Théorie de Files d’Attente

Ramon Puigjaner

Universitat de les Illes Balears

Palma, Espagne

Université Paul Sabatier. Toulouse

Université Paul Sabatier. Toulouse.

INDICE

Caractéristiques d'un modèle de files d'attente

Notation

Variables et relations fondamentales

Processus de Poisson

Processus de Naissance-Mort

Files M/M/m/B/K

File M/G/1

Files G/G/1: Méthode de diffusion

THÉORIE DE FILES D’ATTENTE

Caractéristiques d'un modèle de files d'attente

Source de clients Station de service

Caractéristiques de la source des clients Processus d'arrivée Quantité de service Taille de la population

Caractéristiques de la station de service Nombre de serveurs Nombre de files d'attente Capacité des files Gestion de la file Politique de service

Notation

A/S/m [/B/K/DS]

A: distribution du temps entre arrivées,

S: distribution du temps de service,

m: nombre de serveurs,

B: capacité du système (par défaut: infinie),

K: taille de la population (par défaut: infinie),

DS: politique de service (par défaut: FCFS).

Variables fondamentales T: variable aléatoire du temps entre arrivées.

fréquence d'arrivée (= 1/E[T])

S: variable aléatoire du temps de service.

capacité de service (1/E[S]). Ou nombre moyen de travaux qui peut accepter un serveur par unité de temps . S'il y a m serveurs, la capacité totale de service est m.

Variables fondamentales N: nombre de travaux dans la station de service

(variable aléatoire discrète).

Nq: nombre de travaux en attente de recevoir service (variable aléatoire discrète).

Ns: nombre de travaux en train de recevoir service (variable aléatoire discrète).

R: temps de réponse du système (variable aléatoire continue).

W: temps d'attente dans la file (variable aléatoire continue).

Rapports fondamentaux Condition de stabilité: La fréquence moyenne

d'arrivées doit être plus petite que la capacité moyenne de service:

Elle n'est pas applicable aux systèmes avec population et/ou capacité finies.

Equation du nombre de travaux:

N = Nq + Ns

Relations fondamentales Equation du temps:

R = W + S

Loi de Little:

Nombre moyen de travaux dans le système =

= Fréquence d'arrivée temps moyen de réponse.

Loi de Little

Clients

Loi de LittleFréquence d'arrivée =

= Nombre d'arrivées/Temps d'observation = I/T

Temps moyen dans le système = J/I

Nombre moyen de travaux dans le système =

= J/T = I/T J/I =

= Fréquence d'arrivée Temps moyen dans le système

Processus de Poisson N(t), pour t 0 est un processus de Poisson si:

N(0) = 0, Le nombre d'arrivées en intervalles indépendants sont

mutuellement indépendants, Pour un intervalle de temps suffisamment petit

[t, t + t] s'accomplit que:la probabilité d'arrivée d'un client est t + (t),la probabilité d'arrivée de deux clients ou plus est (t)la probabilité d'aucune arrivée est 1 - t + (t)

Les trois probabilités précédentes dépendent de t mais non de t

Processus de Poisson

E[N(t)]=t

Var[N(t)]=t

THÉORIE DE FILES D'ATTENTE

Distribution exponentielle Les temps entre arrivées consécutives d'un processus

de Poisson suivent une distribution exponentielle

Sans mémoire (propriété de Markov):

0pour ,

0pour ,1

1Pr1Pr

Propriétés des processus de Poisson Superposition de processus de Poisson

Décomposition d'un processus de Poisson

Processus de Naissance-Mort Il s'agît d'un type particulier de processus

stochastique outil pour modeler des systèmes dans lesquels les clients arrivent et complètent son service un par un.

L'état du système est représenté par la variable aléatoire du nombre de clients, k.

Processus de Naissance-Mort Si Pk(t) est la probabilité qu’il y ait k éléments à l’instant

t et dans un intervalle suffisamment petit l’état du système ne peut varier qu’en un élément, c’est à dire, pour qu’à l’instant t + t il y ait k éléments:

Ou à l’instant t il y a k éléments et il n’y a aucun changement pendant t.

Ou à l’instant t il y a k - 1 éléments et il y a une arrivée pendant t.

Ou à l’instant t il y a k + 1 éléments et il y a un départ pendant t.

L’état du système ne peut être jamais négatif.

Processus de Naissance-Mort La probabilité de l'état dépend de t, mais celle du

changement (naissance ou mort) dépend seulement de t

Pk(t + t) = Pk(t) pk,k(t) + Pk - 1(t) pk - 1,k(t) +

+ Pk + 1(t) pk + 1,k(t) + (t), pour k > 0

P0(t + t) = P0(t) p0,0(t) + P1(t) p1,0(t) + (t),

pour k = 0

Processus de Naissance-Mort Les processus de naissance et de mort sont des

processus de Poisson de paramètres dépendants de l'état, k et k:

pour k > 0

Pk(t + t) = Pk(t) [1 - kt + (t)] [1 - kt + (t)] +

+Pk - 1(t) [k – 1t + (t)] +

+ Pk + 1(t) [k + 1t + (t)] + (t)

pour k = 0

P0(t + t) = P0(t) [1 - 0t + (t)]+

+ P1(t) [1t + (t)] + (t)

