Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.
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Systèmes mécaniques et électriques
Guy Gauthier
SYS-823 : Été 2013
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ANALYSE DE SYSTÈMES MÉCANIQUES
2Modèles mécaniques et électriques
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Système mécanique minimaliste
Système masse-ressort-amortisseur:
3Modèles mécaniques et électriques
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Système mécanique minimaliste
Diagramme des corps libres:
4Modèles mécaniques et électriques
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Système mécanique
Équation dynamique du système:
Transformée de Laplace:
2
2( ) ( ) 0v
d x dxf t M f Kx t
dt dt
2
( ) 1
( ) v
X s
F s Ms f s K
5Modèles mécaniques et électriques
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Méthode duLagrangien
Énergie cinétique:
Énergie potentielle:
21
2cE Mx
21
2pE Kx
Basée sur une analyse énergétique
6Modèles mécaniques et électriques
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Méthode duLagrangien
Lagrangien:
A partir du Lagrangien, on calcule:
2 21 1
2 2c pL E E Mx Kx
d LMx
dt x
L
Kxx
7Modèles mécaniques et électriques
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Méthode duLagrangien
Et, la différence de ces deux termes est égal aux forces externes:
Ce qui donne:
( ) v
d L Lf t f x
dt x x
( )vMx f x Kx f t
8Modèles mécaniques et électriques
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Passage aux équations d’état
Généralement, les positions et les vitesses sont les variables choisies comme variables d’état.
Cela est valable, que le système mécanique soit en translation ou en rotation.
Modèles mécaniques et électriques 9
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Passage aux équations dans l’espace d’état
Posant:
On obtient:
1
2 1
x x
x x x
1 2
2 1 2
1
1( )v
x x
fKx x x f t
M M Mx x
10Modèles mécaniques et électriques
Position
Vitesse
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Schéma du modèle
Modèles mécaniques et électriques 11
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Système mécanique à 2 degrés de liberté
Schéma:
12Modèles mécaniques et électriques
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Système mécanique à 2 degrés de liberté
Diagramme des corps libres: Masse 1:
13Modèles mécaniques et électriques
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Système mécanique à 2 degrés de liberté
Équation de la masse 1:
3
1 2
22 2 2 1 1
1 1 2 1
( )
0
v
v v
F s f sX K X M s X
f f sX K K X
14Modèles mécaniques et électriques
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Système mécanique à 2 degrés de liberté
Diagramme des corps libres: Masse 2:
15Modèles mécaniques et électriques
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Système mécanique à 2 degrés de liberté
Équation de la masse 2:
Donc:
3
2 3
21 2 1 2 2
2 2 3 2 0
v
v v
f sX K X M s X
f f sX K K X
2 3
3
22 2 3
1 22
v v
v
M s f f s K KX X
f s K
16Modèles mécaniques et électriques
![Page 17: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/17.jpg)
Système mécanique à 2 degrés de liberté
Équation de l’ensemble:
3
1 2
2 3 3
22
21 1 2
222 2 3 2
( )
( )v
v v
v v v
f s KX s
F s M s f f s K K
M s f f s K K f s K
17Modèles mécaniques et électriques
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Système mécanique à 2 degrés de liberté
Passage aux équations d’état:
1 2 3
3 2 3
1 1
1 2 1 1 2 1 12 2 1
3 3
4 42 2 2 2 3 2 2
1
22
3
4
0 1 0 0 0
1( )
0 0 0 1 0
0
0 0 1 0
v v v
v v v
z zK K M f f M K M f Mz z M
F sz z
z zK M f M K K M f f M
z
zy x
z
z
18Modèles mécaniques et électriques
