Rennes Suite

Rappels de mécanique

-Les croissances par plis tangentiels aux interfaces ex. plis d’embryons, empreintes digitales, cerveau etc.

-Les croissances par champ normal aux interfaces (ex. poumon)

-Les champs de fibres

Rappel sur le ressort

• Exemple très simple de déformation

Une configuration de référence L0

Une configuration déformée L1

Une loi constitutive du matériau :F=kL

Une loi générale d’équilibre (Newton)kL+Mg=0

Logique : une propriété matérielle, une loi fondamentale=>un passage d’une forme (de référence) à une autre (d’équilibre), unique

Le ressort non-linéaire

Cas du ressort dit de Landau, astreint à se déplacer sur une tige.

Si les ressorts sont tendus : une seule position d’équilibre

Si les ressorts sont comprimés : deux positions d’équilibre stables

Dans ce cas le système admet deux formes d’équilibre et une instable.

Par la force on écrira kDL1+ kDL2 =0

x= H2 -L12 Longueur projetée

On peut utiliser l’énergie

Ep, élastique = 2. ½k(L-L0)2 avec L²= H²+x² = k(L-L0)2

Le minimum de l’énergie potentielle élastique s’écrit

dEp, élastique /dx = 2k(L-L0)x/L

D’où 3 positions d’équilibre, une instable x=0 2 stables,

L2= L1= H2 +x2 Allongement

x= H2 –L02

Donc premier message :

• Système linéaires, solution unique• Systèmes non-linéaires, solutions

multiples

Question : comment rejoint-on les positions d’équilibre?

Il faut une forme ou une autre de dissipation visqueuse, une force qui s’oppose à la vitesse f=V

Sinon c’est « conservatif », « réversible ». On peut remettre le système dans son état initial

L’énergie élastique contient les positions d’équilibre, sous réserve de dissipation

La vraie situation est plutôt :

Elle permet au système de rejoindre Son état d’équilibre « lentement »

Ou bien avec des oscillations si on ajoute l’inertie : m=md2x/dt2

On obtiendra une équation dynamique de la forme

md2x/dt2= - dx/dt - kdx+mg

Dont les solutions sont des combinaisons d’exponentielles et de cosinus, par exempleEn négligeant l’inertie : X(t)=(mg/k) (1-exp(-k t/))

Un ressort Un piston

(modèle de Kelvin Voigt)

Forme asymptotique Constante de temps

Si je pousse ça se déforme lentement. Le ressort emmagasine une énergie exactement égale à

l’énergie élastique

Mais moi j’ai fourni beaucoup plus (frottement visqueux)

Si je lâche, ça revient doucement, mais le ressort ne peut rendre que l’énergie élastique.Ça s’arrête au retour exactement à la position de départ, après un « transitoire ».

Situation équivalente pour des pendules de torsion

• Dans ce cas on écrit l’équilibre des couples.

Le couple de rappel est proportionnel à l’angle : C=kd

Vue de dessus

Vue en perspective

En torsion ou en allongement, on peut faire les calculs « par la force »

Ou bien « par l’énergie »La dissipation n’est pas « potentielle » : c’est perdu

L’énergie c’est le travail de la force.

Par exemple énergie élastique : dE=kL.dL

Par exemple énergie gravitation: dE=Mg.dL

dE=kL.dL c’est la force kL, multipliée par l’allongement

Conclusion :

• L’équilibre est morphogénétique

• Mais il faut une dynamique pour atteindre l’équilibre

• Il existe un continuum de formes entre la référence et la déformée

• Il peut exister plusieurs états d’équilibre

• Il existe un bassin d’   »attraction» pour chaque état

Equilibre mécanique d’un solide

• Plus compliqué : chaque élément de volume est en équilibre (problème spatialement étendu )

• Donc on écrit l’équilibre de chaque parcelle de solide (Newton).

• Et une équation de matériau reliant les forces aux déformations

• Et les termes de sources de force• Et les conditions aux limites

Ça ne donne pas la solution, mais une équation différentielle implicite, dont la forme cherchée est la solution

Loi de Hooke

Chaque élément peut être vu comme une distribution de petits ressorts

Ce n’est pas le déplacement qui produit des forces : ce sont les déformations

On introduit donc un champ de déplacement u(x,y,z), qui va donner le vecteur permettant de construire la déformée

par rapport à la référence

Et on construit un champ de déformation. Ah : il y a des déformations de plusieurs sortes, des cisaillements et des extensions

ij =1/2(dui /dxj + duj /dxi)

Quand i=j là-dedans c’est la dilatation dans la direction i

Quand ij là-dedans c’est le cisaillement

Pour le ressort, la déformation est proportionnelle à l’allongement, et c’est tout.

