07 - Reduction d Endomorphismes Cours Complet

7/24/2019 07 - Reduction d Endomorphismes Cours Complet

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Chapitre 07 : Rduction dendomorphismes Cours complet. - 1 -

Rduction dendomorphismes. Chap. 07 : cours complet.

1. Elments propres dun endomorphisme.

Dfinition 1.1 : valeur et vecteur propre dun endomorphismeDfinition 1.2 : spectre dun endomorphismeDfinition 1.3 : sous-espace propre dun endomorphismeThorme 1.1 : libert dune famille de vecteurs propres

Thorme 1.2 : somme directe de sous-espaces propres

2. Polynme caractristique dun endomorphisme en dimension finie.

Thorme 2.1 et dfinition 2.1 : polynme caractristique dun endomorphisme en dimension finieThorme 2.2 : lien entre valeurs propres et racines du polynme caractristiqueThorme 2.3 : expression du polynme caractristiqueDfinition 2.2 : multiplicit dune valeur propreThorme 2.4 : majoration du nombre de valeurs propresThorme 2.5 : somme et produit des racines du polynme caractristique dun endomorphisme en

dimension finie

3. Elments propres et polynme caractristique dune matrice carre.

Dfinition 3.1 : valeur et vecteur propre dune matrice carre, spectre dune matrice carreThorme 3.1 : comparaison des spectres rels et complexesDfinition 3.2 : polynme caractristique dune matrice carreThorme 3.2 : lien entre valeurs propres dun endomorphisme et dune matrice

4. Diagonalisation des endomorphismes en dimension finie et des matrices carres.

Dfinition 4.1 : endomorphisme diagonalisable en dimension finieDfinition 4.2 : matrice carre diagonalisableThorme 4.1 : caractrisation des endomorphismes diagonalisables en dimension finieRemarque : polynme caractristique scind dans le cas dun endomorphisme diagonalisableThorme 4.2 : interprtation de la diagonalisabilit en termes de vecteurs propresThorme 4.3 : cas dun endomorphisme dont les valeurs propres sont simplesThorme 4.4 : diagonalisabilit dun endomorphisme en dimension finie en termes de dimensionsThorme 4.5 : lien entre multiplicit dune valeur propre et dimension du sous-espace propre associ,

endomorphismes diagonalisables en dimension finie en termes de multiplicitsThorme 4.6 : puissances dune matrice carre diagonalisableRemarque : utilisation du thorme 7.5 pour le calcul dune puissance de matrice carre laide

dune division euclidienneThorme 4.7 : application la rsolution des suites rcurrentes linaires coefficients constants

5. Trigonalisation des endomorphismes en dimension finie et des matrices carres.

Dfinition 5.1 : endomorphisme trigonalisable en dimension finieDfinition 5.2 : matrice carre trigonalisableThorme 5.1 (admis): caractrisation des endomorphismes trigonalisables en dimension finieThorme 5.2 : trigonalisabilit des matrices carres complexesThorme 5.3 : lments diagonaux dune matrice triangulaire ou diagonale semblable une matrice

carre

6. Sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme.

Dfinition 6.1 : sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme

Dfinition 6.2 : endomorphisme induit par un endomorphisme dans un sous-espace vectoriel stableThorme 6.1 : stabilit des sous-espaces propres par un endomorphisme commutantThorme 6.2 : caractrisation des vecteurs propres en termes de droite stableThorme 6.3 : traduction matricielle de la stabilit dun sous-espace vectoriel


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Thorme 6.4 : gnralisation du thorme 6.4Thorme 6.5 : caractrisation des matrices triangulaires suprieures en termes de sous-espaces

stables

7. Polynmes dendomorphisme, de matrice carre.

Dfinition 7.1 et thorme 7.1 : polynme dun endomorphisme, polynme dune matrice carreThorme 7.2 : stabilit des images et noyau de polynmes dendomorphismesThorme 7.3 : correspondance polynme polynme dendomorphisme, de matrice carre

Dfinition 7.2 et thorme 7.4 : polynme annulateur dun endomorphisme ou dune matrice carreThorme 7.5 : valeurs propres et polynmes annulateursThorme 7.6 (admis): Cayley-HamiltonRemarque : calcul de la puissance kmedune matrice carre laide dun polynme annulateurThorme 7.7 (admis): caractrisation de la diagonalisabilit laide dun polynme annulateurThorme 7.8 : diagonalisabilit dun endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable


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Rduction dendomorphismes. Chap. 07 : cours complet.

1. Elments propres dun endomorphisme.

Dfinition 1.1 : valeur et vecteur propre dun endomorphisme

Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel et soit : u L(E).

On dit que : K, est une valeur propre de u si et seulement si : x E, x 0, u(x) = .x.

On dit que : x E, est vecteur propre de u si et seulement si : x 0, et : K, u(x) = .x.

Dfinition 1.2 : spectre dun endomorphismeSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel et soit : u L(E).

Lensemble des valeurs propres de u (ventuellement vide) est appel spectre de u et est not Sp(u).

Dfinition 1.3 : sous-espace propre dun endomorphismeSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel, u L(E), et : Sp(u).

Alors : E= ker(u .IdE), est appel sousespace propre de E associ .

Cest lensemble constitu du vecteur nul et des vecteurs propres de u associs .

Thorme 1.1 : libert dune famille de vecteurs propresSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel et soit : u L(E).

Soient 1, , ndes valeurs propres distinctes de u et x1, , xn, des vecteurs propres de u associs ces diffrentes valeurs propres.Alors la famille (x1, , xn) est libre dans E.

Dmonstration :On procde par rcurrence sur n.Le rsultat est immdiat pour : n = 1, puisquun vecteur propre est non nul.

Supposons-le vrai pour n donn, n 1, et considrons (x1, , xn+1) des vecteurs propres de u associs des valeurs propres distinctes 1, , n+1de u.Soit alors la combinaison linaire : 1.x1+ + n+1.xn+1= 0 (L1).

