10ième Séminaire CONFERE, 3-4 Juillet 2003, Belfort – France, pp. 361-368

Minimisation des files d’attented’une intersection isolée

Y. Ahadar, R. Bouyekhf, A. El MoudniLaboratoire SeT-Université de Technologie Belfort-Montbéliard - UTBM

90010, Belfort cedex, FranceTél : +33(0)384583319 / Fax+33(0)384853342

youssef.ahadar@edu.univ-fcomte.fr

RÉSUMÉLes réseaux routiers dans le monde ont connu dans ces dernières années une augmentation forte au niveau deleur répartition. L’urbanisation croissante, et l’augmentation de l’usage de l’automobile dans les déplacementsquotidiens génèrent des problèmes de congestion du trafic, notamment au niveau du milieu urbain. Cesproblèmes se manifestent par l’augmentation du bruit, de la pollution et des risques d’accidents. Le carrefourjoue le rôle du routage des flux, venant des différentes lignes. Il constitue un point sensible dans la circulationroutière, il est touché d’une manière directe par la congestion du trafic. Il s’avère donc important de réguler desparamètres qui gèrent le trafic dans un carrefour pour fluidifier les flux du réseau routier.

MOTS-CLÉSFile d’attente, systèmes discrets, espace d’état, commande optimale, commande bang-bang.

1 INTRODUCTIONUn carrefour est un lieu stratégique : croisement de routes, espace de convergence de différents

acteurs et des modes de transport. Ainsi il constitue un terrain sensible pour les conflits de trafic. Sonfonctionnement dépend de divers facteurs liés à la géométrie de l’aménagement et à sonenvironnement. La commande automatique des carrefours à feux est initialement apparue pour pallierquelques problèmes de sécurité, caractéristiques du franchissement des intersections (gestion despoints de conflit, files d’attente, …). Cependant, avec l’augmentation constante du volume de trafic,les objectifs de cette commande se sont étendus!: on souhaite non seulement assurer le respect descontraintes de fonctionnement, mais aussi minimiser les filles d’attente dans le but de fluidifier aumaximum le trafic.

On distingue classiquement trois grandes familles de solutions pour la commande des feuxrégulant le trafic sur une intersection!: celles qui sont basés sur des modélisations continus dont lavariable de commande est représentée par le temps du feux vert. Ce dernier a pour but de minimiser letemps d’une manière continue. L’inconvénient de cette classe est la non prise en considération duchangement de signalisation [Tungsheng Yu 1997]. Une deuxième classe tente de fournir desmodélisations en passant par la discrétisation des modèles continus. Et enfin une classe utilise lamodélisation hybride qui prend les instants de commutation des feux comme étant la commande dusystème [B.De Schutter and B.De Moor 1998][ R.K.Boel and Bart De Schutter(1999)]. Ceci a conduità l’adoption d’un formalisme très riche sur le plan conceptuel mais qui ne permet pas d’obtenir desrésultats théoriques que dans des cas triviaux.

Ce travail s’inscrit dans le cadre des méthodes utilisant les modèles discrets par nature. Il estdivisé en trois parties. En se basant, dans une première partie, sur les relations qui gèrent le retardpendant la sursaturation dans un carrefour [Akçelik 1980], nous présentons un modèle en tempsdiscret en terme des files d’attente en fonction des cycles. La deuxième partie est consacrée à laminimisation d’une fonctionnelle en terme de files d’attente dans les conditions de sursaturation. Nousverrons en particulier comment l’application du principe du Maximum permet d’obtenir une stratégiede commande bang-bang. Enfin des simulations sont réalisées pour illustrer les résultats obtenus.

362

2 DEFINITION DU SYSTEME! La mise en place d’un système de feux à un carrefour réalise une séparation dans le temps de

l’admission de différents courants de véhicules. Ces derniers sont soit directs, soit des courants detourne-à-gauche, ou des courants de tourne-à-droite. Dans ce travail nous nous intéressons à uncarrefour isolé à deux phases!: Nord-sud / Est-ouest Figure1. Le terme isolé signifie que nous neconsidérons pas l’influence des intersections adjacentes.

