Степенева функція

Степеневою функцією називається функція виду y=xp, де р- стале дійсне число, а х

(основа) – змінна. Графіки та властивості степеневої функції залежать від того, яким

числом є показник р. Графіками степеневої функції є криві, крім випадків, коли р=0 і р=1.

Графіками в таких випадках є прямі у=1, у=х. Перша пряма проходить через точку (0;1),

паралельно вісі ОХ. Друга пряма є бісектрисою першої і третьої

координатної чверті.

Властивості та графіки степеневих функцій у = х ( = n – натуральний

показник)подано в таблиці

При n=2k, парне При n=2k+1, непарне

1. Область визначення Функція у = х визначена при всіх дійсних

значеннях х (х )

2. Область значення

у 0 ( у – невід’ємне число) у R (у – будь-яке дійсне число)

3. Нулі функції При х = 0, у = 0, тобто графік функції проходить через початок координат

4. Інтервали знакосталості

Функція додатна при х 0 При х > 0 функція додатна (у > 0) При х < 0 функція від’ємна (у < 0)

5. Парність і непарність

Функція парна, графік симетричний Функція непарна, графік симетричний

відносно осі Оу відносно початку координат

6. Інтервали зростання та спадання функції

При х < 0 функція спадає. При х > 0 функція зростає

Функція зростає при х R

7. Найбільше та найменше значення функції

Найменше значення у = 0 при х = 0; найбільшого значення не має

Функція не має ні найбільшого, ні найменшого значення

Графіки степеневої функції у = х

- парне натуральне число

- непарне натуральне число

- непарне від’ємне число

- парне від’ємне число

- неціле додатне число

- неціле від’ємне число

Функція y=

Властивості та графіки функції y= подано в таблиці.

№з/п Показник кореня n

графік D(y) E(y) Парність (непарність)

Зростання (спадання)

1. n=2k, kєN Рис. 1 [0;+∞) *0;+∞) Ні парна, ні непарна

Зростає, якщо xє*0;+∞)

2. n=2k+1,kєN Рис.2 R R непарна зростає

Якщо функція має вигляд y= , де kєN, то слід вважати f(x)>0 (так як

арифметичний корінь парного степеня існує тільки з невід`ємних чисел)

Наприклад: якщо y= , то 6-x≥0, тобто D(y)=(∞;6]

Ірраціональні рівняння Ірраціональними називаються рівняння, у якиx змінна міститься під знаком кореня

(радикала) або під знаком піднесення до дробового степеня. В окремих випадках, не розв’язуючи дане ірраціональне рівняння, можна встановити,

що воно не має коренів. Наприклад, рівняння не має коренів, бо арифметичний корінь не може бути від’ємним.

Рівняння не має розв’язків, бо обидва доданки є арифметичними коренями, а тому не можуть бути від’ємними. А сума двох невід’ємних чисел дорівнює нулю лише тоді, коли кожен доданок дорівнює нулю. Одночасно ж вирази і нулю дорівнювати не можуть.

Основними методами розв’язування ірраціональних рівнянь є метод піднесення обох частин рівняння до одного і того самого степеня та метод введення нових змінних.

І спосіб: піднесення обох частин рівняння до одного і того самого степеня. При розв’язуванні ірраціональних рівнянь методом піднесення обох частин до парного

степеня можуть з’явитися побічні корені. Це відбувається за рахунок того, що при

піднесенні обох частин початкового рівняння до парного степеня дістаємо

рівняння, що є результатом не тільки рівняння , але і рівняння ,

оскільки і , і . Так, наприклад, візьмемо рівняння . Піднісши обидві частини цього рівняння до квадрата,

дістанемо Коренями цього рівняння є

числа Однак після перевірки переконуємось, що є коренем

рівняння , а є побічним коренем. Приступаючи до розв’язання ірраціонального рівняння, що містить парні степені

радикалів, буває корисним знаходження області допустимих значень (ОДЗ), це, як правило, полегшує розв’язування рівняння. Якщо робити лише еквівалентні перетворення, то перевірку робити не потрібно.

ІІ рівняння виду . Очевидно, що ліва частина рівняння, яка містить радикал парного степеня, не може

бути від’ємна, а отже невід’ємна і права частина даного рівняння. Враховуючи область допустимих значень, підкореневий вираз також не може бути від’ємним. Отже, рівняння

виду рівносильне такій системі:

.

Приклад 1. Розв’язати рівняння . Розв’язання

Дане рівняння можна звести до вигляду ,

тобто

.

З даної системи випливає, що лише є коренем початкового рівняння.

Відповідь: .

ІІІ рівняння виду , де , Здійснюється піднесенням обох частин рівняння до квадрату, «ізолюванням»

радикала, який при цьому отримується, і повторним піднесенням обох частин рівняння до квадрата. В результаті таких перетворень рівняння даного виду зводиться до раціонального.

Приклад 2. Розв’язати рівняння . Розв’язання Область визначення даного рівняння визначається в результаті розв’ язання системи

нерівностей 3x+7≥0 X+1≥0, звідки x≥-1 Перетворимо дане рівняння:

Обидва знайдені корені належать ОДЗ. Відповідь: {-1;3}

Приклад 3. Розв’язати рівняння . Розв’язання

Знайдемо для початку область допустимих значень: . Оскільки область допустимих значень виявилась пустою множиною, то і розв’язків

дане рівняння не має.

Відповідь: . Таким чином, в даному прикладі попереднє знаходження ОДЗ виявилось надзвичайно

корисним.

Приклад 4. Розв’язати рівняння . Розв’язання Обидва підкореневі вирази є повними квадратами, тому

Тобто дане ірраціональне рівняння звелося до раціонального рівняння з двома

модулями.

