Post on 03-Apr-2015
Rennes Suite
Rappels de mécanique
-Les croissances par plis tangentiels aux interfaces ex. plis d’embryons, empreintes digitales, cerveau etc.
-Les croissances par champ normal aux interfaces (ex. poumon)
-Les champs de fibres
Rappel sur le ressort
• Exemple très simple de déformation
Une configuration de référence L0
Une configuration déformée L1
Une loi constitutive du matériau :F=kL
Une loi générale d’équilibre (Newton)kL+Mg=0
Logique : une propriété matérielle, une loi fondamentale=>un passage d’une forme (de référence) à une autre (d’équilibre), unique
Le ressort non-linéaire
Cas du ressort dit de Landau, astreint à se déplacer sur une tige.
Si les ressorts sont tendus : une seule position d’équilibre
Si les ressorts sont comprimés : deux positions d’équilibre stables
Dans ce cas le système admet deux formes d’équilibre et une instable.
Par la force on écrira kDL1+ kDL2 =0
x= H2 -L12 Longueur projetée
On peut utiliser l’énergie
Ep, élastique = 2. ½k(L-L0)2 avec L²= H²+x² = k(L-L0)2
Le minimum de l’énergie potentielle élastique s’écrit
dEp, élastique /dx = 2k(L-L0)x/L
D’où 3 positions d’équilibre, une instable x=0 2 stables,
L2= L1= H2 +x2 Allongement
x= H2 –L02
Donc premier message :
• Système linéaires, solution unique• Systèmes non-linéaires, solutions
multiples
Question : comment rejoint-on les positions d’équilibre?
Il faut une forme ou une autre de dissipation visqueuse, une force qui s’oppose à la vitesse f=V
Sinon c’est « conservatif », « réversible ». On peut remettre le système dans son état initial
L’énergie élastique contient les positions d’équilibre, sous réserve de dissipation
La vraie situation est plutôt :
Elle permet au système de rejoindre Son état d’équilibre « lentement »
Ou bien avec des oscillations si on ajoute l’inertie : m=md2x/dt2
On obtiendra une équation dynamique de la forme
md2x/dt2= - dx/dt - kdx+mg
Dont les solutions sont des combinaisons d’exponentielles et de cosinus, par exempleEn négligeant l’inertie : X(t)=(mg/k) (1-exp(-k t/))
Un ressort Un piston
(modèle de Kelvin Voigt)
Forme asymptotique Constante de temps
Si je pousse ça se déforme lentement. Le ressort emmagasine une énergie exactement égale à
l’énergie élastique
Mais moi j’ai fourni beaucoup plus (frottement visqueux)
Si je lâche, ça revient doucement, mais le ressort ne peut rendre que l’énergie élastique.Ça s’arrête au retour exactement à la position de départ, après un « transitoire ».
Situation équivalente pour des pendules de torsion
• Dans ce cas on écrit l’équilibre des couples.
Le couple de rappel est proportionnel à l’angle : C=kd
Vue de dessus
Vue en perspective
En torsion ou en allongement, on peut faire les calculs « par la force »
Ou bien « par l’énergie »La dissipation n’est pas « potentielle » : c’est perdu
L’énergie c’est le travail de la force.
Par exemple énergie élastique : dE=kL.dL
Par exemple énergie gravitation: dE=Mg.dL
dE=kL.dL c’est la force kL, multipliée par l’allongement
Conclusion :
• L’équilibre est morphogénétique
• Mais il faut une dynamique pour atteindre l’équilibre
• Il existe un continuum de formes entre la référence et la déformée
• Il peut exister plusieurs états d’équilibre
• Il existe un bassin d’ »attraction» pour chaque état
Equilibre mécanique d’un solide
• Plus compliqué : chaque élément de volume est en équilibre (problème spatialement étendu )
• Donc on écrit l’équilibre de chaque parcelle de solide (Newton).
• Et une équation de matériau reliant les forces aux déformations
• Et les termes de sources de force• Et les conditions aux limites
Ça ne donne pas la solution, mais une équation différentielle implicite, dont la forme cherchée est la solution
Loi de Hooke
Chaque élément peut être vu comme une distribution de petits ressorts
Ce n’est pas le déplacement qui produit des forces : ce sont les déformations
On introduit donc un champ de déplacement u(x,y,z), qui va donner le vecteur permettant de construire la déformée
par rapport à la référence
Et on construit un champ de déformation. Ah : il y a des déformations de plusieurs sortes, des cisaillements et des extensions
ij =1/2(dui /dxj + duj /dxi)
Quand i=j là-dedans c’est la dilatation dans la direction i
Quand ij là-dedans c’est le cisaillement
Pour le ressort, la déformation est proportionnelle à l’allongement, et c’est tout.