Processus de Naissance-Mort pour k > 0

pour k = 0

ttPtPtP

kkkkkkk

Processus de Naissance-Mort pour k > 0

pour k = 0

Equations de Chapman-Kolmogorov

tPtPtPdt

tdPkkkkkkk

tPtPdt

tdP1100

Processus de Naissance-Mort Si ce système arrive à un régime stationnaire, c’est à

dire que les probabilités sont indépendantes de l’instant,

Pk(t) = pk , pour k 0

0 = -(k + k)pk + k - 1pk - 1 + k + 1pk + 1, pour k > 0

0 = -0p0 + 1p1, pour k = 0

Processus de Naissance-Mort Vers l’état Ek il y a un flux d’entrée à`partir des états Ek +

1 et Ek - 1, de

k - 1pk - 1 + k + 1pk + 1

Des l’état Ek il y a un flux de sortie vers les états Ek + 1 et Ek - 1, de

(k + k)pk

Si le système est en équilibre les deux flux doivent être égaux,

k - 1pk - 1 + k + 1pk + 1 = (k + k)pk

Processus de Naissance-Mort À partir de l'équation de Kolmogorov en régime

stationnaire pour k = 0,

Remplaçant dans l'équation de Kolmogorov en régime stationnaire pour k = 1,

Processus de Naissance-Mort En général

Files M/M/m/B/K

Ces files sont des cas particuliers des processus de

naissance-mort puisqu’il s’agît de systèmes dans

lesquels les arrivées au système (processus de

naissance) et les sorties comme conséquence de la fin

des services (processus de mort) sont tous les deux

poissoniens

File M/M/1 une file avec un seul serveur temps entre arrivées des clients répartis

exponentiellement avec une valeur moyenne 1/, indépendante du nombre de clients que sont dans le système

temps de service des clients répartis exponentiellement avec une valeur moyenne 1/, indépendante du nombre de clients que sont dans le système

k = , pour k = 0, 1, .... k = , pour k = 1, 2, ....

File M/M/1

. . . .

File M/M/1

pk = (1 - )k , pour k = 0, 1, ...

File M/M/1

File M/M/ (nombre infini de serveurs)

k = , k = 0, 1, ....

k = k, k = 1, 2, ....

2 . . .

.(k +1) (k +2) k(k -1) 32

File M/M/ (nombre infini de serveurs)

File M/M/ (nombre infini de serveurs) Le nombre moyen de clients dans le système

Le temps moyen de réponse, par application de la loi de Little,

R = 1/ = s

File M/M/mk = , k = 0, 1, ....

k = min(k, m)

d’où

k = k, pour 0 k m

k = m, pour m k

. . ..

3 m m m(m -1) m-1 m+1

File M/M/m

File M/M/1/B: Capacité finiek = , pour k < B

k = 0, pour k B

k = , pour k = 1, 2, ....

. . . .

File M/M/1/B: Capacité finie

pk = 0, pour k > B

Bkpppkk

pour ,0

File M/M/1//K: Population finiek = (K - k), pour 0 k K

k = 0, pour k K

k = , pour k = 1, 2, ....

. . . .(K -1) (K -2)

File M/M/1//K: Population finie

0pour ,!

File M/M/1//K: Population finie Utilisation du serveur

= 1 - p0

Par application de la loi de Little au serveur

Fréquence moyenne d’entrée de clients à la station

e = (1 - p0)

File M/M/m/B/Kk = (K - k), pour 0 k < B

k = 0, pour k B

k = k, pour 0 k m

k = m, k > m

File M/M/m/B/K

(K -1) (K -2)

. . . .

B -1 B

. . . .

m -1 m m +1

( K-m +2)

( m -1)

( K-m +1)

( K-B +2) ( K-B +1)

( K-m -1) ( K-m )

File M/M/m/B/K

pour ,!

0pour ,1

File M/M/m/B/K : Conclusion S’il n’y a pas des limites ni dans la population ni

dans la capacité du système serveur-file, le calcul de la probabilité p0 exige la sommation d’une série infinie; il s’agît donc d’un problème analytique.

S’il y a quelque limite dans la population ou dans la capacité du système, le nombre d’états est fini et l'addition à faire pour le calcul de p0 l’est aussi. Nous sommes en face d’un problème numérique puisque le système est toujours stable et il est toujours possible d’obtenir le résultat.

File M/G/1 Source infinie.

Intervalles de temps entre arrivées consécutives répartis exponentiellement avec moyenne tm = 1/.

Temps de service répartis d’après n’importe quelle fonction. Son degré d’aléatorieté est défini par sont coefficient quadratique de variation.

File M/G/1 Valeur moyenne du temps de service: s = 1/.

Discipline de la file: FIFO.

Pour que la file atteigne un régime stationnaire stable il faut la condition de stabilité

= / = s < 1

Un seul serveur.

