Post on 04-Apr-2015
Systèmes mécaniques et électriques
Guy Gauthier
SYS-823 : Été 2014
ANALYSE DE SYSTÈMES MÉCANIQUES
2Modèles mécaniques et électriques
Système mécanique minimaliste
Système masse-ressort-amortisseur:
3Modèles mécaniques et électriques
Ou frottement…
Système mécanique minimaliste
Diagramme des corps libres:
4Modèles mécaniques et électriques
Système mécanique
Équation dynamique du système:
Transformée de Laplace:
2
2( ) ( ) 0v
d x dxf t M f Kx t
dt dt
2
( ) 1
( ) v
X s
F s Ms f s K
5Modèles mécaniques et électriques
Méthode duLagrangien
Énergie cinétique:
Énergie potentielle:
21
2cE Mx
21
2pE Kx
Basée sur une analyse énergétique
6Modèles mécaniques et électriques
Méthode duLagrangien
Lagrangien:
A partir du Lagrangien, on calcule:
2 21 1
2 2c pL E E Mx Kx
d LMx
dt x
L
Kxx
7Modèles mécaniques et électriques
Méthode duLagrangien
Et, la différence de ces deux termes est égal aux forces externes:
Ce qui donne:
( ) v
d L Lf t f x
dt x x
( )vMx f x Kx f t
8Modèles mécaniques et électriques
Énergie dissipée en raison du frottement
Passage aux équations d’état
Généralement, les positions et les vitesses sont les variables choisies comme variables d’état.
Cela est valable, que le système mécanique soit en translation ou en rotation.
Modèles mécaniques et électriques 9
Passage aux équations dans l’espace d’état
Posant:
On obtient:
1
2 1
x x
x x x
1 2
2 1 2
1
1( )v
x x
fKx x x f t
M M Mx x
10Modèles mécaniques et électriques
Position
Vitesse
Schéma du modèle
Modèles mécaniques et électriques 11
Système mécanique à 2 degrés de liberté
Schéma:
12Modèles mécaniques et électriques
Système mécanique à 2 degrés de liberté
Diagramme des corps libres: Masse 1:
13Modèles mécaniques et électriques
Système mécanique à 2 degrés de liberté
Équation de la masse 1:
3
1 2
22 2 2 1 1
1 1 2 1
( )
0
v
v v
F s f sX K X M s X
f f sX K K X
14Modèles mécaniques et électriques
Système mécanique à 2 degrés de liberté
Diagramme des corps libres: Masse 2:
15Modèles mécaniques et électriques
Système mécanique à 2 degrés de liberté
Équation de la masse 2:
Donc:
3
2 3
21 2 1 2 2
2 2 3 2 0
v
v v
f sX K X M s X
f f sX K K X
2 3
3
22 2 3
1 22
v v
v
M s f f s K KX X
f s K
16Modèles mécaniques et électriques
Système mécanique à 2 degrés de liberté
Équation de l’ensemble:
3
1 2
2 3 3
22
21 1 2
222 2 3 2
( )
( )v
v v
v v v
f s KX s
F s M s f f s K K
M s f f s K K f s K
17Modèles mécaniques et électriques
Système mécanique à 2 degrés de liberté
Passage aux équations d’état:
1 2 3
3 2 3
1 1
1 2 1 1 2 1 12 2 1
3 3
4 42 2 2 2 3 2 2
1
22
3
4
0 1 0 0 0
1( )
0 0 0 1 0
0
0 0 1 0
v v v
v v v
z zK K M f f M K M f Mz z M
F sz z
z zK M f M K K M f f M
z
zy x
z
z
18Modèles mécaniques et électriques
Système mécanique à 2 degrés de liberté
Cette fois-ci, utilisons la méthode du Lagrangien:
19Modèles mécaniques et électriques
Sys. 2 DDL
Énergie cinétique dans le système:
Énergie potentielle dans le système:
2 21 1 2 2
1 1
2 2cE M x M x
22 21 1 2 1 2 3 2
1 1 1
2 2 2pE K x K x x K x
20Modèles mécaniques et électriques
Sys. 2 DDL
Ce qui donne ce Langrangien:
2 2 21 1 2 2 1 1
2 22 1 2 3 2
1 1 1
2 2 21 1
2 2
c pL E E
M x M x K x
K x x K x
21Modèles mécaniques et électriques
1 11
d LM x
dt x
2 22
d LM x
dt x
1 1 2 1 21
LK x K x x
x
2 1 2 3 22
LK x x K x
x
Sys. 2 DDL
Avec la variable x1, on calcule:
De même avec la variable x2:
22Modèles mécaniques et électriques
1 31 1 2
1 1
( ) v v
d L Lf t f x f x x
dt x x
1 3
1 3
1 1 1 1 2 1 2 1 1 2
21 1 1 1 2 1 2 1 1 2
( )
( )
v v
v v
M x K x K x x f x f x x f t
M s X K X K X X f sX f s X X F s
Sys. 2 DDL
Avec la variable x1, on obtient finalement:
Ou:
23Modèles mécaniques et électriques
2 32 2 1
2 2v v
d L Lf x f x x
dt x x
2 3
2 3
2 2 2 1 2 3 2 2 2 1
22 2 2 2 1 3 2 2 2 1
0
0
v v
v v
M x K x x K x f x f x x
M s X K X X K X f sX f s X X
Sys. 2 DDL
Et, avec la variable x2, on obtient finalement:
Ou:
24Modèles mécaniques et électriques