Phase1 Phase2Figure1!:Intersection isolée à deux phases

Le contrôle des flux de véhicules franchissant un carrefour à feux est mené par des indicateurs designalisation (vert, jaune, rouge), qui se succèdent à l’intérieur d’un cycle. Ce dernier est définicomme étant la durée constante séparant deux passages successifs de l’ensemble des signaux. Dans uncarrefour simple, le cycle est partagé en deux phases qui s’expriment par le temps pendant lequel unou plusieurs courants sont admis dans le carrefour.

Afin de pouvoir présenter le modèle, un certain nombre de définitions est nécessaire!:

Condition de sursaturation!: Une phase est dite saturée lorsqu’un véhicule au moins est contraintd’attendre plus d’un cycle pour franchir le carrefour. Le carrefour est dit saturé quand au moins une deses phases est saturée. Plus formellement, soit c la longueur d’un cycle et notons )(kA comme étant

le nombre des arrivées durant un cycle NŒk , alors )(kA peut s’exprimer de la manière suivante :

])1[(][)( ckAkcAkA --=

où ][kcA défini le nombre des arrivées à la fin du cycle k . Soit )(cD k le nombre des départs pendant

le cycle k , alors la condition du sursaturation est définie par :

)()( cDkA k>Temps effectif du feu vert!: noté eg est le temps réel pendant lequel les véhicules franchissentréellement la phase d’un carrefour Figure2. Il est défini par l’équation suivante [Webster 1958]!:

)( 21 WWygge +-+=où!:

- 1W !: le temps dû au retard d’accélération des véhicules pendant le début du feu vert réel g.- 2W !: le temps dû au retard de ralentissement des véhicules pendant la fin du feu jaune réel y.

Figure2!:Temps effectif du vert.

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Taux de saturation!: A l’entrée d’un carrefour à feux et pendant le temps effectif du feu vert eg , letaux de saturation s est défini comme étant le nombre maximum de véhicules pouvant utiliser lecouloir sans interruption .

3 MODELISATIONDans cette section, nous expliquons, dans une première partie, l’équation récurrente qui

représente, d’une manière générale, la relation entre les longueurs des files d’attente durant unesuccession de cycles pendant la période de sursaturation. Dans une deuxième partie, nous présentonsle système par un modèle discret grâce une nouvelle formulation sur les files d’attente. Le choix de cemodèle discret est dû à la cohérence entre les périodes dans lesquelles évolue le système et leschangements des signalisations. Ces derniers se produisent exactement à l'arrêt d'un cycle.

3.1 Files d’attenteSoit )(kL la longueur de la file d’attente dans un couloir à la fin du cycle k. L’équation

récurrente qui gère les files d’attente pour une succession des cycles est :

)1()1()()1( +-++=+ kDkAkLkL (1)

Pendant le temps effectif du feu vert eg et en tenant compte de la condition de sursaturation, lenombre de départs est supposé constant [Webster1958],[R.Tapio Luttinen, Riku Nevala 2002]!et estreprésenté dans chaque cycle par )(cD Figure4:

egscDkD ⋅==+ )()1(

Figure4!:Représentation graphique des acteurs d’un carrefour.

où!• Q : le taux des arrivées .• c : la longueur du cycle.• ca : la capacité du couloir

L’équation (1) s’écrit alors sous la forme!:

egskAkLkL ⋅-++=+ )1()()1(

3.2 Représentation d’état discrète du systèmeDans cette partie, le modèle que nous avons obtenu concernant une intersection routière isolée à

deux phases est représenté grâce une nouvelle formulation sur les files d’attente. En effet notrepremier souci est de considérer les exigences techniques permettant de garantir le déphasage inhérententre les deux lignes dans un carrefour. Ceci peut être garanti en considérant que!:

La file d’attente représente le nombre de véhicules restants à la fin du temps effectif vert eg

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Dans toute la suite, nous supposons que le taux des arrivées iQ est constant. Pour facilité l’étape

de modélisation, nous avons illustré sur la Figure5 l’évolution des deux files d’attente en prenant enconsidération le déphasage existant entre les deux lignes.

