Post on 21-Jan-2021
Richard Taillet
Université Savoie Mont BlancLaboratoire d’Annecy-le-Vieux de Physique théorique
Grandeurs physiques
Modélisation : on associe des grandeurs à des objets, des phénomènes.
Loi : on cherche/postule/établit des relations entre ces grandeurs.
L’ensemble forme une théorie.
Faire de la physique
Modélisation : on associe des grandeurs à des objets, des phénomènes.
Loi : on cherche/postule/établit des relations entre ces grandeurs.
Faire de la physique
Modélisation : on associe des grandeurs à des objets, des phénomènes.
Loi : on cherche/postule/établit des relations entre ces grandeurs.
Faire de la physique
Modélisation : on associe des grandeurs à des objets, des phénomènes.
Loi : on cherche/postule/établit des relations entre ces grandeurs.
Faire de la physique
Ces grandeurs sont des objets ayant une structure du point de vue mathématique :
entier / réel / complexe
scalaire / vecteur / tenseur / autre
dimension physique
Elles peuvent aussi être qualifiées de
constantes / variables / paramètres
invariantes / covariantes / conservées
illustrations ?
constante variable paramètre
Chez les physiciens, les frontières entre ces notions sont floues et mouvantes :
constante variable paramètre
une constante peut être traitée comme un paramètre
Chez les physiciens, les frontières entre ces notions sont floues et mouvantes :
constante cosmologique / paramètres cosmologiques
constant / uniforme / homogène / conservé
« constantes d’intégration » dont la valeur dépend des conditions initiales
En maths : « méthode de variation de la constante »
constante variable paramètre
En enseignement, la nuance est souvent implicite et contextuelle.
constante variable paramètre
Chez les étudiants, souvent ce sont des quantités dont on veut connaître, au plus vite, la valeur numérique !
constante variable paramètre
Remarque : usage du mot « formule » chez les étudiants
constante variable paramètre
constante variable paramètre
ça dépend des physiciens !
Ce qui intéresse le physicien, c’est...
Ce qui intéresse le physicien, c’est...les lois (relations entre les grandeurs)les constantes qui interviennent dans ces loisles valeurs numériques de certaines grandeursoptimiser certaines grandeursetc.
constante variable paramètre
les structures mathématiques associées aux grandeurs aident le physicien dans chacun de ces buts.
On peut classer les grandeurs dans des catégories, au sein desquelles on peut les comparer et les additionner
Par exemple,
hauteur d’une table + distance parcourue par un objet pendant un temps donné, à vitesse connue.
Ces deux grandeurs ont la dimension physique d’une longueur.
Dimension physique
Inventaire de quelques dimensions physiques :
LongueurTempsMasse
VitesseAccélérationForceÉnergieAction
Dimension physique
Ces dimensions portent la trace des relations entre les grandeurs
vitesse :
C’est une première structure associée à ces grandeurs.
Dimension physique
Exploitation de cette structure
vérifier qu’une expression n’est pas évidemment faussedeviner des relations physiquesétablir des lois d’échelle non triviales
Analyse dimensionnelle
établir des lois d’échelle non triviales
Exemple le plus familier : nombre de Reynolds
Analyse dimensionnelle
Analyse dimensionnelle
Remarque : grandeurs sans dimension et calcul numérique
équation de Lane-Emden
Analyse dimensionnelle
Remarque : le physicien prend des libertés avec les dimensions.
unité : référence permettant d’associer une valeur numérique à une grandeur, grâce à :
un étalonune relation avec d’autres grandeursune constante physique
Autre conséquence de la structure dimensionnelle
« 1 m = 1/10 000 000 du demi-méridien terrestre »« 1 m = distance parcourue par la lumière en 1/299 792 458 s »
(remarque : quel sens donner à la possibilité que c varie ?)cf les travaux de Jean-Philippe Uzan, chercheur en cosmologie à l’IAP
Remarque : plusieurs constantes sont dites fondamentales :
On bouleverse la structure de la théorie si on s’autorise à les faire varier.
On voit fréquemment
Autre conséquence de la structure dimensionnelle
Système d’unités : choix d’une unité par type de grandeur de sorte que les relations du type
restent numériquement valides, quel que soit le système adopté.