Pour un solide, si je j’exerce une force dans une direction, ça déforme dans cette direction, mais également dans l’autre.
De même, si j’impose une déformation dans une direction, ça résulte en un forcedans les deux directions perpendiculaires
Donc chaque allongement, est une fonction des forces dans les autres directionsEt réciproquement
C’est une écriture compacte de quelque chose de simple
Pour obtenir des dilatations, faut dilater dans le même sens, ou comprimer dans l’autre
Pour cisailler, faut cisailler
E, c’est la raideur (module d’Young)
(coefficients de Lamé)
L’exemple le plus simple est celui d’une barre purement étirée dans la direction notée z. Dans ce cas, la contrainte le long de la section est supposée constante :
zz=Cte =F/S
où F est la force exercée au bord et S la surface d’application (par exemple, la section d’une barre). Dans une barre ainsi étirée, on observe un allongement dans la direction z et, en général, un amincissement dans les 2 directions perpendiculaires. Ce terme d’amincissement n’existe pas dans le cas du ressort. L’écriture de l’équation ci-dessus donne simplement
0 0 0= 0 0 0 0 0
et les déformations dans ce cas deviennent simplement
zz=L/L=EF/S=3( F/S dans la direction longitudinale L
xx= yy = lx/lx F/S dans les directions transverses notées lx
ERaideur de la barre
Rapport des allongements :
Milieux visco-élastiques• La loi de Hooke relie les forces et
les déformations. Le solide emmagasine l’énergie, et peut la restituer.
• Pour les matériaux visqueux, l’équivalent de la loi de Hooke relie les taux de déformation, et les contraintes (~f =-V) Mais ça dissipe (irréversible).
• Les paramètres sont appelés viscosités; Viscosité de cisaillement (très courant), viscosité de dilatation (assez rare). Pour les matériaux incompressibles, div(v)=0, et y’a pas de dilatation de toute façon.
y
zyxz
zyxy
zyxx
v
vvvv
vvvv
vvvv
xxy
zyxzzz
zyxy
yy
zyxxxx
2
)(2
)(2
)(2
Les matériaux visco-élastiques, c’est un mélange des deux (Maxwell, Kelvin Voigt, etc.)Les viscosités peuvent être des fonctions compliquées des contraintes
Où est la vitesseDu piston là-dedans?
Mais la viscosité n’est pas une constante, en général.Mais la viscosité n’est pas une constante, en général.
Fluide newtonienFluide newtonienViscosité=constanteViscosité=constante
Fluide rhéofluidifiantFluide rhéofluidifiantViscosité diminue avec le cisaillementViscosité diminue avec le cisaillementExemple : dentifriceExemple : dentifrice(« écoulement bouchon »)(« écoulement bouchon »)
Fluide rhéo-épaississantFluide rhéo-épaississantViscosité augmente avec le Viscosité augmente avec le cisaillementcisaillement
Cas du sang : très particulier, la viscosité dépend de la géométrieCas du sang : très particulier, la viscosité dépend de la géométrieC’est dû à « l’hématocrite » effet de séparation de phase.C’est dû à « l’hématocrite » effet de séparation de phase.
Les globules ont des effets coopératifs (se regroupent au centre)Les globules ont des effets coopératifs (se regroupent au centre)
Hs2 < He < Hs1
µapp = f(H,D)
Equilibre des membranes
• Surface étendue, équilibre uniquement en tension. Pas de résistance au couple (complètement mou en flexion, trampoline)
.(∂2w(x,y)/∂x2+∂2w(x,y)/∂y2)=f(x,y).
Une surface tendue, ne s’oppose à une force hors du plan, que par la déformation (courbure)
Cas du savon : P=/R
La tension d’un savon est une quantité thermodynamiquePas celle du caoutchouc: travail pour créer de la surface=travail pour apporter des atomesTravail élastique=travail pour les écarter
. T(s)-.T(s+ds)= N/R= N ∂2w/∂x2
Dans une surface de fluide, il y a toujours une tension de surface.Même plane, il existe une force tangentielle
Dans une membrane en caoutchouc, il n’existe pas forcément de tension dans la surface.
