RRéévisionsvisionsLogique combinatoireLogique combinatoire

lundi 22 flundi 22 féévrier 2010vrier 2010

Fonctions logiques de base

Georges BOOLE

Algèbre de Boole : relations particulières

Algèbre de Boole : théorème de DE MORGAN

Algèbre de Boole : Recherche d’équation

Algèbre de Boole : création d’un logigramme

Algèbre de Boole : Tableau de Karnaugh

OU

ET

NON-OU (NOR)

NON-ET (NAND)

NOR Exclusif

OU Exclusif

Fonctions logiques de baseFonctions logiques de base

�� Fonction ETFonction ET

Se1 e2

&e1

e2S

0

0

0

0

1

11

1

• Pour que la sortie S soit à 0 :Il suffit qu’au moins une entrée soit à 0 �

• Pour que la sortie S soit à 1 :Il faut que les entrées e1 ET e2 soient à 1 �

•Equation booléenne:

1

0

0

0

S = e1 . e2

Diapo suiv

Fonctions logiques de baseFonctions logiques de base

�� Fonction ETFonction ET

Se1 e2

&e1

e2S

0

0

0

0

1

11

1

• Pour que la sortie S soit à 0 :Il suffit qu’au moins une entrée soit à 0 �

• Pour que la sortie S soit à 1 :Il faut que les entrées e1 ET e2 soient à 1 � 1

0

0

0

S = e1 . e2•Equation booléenne:

� Menu

Fonctions logiques de baseFonctions logiques de base

�� Fonction NONFonction NON--ET (NAND)ET (NAND)

Se1 e2

0

0

0

0

1

11

1

• Pour que la sortie S soit à 0 :

Il suffit qu’au moins une entrée soit à 0 �

• Pour que la sortie S soit à 1 :

Il faut que les entrées e1 ET e2 soient à 1 �

•Equation booléenne:

0

1

1

1

S = e1 . e2

&e1

e2 S&e1

e2 S

S = e1 + e2

1

0

0

0

Diapo suiv

Fonctions logiques de baseFonctions logiques de base

�� Fonction NONFonction NON--ET (NAND)ET (NAND)

Se1 e2

0

0

0

0

1

11

1

• Pour que la sortie S soit à 0 :

Il suffit qu’au moins une entrée soit à 0 �

• Pour que la sortie S soit à 1 :

Il faut que les entrées e1 ET e2 soient à 1 �

•Equation booléenne:

0

1

1

1

S = e1 . e2

&e1

e2 S&e1

e2 S

S = e1 + e2� Menu

Fonctions logiques de baseFonctions logiques de base

�� Fonction OUFonction OU

Se1 e2

0

0

0

0

1

11

1

• Pour que la sortie S soit à 0 :Il suffit qu’au moins une entrée soit à 0 �

• Pour que la sortie S soit à 1 :Il suffit qu’au moins une entrée soit à 1 �

•Equation booléenne:

1

0

1

1

S = e1 + e2

>1e1

e2S

Diapo suiv

Fonctions logiques de baseFonctions logiques de base

�� Fonction OUFonction OU

Se1 e2

0

0

0

0

1

11

1

• Pour que la sortie S soit à 0 :Il suffit qu’au moins une entrée soit à 0 �

• Pour que la sortie S soit à 1 :Il suffit qu’au moins une entrée soit à 1 �

•Equation booléenne:

1

0

1

1

S = e1 + e2

>1e1

e2S

� Menu

Fonctions logiques de baseFonctions logiques de base

�� Fonction NONFonction NON--OU (NOR)OU (NOR)

Se1 e2

0

0

0

0

1

11

1• Pour que la sortie S soit à 0 :

Il suffit qu’au moins une entrée soit à 1

• Pour que la sortie S soit à 1 :

Il faut que les entrées e1 ET e2 soient à 0 �

•Equation booléenne:

0

1

0

0

S = e1 + e2

S = e1 . e2

1

0

1

1

>1e1

e2S>1

e1

e2S

Diapo suiv

Fonctions logiques de baseFonctions logiques de base

�� Fonction NONFonction NON--OU (NOR)OU (NOR)