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Système mécanique à 2 degrés de liberté
Cette fois-ci, utilisons la méthode du Lagrangien:
19Modèles mécaniques et électriques
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Sys. 2 DDL
Énergie cinétique dans le système:
Énergie potentielle dans le système:
2 21 1 2 2
1 1
2 2cE M x M x
22 21 1 2 1 2 3 2
1 1 1
2 2 2pE K x K x x K x
20Modèles mécaniques et électriques
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Sys. 2 DDL
Ce qui donne ce Langrangien:
2 2 21 1 2 2 1 1
2 22 1 2 3 2
1 1 1
2 2 21 1
2 2
c pL E E
M x M x K x
K x x K x
21Modèles mécaniques et électriques
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1 11
d LM x
dt x
2 22
d LM x
dt x
1 1 2 1 21
LK x K x x
x
2 1 2 3 22
LK x x K x
x
Sys. 2 DDL
Avec la variable x1, on calcule:
De même avec la variable x2:
22Modèles mécaniques et électriques
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1 31 1 2
1 1
( ) v v
d L Lf t f x f x x
dt x x
1 3
1 3
1 1 1 1 2 1 2 1 1 2
21 1 1 1 2 1 2 1 1 2
( )
( )
v v
v v
M x K x K x x f x f x x f t
M s X K X K X X f sX f s X X F s
Sys. 2 DDL
Avec la variable x1, on obtient finalement:
Ou:
23Modèles mécaniques et électriques
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2 32 2 1
2 2v v
d L Lf x f x x
dt x x
2 3
2 3
2 2 2 1 2 3 2 2 2 1
22 2 2 2 1 3 2 2 2 1
0
0
v v
v v
M x K x x K x f x f x x
M s X K X X K X f sX f s X X
Sys. 2 DDL
Et, avec la variable x2, on obtient finalement:
Ou:
24Modèles mécaniques et électriques
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ANALYSE DE SYSTÈMES ÉLECTRIQUES
Modèles mécaniques et électriques 25
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Circuit électrique
Circuit RLC:
26Modèles mécaniques et électriques
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Circuit électrique
Circuit RLC:
Transformée de Laplace:
1( ) 0
div t L Ri idt
dt C
1( ) ( )V s Ls R I s
Cs
27Modèles mécaniques et électriques
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Circuit électrique
Or:
Ainsi:
1( ) ( ) ( )c cv t idt I s CsV s
C
2
( ) 1
( ) 1cV s
V s LCs RCs
28Modèles mécaniques et électriques
![Page 29: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/29.jpg)
Second circuit
29Modèles mécaniques et électriques
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Second circuit
Loi des mailles (Kirchoff):
De la 2e équation, on trouve:
1 1 1 2
2 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
1( ) ( ) ( ) ( ) 0
V s R I s Ls I s I s
Ls I s I s R I s I sCs
22
1 22
1( ) ( )
LCs R CsI s I s
LCs
30Modèles mécaniques et électriques
![Page 31: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/31.jpg)
Second circuit
Cette équation dans la première mène à:
D’où finalement:
2
2 21 2 1 2 1
( ) ( )LCs
I s V sR R LCs L R R C s R
21 2 1 2 1
( ) ( )C
LsV s V s
R R LCs L R R C s R
31Modèles mécaniques et électriques
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Troisième circuit électrique
Modèles mécaniques et électriques 32
![Page 33: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/33.jpg)
Troisième circuit
Forme matricielle:
Ainsi:
1
2
3
2 2 (2 1) 1
(2 1) 9 1 4 0
1 01 4 4 1
s s I V
s s s I
Is s s
3 2
24 3 2
8 10 3 1
24 30 17 16 1
I s s s
V s s s s
33Modèles mécaniques et électriques
![Page 34: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/34.jpg)
Moteur électrique à CC
Schéma de principe:
34Modèles mécaniques et électriques
![Page 35: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/35.jpg)
Moteurélectrique
Équation électrique:
Transformée de Laplace:
( )( ) ( ) ( ) 0b
di tv t Ri t L K t
dt
Force contre-électromotrice
( ) ( ) ( ) 0bV s R Ls I s K s
