Pour rsoudre un problme donn, il est ncessaire de dfinir les conditions limites du phnomne tudi pour dterminer et .

Le tenseur de dformation de Green-Lagrange sobtient partir du champs de dplacement U, selon lquation aux drives partielle suivante :

)(21 UUUU ++== TT (6.1)

Dans le cas o la dformation est petite (infrieure 10 %), le terme du second ordre de peut tre nglig. On parle alors dlasticit en petites dformations ou dlasticit linaire (par opposition aux grandes dformations) :

)(21 UU += Tl (6.2)

La calcul de et , pour des conditions aux limites donnes, est rendu possible par lintermdiaire de deux quations. La premire est lquation dquilibre local ou quation fondamentale de la dynamique :

div..

+=fU (6.3) o est la masse volumique du milieu continu et f est la densit de forces volumiques (par exemple la force de gravit). div correspond aux forces volumiques internes rsultant des forces surfaciques.

La seconde quation vient de lhypothse que lon fait pour dcrire la relation liant les contraintes et les dformations. Cette relation sappelle la loi de comportement du matriau et scrit :

( ) h= (6.4) o h est la fonction dterminant le comportement du matriau (lastique, hyperlastique).

Par exemple, dans le cas dun matriau isotrope et linaire, h est une matrice compose de deux coefficients indpendants (loi de Hooke). Les proprits dlasticit sont donc totalement dfinies laide de ce couple de coefficients : soit les coefficients de Lam, soit le module de Young et le coefficient de Poisson. Les plus utiliss sont le module de Young, E, caractrisant la raideur du matriau, et le coefficient de Poisson, , reprsentant sa dformation transverse en fonction de la dformation applique.

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Les solutions analytiques des problmes dlasticit linaire sont difficiles obtenir, part dans des cas trs particuliers. Cest pour cela que la mthode des lments finis (prsente dans le Chapitre 3) est souvent utilise pour obtenir une solution numrique approche aprs discrtisation de la structure.

Quelque soit le type de matriau, la thorie de la mcanique des milieux continus ne

change pas. Seules les inconnues et lquation du comportement diffrent.

2. Lapproche fluide

La mcanique des fluides est une discipline utilisant les outils de la mcanique des Milieux Continus. Elle comprend l'tude des gaz et des liquides l'quilibre et en mouvement, ainsi que l'tude de l'interaction de ces derniers avec les corps solides. Contrairement aux solides, qui ne se dforment que s'ils sont soumis de puissantes forces, les liquides ou les gaz changent de forme beaucoup plus aisment : l'tat fluide, la matire prsente la proprit de s'couler. La faon habituelle de simuler l'coulement de fluide (gaz ou liquide) est de trouver la solution des quations qui dcrivent lvolution des fluides.

Pour les fluides, les inconnues sont la pression P interne du fluide et le champ de

vecteur vitesse V lintrieur du fluide [Bernardin, 2003, Midoux, 1967]. Dans le cas gnral, cest--dire pour les fluides Newtoniens (avec une viscosit, avec une dformation indpendante du temps) compressibles, cest lquation de Navier-Stokes qui est utilise comme loi fondamentale de la dynamique :

dtdf VVVP =++++ )(div)(* (6.5)

o est la masse volumique du fluide et est sa viscosit dynamique. Cette quation permet de calculer la pression et la vitesse dans tout le fluide et tout

instant pour des conditions aux limites donnes. Cest en fait la loi de Newton ( amF rr

)

applique une particule fluide : P est la densit volumique des forces de pression, f est la densit volumique des forces de champ (gravit) et (div V) est la densit volumique des forces de viscosit (ce terme est nul pour les fluides incompressibles).

=

Dans le cas o le problme est indpendant du temps (stationnaire), la vitesse du fluide ne varie pas et donc dV/dt = 0.

Les fluides sont caractriss par leur compressibilit (leur capacit rduire leur

volume sous laction dune contrainte), leur viscosit (les frottements internes au fluide) et leur diffrents coulements (stationnaire ou instationnaire, laminaire ou turbulent, rotationnel ou irrotationnel).

Dans la suite, nous supposerons que nous sommes en prsence dun fluide Newtonien stationnaire (stable lquilibre), laminaire (sans turbulence) et irrotationnel (sans composante de rotation au niveau des particules fluides).