Figure5!:Files d’attente d’un carrefour à deux phases.

Ainsi, soit )(2 kX la longueur de la file d’attente dans le couloir 2 à la fin du )(2

kge (Figure5).

L’application de la relation (1) définie dans la section précédente permet d’écrire :

)1()1()()1( 2222 +-++=+ kDkAkXkX (2)

où, • cQkA ⋅=+ 22 )1( est le nombre des arrivées à la fin du cyclek .

• )()1( 222 kgSkD e⋅=+ est le nombre des départs à la fin du cyclek .

Il vient alors!:)()()1( 22222 kgScQkXkX e⋅-⋅+=+ (3)

De même, soit )(1 kX la longueur de la file d’attente dans le couloir 1 à la fin du )(21

kgcg ee -= Figure5.On a alors!:

)1()1()()1( 1111 +-++=+ kDkAkXkX (4)

Or,• ))(()1()1( 21211 kgcQkgQkA ee -⋅+-⋅=+ représente le nombre des arrivées à la fin de

)(2

kgc e- . Le terme! )1(21 -⋅ kgQ e correspondant au nombre des arrivées quand le feu est

rouge à la fin du cycle 1-k de la première phase.• ))(()1( 211 kgcSkD e-⋅=+ représente le nombre des départs à la fin de )(

2kgc e- .

Ainsi, l’équation (4) devient en fonction uniquement de la variable 2eg !:

))(())(()1()()1( 21212111 kgcSkgcQkgQkXkX eee -⋅--⋅+-⋅+=+ (5)

La forme de la file d’attente )(1 kX se justifie de la manière suivante : à la fin de )(1 kge le nombre

de véhicules présents dans le couloir 1 est égal au nombre de véhicules restants à la fin de )1(1 -kge ,

(noté )(1 kX , auquel on ajoute le nombre des arrivées pendant )1(2 -kge et )(1 kge , moins le nombre des

départs pendant )(1 kge . Nous notons en particulier que cette formulation impose à la ligne 1 d’être en

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déphasage avec la ligne 2.

Soit maintenant )(kX le vecteur d’état du système défini par TkXkXkX ))()(()( 21= , et définissonsT

ee kgkgkU ))1()(()( 22 -= comme étant le vecteur de commande du système. Les équations (3)-(5), peuvent alors s’écrire sous la forme matricielle suivante!:

CkUBkXAkX +⋅+⋅=+ )()()1( (6)

Avec

˙˚

˘ÍÎ

È=

)(

)()(

2

1

kX

kXkX ˙

˚

˘ÍÎ

È=

10

01A ˙

˚

˘ÍÎ

È

-

-=

02

111

s

QQsB

˙˚

˘ÍÎ

È

-=

)1(

)()(

2

2

kg

kgkU

e

e ˙˚

˘ÍÎ

È

⋅

⋅-=

cQ

csQC

2

11 )(

3.3 Minimisation des Files d’attenteComme pour toute stratégie de commande optimale, il est nécessaire de définir clairement les

points suivants!:• Le critère d’optimisation.• Le domaine d’optimisation admissible.• La stratégie de commande proprement dite.