35Modèles mécaniques et électriques
![Page 36: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/36.jpg)
Moteur électrique
Équation mécanique:
A vide (TL = 0):
( )m t a LT K i t T T
( )( ) ( )t a a
d tK i t J B t
dt
( )( )a a a
d tT J B t
dt
36Modèles mécaniques et électriques
![Page 37: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/37.jpg)
Moteur électrique
Ainsi:
Transformée de Laplace:
( )( ) ( )a a
t t
J Bd ti t t
K dt K
( ) ( )a a
t t
J BI s s s
K K
37Modèles mécaniques et électriques
![Page 38: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/38.jpg)
Fonction de transfert du moteur à CC
Combinons les équations mécaniques et électriques:
( ) ( ) ( ) 0a ab
t t
J BV s R Ls s s K s
K K
38Modèles mécaniques et électriques
![Page 39: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/39.jpg)
Fonction de transfert du moteur à CC
Ce qui mène à:
( ) 1
( )a a
bt t
s
V s J BR Ls s K
K K
39Modèles mécaniques et électriques
![Page 40: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/40.jpg)
Hypothèse simplificatrice
La valeur de l’inductance L est généralement négligeable:
( )
( )
t
a
a t b
a a
K
RJsB K KV s sJ RJ
40Modèles mécaniques et électriques
![Page 41: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/41.jpg)
Manipulateur à une articulation
Schéma du manipulateur:
41Modèles mécaniques et électriques
![Page 42: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/42.jpg)
Énergies
Énergie potentielle:
Énergie cinétique
2 2 222 2
1 1
2 2c m m l m m
IE I I I
n
1 cos
1 cos
p l
m
E Mgl
Mgl n
42Modèles mécaniques et électriques
![Page 43: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/43.jpg)
Lagrangien
Le voici:
Donc:
222
11 cos
2c p m m m
IL E E I Mgl n
n
22m m
m
Id LI
dt n
1sin m
m
LMgl
n n
43Modèles mécaniques et électriques
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Dynamique du manipulateur
Or:
Ce qui donne:
2l
m mm m
Bd L LB
dt n
22 2
sinl mm m m m
BI MglI B
n n n n
44Modèles mécaniques et électriques
![Page 45: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/45.jpg)
Robot cartésien à deux articulations
On défini le système de coordonnées généralisé q1 et q2.
La vitesse du centre de masse de l’articulation #1 est:
1
11
2
0 0
0 0
1 0cc v
qv J q
q
45Modèles mécaniques et électriques
![Page 46: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/46.jpg)
Robot cartésien à deux articulations
Schéma :
46Modèles mécaniques et électriques
![Page 47: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/47.jpg)
Robot cartésien à deux articulations
La vitesse du centre de masse de l’articulation #2 est:
2
12
2
0 0
0 1
1 0cc v
qv J q
q
47Modèles mécaniques et électriques
![Page 48: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/48.jpg)
Énergie cinétique
C’est:
Matrice d’inertie:
1 1 2 21 2
1
2 c c c c
T T Tv v v vK q m J J m J J q
1 2
2
0
0
m mD
m
48Modèles mécaniques et électriques
![Page 49: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/49.jpg)
Énergie potentielle
C’est:
1 1 2 1 1 2 1V gm q gm q g m m q
49Modèles mécaniques et électriques
![Page 50: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/50.jpg)
Lagrangien
Le voici:
Et on calcule:
1 2 1
1
2TL q Dq g m m q
1 2 11
d Lm m q
dt q
1 2
1
Lm m g
q
2 22
d Lm q
dt q
2
0L
q
50Modèles mécaniques et électriques
![Page 51: Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2013.](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062404/551d9dbd497959293b8dfbe3/html5/thumbnails/51.jpg)
Modèle du système:
On l’obtient de:
Ce qui donne:
1 2 1 1 2 1
2 2 2
m m q m m g
m q
ii i
d L L
dt q q
Mq G
51Modèles mécaniques et électriques
Équation bien connue en robotique