GEOMETRIE DES SOLIDES 5 iéme (4p)

Une unité de mesure est fixée dans tout ce cours (le cm par exemple)

I) Cube ; prisme et cylindre:

1) Représentation en perspective cavalière d’un cube , d’un prisme ou d’un cylindre:

a) Cube:

b)i) Prisme droit: (cas particulier: parallélépipède rectangle) ii) Prisme quelconque:

c)i) Cylindre de révolution: ii) Cylindre quelconque:

2) Volume d’un cube , d’un prisme ou d’un cylindre:

On retiendra: Le volume d’un cube , d’un prisme ou d’un cylindreest égal au produit de l’aire de la base par la hauteur V =

a) Volume d’un cube d’arête a :

b) Volume d’un cylindre dont les bases sont des disques de rayon R et de hauteur h :

3) Développement d’un cube , d’un prisme droit ou d’un cylindre de révolution:

a) Cube: Dessiner le développement d’un cube d’arête 3 Déterminer l’aire du développement de ce cube

b) Prisme droit: i) Dessiner le développement d’un parallélépipède rectangle dont les bases sont des rectangles de mesures 2 et 5 et dont la hauteur est 3 Déterminer l’aire de ce développement Déterminer le volume de ce parallélépipède rectangle ii) Dessiner le développement d’un prisme droit dont la base est un pentagone régulier dont le coté mesure 3 et dont la hauteur est 5 Déterminer l’aire de ce développement Déterminer le volume de ce prisme droit

c) Cylindre de révolution: Dessiner le développement d’un cylindre de révolution dont les bases sont des disques de rayon 3,5 et dont la hauteur est: 4 Déterminer l’aire de ce développement Déterminer le volume de ce cylindre II) Pyramide et cône

1) Représentation en perspective cavalière d’une pyramide ou d’un cône:

a) Pyramide:

b)i) Cône de révolution: ii) Cône quelconque:

2) Volume d’une pyramide ou d’un cône:

On retiendra: Le volume d’une pyramide ou d’un cône est égal au tiers du produit de l’aire de la base par la hauteur V =

Volume d’un cône dont la base est un disque de rayon R et de hauteur h :3) Développement d’une pyramide ou d’un cône de révolution:

a) Pyramide: i) Dessiner en perspective cavalière, une pyramide régulière de sommet S dont la base est un carré ABCD de 3cm de côté, on notera I le centre du carré ABCD dont la hauteur est de 4cm Dessiner le développement de cette pyramide Déterminer l’aire de ce développement Déterminer le volume de cette pyramide Déterminer une valeur approchée à un degré près de la mesure de l’angle formé par la base et une des autres faces ii) Dessiner en perspective cavalière SABC une pyramide régulière à 4 faces (tétraèdre), qui sont toutes des triangles équilatéraux de côté 4cm , on notera I le centre du triangle ABCD Dessiner le développement de ce tétraèdre Déterminer l’aire de ce développement Déterminer le volume de ce tétraèdre (on utilisera la trigonométrie pour déterminer AI ) Déterminer une valeur approchée à un degré près de la mesure de l’angle formé par deux faces

b) Cône de révolution: Dessiner en perspective cavalière un cône de révolution dont la base est un disque de rayon 3 et la hauteur est de 5 Dessiner le développement de ce cône de révolution Déterminer l’aire de ce développement Déterminer le volume de ce cône Déterminer une valeur approchée à un degré près de la mesure de l’angle au sommet de ce cône

III) Sphère :

1) Représenter en perspective cavalière une sphère:

2) Volume et aire de l’enveloppe d’une sphère:

On retiendra: Le volume d’une sphère de rayon R est: V =l’aire de l’enveloppe d’une sphère est: A =

3) Exercices: 1) Déterminer une valeur approchée du volume d’une sphère de rayon 3 2) Déterminer le rayon d’une sphère de volume: 26,244 cm3

3) Déterminer une valeur approchée du rayon d’une sphère de volume: 150 cm3

4) Exercices: 1) Un plan coupe la sphère de centre O et de rayon 5cm , suivant un cercle de centre O’ et de rayon 4cm Déterminer la longueur OO’ 2) S est une sphère de centre O et de rayon 4cm . P est un plan tel que la distance de O à P soit de 2cm . Déterminer le rayon du cercle d’intersection de S et de P 3) S est une sphère de centre O et de rayon rcm . P est un plan tel que la distance de O à P soit de 5cm . Sachant que le rayon du cercle d’intersection de S et de P et de 3cm Déterminer la valeur de r

IV) Exercices:

Ex 1: Dessiner en perspective cavalière un parallélépipède rectangle ABCDEFGH , dont la longueur mesure 6 , la largeur 4 et la hauteur 4 I ; J et K sont les milieux de AB ; BC et BF 1) Calculer les valeurs exactes de: FC ; FD ; JK ; IJ et IK2) Quelle et l’aire du triangle BJK ? et celle du triangle IJK ?3) Quel est le volume du tétraèdre IBJK ?4) Soit BP la hauteur issue de B , dans la pyramide IJKB , déterminer la hauteur BP

Ex 2: La figure 1 représente un hexagone régulier inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 4 Le point H est le projeté orthogonal de O sur AB La figure 2 représente une pyramide régulière P de sommet S et de base l’hexagone régulier de la figure 1 . On a coupé cette pyramide par un plan parallèle à la base. on obtient ainsi une seconde pyramide régulière P1 , de sommet S et de base l’hexagone régulier A’B’C’D’E’F’ de coté A’B’ = 2,8 On donne de plus: AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = EE’ = FF’ = 6 La figure 3 représente le tronc de pyramide extrait de la figure 2 . Ce tronc de pyramide, représente un fromage de chèvre vendu dans le commerce1) On s’intéresse à la figure 1 a)i) Montrer que le triangle AOB est équilatéral ii) Calculer la valeur exacte de OH b) Montrer que la valeur exacte de l’aire de l’hexagone ABCDEF est 24 3 cm2

2) On s’intéresse à la figure 2 a) En utilisant le triangle SAB , démontrer que: SA = 20 b) En utilisant le triangle SAO rectangle en O , calculer la valeur exacte de SO c) A l’aide des résultats précédents, démontrer que le volume de la pyramide P est égal à 192 2 cm3

d) La pyramide P1 est une réduction de la pyramide P . Expliquer pourquoi son volume est obtenu en

multipliant le volume de P par 7

10

3

3) Calculer la valeur approchée, à 1cm3 par défaut du volume de ce fromage de chèvre