Pour un solide, si je j’exerce une force dans une direction, ça déforme dans cette direction, mais également dans l’autre.

De même, si j’impose une déformation dans une direction, ça résulte en un forcedans les deux directions perpendiculaires

Donc chaque allongement, est une fonction des forces dans les autres directionsEt réciproquement

C’est une écriture compacte de quelque chose de simple

Pour obtenir des dilatations, faut dilater dans le même sens, ou comprimer dans l’autre

Pour cisailler, faut cisailler

E, c’est la raideur (module d’Young)

(coefficients de Lamé)

L’exemple le plus simple est celui d’une barre purement étirée dans la direction notée z. Dans ce cas, la contrainte le long de la section est supposée constante :

zz=Cte =F/S

où F est la force exercée au bord et S la surface d’application (par exemple, la section d’une barre). Dans une barre ainsi étirée, on observe un allongement dans la direction z et, en général, un amincissement dans les 2 directions perpendiculaires. Ce terme d’amincissement n’existe pas dans le cas du ressort. L’écriture de l’équation ci-dessus donne simplement

0 0 0= 0 0 0 0 0

et les déformations dans ce cas deviennent simplement

zz=L/L=EF/S=3( F/S dans la direction longitudinale L

xx= yy = lx/lx F/S dans les directions transverses notées lx

ERaideur de la barre

Rapport des allongements :

Milieux visco-élastiques• La loi de Hooke relie les forces et

les déformations. Le solide emmagasine l’énergie, et peut la restituer.

• Pour les matériaux visqueux, l’équivalent de la loi de Hooke relie les taux de déformation, et les contraintes (~f =-V) Mais ça dissipe (irréversible).

• Les paramètres sont appelés viscosités; Viscosité de cisaillement (très courant), viscosité de dilatation (assez rare). Pour les matériaux incompressibles, div(v)=0, et y’a pas de dilatation de toute façon.

y

zyxz

zyxy

zyxx

v

vvvv

vvvv

vvvv

xxy

zyxzzz

zyxy

yy

zyxxxx

2

)(2

)(2

)(2

Les matériaux visco-élastiques, c’est un mélange des deux (Maxwell, Kelvin Voigt, etc.)Les viscosités peuvent être des fonctions compliquées des contraintes

Où est la vitesseDu piston là-dedans?

Mais la viscosité n’est pas une constante, en général.Mais la viscosité n’est pas une constante, en général.

Fluide newtonienFluide newtonienViscosité=constanteViscosité=constante

Fluide rhéofluidifiantFluide rhéofluidifiantViscosité diminue avec le cisaillementViscosité diminue avec le cisaillementExemple : dentifriceExemple : dentifrice(« écoulement bouchon »)(« écoulement bouchon »)

Fluide rhéo-épaississantFluide rhéo-épaississantViscosité augmente avec le Viscosité augmente avec le cisaillementcisaillement

Cas du sang : très particulier, la viscosité dépend de la géométrieCas du sang : très particulier, la viscosité dépend de la géométrieC’est dû à « l’hématocrite » effet de séparation de phase.C’est dû à « l’hématocrite » effet de séparation de phase.

Les globules ont des effets coopératifs (se regroupent au centre)Les globules ont des effets coopératifs (se regroupent au centre)

Hs2 < He < Hs1

µapp = f(H,D)

Equilibre des membranes

• Surface étendue, équilibre uniquement en tension. Pas de résistance au couple (complètement mou en flexion, trampoline)

.(∂2w(x,y)/∂x2+∂2w(x,y)/∂y2)=f(x,y).

Une surface tendue, ne s’oppose à une force hors du plan, que par la déformation (courbure)

Cas du savon : P=/R

La tension d’un savon est une quantité thermodynamiquePas celle du caoutchouc: travail pour créer de la surface=travail pour apporter des atomesTravail élastique=travail pour les écarter

. T(s)-.T(s+ds)= N/R= N ∂2w/∂x2

Dans une surface de fluide, il y a toujours une tension de surface.Même plane, il existe une force tangentielle

Dans une membrane en caoutchouc, il n’existe pas forcément de tension dans la surface.

