0224 Techniques de Gestion Supports de Cours 1 Theorie de La Decision
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THÉORIE DE LA DÉCISION Techniques de gestion 2015
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THÉORIE DE LA
DÉCISION
Techniques de gestion 2015
Introduction
Le processus décisionnel
Avenirs
Certain
Aléatoire et concept d’utilité
Incertain
Méthodologie d’analyse de problèmesLe processus décisionnel
Poser le problème
Identifier le problème
Analyser le problème
Poser le problème
Méthodologie d’analyse de problèmesLe processus décisionnel
Recherche des solutions
possibles
Méthode
Expérience
Imagination
Dialogue
Poser le problème
Recherche des solutions possibles
Méthodologie d’analyse de problèmesLe processus décisionnel
Evaluation des solutions
Critères quantitatifs
Critères qualitatifs
Critères temporels
Critères écologiques
Critères sociaux
Critères affectifs
Poser le problème
Recherche des solutions possibles
Evaluation des solutions
Méthodologie d’analyse de problèmesLe processus décisionnel
Argumentation Expliquer
Argumenter
Comparer
Poser le problème
Recherche des solutions possibles
Evaluation des solutions
Argumentation
Méthodologie d’analyse de problèmesLe processus décisionnel
Sélection d'une solution
Décider
Poser le problème
Recherche des solutions possibles
Evaluation des solutions
Argumentation
Sélection d'une solution
Méthodologie d’analyse de problèmesClassification des décisions
Les décisions « certaines »
Les décisions « aléatoires »
Les décisions « incertaines »
Avenir certain
Avenir aléatoire
Avenir incertain
Avenir certain
modèles économiques
Applications de règles de gestion
Avenir aléatoireProbabilités
Diverses méthodes tentent de donner une
représentation numérique de l'incertitude
conduisant à une typologie de l'incertitude :
les probabilités objectives
les probabilités subjectives
Avenir aléatoireProbabilité subjectives
Les probabilités subjectives d’un décideur relatives à un événement expriment
ses croyances vis-à-vis de l’occurrence de cet événement
Ces croyances peuvent résulter :
soit d’un sentiment personnel qu’il exprime directement (le dollar devrait baisser contre
l’euro)
soit d’une analyse : décomposition des enchaînements conduisant à un tel événement,
estimation des probabilités conditionnelles, …
La valeur que l'on attribue à ces croyances dépend bien sûr de la qualification du
décideur dans ce domaine, de son degré d’expertise (souvent un seul expert ne
suffit pas)
Les difficultés liées au traitement des décisions dans l'incertain poussent à
l'utilisation de probabilités subjectives avec :
une réflexion critique sur la qualité de l'évaluation, et
une analyse de sensibilité permettant de mesurer leur influence sur la valeur du critère de
décision
Avenir aléatoireProbabilité objectives
Les probabilités objectives d'un événement ne sont pas liées aux décideurs
des éléments de symétrie (cas d'une pièce de monnaie, tirage aveugle dans une urne, …)
justifient la détermination de la probabilité d'un tirage comme le rapport :
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
Exemple : le tirage d'un 6 pour un dés à 6 faces parfaitement symétriques est de 1/6)
les théorèmes sur les probabilités permettent de déterminer les probabilités
d'événement plus complexes (analyse combinatoire) :
Exemple : la probabilité de tirer deux 6 de suite est de 1/6 x 1/6 = 1/36)
les méthodes d'échantillonnage, les sondages d'opinions, les tests
statistiques, sont des moyens puissants pour déterminer la probabilité
d'événements (contrôle de qualité, élection, …)
Avenir aléatoireEspérance de vie mathématique, Variance et Ecart-Type
Espérance de vie mathématique
Variance
𝑉 𝑋 =
𝑛
𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 ∗ (𝑥𝑖 − 𝐸 𝑋 )²
Ecart-type
σ (X) = V(X)
𝐸 𝑋 =
𝑛
𝑥𝑖 ∗ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)
Avenir aléatoireEspérance de vie mathématique, Variance et Ecart-Type
Il est cependant incorrect d'avancer que les
individus prennent leurs décisions uniquement
sur la base de la valeur espérée E(X).
Le risque est aussi un paramètre essentiel à
toute décision.
Avenir aléatoireConcept d’utilité
On vous propose de jouer à un jeu qui consiste à tirer une pièce de monnaie.
Si la pièce indique face, on vous paie 1000€
Si la pièce indique pile, vous devez payer 1000€.
On pose :
Situation1: la pièce indique pile ; probabilité P1= 0,5 ; R1= -1000
Situation2: la pièce indique face ; probabilité P2= 0,5 ; R2= 1000
Alternative A : Vous décidez de jouerLe revenu espéré est : E(R)A = 0,5*-1000 + 0,5*1000 = 0
Alternative B : Vous refusez de jouerVotre revenu espéré sera évidemment de : E(R)B= 0
Nous voilà donc en présence de deux situations où le revenu espéré est le même.