File M/G/1 Une nouvelle arrivée trouvera en moyenne N clients,

en service et N - en attente. Chaque client dans la file recevra un service moyen

de s = 1/. Si R0 est le temps de service résiduel

R = R0 + (N - )s + s Par la loi de Little

N / = R0 + (N - )s + s

File M/G/1 f(x): fonction de densité de probabilité

s: moyenne

M2: moment de second ordre

A: période de temps très long sur lequel on à disposé les intervalles de service.

En moyenne il y aura A/s intervalles sur A

Un intervalle est de longueur x avec probabilité f(x)dx

File M/G/1 Nombre moyen d’intervalles de longueur x sur A

Portion moyenne d’A couverte par des intervalles de longueur x

dxxAxf

File M/G/1 probabilité g(x)dx que l’intervalle élu au hasard soit

de longueur x

longueur moyenne de l’intervalle élu

dxxxfdxxg

dxxfxxdxxgmr

File M/G/1 Puisque le point d’observation est équiprobable sur

tout l’intervalle, le temps résiduel est

Remplaçant dans l'équation du temps de réponse

File M/G/1 : Formules de Khintchin-Pollaczeck

Modèle de Skinner Les arrivées suivent un processus de Poisson de

moyenne .

Service de durée A, avec distribution FA(t).

Après donner service, le serveur reste en latence

pendant un temps B, avec distribution FB(t).

Z = A + B avec distribution FZ(t).

Modèle de Skinner

Après un cycle de service et latence, le serveur

regarde la file pour voir s’il y a des clients.

Si elle n’est pas vide, le serveur commence une nouvelle

période de service.

Si elle est vide, le serveur commence une nouvelle

latence C, avec distribution FC(t).

Modèle de Skinner

Files G/G/1: Méthode de diffusion Hypothèse de distribution normale du nombre de

clients dans le système.

N(t) variation de la longueur de la file entre t et t + . Alors, si suffisamment grand, N(t) suit une distribution normale d’une façon approchée

E[N(t)] = ( - ) = Var[N(t)] = (Ka

2 + Ks2 ) =

Files G/G/1: Méthode de diffusion fréquence d’arrivée,

capacité de service (o l’inverse du temps moyen de service),

Ka2 coefficient quadratique de variation du temps

entre arrivées ta, Ka2 = Var (ta)2,

Ks2 coefficient quadratique de variation du temps de

service ts, Ks2 = Var (ts)2.

Files G/G/1: Méthode de diffusion Remplacement du processus discret par un processus

continu.

Le processus discret N(t) est approché par un processus continu x(t), dont les changements incrementales dx(t) sont repartis d’après une distribution normale avec moyenne dt et variance dt

dx(t) = dt + z(t) (dt)1/2

où z(t) est un processus gaussien blanc.

Files G/G/1: Méthode de diffusion

x0 la valeur initiale

p(x0, x, t)dx = Pr[x x(t) x + dt | x(0) = x0]

Files G/G/1: Méthode de diffusion Introduction des conditions de contour.

L'équation de diffusion est résolue avec la condition de contour x(t) > 0 (barrière reflétante) o p(x0, x, t) = 0 pour x < 0.

Pour le cas stationnaire, la dérivée par rapport au temps dans l'équation précédente doit être zéro.

1,,0 0

dxtxxp

Files G/G/1: Méthode de diffusionCondition de stabilité < 0 ou <

Condition de contour

0en ,0,,,,

xxxpdx

Files G/G/1: Méthode de diffusion Discretisation du processus de diffusion et

ajustement pour le cas d’un nombre faible de clients dans le système.

Distribution géométrique avec le même facteur de décrément e-2/.

Par le théorème du limite central on ne peut pas espérer des résultats significatifs pour un faible nombre de clients dans le système. On sait que la probabilité d’avoir la file vide est = 1 - /.

Files G/G/1: Méthode de diffusionAlors on ajuste la distribution géométrique pour n = 0 et on utilise e-2/ comme facteur de décrément. Si on représente la distribution approchée du nombre de clients dans le système, bâtie de cette façon, par (n), on obtient

(n) = 1 - , si n = 0

(n) = (1 - ) n-1 , si n > 0

Files G/G/1: Méthode de diffusion Résultats de l’approche par le retour instantané.

f(x) = R(e- - 1) ex, pour x 1

f(x) = R(1 - ex), pour 0 x 1

La condition de stabilité exige = / < 1.

Si on admet = ', R = .

La longueur moyenne de la file sera

sa KKxfdxL

Pour Ka = 1, nous avons

Avec l'approximation R = on discretise la distribution; pour ceci il y a plusieurs alternatives.

Soit P = 1 - , la première consiste à faire

p1(i) = f(i), pour i 1

p1(0) = P

p1(0) = 1 -

ˆˆ1ˆ1ˆ

Deuxième discretisation: probabilité p2(i) égal à la fonction continue de distribution entre i - 1 et i

2pour ,ˆˆ1ˆ

1ˆ11 10

idxxfip

Troisième discretisation: réussir que la longueur de file coïncide avec celle de Khintchin-Pollaczeck

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