Si la surface plane de référence est sans force, quand on déforme, ça tend, et une force apparaît

=.t D’où l’écriture de l’équilibre div()=f=>d2w/dx2=f

Si la surface n’est pas pré-tendue, c’est plus compliqué

Equilibre des plaques

• Moment de flexion important. Résistance en flexion, pas besoin de tension (plongeoir)

M=EI/R M=EI/Ld

M(s)-M(s+ds)= uds

∂M/∂s=u

∂2M/∂s2=uf

EI∂4w/∂x4=f(x) L’équation des barres ou plaques est du 4e degré

Le couple Soit aussid

f

Le solidedéveloppe des contraintesInternes Rappel div()=-f

Résumé important

• Pour les membranes, la dérivée de la tension le long du contour s’oppose aux charges.

• Pour les plaques, la dérivée des moments est le moment des contraintes, et la dérivée des contraintes s’oppose à la charge. Et les couples sont proportionnels aux courbures.

Le flambage élastique

• Combinaison de résistance en flexion, et de contrainte tangentielle (tangentielle, comme une tension, mais en compression)

EI4w+d2w/dx2=0

E module de courbure, I facteur géométrique de la section, la contrainte tangentielle

EI4w+(∂2w/∂x2+∂2w/∂y2)=0

Il n’y a pas de « flambage d’une membrane »

Pour trouver les déformations, on développe en modes sinusoïdaux, cas d’une barre

Wx=w0cos(kz)+ w1sin(kz), Wy=w0cos(kz)+ w1sin(kz)

kx=(/EI)1/2 ky=(/EI) 1/2

Relation de dispersion nécessairepour que le terme bilaplacien, et le terme laplaciens’annulent mutuellement

Les conditions aux limites impliquent cos((/EIx)1/2L)=0, cos((/EIy)1/2L)=0(encastrement).

D’où les « modes » de flambage: =(EI2/4L2)(2n+1)2

Exemples de propagation d’équation(niveaux de gris représentent la déformation)

Un bruit initial disparaît peu à peu, pour laisser des lignes bien parallèles

Un exemple plus complexe : le cas desempreintes digitales comme une peau qui

« flambe » sous l’effet des contraintes (mais aussi, cerveau, intestins rides etc.)

En très bref : l’origine des empreintes digitales est un mécanisme de flambage mécanique de la surface de la

peau

Donc, pour comprendre/modéliser le phénomène il faut

• Le type de matériau• Les conditions aux limites• La géométrie• Les termes de force

Double couche de ressorts, reliés à une plaque

Obtention de l’équation de von Karman :trop compliqué pour écrire les forces, les couples etc.

énergie

Lois de Hooke

Plaque mince

énergie

00

Notion de dérivée fonctionnelle

• Quand l’énergie est fonction d’une seule variable, on fait de simples dérivées.

• Quand on cherche une fonction des variables d’espace, on doit faire une dérivée fonctionnelle.

Principe de moindre action par exemple :

chemin suivi dans le temps :

J=∫ f(t,x(t),dx/dt(t) dtt1

t2

Ou dans l’espace

J=∫ f(x,dy/dx) dx

x2

x1

∂f/ ∂x-d/dt(∂f/∂x)=0.

Exemple : minimum d’énergie spatiale

Exemple de dérivée fonctionnelle

J=∫ f(t,x(t),dx/dt(t) dtt1

t2

∂f/ ∂x-d/dt(∂f/∂x)=0.

F(x)=1/2mx2-1/2kx2.

=> Équation de la dynamique

F(dy/dx)= (dy/dx) 2J=∫ f(x,dy/dx) dx

x2

x1

=> Quelle équation?

Les forces sont obtenues à partir des dérivées fonctionnelles de l’énergie:

Introduction de la fonction scalaire de Airy

Et les équations d’évolution simplement sous une forme visqueuse : dw/dt=F(x,y). Rappel : il faut bien une dissipation

flexion

Compressionde la surface de référence

Energie de déformation normale

Energie de compressiond’écart au plan

E potentielle

L’équation de von Karman

• La force elle-même dépend de la forme=> deux équations :

• Une pour la déformée :

• Une pour la force :

Supposée à son équilibre instantané

Si la surface est courbe, la courbure apparaît par la tension/compression

L’équation de von Karman

• Cette équation est une équation élastique (comme les ressorts non-linéaires)

• On rajoute à la main une dissipation temporelle visqueuse

• Ça commence à ressembler à un système dynamique

Cas de la peau. La biologie des tissus est une physique de couche mince (« tissu »), de coques ou plaques

minces

• Le type de matériau• Les conditions aux limites• La géométrie• Les termes de force