E(R)A= E(R)B = 0.
Avenir aléatoireConcept d’utilité
L'attitude face au risque est déterminante dans
le choix des individus.
On doit donc pouvoir prendre en compte un
critère faisant explicitement appel à cette
attitude de l'individu face au risque.
Utilité
Avenir aléatoireConcept d’utilité
Espérance-Utilité
𝐸𝑈 𝑋 =
𝑛
𝑈(𝑥𝑖) ∗ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)
Avenir aléatoireConcept d’utilité
On suppose qu’un individu a une richesse
initiale r0 et détient une loterie X = L(-h,h ; ½, ½)
Sa richesse finale est notée : rF = r0 + rX
Il a le choix entre garder rX ou obtenir de façon
certaine E(X)
Avenir aléatoireConcept d’utilité
S’il préfère obtenir de façon certaine l’espérance de sa richesse finale que la richesse finale, l’individu est risquophobe.
S’il préfère garder sa richesse finale plutôt que d’obtenir de façon certaine l’espérance de sa richesse finale, l’individu est risquophile.
S’il est indifférent entre avoir de façon certaine l’espérance de sa richesse finale et sa richesse finale, l’individu est neutre par rapport au risque.
Avenir aléatoireConcept d’utilité - Individu risquophobe
Richesse
initiale =
Espérance de gain
Probabilité 1
de richesse
finale
Probabilité 2
de richesse
finale
Espérance utilité
de la loterie
Utilité de
l’espérance de gain
Utilité de la
probabilité 1
Utilité de la
probabilité 2
Avenir aléatoireConcept d’utilité - Individu risquophile
Richesse
initiale =
Espérance de gain
Probabilité 1
de richesse
finale
Probabilité 2
de richesse
finale
Espérance utilité
de la loterie
Utilité de
l’espérance de gain
Utilité de la
probabilité 1
Utilité de la
probabilité 2
Avenir aléatoireConcept d’utilité - Individu neutre
Richesse
initiale =
Espérance de gain
Probabilité 1
de richesse
finale
Probabilité 2
de richesse
finale
Espérance utilité
de la loterie
=
Utilité de
l’espérance de gain
Utilité de la
probabilité 1
Utilité de la
probabilité 2
Avenir aléatoireEquivalent Certain
L’équivalent certain est le montant sûr et
certain qui procure la même utilité que la
richesse finale risquée.
Soit une variable aléatoire X. On appelle
équivalent certain de X, noté CX, la richesse
certaine telle que
U(CX) = EU(X)
Avenir aléatoireEquivalent Certain - Exemple
4
3,
4
1;0,5000
€50000
LX
r
wLnwU
Quel est l’équivalent
certain ?
XEUCU X
50004
310000
4
1LnLnCLn X
€56,59456904,8 eCX
Réponse : On recherche Cx tel que :
Avenir aléatoirePrime de risque
La prime de risque est égale à la différence
entre l’espérance de X et l’équivalent certain
CX, soit :
∏(U,X) = E(X) - CX
Avenir aléatoirePrime de risque - Exemple
4
3,
4
1;0,5000
€50000
LX
r
wLnwU
Quel la prime de
risque ?
€56,5945XC
€625050004
310000
4
1)( XE
304,44€ 5945,56 - 6250 X)(U,
Réponse :
Cet individu perçoit un risque de
304,44€, soit une quantité positive de
risque. Il est risquophobe.
Avenir aléatoirePrime de risque - Remarques
La prime de risque est:
positive pour un individu risquophobe,
négative pour un individu risquophile
nulle pour un individu neutre au risque.
Avenir incertainIntroduction
En présence d’incertitude non mesurable, le
décideur ne peut plus pondérer l’importance
respective de chaque état par une probabilité,
car il ne la connaît pas
Aussi, plusieurs critères pour la décision
individuelle ont été proposés
Critères de MaxiMax, Laplace, Wald, Hurwicz,
Savage, …
Avenir incertainEtude de cas: immobilier
On s’intéresse à un investissement immobilier. Faut-il investir dans :
Logement individuel
Logement collectif
Bureaux
Cela va dépendre de l’état du marché:
Scenario 1 / Scenario 2 / Scenario 3
L'estimation des profits de chacun de ces investissements selon l'état du marché est :
Stratégie Scenario 1 Scenario 2 Scenario 3
Logement individuel 300 100 200
Logement collectif 600 -300 -500
Bureau 400 -100 -400
Avenir incertainEtude de cas: arbre de décision
Etat initial
Logement individuel
300
100
200
Logement collectif
600
-300
-500
Bureau
400
-100
-400
Avenir incertainCritères de décision face à l’incertain
Critère Fonction de valorisation Critère de choix
Maximax iji
j RV ,sup jVmax
Maximin ou Wald ij
ij RV ,inf
jVmax
Laplace
n
i
ijj Rn
V1
,
1 jVmax
Hurwicz ij
iij
ij RRV ,, sup)1(inf.
jVmax
Savage
n
i
ijijj
j RRV1
,,sup jVmin
Avenir incertainCritère du MaxiMax
Choisir la stratégie susceptible de rapporter le
gain maximum.
