Visibilitédel’unitédelongueurAndré PRESSIAT

Ex-membre du LDAR – Université Diderot Paris 7 Ex-MCF de mathématiques – Université d’Orléans

Journées bisontines de didactique et d’épistémologie

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Jusqu’ici, longueurs sans unités ni mesures.

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MarijonGéométrieduBrevetélémentaire,1935Hatier,Programmesde1920

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Remarque ayant suscité la colère d’Henri Lebesgue… ainsi que la définition du rapport de deux longueurs donné sur la diapo suivante...

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Henri Lebesgue et la mesure des longueurs

De même que, lorsqu’on compte les éléments d’une collection, « un nombre entier peut être considéré comme le résultat de l’opération expérimentale de dénombrement parce qu’il en est le compte-rendu complet », un nombre réel est « le compte-rendu complet de cette suite indéfinie d’opérations » faites lorsqu’on mesure un segment AB avec un segment unité U.« Au segment AB, on associe une suite de chiffres avec virgule, par exemple 3,7602… que nous appellerons un nombre. Réciproquement, toute suite de

chiffres indéfinie vers la droite et comportant une virgule est-elle un nombre ?C’est-à-dire provient-elle de la comparaison d’un segment AB à U ? … »Tomes XXX1 (1931) à XXXV (1935) de L’enseignement mathématique.

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IntroductiondeRetdelaséparation

affine/affineeuclidien

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Cagnac,Ramis,Commeau,Nouveaucoursdemathématiquesspéciales,Tome3,Géométrie,Masson,1967.

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One way to learn a lot of mathematics is by reading the first chapters of manybooks.

Paul R. Halmos

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FairedesmathématiquesDeledicq-LassaveCédic 6e - 1977

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Fairedesmathématiques3eDeledicqLassave,C&D.MissenardCédic – 1980.

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Introduction de la notion de distance

Aux États-Unis, Birkhoff et son axiomatique : règle graduéeavec des nombres réels, rapporteur, triangles semblables (etisométriques), parallélisme… Son manuel scolaire avec soncollègue Beatley, professeur de sciences de l’éducation.1933, 1940-1941, 1959. Chelsea Publishing Company.

Ouvrage de Millmann et Parker : Geometry - A metric approach with models (Springer, 1981, 1991)Reprend l’approche de Birkhoff, en la généralisant.Géométrie neutre ou absolue.Le plan muni de la “taxi-distance” n’en est pas une.Blumenthal caractérise le plan euclidien en tant qu’“espace métrique” au sens de Fréchet dans son ouvrage “A modern view of geometry”, Dover, 1961 et y traite de bien d’autres choses (affine, projectif…).

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D’où ce D4 sort-il ?

Queysanne-Revuz,SecondeCT,1972

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Annie Cousin-Fauconnet : Enseigner la géométrie au collège

Armand Colin – 1995Partie théorique pour le professeur

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Qu’ilestdifficiledeparlerdedistancessansparlerdelongueurs,d’unitédelongueur,etdemesuresdelongueurs…

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Programmes de 1985 (en collège)

J.Lelong-Ferranddans“Lesfondementsdelagéométrie”(PUF,1985)réhabilitelaquestiondesgrandeursetdeleurmesure.

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Bareil –ZehrenHachette1986Classede6e

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Périmètreetadditiondeslongueurs,sansuniténimesures.

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Divisiond’unelongueursansmesurer…

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Choixd’uneunitéetmesures…

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Lesquotientspourpouvoirmesurer…

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Hatier6e - 2000

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LivredumaîtreJ’apprendslesmathsCE2,2003- Retz.

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Àcompareraveclesdiapos3et4…

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Bords des boules unités pour p = 1, 3/2, 2, 4, 10 et ∞.

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Dessin fait par Brian Ingalls avec Maple.

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Dessin fait par Brian Ingalls avec Maple.

Enoncéséquivalentsàl’axiomed’Euclideengéométrieneutre(ouabsolue)

Enoncé1:(formedonnéeparEuclideàsonfameuxpostulat)SiA etD sontdespointsdumêmecôtédeladroiteBC telsquelasommedesanglesABC etBCD estinférieureàdeuxanglesdroits,alorslesdroitesAB etCD secoupent.

Enoncé2:Quellesquesoientlesdroitesl,m,n,sil//m etsim//n,alorsl//n.Enoncé3:Sideuxdroitessontparallèles,toutedroitequicoupel’unecoupel’autre.Enoncé4:(formedonnéeparPlayfairàl’axiomed’Euclide)Parunpointprishorsd’unedroite,ilpasseunedroiteparallèleàcettedroiteetuneseule.Enoncé5:Sideuxdroitessontparallèles,etsiunedroiteestperpendiculaireàl’une,alorselleestperpendiculaireàl’autre.Enoncé6:Lesmédiatricesd’untrianglesontconcourantesEnoncé7:Unedroiteperpendiculaireàl’undescôtésd’unangleaigucoupel’autrecôté.Enoncé8:partoutpointintérieuràunanglepasseunedroitequicoupesesdeuxcôtés(ailleursqu’ensonsommet).

Enoncé9:Lasommedesanglesdetouttriangleestégaleàdeuxanglesdroits.

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Enoncé 10 : Si C est hors du segment AB et sur le cercle de diamètre AB, alorsl’angle ACB est droit (énoncé appelé “Théorème de Thalès” dans les paysanglo-saxons).

Enoncé11:Ilexisteuntriangledontlasommedesanglesvautdeuxanglesdroits.Enoncé12:Sitroisanglesd’unquadrilatèresontdroits,le4e l’estaussi.

Enoncé13:Ilexisteunrectangle.Enoncé14:Ilexistedeuxdroitestellesquetouslespointsdel’unesontéquidistantsdel’autre.Enoncé15:Ilexistedeuxtrianglessemblablesquinesontpasisométriques.

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