Se1 e2

0

0

0

0

1

11

1• Pour que la sortie S soit à 0 :

Il suffit qu’au moins une entrée soit à 1

• Pour que la sortie S soit à 1 :

Il faut que les entrées e1 ET e2 soient à 0 �

•Equation booléenne:

0

1

0

0

S = e1 + e2

S = e1 . e2

>1e1

e2S>1

e1

e2S

� Menu

Fonctions logique de baseFonctions logique de base

�� Fonction OU ExclusifFonction OU Exclusif =1e1

e2S

• Pour que la sortie soit à 0 :

Il faut que e1 OU e2 soit à 1 mais pas les 2

• Pour que la sortie soit à 1 :

Il faut que les entrées soient au même niveau logique

S = e1 + e2

Se1 e2

0

0

0

0

1

11

1 1

1

0

0

S = e1.e2 + e1.e2

Intérêt :

Diapo suiv

Fonctions logique de baseFonctions logique de base

�� Fonction OU ExclusifFonction OU Exclusif =1e1

e2S

• Pour que la sortie soit à 0 :

Il faut que e1 OU e2 soit à 1 mais pas les 2

• Pour que la sortie soit à 1 :

Il faut que les entrées soient au même niveau logique

S = e1 + e2

Se1 e2

0

0

0

0

1

11

1 1

1

0

0

S = e1.e2 + e1.e2

Intérêt : Détecter l’inégalité entre e1 et e2

Diapo suiv

Fonctions logique de baseFonctions logique de base

�� Fonction OU Fonction OU ExclusifExclusif =1e1

e2S

• Pour que la sortie soit à 0 :

Il faut que e1 OU e2 soit à 1 mais pas les 2

• Pour que la sortie soit à 1 :

Il faut que les entrées soient au même niveau logique

S = e1 + e2

Se1 e2

0

0

0

0

1

11

1 1

1

0

0

S = e1.e2 + e1.e2

Intérêt : Détecter l’inégalité entre e1 et e2

� Menu

Fonctions logique de baseFonctions logique de base

�� Fonction NOR ExclusifFonction NOR Exclusif

• Pour que la sortie soit à 1 :

Il faut que e1 OU e2 soit à 1 mais pas les 2

• Pour que la sortie soit à 0 :

Il faut que les entrées soient au même niveau logique

S = e1 + e2

Se1 e2

0

0

0

0

1

11

1 0

0

1

1

S = e1.e2 + e1.e2

Intérêt :

=1e1

e2S

NOR Exclusif = OU Exclusif

1

1

0

0

S = e1.e2 + e1.e2

Diapo suiv

Fonctions logique de baseFonctions logique de base

�� Fonction NOR ExclusifFonction NOR Exclusif

• Pour que la sortie soit à 1 :

Il faut que e1 OU e2 soit à 1 mais pas les 2

• Pour que la sortie soit à 0 :

Il faut que les entrées soient au même niveau logique

S = e1 + e2

Se1 e2

0

0

0

0

1

11

1 0

0

1

1

S = e1.e2 + e1.e2

Intérêt : Détecter l’identité entre e1 et e2

=1e1

e2S

NOR Exclusif = OU Exclusif

1

1

0

0

S = e1.e2 + e1.e2

� Menu

�� Il dIl déécrit un systcrit un systèème algme algéébrique qui sera plus brique qui sera plus tard connu sous le nom dtard connu sous le nom d’’algalgèèbre boolbre boolééenne. enne. Dans ce systDans ce systèème, les propositions logiques sont me, les propositions logiques sont indiquindiquéées par des symboles et peuvent être es par des symboles et peuvent être exexéécutcutéées par des opes par des opéérateurs mathrateurs mathéématiques matiques abstraits qui correspondent aux lois de la abstraits qui correspondent aux lois de la

logique.logique.

�

�� Boole, GeorgeBoole, George (1815(1815--1864), 1864), mathmathéématicien et logicien maticien et logicien anglais.anglais.