C’est le critère du décideur optimiste
Avenir incertainCritère du MaxiMax
Etat initial
Logement individuel
300
100
200
Logement collectif
600
-300
-500
Bureau
400
-100
-400
Max=300
Max=600
Max=400
Choix MaxiMax: Stratégie 2 Logement collectif
Max(Max)=600
Avenir incertainCritère du MaxiMin ou de Wald
Comparer les résultats minimums des
diverses stratégies et à retenir celle pour
laquelle le résultat minimum est le plus élevé.
C’est le critère du décideur pessimiste
Avenir incertainCritère du MaxiMin ou de Wald
Etat initial
Logement individuel
300
100
200
Logement collectif
600
-300
-500
Bureau
400
-100
-400
Min=100
Min=-500
Min=-400
Choix MaxiMin: Stratégie 1 Logement individuel
Max(Min)=100
Avenir incertainCritère de Laplace
Choisir la stratégie dont la moyenne est la plus
élevée
Exemple:
Stratégie Scenario 1 Scenario 2 Scenario 3 L
Logement individuel 300 100 200 200
Logement collectif 600 -300 -500 -67
Bureau 400 -100 -400 -33
Avenir incertainCritère de Laplace
Etat initial
Logement individuel
300
100
200
Logement collectif
600
-300
-500
Bureau
400
-100
-400
L=200
L=-67
L=-33
Choix Laplace: Stratégie 1 Logement individuel
Max(L)=200
Avenir incertainCritère de Hurwicz
Le critère d’Hurwicz défini
un degré de pessimisme (α)
un degré d’optimisme (1-α)
Il prend à la fois le meilleur et le pire résultat de chaque stratégie et les pondère dans une combinaison linéaire H par cet index (α et 1-α)
On choisit la décision qui donne la plus grande valeur de H
Si on prend un coefficient α =0,7, les valorisations sont de:
Stratégie Scenario 1 Scenario 2 Scenario 3 H
Logement individuel 300 100 200 160
Logement collectif 600 -300 -500 -170
Bureau 400 -100 -400 -160
Avenir incertainCritère de Hurwicz
Etat initial
Logement individuel
300
100
200
Logement collectif
600
-300
-500
Bureau
400
-100
-400
H=200
H=-170
H=-160
Choix Hurwicz: Stratégie 1 Logement individuel
Max(H)=200
Avenir incertainCritère de Savage
Calcul d’une matrice des regrets (ou manque à gagner) à partir de la table des résultats
On choisit la décision qui donne le plus petit regret total
Matrice des résultats:
Stratégie Scenario 1 Scenario 2 Scenario 3
Logement individuel 300 100 200
Logement collectif 600 -300 -500
Bureau 400 -100 -400
Stratégie Scenario 1 Scenario 2 Scenario 3
Logement individuel 600 - 300 = 300 100 - 100 = 0 200 - 200 = 0
Logement collectif 600 - 600 = 0 100 - (-300) = 400 200 - (-500) = 700
Bureau 600 - 400 = 200 100 - (-100) = 200 200 - (-400) = 600
Matrice des regrets:
300
100
200
600
-300
-500
400
-100
-400
Avenir incertainCritère de Savage
Etat initial
Logement individuel
300
0
0
Logement collectif
0
400
700
Bureau
200
200
600
S=300
S=1100
S=1000
Choix Hurwicz: Stratégie 1 Logement individuel
Min(S)=300
Avenir incertainComparaison des critères pour traiter l’incertitude
un des moyen utilisés pour la décision optimale est de construire un tableau
classant les décisions pour chacun des critères avec leur rang respectifs, exemple :
De par la somme des rang, on en déduit le classement :
1. l'investissement «Logement individuel»
2. l'investissement «Bureau»
3. l'investissement «Logement collectif»
Conclusion : Difficulté de choisir un critère
En fait, dans la réalité, il est rare qu'on n’ait absolument aucune information sur les
probabilités des états de la nature, aussi il vaut mieux se contenter d’évaluations
imparfaites de tels probabilités plutôt que de considérer un environnement totalement
incertain
Stratégie MaxiMax Wald Laplace Hurwicz Savage Somme
Logement individuel 3 1 1 1 1 7
Logement collectif 1 3 3 3 3 13
Bureau 2 2 2 2 2 10