Limage par u de cette combinaison donne : 1.1.x1+ n+1.n+1.xn+1= 0 (L2).En calculant [L2 n+1.L1], on obtient : 1.(1 n+1).x1+ + n.(n n+1).xn= 0.Puisque les vecteurs (x1, , xn) sont des vecteurs propres associs des valeurs propres distinctes deu, tous les coefficients de la dernire combinaison linaire sont nuls, et les valeurs propres tant

distinctes, on en dduit que : 1 i b, i= 0.Enfin, en reprenant (L1), puisque xn+1est non nul, on termine avec : n+1= 0, et la famille (x1, , xn+1) estlibre.

Thorme 1.2 : somme directe de sous-espaces propres

Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel et soit : u L(E).

Soient 1, , ndes valeurs propres distinctes de u.

Alors la somme )(...)(1

uEuEn

++ est directe.

Dmonstration :Montrons que tout lment de la somme se dcompose de faon unique suivant cette somme.

Pour cela, soit : x = x1+ + xn )(...)(1

uEuEn

++ , mais se dcomposant aussi en :

x = x1+ + xn.Alors : (x1 x1) + + (xn xn) = 0.Or si dans les n diffrences qui apparaissent (et qui sont chacune dans un sous-espace propre de udiffrent), il y en avait une non nulle, cela fournirait, en ne gardant dans lgalit prcdente que lesdiffrences non nulles, une combinaison linaire nulle de vecteurs propres de u associs des valeurspropres distinctes, ce qui est impossible.

Toutes les diffrences sont donc nulles et : 1 i n, xi= xi, et la dcomposition de x est unique.

2. Polynme caractristique dun endomorphisme en dimension finie.


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Thorme 2.1 etdfinition 2.1: polynme caractristique dun endomorphisme en dimension finie

Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u L(E).

Alors : u() = det(.idE u) = (-1)n.det(u .idE), est une fonction polynomiale en coefficients dans

K, et uest appel polynme caractristique de u.

SiBest une base de E et A la matrice reprsentative de u dansB, on a : u() = (-1)n.det(A .In).

Dmonstration :SoitBune base de E, et A la matrice reprsentative de u dans B.

Lendomorphisme (u .idE) de E a pour matrice reprsentative (A .In) dans la base B, donc :

det(u .idE) = det(A .In).Appelons c1, cnles vecteurs de K

nqui ont pour coordonnes dans la base canonique Cde Knles

valeurs apparaissant en colonnes dans A, et e1, , enles vecteurs de C.

Alors : det(A .In) = detC(c1 .e1, , cn .en).

On peut alors dvelopper ce dterminant par n-linarit et obtenir 2ntermes en tout.Cette expression est alors polynomiale en coefficients dans K.De plus, et puisque le dterminant dun endomorphisme en dimension finie ne dpend pas de la base

dans laquelle on exprime sa matrice reprsentative, ua donc une expression identique, quelque soit labaseBde E que lon choisisse pour reprsenter u.

Thorme 2.2 : lien entre valeurs propres et racines du polynme caractristiqueSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u L(E).

Pour tout : K, on a les quivalences : (Sp(u)) ((u .idE) non inversible) (u() = 0).En particulier, les valeurs propres dun endomorphisme dun espace vectoriel rel de dimension finiesont les racines relles de son polynme caractristique.

Dmonstration :

On peut crire, pour : K :

(Sp(u)) (x E, x 0, u(x) = .x) (ker(u .idE) {0}) ((u .idE) non injective).Or E tant de dimension finie, on a ensuite : ((u .idE) non injective) ((u .idE) non bijective),

pour terminer avec : ((u .idE) non bijective) (det(u .idE) = 0) (u() = 0).

Thorme 2.3 : expression du polynme caractristiqueSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u L(E).

Alors uest de degr n et : u() = n tr(u).n1 + + (1)n.det(u).

Dmonstration :On reprend une baseBde E et lexpression obtenue dans la dmonstration du thorme 2.1.

Aprs dveloppement, on avait obtenu 2ntermes pour det(A .In).Le terme constant correspond au choix de c i chaque tape du dveloppement soit detC(c1, , cn).

Dans lexpression de u(), il vaut donc : (-1)n.det(A) = (-1)n.det(u).

Le terme de plus haut degr correspond au choix de .ei chaque tape du dveloppement, donc unseul terme de degr n et un coefficient gal : (-1)n.detC(e1, , en).

Dans lexpression de u(), il vaut donc : (-1)n.(-1)n.det(In) = 1.

Le terme de degr (n 1) enfin correspond choisir (n 1) fois .ei chaque tape du dveloppement

et une fois ci, soit n combinaisons donnant finalement : =

+

n

k

nkkkC

n eecee1

111

1),...,,,,...,(det.)1( .

Chacun de ces dterminants vaut : kk

kn

kk

kk

kk

k

nkkkC a

a

a

a

a

a

eecee,

,

,1

,

,1

,1

111

1000

0

1

00

1

0

0001

),...,,,,...,(det ==

+

+

LL

OMMMM

MOMM

MM

MMOM

MMMMO

LL

.

Donc le coefficient de n-1dans u() vaut : (-1)n.(-1)n-1.[a1,1+ + an,n] = tr(A) = tr(u).


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Dfinition 2.2 : multiplicit dune valeur propre

Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, u L(E), et : Sp(u).

On appelle multiplicit de sa multiplicit comme racine de Pu.

Thorme 2.4 : majoration du nombre de valeurs propresSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u L(E).

Lendomorphisme u admet au plus n valeurs propres (chacune compte avec sa multiplicit).

Dmonstration :Les valeurs propres de u sont les racines de son polynme caractristique, qui est de degr n.

Donc u admet au plus n valeurs propres (chacune compte avec sa multiplicit), puisque uadmet auplus n racines.On aurait pu aussi utiliser le premier thorme dmontr dans ce chapitre.

Thorme 2.5 : somme et produit des racines du polynme caractristique dun endomorphisme endimension finieSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, u L(E), et A la matrice reprsentative de u dans

une baseBde E.