AlgAlgèèbre logiquebre logique

�� Relations particuliRelations particulièèresres

a . b = b . a

a + b = b + a

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = b + ( a + c )

a ( b + c ) = a . b + a . c

a . 0 = 0

a . a = a

a . 1 = a

a . a = 0

a + 0 = a

a + a = a

a + 1 = 1

a + a = 1

� Menu

AlgAlgèèbre logiquebre logique

�� ThThééororèème de de Morganme de de Morgan

a . b = a + b

a + b = a . b

Application principale : Transformation d’une somme en produit et inversement

� Menu

AlgAlgèèbre logiquebre logique

�� Exemple dExemple d’’application : application : Recherche d’équation

&

a

b >1c & S

b.ca + b.c

= c.(a + b.c)

Simplification : S = a.c + b.c.c

S = a.c + b.c

S = c (a + b) S = c (a + b)

� Menu

AlgAlgèèbre logiquebre logique

�� Exemple dExemple d’’application : application : création d’un logigramme

Equation logique de départ : S = ( a + b.c ).d

&a + b.c

dS>1b.c

a

&c

b

a

d

Règle de construction : Toujours partir de la sortie, rechercherl’opérateur logique qui sépare l’équation

� Menu

AlgAlgèèbre logiquebre logique

�� Tableau de Tableau de KarnaughKarnaugh : :

1111000011

1100000011

0011111100

1100111100

1111001100

0000001100

1111110000

1100110000

0011000000

0000000000

SSaabbccdd

Etude d’un exemple :définition d’une équation àpartir d’une table de vérité

� Menu

AlgAlgèèbre logiquebre logique

�� Tableau de Tableau de KarnaughKarnaugh : :

1 – Construire le tableau

1111000011

1100000011

0011111100

1100111100

1111001100

0000001100

1111110000

1100110000

0011000000

0000000000

SSaabbccdd

1010

1111

0101

0000

1010111101010000

d.c

b.a

11

1 1

1 1

0 0

0 0

� Menu

AlgAlgèèbre logiquebre logique

�� Tableau de Tableau de KarnaughKarnaugh : :

2 – Compléter le tableau

1111000011

1100000011

0011111100

1100111100

1111001100

0000001100

1111110000

1100110000

0011000000

0000000000

SSaabbccdd

1010

1111

0101

0000

1010111101010000

d.c

b.a

Ajouter des 1 ou 0 afin de pouvoir réaliser des regroupements maximums

1

1

1 1 1

1

11

1 1

1 1

0 0

0 0

� Menu

AlgAlgèèbre logiquebre logique

�� Tableau de Tableau de KarnaughKarnaugh : :

3 – Regrouper les cases (groupe de 2n)

1111000011

1100000011

0011111100

1100111100

1111001100

0000001100

1111110000

1100110000

0011000000

0000000000

SSaabbccdd

1010

1111

0101

0000

1010111101010000

d.c

b.a

1

1

1 1 1

1

11

1 1

1 1

0 0

0 0

� Menu

AlgAlgèèbre logiquebre logique

�� Tableau de Tableau de KarnaughKarnaugh : :

4 – Etablir l’équation finale

1111000011

1100000011

0011111100

1100111100

1111001100

0000001100

1111110000

1100110000

0011000000

0000000000

SSaabbccdd

1010

1111

0101

0000

1010111101010000

d.c

b.a

S = c.b + d + a.b + a.b.c Recommencer

1

1

1 1 1

1

11

1

11 1

0 0

0 0

� Menu

AlgAlgèèbre logiquebre logique

�� Tableau de Tableau de KarnaughKarnaugh : : Etude d’un exemple :définition d’une équation à partir d’une équation logique

1 – Construire le tableau

1010

1111

0101

0000

1010111101010000

a.b

c.d

S = a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.d

1 1

11 1 1

� Menu

AlgAlgèèbre logiquebre logique

�� Tableau de Tableau de KarnaughKarnaugh : :

2 - Regrouper

1010

1111

0101

0000

1010111101010000

a.b

c.d

S = a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.d

1 1

11 1 1

� Menu

AlgAlgèèbre logiquebre logique

�� Tableau de Tableau de KarnaughKarnaugh : :

3 – Définir l’équation finale

1010

1111

0101

0000

1010111101010000

a.b

c.d

S = a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.d

1 1

11 1 1 S = a.b + a.c S = a.(b + c)

Recommencer

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