Le critère d’optimisation précise les objectifs par rapport auxquels l’optimalité est définie. Dansnotre travail nous nous intéressons à la minimisation des critères suivants!:

ÿ 1J !: la somme des files d’attente pendant une période de sursaturation!:

Â-

=

=1

01 )(

N

k

kXJ

ÿ 2J !: la forme quadratique des files d’attente!:

Â-

=

=1

0

2

2 )(2/1N

k

kXJ

ÿ 3J !: le maximum de la somme de la plus grande file d’attente des deux lignes!:

))((max0

3 kXJ i

N

kiÂ

=

=

Il va de soi que la définition des critères iJ à minimiser est inspirée par les objectifs de la

commande. Or, comme l’un des objectifs de la commande de notre travail est de ramener le systèmevers un état de non saturation, on comprend aisément que les critères soient définis en fonction desfiles d’attente.

Le domaine d’optimisation est le sous-ensemble de l’espace des commandes dans lequel uneminimisation du critère est à rechercher. Ce sous-ensemble est défini par une limitation d’ordretechnique, c’est la nécessité de prendre en compte des contraintes sur la commande et sur l’état. Dansnotre cas nous définissons l’ensemble par!:

{ }0)(,)(/))(),(( maxmin

22 ≥££¬¥¬Œ=W kXUkUUkXkU (7)

Notons que ces deux contraintes traduisent une cohérence avec le fonctionnement réel d’uncarrefour. En effet, puisque le cycle de signalisation est borné, le temps effectif du feu vert doit êtreborné. En outre, la file d’attente traduit dans notre cas le nombre de véhicules présents dans uncouloir, nous comprenons aisément qu’elle soit positive.

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Une fois le critère et le domaine d’optimisation donnés, la stratégie de commande consiste àchoisir connaissant l’état initial TXX ),( 0201

, une suite de commandes admissibles )(),...,1( NUU , pour

les contraintes (6) et (7), telle que les critères iJ prennent des valeurs minimales. Le problème ainsi posé peut être résolu par plusieurs méthodes. Pour notre part, nous exploitons

la méthode du principe du maximum. En effet, définissons l’Hamiltonien suivant!:

])()([)1()()( CkUBkXkkkH T +⋅+⋅++= lf

où )(kf est la fonctionnelle qui apparaît dans la somme du critère et )(kl est le multiplicateur deLagrange. La première tâche est de garantir l’existence de solution au problème!:

)(minmaxmin

kHUUU ££

Or, l’un des résultats d’existence de minimums de fonctions est celui qui stipule que toute fonctioncontinue atteint ses extremums sur tout ensemble compact non vide. Ainsi dans notre cas le caractèrecompact peut être garanti par la propriété qui stipule que tout ensemble fermé, borné de n¬ estcompacte, c’est le cas de l’ensemble

maxmin UUU ££ , d’où l’existence de solution.L’application du principe du maximum relative à la commande U(k) conduit immédiatement aux

équations adjointes suivantes![Andrew P.Sage and Chelsea C.White,III 1977] :

0)(

),()1(

),()(

=∂

∂=

+∂∂

=∂

∂kU

HkX

kH

kkX

Hl

l

Puisque la fonction )(kH est une fonction linéaire en la commande U(k), alors l’Hamiltonien conduitnaturellement à des commandes de type bang-bang. Ainsi, puisque!:

BkkU

H T )1()(

+=∂

∂l

La stratégie de commande est définie par !:

ÓÌÏ

<+=

>+=

0)1()(

0)1()(

max

min

BksiUkU

BksiUkUT

T

l

l

Ce qui nous conduit à l’algorithme suivant!:

! Etape!1 : Pour tout NŒk , initialiser )0(l .

! Etape!2 : - Si 0)1( >+ BkTl , faire min)( UkU = .

- Si 0)1( <+ BkTl , faire max)( UkU = .

! Etape!3 : Initialiser la variable d’état par TXX ),( 0201. Calculer en observant l’évolution de la

variable d’état )(kX pendant une suite de cycles.! Etape 4!: - Si 0)( <kXi ou max)( ii XkX > retourner à l’étape 1, en changeant la valeur initiale de

)0(l de telle façon à remettre la variable d’état sous les deux conditions suivantes0)( >kXi et max)( ii XkX < .