Si la surface plane de référence est sans force, quand on déforme, ça tend, et une force apparaît
=.t D’où l’écriture de l’équilibre div()=f=>d2w/dx2=f
Si la surface n’est pas pré-tendue, c’est plus compliqué
Equilibre des plaques
• Moment de flexion important. Résistance en flexion, pas besoin de tension (plongeoir)
M=EI/R M=EI/Ld
M(s)-M(s+ds)= uds
∂M/∂s=u
∂2M/∂s2=uf
EI∂4w/∂x4=f(x) L’équation des barres ou plaques est du 4e degré
Le couple Soit aussid
f
Le solidedéveloppe des contraintesInternes Rappel div()=-f
Résumé important
• Pour les membranes, la dérivée de la tension le long du contour s’oppose aux charges.
• Pour les plaques, la dérivée des moments est le moment des contraintes, et la dérivée des contraintes s’oppose à la charge. Et les couples sont proportionnels aux courbures.
Le flambage élastique
• Combinaison de résistance en flexion, et de contrainte tangentielle (tangentielle, comme une tension, mais en compression)
EI4w+d2w/dx2=0
E module de courbure, I facteur géométrique de la section, la contrainte tangentielle
EI4w+(∂2w/∂x2+∂2w/∂y2)=0
Il n’y a pas de « flambage d’une membrane »
Pour trouver les déformations, on développe en modes sinusoïdaux, cas d’une barre
Wx=w0cos(kz)+ w1sin(kz), Wy=w0cos(kz)+ w1sin(kz)
kx=(/EI)1/2 ky=(/EI) 1/2
Relation de dispersion nécessairepour que le terme bilaplacien, et le terme laplaciens’annulent mutuellement
Les conditions aux limites impliquent cos((/EIx)1/2L)=0, cos((/EIy)1/2L)=0(encastrement).
D’où les « modes » de flambage: =(EI2/4L2)(2n+1)2
Exemples de propagation d’équation(niveaux de gris représentent la déformation)
Un bruit initial disparaît peu à peu, pour laisser des lignes bien parallèles
Un exemple plus complexe : le cas desempreintes digitales comme une peau qui
« flambe » sous l’effet des contraintes (mais aussi, cerveau, intestins rides etc.)
En très bref : l’origine des empreintes digitales est un mécanisme de flambage mécanique de la surface de la
peau
Donc, pour comprendre/modéliser le phénomène il faut
• Le type de matériau• Les conditions aux limites• La géométrie• Les termes de force
Double couche de ressorts, reliés à une plaque
Obtention de l’équation de von Karman :trop compliqué pour écrire les forces, les couples etc.
énergie
Lois de Hooke
Plaque mince
énergie
00
Notion de dérivée fonctionnelle
• Quand l’énergie est fonction d’une seule variable, on fait de simples dérivées.
• Quand on cherche une fonction des variables d’espace, on doit faire une dérivée fonctionnelle.
Principe de moindre action par exemple :
chemin suivi dans le temps :
J=∫ f(t,x(t),dx/dt(t) dtt1
t2
Ou dans l’espace
J=∫ f(x,dy/dx) dx
x2
x1
∂f/ ∂x-d/dt(∂f/∂x)=0.
Exemple : minimum d’énergie spatiale
Exemple de dérivée fonctionnelle
J=∫ f(t,x(t),dx/dt(t) dtt1
t2
∂f/ ∂x-d/dt(∂f/∂x)=0.
F(x)=1/2mx2-1/2kx2.
=> Équation de la dynamique
F(dy/dx)= (dy/dx) 2J=∫ f(x,dy/dx) dx
x2
x1
=> Quelle équation?
Les forces sont obtenues à partir des dérivées fonctionnelles de l’énergie:
Introduction de la fonction scalaire de Airy
Et les équations d’évolution simplement sous une forme visqueuse : dw/dt=F(x,y). Rappel : il faut bien une dissipation
flexion
Compressionde la surface de référence
Energie de déformation normale
Energie de compressiond’écart au plan
E potentielle
L’équation de von Karman
• La force elle-même dépend de la forme=> deux équations :
• Une pour la déformée :
• Une pour la force :
Supposée à son équilibre instantané
Si la surface est courbe, la courbure apparaît par la tension/compression
L’équation de von Karman
• Cette équation est une équation élastique (comme les ressorts non-linéaires)
• On rajoute à la main une dissipation temporelle visqueuse
• Ça commence à ressembler à un système dynamique
Cas de la peau. La biologie des tissus est une physique de couche mince (« tissu »), de coques ou plaques
minces
• Le type de matériau• Les conditions aux limites• La géométrie• Les termes de force
Double couche de ressorts, reliés à une plaque: la membrane basale
L’équation de Küecken-Newell(Küecken and Newell, Fingerprint formation
Journal of theoretical biology 235, 71-83 (2005)
• Pour les empreintes digitales, Küecken et Newell rajoutent les couches épaisses de derme et d’épiderme, comme des ressorts non-linéaires :
• V(h)=pw+gw2+a/3 w3+b/4w4
p= force uniformea= asymétrieg: coefficient
La situation dans le doigt embryonnaire
Les lignes associées aux empreintes digitales nucléent à des endroits précis, puis naviguent en remontant des « lignes de force » (cf Penrose, Kuecken et Newell).