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3. Lapproche porolastique

Comme son nom lindique, un matriau porolastique est un matriau solide (identifi dans ce qui suit par lexposant s) lastique et poreux. Ses pores sont remplis dun fluide (identifi dans ce qui suit par lexposant f), comme cest le cas, par exemple, pour une ponge immerge dans de leau. Dans cette partie, nous proposons de prsenter succinctement les bases de la porolasticit, dveloppes, entre autres, par Coussy [Coussy, 1991], Biot [Biot, 1941] ou encore Mow [Mow et al., 1980].

Il existe deux approches diffrentes pour modliser les milieux poreux. La premire

consiste moyenner les quations du comportement des deux matriaux composant le milieu poreux : celle pour le solide et celle pour le fluide (voir notamment [Quintard et al., 2001] ou [Almeida et al., 1997]). Le logiciel lments finis Marc, utilis pour nos simulations, ntant pas bas sur celle-ci, nous ne la dvelopperons pas ici. Le lecteur pourra se rfrer la deuxime partie de lAnnexe F pour une description succincte de sa formulation thorique.

La deuxime approche des milieux porolastiques est prsente dans le livre

dOlivier Coussy [Coussy, 1991]. Cette formulation se base aussi sur la reprsentation du milieu sous la forme de deux phases : un squelette solide dformable et un fluide saturant lespace interstitiel. Les deux milieux sont superposs lun lautre dans le temps et dans lespace. Contrairement la premire approche consistant moyenner les deux phases, celle-ci est caractrise par le fait quelle prend dabord en compte la phase solide et ensuite la phase fluide. Cette faon de procder est base sur le fait que la dformation essentiellement observable est celle du squelette solide et quelle est donc privilgie dans la description du milieu poreux. La dformation et la cinmatique de cette phase sont dcrites comme pour les milieux continus une seule phase. Par contre, le milieu contenant galement des particules fluides lintrieur du squelette, la particularit des matriaux poreux saturs apparat dans la mise en quation des grandeurs physiques associes au matriau linstant t et dans le volume considr.

Il existe des formulations qui traitent des milieux porolastiques non saturs mais

nous ne dcrirons ici que le cas satur o la phase fluide remplit entirement les espaces interstitiels de la matrice solide. Cet hypothse correspond relativement bien aux tissus biologiques et notamment au contenu intra-orbital.

Lespace interstitiel, ou espace poreux connect, est lespace dans lequel seffectuent les changes fluides. A lintrieur de cet espace, la phase fluide est continue, puisquelle sature le squelette. Nanmoins, il peut exister des pores non connects lespace interstitiel et qui peuvent tre ou non remplis de fluide (Figure 6.1). Il ny a aucune infiltration dans ces pores. Ce genre de pores (on parle de porosit occluse) est prsent dans les roches, mais pas dans les tissus biologiques qui sont compltement saturs de liquide physiologique. Pour cette raison, nous ne traiterons pas cette configuration.

La porosit totale dun corps porolastique est donne par le rapport du volume non solide sur le volume total. La porosit connecte dun corps est le rapport du volume de lespace interstitiel sur le volume total. Dans la suite, le terme porosit sera employ pour dsigner exclusivement la porosit connecte et sera not .

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Figure 6.1 Schmatisation dun milieu poreux selon Coussy [Coussy, 1991]. La matrice solide est prsente gauche, avec son espace interstitiel. Au milieu, lespace occup par le fluide est prsent en noir. A droite, la combinaison du squelette et de la phase fluide conduit au milieu porolastique.

La phase fluide occupant tout lespace disponible, cest--dire les pores, son volume

est de f = . tandis que le squelette occupe lespace s = (1-)., si est le volume total du corps tudi.

Lide de base de cette formulation des milieux poreux consiste en la superposition dans le temps et dans lespace de deux milieux continus : lun reprsentant le squelette et lautre la phase fluide. Ainsi un point donn dun volume lmentaire sera compos dune particule solide et dune particule fluide un instant donn.

Pour dcrire un milieu poreux de faon continue, il est ncessaire de se placer lchelle macroscopique. De ce fait, la porosit en un point gomtrique donn est suppose dfinie sur un volume lmentaire englobant suffisamment de matire pour tre reprsentatif des phnomnes tudis.

Sous laction de forces extrieures, surfaciques ou volumiques, et/ou de gradients de

pression du fluide saturant, les milieux poreux se dforment. La dformation observable est celle du squelette et sa description est donne par le tenseur de dformations qui correspond celle dun milieu continu classique quon a vu dans la premire partie de ce chapitre avec lquation (6.1).