При x≤-1 маємо рівняння –x-1-x+2=4. Звідки x=- , що належить цьому проміжку.

При -1∠x≤2 маємо рівняння x+1-x+2=4. Звідки xєØ

При x>2 маємо рівняння x+1+x+2=4, звідки x= , що не належить цьому проміжку.

Відповідь: x=- ,

ІV Рівняння виду можна розписати за допомогою змішаних систем:

З наведених вище трьох систем вибирають звичайно ту, де простіше розв’язати

нерівність ( або ). Якщо ж обидві нерівності і розв’язати нескладно, то можна вибрати першу систему, яка хоча і містить одну зайву нерівність, є більш наочною, ніж ІІ і ІІІ.

Приклад 5. Розв’язати рівняння . Розв’язання Для розв’язання даного рівняння обираємо ІІІ систему:

.

Окремо розв’яжемо рівняння нашої системи. Методом підбору знаходимо цілий корінь даного рівняння. Для цього виписуємо дільники вільного члена:

Тоді

Відповідь:

Приклад 6. Розв’язати рівняння . Розв’язання Піднесемо обидві частини початкового рівняння до п’ятого степеня,

дістанемо: , звідки .

Перевірка: Підставивши x=18 в початкове рівняння, дістанемо , тобто – правильна рівність є коренем.

Відповідь: .

Приклад 7. Розв’язати рівняння . Розв’язання ОДЗ початкового рівняння – всі дійсні числа. Піднесемо обидві частини рівняння до

кубу:

Замінимо різницю правою частиною первинного рівняння, тобто

1: . Ізолюємо кубічний корінь, що залишився, і піднесемо обидві частини рівняння до

кубу:

Виконавши перевірку, знайдемо, що множиною розв’язків даного рівняння є .

Відповідь: .

Приклад 8. Розв’язати рівняння . Розв’язання Знайдемо ОДЗ даного рівняння:

Піднесемо обидві частини рівняння до

квадрата: . (1)

Останнє рівняння мало б місце при тобто при , але, враховуючи

ОДЗ, , маємо, що При перевірці дізнаємось, що є розв’язком рівняння (1). Оскільки рівняння (1) не

має інших розв’язків, то і наше початкове рівняння має лише один розв’язок .

Відповідь: . Системи ірраціональних рівнянь

Приклад 9. Розв’язати систему рівнянь Розв’язання ОДЗ: . Розв’яжемо дану систему способом підстановки, для цього із другого рівняння системи

виразимо y через x і підставимо у перше рівняння системи: . Окремо перетворимо перше рівняння системи, для цього піднесемо обидві його частини до кубу:

. Вираз замінимо на 4

(це випливає із властивості рівностей), тобто . Піднесемо обидві частини останнього рівняння до кубу і отримаємо

. Розв'язавши останнє квадратне рівняння, отримаємо

корені тоді .

Відповідь: .

Приклад 10. Розв’язати систему рівнянь Розв’язання

ОДЗ:

Піднесемо до квадрата обидві частини рівняння (І)

системи: Віднімемо від рівняння (І) рівняння (ІІ) системи і

отримаємо ,

або Тоді або

Відповідь:

Ірраціональні нерівності

Нерівності виду , де будь-яка ірраціональна функція, називаються ірраціональними нерівностями.

При розв’язуванні ірраціональних нерівностей використовуються ті ж прийоми, що і при розв’язуванні ірраціональних рівнянь: зведення обох частин нерівності до того самого натурального степеня, введення нових змінних, відокремлення радикала і т. д.

Розглянемо найпростіші ірраціональні нерівності.

Приклад 11. Розв’язати нерівність . Розв’язання

Область допустимих значень лівої частини нерівності , тобто . Звідси дістаємо, що початкова нерівність еквівалентна такій системі нерівностей:

Тобто

.

Відповідь:xє(- ;4]

Приклад 12. Розв’язати нерівність Розв’язання

Оскільки , то початкова нерівність виконується для всіх х з області

визначення функції .

. Відповідь: xє*5;∞

Приклад 13. Розв’язати нерівність . Розв’язання

Оскільки , то початкова нерівність не виконується при жодних значеннях х. Відповідь: Ø. Розглянемо більш складні нерівності.

Ірраціональні нерівності виду розписують у вигляді системи

нерівностей:

Ірраціональні нерівності виду розписують у вигляді

сукупності двох систем раціональних нерівностей Іншими словами, розглядаються випадки, коли права частина нерівності від’ємна, і

коли вона невід’ємна.

Приклад 14. Розв’язати нерівність . Розв’язання

Якщо , то або, якщо , то і .

Відповідь:

Приклад 15. Розв’язати нерівність . Розв’язання Перенесемо один з радикалів в праву частину для того, щоб полегшити

перетворення: . Піднесемо обидві частини нерівності до квадрата і отримаємо:

Відповідь: Дидактичні вправи для самостійної роботи

Розв’язати рівняння:

Відповіді:

рівень 1 2 3 4 5 6 7 8 А 1 1 -10;3 -2;3 2 4 2 Коренів

немає

Б 3 5 2 ; 6

В -2; 3,5 Коренів немає

- ;

Розв’язати нерівності:

Відповіді: рівень

1 2 3 4 5 6 7

А *4;∞) [0;4) (-∞;-2)υ(2;∞) (-∞;-4)υ(1;∞) (-∞;0+υ*7;∞) [ ]

Б [ ;0,5) (-∞;-2)υ(14;∞) (- ; +υ*0;2) *4;∞) (-∞;- ) 5

В -

x∠-1 і x>4

- ;