Si on note 1, , nles racines dans de Pu, chacune rpte avec sa multiplicit, on a :

===n

i

iAtrutr1

)()( , et : ===n

i

iAu1

)det()det( .

En particulier, si uest scind dans K(toutes ses racines sont dans K), alors les galits prcdentes

sont valables pour les valeurs propres de u la place des racines de u.

Dmonstration :En utilisant les relations entre coefficients et racines dune quation polynomiale, on a immdiatement :

1+ + n=1

)(utr = tr(u) = tr(A), et :

1n=1

)det(.)1(.)1(

unn = det(u) = det(A).

Et si uest scind, alors les racines de usont les valeurs propres de u.

3. Elments propres et polynme caractristique dune matrice carre.

Dfinition 3.1 : valeur et vecteur propre dune matrice carre, spectre dune matrice carreSoit : A Mn(K).

On dit que : K, est valeur propre de A si et seulement si : X Mn,1(K), X 0, A.X = .X.

On dit que : X Mn,1(K), est vecteur propre de A si et seulement si : X 0, et : K, A.X = .X.

Le spectre de A est lensemble de ses valeurs propres comme lment de Mn(K), et est not SpK(A) ou

Sp(A) lorsquil ny a pas dambigut.Une matrice relle admet donc un spectre rel et un spectre complexe.

Thorme 3.1 : comparaison des spectres rels et complexes

Soit : A Mn().

Le spectre rel de A est inclus dans son spectre complexe.

Dmonstration :

Soit une valeur propre relle de A. Alors : X Mn,1(), X 0, A.X = .X.

Or une telle matrice colonne relle X est aussi une matrice de Mn,1(), et donc X tant non nulle, il

existe une matrice colonne non nulle X, coefficients complexes telle que : A.X = .X.

A ce titre, on a bien : Sp(A).

Dfinition 3.2 : polynme caractristique dune matrice carreLe polynme caractristique de A est le polynme dfini par : A() = det(.In A) = (-1)n.det(A .In), et

cest le polynme caractristique de lendomorphisme canoniquement associ A.


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Thorme 3.2 : lien entre valeurs propres dun endomorphisme et de sa matrice reprsentative

Soit : A Mn(K), et u lendomorphisme de Kn, canoniquement associ A.

Les valeurs propres de A comme lment de Mn(K) sont les valeurs propres de u.

On a donc : SpK(A) = Sp(u).

Dmonstration :Soit A une valeur propre de A dans K.Alors : X Mn,1(K), X 0, A.X = .X.

Or si u est lendomorphisme de Kncanoniquement associ A, et si x est le vecteur de Kndont les

coordonnes dans la base canonique de Kn

sont donnes par X, A.X correspond aux coordonnes dansla base canonique de Knde u(x), et on a bien alors : x 0, u(x) = .x.

Le vecteur x est alors vecteur propre de u et : Sp(u).Rciproquement, si est valeur propre de u, x un vecteur propre dans Knassoci , la relation

vectorielle : u(x) = .x, conduit lgalit matricielle : A.X = .X, et X tant une matrice deMn,1(K) non

nulle, est bien un lment de SpK(A).

Thorme 3.3 : spectre de deux matrices semblablesSoient A et B deux matrices semblables deMn(K).

Alors : Sp(A) = Sp(B).

Dmonstration :

On peut le montrer matriciellement ou en utilisant lendomorphisme canoniquement associ A.En effet, en notant u lendomorphisme canoniquement associ A (dans Kn), alors : SpK(A) = Sp(u).

Mais : P Gln(K), B = P-1.A.P, et siBreprsente la base canonique de Kn, alors P correspond la

matrice de passage deB une baseB de Kn, et B est alors la matrice reprsentative de u dansB.

Or on a vu que : Sp(u) = SpK(B), puisque les valeurs propres de u sont les racines de son polynmecaractristique, soit celui de A ou de B indiffremment.Finalement : SpK(A) = SpK(B).

rappel :Deux matrices A et B deMn(K) sont semblables dansMn(K) si et seulement si elles reprsentent lemme endomorphisme dans deux bases de Kn.

4. Diagonalisation des endomorphismes en dimension finie et des matrices carres.

Dfinition 4.1 : endomorphisme diagonalisable en dimension finieSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u L(E).

Lendomorphisme u est dit diagonalisable si et seulement si il existe une base de E dans laquelle lamatrice de u est diagonale.

Dfinition 4.2 : matrice carre diagonalisable

Soit : A Mn(K).

On dit que A est diagonalisable si et seulement si A est semblable une matrice diagonale, autrement

dit : P Gln(K), D Mn(K), D diagonale, D = P-1.A.P.

Thorme 4.1 : caractrisation des endomorphismes diagonalisables en dimension finieSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u L(E).

Il y a quivalence entre les propositions suivantes :u est diagonalisable,il existe une base de E forme de vecteurs propres de u.E est la somme directe des sous-espaces propres de u,la matrice reprsentative de u dans une base B quelconque de E est diagonalisable.

Dmonstration :

Dmontrons ces quivalences par quatre implications.i) ii).Supposons donc u diagonalisable.La base dans laquelle la matrice de u est diagonale est alors clairement une base de E forme de


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vecteurs propres de u.

ii) iii).Si on considre une base Bde E forme de vecteurs propres de u (quon suppose regroups par

valeurs propres), la matrice de u dansBscrit : A = mat(u,B) =

p

p

00

0

0

00

1

1

LLLL

OOM

MOOM

MOOOM

MOOM

MOO

LLLL

.

Les valeurs propres de u sont alors bien les i.De plus (par exemple) lespace propre de u associ 1sobtient en rsolvant : u(x) = 1.x, soit enrsolvant le systme matriciel : A.X = 1.X.

