Structures Pyramidales

Luc Brun

L.E.R.I., Reims

and

Walter Kropatsch

Vienna Univ. of Technology, Austria

Segmentation

• Segmentation: Partition de l’image en un ensemble de composantes connexes uniformes

falseSSPadjSS

jinji

trueSPni

connectedisSni

SX

jiji

i

i

n

ii

2

1

,...,1,)4

,...,1)3

,...,1)2

)1 S1 S2

S3S4

S5

Segmentation

• Problèmes– Quantité importante de données– L’homogénéité dépend de

• Résolution/Contexte

• Besoins– Parallélisme

– Notion de Hiérarchie

Contenu du cours

• Structure de données Hiérarchiques

• Cartes Combinatoires

• Pyramides Combinatoires

Pyramides Régulières

Pyramides Matricielles(M-Pyramides)

• Pile d’image de résolution décroissante

Niveau 0

Niveau 1

Niveau 2

2x2/4 Pyramide

Niveau 3

Pyramides Arborescentes(T-Pyramides)

M-Pyramides

• M-Pyramide NxN/q (Ici 2x2/4)– NxN : Fenêtre de Réduction. Pixels

utilisés pour calculer la valeur d’un père (habituellement un filtre passe bas)

– q : Factor de réduction. Rapport entre la taille de deux image consécutives

– Champ récepteur:Ensemble des fils au niveau le plus bas

M-Pyramides

• NxN/q=1: Pyramides non chevauchante sans trous (ex. 2x2/4)

• NxN/q<1: Pyramide trouée.

• NxN/q>1: Pyramide Chevauchante

M-Pyramides-T-Pyramides

• Comment coder une partition ?

• Sélection de racines a différents niveaux Quad tree

Quad tree

• Décomposition récursive de l ’image

Pyramide Non chevauchante

• 2x2/4 : Pyramide Gaussiène

Pyramide chevauchante

• NxN/q >1

- Fils internes:Plus proches de leurs pères

Fils externes

Exemple : 4x4/4

Pyramide Chevauchante

• NxN/q>1: Chaque pixel contribue à la valeur de plusieurs pères => Chaque pixel a plusieurs pères potentiels

Pyramides Chevauchantes

• Algorithme de Segmentation

– lien (père,fils)

– Père légitime: le plus proche (plus fort lien)

– Racine: Lien(P,Légitime(P))<seuil)

Pyramides ChevauchantesPyramid linking[BHR 81]

De Bas en haut-Calculer les valeurs-Positionner les liens

De Haut en bas-Sélectionner les racines-Lier les pixels non racine à leurs pères légitime

Pyramide chevauchante

Pyramides Régulières

• Avantages (Bister)[BCR90]– réduit l ’influence du bruit– Rend les traitements indépendants de la résolution– Converti des propriétés globales en propriétés

locales– Réduit les coûts de calcul– Analyse d ’image a coût réduit en utilisant des

images faible résolution.

Pyramides Régulières

• Inconvénients(Bister)– Sensible aux : Décalages - Zooms - Rotations– La préservation de la connexité n ’est pas

garantie.

Pyramides Régulières

• Inconvénients(Bister)– Sensible aux : Décalages - Zooms - Rotations– La préservation de la connexité n ’est pas

garantie.– Nombre limité de régions à un certain niveau

Peut être décris seulement au niveau 3

4 pixels au niveau 3 (8 bandes)

4x4/4 Pyramide

Pyramides Régulières

• Inconvénients(Bister)– Sensible aux : Décalages - Zooms - Rotations– La préservation de la connexité n ’est pas

garantie.– Nombre limité de régions à un certain niveau– Difficile de coder les longues régions

Pyramides Irrégulières

• Piles de graphes progressivement réduits

Pyramides Irrégulières [Mee89,MMR91,JM92]

• Partant de G=(V,E) construire G’=(V’,E’)– Sélectionner un ensemble de nœuds survivantsV

– Lien parent-enfant Partition de V

– Définition de E’

• Sélection des racines

Pyramides Stochastiques

• V’ : Maximum Independent Set

– maximum de• Une variable aléatoire

– [Mee89,MMR91]

• Un critère d ’intérêt– [JM92]

EvvVvVVv ),'('''

EvvVvv ','', 2

Pyramides Stochastiques

• Sélection des survivants: Utilisation d ’une variable aléatoire (distribuée uniformément)

1 5 10 8

6 20 9 6

15 11 3 9

13 7 10 20

1 5 10 8

6 20 9 6

15 11 3 9

13 7 10 20

Pyramides Stochastiques

• Sélection des survivants: Utilisation d ’une variable aléatoire (distribuée uniformément)

1 5 10 8

6 20 9 6

15 11 3 9

13 7 10 20

1 5 10 8

6 20 9 6

15 11 3 9

13 7 10 20

Pyramides Stochastiques

• Lien parent-enfant :

– maximum de• Une variable aléatoire

– [Mee89,MMR91]

• une mesure de similarité – [JM92]

1 5 10 8

6 20 9 6

15 11 3 9

13 7 10 21

EvvVvVVv ),'('''

Pyramides Stochastiques

• Définition des arêtes E’ du graphe réduit

– Deux pères sont reliés par une arête s ’ils ont des enfants adjacents.

