Résolution d’équation du second degré

Deux exercices résolus détaillés et expliqués

Accessible dès la quatrième!

Problème n°1

Résoudre l’équation (x-1)2 – 9 = 0

Ainsi on remarque mieux que 9 est le carré de 3 et donc qu’on est en présence d’une différence de deux

carrés. L’identité remarquable a2 - b2 = (a+b) (a-b)

est utilisable avec a = (x-1) et b = 3 donc : (x-1)2-9 = [(x-1)+3] [(x-1)-3]

Pour factoriser (x-1)2 - 9on peut d’abord transformer l’équation de la façon

suivante(x-1)2 - 9 = (x-1)2 - 32

1ère étape : Factorisation

1ère étape : Factorisation

On peut maintenant enlever les parenthèses à l’intérieur des crochets pour simplifier l’expression ce

qui nous donne :(x-1)2-9 = [x-1+3] [x-1-3] = (x-1+3) (x-1-3)

d’où (x-1)2-9 = (x+2) (x-4)

Pour qu’un produit soit nul il suffit qu’un des deux membres du produit soit nul.

On recherchera donc la solution de x+2 = 0 et la solution de x-4 = 0 pour obtenir les deux solutions de

l’équation complète.

Résoudre (x-1)2-9 = 0 revient donc à résoudre l’équation (x+2) (x-4) = 0

2nde étape : Résolution de l’équation

Il faut prendre une équation comme une balance à deux plateaux. Ceux-ci contiennent chacun le même poids

puisqu’il y a égalité.

Si on veut garder l’équilibre on peut ajouter n’importe quel poids sur un plateau à la condition de rajouter le

même poids sur l’autre plateau.

2nde étape : Résolution de l’équation

Pour ne garder que X sur le plateau degauche il faut annuler 2 en ajoutant –2 (son opposé)

Puis rééquilibrer la balance en ajoutant –2 sur le plateau de droite

X+2 0=

X+2-20

=

Il n’y a plus qu’à simplifier les deux termesde l’égalité

Pour obtenir la première solution de l’équation

X+2-2 0-2=

X -2=

2nde étape : Résolution de l’équation

• Voilà une façon un peu plus classique pour résoudre l’équation

• X + 2 = 0 x + 2 – 2 = 0 – 2• x = -2• X - 4 = 0 x – 4 + 4 = 0 + 4• x = 4

2nde étape : Résolution de l’équation

• L’ensemble des solutions de l’équation (x-1)2 – 9 = 0

est donc S = {-2;4}

Problème n°2

Résoudre l’équation (2x-3)2 – 16 = 0

Ainsi on remarque mieux que 16 est le carré de 4 et donc qu’on est en présence d’une différence de deux carrés. L’identité

remarquable a2 - b2 = (a+b) (a-b) est utilisable avec a = (2x-3) et b = 4 donc : (2x-3)2-16 = [(2x-3)+4] [(2x-3)-4]

On peut maintenant enlever les parenthèses à l’intérieur des crochets pour simplifier l’expression ce qui nous donne :

(2x-3)2-16 = [2x-3+4] [2x-3-4] = (2x-3+4) (2x-3-4)d’où (2x-3)2-16 = (2x+1) (2x-7)

Pour factoriser (2x-3)2 - 16on peut d’abord transformer l’équation de la façon suivante

(2x-3)2 - 16 = (2x-3)2 - 42

1ère étape : Factorisation

Pour qu’un produit soit nul il suffit qu’un des deux membres du produit soit nul.

On recherchera donc la solution de 2x+1 = 0 et la solution de 2x-7 = 0 pour obtenir les solutions de

l’équation complète.

Résoudre (2x-3)2-16 = 0 revient donc à résoudre l’équation (2x+1) (2x-7) = 0

2nde étape : Résolution de l’équation

Réutilisons notre principe de la balance à deux plateaux.

Sans oublier qu’il faut garder l’équilibre

entre les deux plateaux.

2nde étape : Résolution de l’équation

Pour ne garder que 2X sur le plateau degauche il faut annuler 1 en ajoutant –1 (son opposé)

Puis rééquilibrer la balance en ajoutant –1 sur le plateau de droite

2X+1 0=

2X+1-10

=

Il n’y a plus qu’à simplifier les deux termesde l’égalité

Ce n’est pas encore suffisant puisque c’est la valeur de X et pas de 2X que nous cherchons

2X+1-1 0-1=

2X -1=

Pour ne garder que X sur le plateau degauche il faut multiplier 2 par son inverse, soit ½

Puis rééquilibrer la balance en multipliant par ½ sur le plateau de droite, ce qui peut aussi s’écrire :

½ . 2X ½ . (-1)=

½ . 2X-1

=

Il n’y a plus qu’à simplifier les deux termesde l’égalité

Pour obtenir la première solution de l’équation

(½ . 2)X - (½ .1)=

X - ½ =

2nde étape : Résolution de l’équation

• Voilà une façon un peu plus classique pour résoudre l’équation

• 2X + 1 = 0 2x + 1 – 1 = 0 – 1• 2 x = -1• ½ . 2x = ½ . (-1)• x = - ½ Pour le premier terme de l’équation

2nde étape : Résolution de l’équation

• Voilà une façon un peu plus classique pour résoudre l’équation

• 2X - 7 = 0 2x – 7 + 7 = 0 + 7• 2 x = 7• ½ . 2x = ½ . (7)• x = 7 / 2 Pour le second terme de l’équation

2nde étape : Résolution de l’équation

• L’ensemble des solutions de l’équation (2x-3)2 – 16 = 0

est donc S = {-1/2;7/2}

Petits conseils

• Nous n’avons utilisé que l’identité remarquable a2 – b2 = (a-b)(a+b)

pour notre petite démonstration.• N’oubliez pas les autres

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 eta2 – 2ab + b2 = (a - b)2

Cherchez toujours à factoriser à chaque fois que vous voudrez résoudre une équation d’un degré supérieur ou

égal à 2.

Remarques

• Quand vous cherchez à résoudre une équation, pensez au principe de la balance à deux plateaux et n’oubliez pas les deux règles d’algèbre indispensables à la résolution d’équations :

• La somme d’un nombre et de son opposé est égale à 0

• Le produit d’un nombre et de son inverse est égal à 1