Si 1est rpt k fois dans A, ce systme est quivalent : xk+1= = xn= 0.Donc : (x ker(1.idE u)) (x Vect(e1, , ek)), et : ker(1.u idE) = Vect(e1, , ek).On obtient un rsultat identique pour chaque valeur propre de u, et comme la base Best la runion de

bases des diffrents sous-espaces propres de u, la somme directe de ces sous-espaces propres de u

est bien gale E.iii) iv).Reprenons la baseBadapte la somme directe prcdente : chaque vecteur de cette base est alors

vecteur propre de u et la matrice D reprsentative de u dans Best diagonale.

Si on considre une autre base B de E et la matrice A reprsentative de u dansB, alors : A = P-1.D.P,

en notant P la matrice de passage deBdansB.

Les matrices A et D sont donc semblables, et A est diagonalisable.iv) i).Si enfin la matrice A de u dans une base Bde E est diagonalisable, il existe P, inversible, telle que :

D = P-1.A.P, soit diagonale.La matrice P sinterprte alors comme la matrice de passage de la base B une baseB de E (les

vecteurs deB ont leurs coordonnes dansBcrites en colonne dans P).Enfin la matrice reprsentative de u dansB est D qui est diagonale et tout vecteur de B est vecteur

propre de u.

Remarque :


Si u est diagonalisable, son polynme caractristique est scind sur K(pas de rciproque).

Dmonstration :SoitBune base de E forme de vecteurs propres de u et D la matrice reprsentative de u dans B.

Alors : u() = (-1)n.det(D .In) =

=

n

i

iid

1

, )( , qui est scind dans K.

Thorme 4.2 : interprtation de la diagonalisabilit dune matrice en termes de vecteurs propresSoit : A Mn(K), une matrice diagonalisable, et u lendomorphisme canoniquement associ A.

Si : D = P-1.A.P, o : P Gln(K), D Mn(K), diagonale, alors P peut sinterprter comme la matrice de

passage de la base canonique de Kn une base de vecteurs propres de u.

Dmonstration :Si on notB la famille (dans n) donne par les vecteurs colonnes de P, alors P tant inversible,B

est une base de n, et P est la matrice de passage de la base canonique de nB.

De plus, la matrice de u dansB est D, et il est alors immdiat que chaque vecteur de B est vecteur

propre de u (avec pour valeur propre associ llment diagonal de D associ).

Thorme 4.3 : cas dun endomorphisme dont les valeurs propres sont simplesSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension n, et : u L(E).


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Si le polynme caractristique de u est scind dans Ket racines simples, alors u est diagonalisable ettous ses sous-espaces propres sont de dimension 1.

Dmonstration :Lendomorphisme u admet donc n valeurs propres simples.Chacune a un sous-espace propre de dimension au moins 1 (puisquil y a au moins pour chacune unvecteur propre (non nul) associ) et ces sous-espaces sont en somme directe.Donc la somme de leurs dimensions valant n, chacun a une dimension au plus gale 1.Finalement, chaque dimension est gale 1, et la somme directe est gale E.On en conclut que u est bien diagonalisable, avec n sous-espaces propres de dimension 1.

Thorme 4.4 : diagonalisabilit dun endomorphisme en dimension finie en termes de dimensions


Lendomorphisme u est diagonalisable si et seulement si : nuEuSp

= )(

))(dim(

.

Dmonstration :

Notons : F = )()(

uEuSp

, la somme (directe) des sous-espaces propres de u.

Alors :

=)(

))(dim()dim(uSp

uEF

, puisque la somme est directe, et : F E.

Mais alors : (u diagonalisable) (F = E) (dim(F) = dim(E)) ( == )( ))(dim()dim( uSp uEFn ).

Thorme 4.5 :lien entre multiplicit dune valeur propre et dimension du sous-espace propreassoci, endomorphismes diagonalisables en dimension finie en termes de multiplicits


la dimension dun sous-espace propre de u est infrieure ou gale la multiplicit de la valeur proprecorrespondante, soit : Sp(u), 1 dim(E(u)) mult(),une valeur propre simple conduit toujours un sous-espace propre associ de dimension 1,u est diagonalisable si et seulement si uest scind sur Ket chaque sous-espace propre de u a pourdimension la multiplicit de la valeur propre correspondante.

Dmonstration :Notons une valeur propre de u et E(u) le sous-espace propre associ.Soit :B= (e1, , en), une base de E adapte ce sous-espace propre, et : p = dim(E(u)) 1.

La matrice de u dans cette base scrit :

matB(u) =

C

BI

ppn

p

,0

.= A, avec : B Mp,n-p(K), et : C Mn-p,n-p(K).

Puis : u() = ( )p.det(.In-p C) = ( )

p.C().Donc est racine de udordre au moins p, et p est infrieur la multiplicit de comme racine de u.Si maintenant on considre une valeur propre simple , alors : 1 dim(E(u)) 1, et : dim(E(u)) = 1.Enfin, si u est diagonalisable, alors dans une base forme de vecteurs propres (donc forme de bases

issues des espaces propres de u), la matrice de u est diagonale et en recalculant u partir de cettematrice, on constate que : Sp(u), dim(E(u)) = mult().Rciproquement, si uest scind sur Ket si : Sp(u), telle que : dim(E(u)) mult() 1, alors :

1)(1)())(dim())(dim())(dim()(

++=

nmultmultuEuEuEuSp

,

puisque la somme des multiplicits donne le degr de u.La somme des dimensions ne pouvant tre gale n, u ne peut tre diagonalisable autrement dit, onvient de prouver par contrapose la rciproque de limplication prcdente donc cette mme rciproque.

Thorme 4.6 : puissances dune matrice carre diagonalisable

Soit : A Mn(K), diagonalisable, et : P Gln(K), D Mn(K), D diagonale, telles que : D = P-1.A.P.

Alors : k , Ak

= P.Dk

.P-1

.Dmonstration :

Pour : k = 0, avec la convention habituelle : D0= A0= In, lgalit est vrifie, et si elle est vrifie pour


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un entier n donn, k 0, il est clair que : Ak+1= Ak.A = P.Dk.P-1.P.D.P-1= P.Dk+1.P-1.

Remarque :Voir remarque suivant le thorme 7.6 de Cayley-Hamilton permettant le calcul de Aken utilisant unedivision euclidienne.