Double couche de ressorts, reliés à une plaque: la membrane basale

L’équation de Küecken-Newell(Küecken and Newell, Fingerprint formation

Journal of theoretical biology 235, 71-83 (2005)

• Pour les empreintes digitales, Küecken et Newell rajoutent les couches épaisses de derme et d’épiderme, comme des ressorts non-linéaires :

• V(h)=pw+gw2+a/3 w3+b/4w4

p= force uniformea= asymétrieg: coefficient

La situation dans le doigt embryonnaire

Les lignes associées aux empreintes digitales nucléent à des endroits précis, puis naviguent en remontant des « lignes de force » (cf Penrose, Kuecken et Newell).

Wertheim et Maceo

La forme finale dépend de la morphologie du doigt sous-jacent

Typologie très précise de lignes Les « attracteurs » sont des objets spatio-temporels complexes, comportant des « défauts topologiques »

Pas spécialement « codé » génétiquement.Pas spécialement « codé » génétiquement.

En plus des défauts topologiques, des « dislocations » En plus des défauts topologiques, des « dislocations »

Multiplicité des solutions « crêtes-vallées »Due à la non-linéarité (« dégénérescence »)

Contrainte principaledans le doigt « lisse »

Début de la formation des plis,quand la contrainte dépasse le seuil de flambage

articulation

Nerf, bosse

ongle

Modélisation mathématique « complexe »

Equation de propagation de type flambage

Analogue à la géologie (plissements de terrain)

Formation de boucles, ou de plis suivant la forme du doigt

Exemples de réalisations

Le champ de plis est calculé à 2D, avec la projection du champ de contrainte sur un plan

Formation de boucles, ou de plis suivant la forme du doigt

Exemples de réalisations

Passer à « la main »

• Pour les formes fibrées, on peut directement utiliser des énergies reliées aux orientations

• On définit un paramètre d’ordre n. Ce n’est pas l’allongement, mais l’orientation locale.

Analogues biologiques de cristaux liquides :

collagène, chitine, fibronectine, myosine, élastine etc.

Images Yann Legrand, Christophe Odin, Alia Al-Kilani

• Gly-Pro-Met-Gly-Pro-Ser-Gly-Pro-Arg-Gly-Leu-Hyp-Gly-Pro-Hyp-Gly-Ala-Hyp-Gly-Pro-Gln-Gly-Phe-Gln-Gly-Pro-Hyp-Gly-Glu-Hyp-Gly-Glu-Hyp-Gly-Ala-Ser-Gly-Pro-Met-Gly-Pro-Arg-Gly-Pro-Hyp-Gly-Pro-Hyp-Gly-Lys-Asn-Gly-Asp-Asp...

la matière vivante est différente des minéraux : ordre la matière vivante est différente des minéraux : ordre orientationnel, ordre d ’alignementorientationnel, ordre d ’alignement

En fait, c’est même fibré dans les deux sens

Photo V.F. D ’après Bard, Morphogenesis

Oignon Culture de poumon

Obtentions de la dynamique de champs de vecteurs « orientation »

Méthode par l’énergie de Frank.

On construit un champ de diffusion de vecteur n, de même qu’on peut diffuser des températures, ou

des courants électriques etc.

Inspiré de la physique des écrans plats « à cristaux liquides »

Notion de dérivée fonctionnelle

• Quand l’énergie est fonction d’une seule variable, on fait de simples dérivées.

• Quand on cherche une fonction des variables d’espace, on doit faire une dérivée fonctionnelle.

Principe de moindre action

Exemple concret

Contribution du terme dit « d’éventail »

Explication physique des termes d’énergie, pour un champ de type « nématique », cristal liquide.

• Un terme dans l’énergie correspond à une « pénalisation ». Puisque le système veut abaisser son énergie, il fait tout ce qu’il peut pour rendre ces termes les plus bas possible. Exemple : le ressort ne veut pas s’allonger.

Cherche le minimumde courbure

Terme de courbure

De même pour le terme d’éventail

D’où une équation complète de propagation de lignes

Donc encore un opérateur différentiel, dont tous les termes ont un sens physique précisSatisfont les lois fondamentales, compétition entre deux effets, se lit directement

Cherche le minimum de ça :

On impose des conditions aux limites

Et le calcul donne des courbes qui se raccordent automatiquement, partout.