Pyramides Stochastiques

• Sélection des Racines:

– Restriction du processus de décimation par une fonction de classe

• [MMR91]

– Faible Lien Parent -Enfant • [JM92]

Pyramides Stochastiques [MMR91]

• Restriction du processus de décimation par une fonction de classe

otherwize

mergemayvvifvv

E

0

,1),(

1,0

2121

Pyramides Stochastiques (Jolion-Montanvert)[JM92]

• Sélection des nœuds survivants– Critère d ’intérêt local (minimum local de la

variance)

• Relation Parent-Enfant:– Parent le plus proche (différence de niveaux de

gris)

• Extraction des racines– Différence de niveaux de gris entre un père et son

enfant >seuil

Pyramides Stochastiques

• Avantages– Processus purement local[Mee89]– Chaque racine correspond à une composante

connexe du graphe initial[MMR91]

• Inconvénient:– Pauvre description des relations entre les

régions.

DéfinitionsContraction d ’arêtes

Identifier les deux noeuds

Supprimer l’arête

Donné une arête à contracter

Définition Graphes Duaux

• Deux graphes codant les relations entre les régions et les segments

Définition Graphes duaux

• Deux graphes codant les relations entre les régions et les segments

Graphes duaux

• Avantages (Kropatsch)[Kro96]– Code les propriétés des nœuds et des faces

• Inconvénients [BK00]– Nécessite le stockage et la mise à jour de deux

structures de données. • Contraction in G Suppression dans G

• Suppression dans G Contraction dans G

Paramètre de Décimation

• Soit G=(V,E), un Paramètre de Décimation (S,N) est défini par (Kropatsch)[WK94]:– un ensemble de nœuds survivants SV– Un ensemble d ’arêtes non survivantes NE

• Tout nœud non survivant est connecté à un nœud survivant de manière unique:

NsvSsSVv ),(:!

Exemple de Décimation: S:N

Paramètre de Décimation

• Caractérisation des arêtes non relevantes(1/2)

d°f = 2

Paramètre de Décimation

• Caractérisation des arêtes non relevantes(2/2)

d°f = 1

Paramètre de Décimation

• Paramètre de Décimation dual– Supprimer toutes les faces de degré inférieur à 3

Paramètre de Décimation

• Contraction d ’arêtes: Paramètre de Décimation (S,N) – Contractions dans G– Suppressions dans G

• Nettoyage : Paramètre de Décimation dual– Contractions dans G– Suppressions dans G

Paramètre de Décimation

La caractérisation des arêtes non relevantes nécessite le graphe dual

Graphes duaux (G,G)

Paramètre de Décimation

• Avantages– Meilleure description de la partition

• Inconvénients– Faible décimation

Noyaux de Contraction

Soit G=(V,E), un noyau de contraction (S,N) est défini par:– Un ensemble de nœuds survivants SV– Un ensemble d ’arêtes non survivantes NE

Telles que:– (V,N) est une forêt de (V,E)– Les nœuds survivants S sont les racines des

arbres

Noyaux de Contraction

• L ’application successive de plusieurs paramètres de décimation est équivalente à l ’application d ’un noyau de contraction.

Exemple de Noyaux de Contractions: S

:N, ,

Exemple de Noyaux de Contractions

• Suppression des arêtes non relevantes: Noyau de contraction dual

Structures de données Hiérarchiques /Cartes Combinatoires

• M-Pyramids•Overlapping Pyramids• Stochastic Pyramids• Adaptive Pyramids• Decimation parameter• Contraction kernel

Cartes Combinatoires définitions

• Permutation : bijection de D dans D

• Orbites : images successive d ’un élément*(1) = {1,3,6}*(2)={2,10,9,8,5}*(4)={4}, *(7)={7}

• Cycles : restriction of à une seule orbite

98571246103

10987654321

)7)(4)(5,8,9,10,2)(6,3,1(

Cartes Combinatoires définitions

• G=(V,E) G=(D,,)– décomposition de chaque arête en deux demis

arêtes(brins) :

2

3-3 4

-4

5

-5

-2

6-6

1

-1

bbb 6,...,1,1,...,6

6,65,54,43,32,21,1

- : code les arêtes

D ={-6,…,-1,1,…,6}

Cartes Combinatoires définitions

• G=(D,, ) : code les nœuds

)6,2,1)(5,6,4)(5,4,3)(2,3,1(

*(1)=(1,*(1)=(1,3*(1)=(1,3,2)

12

-1

3-3 4

-4

5

-5

-2

6-6

Cartes Combinatoires Propriétés

• Calcul du graphe dual :– G=(D,,) G=(D, = , )

• L ’ordre défini sur induit un ordre sur

)5,4)(2,3,5,6)(6,4,3,1)(2,1(

*(-1)=(-1,*(-1)=(-1,3*(-1)=(-1,3,4*(-1)=(-1,3,4,6)