Thorme 4.7 : suites rcurrentes linaires coefficients constantsSoit (un) une suite telle que :

p *, (a0, , ap-1) Kp, a00, n ,

npnppn

uauau .....011

++=++

.

La suite (Xn) dfinie par :

n ,

=

+ 1pn

n

n

u

u

X M , vrifie alors : n , nn XAX .1 =+ , o :

=

110

1000

0

0

0010

paaa

A

LL

L

OOOM

MOOO

L

.

On peut alors calculer tous les termes de (Xn) et de (un) laide de : n , 0.XAX n

n = .

En particulier, les termes de la suite (un) ne dpendent donc que de n et de u0, , up-1.

Dmonstration :Il suffit de dvelopper lgalit matricielle pour constater que (Xn) vrifie la relation propose.La suite du thorme est galement immdiate.

Remarque :

Lorsque : p = 2, on peut remarquer que si (un) vrifie : n , nnn uuu .. 12 += ++ , la matrice A

associe vaut alors :

=

10A , et son polynme caractristique est : = .)( 2A .

On retrouve ainsi lquation caractristique attache une suite rcurrente linaire double.Lorsque cette quation admet deux racines distinctes (dans ), A est diagonalisable et lexpression de

(un) en fonction des deux suites (r1n

) et (r2n

) en dcoule immdiatement par le biais de A

n

.Lorsque cette quation admet une racine double dans , A nest que trigonalisable (sinon elle serait djdiagonale car semblable une matrice de type r.I2) et le calcul de A

nfait alors apparatre des termes en

rnet en n.rn-1(termes quon peut remplacer par n.rnen factorisant par r puisque 0 nest pas racine de A).

5. Trigonalisation des endomorphismes en dimension finie et des matrices carres.

Dfinition 5.1 : endomorphisme trigonalisable en dimension finie


On dit que u est trigonalisable si et seulement si il existe une base de E dans laquelle la matricereprsentative de u est triangulaire suprieure.

Dfinition 5.2 : matrice carre trigonalisable

Soit : A Mn(K).

On dit que A est trigonalisable si et seulement si A est semblable une matrice triangulaire suprieure.

Thorme 5.1 : caractrisation des endomorphismes trigonalisables en dimension finie


Lendomorphisme u est trigonalisable si et seulement si son polynme caractristique est scind sur K.

Dmonstration (hors programme):

Le rsultat est immdiat si : dim(E) = 1.Supposons-le vrai pour tout K-espace vectoriel de dimension : 1 k n, pour un entier : n 1.

Soit maintenant E un K-espace vectoriel de dimension (n+1) et : u L(E).

Si on suppose uscind, alors : K, u() = 0.

Notons E(u) le sous-espace propre associ.


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- si : dim(E(u)) = n + 1, alors : u = .idE, et u est diagonalisable donc trigonalisable.- si : dim(E(u)) n, puisque E(u) est de dimension au moins 1, soit E un supplmentaire de E(u)

dans E, qui vrifie donc : E = E(u) E, et : 1 dim(E) n.Soit p le projecteur sur E dans la direction E(u).

On peut ainsi dfinir une application linaire u sur E par : x E, u(x) = pou(x).Soit enfin :B= (e1, , ek, ek+1, , en+1), une base de E adapte la dcomposition en somme directe

donne au-dessus c'est--dire telle que (e1, , ek) soit une base de E(u) et :B = (ek+1, , en+1), est

une base de E.

La matrice de u dans cette base est la matrice par blocs : matB(u) = A =

'0*.A

Ik ,

o : A = matB(u), puisque u enlve dans u(x) la partie se trouvant dans E(u).

Donc : )(.)('.0

*).().det()( '

1

1

u

k

kn

k

nuAI

IAI =

==

+

+ .

Puisque uest scind sur K, ulest aussi.Donc u est trigonalisable et on peut trouver une base : C = (ek+1, , en+1), de E dans laquelle la

matrice de u est triangulaire suprieure.On constate alors que la matrice de u dans la base : C= (e1, , ek, ek+1, , en+1), de E est triangulaire

suprieure galement.

En effet :- 1 i k, u(ei) = .ei, et :

- k+1 i n+1, u(ei) se dcompose en : iii ffeu ')'( += , avec : fiE(u), et : fiE.

Donc : iiii ffpfpeup =+= )'()())'(( , soit : iiikikii eaeafeu '.'...'.')'(' ,1,1 ++== ++ , soit enfin :

)'.'...'.'().'....'()'(,1,1,1,1 iiikikkikii

eaeaeaeaeu +++++= ++ .

Ceci se traduit bien pour la matrice matC(u) par le fait quelle est triangulaire suprieure.

Et videmment, on a ainsi termin la dmonstration par rcurrence du thorme.

Thorme 5.2 : trigonalisabilit des matrices carres complexesToute matrice deMn() est trigonalisable.

Dmonstration :

Soit : A Mn(), et u lendomorphisme de ncanoniquement associ A.

Puisque uest scind dans , u est donc diagonalisable et A aussi.

Thorme 5.3 : lments diagonaux dune matrice triangulaire ou diagonale semblable unematrice carre donneSoit : A Mn(K), diagonalisable ou trigonalisable.

Si D est une matrice diagonale semblable A (ou T une matrice triangulaire suprieure semblable A),on trouve sur la diagonale de D (ou de T) les valeurs propres de A, chacune rpte avec sa multiplicit.

Dmonstration :

Si A est diagonalisable out trigonalisable, et donc semblable une matrice triangulaire suprieure oudiagonale, note A, alors : P Gln(K), A = P

-1.A P.

On a alors : A= A, mais comme le polynme caractristique Ade A vaut : A() = =

n

i

iia1

, )'( , les

valeurs propres de A sont donc bien les lments diagonaux de A.

6. Sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme.

Dfinition 6.1 : sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme

Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E et : u L(E).

On dit que F est stable par u (ou que u stabilise F) si et seulement si : u(F) F, ou : x F, u(x) F.