Par rapport au cas lastique, un plus grand nombre de conditions limites sont prises

en compte pour dterminer le tenseur des contraintes . Comme pour un milieu lastique, il y a conservation de la quantit de mouvement :

0),(div =+ f tx (6.6)

Cette quation est obtenue partir de lquation (6.3), avec = 0, cest--dire que lacclration est nglige (cas quasi statique). (x, t) est le tenseur de contraintes totales du milieu poreux car il ne spare pas les contraintes supportes par le squelette ou le fluide tout point x et tout instant t.

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Par contre, le dbit q du fluide dans les pores joue un rle dans la rsolution du problme. Dans cette formulation, il y a conservation de la masse (solide et fluide) : il ny a ni cration ni perte dlments constitutifs du squelette ou du fluide. Cette relation scrit :

0div)trace( =+ qdtd (6.7)

Pour formuler le problme porolastique, on a donc besoin de rsoudre les quations

(6.7) relative la conservation de la masse et (6.6) relative la conservation de la quantit de mouvement avec les conditions limites suivantes :

En effort : g=ntx r).,( (6.8)

ro est la normale llment de surface sur laquelle est applique la force surfacique g (ou force impose la surface) au corps tudi et donnant la contrainte (x, t) au point x et au temps t.

n

En dplacement : imptx UU

rr=),(

r (6.9)

o est le dplacement impos la surface du corps tudi et conduisant au

dplacement

impU

),( txUr

au point x appartenant la surface et au temps t. En pression :

imptx PP =),( (6.10)

o est la pression impose la surface du corps tudi et conduisant la pression au point x appartenant la surface et au temps t.

impP),( txP

Et en dbit (pour la phase fluide) : fimpntxq J=

r).,(r

(6.11)

o est la normale llment de surface sur laquelle le jacobien du gradient de pression pour la phase fluide est impos et conduisant au dbit au point x et au temps t.

n fimpJ),( txq

La rsolution des quations (6.6) et (6.7) est effectue grce aux lois de

comportement du milieu porolastique. Comme pour le milieu lastique, ces lois tiennent compte des dformations de la matrice solide mais en plus, elles intgrent le mouvement de la phase fluide. La premire loi de comportement des milieux poreux dfinit la relation de comportement matriel du milieu poreux homognis :

IPIPh ).,().,()),((),(),( 000 txtxtxtxtx += (6.12) o 0(x, t0) est le tenseur des contraintes linstant initial t0, h est la fonction dterminant le comportement lastique du squelette (et traduisant la loi de Hooke que nous avons introduite la suite de lquation (6.4)), I est la matrice identit et P et P0 sont les pressions t et t0.

Pour prendre en compte le comportement de la phase fluide dans la matrice lastique, une seconde loi, appele loi de Darcy, est introduite qui permet de dfinir la diffusion du fluide dans le milieu poreux :

Pgradkq = (6.13)

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o q est le dbit des particules fluides dans le squelette et k/ est la permabilit relative du milieu poreux.

Les quations (6.12) et (6.13) sont les lois de comportement du matriau porolastique telles quon les trouve dans la littrature. Pour simplifier les choses, dans la plupart des cas, on vite de rentrer dans la formulation thermodynamique des milieux continus et de compliquer les quations donnes ci-dessus.

Les modlisations numriques de lorbite sont ralises, dans notre tude, avec le

logiciel lments finis Marc (MSC Software Inc.). La formulation utilise dans ce logiciel fait appel aux hypothses simplificatrices suivantes :

Simplification de lquilibre nergtique en utilisant une transformation isotherme (pas dchange dnergie calorifique entre phases)

Phases non miscibles, il ny a donc pas dchanges de volumes et de masses (comme cest le cas par exemple pour leau et lhuile)

Les matriaux sont intrinsquement incompressibles et chimiquement inactifs (les masses volumiques des phases solide s et fluide f sont constantes).

Ces hypothses sont raisonnables pour la modlisation des tissus mous intra-

orbitaires qui nous proccupent. Elle prsentent de plus lavantage de pouvoir obtenir un compromis entre ralisme du modle et faisabilit du calcul (en vitant des temps de calcul prohibitifs et lidentification alatoire de lois de comportement de matriau complexe).