Autre conséquence de la structure dimensionnelle
Système d’unités : choix d’une unité par type de grandeur de sorte que les relations du type
restent numériquement valides, quel que soit le système adopté.
propriété de covariance
Autre conséquence de la structure dimensionnelle
voir par exemple « Les maths en physique », J.-P. Provost et G. Vallée, Dunod
propriété de covariance
Scalaires, vecteurs, tenseurs
Scalaires, vecteurs, tenseurs
Les vecteurs sont présentés/compris comme :
des éléments d’un espace vectoriel
la juxtaposition de 3 nombres (les coordonnées)
un objet doté d’une direction et d’une norme (une flèche)
Ces points de vue sont très différents.
Scalaires, vecteurs, tenseurs
On demande souvent (avec d’excellentes raisons) aux étudiants de travailler avec les coordonnées des vecteurs : une fois fixé le référentiel, elles portent l’information physique recherchée.
Scalaires, vecteurs, tenseurs
On demande souvent (avec d’excellentes raisons) de travailler avec les coordonnées des vecteurs : une fois fixé le référentiel,elles portent l’information physique recherchée.
Ce point de vue masque une propriété essentielle : la covariance.
Scalaires, vecteurs, tenseurs
La relation
est vraie indépendamment de tout choix de référentiel, et donc de coordonnées.
Ceci découle du fait que les coordonnées de tous les vecteurs se transforment de la même façon, lorsqu’on change de base.
Cette exigence de covariance dicte les grandeurs utilisées pourfaire de la physique.
Scalaires, vecteurs, tenseurs
Le pendant physique de cette remarque : si on exige que tous les physiciens écrivent les mêmes lois, ils doivent le faire enrespectant la covariance : égalités entre vecteurs, ou entre scalaires.
C’est une notion difficile à faire passer aux étudiants.
Un scalaire est une quantité invariante par changement de référentiel.
Scalaires, vecteurs, tenseurs
Un scalaire est une quantité invariante par changement de référentiel.
Un vecteur est un objet dont les composantes se transforment d’une façon particulière par changement de référentiel.
Ses composantes ne sont pas des scalaires !Sa norme est un scalaire.
Scalaires, vecteurs, tenseurs
Ces notions deviennent cruciales (et passionnantes) en relativité restreinte :
On veut écrire des lois valables dans tout référentiel,pouvant être en mouvement relatif (à vitesse constante).
Scalaires, vecteurs, tenseurs
Ces notions deviennent cruciales (et passionnantes) en relativité restreinte :
On veut écrire des lois valables dans tout référentiel,pouvant être en mouvement relatif (à vitesse constante).
On est amené à introduire des quadrivecteurs :
Scalaires, vecteurs, tenseurs
On montre que la quantité définie par
Scalaires, vecteurs, tenseurs
n’est pas un quadrivecteur !
En revanche, est un quadrivecteur
On en déduit une multitude de conséquences physiques
Remarque
Scalaires, vecteurs, tenseurs
est aussi écrit
En relativité générale, on pousse un pas plus loin
Scalaires, vecteurs, tenseurs
Scalaires, vecteurs, tenseurs
Je viens de parler de covariance et d’invariance
Ceci fait écho à une autre notion : la conservation
En physique, certaines grandeurs sont conservées, dans le sens où elles restent inchangées au cours du temps.
C’est souvent plus général : elles obéissent à une équation de continuité.
Conservation et continuité
En relativité restreinte, la quadri-quantité de mouvementest une quantité conservée : elle reste inchangée au cours du temps.
Elle n’est pas invariante (ses coordonnées dépendent du référentiel)
Invariance et conservation
La mécanique analytique offre un regard passionnant sur les opérations de symétrie
Conservation et symétrie
À toute symétrie continue est associée une grandeur conservée (et un courant associé)
translation spatiale : quantité de mouvementtranslation temporelle : énergierotation : moment cinétique
invariance de jauge : charge électrique
Théorème de Noether (1915)
La physique moderne s’ancre profondément sur la notion desymétrie (parfois brisée) et c’est toujours une grande victoire de déceler une symétrie cachée dans un système.
C’est d’autant plus frustrant, dans des situations d’enseignement, de ne pas avoir le temps, le recul, d’y faire appel aussi souvent qu’on voudrait.
Symétries
conservation
Symétries
continuitéconstant
variable
invariantcovariant
Merci pour votre attention
Richard Taillet
Université Savoie Mont BlancLaboratoire d’Annecy-le-Vieux de Physique théorique