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Dfinition 6.2 : endomorphisme induit par un endomorphisme dans un sous-espace vectoriel stable

Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, u L(E), et F un sous-espace vectoriel de E stable par u.

Lendomorphisme dfini sur F par : x F, (x) = u(x), est appel endomorphisme induit par u sur F.

Thorme 6.1 : stabilit des sous-espaces propres par un endomorphisme commutantSoient (E,+,.) un K-espace vectoriel, et : (u,v) L(E)2, tel que : uov = vou.

Alors Im(u) et ker(u) sont stables par v.Plus gnralement, tout sous-espace propre de u est stable par v.

Dmonstration :

Soit : x ker(u).Alors : u(v(x)) = v(u(x)) = v(0) = 0, et : v(x) ker(u).Donc ker(u) est bien stable par v.

Soit: y Im(u), et: x E, y = u(x).Alors : v(y) = v(u(x)) = u(v(x)), qui est bien un lment de Im(u), et Im(u) est stable par v.

Soit : Sp(u), et : x E(u).Alors : u(v(x)) = v(u(x)) = v(.x) = .v(x), et : v(x) E(u).Le sous-espace propre E(u) est bien stable par v.

Thorme 6.2 : caractrisation des vecteurs propres en termes de droite stableSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel, et : u L(E).

Pour tout x non nul dans E, la droite Vect(x) est stable si et seulement si x est vecteur propre de u.

Dmonstration :

Supposons que x soit vecteur propre de u (pour la valeur propre ).Alors : x = .x Vect(x), u(x) = u(.x) = .u(x) = ..x, et : x Vect(x), qui est bien stable par u.Supposons Vect(x) stable par u.Alors : u(x) Vect(x), et comme {x} constitue une base de Vect(x) : K, u(x) = .x, ce qui traduit

bien le fait que x est vecteur propre de u (pour la valeur ).

Thorme 6.3 : traduction matricielle de la stabilit dun sous-espace vectoriel

Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie, u L

(E), et F un sous-espace vectoriel de E.Il y a quivalence entre :

F est stable par u,

dans toute baseB0de E adapte F, mat(u,B0) =

C

BA

0.

Dmonstration :Travaillons par double implication.

[].Supposons F stable par u, et considrons une base B0de E adapte F, scrivant :B0=BFB.

Alors tout vecteur e deBFest tel que u(e) scrit comme combinaison linaire des vecteurs deBF.

Il est alors clair que la matrice de u dansB0est de la forme annonce.

[].Si la matrice de u dans la base B0(du typeBFB) est de la forme propose, tout vecteur de BFa

une image par u qui scrit comme combinaison linaire des vecteurs de BF.

Par linarit, tout vecteur de F a aussi une image par u qui scrit comme combinaison linaire desvecteurs deBF, et F est bien stable par u.

Thorme 6.4 : gnralisation du thorme 6.3

Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie tel que : E = E1 E2Ep, et : u L(E).

Il y a quivalence entre :1 i p, Eiest stable par u,


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dans toute baseB0adapte : E = E1 E2Ep, mat(u,B0) =

pA

A

00

0

0

001

L

OOM

MOO

L

.

En particulier dans ce cas, le dterminant de u est le produit des dterminants des p endomorphismesinduits par u dans les sous-espaces vectoriels Ei.

Dmonstration :

La dmonstration est identique la dmonstration prcdente, en travaillant cette fois sur chaque sous-espace vectoriel.Comme par ailleurs, la matrice est diagonale par blocs, le dterminant de mat(u,B) est gal au produit

des dterminants des matrices diagonales.Or chaque u induit dans chaque sous-espace Ejvectoriel un endomorphisme dont la matrice dans labase de Ejqui a conduit la baseB0adapte la dcomposition, est gale Aj, donc dont le

dterminant vaut det(Aj), do le rsultat annonc.

Thorme 6.5 : caractrisation des matrices triangulaires suprieures en termes de sous-espacesstablesSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie n, muni dune base : B= (e1, , en), et : u L(E).

Il y a quivalence entre :1 k n, u stabilise Vect(e1, , ek),la matrice de u dans Best triangulaire suprieure.

Dmonstration :L encore, travaillons par double implication.

[].Si u stabilise chaque sous-espace vectoriel Vect(e1, , ek), alors :

u(ek) Vect(e1, , ek), et : (a1,k, , ak,k) Kk, u(ek) = a1,k.e1+ + ak,k.ek,

et il est alors clair que la matrice de u dans la baseBest triangulaire suprieure.

[].Si maintenant la matrice de u dans Best triangulaire suprieure, alors :

1 k n, u(ek) Vect(e1, , ek), donc :1 j k n, u(ej) Vect(e1, , ek), et donc :x Vect(e1, , ek), u(x) Vect(e1, , ek), par combinaison linaire.

Finalement, Vect(e1, , ek) est stable par u.

7. Polynmes dendomorphisme, de matrice carrre.

Dfinition 7.1et thorme 7.1 : polynme dun endomorphisme, polynme dune matrice carre

Soient (E,+,.) un K-espace vectoriel, u L(E), et : =

=N

k

k

k XaP0

. K[X].

Si A est la matrice reprsentative de u dans une base Bde E, P(A) est la matrice reprsentative de

P(u) dans cette mme baseB.

Dmonstration :Puisque les matrices reprsentatives dune compose ou dune combinaison linaire dendomorphismesde E sont respectivement le produit ou la combinaison linaire des matrices reprsentatives de cesmmes endomorphismes, le rsultat en dcoule.

Thorme 7.2 : stabilit des images et noyau de polynmes dun endomorphisme par cetendomorphismeSoient (E,+,.) un K-espace vectoriel, u L(E), et : P K[X].

Les sous-espaces vectoriels Im(P(u)) et ker(P(u)) sont stables par u.

Dmonstration :P(u) et u sont des endomorphismes de E qui commutent, du fait de la linarit de u.