Wertheim et Maceo
La forme finale dépend de la morphologie du doigt sous-jacent
Typologie très précise de lignes Les « attracteurs » sont des objets spatio-temporels complexes, comportant des « défauts topologiques »
Pas spécialement « codé » génétiquement.Pas spécialement « codé » génétiquement.
En plus des défauts topologiques, des « dislocations » En plus des défauts topologiques, des « dislocations »
Multiplicité des solutions « crêtes-vallées »Due à la non-linéarité (« dégénérescence »)
Contrainte principaledans le doigt « lisse »
Début de la formation des plis,quand la contrainte dépasse le seuil de flambage
articulation
Nerf, bosse
ongle
Modélisation mathématique « complexe »
Equation de propagation de type flambage
Analogue à la géologie (plissements de terrain)
Formation de boucles, ou de plis suivant la forme du doigt
Exemples de réalisations
Le champ de plis est calculé à 2D, avec la projection du champ de contrainte sur un plan
Formation de boucles, ou de plis suivant la forme du doigt
Exemples de réalisations
Passer à « la main »
• Pour les formes fibrées, on peut directement utiliser des énergies reliées aux orientations
• On définit un paramètre d’ordre n. Ce n’est pas l’allongement, mais l’orientation locale.
Analogues biologiques de cristaux liquides :
collagène, chitine, fibronectine, myosine, élastine etc.
Images Yann Legrand, Christophe Odin, Alia Al-Kilani
• Gly-Pro-Met-Gly-Pro-Ser-Gly-Pro-Arg-Gly-Leu-Hyp-Gly-Pro-Hyp-Gly-Ala-Hyp-Gly-Pro-Gln-Gly-Phe-Gln-Gly-Pro-Hyp-Gly-Glu-Hyp-Gly-Glu-Hyp-Gly-Ala-Ser-Gly-Pro-Met-Gly-Pro-Arg-Gly-Pro-Hyp-Gly-Pro-Hyp-Gly-Lys-Asn-Gly-Asp-Asp...
la matière vivante est différente des minéraux : ordre la matière vivante est différente des minéraux : ordre orientationnel, ordre d ’alignementorientationnel, ordre d ’alignement
En fait, c’est même fibré dans les deux sens
Photo V.F. D ’après Bard, Morphogenesis
Oignon Culture de poumon
Obtentions de la dynamique de champs de vecteurs « orientation »
Méthode par l’énergie de Frank.
On construit un champ de diffusion de vecteur n, de même qu’on peut diffuser des températures, ou
des courants électriques etc.
Inspiré de la physique des écrans plats « à cristaux liquides »
Notion de dérivée fonctionnelle
• Quand l’énergie est fonction d’une seule variable, on fait de simples dérivées.
• Quand on cherche une fonction des variables d’espace, on doit faire une dérivée fonctionnelle.
Principe de moindre action
Exemple concret
Contribution du terme dit « d’éventail »
Explication physique des termes d’énergie, pour un champ de type « nématique », cristal liquide.
• Un terme dans l’énergie correspond à une « pénalisation ». Puisque le système veut abaisser son énergie, il fait tout ce qu’il peut pour rendre ces termes les plus bas possible. Exemple : le ressort ne veut pas s’allonger.
Cherche le minimumde courbure
Terme de courbure
De même pour le terme d’éventail
D’où une équation complète de propagation de lignes
Donc encore un opérateur différentiel, dont tous les termes ont un sens physique précisSatisfont les lois fondamentales, compétition entre deux effets, se lit directement
Cherche le minimum de ça :
On impose des conditions aux limites
Et le calcul donne des courbes qui se raccordent automatiquement, partout.