1

5-5 -4

-3

-6 6

2

-2

-1

4

3

Cartes CombinatoiresPropriétés

• Calcul du graphe dual :– G=(D,,) G=(D, = , )

)5,4)(2,3,5,6)(6,4,3,1)(2,1(

*(-1)=(-1,*(-1)=(-1,3*(-1)=(-1,3,4*(-1)=(-1,3,4,6)

1

-1

2

3-3 4

-4

5

-5

-26

-6

Cartes Combinatoires Propriétés

• Résumé– Les brins sont ordonnés autour des nœuds et

sommets• Le contour de chaque face est ordonné • L ’ensemble des régions qui en entoure une autre est

ordonné

– Le graphe dual peut être codé implicitement – Le formalisme des cartes combinatoires peut être

étendu a n ’importe qu’elle dimension (Lienhardt)[Lie89]

Cartes Combinatoires /Pyramides Combinatoires

• Combinatorial Maps•Computation of Dual Graphs•Combinatorial Maps properties•Discrete Maps

[Bru99]http://www.univ-st-etienne.fr/iupvis/color/Ecole-Ete/Brun.ppt

Suppression

• G=(D,, )– dD tel que d ne définit pas un pont

• G’=G\ *(d)=(D’, ’, )

dd

dd

ddddDd

1

1

11

'

'

''','

d -d

d1

d d 1

d

Suppression

• Exemple

-1

3-3 4

-4

5

-5

-2

6-6

12

-1

3-3 4

-4

-2

6-6

12

456'

354'

'''6,4'

ddDd

d=5

Contraction

• G=(D,, )– dD tel que d ne définit pas une boucle– G’=G/*(d)=(D’, ’, )

dd

dd

ddddDd

1

1

11

'

'

''','

d -d

d1

d d 1

d

d d 1

d d1

Contraction

• Préservation de l ’orientation

1

2

3

4

d

c

b

a

1

2

3

4

d

c

b

a

Opérations de base Propriété Importante

-1

3-3 4

-4

-2

6-6

12

-4

-3

-6 6

2

-2

-1

4

3

-1

3-3

4

-4

5

-5

-2

6-6

12

d=5

d=5

suppression

contraction

• Le graphe dual est implicitement mis à jour

1

5-5 -4

-3

-6 6

2

-2

-1

4

3

Noyaux de Contraction

• Soit G=(D,, ), KD est un noyaux de contraction ssi:– K est une forêt de G

• Ensemble symétrique de brins ((K)=K)

• Chaque composante connexe est un arbre

– Au moins un brin doit survivre• SD=D-K

Noyaux de Contraction

• Exemple1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

21 22 23 24

K=

Noyaux de Contraction

• Exemple1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

21 22 23 24

K=

10,21,17,13,1*

Noyaux de Contraction

• Comment calculer la carte combinatoire contractée ?– Quelle est la valeur de ’(-2) ?1 2

413 14 15

-2-1 2

4

13

1415

-2

13122' 2 12

Noyaux de Contraction

• Comment calculer la carte combinatoire contractée ?– Quelle est la valeur de ’(-2) ?1 2

4

13 14 15

-2-1

-13

17

7

2

414

15

-217

7

171322' 3

Noyaux de Contraction

• Chemins de connexion– Soit G=(D,, ) , KD et SD=D-K– Si d SD, CW(d) est la suite minimale de brins

non survivants entre d et un autre brin survivant..

• Les chemins de connexion connectent les brins survivants.

SDdNIpMinn

withddddCWSDd p

n

*

1...)(

Noyaux de Contraction

• Chemins de connexion1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

21 22 23 24

-2-1

CW(-2)=-2.-1.13.17.21.10

Noyaux de Contraction

• CW(-2)=-2,-1,13,17,21,10

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

21 22 23 24

-2-1

2

3

5 6

8 9

11 12

15 16

19 20

23 24

-2

18

14

22

7

4

112' -11

-11

Noyaux de Contraction

• Construction de la carte combinatoire contractée.– Pour chaque d in SD

• calculer d’: dernier brin de CW(-d)’(-d)=(d’)’(d)=’(-d) = (d’)

3

11

2

5 6

8 9

12

15 16

19 20

23 24

-2

18

14

22

7

4

Extensions(1/2)

• Noyaux de contraction dual– Remplacer par

– Application de plusieurs noyaux de même type• Concaténation des chemins de connexion

Extensions(2/2)

• Application de plusieurs noyaux de type différents– Objet plus général: des chemins de connexion

aux suites de connexion

• Pyramides étiquetées : – Pour chaque brin coder:

• Le plus haut degré où il est défini (durée de vie)

• La façon dont il disparaît (contracté ou supprimé)

Conclusion

• Les graphes codes efficacement les relations topologiques. Les cartes Combinatoires:– code l ’orientation – Permettent un codage implicite du graphe dual– Peuvent être généralisé à des dimensions plus

élevées

• Les pyramides irrégulières résolvent les limitations de leurs ancêtres réguliers

Pyramides Combinatoires