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En effet, en notant : P = =

N

k

k

k Xa0

. , on a : P(u) = aN.uN+ + a1.u + a0.idE, et :

x E, P(u)ou(x) = aN.uN(u(x)) + + a1.u(u(x)) + a0.u(x) = u(aN.u

N(x) + + a1.u(x) + a0.x) = uoP(u)(x).Donc Im(P(u)) et ker(P(u)) sont stables par u.

Thorme 7.3 : correspondance polynme polynme dendomorphisme, de matrice carreSoient (E,+,.) un K-espace vectoriel et : u L(E).

(P,Q) K[X]2, (,) K2, (P + .Q)(u) = .P(u) + .Q(u),

(P,Q) K[X]2, (P.Q)(u) = P(u)oQ(u).

En particulier, si : P = ( )=

N

k

kX1

. , alors : P(u) = ( ) ).(...)..(.. 11

ENE

N

k

Ek IduIduIdu ==

oo .

Les mmes rsultats sont vrais pour les polynmes de matrices carres.

Dmonstration :Soient : (,) K2, et P et Q deux lments de K[X], avec :

P = =

N

k

k

k Xa0

. , et : Q = =

N

k

k

k Xb0

. , o : N = max(deg(P),deg(Q)), et la convention :

deg(P) < k, ak= 0, et : deg(Q) < k, bk= 0.

Alors : )(.)(.)...()()...())(..(00

uQuPubauXbauQP

N

k

kkk

N

k

kkk +=+=

+=+ == .

Dautre part, toujours avec les conventions : deg(P) < k, ak= 0, et : deg(Q) < k, bk= 0, on a :

=

=

= =

= =

N

k

kk

i

iki

N

k

kk

i

iki ubauXbauQP.2

0 0

.2

0 0

..)(..))(.( .

Mais puisque u est linaire, on peut crire : 0 i n, =

+

=

=

N

j

ji

j

N

j

j

j

iububu

00

..o , et donc :

= =

= =

+

==

=

=

=

N

k

kN

i

iki

N

i

N

j

ji

ji

N

j

j

j

N

i

i

i ubaubaubuauQuP.2

0 00 000

......)()( oo ,

en rarrangeant les termes de la somme obtenue (ce qui donne la deuxime galit).On en dduit lgalit voulue.

Enfin, si : P = 1, alors : P(u) = idE, et plus gnralement :

si : P = ( )=

N

k

kX1

. , alors : P(u) = ( ) ).(...)..(.. 11

ENE

N

k

Ek IduIduIdu ==

oo .

Dfinition 7.2 et thorme 7.4: polynme annulateur dun endomorphisme ou dune matrice carre

Soient (E,+,.) un K-espace vectoriel et : u L(E).

On appelle polynme annulateur de u un polynme P de K[X] tel que : P(u) = 0.

Si : A Mn(K), on appelle polynme annulateur de A un polynme P de K[X], tel que : P(A) = 0.

Si E est de dimension finie et si A reprsente u dans une baseBde E, alors P est annulateur de u si etseulement si P est annulateur de A.De plus, tout endomorphisme u dun espace vectoriel de dimension finie admet un polynme annulateurnon nul.

Dmonstration :Si E est de dimension finie et si A reprsente u dans une baseBde E, alors pour tout polynme P, P(A)

est la matrice reprsentative de P(u) dansB, do lquivalence propose.

De plus, si E est de dimension n, alors la famille (idE, u, , un) est de cardinal (n2+ 1) donc est lie

dansL(E).

Donc : (a0, a1, , an) Kn, non tous nuls, tels que : a0.idE+ a1.u + + an.u

n= 0.Le polynme : P = a0+ a1.X + + an.X

n, est alors non nul, annulateur de u.

Thorme 7.5 : valeurs propres et polynmes annulateursSoient (E,+,.) un K-espace vectoriel et : u L(E).


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Pour tout polynme P de K[X], et toute valeur propre de u, P() est valeur propre de P(u).En particulier, si P est un polynme annulateur de u, toute valeur propre de u est racine de P, autrementdit les racines dun endomorphisme sont toujours racines de tout polynme annulateur de cetendomorphisme.

Dmonstration :

Soit donc x un vecteur propre de u associ .

Puisque : u(x) = .x, il est immdiat par rcurrence que : k , uk(x) = k.x, et donc :P K[X], P(u)(x) = P().x,

autrement dit, puisque x est non nul, P() est bien valeur propre de P(u).En particulier, si P est un polynme annulateur de u, la seule valeur propre de P(u) tant 0 (cest

lendomorphisme nul), on en dduit que pour toute valeur propre de u, P() vaut 0 et est racine de P.

Thorme 7.6 : de Cayley-HamiltonSoient (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie n, et : u L(E).

Le polynme caractristique de u est un polynme annulateur de u.

Dmonstration (hors programme) :

Soit : x E.Notons par ailleurs ule polynme caractristique de u.Si x est nul, alors : u(u)(x) = 0, puisque Pu(u) est un endomorphisme de E.

Supposons maintenant x non nul.il y a des entiers k tels que la famille {x, u(x), , uk-1(x)} soit libre.En effet, pour : k = 1, la famille {x} est libre, tant donn que x est non nul.De plus, les familles de type prcdent ne peuvent comporter plus de n vecteurs, car : dim(E) = n.Il existe donc un plus grand entier p tel que {x, u(x), , up-1(x)} soit libre.notons : F = Vect(x, u(x), , up-1(x)).La famille {x, u(x), , up-1(x)} est videmment une base de F, puisquelle est libre par construction etgnratrice de F par dfinition de F.De plus, F est stable par u.En effet, tous les vecteurs parmi x, u(x), , up-2(x) ont videmment une image par u dans F.Puis {x, u(x), , up(x)} est lie (par dfinition de p) et donc :

(a0, , ap) Kp+1, non tous nuls, tel que : a0.x + + ap.u

p(x) = 0.