- Sinon, recommencer l’étape 2.

Notons que maxiX dans l’étape 4 est défini comme étant la valeur maximale que peut atteindre lavariable d’état )(kXi .

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Le problème posé à l’étape 4 peut être vu de la manière suivante!: la stratégie de minimisationitérée conduit le système vers des trajectoires de décroissance. Or, comme les files d’attente sontpositives, leurs décroissances impliqueraient leurs convergences. chaque convergence conduirait à sontour la tendance vers une décroissance nulle. On démontre alors que compte tenu de la dualitéinhérente qui existe entre les deux phases, ceci conduit à une croissance d’une ligne quand l’autredécroît. C’est la raison pour laquelle, seule une file d’attente indexée par i est mentionnée dansl’étape 4. Les propriétés demandées à ces trajectoires serviraient pour éviter l’existence de trajectoiresà critère nul ou divergent.

Il va sans dire que l’algorithme d’optimisation paramétré par le vecteur )(kl constitue le noyaude la stratégie de commande que nous proposons. En terme plus clair, l’algorithme résoutsuccessivement les problèmes définis à l’étape 4 avec un changement de paramètre entre lesrésolutions successives.

Figure6!:Evolution des files d’attente.

La Figure6!montre la simulation de l’évolution des files d’attente du carrefour pour cette stratégie decommande bang-bang. Les paramètres choisis sont!: N=250, TTXX )20,20(),( 0201 = . Il en ressort deuxremarques !:

1. La décroissance rapide (en 86 cycles) vers 0 de )(1 kX est un point très intéressant. En effet,ceci signifie que la file d’attente peut être ramené à l’état 0 en un nombre de cycles inférieur àl’horizon N=250. Or, la dimension du problème d’optimisation est proportionnelle, au facteurmultiplicateur près, à la longueur de l’horizon de commande. Ainsi, dans notre cas, nousavons évité un problème d’optimisation sur-dimensionné.

2. Le caractère sinusoïdale inversé des deux files d’attente illustre l’absence du blocage pendanttout l’horizon de commande. Ceci nous assure une fluidité continue du système dans le temps.

4 CONCLUSIONCe travail présente un modèle discret qui tient en compte le déphasage entre les deux lignes

d’un carrefour pendant une période de sursaturation. Notre souci premier était de se rapprocher le plusfidèlement possible du fonctionnement réel du carrefour. L’idée qui a guidé notre choix est lanécessité de faire intervenir le temps comme variable extrinsèque dans le modèle puisque lesproblèmes du trafic sont éminemment dynamiques. Ensuite, le schéma de la commande optimaled’une intersection isolée est étudié. Cette étude est faite dans une formulation qui prend en compteexplicitement les contraintes aussi bien sur la commande que sur l’état. Il a été démontré qu’uneformulation empruntant les principes de la commande optimale est particulièrement intéressante. Laraison en est que le problème d’optimisation résultant est linéaire ce qui permet une mise en œuvre entemps réel de la commande.

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BIBLIOGRAPHIETungsheng Yu (1997), On-line Traffic Signalization using Robust Feedback Control .Thèse, Faculty

of the Virginia Polytchenic Institue.B.De Schutter and B.De Moor (1998), Optimal traffic light control for a single intersection. European

Journal of Control, vol. 4, no. 3, pp.260-276.R.K.Boel and Bart De Schutter(1999), Approaches to modelling, analysis, and control of hybrid

system, European Journal of Control, vol. 40, no.4.Akçelik (1980), Time-Dependent Expressions for Delay, Stop Rate and Queue Length at Traffic.

Vermont South, Victoria!: Australian Road Research Board.Webster (1958), Traffic Signal Settings. London!: Her Majesty’s Stationery Office.R.Tapio Luttinen, Riku Nevala (2002), Capacity and Level of Service of Finnish Signalized

Intersections. Finnish Road Administration, Helsinki 2002.