ANALYSE DE SYSTÈMES ÉLECTRIQUES
Modèles mécaniques et électriques 25
Circuit électrique
Circuit RLC:
26Modèles mécaniques et électriques
Circuit électrique
Circuit RLC:
Transformée de Laplace:
1( ) 0
div t L Ri idt
dt C
1( ) ( )V s Ls R I s
Cs
27Modèles mécaniques et électriques
Circuit électrique
Or:
Ainsi:
1( ) ( ) ( )c cv t idt I s CsV s
C
2
( ) 1
( ) 1cV s
V s LCs RCs
28Modèles mécaniques et électriques
Second circuit
29Modèles mécaniques et électriques
Second circuit
Loi des mailles (Kirchoff):
De la 2e équation, on trouve:
1 1 1 2
2 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
1( ) ( ) ( ) ( ) 0
V s R I s Ls I s I s
Ls I s I s R I s I sCs
22
1 22
1( ) ( )
LCs R CsI s I s
LCs
30Modèles mécaniques et électriques
Second circuit
Cette équation dans la première mène à:
D’où finalement:
2
2 21 2 1 2 1
( ) ( )LCs
I s V sR R LCs L R R C s R
21 2 1 2 1
( ) ( )C
LsV s V s
R R LCs L R R C s R
31Modèles mécaniques et électriques
Troisième circuit électrique
Modèles mécaniques et électriques 32
Troisième circuit
Forme matricielle:
Ainsi:
1
2
3
2 2 (2 1) 1
(2 1) 9 1 4 0
1 01 4 4 1
s s I V
s s s I
Is s s
3 2
24 3 2
8 10 3 1
24 30 17 16 1
I s s s
V s s s s
33Modèles mécaniques et électriques
Moteur électrique à CC
Schéma de principe:
34Modèles mécaniques et électriques
Moteurélectrique
Équation électrique:
Transformée de Laplace:
( )( ) ( ) ( ) 0b
di tv t Ri t L K t
dt
Force contre-électromotrice
( ) ( ) ( ) 0bV s R Ls I s K s
35Modèles mécaniques et électriques
Moteur électrique
Équation mécanique:
A vide (TL = 0):
( )m t a LT K i t T T
( )( ) ( )t a a
d tK i t J B t
dt
( )( )a a a
d tT J B t
dt
36Modèles mécaniques et électriques
Moteur électrique
Ainsi:
Transformée de Laplace:
( )( ) ( )a a
t t
J Bd ti t t
K dt K
( ) ( )a a
t t
J BI s s s
K K
37Modèles mécaniques et électriques
Fonction de transfert du moteur à CC
Combinons les équations mécaniques et électriques:
( ) ( ) ( ) 0a ab
t t
J BV s R Ls s s K s
K K
38Modèles mécaniques et électriques
Fonction de transfert du moteur à CC
Ce qui mène à:
( ) 1
( )a a
bt t
s
V s J BR Ls s K
K K
39Modèles mécaniques et électriques
Hypothèse simplificatrice
La valeur de l’inductance L est généralement négligeable:
( )
( )
t
a
a t b
a a
K
RJsB K KV s sJ RJ
40Modèles mécaniques et électriques
Manipulateur à une articulation
Schéma du manipulateur:
41Modèles mécaniques et électriques
Énergies
Énergie potentielle:
Énergie cinétique
2 2 222 2
1 1
2 2c m m l m m
IE I I I
n
1 cos
1 cos
p l
m
E Mgl
Mgl n
42Modèles mécaniques et électriques
Lagrangien
Le voici:
Donc:
222
11 cos
2c p m m m
IL E E I Mgl n
n
22m m
m
Id LI
dt n
1sin m
m
LMgl
n n
43Modèles mécaniques et électriques
Dynamique du manipulateur
Or:
Ce qui donne:
2l
m mm m
Bd L LB
dt n
22 2
sinl mm m m m
BI MglI B
n n n n
44Modèles mécaniques et électriques
Robot cartésien à deux articulations
Schéma :
45Modèles mécaniques et électriques
Robot cartésien à deux articulations
On défini le système de coordonnées généralisé q1 et q2.
La vitesse du centre de masse de l’articulation #1 est:
1
11
2
0 0
1 0
0 0cc v
qv J q
q
46Modèles mécaniques et électriques
Robot cartésien à deux articulations
La vitesse du centre de masse de l’articulation #2 est:
2
12
2
0 1
1 0
0 0cc v
qv J q
q
47Modèles mécaniques et électriques
Énergie cinétique
C’est:
Matrice d’inertie (ou des masses):
1 1 2 21 2
1
2 c c c c
T T Tv v v vK q m J J m J J q
1 2
2
0
0
m mM
m
48Modèles mécaniques et électriques
Énergie potentielle
C’est:
Effet de la gravité sur le robot.
1 1 2 1 1 2 1V gm q gm q g m m q
49Modèles mécaniques et électriques
Lagrangien
Le voici:
Et on calcule:
1 2 1
1
2TL q Mq g m m q
1 2 11
d Lm m q
dt q
1 2
1
Lm m g
q
2 22
d Lm q
dt q
2
0L
q
50Modèles mécaniques et électriques
Modèle du système:
On l’obtient de:
Ce qui donne:
1 2 1 1 2 1
2 2 2
m m q m m g
m q
ii i
d L L
dt q q
Mq G
51Modèles mécaniques et électriques
Équation bien connue en robotique