Or si aptait nul, tous les autres le seraient aussi du fait de la libert de la famille {x, u(x), , up-1(x)}.Donc apest non nul et u

p(x) peut scrire comme combinaison linaire de u, u(x), , up-1(x), et doncappartient F.Il est alors clair que tout vecteur de F (comme combinaison linaire des vecteurs de la base prcdente)a aussi son image par u dans F.

notons lendomorphisme induit par u dans F.

La matrice de dans la base prcdente de F est : A =

1

0

100

0

0

1

00

p

L

MOOM

MMOO

MMO

LL

, o la dernire colonne

correspond aux coordonnes de up(x) dans la base {x, , up-1(x)}.

Le polynme caractristique de est alors : () = [p p-1.

p-1 0], comme on le montre endveloppant par exemple le dterminant correspondant par rapport la dernire colonne.

Et dans ce cas : (u)(x) = [up(x) p-1.u

p-1(x) 0.x] = 0.considrons enfin une baseBobtenue en compltant la base prcdente de F en une base de E.

La matrice de u dans cette base est alors :

B

CA

0, puisque F est stable par u.

Le polynme caractristique de u est alors : u() = ().det(.In-p B) = ().Q().

Donc : u(u) = (u)oQ(u) = Q(u)o(u).On constate alors que : u(u)(x) = Q(u)[(u)(x)] = Q(u)(0) = 0.Finalement, on a montr que : x E, u(u)(x) = 0, soit : u(u) = 0.


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Remarque :

Si : A Mn(K), alors on peut obtenir Ak, pour tout entier k laide dune division euclidienne.

En effet : k , (Qk,Rk) K[X]2, Xk= A.Qk+ Rk, deg(Rk) n 1, et :

k , Ak= Rk(A).

Dmonstration :Pour : k , il suffit deffectuer la division euclidienne de Xkpar Aqui garantit que :

! (Qk,Rk) K[X]2, Xk= A.Qk+ Rk, avec : deg(Rk) < n,

et : Ak= A(A).Qk(A) + Rk(A) = Rk(A), du fait du thorme de Cayley-Hamilton.

Thorme 7.7 : caractrisation de la diagonalisabilit laide dun polynme annulateurSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie n, et : u L(E).

Lendomorphisme u est diagonalisable si et seulement si u admet un polynme annulateur scind racines simples dans K.

De mme, u est diagonalisable si et seulement si : P =

)(

)(uSp

X

, est un polynme annulateur de u.

Dmonstration (hors programme):

[]Supposons u diagonalisable.Notons D sa matrice dans une base de E forme de vecteurs propres de u.

Alors D comporte sur sa diagonale les valeurs propres de u, rptes avec leur multiplicit.Or, pour tout polynme P de K[X], P(D) est la matrice diagonale qui comporte sur sa diagonale leslments P(di,i), o di,isont les lments diagonaux de D soit les valeurs propres de u.

Donc si on prend pour P le polynme

)(

)(uSp

X

, alors : P(D) = 0, et : P(u) = 0.

P est bien annulateur pour u (et cest un polynme scind racines simples dans K).

[]Commenons par dmontrer le rsultat suivant : si un polynme P de K[X] scrit : P = (X ).Q, tel que ne soit pas racine de Q, alors :

ker(P(u)) = ker(u .idE) ker(Q(u)) .Soit : x ker(u .idE) ker(Q(u)).

Alors : u(x) = .x, donc : Q(u)(x) = Q().x, en reprenant le principe de la dmonstration du thorme 7.5.Or nest pas racine de Q donc : x = 0, et les deux noyaux sont en somme directe.

Dautre part, puisque nest pas racine de Q, les polynmes Q et (X ) sont premiers entre eux.Donc : (A,B) K[X]2, A.(X ) + B.Q = 1 (galit de Bzout), et : A(u)o(u .idE) + B(u)oQ(u) = idE.Soit alors : x ker(P(u)).Alors : x = y + z, avec : y = A(u)((u .idE)(x)), et : z = B(u)(Q(u)(x)).Dans ce cas : Q(u)(y) = A(u)(Q(u)((u .idE)(x))) = A(u)(P(u)(x)) = A(u)(0) = 0, soit : y ker(Q(u)),et : (u .idE)(z) = (u .idE)(B(u)(Q(u)(x))) = B(u)(P(u)(x)) = B(u)(0) = 0, soit : z ker(u .idE).Donc : x ker(u .idE) ker(Q(u)), soit : ker(P(u)) ker(u .idE) ker(Q(u)).Soit enfin : y ker(Q(u)), et : z ker(u .idE).Alors : P(u)(y) = (u .idE)(Q(u)(y) = (u .idE)(0) = 0, et : y ker(P(u)), de mme pour z.

Donc : ker(u .idE) ker(Q(u)) ker(P(u)), soit finalement lgalit.On a donc bien montr le rsultat annonc.Supposons maintenant que u admette un polynme P annulateur scind racines simples dans K.Si P nest pas normalis, on le divise par son coefficient dominant et on peut alors supposer que :

P = =

k

i

iX1

)( , o les isont distincts deux deux.

Alors : P(u) = 0, et : ker(P(u)) = E.

Puisque les valeurs isont distinctes deux deux, par rcurrence on constate que :ker(P(u)) = E = ker(u 1.idE) ker(u k.idE).

Enfin, si on considre une base de E adapte cette somme directe, cest une base forme de vecteurspropres de u, donc u est diagonalisable.

Thorme 7.8 : diagonalisabilit dun endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable

Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie n, et : u L(E).


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Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par u et lendomorphisme induit par u dans F.Si u est diagonalisable, est aussi diagonalisable.

Dmonstration :Puisque u est diagonalisable, il existe un polynme P de K[X], scind racines simples dans K, tel que :

P(u) = 0.

Or cela se traduit par : x E, P(u)(x) = 0.Mais on constate alors que : x F, P(u)(x) = 0, et comme : x F, u(x) = (x), on en dduit que :

x F, P()(x) = 0, et finalement : P() = 0.On vient donc de mettre en vidence un polynme annulateur de , scind racines simples dans K, et est donc diagonalisable.

07 - Reduction d Endomorphismes Cours Complet

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